指数方程解题技巧

下课把家长给我叫过来，我们一起来看一下。这道题是六的 x 次方，就等于 x 的 十八次方，那这样的题会不会做？班长会吗？ 班长都不会做，有人会吗？不会，都不会。好，其实这样的题做题很简单哈，只要这样的题，我们就想办法把指数去掉，然后再结合同构造就行了。我们一起来看一下这个指数爱不爱眼？ 爱眼，所以此时我们要把这个指数去掉，那么就可以加上 x 一 次方，那左边加了 x 分 之一，右边加不加呢？ 这样才能是等式，是不是右边也得加？那接下来左边这个式子就变成了什么？孩子们，六，非常好，没有问题，左边我们就变成了六，那接下来右边这个结果我们也可以写下来。好，那这边还有十八，十八，想不想把它扔掉呀？ 想，所以此时想要扔掉的话，两边应该都可以加上十八分之一。左右边加了十八分之一，左边加不加？加，加，非常好，很坚定哈，没有问题。好，此时那么我们这个式子就转化成了，这边就是一个常数，那这边呢？ 就变成 x 的 x 分 之一方。好，接下来我们就结合另外一个方法。叫什么方法？之前讲过的同构造， 所以 x 的 x 分 之一方，如果等于 t 的 t 分 之一次方的时候，这个式子只要一出现我们的目标就可以得到 x 就 等于什么？哎，非常好， x 就 等于 t， 所以此时你的目标就是想把这个转化成和他一样的形式，是不是？那你想要六和十八有什么样的关系呢？他俩中间都可以结合一个数字，就是三十六，非常好，所以如果想要出现三十六的话，我们就可以用二 乘上三十六分之一，看到了吗？那此时对应的话，你会发现六的平方就是非常好，关键点来了，六的平方就是三十六， 所以在这里面对应的话， x 的 结果请你们告诉我，自信的大声说，告诉我 x 等于多少三十六。三十六没有问题，所以最终的结果一定可以出来，他就是三十六，不信你自己可下自己验算验算，一定是三十六，不可能出错，听到了吗？好，回去班长算算吧。

同学们拿出昨天的卷子，今天体育老师请假了，咱们一会上数学。啊？不是吧，我上午才看见体育老师了，就你话多，他刚请的假啊。我们回头来看这道题，这道题昨天考试没有一个做出来的，没思路吗？不会 就这还上什么体育课？来看这道题，这种题目我是不是给大家说过了，指数底数全部有 x 的， 你要么就纯蒙，要么就是同构法加上去指数法。所以这道题呢，我首先你蒙不出来， 咱们首先要用去指数法。怎么去指数呀？比如说这个六的 x 方，咱们如果能给他左右两边同时来个 x 分 之一次方， 是不是去掉了？那么同样你右边也得整体来一个 x 分 之一次方，所以他就变成了啥呀？变成这边是六等于 x 的 x 分 之十八次方，到这，这边是数，这边人家都是 x， 就 你一个十八，所以这个十八你得移过去，继续得去，对不对？所以呢，我们可以左右两边咱们再来个十八分之一， 哎，这边再来一个十八分之，它就变成啥？量比数不变，指数相乘，这俩约掉了，哎，就等于 x 的 x 的 意思，其实到这它都是在去指数，对吧？那接下来的你要用同购的思想，什么叫同购？ 同样的一个结构，你看这边是 x 的 x 分 之一次方，这俩是不是一模一样的？那这俩不一样呀，所以咱们想办法把它画成一样的。我们讲过 me 的 运算，所以你想怎么变成一样的？六的十八分之一，十八分之一，你可以给它拆一下，是二乘上 三十六分之一，哎，等于右边这个东西，哎，那我不知道你可以先干嘛呀？先把它六的平方再来一个三十六 分之一嘛？这是一样的，你给它反向用过去，所以这个东西它其实就是三十六的三十六分之一次方，对吧？等于 x 的 x 分 之一次方， 结构一不一样一样，对吧？所以你觉得这个 x 等于几啊？三十六。那三十六吗？所以 x 等于三十六。下一次考试我看谁还在错。

又睡觉，又瞌睡了一段，你天天几点睡觉？你别睡了，下一次看你现在天天上课啥样。好，我们一起来看一下这道题。这道题目中，孩子们给出来的是，已知七的 m 次方等于二十八的 n 次方等于十次。让你求这样一个式子， 十，怎么去求？想一想，仔细想，怎么去求。首先第一个点，我们要想清楚，你要的是 m 吗？不是，我们想要的是什么？ m 分 之一。那左边加上 m 分 之一，你告诉我右边加不加？加， 对，右边太棒了，很清楚，必须也要加。是不是这样的话，左边此时这个数字左边，你告诉我变成了什么呢？变成了数字七，右边，哎，出现了我们想要的 m 分 之一。好，搞清楚之后，接下来我们除了 m 分 之一，我们还需要什么？ 还需要个它吗？ n 分 之一，那 n 分 之一怎么出现？这是二十八的 n 次方，那想要出现 n 分 之一，我们可以左边 n 分 之一，它等于多少？也等于四，哎，非常好，特别好。十四，所以左边加完之后，右边加不加？加也要加。 哎，我们加完之后呢？那左边此时就变成了常数多少？二十八，非常好，没有问题。二十八，那右边不就是十四的 n 分 之一？好，仔细观察这个式子 和这个式子，仔细想一想，他们两个底下都是十四，可以做什么法？ 把这个数给我读出来做什么法？乘法，这不就是同底数密相乘，笔数变不变？变，笔数不变，指数相加，那这个数字的结果是多少？ 这不就出来了吗？非常好，这个数字是七，然后接下来呢，这个数字是多少？这里二十八，所以他就等于多少？七乘二十八这是多少？对，你把这个二过去一个， 这不就是十四乘十四，所以就十四的平方，所以这样的话我们就可以出来这个数字的整体结构是多少。二，那不就是二吗？学会了吗？学会了。

期下重难点来了，在密的运算这个题型中有一个压轴题，那么就是这种解方程的问题，为啥？因为它牵涉到分类讨论，好多同学直接一分不拿。我们来看一下，二 x 减四的 x 加三次方，等于 x 加一的 x 加三次方，求 x 的 值。 好多同学看完这个就蒙圈了，我们来仔细分析一下，那你看，对于这道题，他俩的指数都是 x 加三，你要想让他俩相等，那么很简单， 我们只需要让他的底数也相等，是不是就可以了？所以你看咱们二 x 减四等于 x 加一， 所以咱们的 x 等于几？是不是 x 等于五？那么咱们把这个 x 等于五带入，验证一下，把五带进去，左边是什么？是六的八次方，右边也是六的八次方，所以它俩相等， x 等于五， ok， 但是好多同学就考虑到这种情况，那么你的思维完备性明显不足。我告诉你，其实这个还有好多情况，我们知道二的三次方等于二的三次方，二的四次方，偶数次方吗？比如说二的四次方是等于二的四方不假，但是二的四次方还等于 负二的四次方，如果它是偶数次方，你底数也可以互为相反数，它俩也相等，你考虑得到没有？好，不一定相等，所以这是咱们的第一种情况。第二种情况就是二 x 减四和 x 加一互为相反数，那么 互为相反数就是相加等于零，所以咱们解出 x 等于几， x 等于几，那你看咱们这两个二 x 减四和 x 加一，那么等于这是三， x 等于三，那么 x 等于一。我们验证一下，左边 x 等于一是多少呢？是负二的四字旁，而右边是二的四字旁，很明显它俩是相等的，所以 x 等于一， ok， 那么还有没有其他情况？好多孩子折戟沉沙就在这。第三种情况不好想为啥？因为我们知道任何一个长非零常数的零次方 都等于一，这个很特殊，意思就是说，只要你这个底数不等于零，那你指数是零次方， ok 就是 一最终结果。你看我们可不可以让这个 x 加三等于零，所以我们得到 x 等于负三， 那么我们要验证一下，因为你的底数不能有出现零，出现零就完蛋了。好，我们来看左边是谁？ x 等于负三，左边是负十的 零次方啊，右边是负二的零次方都等于一，很明显它是相等的，所以这个也是最终结果。那么 x 的 值你看等于谁？ x 有 可能是五，也有可能是一， 也有可能是负三，所以我们这道题是有三个答案的。那你看， me 的 运算是咱们七年级下册第一次月考的重点题型，你像这种题都是以压轴题的形式出现的对不对？ 老师带着孩子寒假预习，你听完老师讲之后呢，你再把 me 的 运算八大题型拿去让孩子练一下，让孩子呢这类题稳拿高分。资料已经给大家准备好了，进主页粉丝群领取。

今天给大家准备了一道方程，很明显，这是一道超越方程，面对超越方程，同构法无疑是最有效的方法，掌握这个方法，初中生也可以做出来。首先带大家复习一下密运算的重要规则，同指数密相乘，底数相乘，指数不变。同底数密相乘， 底数不变，指数相加。所以我们可以把方程的右侧拆分成三的 x 次方，乘以三的五十四次方。然后我们将两侧同除以三的 x 次方，这样就可以将未知数统一整理在左侧了。 稍作变形，左侧的底数就是三分之 x， 指数是 x。 要想完成清晰的同构，我们不妨将左侧的底数和指数保持一致，也就是将两侧同时取三分之一次方。 化简之后，左侧底数和指数都为三分之 x， 右侧则是三的十八次方。稍作变形，右侧就可以转化为九的九次方，这样我们就完成了同构，此时可以轻松推出 x 等于二十七。我想到这个时候肯定还会有人问，你为什么能断定这个就是唯一解呢？ 没有关系，我们构建一个函数 f， x 等于 x 的 x 次方，可以在坐标系中绘制它的图像，它在大于一分之一的时候是单调递增的，所以 x 等于二十七就是方程的唯一解。

我上一年级就让我学初中数学，哼，狗都不学，狗不学，我学上题。嗯，六的 s 之方就等于，就等于 s 的 十八之方。求 s 等于多少？好，这道题的方法就是第一道方法就是去指数， 什么是指数呢？指数就是如果就是我举个例子，比如说，嗯，六的二次方，那这个六的二次方就是这个指数。 好，那第二个方法呢？就是同共，那什么又是同共法呢？好，同共的意思就是比如说嗯， a 的 s 方就等于 m 的 m 四方。好，那这样这样的方法我们就可以得出 a 等于 m。 好， 第二，那通过还有一种情况，就是就是 a 的 a 分 之一就等于 m 啊， m 分 之一，我这里写的有点斜。好，他这样我们也可以得出 a 等于 m， 那那我们第一个方法就是去指数，我们去哪里的指数呢？我们要把这个 x 给去掉，我们去 x， 我 们就需要乘一个 x 分 之一，那就是 六 x。 好， 乘以 x 分 之一，那这边乘以个 x 分 之一，那对面也要乘以啊，那就是等于 x 的 十八次方 乘以 x 分 之一，那那我们这边呢？就就可以比约掉了。 这样的话，我们到这边我们需要把这个十八抵约掉，因为我们都讲了， a 的 a 分 之一次方等于 m 的 m 分 之一次方，这个 x 分 之一已经已经在这上面了，我们要需要把这个十八抵约掉，才能变成 x 的 x 分 之一次方。 好，那我们就要把这边乘一个十八分之一，就是 这边也要乘以，哦，就是十八分之一是方法。好，这样的话我们就可以把这里抵约掉了，所以就是我们已经 x 已经形成了这个样子了，我们可以不用动 x 分 之一了，那这个这边该怎么办呢？我们就可以这样的把十八拆分掉。 好，那，那这边的来了，那这里是不是有个六的二次方？所以就是，就是六的二次方，是不是等于三十六嘛？就是把这个六的二次方弄成数字就是三十六，三十六 分之一就等于 x 的 x 分 之一次方。好，我们这个已经形成了，我们就可以得出三十六等于 x。

已知二十七的 x 次方减二十三的 x 次方等于两百，求 x 等于多少？这道题我们用平方差宫算来解，我们看二十七和二十三没有思路，那我们就只能把两百看作突破口 观察发现二十七加二十三等于五十，二十七减二十三又等于四，而五十乘四又正好等于两百。现在思路有了，我们先把两百拆成五十乘四， 五十拆成二十七加二十三，四拆成二十七减二十三。 现在这就成了一个平方差公式，就等于二十七的平方减二十三的平方， 而两百又等于二十七的 x 次方减二十三的 x 次方， 那就说明 x 就 等于二。关注我，分享更多解题技巧！

今天咱们来攻克一道指数方程的经典易错题。先看题目，已知三的 m 次方加三的 n 次方等于三十， m 加 n 等于四，求 m n 的 值。看到两个未知数不要慌，咱们可以利用 m 加 n 等于四这个关系，把两个未知数转化成一个。 由 m 加 n 等于四，我们能直接得出 n 等于四减 m。 把这个式子代入，第一个指数方程就变成了三的 m 次方，加三的四减 m 次方等于三十。 接下来就是关键的换元步骤。观察三的四减 m 次方，根据密的运算法则，它可以拆成三的四次方，除以三的 m 次方。我们设 t 等于三的 m 次方，那三的四减 m 次方就等于 t 分 之八十一。 代入后，方程就变成了 t 加 t 分 之八十一等于三十。整理一下就得到 t 方减三十， t 加八十一等于零。 咱们用英式分解，很轻松就能得出 t 的 解是三或者二十七。接下来就需要分组讨论了。当 t 等于三十，也就是三的 m 次方等于三，得到 m 等于一，那么 m 就 等于四减 m 也就是四减一等于三， 这时候 m n 等于一乘三等于三。当 t 等于二十七时，也就是三的 m 次方等于二十七，而二十七是三的立方，所以 m 等于三，那 n 就 等于四减三等于一， 这时候 m n 等于三乘一等于三。两种情况 m n 的 结果都是三，所以最终答案为 m n 等于三。解析完成，记住这个方法以后遇到类似的题就再也不怕了。

已知二的 n 加七次方，加二的 n 加二次方等于六十六，求 n， 我 们来观察一下这个式子。二的 n 加七次方，我们可以写成二的 n 加二加五次方。 接着看，根据通底数密的计算法则，二的 n 加二加五次方，我们可以写成二的 n 加二次方，再乘二的五次方。 现在我们提取共因式，二的 n 加二次方就是二的 n 加二次方，乘二的五次方，加一的和等于六十六， 二的五次方是三十二，再加一就是三十三。二的 n 加二次方，再乘三十三等于六十六，那二的 n 加二次方就等于二。 这个二我们可以写成二的一次方。二的 n 加二次方等于二的一次方，那 n 加二就等于一， n 就是 一减二等于负一。关注我，分享更多解题技巧！

对的，家长们很多孩子一看就懵的，解指数方程来了，他看上去很简单，但是如果你不会方法的话，做起来就会很懵，但是他又是中考的必考考点，我们一起来学习一下 解指数方程。六的 x 四方减五的 x 四方等于十一，让我们来求 x 是 多少，我们都知道六加五是等于十一，但他这里却是六的 x 四方，减五的 x 四方等于十一，我们怎么办呢？ 这个时候我们要想到我们初中数学很常用的一种方法叫做构造法，我们一起来看一下，他是不是就等于六加五，到了这里我们怎么样才能够构造出他跟左边四指一样的结构呢？ 这个时候我们要想到我们的平方差公式，因为六加五呢，可以看成是六加五，乘以一一的话，又可以把它看成是六减五，这样是不是构造出了我们的平方差公式？好，我们把它写一下，那就是六的 x 四方减五的 x 四方就等于 六的平方，减五的平方，到了这里我们的结构是不是一模一样的，那很简单， x 它就等于二。其实这题啊， 主要考察的是我们能不能够灵活运用平方差公式来构造出跟我们左边四指一模一样的结构，如果构造出来了，这个题目就非常简单了，希望大家可以举一反三的去做一下同类题型，争取在考试中遇到你可以轻松拿捏。

都上课了还闹呢，上节课留着题解决了吗？这都马上高考了，还在这天天叨叨叨叨叨。你看六的 x 次方等于 x 的 十八次 y 等于几会了，不还是不会吗？ 这啊，其实呢，还是要用到我们的同构思想，其实很多时候啊，在同构呢，大家第一眼看着它是没有思路的，没有思路怎么办呢？第一个把 x 都放到同一侧，第二个把我们的长数都放到左边，让两个之间啊，去找相同的结构。 怎么找呢？你看这六的 x 次方，这有 x， 那 把 x 削掉，削掉它最简单的方法，一个呢是取对数，另外一个呢是我可以让它再做一个 x 分 之一次方。那如果我把左边的 x 分 之一次方，就是六的 x 次方的 x 分 之一次方，那右边呢，就是 x 的 十八次方，它呢再 x 分 之一次方。那你看这个形式啊，变完之后，左边 x 的 十八次方的 x 分 之一次方， 但是这个色还有个十八，这十八看起来也很丑，我把它也都挪到嘴边去测，所有的长数都放到左边，所有的含有 x 都放到右边。哦，那我们把它变一下，它俩之间调个位置， a 的 m 次方得 n 次方。其实啊，也就是呢， x 的 x 分 之一次方得十八 次方。好嘞，怎么去掉十八呢？跟他的方法一样，我也让他再做一个十八分之一次方就可以，对吧？好嘞，左边来写写，你看这六的一次方呗，我让左边取一个十八分之一次方，那右侧就应该变成了 x 的 x 分 之一次方的十八次方，这个整体，哎的十八分之一次 方，那这俩之间是不是又约掉了？那我左边也想给它变成呢， x 的 x 分 之一次方怎么办？六 十八，这两个之间肯定差着东西呢，六和十八之间给他做平方，那于是啊，我就可以给他变成谁呢？叫做六的平方，这个整体的二分之一次方的十八分之一次方。你看，我就像我的底数指数相同，又迈进了一步， 因为当你把底数变大的时候，那我们的指数它也会变大。为什么呢？你看，六六是三十六，二乘十八也是三十六， 所以啊，它的 m 次方的 n 次方就是它俩乘积嘛。哦，那于是把底数变成了三十六，那指数呢，也变成了三十六分之一。哎，你看右侧，这不是 x 的 x 分 之一次方吗？那于是这个 x 很 清楚了，是谁啊？这个 x 啊，它呢就应该等于 三十六了。其实我们讲啊，这类方法呢，在初中当中啊，它呢是非常常见的初中的同构的基本方法。到了高中之后啊，很 多时候呢，我们有时也在用，但是啊，如果呢，真的要用在大题当中啊，大家呢，还要去证明两个东西，第一个东西是它的定义，第二个东西是它的单调性啊，好了，下课玩去吧。