高一六组诱导公式

读读读读读读，一堆公式，整一个傻傻分不清楚，我要挑战一个视频，把诱导公式彻彻底底给你讲清楚！教材又一次上演地理隔离诱导公式正式学习是在一百八十八页，第一个公式居然在一百八十页，标题还没出来，公式已经开始学了， 正式学后面的公式，一百八十九页，他又没学全乎，老五老六呢？一百九十二页，老五老六出来了， 你把公式写在一块堆，它还记不全乎呢？好了，那我们说回公式本身，其实单单看字面含义还是好理解的。先看第一个红颜色，什么叫做基还是偶？就你一会。在所有诱导公式的题目中，一定要找到 二分之派，它的倍数。如果是奇数的话，比如说正二分之三派，负二分之五派，这就叫做它的奇数倍，那咱就按照奇变来走。反言之，如果你遇到的是三派六派负二派， 这些都相当于它的偶数倍。对，不论正负啊，咱只看奇偶，那如果是偶数倍的话，就按照偶不变。 所以问题来了，那这个变和不变指的是什么呢？就是名字。其中呢？如果是 side 这个名字，你要是让我变的话，就是变成 cosine， cosine 如果变的话，就是变成 cosine， 那 不变就是不变，这没什么好说的，而 tangent 和 cotant 就是 另外一对了。 所以你看，哪怕你不理解，只要你学会解析的手法，照样得高分儿。当然，我希望大家还是在理解的基础上往下去学好，那我们再来说呢，后半句儿，什么叫符号儿？这个就是正负号儿。 所以到底我是取正号还是负号，这得看所处于的象限，比如说这叫第一，这叫第二，这叫第三，这叫第四，这就是所谓的四个象限。好，字面含义咱先说到这， 接下来往下看。刚刚六大公式，我们现在就拿它当做例题，包括一会也会给出母题，这个又是教材当中的例题，通通都会给大家讲清楚。好，那我们看左边啦，这是阿尔法加二 k 派，请同学们开始跟欢老师应用口诀。 首先在这里边找到二分之派，而它是多少倍？你看啊，这阿尔法是你要研究的对象，它可不是二分之派，显然是波浪线。二 k 派，它就相当于二分之派乘以四 k， 所以显然当 k 是 整数的情况下，这四 k 妥妥是偶数。因此，按照刚刚说，偶不变，那它现在的个名字就不变。所以你看，散也依然是散也，名字没有改变，即变，偶不变，用完了 好换颜色。再说符号看象限，你说我到底是等于正的还是负的呢？当然有同学眼神可好了呢，说，你这前面没写符号呀，是正的，那你得告诉我，我这个正的是咋来的？我教你啊，你一定要把这个 alpha 看成锐角， 那么请问二 k 派加上一个锐角是位于第几象限？你想这是圆，这个呢？是起始的边，那么你想，你转二派，这是一圈，你转四派也是到这，所以你会发现， 如果是二 k 派的话，它永永远远中间都是在这。咱之前不是讲过象限角轴线角吗？这个就属于在 x 轴，正半轴的轴线角。 好，在这二 k pad 的 基础上，再叠加一个锐角，阿尔法是不是就位于第一象限？好嘞，拿出黑色笔，这整个前面一坨哦， 它是位于第一象限，然后你只需要思考一件事情，就是对于原来的这个名字，不能看改名之后的， 因为你研究的对象，请大家记住，你要从一而终。我们研究的一直是前面，所以你研究的是这个在阿尔法是锐角的情况下，这个整体在第一象限的情况下，当然是它的曲值喽，是正值负值。 哎，散引在第一象限是正值，因此后面就是正号。好，即便不变符号，看象限，你听懂之后，欢老师要恭喜你，表面上看 个个公式都是背的，但是你发现用咱们这个口诀个顶个的都能够说出个理来。这老大说完，咱拿老四试一试好不好？先寻找二分之派，那我明显看到这个是一个整整提起的派，它是二分之派的二倍，所以这是基数，偶数呀， 偶数，所以偶不变，散也依然是那个散也。其次，再来告诉我这个是第几项线，你想，如果这是一个单位，元 pi 一 百八十度，就应该是在这个位置上，所以在这个位置上减掉一个锐角 alpha， 那 么它应该是落在第二象限， 而第二象限对于散影而言，它也是正的。因为我给大家在上个视频当中讲过，我这散影看的是 y 诶， cos 影是看 x， 所以 说它现在是在第二象限， y 值显然是正的区域，所以呢，它这块就是一个正号。 好，有人现在大约明白了，这是第二遍用口诀了，然后，但还不过瘾，毕竟这也是正好，这时候正好我还没见到符号呢，这样，老五老六这不搁这等着呢吗？我特意啊，给大家找一个未来会有符号的情形来讲来看这个， 他是贪婪的二分之派加阿尔法，请问这里边有没有二分之派的倍数呀？哎，就是在这里，他显然是二分之派的一倍，所以说就是积， 那么基是要变化的。有的人说，这我不认识，哎，其实 tangent 分 之一就是我刚刚提到过的，如果您这 tangent 要变，这就是它变化之后的名字，叫做 cotangent， 所以 说呢，现在是要变的，对吧？那么就变成了这个样子。其次，我们再来看这个中括号，它是第几相线？二分之派是九十度，九十度，再加一个锐角，这是第二相线。好，第二相线的 tangent 指是什么样？ 首先 find 呢？相当于 find 比上 cosine， y 比上 x， 所以 在第二项线 y 是 正的，而 x 是 负的， find 就是 负的，所以第二项线 find 的是负的，那么后边这个地儿就是有一个符号在的。好，现在在课本当中六大公式， 第一对，第二对，第三对，我都给大家举个例子，举了仨例子，你像第一对呢，它其实研究的这是要么你给我加二 kpi， 要么你就什么都不需要加。 而第二对，你要不然就是跟派派加某某，要不然就是派减某某，跟派有关。第三对就是二分之派减，或者是二分之派加跟二分之派有关。所以基本上到现在为止，这个口诀你是要会用的。可是 我想问在座所有看到此刻视频的人，为什么鸡就会变化？那怎么就不能鸡不变，偶变呢？ 为什么呢？我先解决第一个问题，其实诱导公式啊，他有一个非常大的贡献，如果你在生活当中听过这样一个物件叫做放大镜，那么诱导公式就是一个放小镜， 缩小镜怎么着呢？因为我们以前在学角的时候，石化角你放到一个三角形当中，这个角都是满肉眼可见的，很好研究的角度比较小的角。 可是在我之前的视频当中，任意角，自从学了这个概念之后，你会发现蚂蚁把它放在直角坐标系的话，这个边给它锁定，那你这个边开始转，你想这个角倒是很小，你转转转转转转转转转转，你比如说你转到这这个角是不是会很大？那你要是转到这，这个角，哦，这么大， 那甚至他还可以套圈，哎，一圈，两圈，三圈，所以你可能听到的不仅仅是三百六十度了，可能是三千六百度，五千八百度，所以这些特别大的角，请问在数学当中，尤其到了越来越尖深的数学，那那个领域会不会涉及到对他们的研究呢？那必然的， 毫无疑问的，所以我们必须要找一个放小镜，把这些非常庞大的角给这画成小可爱，咋着呢？你看教材也说了呀，我们可以把通通任意角，马踏特别大，也画成锐角来进行研究， 所以诱导公式，诱导公式就是聪明的，我们把咱们思考的结论凝结成一对小口诀，就给它整完了。那我们再来拿母题和教材上的题给大家来说道说道。你看教材当中呢，它就有引导 这四种情况。所以你看二四年河北区的期末题，就考了类似于教材当中的括号一第一问，而在二五年房山区的期中，他考到的，这就像教材当中的第三问，你看这有符号， 所以我为什么会重视让孩子们不管是在平时考试还是高考都要回归教材，是因为确确实实他也是考试会进行参考的。好，那我们现在就在这给大家讲解这道题目。 请看他现在问我， cosine 五百一十度，我们做一个小学数学题，这五百一它等于三百六加上一百五，但这一百五好像也不是锐角，不足够小，你就再把它写成九十加上六十，所以整个上面呢？那这是二派， 这又是再加一个二分之一派，整体就是二分之五派。二分之五派加上六十度，显然这是二分之派的五倍，它是积， 那么就要变，所以这 cosine 的 名字就要变成 sine。 好， 那 sine 六十度。随后看黑色笔，到底这前边儿是正号还是负号？我们就这样来想了， 看你这二分之五 pi 相当于是在二 pi 的 基础上又转了九十度，它已经位于 y 轴的正半轴了，在此基础上再加一个六十度这样的锐角，显然它是位于第二象限，而第二象限的 cosine 值是负的，所以一定要在这加上负号才行。 三引，六十度是二分之根号三吗？那这就是负二分之根号三，大家选择三号 c， 明白了不？如果还想要多训练的话，我在旁边把咱们教材上的看 括号一问，括号二问留在这里了，大家多多训练。好，那我们来看下一个题，这道题他问的是贪近的负三分之十三派一样的，刚才是度数，这回换成了所谓的多少多少派。 看啊，也是，咱要把它先用小学数学题化大为小。不过在此之前，请大家注意它这有一个符号，你看教材当中是怎么弄的，看一看这个符号是否能拿到前边来。这事啊，就不得不调用咱之前函数讲解的奇偶性了。 在下个视频当中，我就会正式告诉大家，贪镜的的图像长成什么样。现在啊，咱先聚个透，你先用着话说，贪镜的再长成这样一打眼，这明显是关于原点对称的 奇函数，所以奇函数符号是拿的出来的，咱们就把它写到前面去，弹进它里边，先照抄 三分之十三派。好，接下来这三分之十三，请大家思考，能把它怎么样化大为小呢？ 我在想啊，这三分之十三可以写成是三分之十二，再加上三分之派，而这三分之十二显然就是三四一十二四派嘛， 因此它就是二分之派的偶数倍，偶不变。所以你这是贪镜的，你现在要照抄，仍然是贪镜的，别忘了，刚刚这个符号也是咱们照抄的一趴，所以我们就都写好好， 后面三分之派在这也是照抄。最后我们用换一个蓝颜色来定符号，正所谓符号开象限，我就问大家这是第几象限？你想呀， 三分之十二派，这四派相当于是足足转了两圈，他又回到了 x 轴正半轴，在此基础上，你加个三分之派，这不显然是第一项线，那第一项线不管散印扣散印碳金的，扣碳金的任何的那常见三角函数值都是正的。所以既然是正的话，那咱前面什么也不用填， 你填你也是相当性的写一个正号，所以最终结果就是负的碳金的三分之派，我再次强调，不要眼花哦，这个负号是刚刚聊积函数落下来的， 不是符号看相线诱导公式来的，所以最终结果咱要拎得清。好，那出结果三分之派就是六十度摊进六十度是根号三，所以这负根号三，大家选择四号 d 结束战斗。 怎么样？诱导公式找到感觉了吧？但这个视频真正的高潮才刚刚来临。一方面，我要给你把刚刚的解析步骤进一步的 规范化，让大家清晰明了为啥说数学能训练逻辑感就是这么来的。再来，我还给你做一个拓展，与此同时，这个拓展在这里边我就要给大家讲讲，即变偶不变符号看象限，到底为什么即变偶就不变？这事终极如何来解读。 好，我们先来看第一步，面临有符号的情况，我会先通过奇偶性，那如果是奇函数，这个符号直接就没有了。第二步，大化小。 还记得我刚才放小镜的那个解释吗？大角画小角，可有的时候，如果这个角你画完之后还是一个钝角呢？什么一百二十度，一百五十度，还是需要大家进一步画成锐角的，所以有的题可能会涉及到小画锐，最后我们锐就可以求值了。好，随后呢 两个升级，这个升级要注意听喽，你再好好的感受一下三角函数到底是怎么个事。有两种常见的情况，一种是这两个角互余， 也就是说它俩相加等于九十度。还有一个是说这两个角互补，指的是这两角相加等于一百八十度。好，那这个互余和互补对于三角函数而言，有哪些中间结论呢？我先给大家说说上边啦， 互余的情况。你看呀，这阿尔法和 beta 如果是相加九十度互余长成这样，那么这个 sine alpha 值是不是对边 x 边比上斜边 l 边？而站在 bet 这个角，它的视角下，它的 cosine 值倒也是这个情况。你想 cosine 值是邻边比斜边，那不也是 x 比上 l 吗？所以让中间桥梁牵线搭桥，它俩也就建立起来了相等关系。因此，互余的两个角， cosine 值和 cosine 值相等。 可是咱今天的主角是诱导公式，来看看方法二，咱再从诱导公式的角度能否得出呢？你看，我就在想，你这散引阿尔法，你说它俩是互余，那这阿尔法角不就相当于是九十度减去背它？好嘞，那你现在看，这如果用积变偶不变，这是积，所以说它是要变的。 好，变完之后呢，贝特照抄，咱们再来想，这是第几相线？这很明显，九十度减去一个锐角是第一相线。第一相线谁的三角函数值，那都是正的。 这个正好我就不写喽，所以他就会得出跟刚刚一模一样的结论，三 l 法等于 cosine b， 三 l 法等于 cosine b。 你 看，发一发二来发一是数形结合的方法，发二是诱导公式。好，我陪着大家把这两个说道说道。你看这两角相加等一百八。 好，那我们先用法一给大家来说道说道。这里边我要做一条黑色的辅助线，啥意思呢？你别看现在这个 a 角，这个 b 角你互补关系能看出来， 但是我们在任意角做研究的时候，可都得是从 x 轴正半轴开始旋转。所以啊，我这 a 角将原封不动用这条红色的线，但是这个 b 角则要用这条线。我对应的是这个角， 这个应该很好证明，它有点像咱学物理当中的光学。你不觉得这特别像法线吗？所以这个黑色的角和这个 b 角是相等的。我也在这再写一遍 b， 它俩是互补关系。晓得啊，那咱们开始证明。首先你会发现，这 b 角的小黑点 和 a 角的小红点 y 值都是在 y 轴的正半轴，显然是相等的关系。而在 x 值上呢，你会发现它俩一个 x 值是正的，而另外一个 x 值刚好是负的，它俩是相反竖的关系。好， x 是 差一个负号。 那我为什么要提这个呢？因为 y 值就相当于是散引 x， 我 们在上个视频不说了吗？所以说，既然 y 值相等，因此这两个角散引值就会是相等，而 cos 值应该是由 x 来代替。 x 值刚刚说了差一个符号，所以呢，这个地儿 cos 在 a 应该是等于 cos 在 b 前面加一个符号。 这就是根据左侧 x 值 y 值得出来的结果。那如果我要用右侧诱导公式来得怎么来呢？也简单，你看这是 pi， 这是 pi 还是偶，偶偶就不变。所以我上面照抄的是散引，下面照抄的是 q 散引。 好，那到底这散引 b q 散引 b 前面添正号还是负号？我们来回答，这是第几项线 太减去一个锐角，分明是第二象限好，第二象限对于三一值而言是正的，可是对于 cosine 值而言是负的。所以最终结果出来了，你看，三 a 等于三 a b 刚才咋说了哦，三 a 确确实实应该是直接相等和三 a b， 那 cosine 呢？ cosine a 和 cosine p 应该是差一个符号，怎么样？这个地儿呢，我跟大家讲，它实在没什么难度，它最多就占一个，有点像绕口令绕的感觉，所以你不要被它绕糊涂， 一定要拎得清楚。如果说但凡有点小糊涂，没关系，这个视频咱们倒回去再听一遍就好了呀，欢老师一直在的哦，好，那我们现在回归那个刚才可爱的小喵头就是这里，给大家再说一说，为什么即变偶不变。 我先声明，这个地已经深入到对于数学的认知层面了，所以如果你听不懂或者不想听，都没有任何的问题，毕竟早已经刚刚把应试相关的所有内容都解决完毕了。好，我给大家掰扯掰扯 这事啊，本质上还要从单位圆里边那个任意角说起，你比如说这个紫色代表的是我当前基本款阿尔法角，请问你给他加个九十度，他跑哪去了？ 简单做一个垂直，这就是他加了九十度之后的模样，你看，这是阿尔法，这就是阿尔法，加了九十度，哎，这就是大大的样子。那你有没有想过这两个紫色点之间什么关系？ 有人说横坐标不相等，纵坐标不相等，这能什么关系啊？别着急，我给你做一条辅助线，你再想一想，根据我们初中学过的全等三角形，你没发现这两个三角形来 是全等的吗？所以 r 法角和 r 法角加了九十度之后， x 和 y 发生了对调，曾经的 x 值，现在是 y 值，曾经我的 y 值，你看，这个线段的长度就是它的来 这个线段的长度，所以说 x y 发生了对调，但正负号咱得单看啊。所以仅从长短来说， 加上个二分之派，也就是说相当于二分之派的基数倍，这种情况下，你的 x y 是 要互换的。所以还记得上个视频，包括刚刚我们都在说， x 值代表的是 cosine 值， y 值代表的是 cosine 值。你想您现在 x y 都已经互换了， cosine 值和 cosine 值这个名字是不是叫换？所以说这就是积变的体现。 如果你没有完完全全听清楚，我再给你说一个偶不变呗。你想二分之派乘以个偶，不说别的吧，让这个偶等于二，不就是完完整整的派吗？一百八十度，那就相当于是在这条边的基础上，哎，严成成这个样子，所以呢，他就会长成这个样子。好，那我们再来观察 这个阿尔法角和这个角之间是啥关系，你会发现，哎， x 的 长度还是 x 的 长度， y 的 长度还是 y 的 长度，也就是说，它的名字不变，塞依然是塞意， cosine 依然是 cosine。 所以呢，就是名字不变， 好，即变，偶不变。咱解释完了，那你再说这个符号，你符号肯定是得另看，符号看象限。所以数学说到底，以诱导公式为例，所谓能够把他学的自己心里边很有力量，做题的时候心不慌，那你就无非知道他是谁，如何对他进行解读， 他怎么来的，也就是说如何得出，以及他到哪去，他能解决什么问题。所以啊，你会发现，这哲学三问放在咱数学上是一模一样的。 希望孩子们以后对于你特别好奇的知识点都能搞搞清楚，从而赢得你理想的分数，那信心如果有了的话，关老师的数学课欢迎你。接下来再来听同角三角函数的基本关系式，你看我给大家把这些关系式从教材到我的整理到母题 全都弄好了，而且还有更难的，比如说各种三角函数的化简求值，这个地方法我写的可清楚，还有配套的题目，而等你遇到更难的题目，你会发现一个方法搞不定，还有第二个方法，两个搞不定，还有第三个方法。所以说应对各类的题就都不害怕了，拜拜同学们。

奇变偶不变，符号看象限。昨天讲的是正弦函数的诱导公式，今天讲余弦函数的诱导公式啊，方法到底是一样的？那这里呢？是余弦函数 y 等于 cosine x 在 零到二派之间的函数图像啊。然后异象限 啊，函数值 y 是 正的，二象限 y 是 负的，三象限 y 是 负的，四象限 y 是 正的啊。那么一二三四象限，它的函数值外分别是正负负正啊。然后还是那个道理，把尔法看成锐角， 把公式左边一定要转化成考塞引二分之派，注意，是二分之派乘 k 加尔法。然后就看这个 k 是 奇数还是偶数，奇就不变啊。奇数就是把考塞引变成塞引， 偶数考塞应依然是考塞应啊。然后看第一个考塞应，二分之派减 r， 不 就是二分之派乘一减 r。 考塞应，二分之派加 r， 不 就是考塞应二分之派乘一加 r 啊。然后你这个一是基数吧，基就要变老。哎，那这个考塞应先变成塞应， sin alpha， sin alpha 啊。哎，既变偶不变。接下来符号看象限，然后二分之派减 alpha， 二分之派减一个锐角，那不是一象限吗？一象限正的， 二分之派加 alpha， 二分之派加一个锐角。哎，那这不是二象限吗？二象限负的好，一二公式就减完了。看三四公式，考三引，派减 alpha， 不 就是考三引二分之派乘二减 alpha 吗？ cosine 派加 alpha， 不 就是 cosine 二分之派乘二加 alpha 吗？二是偶数，八偶不变。哦，那就把 cosine 照抄过来， cosine alpha， cosine alpha， 然后派减 alpha， 派在这了，派减一个锐角，这不是二项线吗？二项线负的哦。符号派加 alpha， 派在这了，派加一个锐角，那不是三项线吗？三项线负的哦，负的。 然后第五第六考三赢，二分之三派减 f， 不 就是考三赢？二分之派乘三减 f， 这个是二分之派乘三加 f 啊。然后三是基数吧，基就要变老，考三赢变三赢，三赢 f。 sim alpha， 然后找到二分之三派在这嘞，二分之三派减 alpha， 就是 二分之三派减一个锐角，那这不是三象限吗？负的。然后二分之三派加 alpha， 二分之三派加一个锐角，不就往这，这不四象限，四象限。正的。好正的 啊。第七第八考三英二派减二法，不就是考三英二分之派乘四减二法。考三英二派加二法，不就是考三英二分之派乘四加二法，是吧？四是偶数吧，偶不变。哦，偶不变，就把考三英照抄一下。考三英二法， 考三英二法。然后二派是个周角啊，二派在哪呢？找到二派在这呢，二派减二法就是二派减一个锐角，那不就这个这个位置。这不四项线正的。 那考三英二派加二法呢？考三英，二派加二法就是周角，再加一个锐角，就是这个。再往右移一个锐角，那不又是一项线，一项线正的，所以正的啊。这就是余弦函数的八个诱导公式。

对这个这块的话，其实考察的就是啥呢？对于算术的概念理解，还有一个诱导公式的一个理解， 就是这个给了中间上一点的坐标，然后他的什么来着？算值是什么呀？这个算算法的话是不就应该是一个 y b， r 的 一个形式？然后呢 cosine 算法呢，是不是就应该等于 x b r 的 形式？ 所以 cosine 的 话，现在 y y 是 y， y 是 四，所以他就应该是一个五分之四的一个东西吧， 对吧？然后这个 cosine 呢，是不就应该是一个五分之三？而且这个是勾股数常见的五分之三，五分之四，然后这块考虑九十度旋转法，说实话没有必要，你这真真是没有必要，你旋转它干啥？这玩意不就是一个基变无变符号？看相线 基数个二分之派，所以它就应该变成一个 cosine 了。 cosine 线，原来第几相线，第二相线，第二相线的 cosine 值为正，所以它得到的就是 cosine， 所以 直接就是一个五分之三，应该是一个选 a 的。

今天我们讲正切函数的八个诱导公式，这是 y 等于 tan 的 x， 也就是正切函数的零到二派的函数图像。 一象限函数值 y 是 正的啊，二象限函数值 y 负的，三象限函数值 y 正的。 四象线函数之 y 负的啊。你要把函数图像记住，起码记住零到二派的函数图像啊。然后还是那个道理，把阿尔法看成锐角啊，然后把公式左边一定要转化成探进它，二分之派。注意，是二分之派哦， 乘 k 加阿尔法的形式。接下来就是看这个 k 是 奇数还是偶数，如果是奇数，探进它便考探进它啊，如果是偶数啊，那就不变，探进它依然是探进它。 然后我们看第一个探进它，二分之派减二法，不就是二分之派乘一减二法探进它，二分之派加二法，不就是二分之派乘一加二法。 你这两个一是不是基数基就要变了哦，那么把碳进特变成烤碳进特阿尔法，烤碳进特阿尔法。然后我们看二分之派减一个锐角，二分之派在这呢，二分之派减一个锐角，这不是一象限吗？一象限是正的， 所以这两个，哎，所以这个是正的啊，然后二分之派加 alpha 啊，二分之派在这嘞，二分之派加一个锐角，哎，这不是二象限吗？二象限负的，所以这是负的。考。勘进它 alpha， 然后看第三第四啊，勘进它 pi 减 alpha， 不 就是二分之派乘二减 alpha 嘛，是吧？二二约掉以后不就是二分之派乘二加 alpha 嘛。 二是偶数既变，偶不变偶不变哦，那就把 tanthan 照抄照抄过来。 tanthan 阿尔法啊， tanthan 阿尔法啊，然后我们看派减阿尔法就是派，哎，这是派，派减一个锐角，哎，那这不是二象限吗？二象限负的。好，这是负的。 然后派加 r 法，派加 r 法就是派加一个锐角，派加一个锐角，这不是三象限吗？三象限是正的，哎，所以正的啊。然后看第五个，看见它二分之三派减 r， 就是 二分之派乘三减 r， 二分之三派加 r， 就是 二分之派乘三加 r， 三是基数，基就变了。那么把 tanthan 变成 kaotthanthan 阿尔法， kaotthanthan 阿尔法。然后二分之三 pi 减 alpha， 找到二分之三 pi 在 这嘞， 二分之三 pi 减 alpha， 就是 二分之三 pi 减一个锐角，哎，那这不是三象限吗？三象限是正的好，那你就是正的。然后二分之三 pi 加 alpha， 二分之三派加一个锐角，哎，那这不是四象限吗？四象限是负的哎，所以这是负的啊。然后探进它二派减二法，就是探进它二分之派乘四减二法，二派加二法，就是二分之派乘四加二法。四 是偶数，偶不变哦，哎，那么就把这个探进特照抄一下子，哎，探进特阿尔法，探进特 alpha， 然后我们看一下，二派减 alpha， 就是 二派减一个锐角，二派在这儿呢，减一个锐角，哎，这不是四象限吗？四象限负的哎，所以这是负的， 然后探进他二派加尔法，那就是周角。二派加一个锐角啊，就是二派向右移一个锐角，这不又移到一项线了，一项线是正的，哎，所以这是正的啊。然后所有公式的话，正好可以不用写啊，正好可以不用写好，这就是正切函数的八个诱导公式。

今天我们要继续开根三角函数的第三期，那这一期呢，我们就来到了三角函数的诱导公式。大名鼎鼎的诱导公式到底是怎么来的呢？它有多少种类型的诱导公式，以及它常考的题型有哪些呢？在这个视频里，我将给大家一一揭晓。接下来呢，我就给大家讲四大诱导公式，以及咱们的十字真言，七变，五变符号，看象线到底怎么使用？ 我们先来看用到公十一。用到公十一，其实在之前我们已经讲过了，你看 alpha 加上 r、 k， pi 是 不是就是在 alpha 的 基础上转了整数圈，它是不是中边相同啊？那中边相同与单位元的交点是不是没变过？也就是这个 p 点的 x， to 和 y 没变过，那它的 sine， cosine 和 tanning 的 值也依然没有变，所以用到公十一呢，符号都是相等的。 我们来看诱导公式二。诱导公式二是探讨负二法跟阿尔法之间的关系，那我们不妨呢画一个直角坐标系，再画一个单位圆在这个上面呢，把阿尔法和负阿尔法给它标出来。我们首先呢标一个阿尔法，如果这个是阿尔法的话，逆时针旋转是阿尔法，那我们顺时针转同样的角度就应该是负阿尔法。 好，现在我们来看它们所对应的 cosine 值， cosine 值和 tangent 值。如果我规定阿尔法所对应的这个中边呢，应该 焦点是 x 符号 y， 那 么这里所对应的就应该是 x 符号负 y。 好， 那这个呢？是 alpha 角，这个是负 alpha 角。 那接下来我们来看它三一至，三一至我们知道看的是什么？是它们的纵坐标，那在单位当中看的是纵坐标的话，很明显它们坐标会相反数，所以你看这里就有一个符号。那 cosine 看的是横坐标，很明显它们所对应的横坐标是相同的，所以呢， 这里是直接相等的关系。 tan 看的是 y 是 x， 它的 x 没变 y 或相反数，所以 tan 呢，也是多一个符号，非常好理解吧。好，那接下来我们看诱导公式三讨论的是什么？ 讨论的是在 alpha 的 基础上加上了二 k 加一个 pi， 这个大家可以看成什么？可以看成加上了个二 k pi， 再加一个 pi， 为什么呢？因为二 k pi 是 整数个圈，整数圈又回到原来的中间，所以就直接可以省略掉，那就相当于它在讨论 alpha 加 pi 和 alpha 之间的关系。那 alpha 加 pi 就是 逆时针转到这来， 转到这来，这个所对应的是 alpha， 加上二 k 加一个 pi。 好， 那我们看它所对应的这个点应该是什么？应该是负 x， 逗号，负 y。 好， 那我们来看它所对应的 sine， cosine 和 tanning， 那 很明显， alpha 加上二 k 加一个 pi 和 alpha 之间纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，对吧？所以 sine 和 cosine， 你 看它们之间都是有一个符号的，但是 tanning 呢，反而是正好了。 那我们看诱导公式四，诱导公式四呢，讲的就是 alpha 和 alpha 加上 alpha 之间的关系，那我们不妨再画一个 alpha 加上 alpha， 也就是转九十度，转九十度，转到这里来，那这个点的坐标应该是什么？这个点的坐标，你看它的横坐标的长度，是不是应该等于这个 alpha 所对应的纵坐标的长度？ 所以呢，它应该是负外，因为它在第二象限嘛，是负的。你看它纵坐标的长度，是不是应该等于 alpha 所对应的横坐标的长度啊？然后它们都是正的，所以是负外，逗号 x， 对 吧？好，那这个时候我们来看 sine 二分之 pi 加而法，那看的是纵坐标，也就是 x， 那 就对应的 alpha 的 横坐标，对吧？所以就等于 cosine alpha， 你 看 cosine 二分之 pi 加而法，要看这条中边的横坐标。横坐标是什么？是负外，那是不是对应的 alpha 的 三一指，也就是三牙法，而且还有多一个符号，所以是负三牙法，你看，然后三二分之拍减二法和 cos 二分之拍减二法，那这个怎么看呢？这个呢，我们可以把它想象成负二法，再加上二分之派，对吧？那负二法是这条中边，我们再给它逆时针旋转九十度， 那这个呢？就是二分之 pi 减 alpha， 二分之 pi 减 alpha， 它的坐标是什么呢？我们来看一下它的纵坐标是不是就应该是咱们这个 alpha 所对应的，是吧？横坐标，对不对？所以呢，它的纵坐标应该是 alpha 的 横坐标，我们看它的横坐标是不是 alpha 的 纵坐标，对吧？所以它所对应的中边所对应的焦点的坐标应该是 y 的 话 x， 好， 那这个时候三 y 二分之 pi 减而法，那看的是 y 值， y 值是 x 嘛？ x 所对应的就 cosine 法。 cosine 二分之 pi 减而法看的是横坐标，也就是 y， 所以 对应的是三 y 法， 你看是不是就很明显的做出来了？有同学说，这四大语文公式你讲清楚的是很容易，但是我初学我会觉得这一个公式让我去背诵和记忆太困难了，除了第一个转整数圈，我觉得很简单，那二三四有没有更巧妙的 记忆方法呢？我的回答是有的，我们只需要记住十个字，十个字是什么呢？记忆，变偶不变符号看象限。你要会使用这十个字，你后面的右脑公式呢？都不用去记忆，我们要记住怎么去使用这个记忆？变偶不变符号看象限啊。同样的，我还是给大家画一个单元出来 好。那现在奇变偶变符号看相线是什么意思呢？比如说，如果你在课本上看到一道题型是这样的，三 e、 r、 f 加上二分之三派，他问你这个式子怎么去化解？那这个式子怎么去化解呢？我们用奇变偶变符号看相线。什么叫奇，什么叫偶呢？我们所谓的奇偶啊，看的是这块 二分之 k 派前面的这个 k， 那 这道题呢，是二分之三派三是一个什么基数？基变，基变怎么变呢？如果这个 k 是 基数， 那就 sine 变成 cosine， cosine 变成 sine， 如果是偶数，那该是啥就是啥，不变。好，那我们看一下， if 加上二分之三派三是基数，所以这玩意应该是一个什么？ 应该是一个 cosine 法，那到底是正的 cosine 法还是负的 cosine 法呢？哦，后面五个字回答了，符号看象限，怎么看象限呢？在用这十个字的时候，一定要记住，咱这个 alpha 一定规定为第一象限角。不管怎么样，你用这十个字的时候， alpha 就 必须是第一象限角。 好，假如说在第一象限有一个 alpha， 有 一个 alpha 呢？再加上二分之三派，是不是就转了一百八十度，再转九十度，好转了一百八十度，然后再转九十度， 那这个边呢，就是 alpha 加上二分之三派，然后我们要看的是符号，看象限，看什么象限呢？看原来的 三角函数，原来三角函数咱们是不是 sine 啊，对吧？那我们看这个 sine， 这个中边所对应的三应该是什么？因为它在第四象限三角看的是 y 值，第四象限的 y 应该是什么？是负的，所以最后是 不同 cosine 法，这个方法你只要学会了，所有的语法公式都不用去记了，记住这几点，第一个稀变无变的奇偶看的是 alpha 加上二分之多少 pi， 上面的这个 k 的 奇偶性，如果你是 alpha 加上 pi， 你 就把它写成二 pi， 二就是偶数嘛，然后怎么变呢？ cosine cosine cosine 变 cosine， 那 alpha 是 什么呢？在用这十个字的时候，一定是第一象限角，然后符号看象限，看的是什么？看的是原来的这个三角函数，那你就要看三引，就看这条函数线所对应的象限，你看看 y 值， cosine 呢？就看 x 的 值。好， 学会这个之后啊，大家不妨去练一练。如果呢是 cosine alpha 减二分之三排，那最后化简应该是多少呢？ 学会的同学可以尝试一下，然后在评论区给出答案。那接下来我们就要看这个诱导公式啊，怎么去使用？我们先来看诱导公式的简单应用，先给了一个三列尔法加 cosine， 比上三列尔法减 cosine 等于二分之一，然后问 tanine 尔法加 pi 等于多少 好看？ tan e alpha 加 pi， 又要使用这个式子了，对不对？我们可以把它拆成 sine alpha 加 pi， cosine alpha 加 pi， 那 这个怎么使用呢？不妨还是画一个单位圆出来 好， alpha 在 第一象限， alpha 加 pi 应该在这儿。 sin alpha 加派，我们说加派，就看成什么加上二分之二派，那二是什么？二是偶数啊，积变不变。所以上面是 sine alpha， 下面是 cos alpha 符号看象限，我们看一下 alpha 加派原来的三影，原来三影这个三影值应该是负的，那这个的 cos alpha 值呢？还是负的，所以最后呢，它就等于什么 sine alpha？ 好，那我们也就是说要求 tan 的 值是多少？然后我们根据前面这个式子，前面这个式子很简单，也就是两倍的三角法加上两倍的 cosine 法，等于 cosine 法减 cosine 法，交叉相乘嘛，所以就是 cosine 法等于负三倍的 cosine 法。那我们除一下，那就是 tanine 等于负三。这道题啊， 选 a 就 出来了。好，那接下来我们来看题型，题型呢，就是互余型，互补型的互化，求值啊，我们来看一看，何为互余型，互补型？我们看啊，现在三 in alpha 加上十二分之派等于负三为零。 cosine 十二分之五派减 r 法的值，问是多少？ 那有的同学说，这个 alpha 加十二分之派不好算呀，十二分之五派减 r 法，根本看不出来就是式子，怎么算？又不是一个特殊的角，对吧？那这里呢，你要看一看它给的这两个角之间有什么关系， 一个是 alpha 加上十二分之派，一个是十二分之五派减 alpha， 如果把这个角设为大 a， 这个角设为大 b， 你 会发现这个 a 加 b 应该等于什么二分之派啊？所以这道题我可以把它简化一下。 sine 大 a 等于负三分之一， 然后问 cosine 大 b 是 多少？ cosine 大 b 是 不是就等于 cosine 二分之派减大 a 啊？那这个不就是咱们刚刚学的十字正言七变五变符号看相线的使用吗？那我们来画一个，只要坐标系和单位元。 好，那这个是打 a， 二分之派减 a， 二分之派减 a 怎么画呢？我们可以先把负 a 画出来，然后再加上二分之派，就是给它逆时针转九十度， 这个就是二分之派减 a。 好， 画完了之后呢？有同学这个时候提出疑问，老师啊，这个三 e a 等于负三分之一，你这个 a 怎么画到第一项线了？那你要记住，刚刚我在讲，即便我变符号开相线的时候，我是不是说过这个，如果你要用十字正弦，一定要把 这个角度给我画的第一项线，哪怕他前面给了一些条件说这个三 a 等于负三分之一，你也要画到第一项线，哪怕他说这个 a 就是 第二项尖角，你也得给我画到第一项线。就是用这十个字的时候，就要假装它是第一项尖角，大家记住这个规律就好。好， 那这个时候我们来看一下 cos 二分之派减 a， 那 cos 二分之派减 a 二分之一派吗？肯定是积变了，所以我们变成了三 a， 那 我们看到底是正的三 a 还是负的三 a 呢？二分之派减 a 是 蓝色的这条边，然后 cos 它原来的 cos 呢？就是 你想写很明显是正的，所以它应该是正的三 a， 对 吧？好，那它等于正的三 a， 那 就等于负三分之一啊，所以这道题就是二 b 就 直接做出来了。 好，我们来看题型吧，同角三角函数与诱导公式的综合。现在说三倍的三倍加上三倍，它等于根号十，且而法加倍等于二分之三派，问，咱们三而法等于多少？好，那这个式子呢，我们不妨把它拆成三倍的三而法加上三 二分之三派减 r 法，用把被套换掉吧，根据这个式子，然后等于根号十，那这个三二分之三派减 r 法很明显要用什么？既变不变符号看象限，那我们还是老规矩，画一个单位圆出来， 那现在呢？还是假装 r 法呢？是第一象限角沃尔法就在这儿，沃尔法加上二分之三派，也就是转了一百八十度，再继续逆时针 转九十度。好，所以这条边呢，应该是二分之三派减而法。那基变，我们变，这个三基是不是变了，所以就变成 cosine 法，那到底是正的还是负的呢？符号看象限，看原来的这条线，这条线所对应的 sign 值 不应该是负的，所以它是负的。 cosine 法，好，那也就是这个题目变成了三倍的 cosine 法减去 cosine 法等于根号十，对吧？好，那现在我们要解什么 cosine 法的值，大家看一看，这个就是什么东西啊，这个是不是我之前给大家说过的两个最重要的基础公式，平方关系，商数关系，这个时候就派上用场，因为我们还知道什么 cosine 法，是不是又等于三倍的 cosine 法减根号十，所以我们把它带进去，就是 cosine 法方 加上三倍的三 f 减根号十的平方等于一，那不妨把这个三 f 分 成一个 t， 方便大家去书写。所以呢，就是 t 方加上一个九， t 方减去六倍根号十 t， 然后加上一个 十等于一。好，那现在呢，就是十， t 方减去六倍，根号十加九等于零啊，直接就用乘公式吧。那所以 t 等于六倍，根号十。这幅钢化下， b 方 b 方应该是 三百六，减去四乘十乘九，刚好没有了二 a 二十，所以呢，是十分之三倍根号十，也就是咱们这个三的值。好，这道题就做出来了。

同学们好，我们从今天开始就进入到三角函数的学习。 呃，我们基础特别基础的就不讲了啊，我们直接讲这关键的点，第一个重要的知识点叫诱导公式啊，我们通过这一道题把这诱导公式复习一下。诱导公式 这有十个字，大家学校都听过，叫积变偶不变，符号看象限啊。来，我们来解释一下它怎么用，好好听啊，什么叫积变偶不变，符号看象限呢？看第一个，比如说看这个分子的啊，它是 cosine。 二派解 r 法， 看能诱导成什么呢？即变不变就是指这个货看画圈的这个货是二分之，注意是二分之派的多少倍， 明白了没？是二分之派的多少倍，如果是偶数倍就不变，不便是指前面这个函数的名称不变。 哎，如果是激素倍就要变，变就余弦变成正弦，正弦变成余弦嘛，就这么点事。看本题，二派是二分之派，多少倍？是不四倍？四倍是偶数，偶不变，答案就直接是可算引。而 第一句话就用完了啊，当然没完，第一句话用完了，还有第二句话叫符号看向线。就像就要看一下二派解 r 法在几向线啊，这个 r 法无论是多大，视为锐角。我们想想二派在哪里啊？二派哦， 画一下坐标，走二派，这是二派解 r 法，往回解在四向线，这是正的。所以考赛二派解 r 法就完了啊。我们再看一个，比如说 分子 sine， 派加而法。同学们再看，即变而不变，变不变啊，当然这个是不变，因为派是二分之派的偶数倍，所以说答案就是 sine 而法。 然后符号看像写派加而发在几项写派加而发，派在这里加而发往下一点，三项写正邪是负的，所以是负的。散养而发这个分子，哎，这个分子就完成了。第一部分是可加而发，第二部分是负的散养而发啊，这不是这一个导公式。然后再看分母， 熟悉了散二派加而法是什么？注意这个变了吧。二分之派，什么二分之派本身的一倍啊，一是激素肌变散，二分之派加而法就变成了可散而法。 符号看一下，系二分之派加而派的二项系二项系。注意看原来的关节点，看原来的啊，二项线原来正弦是正的，所以答案就是可在而法就行了。然后看见的三派减而法，看看七变五变三派二分之派的六倍 偶数不变。还是贪心的耳法符号看象限，看三派解耳法在哪里？三派二派三派在这里。解耳法。注意，解耳法是往回 二象限去了，二象限正切是负的，所以这样应该是负的。贪心的耳法，哎，这个式子就是这样，化解完这个 诱导公式，弄完以后就是这个火，然后该约分约掉，上面可塞而发，下面可塞而发约掉以后上面负塞而发，下面负弹的。把两个符号也干掉，是不就是塞而发，除弹劲的而发了弹劲的而发。有口诀经常用的叫切化弦， 哎，塞而发，除弹劲的而发，除以弹劲的而发，塞以除口搬上去，这是可塞耳发 以上塞耳法以塞耳法又约了，化解完了是不就是考塞耳法了。原题， f 二 f 二八化解完了，是这个了吗？剩下的 f 三分之四派带进去呗。就是相当于求考塞三分之四派吗？嗯，特殊角的三角函数值，记住就行了啊。 考塞三分之四派，看到啊，变成了派加三分之派了吧， 然后把这个三分之派你当做那个 r 法吧。还是 cosine 派加 r 法诱导一下是不？ cosine 三分之派正的，负的，负的，因为派加三分之派 在三项线， y 线是负的负， cosine 负三分之派，你当然是负的二分之一了，所以这一文就做出来了， 这就是诱导公式那十个字的解析叫即变偶变符号。看相切是什么意思啊？本质是这个意思，如果你把这句话这深刻理解了，你放心，诱导公式的题你肯定做不错的啊。好，这就是这个诱导公式 最基础的应用。接下来我们看一看他的复杂的应用啊，他说 f r f 加六分之差等于四分之一，问这么一，这个和这个的值。记住，这种题它的考点并不是直接应用诱导公式，而是什么呢？而是你要观察一下他问的，不要上来就把这个带进去算啊，那一般 会上当的，或者是那个角不是特殊角，你算不出来啊。首先，遇到这种心该怎么办？朋友们想一想啊，研究一下，你切记，一定是研究什么呢？研究问的这个，这不考在六分之二角方吗？角度啊，和给的这个 有什么关系？直接，哎，这样你就一下就做出来了。看到啊，我们有第一问，是不是 f r 发诱导完了，他说 cosine 吗？他说 f r 发加六分之派是四分之一，是不？相当于这个题是 cosine r 发加六分之派 等于四分之一，这个是四分之一。问你考赛呀，六分之五派减二怕等于多少呢？ 刚怎么讲的，一定不能上来就搞啊。你先看一下考试要先看一下这个角和这个角是什么关系。懂了，没什么关系啊，要是熟悉的一看就能看出来。这个加这个不是派吗？仔细瞅，六分之五派哦，背口诀可以 叫两脚互补，鱼玄互为相反数，答案就是负四分之一，就这么简单就完事了啊。但是这是最 做的，熟了以后你可以背，如果不熟的话怎么办呢？他的统一的做法啊，就是把要求的记住要求的把。这个货呢，用椅子的这个货表示一定是这个样子的啊。我得把这个写一下，不要求可算要六分之五块 解 r 分 吗？高一的学生应该现在正好学到这里啊。考三六分之五派解 r， 注意是把要求的用已知的表示，怎么表示那就看你自个了，注意名称不变。考三就是这里头一定是 r 加六分之派， 用 r 加六分之派表示六分之派解五六分之五派解 r， 能理解吧。那怎么表示？那肯定是你想了派解吗？用派解去，这个货不就是这个货吗？然后我们跟前面诱导公式，可在派解这个货诱导 即变无变。佛法项下不就是靠塞引而发加六分之派吗？正的，负的，注意负的。为什么派解这个当做锐角吗？刚刚说过派解这个货是不是二项线，一线是负的，所以你看互为相反数，最大是负四问题就行了。哎，总题都是这么做啊， 要先观察他两个脚之间是什么关系，就是快速的脑作什么关系，如果不熟悉，记住他的本质就是把要求的这个用一直的表示就可以了，记住那不是互鱼就是互补，要不就加二分之二减二分之二就写那些东西啊。 好，这个是负四分之一，然后再看 cosine 方三分之派减而法。注意， cosine 三分之派减而法的平方。哦， 那我有两个思路往后学，学了二个角会有一个口诀叫遇平方降密啊，但是你也别先别着急，说是一定要降密，大概率要降密，但是本题而言更特殊， 三分之派减而法，你看跟已知给的给的不是相当于可算呀。而法加六分之派吗？ 我那话说什么来着，你做题之前一定要先观察仔细观察这个角和这个角互什么互余是不是？哎？互余那是什么关系？角互余是不正余弦相的啊啊，基础知识要知道的，角互余正余弦相的，比如说上引三十度就等于考在六十度吧，是不是？哎， 那么考赛尔法加六分之派知道？我是不一定能知道赛赢三分之派减法相等吗？太好了，这不是四分之一吗？ 赛尔三分之派减法四分之一。让你求考赛尔法减法的平方，那你还不回平方和等于一吗？所以它答案就是四分之根号十五 对正负都不用管，因为他是平方你就完事了，就这么简单。因此总结一下，遇到这种题就一定要先观察这个角度之间有什么关系没有，懂了吧。哎， 如果你观察不出来怎么去想呢？就把要求的用已知的去表示，懂了吗？如果还不行，那就得用域平方降密，然后配凑什么二百角公式成了另一坨了啊，那一般都相对来说已经是中等偏上的题了，但如果是 中等的题，一般观察角度加诱导公式就够用了啊。好，这是第十八题，我们好好去想一下。这种题啊，还是挺爱考的，尤其期中考试啊，应该是必考的，叫 考诱导公式和二角角公式的结合。好，这道题我们就讲到这里。

谁说三角函数难，都在一个单位员诱导公式有六个，一半都在转圈圈，剩下一半做翻转诱导一，转整圈诱导二，转半圈诱导六，半半圈诱导三，竖着翻诱导四，横着翻诱导五， 斜着翻。咱们先来转圈圈，加二 k 派转整圈，因为二派是周期，所以谁都不用变，加一个派转半圈，正弦与弦都变号，只有正切不用变。加 半个派半半圈转完正弦变余弦，余弦变成负正弦。然后咱们做翻转，竖着翻用零减，翻完余弦不用变，横着翻用派减，翻完正弦不用变，最后一个斜着翻都用二分之派减正弦，翻完是余弦，余弦翻完是正弦。我是杜明老师，关注我，你真棒。

五十二天带你速通中职数学，今天讲的是三角函数的诱导公式。同学们好，我是你隔壁薛慧慧的小红，那今天呢，我们来学习到比较重要的一个知识点，也就是诱导公式的应用。 那对于诱导公式呢，我们肯定要记住的东西就是既变偶不变，符号看象限这个口诀，而这个必备的这个组呢？你只要记住这个口诀以及这个象限符号，那么这个必备的 这一堆公式我们就完全可以去掌握啊，对不对？那该怎么用呢？老师给你们解释一下。比如说对于第一个公式而言，它是等于 sine， 负而法是等于负的 sine 而法的， 那么即便偶不变，那么即便偶不变，指的是什么？指的是二分之派的倍数啊， 比如说这个倍数如果是基数，那么你就要变，如果它的倍数是偶数，那么就不变。那符号看象限呢？比如说看原来角的大小，原来角的大小， 那么你要视作阿尔法为一个锐角啊。 好，理解了这些东西，我们接下来看一下这个公式是怎么来的。那么对于三一负而法等于负的三而法二分之派，是不是这里面没有二分之派啊？ 其实也就是说这个二分之派啊，是乘以零的，所以说它是等于零，对不对？乘以零的话，它是一个偶数啊，记住 零是一个偶数，然后再去减去 r 法，那你观察一下这个整体和我这个画圈的整体是不是一样的大小啊，对不对？所以说 sine 二分之二乘以零减去 r 法，就是等于，由于它是偶数，所以说就不变，所以说它还是 sine， 那么它还是塞应呢？接下来我们要看象限符号，那么由于它是一个负的阿尔法，那我们这里再补充一个知识点。第三点，又说正立 负顺，什么意思？如果是你是一个正角，那我就逆着时针转，那如果你是一个负角的话，我就顺着时针转就可以了。那么接下来看一下，由于阿尔法是一个锐角啊，它一定是一个小于九十度角，那么我是不是向 时针的顺时针方向旋转一个阿尔法的角度，对不对？那接下来我们看到第二点，这个图里面，那以 x 的 正半轴我们开始转，那么转动一个锐角，由于它是负的，所以说我要顺时针旋转一个锐角，那旋转到这儿 是不是一个阿尔法？那你会发现它是不是符号是为负的呀？在这个象限里面，所以说它前面就要加一个符号，阿尔法写下来就行了， 那么这就是第一个公式的来源，那么听的比较模糊的，我们接下来再来听一个公式该怎么来的？ 好，接下来我们来讲一下这个公式， sine 二分之 pi 减去 r 法是等于 cosine r 法的， 那由于这个二分之派是有的，对不对？我们接下来它的倍数是不是一乘以二分之派减去一个 r 法呀？对不对？所以说这个一呢，是不是一个奇数啊？对不对？奇数的话，是不是根据口诀就要变，那要变的话，你原本是 si， 我 就可以变成 cosine 了，那么 cosine 写在这儿， 那么即便我不愿意搞定了，我们接下来看符号看下线。那么符号看下线的话，接下来我们先看三 e r 法，因为它本来是三 e r 法，对不对？那三 e r 法的图像，你观察一下角度，它本来是二分之二，二分之二是不是这个 y 轴的正半轴啊？那么减去一个 r 法，比如说以它的正半轴减去一个 r 法，是不是顺时针旋转一个锐角啊？也是旋转到这儿，这是一个负的 r 法，对不对？减去一个 r 法，又到了这儿了， 到这上你会发现他是不是在第一项线内，那第一项线呢？就应该是一个正号啊，所以说前面呢，就是一个正号 r 吧，继续写下来就行了， 所以说这就是即变偶变的应用啊。所以说你如果记住了公式口诀的应用，以及第二点的这个图像，比如说他原本是 size 的 时候，我就根据 size 的 图像来看，那原本如果是 cosine 的 时候，你就根据 cosine 的 图像来看，那主要还要区分这个括号里面角度的大小，对不对？如果他是一个 正角的话，那么就应该逆着时针转，如果是一个负角的话，就是顺着时针转就可以了。 好，接下来我们看第一题来应用一下，比如说它是 sine pi 减去 r 法，那么 sine pi 的 话，是不是可以拆成二分之 pi 乘以二啊？比如说二乘以二分之 pi 减去 r 法， sine， 对 不对？那么它这里是不是一个偶数啊，对不对？偶数的话，是不是也就是说它不变呀？ 不变，所以说它还是一个 sine， 又是等于 sine 的 多少？那么接下来我们要去看它一个角度是在哪个象限的，对不对？ 那么 pi 的 话，是不是指的 x 的 负半轴这边是 pi 啊，对不对？它减去一个 r， 反减去一个锐角，对不对？比如说它要顺着时针旋转，一个锐角的大小，比如说我们往上转，对不对？我们要顺着时针旋转，又是旋转到这儿， 这里就应该是 pi 减去一个 r 法，那么很显然，在这个象限内，这个是不是一个取正值啊？那么取正值的话，前面就是正号，那么 r 法写下来， 所以说它整体呢？ sin pi 减去 r 法其实就是等于 sin r 法的，比如说题目里面， sin r 法就应该是等于负的三分之二的。好，接下来看第二题，那第二题呢？这么大的角，我怎么该去转呢？是不是很多同学迷惑了，对不对？ 那么怎么去转？我们是不是前面学习到了同角三角形的函数值是一样的，对不对？所以说我们先把它画小，画成九十度以内的再看呗，对不对？比如说 sine 八百一十度，是不是根据 多少个三百六十度，把它拆成一个比较小的度数，对不对？有时可以拆成 sine 七百二十度加上九十度啊，对不对？ 然后再减去 cosine 这个负的九百度，是不是可以写成负的幺零八零度，然后再加上一百八十度啊？ 然后再加上 ten 减五百四十度，是不是可以拆成三百六十度加上一百八十度啊， 对不对？然后化减下来呢？其实就是等于 sine 九十度，再减去 cosine 一 百八十度，然后再加上 tangent 一 百八十度。 那么这后面两项呢？你可以用既变偶变的口诀把它猜一下。比如说 tangent 一 百八十度，可以写成 sine 一 百八十度， 出一个 cosine 一 百八十度，那你分别去用口诀猜一下也行。当然我记住了，特殊角的三角函数值直接代入，其实也就是等于一，加上一减去零也是等于二的，所以说答案呢，就是二，所以说备注了那个三角函数值，直接用就可以了啊。 好，接下来看第三题。那第三题的话告诉我，三以三百九十度加上 cosine 二分之五 pi， 再乘以一个 tan 减一百三十五度。 那么首先思路呢，肯定是把它们角度画小，那么三引三百九十度是不是可以等于三引三百六十度加上三十度啊，对不对？那 cosine 二分之五派，那你可以猜成 cosine 二派加上二分之派。 好，再来 ten 减一百三十五度，那一百三十五度可以直接背出来的啊，它呢，应该是等于负一的。那么前面呢，既变五变，你可以直接用，当然你也可以直接同样三角形，直接也就是等于三一三十度，再加上 cosine 二分之派就可以了， 再乘以一个负一，那最后答案呢，也是等于二分之一，再加上零，再乘以一个负一，其实答案就是二分之一的啊，所以说最后答案就是二分之一。

hello， 大家好，我们今天来看三角函数的诱导公式，有的同学可能会觉得诱导公式的东西太多了，然后特别容易记，混，不太好记，那，那我们就带着大家把这些公式好好看一下，不需要大家死记硬背，需要一些小技巧就可以把它记住了。我们在讲诱导公式之前，我们先来复习一下啊， 就是在不同的象线上不同，然后三角函数各这三个三角函数分别是正的还是负的？我们先来看 sin， 我 们记得 sin 而法它是什么？对，它是 y， 它等于 y， 所以 我们知道在 d， 一 二象限为正，三四象限为负，然后 cosine 而法是 是 x， 所以 我们知道是一四为正，二三为负 tangent， 而法是 x， 分 之 y， 所以 是一三为正，二四为负。好，我们知道，我们先把这个列到之后，我们再来看这几个诱导公式啊。先来看这个诱导公式二，诱导公式二是 sin， 而法加 pi， 然后 cosine 而法加 pi 它的，而法加 pi 都是，而法加 pi。 那 我们先来看这个 啊，这个诱导公式里面的所有的 r 法，我们都默认它为锐角，我们都是，我们都只，就是只要右，只要右， 只要用诱导公式，我们都把这个 r 法看成锐角，那所以我们的 pi 加 r 法，我，我就可以得到。 pi 是 一百八十度，加上 r 法，所以它是一个在第几象限角？对，是个第三象限角， 第三象限角，那我可以得到我在第三象限的时候，我的 sin 是 不是负的，所以我就得到 sin pi 加 r 法等于负的。 sin r 法它是负的嘛？ 然后第三项线 cosine 也是负的，所以 cosine 派加 r 法等于负的 cosine r 法第三项线，贪心的是正的，所以贪心的派加 r 法等于贪心的 r 法。这是我们的公式二，我们所有用到公式都可以这样记啊，包括我们的公式三也是这样记的。 r 法 它是一个锐角，在第一项线，对吧？那我可以得到负二法，它是个负角，所以肯定是在第四项线。第四项线只有谁是正的？对，只有 cosine 是 正的，所以你看 sin 负二法等于负的 sin 二法。 cosine 负二法等于 cosine 的 负二法等于负的 tangent 二法，这是公式三， 然后公式四的话，我们也是一样的派减 r 法，你看啊，派减 r 法一百八十度减去一个锐角，所以在第二项线， 它在第二象限。我们知道 sin 是 正的，所以派减 sin 派减 r 法等于 sin r 法。 cos 跟 tan 都是负的，所以等都等于负的 r 法，负的 sin cosine 法， cosine 的 r 法。 好，到这为止，这几个公式我们都是 sin 派减 r 法，派加或者是负的，我们得出来的还都是原来 sin 得出来还是 sin， cosine 得出来还是 cosine。 那 我们看后面这几个呢？后面这两个 就变成了什么？二分之派，二分之派减而法和二分之派加而法。接触到二分之派和就，我们就把就从 sin 变成了 cosin， cosin 变成了 sin， 这个知道，这个一定要知道啊。然后我们再然后还是按照那个象限来看，二分之派减而法，二分之派九十度减去一个锐角，说明是在第一象限，第一象限 我的 sin， cosin 都是正的，所以我得出来是正的 cosin 而法，而我们我们有一个问题啊，就是这个角 我，我判断它是正负，我是看前面这个 sin， 还是看后面这个 cosine 呢？还是看前面这个它跟着的这个东西啊？就比如说看后面这个二分之派加阿尔法九十度加一个锐角，说明是在第几项线，第二项线，第二项线 sin 是 正的，所以 sin 二分之派加阿尔法是正的 cosine 法， 而第二项线 cosine 是 负的，所以 cosine 二分之派加阿尔法是负的 cosine 法。我相信有很多同学听过一个口号，叫做既变偶不变，符号看象限 即变，我不变符号看相线。有同学知道这个这个口，一个顺口溜吧，但是不知道他是什么意思，是什么意思呢？就是我们的这个诱导公式，就是可以诱导用到这个诱导公式上。这个诱导公式呢，我们以二分之派为底，他是底， 然后它的基数倍，一倍、三倍、六一倍，三倍、五倍，你看它的基数倍，一倍是不是二分之 pi， 三倍是二分之三 pi， 对 吧？这种基数倍，那它就从吸引变成了 cosine， 从吸引变成了 cosine， 偶数倍，你看二倍是不是变成了 pi， 四倍变成了二派，六倍变成了三派，这种的 g， 它就不便是吸引它，还它导它导它，用完公式之后还是吸引，是 cosine， 它还是 cosine， 所以 说 g 变不变符号看象限，就是我这个得出来的，得用这个公式导出来的这个东西是正号还是负号，就看它落的第几象限， 所以有这有这个顺口溜，叫做既变而不变，符号看象限。然后我们接着还有这两个公式啊，也是一样的，我们还是这样的，你看二分之三派，它是积的，所以它肯定是变二分之三派呢，是在哪？是在这个角，这个这块对不对？它是叫做二百七十度，二百七十度减去的锐角是在第三象限，所以 cos 是 负的， sin 也是负的， 你看 cosine 是 负的， sin sin 是 负的， cosine 也是负的，然后二分之 pi 加 r 法呢？说明是在第四象限，第四象限 pi 是 正的， sin 是 负的，所有的这个我有老公式都可以这样看啊。然后我们来看一道例题， 他说已知这个角的中边过负三四，让我找贪心的 pi 减 r 法。那我先来看这个贪心的 pi 减 r 法，我可以等于什么？它肯定是等于贪心的，因为是不变 pi 减 r 法。 我们之前说这个只要优优的公式，这个 r 法我就默认为锐角，所以派减 r 法在第二项线，它进的是负的，所以得到的是负的，它进的 r 法，那我只需要找它进的 r 法就行了。那我来看它进的 r 法中间是负三在这，负三四 在这，然后我画一条线，中间是负三四，然后我们看的是哪个角，看是这个角，然后它进的 r 法。 我们是对边比什么？这个是三，这是四，这那斜边是五，对吧，所以对边比零 b n， 所以 是四比上负三，然后又是负的，所以最后是三分之四。 然后再来看一道题目啊， cosine r 减六分之 pi 是 等于三分之二的，然后 r 法是属于六分之 pi 到 pi 的， 然后让我求 cosine r 加三分之 pi 啊，那 就是正常来写这道题，就是答案上给的话，肯定会说 r 法加三分之派，就等于 r 法减六分之派，加上一个二分之派，所以这个加上 cos， 然后这个加上 cos， 但是这个时候有的同学可能会弄不准他们两个中间到底有什么关系，是加还是减？ 那这个时候我们就有一个比较可能稍微有一点点麻烦，但是可能比较不容易出错的一个方法啊。我们就把这个后面看成一个整体，我们把 r 法，我的 r 是 不等于 t 加六分之派， 然后我们先来看一下范围啊，因为 r 法是属于六分之派到派的，那所以我的 t 就 等于 r 法减六分之派嘛，等于零到六分之七派。 然后紧接着我们来看一下我要求的是啥？要求的是 cosine， r 法加三分之派，那就等于 cosine 什么？哇，这个代入就可不可以 t 加六分之派，再加上三分之派， 所以就等于 cosine t 加二分之派。哎，这这这像什么？对，我们就导公式是个二分之派，所以是它要变的变成 sin t， sin t 正的还是负的呢？ t 加二分之派，九十度加一个角，第二项线，所以是负的，所以我都得出来了，我这个是负的 sin t， 那 我现在有 cosine t 等于三分之二倍的根号。二，我的 sin t 等于啥？ 这时候 t 的 我的 t 的 取值范围是零到六分之七派，第一二项线，它是正的，它 cosine 是 正的，所以我的 t 肯定在第一项线，所以我的 sin 是 正值，对吧？这个我就可以这样推出来。然后那我就按照我们原来讲的这个方法啊，它是正值，我任选一个 这个角 cosine 是 二倍的根号二，对边比斜边，这是三，那所以我可以得到这条边是一， 那所以我的我的贪婪的值是对边比斜边，所以等于三分之一，然后又是负的，所以是等于负的三分之一。选 a 选项。啊。好，我们今天关于这个诱导公式的东西就讲到这里，我们下次再见。

这个视频来讲一讲诱导公式，非常简单，第一组只要有二派或者三百六十度，直接把它给去掉， 剩下来 c 的 法， cos 的 法， angle 的 法。像我们第二第三第四组，它只要题目中出现了 一个派，两个派，三个派，或者是没有派的时候，零个派的时候，此时全部的名字都不变， 全部的名字都照抄。 那么接下来我们怎么样去判断它的符号呢？我们把第二组为例，把派是一百八十度，标上 旁边那个阿尔法呢？在诱导公式中它永远是个锐角，我们可以假设它是十度，也就是一百八加十，等于一百九十处在第三象限。 接下来我们来看它的前面的名字塞在第三象限中是负号，所以第一个负 cosine 在 第三象限中为负号，所以第二个负 tangent 在 第三象限中是正号，所以它的结果是正 旁边第三组同理拍一百八十度阿勒法看成十度，所以减下来一百七十度数在第二象限 si 在 第二项链中正号，所以它后面是正 si 的 法。 cosine 在 第二项链中是负号，所以它是负 cosine 的 法。 tangent 在 第二项链中回负号，所以它是负 tangent 的 法。第四个 零减去十，那么我们这边就等于负十度，而负十度它数在第四象限。接下来 side 在 第四象限中负号 cosine 第四象限正号 tangerine 第四象限负号。 下面五跟六。我们来学一下不同的结构。二分式可以派的结构， 我们发现题目中只要有二分之派，二分之三派，二分之五派等等二分之 k 派的结构的时候，他就得变名。怎么变？把 sai 的 法变成 cosai 的 法，把 cosai 的 法变成 cosai 的 法，把 tianjin 改成 tianjin 阿尔法分之一。第六组通例， sai 的 法改成 cosai， cosai 的 法改成 sai 的 法， tianjin 阿尔法改成 tianjin 阿尔法分之一。 接下来我们再去决定它的符号。二分之派是九十度，阿尔法是十度，等于一百度处在第二象限， 要记得是根据原来的函数名字去确定它的符号。第二象限中塞为正号，所以它后面是正的 cos 阿尔法。 第二项线中 cosine 为负号，所以它是等于负 sine 的 法。第二项线中 tangent 符号，所以它是负 tangent 二的法分之一。后面同理九十减掉我们二的法十度等于八十度数在第一项线 side， 在 第一项线是正号， cosine 第一项线正好。至此，我们的诱导公式就结束。 接下来我们来学一道诱导公式的常见的例题。 si 阿尔法是三分之一，阿尔法属于二分之拍到派，也就是在这个位置，它是我们的第二象限。 看到题目中出现这种象限的时候，要立刻判断出来，我要去求出它的 cos 阿尔法。 那么接下来我先按照他的象限把 cos 二的法求出。因为三的法等于三分之一，并且二的法是属于二分之拍到派， 所以第二象限的 cos 二的法为负号，所以 cos 二的法等于负根号。下一减三平方二等于负三分之二倍根号二。 接下来我们再来看他的问题。第一个问题，他出现了诱导公式，所以我们就结合诱导公式学内容。 拍加的法等于名次不变，是杀的法。接下来拍加一百八十度等于我们的第三象限。要注意，诱导公式的象限跟题目提供了的象限不是没有任何关系，这个诱导公式的象限是单独的， 所以我们结合 sine 在 第三项中为负号，它是等于负 sine 的 法， 所以等于负三分之一，而我们的 sine 二分之拍加的法同理有二分之拍，名字改变改成 cosine。 其次，二分之拍加的法九十度加十度等于一百度，它是处在我们的第二项线， 而我们的前面的名字 sin 在 第二、三线中是正号，所以还是等于正的。 cos 二的法，也就是 cos 二的法的意思，所以还是等于负三分之二倍根号二。

这个视频教你们去处理诱导公式中各种常见的类型题。 首先我们要记得诱导公式的象限，它是单独的，与题目提供的象限没有任何关系。我们来看第一题，阿尔法式锐角第一象限 后面提供的塞了法是五分之四，可以得出 cos 了法等于正的根号下 e 减塞平方了法等于五分之三。问题中派不变元 cos 了法， pi 加阿尔法处在我们的第三下限， cosine 在 第三下限为负号，所以它是得到负 cosine， 那 么我们就可以得出 cosine 是 五分之三，负 cosine 那 么就是负五分之三。选择 a， 同理。第二题塞了法五分之四，锐角第一象限从前面两句话推出， cos 了法五分之三。 接下来后面的问题中，拍不变名 cos 了法，拍减了法处在第二诱导公式中的象限，与前面的象限没有任何关系， cosine 在 第二项线为负号。所以问题跟第一题一样， cosine 等于五分之三，问我们负 cosine 等于多少负五分之三。 第三题前面我们得出它是 cosine 的 法，并且拍剪算法阻在第二项线。 cosine 在 第二项线为负号，所以它是负 cosine 的 法等于二分之一，从而得出 cosine 的 法等于负二分之一。 那么我们就可以推出来我们的阿尔法应该是处在第二或者第三项线。接下来题目中提供了个 t n 卷，阿尔法小于零，那我们就可以知道，如果 t n 卷是小于零的时候，应该是第二或者第四项线， 两个项线同时都满足的时候，那么就说明我们的阿尔法应该是在第二项线。 至此就可以得出我们的 sine 法是一个正号，所以我们的 sine 法用平方公式就可以得出来，正的根号下 e 减 cosine 平方了，等于正的二分之根号。三选择 a 第四题， side 负四分之五拍，我们可以参考 side 负阿尔法等于负 side 阿尔法的结构。我们题目中 side 负四分之五拍等于负 side 四分之五拍。 接下来我们下一步可以把四分之五拍变成拍加四分之拍等于我们这边由于他是派，所以波浪线的位置他是不变明塞四分之派， 并且因为派加四分之派在我们的第三象限，而我们的刹影在第三象限中是一个符号，所以波浪线这里它是等于负塞四分之派。 不要忘记前面还有一个符号，所以它是会有两个符号，那么两个符号负负得正变成正的三四分之差等于二分之三到二。等到题选择 a 第五题，拍普遍明删的法，拍加的法处在第三象限为负号，所以前面的条件是负删的法等于分之二，那后面的删的法就是负分之二。 第六题，二分之派变名，所以它会变成删了法，并且二分之派加了法处在第二象限。原函数名字扣在在第二象限中为负号，所以得出来它是变成负删了法， 也就是前面删了法的有分子四，负删了法，负分子四。第七题，不变名删了法， 第三象限为负号，负三的法等于负二分之一，从而得出三的法是正的二分之一。后面的问题中，有二分之派变名， 二分之 pi 减 alt 法数在第一象限。 cos 在 第一象限为正号，也就是我们题目中 sine alt 等于二分之一，问我们 sine alt 法就等于多少？选择第二分之一。 第八题 pi 不 变名 tan 选 alt 法。 拍剪算法处在第二象限，添卷为负号，所以是负。添卷算法等于三，从而得出添卷算法等于负三。 接下来我们添卷去求三，那么流程就要用到三数公式和平方公式，三的法除以三的法等于负三，从而得出三的法是负三倍的。扣三算法 再结合平方公式塞平方的法加 cos 平方的法等于一，我们可以用负三 cos 的 法去替换我们的塞，从而得出来它就变成负三。 cos 的 法的平方加上 cos 平方的法等于一。 去掉括号之后，我们可以得出十个 cos 平方的法等于一，从而 cos 平方的法是十分之一。 接下来我们结合它第二项线得出 cos 二的法应该是个负号，所以 cos 二的法是负的根号下十分之一等于负十分之根号十。 不要忘记题目中是叫我们求三，所以三的法是负三倍的 cos 二的法 负三乘以 cosine 等于负三乘以负十分之根号时，负负得正。变成正数十分之三倍根号时，本道题选择 c。