阿氏圆几何工具

啊，录这个视频是为了讲解一下，就是从母子型相似到二十元问题，这一节课的几何画板，课间设计的讲解，我们可以看到这节课呢， 除了课题这一个页面，下方一共有一二三四五六七八九十十一，十二十三，一共是十三个页面。 好，我们下面接着讲，接着用十三个视频讲解一下每一个页面的设计过程。我们先来看叫回顾，回顾什么呢？就是三角形相似的类型。 对于个三角形而言，我们在 a、 b 上任取一点 d， 然后做 d， e 平行于 a、 c， 这样与 a、 c 交于点 e， 那 么三角形 a、 d， e 与三角形 abc 就会有两组平行。呃，两组同位角相等，因为 d、 e 平行于 b、 c， 那 这样根据两个三角形如果有两组角相等的话，那这两个三角形就是相似的。 因为这种这种相似呢图形的摆放方式非常像这个大写的字母 a， 所以 我们把它叫做 a 型相似。接着我们把这个页面进行复制， 加一个箭头，那就是方便于比较。 我们说角是一个轴对称图形，那么角的对称轴就是角平分线所在的直线。那如果我把上方这个小三角形绕着角 a 的 平分线所在的直线进行翻折，这里面有个细节就注意， 对称轴一定是一条直线，翻折过以后，那么点 a 就 落在了 a、 b 这条边上，点 d 就 落在了 a、 c 这条边上。 等我有机会再来讲一下这个翻折的特效的制作过程。 它这个图形呢，跟这个 a 型这个字母 a 型呢，稍微发生了一点倾斜，所以我们把它叫做斜 a 型，与之对应的就是 x 型相似和斜 x 型相似。也就是说，如果 d、 e 这两点是在角角 a 的， 就是 b a 和 c c a 的 延长线上，那会形成一个有非常像字母 a 的 这样一个 x 的 这样一个形象，所以叫斜 x 型相似， x 型相似和斜 x 型相似，那这里面呢，就是斜 a 型相似。 然后我们再复制一下这个模组， 既然这个三角形与三角形 a、 d、 e 与三角形 a、 b、 c 形成了斜 a 形相似，那么点 d 的 位置是可以发生改变的， 点 e 和点 d 的 位置在发生改变，实际上这种改变呢，实际上就是以点 a 为谓似中心， 把三角形 a、 d、 e 进行放大或者缩小，缩小仍然保持这个位似，放大也仍然保持呃位似。而 相似和相等是有传递性的，所以三角形 a、 d、 e 与三角形 a、 b、 c 始终保持相似。 如果我放大到某一个特殊的位置，就使得点 d 和点 c 重合，这时候呢，我们可以把字母 e 引去。 那么三角形 a、 c、 e 就 与圆三角形 a、 b、 c 有 一个公共角角 a， 我们把它叫做公共角。而三角形 a、 c、 e 与三角形 abc 又有一个一条边， a、 c 是 它们的公共边。 这里面有一个按钮，设置色回啊，色回回到之前的颜色，这里面啊，有个渐变的过程，就是把线段 a、 c 变为红色。 在以后讲解这个几何画板的这个制作的技巧的时候，我会再来详细的教大家。呃，怎么做这种颜色发生变化，线段的颜色发生变化。 这时候呢，三角形 a、 c、 e 与三角形 abc 有 了一个公共边，那么对于 三角形 a、 c、 e 而言，它得到了圆三角形的一个完整的得到了圆三角形的一个角，完整的完整的得到了圆三角形的一条边，并且呢， 我们这里面有个特效返回特效，就是把这个角标变大一点，并且截取了你的一个角的一部分， 也截取了另外一条边的一部分，那就形象的把它称为母子形相似。 注意这个特效啊，这个特效就角标变大，就是为了强调从圆三角形中的角 a、 c、 b 中截取一个 较小的角，让这个较小的角呢与角臂相等，那这个呢，就是一个已经有一个公共角在截一，从圆三角形较大的角中截一个较小的角与另外一个另外一个较小的角相等， 那这样我们就把它形象的称为，把三角形 a、 c、 e 称为子，而把圆三角形 abc 称为母，那这样我们就得到了母子形相似。好了，关于 二十元这一节课呢，十三个页面的第一个页面，这个课间的设计我就说到这里。

啊，这个视频，我们是这个系列的最后最后一个视频了。呃，我们来说一下这个视频，我们来说一下从母子型相似到二十元问题的这节课的几何画板，课间设计讲解第十三个页面，也就是最后一个页面。 这道题目呢，是我们新化市的有一年新化市的一个呃，中考模拟卷的第十六题，在坐标系当中，点 a 的 坐标是负四零，点 b 的 坐标是二零。 在如果顶 p 到两坐标轴的距离相等，且满足角 a p o 等于角 b p o， 那 根据刚才的，也就是 o p 平分角 a p b 根据刚才的那个角平分线定，我们可以得到 p a 左边一比上右边一 p b 应该等于 o， a 比上 o b 等于二，那也就是说点 p 到线段 a b 两端距离之比是二，因此点 p 呢的轨迹应该是一个二十元。所以 我们只需要找出内分顶和外分顶，那显然顶 o 自然就是内分顶，它到 a 顶 a 的 距离比上到顶 b 的 距离是二，那我们我们只需要找出外分顶到 a 顶的距离 比上到 b 点的距离是两倍。那么点另外分点呢，一定是在 a b 的 延长线上，所以通过简单的计算，我们可以知道，点 c 呢，应该是八零，它到点 a 的 距离是， 它到点 a 的 距离是十二，它到点 b 的 距离是六。那这样呢，我们就能得到点 c 的 坐标是八零， 点 o 是 二十元的内分顶，点 c 是 二十元的外分点，那么 o c 呢，就是二十元的直径。所以这时候呢，我们以 o c 为直径，作出一个圆 m， 圆 m 呢，就是二十圆 圆 m 上所有的点到点 a 和点 b 的 距离之比就等于二， 所以点屁它应该在圆 m 上运动。题目中还说到，点屁到两坐标轴的距离是相等的，因此点屁应该是在应该是 一三象限和二四象限的角平分线上，和刚才的思路是一样的，或者说思想方法是一样的，点 p 既既要在圆 m 上，又要在直线 y y 等于 x， y 等于正负 x 上。所以交轨法 有两个焦点啊，有两个焦点，所以这道题目的答案有两个。我们先来说第一个答案， p e p e， 我 们只需要连接 p e m， 因为是角平分线嘛，所以这个角等于四十五度啊，这个角等于四十五度， 再由 o m 等于 pm， 我 们根据等角对等边啊，等角对等边， 可以得到这两个角都等于四十五度。因此三角形 a o m p e 就是 一个等腰直角三角形，所以角 o p o m p e 是 一个直角， 那这就显然了，那 o m 等于四， p e m 也等于四，所以点 p e 的 坐标就是四四，那 p r 呢？也可以用这个方法，同理可得，应该是四负四，所以这道题目的答案是四四或四负四。 p 二的坐标呢，我们也可以看，由于这个图形是是呈轴对称的，以 x 轴为，以 x 轴为对称轴的，这这样一个 p 一 和 p 二应该是关于 x 轴对称的，所以也可以直接由对称性可以得到点 p 的 坐标是四 和或负四啊，四负四。那在这个里面呢，我再稍微多说一句啊，这个我们先把这些隐藏了 啊，把它隐藏了，然后脚标垂标。 在这道题目当中啊，我们就比较方便叙述了，因为点 a 的 坐标是负四零，点 b 的 坐标是二零，那很显然，点 a 和点 b 是 一个，是两个定点，所以线段 a b 呢，就是一个定线段 啊，就是个定线段，而点 o 是 圆点，所以它也是个定点，因此 o a 比上 o b 是 一个定值。如果我要想啊， 找一个点 p， 这个点 p 呢？连接 a 点，连接 b 点，连接 o 点恰好，这个 恰好呢？这个角还要保证角 a p o 等于角 b p o， 也就是 o p 平分角 a p b， 那 这样的顶有多少个呢？有无数个，那这个顶呢？顶 p 根据角平分线定，因为 p a 比上 p b 就 等于 o a 比上 o b， 所以顶 p 到线段 a b 两段距离之比是一个，是一个不等于一的定值，所以 o 顶实际上就是内分顶，我们只需要找到外分顶，那这样呢？顶 p 的 轨迹仍然是一个阿伯罗密斯元，阿施元。 好了，这一系列呢，这一系列的视频我们就讲完了，关于二十元这一刻的从母子情相似到二十元问题，这个这一刻的 总共十三个页面啊，他的几何画本刻件的设计我们就讲到这里， 在暑假当中，我会把这个课间中所有的几何画板技术进行解析，这些动作啊，这些动态是如何做到的？好了，谢谢大家。

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到二十年问题，这个这一节公开课的几何画板，课间设计讲解第四，也就是第四个页面，第四个页面是一道网格作图题。 前面呢，我们已经说过了，母子型相似，从角的角度去理解，就是抓住一个公共角，然后呢，在剩余的两个角当中，从较大的角中截取一个较小的角与第三个角相等。好，来看一看。 首先作为一道作图题啊，作图题往往都是逆向思维，就是假设已经做出来了，比方说在弦 a b 上找一点 p， 使得 am 的 平方等于 ap 乘以 ab， 那 根据我们之前所讲的，公共边的平方等于小贡献边，乘以大贡献边，那很明显， am 就是 公共边，而 ap 就是 小贡献边， ab 就是 大贡献边。 这样呢，角 a 就是 公共角。如果我们把这个 b m 连接起来，那么 b m 呢，就是公共角所对的 所对的母当中的第三条边啊， mp 连接起来，所以三角形 a m b 较小的三角形就是 词，我们只需要保证角 a m p， 蓝色的角跟这个角 b 相等啊，我们就能得到这两三角形形成母子形相似，这样 a m 的 平方就等于 ap 乘以 ab。 从这个角度来说，我们会发现什么呢？就是这两个相等的角，它其实都是圆的圆周角。 嗯，角 b 呢，是弧 a m 所对的圆周角，那角 a m p 这个角比较，呃，叫什么？说 比较隐蔽吧，不容易不容易看出来它是一个圆周角。其实什么叫圆周角，就是角的顶点在圆周上角的两边都与圆相交，那 m a 与圆交于点 a m p 呢？我们只要只需要延长一下就可以了， 所以延长 mp 交圆 o 与点 n。 那 么要想使这两个圆周角相等的话，我们只需要弧 a m 与弧 a m 相等就可以了， 再根据圆周角定律的逆定律。呃，我不知道是 呃具体是什么情况，反正我们苏科版的教材呢，就就是垂进定律的逆定律，已经在教材上删除了。所以，呃，我跟学生讲，就是说 我们可以运用三线合一嘛，什么意思呢？就是如果我连接 o a， 再连接 o m 和 o n， 那 么 o m 和 o n 是 相等的，它就是一个等腰三角形。 因为要使得角 a m n 跟角 b 相等，那么我们就需要弧 a m 与弧 a n 相等， 这两条弧相等，那么他们所对的圆心角就是角 a o n 与角 a o 来标记一下吧， a o n 与角 a o m 就 应该是相等的。 那么根据等腰三角形三线合一， o a 呢，也垂直于 a m 啊， m n o a 垂直于 m n， 这时候我们就可以运用垂直定力 垂直于弦。呃，垂直于弦的直径也平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此 只需要让 m a 垂直于 o a 就 可以了。好，下面我们具体来说一下。好，我把它隐藏 来看看 o a 是 一条什么样的线段。它是一行三列的捺对角线，那么我们过点 m， 只要画一条三行一列的撇对角线， 这是网格做图题的一个技巧。哎哎， 我们只要取格点 c， 连接 m c， m c 就 会与 o a 是 垂直的。那根据垂径定律啊， 这条弧与那个弧 a n 就是 相等的，那么它们所对的圆周角也就是相等的。但是呢，呃， 什么？作为作为一道网格作图题，那它不需要把那些刚才的这些那些辅助线把它画出来。呃，为了让大家看的更清楚，我把辅助线也画出来 啊。截角再看一遍，由于 o a 垂直于 m a 啊，实际上是垂直于 m c， 呃，一个是一行三列的捺对角线，而 m c 呢，是三行一列的撇对角线，所以它们是互互相垂直的。因此根据垂径定律， o a 呢就平分弧 m n， 所以 弧 am 与弧 am 是 相等的，那么 弧 a m 所对的角 b 就 与弧 a m 所对的角 a m n 是 相等的，所以它们就形成母子形相似，进而得到 a m 的 平方等于 a p 乘以 a b。 现在我们把它都隐藏。 还有另外一种方法，什么意思呢？方法二 来看一下，我们说描述角的大小有两种方式，一个是告诉你这个角的具体的度数啊，告诉你这个角等于四十度，那这个角的大小就已经 确定了。那还有一种方法就是三角函数法，比方说，我告诉你角臂的正正弦值等于五分之二零点四，那这个角是不是也是确定的，是吧？另外一种方法就是呢，我们来看看角。 通过之前的分析，我们已经知道三角形 a mb 是 三呃，母子形相似中的那个母三角形，那么角 a 呢，是公共角，这前面已经说过了，那么我们只需要在剩下的角 a mb， 这是较大的角，截取一个角跟角 b 相等。 那我们如何去描述角 b 的 大小呢？来注意到这个网格 a b 恰好是正方形的对角线，所以我们过点 m 向它做垂线段，而这个垂线段不需要做出来，只需要截取 隔点 e 连接 m e， 那 么 m e 显然与 ab 是 互相垂直的，所以这个角 我们已经把它放在一个直角三角形中啊，这个角的什么三角函数值可以算出来呢？很明显就是它的 正切值，它的对对边是根号二，它的邻边是三根号二，所以 tangent 角臂等于三分之一，那么相当于说，我也知道这个角臂的大小了，因为我知道它的某个三角函数值，因此我只要 以 a a m 为一边， m 为为角的顶点来截取一个，或者说构造一个正切值也等于三分之一的这样一个一个角啊。那我们来看看 以 m 为顶点啊， a m 为一边，那 a m 呢？我们可以看作是一条呃射线，它正好正好是网格中的这条线，所以 我只需要跟刚才一样，取隔点 c 连接 a m， 那 这样角 a m c， 它的正切值就等于三分之一。你看这个角啊，这个角我把它写写出来吧。啊，把它描出来， 这个角它是在直角三角形 啊，给它取个名字啊！ q， 随便吧。 k 这个角我们通过网格构造可以发现它在直角三角形 m k c 中，那么这个角的正切值呢？对边是 e 零边 m k 呢，等于三，所以它的正切值也是三分之一。两个角都是锐角，并且它们的它们的三角函数值，也就是正切正切值呢，都等于三分之一，所以这两个角是相等的。 好解了，一个角跟它相等，跟角 b 相等，因此呢，这两个三角形就形成母子形相似，所以 m c 与 ab 的 交点就就是我们所要求的 p 点，我们可以发现这两种方法都是一模一样的啊，就是做法上是一模一样的，都是取隔点 c， 然后连接 mc， 交 ab 与点 p， 但是思路上是不一样的。第一种方法呢，截取这个点 c， 截取隔点 c， 连接 mc 是 为了与 o a 垂直，利用垂进定律的逆定律。 而第二种方法截取格点 c， 连接 mc 是 为了截取角 a， mc 的 正切值等于三分之一，因为角 b 的 正切值也等于三分之一。 嗯，好了，这是利用，嗯，就是构造母子形相似，利用抓住一条呃，抓住一个公共角，在母三角形的 另外两两个角中，从较大的角中截取一个较小的角，与第三个角相等，那构造从角的角度构造母子形相似。好了，这个这一讲呢，我们就说到这里。

好，这个视频我们来说一下从母子型相似到二十元问题的几何画板课间设计讲解。第五第五，第五个内容，也就是关于摄影定律。前面呢，已经说过了，从脚的角度去理解。 呃，母子型相似的这个结构，从母三角形中以一个角为公共角，剩下两个角，剩下的两个角一大一小，从较大的角中截取一个较小的角，截取一个角与较小的角相等。那么 特殊情形是什么？也就是以角 a 作为公共角，那么我截取一个角 a、 a、 d、 b 等于角 c， 那 么会形成母子形相似，也就是三角形 a、 a、 b、 d 是 子，而三角形 a、 c、 d 是 母，那么 a、 d 呢？就是公共边，而 a、 b 和 a、 c 分 别是小共线边和大共线边，所以可以得到 a、 d 的 平方等于 a、 b 乘以 a、 c 所分成的两个小三角形能否能否同时形成母子形相似？ 也就是说这两个三角形呢，都是子，都与与大三角形 a、 c、 d 形成母子形相似。 先来看这个子，这个子与母相似，是以角 a 作为公共角，而让这两个角相等，如果它也是子的话，那只能是以角 c、 d 与角 a 相等， 那这种情况可以吗？假如说我们设红色的角为阿尔法，蓝色的角为贝塔， 那根据三角形 a、 c、 d 的 内角和为一百八十度，我们可以得到阿尔法加上二贝塔等于一百八十度，这样呢，阿尔加贝塔就是九十度。 无论是这个阿尔法加上这个贝塔，还是这个阿尔法加上这个贝塔，我们都能得到这个三角形，是一个直角三角形，所以这种情况是可以存在的， 这个时候呢，我们就会得到三角形 a， c、 d 是 是一个直角三角形，角 a， d， c 等于九十度。再来看 alpha 加 beta， 也就是角 c 加上角 b， d， c 等于九十度。那么 b、 d 呢，就垂直于 a、 c， 那 这个模型，这个图形，我们把它叫做双垂三角形， 那根据也就说思考二这个问题呢，是是有是可以同时形成母子形相似的， 那么这个子与母相似是以 c、 d 作为公共边，所以我们又可以得到呃， c、 d 的 平方等于 c， b 乘以 c， a， cb 是 小共线边， c， a 是 大共线边。当然相似是有传递性的，这两个子 也是互相相似的，那么他们的公共边就是 b、 d， 那 么我们又能得到 b、 d 的 平方等于 ab， ab 乘以 bc。 好，这是母子型相似的一个特殊情形，也就是摄影定力啊，这在教材中已经舍去了。嗯， 前面呢这些环节主要是介绍母子型相似的这个图形结构， 主要是从脚的角度去理解。好。关于啊，二十元课件呢，几何画板课件的第五个页面就讲到这里。

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到二十元问题，这个几何画板课间设计讲解第六、第六节内容，也就是 上一节呢，我们上一个视频，我们说了摄影定律，那这个视频呢，我们来针对的是 一道竞赛题，初中竞赛题，在正方形 a， b， c， d 内部有一个点 e 连接 a， e， c， e， d， e。 如果角 c， e， d 等于九十度，并且 d， e 等于八，求三角形 a， d， e 的 面积。 嗯，因为这个逆二是针对摄影定律的，所以我们要尽量的去跟摄影定律去靠拢。 第一个，首先三角形 a， d， e 的 面积，它应该等于二分之一底层高，所以我们要做 e， m 垂直于 ad， 那 这样它就等于二分之一 ad， 再乘以 m， e。 考虑到这里面有一个三角形 c， e， d， 它是一个直角三角形，这是角 c， e， d 是 直角，所以我们想方设法的去构造这个双垂三角形，也就是过直角顶点向斜边 c， d 做垂线断， 这样我们就构造了双垂三角形。在三角形 c， e， d。 中，角 c， e， d 等于九十度， c， d 是 斜边在做了 c， d。 呃，斜边 c， d 边上的高， 既构造了这个双垂三角形，也同时构造了一个矩形，也就是矩形 m， e， n， d， 那 这样呢？呃，高 m， e 就 跟 d， n 就 相等了。 再来看看这里面，我特意标的是红颜色的 a， d， a， d 是 作为正方形的边长，所以它可以替换成 cd m， e 是 矩形的一边， 所以它可以替换成 d， n， 那 再来看看 d， n。 呃， c， d， d， c 乘以 d， n， 那 就那就正好等于 d， e 的 平方， 所以呢，就等于二分之一 d， e 的 平方，而 d e 告诉我们是八，因此它的面积就是三十二。呃，这个这个部分的几何画板设计说实话是比较简单的，嗯，没有什么太多的 几何画板，这个特别的这个技术和难度主要呢就是抓住，嗯， 摄影定律的这个基本图形。好了，这节内容呢我们就说到这里。

好，这条视频，我们来这条视频，我们来讲一下从母子型相似到二十元问题几何画本课间设计讲解二，也就是 这节课一共有十三个页面，呃，加上课题一共是十四个页面，其中具体的内容是十三个。那么今天我们来讲解一下第二个页面，也就是引力这个这个页面， 刚才之前一个页面呢，已经讲解了母子形相似的形成过程，那么就是从母这个三角形中 得到他的一个公共角和剩下的两个角当中呢，从一个较大的角中截取一个较小的角，与第三个角相等。 那么对于三角形 a、 b、 c 而言，它有三个角，我可以以角 a 作为公共角， 那么剩下两个角当中，一个是六十度，一个是四十五度。你总不能说我从四十五度的角当中截取一个六十度的角，与角 c 相等，这是不可能的，所以剩下两个角中是角 c 较为较大，因此呢，我们可以 截角 a、 c、 b， 截出一个四十五度的角，让这个角 a、 c、 d 与角 b 相等。 嗯，这就是标一个角标，注意，这个角标不是几何画板自带的那个角标，因为几何画板自带的角标没这么大，它最多只能这么大，所以其实这个角标呢， 是画的一个扇形，你看看它可以，这个弧是可以选被选中的，而这个是不可以的，它是这个脚标，嗯，在工具 工具栏里面是这个，这个啊，只要按住顶壁，然后向上一拖啊，就是会形成一个脚标，然后把它隐藏。 呃，等，估计等等。初三毕业，我会有很多的时间，也就暑假期间，我会把一些这节课，这这节课 呃的几何画本课间当中的细节的技术再来讲解一下。这个呢，其实是我画的一个扇形，画的一个扇，一段弧，然后呢在构造弧的内部 三角形，这个几个画面有构造弧的内部这个功能。这这样看起来跟刚才那个脚标是看起来是一样的，我选的颜色包括这个，嗯，透明度啊，都选的是一样的，所以 它效果是一样的。当然为了给学生上课呢，你这个脚标要显得大一点， 然后这边也有个角标也比较大啊，这边再把它显示一下，四十五度。好，第二个哦，这样我们就得到三角形 a、 c、 d 与圆三角形有一个公共角，角 a 是 七十五度，然后又结了一个角 a、 c、 d。 四十五度跟角 b 相等，有两个角相等，三角形是相似的，并且呢是 a、 c 为公共边， 那么我们会发现公共角和所结的等角较小的等角的夹边就是公共边。 作为一道题目，他肯定有三种选择。我先刚才是抓住角 a 作为公共角，那我也可以以角 b 作为公共角， 那剩下两个角当中就是七十五度和六十度，七十五度比六十度要大，所以可以在七十五度角中截一个六十度的较小的角，把截线画出来。那同样的，我们这时候就标蓝色的了， 这个按钮一按，同时这边显示六十度，这边角 c 这个角标也显示出来。 嗯，这个按钮呢？嗯，是两个按钮，它是两个子按钮的共同操作，只显示一个按钮。 好，下面这样呢，角，三角形 b、 a、 e 与三角形 呃， b、 c、 a 就 相似，它们也是形成一个母子形。相似呃，角 b 作为公共角， 然后角 b、 a、 e 作为较所截的较小的角，与角 c 相等， ab 作为公共边。 第三，我也可以选择角 c 作为公共角啊，注意这个颜色，它是蓝色的。然后七十五度和四十五度，显然七十五要七十五度要大一点。那可以在七十五度的角中截取四十五度的角， 然后我又切换成红颜色的啊，标一下等角关系，这是四十五度，标一个四十五度，同时角臂呢？这个角标也出来了。 好了，这个页面的几何画板刻件设计啊，就讲到这里。

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到阿式圆问题这一课，这个这一节课的几何画板，课间设计讲解第十一个页面 前面呢，我们已经说了这个阿式圆的来源，它的本质就是到两定点的距离之比为定值 k， 并且这个 k 不 等于零，那么这个点的轨迹就是一个圆，这个圆叫做阿伯罗尼斯圆， 阿波罗密斯圆呢，要抓住内分点和外分点，就能确定这个圆的直径的两个端点， 我们来看看密斯。正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为六点， p 是 正方形边上或对角线上的一点。如果 p d 等于两倍的 ap， 求 ap 的 长 在这里面， p d 等于两倍的 a p， 也就是。嗯， 我们尽量运用就是小于大于零，小于一的这个比值，就是我们可以把它写成啊，我把它写在这吧。呃， p d 等于两倍的 pa， 那 也就是 pa 较小， pa 比上 p d 等于二分之一啊， p d 比 pa 等于二分之一，所以我们看到这条线段 a、 d 也就到线段 a、 d 两端的距离之比是一比二， 那么我们找出内分点和外分点 pa 比上 pd 等于一比二，所以这个点 p 呢？呃，实际上是线段 a、 d 的 一个三等分点，靠近点 a 的 三等分点，所以找出它的第一个 分点，也是内分点， a o 一 等于二， d o 一 等于四，所以 这是内分底。由于 p a 比上 p d 等于一比二，所以它是离 d 点远，离 a 点近，所以应该点 p 在 a d a 的 延长线上，它的方向应该是这个方向。 p a 比上 p d 等于一比二，那就说 p a 是 一份， p d 就 应该是两份，所以点 a 实际上就是中点，因此呢，呃， o 二 a 恰好等于六，那么 o 二 d 就 等于十二，这样就是一比二，因此 a o 二等于六，因此直径的长呢？就是啊，八以 o 一 o 二为直径构造一个圆， 那么这个圆上所有的点都能满足啊。点 p 在 圆 o 上， 圆 o 上所有的点都能满足。 p a 比上 p d 等于二分之一。下面我们来说一下 点 p 有 两个要求，第一个，它肯定是在圆 o 上的，因为到线段两边距离之比等于一比二的点应该是在这个圆上， 点 p 又要在正方形的边边上或对角线上，所以 它应该是圆 o 与正方形的边和对角线的交点。那很显然有三个交点，这个方法叫做交轨法。另外两个交点呢，我们把它叫做 p 一 和 p 二。我们现在说第一个， 嗯，第一个答案呢，很简单，就是内分点 o 一 本身，所以第一个答案 a p 的 长啊，就是等于二。下面我们来说第二个。 a p e 注意到 o p e 是 这个圆的半径，这个圆的半径等于四，而 a o 呢，等于二。再说这个圆的本圆的直径是八，所以 o o 一 应该等于四。 a o 一 等于二，所以 a o 也应该等于二，那么 a o 等于二，这个 o p 一 等于四。勾股定律很容易算出来， 这个等于二，根号三，下面就是 p 二这个点， 如何求这个点呢？注意到它是，它是正方形对角线上的一点，所以角 d a c 这个角应该等于四十五度。 o p 二也等于四，所以我们做一条垂线段，我们可以设 a e 等于 a， 那 么 p 二 e 也应该等于 a， 因为这个角等于四十五度。 呃， a o 等于二， o p 二等于四，所以我们可以运用勾股定律啊，这个 二加 a 的 平方，加上 a 的 平方，应该等于四的平方，这样可以算出来呢，建立一个很简单的一元二次方程，可以把它算出来。所以 o p 二呢？应该 o p 二等于四啊。做出一个垂线段， 运用一元二次方程可以算出来 a p 二呢？这个 a 等于根号七减去一， a 等于根号七减一，而 a p 二是 a 的 根号二倍，它是一个等腰直角三角形，所以是一比一比根号二。 好，这道这个页面的设计主要是利用二十元的本质来。 嗯，设计的一道题目啊，这道题目呢，是江西的，我记得是是江西省的。 嗯，某一年的这个一一道中考题。好了，第十一个页面的讲解我们就到这里。

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到二十元问题。这节课的几何画本课间设计讲解，也就是第九个页面。 第九个页面，这是网上常见的一个关于二十元的题目。呃，最值问题， 嗯，稍微说一下，就是我为什么要讲这一节课，也就是说从母子型相似到二十元这节课，他的设计初衷就是一提到二十元这个最值问题，都是这这一类的题型。 首先有缘，也就二十元问题，他都是已经有缘的。二十元，这个全称叫做阿波罗尼斯元，也就是， 嗯，元是从何而来的。所有，我看到网上的所有的题型题目和一些相关的讲解，关于二十元的题目的讲解，都没有提到这个元是从何而来的。所以呢， 我就专门设计了这节课二十元的。从初中几何的角度去理解二十元，当然高中是用曲线方程的方法，那个呢？呃，到了高中再说学生到了高中再说。在正方形，我们来看看，具体来看看这道题目，在正方形 a、 b、 c、 d 中，它的边长是四圆 o 呢，半径为二点 p 是 圆 o 上的一个动点。这道题目当中直接说点 p 是 个动点，那我也可以说点 p 是 圆 o 上，而圆 b 上的一一点， 让你去求这个 p d 加上二分之一 p c 的 最小值，这道题目也没有什么问题，是吧？所以它明确说是动点。 那这道题目呢，需要抓住的最大的关键就是它不是简单的两条线段的之和，而是其中一条线段的二分之一。 来看看当点 p 在 圆 o 上，圆 b 上这么来回运动的时候，还是动中抓住 啊，不变的量，或者说变变中抓住不变的量还是一样。最大的核心就是 圆 o， 圆 b 的 半径不会发生变化，所以 bp 始终等于等于二。来看看 这个三角形，抓住三角形 b c p 这个三角形顶 p 在 运动，这个三角形会发生变化，但是，但是 b p 不 会发生变化， bc 也不会发生变化。所以我们可以把 b p 看作是中， 把 bc 看作是大，我们只需要在较大的边，也就是这个大是指的较大的贡献边。在大贡献边中截取一个小贡献边，使得小比中等于中比大。好来看看，中等于二， 大等于四，二比四等于二分之一。所以我们构造一个较小的贡献边， 使 b e 比上 b p 等于 b p 比上 b c 也就等于二分之一。再连接 p c， 抓住这两三角形，有一个公共角啊，所以这两三角形是形成母子形相似，所以 p e 来回比等于相似比，那么公共角的对边之比也是相似比，所以 p e 比上 p c 就 等于二分之一，进而得到 p e 等于二分之一 p c。 呃，这个箭头呢，是从 ppt 里面的基本形状里面截取过来的呃，稍微调整一下它的大小，然后呢，把它可以把它复制过来，复制过来以后呢，它就是一个图片而已啊，呃，把它调节到适当的位置，那就形成了一个推导符号 好了。等量代换， p d 加上二分之一 p c， 那 就等于 p d 加上 p e， 我 们又把它转化为两条线段的和， 所以 p d 加上 p e。 因为点 d 和点 e 是 定点两，根据两点之间线段最短，所以点 p 在 顶 p 在 直线 d e 上时，它达到最小值。而刚才说 p e 比上 p c 啊， b e 比上 p c 是 等于二分之一，所以 b e 呢，是等于一，所以 c e 就 等于三， c d 等于四。根据勾股定律可以算出来它等于五，因此最终的答案就是五。 好，这是关于二十元题目啊，关于网上 关于二十元的题目是最多的一种类型 啊。这个第八个，第八个页面的讲解呢，我们就说到这里。

今天我们开始学习初中数学著名的几何模型 r 式圆。什么是 r 式圆呢？平面上有两个定点， a、 d 动点 p 满足 p a、 b， p b 等于 k， 则点 p 的 轨迹是一个圆，这个圆就是 r 式圆。 我们证明下 p 点的轨迹为什么是圆？做三角形 p a、 b 的 角平分线 p c 交 ab 于 c 做外角平分线， p d 交 ab 的 延长线于 d。 根据角平分线定律，横有 p a 比 p d 等于 a， c 比 bc 等于 d， a 比 d， b 等于 k。 角平分线定理上期已经讲过了，不清楚的同学可以再看下。可得，当比例 k 不 变时， c、 d 为定点。因为 p c、 p d 为角平分线，所以角一等于角二，角三等于角四，可得角二加角三等于九十度，即角 c， p d 等于九十度， c、 d 为定点角 c， p d 横为九十度。而九十度的圆周角所对的弦是直径，所以 p 的 运动轨迹为以 c、 d 为直径的圆，圆心为 c， d 中点 o。 当点 a， 点 b 系数 k， 确定 r 是 圆，也是唯一的。 下面推导一组很重要的比例关系，进而得出阿士圆隐藏的子母形相似三角形连接半径 o， p 即为二。由在初中学习的等比性质 上面的式子可以推导出这些关系， 即 o， a 比半径， r 等于二比 o， b 等于 p a， b， p b 等于 k， 三边对应成比例，所以三角形 p a、 o 与三角形 b， p o 相似。 这组相似三角形对我们解析很有帮助。阿式圆问题怎么做？关键的就是找到这个相似。接下来我们看看 k 变化时，阿式圆怎么变化。当 k 大 于一时，关注我 b 点在圆内， pa 大 于 pb， 当 k 等于一时 p 在 ab 的 中垂线上，当 k 小 于一时 a 点在园内， p a 小 于 p b， 可以 看出园外的点所在线段。恒大于园内的点所在线段。下一期我们分析阿是园考题模型，记得点赞关注哦！各位同学请记住， 学习是你这一辈子能做的最简单的事，没有之一！

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到二十元问题。这节课的几何画本课间设计讲解，也就是第九个页面。 第九个页面，这是网上常见的一个关于二十元的题目。呃，最值问题， 嗯，稍微说一下，就是我为什么要讲这一节课，也就是说从母子型相似到二十元这节课，他的设计初衷就是一提到二十元这个最值问题，都是这这一类的题型。 首先有缘，也就二十元问题，他都是已经有缘的。二十元，这个全称叫做阿波罗尼斯元，也就是， 嗯，元是从何而来的。所有，我看到网上的所有的题型题目和一些相关的讲解，关于二十元的题目的讲解，都没有提到这个元是从何而来的。所以呢， 我就专门设计了这节课二十元的。从初中几何的角度去理解二十元，当然高中是用曲线方程的方法，那个呢？呃，到了高中再说学生到了高中再说。在正方形，我们来看看，具体来看看这道题目，在正方形 a、 b、 c、 d 中，它的边长是四圆 o 呢，半径为二点 p 是 圆 o 上的一个动点。这道题目当中直接说点 p 是 个动点，那我也可以说点 p 是 圆 o 上，而圆 b 上的一一点， 让你去求这个 p d 加上二分之一 p c 的 最小值，这道题目也没有什么问题，是吧？所以它明确说是动点。 那这道题目呢，需要抓住的最大的关键就是它不是简单的两条线段的之和，而是其中一条线段的二分之一。 来看看当点 p 在 圆 o 上，圆 b 上这么来回运动的时候，还是动中抓住 啊，不变的量，或者说变变中抓住不变的量还是一样。最大的核心就是 圆 o， 圆 b 的 半径不会发生变化，所以 bp 始终等于等于二。来看看 这个三角形，抓住三角形 b c p 这个三角形顶 p 在 运动，这个三角形会发生变化，但是，但是 b p 不 会发生变化， bc 也不会发生变化。所以我们可以把 b p 看作是中， 把 bc 看作是大，我们只需要在较大的边，也就是这个大是指的较大的贡献边。在大贡献边中截取一个小贡献边，使得小比中等于中比大。好来看看，中等于二， 大等于四，二比四等于二分之一。所以我们构造一个较小的贡献边， 使 b e 比上 b p 等于 b p 比上 b c 也就等于二分之一。再连接 p c， 抓住这两三角形，有一个公共角啊，所以这两三角形是形成母子形相似，所以 p e 来回比等于相似比，那么公共角的对边之比也是相似比，所以 p e 比上 p c 就 等于二分之一，进而得到 p e 等于二分之一 p c。 呃，这个箭头呢，是从 ppt 里面的基本形状里面截取过来的呃，稍微调整一下它的大小，然后呢，把它可以把它复制过来，复制过来以后呢，它就是一个图片而已啊，呃，把它调节到适当的位置，那就形成了一个推导符号 好了。等量代换， p d 加上二分之一 p c， 那 就等于 p d 加上 p e， 我 们又把它转化为两条线段的和， 所以 p d 加上 p e。 因为点 d 和点 e 是 定点两，根据两点之间线段最短，所以点 p 在 顶 p 在 直线 d e 上时，它达到最小值。而刚才说 p e 比上 p c 啊， b e 比上 p c 是 等于二分之一，所以 b e 呢，是等于一，所以 c e 就 等于三， c d 等于四。根据勾股定律可以算出来它等于五，因此最终的答案就是五。 好，这是关于二十元题目啊，关于网上 关于二十元的题目是最多的一种类型 啊。这个第八个，第八个页面的讲解呢，我们就说到这里。

好，这个视频呢，我们来讲一下从母子型相似到二十元问题几何画板课间设计讲解的第十二个内容，也就是角平分线定律。 呃，我们课本上所学习的角平分线定律呢，实际上是角平分线上的点到角两边的距离相等，这个呢，叫角平分线的性质定律。 因为两个三角形，呃，这个 a、 d 平分角 b、 a、 c， 所以 这两个红颜色的角是相等的。 呃，我们也可以利用角平分线定力。呃，去，去，用面积法去证明啊，用面积法，那么顶地向 a、 b 和 a、 c 做垂线段， 所以这两条垂线段是相等的。那么根据三角形 a、 b、 d 与三角形 a、 c、 d 呢形成。呃，这这两三角形的面积之比 就等于底边之比，因为它们的高相等。那在这里面呢，我选择另外一种方法，就是构造平行线， 过顶 b 做 a、 c 的 平行线，然后延长 a、 d 交于顶 e。 内错角相等啊，这个角和这个角是内错角相等。那这样呢，我们就三角形 a、 c、 d 与三角形 b、 d、 e 就 会形成一个。呃，相似啊，这个相似呢，叫做，因为它特别像这个 x 型大写的字母 x， 所以 我们所以我们把它形象的称为 x 型相似。 由于 b、 e 与 a、 c 是 平行的，所以我们还有另外一组内错角相等，所以这两三角形呢，由两组角相等，所以它们是相似的。进而呢，我们可以得到 e、 b、 e、 b 比上 a、 c 等于 db 比上 c、 d， 这是利用的相似三角形的性质。 而等量代换，这两个红颜色的角又是相等的，所以 a、 b 就 等于 e、 b。 那 在这个比例式当中，我们可以把 e、 b 替换成 a、 b 等量代换，就会得到 a、 b 比上 a、 c 等于 d， b 比上 d、 c。 也就是说，对于三角形 a、 b、 c 而言，角平分线把三角形 a、 b、 c 的 周边分成两组， 一个是 a、 a、 b 和 b d， 一个是 a、 c 和 c、 d， 那 我们可以形象地称为呢？ 左边一比上右边一，等于左边二比上右边二。 那这个这个思考题，或者说我们说角平分线定，角平分线定，你的这个设计意图是什么呢？我们把 bc 看作是一条边 点 a 到点 b 和点 c 的 距离之比啊，又是一点到一条线段的两端的距离之比 啊，就等于 d、 b 比上 d、 c， 而这个点 d 呢，恰好是这个线段 b、 c 的 一个内分点啊，内分点为下一道题目呢做准备。 下面我们再来说一下，当这个点 a 的 位置发生改变时， 你看看。如果我们把线段 bc 看作是一条定定线段，把点 d 看作是一个定点，那么我要想构造一个三角形， 我要我要想确定一个点 a， 当它连接 a、 b、 a、 d 和 a、 c 时，使得 a、 d 平分角 b、 a、 c， 那 么这个点 a 就 应该是一个二十元 啊，点 a 的 轨迹就是一个二十元，其中以点 d 为内角呃，内分点的一个二十元。好了，这个第十二个页面呢，我们就讲到这里。

这个视频我们来说一下从母子型相似到二十元问题，这节课的几何画板课间设计讲解第七个页面，也就是思考三。 这个页面呢，主要是针对呃，从几何，这从嗯，之前是从角的角度去理解母子形相似，那么我们也可以从边的角度去理解母子形相似。 再次来看一下，如果 p a 的 平方等于 p b， 乘以 p c 来证明三角形 p a、 b 相似于三角形 p c a。 我 们先把这两个三角形分离开来， 如何证明呢？首先这两个三角形它有一个公共角，之前呢，是从 这个较大的三角形中啊，已经有一个角是公共角了，所以我从剩下的角 a 和角 c 中截取，因为角 a 较大，所以我可以，我可以截取一个，呃，截取一个角与角 c 相等，那现在呢？不是角，是边的角度。 我们说如果两个三角形已经具备一个角相等，那么以这个角为加角的两边如果对应成比例，那这两三角形就是相似的。所以根据已知条件，它是等积式啊，也就是比例中项，我们可以把它 转化为 p b 比上 p a， 也就是 p b 是 小比上中等于 p a 比上 p c， 也就是中比上大。那看来以公共角角 p 为夹角的两边应该是对应成比例的。这样呢，我们就得到三角形 p a、 b 相似于三角形 p c a， 现在我们将它复位 小比，这个 p b 比上 pa 就是 小比中 pa 比上 p c 就是 小。呃，中比大。 那么这个比值呢？我们就认为它就是相似比啊，它就是相似比。那么三三角形，两个三角形相似，两个三角形相似，那什么叫相似比？那对应边的比就叫做相似比，对吧。那么一个三角形应该有三条边，所以 小比中是相似比，中比大也是相似比。那还有一个呢？就是公共角的对边，在子当中， 角屁的对边是 ab。 在 母三角形中，角屁的对边是 a c， 所以 a 我们还可以得到 a b 比上 a c 也等于 k， 如何来识别？这里面就有一个小技巧，就说小比中有一个来 中比大就是回，我们可以形象的把它叫做来回比啊，来回比 来就是小笔，中回就是中笔大，来回笔相等，我们就再加上一个公共角，我们就能得到这两个三角形相似，并且来回笔就是相似笔。还有 公共角的对边之笔。注意，我们这里面更加强调的是词啊， 公共。在子三角形中，公共角的对边之比比上母三角形中公共角的对边，这样 公共角的对边之比是子的对边比上母的对边也是相似比。下面我们反过来， 现在给你一个三角形 a b a p c 如何去构造一个角啊？构造一个三角形，让它与圆三角形 a、 p c 形成母子形相似。 既然三角形 a、 p、 c 是 一个已知的三角形，那么中这条边已经固定，大这条边也已经固定，所以中比大之比已经固定了。 所以我们在 p c 边上截取一个较小的边，使得使得小比中等于中比大， 这样我们取得，呃，取得这个点 b， 呃，重来一遍啊，我们在 p c 边上截取线段 p b， 使得它的长度较小， 使得小比中等于中比大。那这样呢？我们就连接 a b， 这样我们就得到三角形 p a、 b 与三角形 p c、 a 是 相似的，而它而这个相似呢，就形成母子形相似。 所以我们从这个角度是从边的角度去理解母子形相似的。 给我一个三角形，它是母，那么我把角 p 看作是公共角的话， 那么这个中与大之笔就已经确定了。所以我在大共线边里面截取一个小共线边，使得小比中等于中比大，这是从边的角度去 理解如何构造母子形相似。好了，这一讲呢，我们就说到这里。

今天咱们来看这道超难的动点轨迹为圆的双动线段比例最值问题，说在这个红色矩形中，长宽分别是四和三，这红绿两个直角三角形。关于这条黄色线段对称，这里的 e 是 ab 上动点，那么也就是说这里的 d、 f 是 等于 a， d 等于三的， 让我们求这两条绿色线段比值的最大值。前面我们分析过了， b、 f 是 定值三，那么 f 点轨迹就在以 d 为圆心的圆上，那么很明显这就是我们说的双动线段比例最值问题。轨迹圆形。这几天我们一直在讲双动问题，我们知道只要是双动问题， 那核心思想就是化双动为一地一动，进而转化为求动点轨迹问题，而这个转化的方法通常就是通过构造相似来完成的。对于动点轨迹为圆的情况，最常用的有三种方法， 分别是割线定力、子母相似法、定基定角繁衍和乘积转化比例刮斗法。其中割线定力有局限性，它只适合定点在动点轨迹圆外。 另外两种方法则是通用的，但割线定理法是最简单计算量最小的。之前我们讲过了这种动点轨迹为圆的割线定理法，这里给出解要步骤，不会的同学可以去我主页工具贴二看一下。 咱们今天用最通用和逻辑上最通顺的子母相似法详细的讲一下。子母相似可是解决这种双动线段所在的这个红色三角形还有一条定线段 bc， 那么这正好符合我们构造子母相似的前提。此时我们延长 b f 至点 g， 使 b f 乘以 b g 等于 b c 方， 然后将乘积式化作比例式，可知红绿两个三角形相似，那么对应边乘比例就有，所求的两条黄边之比就等于这两条绿边之比，而 b、 c 又是定值三，那问题就变成了求 c 质的最大值及求质点轨迹问题。 这里 b、 f 与 b、 g 共线及夹角为零度，乘积为定值九，是不是就是定角定机了？主动点 f 的 轨迹也给出了，那么求从动点质的轨迹就简单了吧。 我们前面已经系统地学习过了定机定角，寻找所有情况从动点轨迹的方法，这里简单地复习下，不会的同学去我主页看一百二十期回贴。 我们首先找到定基线段的公共端点，再找到动点的轨迹圆圆心，这里是 b 和 d， 然后我们连接 b、 d 勾股定里一只 b， d 等于五，那么此时这个红色三角形就是我们的目标三角形。 然后我们以从动点所在线段 b、 d 为对应边，构造红色三角形的相似三角形 b、 g、 h， 那 么对应边乘比例可得，这个比例式化成乘积式，可求出 b、 h 等于五分之九。 同样的还是因为相似，我们可知这两条黄色线段之比等于这两条绿色线段之比为三比五。 那么在这个绿色三角形中，两条黄色线段成定比，这条红色线段为定长，可知这点轨迹为二十元。最后通过你所学的方式求出圆心位置，一轮疯狂的计算即可求减。

好，这个视频呢，我们来说一下从母子型相似到二十元问题这一课的几何画板课间设计讲解。呃，第三个页面， 第三个页面是关于切割线定你的这个思考。一、我们说母子型相似， 它也是有基本图形的，这个基本图形就是从圆外一点向圆引出一条割线，割线 p c 是 割线，然后 pa 是 切线， 那么三角形 p a、 b 与三角形 p c、 a 就是 相似的，那么它相似的模型呢？就是母子形相似。关于正名， 我的设计是这样子的，首先问学生，这两三角形已经具备一个什么样的条件？就是就是判断判定两个三角形相似的一个条件，那很明显就是一个公共角，那么 p a 是 圆 o 的 切线，那我们说只要证明这两个角相等就可以了。跟之前所讲的一样，这个这个角标呢？并不是。 呃，几何画本自带的那个脚标，因为这个自带的脚标比较小啊，我可以演示一下，这个明显比较小， 现在我把它隐藏，我是做的一个呃，自己画的一个扇形， 然后呢构造扇形的内部，这样这个标记就显得大一点。好，这两三角形已经具备一个公共脚脚屁相等。 呃，所以我们只要证明这个角，这个红颜色的角和这个红颜色的角相等就可以了。那么利用两个三角形，而这个 p a 是 圆 o 的 切线，那么一定会做出切半径，就是经过切点的半径。那么 呃，角 p a o 呢？就是一个直角。呃，一个直角，那在圆中是非常容易构造直角的，所以我们只需要 啊，这个红颜色的角和蓝颜色的角就是互余的，现在我们再来构造一个蓝颜色的余角，那在圆当中构造直角和余角是比较方便的，因为圆的直径所对的圆周角就是 直角，所以延长 a、 o 再连接 b、 d， 那 么角 a、 b、 d 就是 一个直角，所以直角三角形中两锐角互余，所以它是蓝色的角，那么角 d 呢？就是蓝色的角啊，红色的角，那么角 c 和角 d 是 根据都是弧 a、 b 所对的圆周角，所以角 c 和角 d 是 相等的。角 d 和这个蓝色的角是互余的，而这个 角 p a、 b 与这个蓝色的角也是互余的，所以角 p a、 b 与角 d 是 相等的，而角 d 和角 c 是 同弧所对的圆周角，所以他们这三个红颜色的角，角 p a、 b 跟角 c 就 相等了， 于是这两个三角形就相似了。根据相似，这两个三角形呢， 有一个，有一条边是公共边，所以 pa 在 第一个三角形当中是一二两个字母， pa 在 第二个三角形中是一、三两个字母。那我们说两个三角形相似，它的字母是严格对应的，所以一二两个字母就应该比上一二两个字母 p c。 第二个三角形中的 pa 是 一、三两个字母 p b。 好， 这个叫比例， 两组对应边乘比例。这个等式呢？呃，严格上叫比例式，我们从形式上来说，也可以叫等比式。等比式呢，根据内向之积等于外向之积，我们可以把它写成等积式，那么 p a 的 平方就等于 p b 乘以 p c。 现在我们把辅助线给它隐藏，就来看一看。我们把这两三种进行分离啊，分离啊，作为刻件呢，它有个复位功能啊，复位 几何画板，这个刻件就是这样子，如果你把它关闭的话，它就是问你是否要保存这个刻件的最后的状态，也就是说如果我分离了， 我关闭的话，如果你一旦保存，那么这个刻件打开来就是就是这个样子，所以一定要。嗯，怎么说有一个复位的按键 啊？也后面呢，我会在暑假当中来做。嗯，做一个系列的视频，就是 呃，二十元这一节课的集，这个这一系列视频是讲解呃课间的设计。另外一套视频呢，就是讲解这个几何画板技术解析， 在技术解析系列里面，我会不详细的讲呃，这个效果是怎么做的。好了， p a 是 公共边。 来看看这个等式，这个等式 p a 的 平方等于 p b 乘以 p c， 说明 p a 是 p b 和 p c 的， 呃，叫比例中项，所以比例中项实际上就是公共边。 而 p b 和 p c， 我 们说 p b 是 从 p c 中所截取的一个 部分的边，因为你要 p 角， p 作为公共角，剩下的角 a 肯定要比角比角 c 要大，那么你从角 a 中截取一个角较小的角，与角 c 相等的话，顺便也截取了一个 p c 边的 一部分啊，一部分。所以 pb 和 pc 是 共线边。 从大小关系上来说，因为 pa 的 平方等于 pa 乘以 pc， 从大小关系上来说， pa 就是 大中小，它的大小处于中间位置，所以呢，我们把它叫做呃，根据，正好它又是比例中项，所以 p b 显然要小，叫小贡献边。而 p c 呢，叫做大贡献边。 从数量关系上，关系上来说，不可能大的平方等于小。乘中也不可能小的平方等于大乘中，所以只能是中的平方等于小乘大，所以它们的大小关系就是 p、 c 是 最大的，母当中的共线边是最大的， 子当中的共线边是最小的，而母与子的公共边是处于中间的，它恰好是比例中项。 好，这是子，这是母。我们再来观察一下，就是 根据三角形这个的确定啊，有了公共边，有了小共线边，再加一个角，就确定了母子形相似中的子这个三角形， 而公共边与大共线边和这个角，公共角角屁呢，就确定了母这个三角形。 好，这一讲呢，我们就说到这里，关于几何画板的这个刻件设计呢？呃，后面还有，呃，十讲，后面还有十个页面，我们下期再见。

这个视频我们来说一下，从母子型相似到二十元问题，这节课的几何画板，课间设计讲解第八个页面， 前面呢，我们已经说过了，从边的角度去理解母子型相似，我们来看看，这是一道原本是一道高中的一道题目，它是翻译过来，翻译成初中题目呢，就是这样一个问题。 呃，高中呢，是运用向量来表达这样一个问题的。在坐标系 x o y 中，点 a 的 坐标是九零，圆 o 的 半径是六点， p 是 圆 o 上一点。 如果 x 轴上存在一点 m， 满足 pm 比上 pa 为定值，求出点 m 的 坐标。 现在这个点 p 是 圆 o 上的一点，也就是说 点 p 它的位置是不确定的，所以我们也可以把它看作是一个动点。呃，关于动点呢，很多题目当中明确地说它是一个动点。 还有些题目呢，就只是说点屁是圆 o 上的一点，或者说点屁是圆 o 上的任意一点，或者有些题目是给出点屁的坐标，但是坐标是一个横坐标是 m， 纵坐标是 n， 所以 他们都是，虽然他们都没有说他是一个动点，但实际呢，他就是在动点，呃，在动的，那这是隐性的一个动态问题，我们说遇到动态问题，一定要寻求 动点，动态，或者说动点问题当中的呃，不变性就变中的不变点屁，他的位置在发生改变。那么什么不变呢？ 那么我们说，因为你顶 p 是 在圆 o 上运动的，所以 o p 作为半径，它是不会发生变化的。 那这个时候呢，我们就找到了一个三角形，三角形 o p a 点屁在运动的时候， o p 的 长度没有发生变化，另外就是 o a 的 长度也没有发生变化，因此这个三角形随着点屁的运动，这个三角形有两条边，不会发生变化， 半径呢，长为六。现在要我们找一点 m， 找一点 m， 使得 pm 比上 pa， pm 比上 pa， 嗯，是一个定值。那这时候我们就联想到，联想到从边的角度去理解 母子形相似六，因为这个长度是六，我们可以把它看作是中啊，比例，中向比例，这大中小，那个中 o a 等于九，我们可以把它理解为大，那么中比大 这个值呢？就是一个就相似比，是吧？相似比，所以我们从大贡献边中去找一个较小的贡献边，使得 o m 比上中六等于六比九，那很显然， 六比九等于三分之二，那么四比九就等于三分之二，因此 o m 呢，是小， 很容易求出来。 o m 比上六等于六比九，所以 o m 应该等于四，所以点 m 的 坐标就是四零。 这两个三角形它形成一个，再加上小比中等于中比大，再加上公共角是相等的，所以这两个三角形呢，就是形成就有一个角是公共角，它们相等， 再加上以这个公共角为夹边的两组边对应成比例，所以这两三角形是相似的。判定方法是，呃，两组边对应成比例，且夹角相等，但是呢，他们的相似的类型还是母子型相似。 前面我们已经说过，小比中等于中比大，也就是来回比，来回比就是相似比， 这样呢，嗯，我们还有一组边，也就是公共角的对边之比，也是相似比，所以 pm p 角，这个公共角的对边，一个是在子当中是 pm， 在 母当中是 pa， 所以 它们的比呢，也等于相似，比也等于三分之二。 因此 pm 比上 pa 啊，就等于 o p 比上啊， o m 比上 op 等于小，比中也等于啊，中比大也等于三分之二。这样我们就求出了点 m 的 坐标，并且呢， 呃， pm 比上 pa 是 定值，这个这个定值呢是三分之二。 下面说一下这个几何画板的刻件的设计，主要是运用运用这个从边的角度去理解 母子形相似，抓住一个三角形，母三角形中只要有两边他是定值，那他是定值。那么呢，我们就可以从较大的边中去截取一个较小的边，让这个， 呃已知的这个母三角形中较小的边，实际上它就是中啊，比例中项的中大中小。好了，这讲呢，我们就说到这里。

阿是圆是用来解决一类带有系数的线段最值问题。没错没错，这个模型确实在初中几何里面经常考到。首先我们要探讨的主题是阿是圆到底是什么？ 然后它的定义是怎么来的？其实阿是圆就是一个到两个定点 a、 b 的 距离之比等于定值的动点 p 的 轨迹啊，这就是一个圆，我们就叫它阿波罗尼斯圆，简称阿是圆。 ok， 那 紧接着咱们来看一道具体的题目啊， 就是这个 r 式圆模型，它在求带有系数的线段最值问题当中的应用。嗯，你比如说这个矩形 a、 b、 c， d 中， a b 等于六， b c 等于八， p 是 这个矩形内部的一个动点，然后 p a 等于四，求 p c 加上二分之一倍的 p d 的 最小值。 首先咱们先判断一下这个模型，因为这里面有一个系数二分之一，然后 p 点的轨迹是一个圆，所以这个就是典型的 r 式圆问题啊，它不是胡不归， 胡不归是动点在直线上运动啊。阿是圆，它的核心的方法就是要构造子母相似。 ok， 那 这个子母相似到底是怎么构造出来的？是这样的， 就比如说在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于三， ac 等于九，那如果我们要找一条线段等于三分之一 bc， 我 们就在 a、 c 上取一点 d， 使得 a、 d 比 a， b 等于一比三，这样的话，我们就有了 a d 比 a， b 等于 a， b 比 a c， 又因为角 a 是 公共角，所以三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 b 就是 相似的，那 b、 d 就 等于三分之一 b、 c 了。哦，我大概明白了， 就是说我们要去构造这个子母相似，其实就是要去凑这个比例关系，然后利用公共角来证明相似。对，就是这个意思。那我们回到这道题，我们的目标是要找二分之一 p d 有 关的三角形，且两条边的比是一比二。那这里因为 a p 等于四， a d 等于八，刚好是一比二，所以我们就在 a d 上截取一段 a m 等于二，然后连接 pm， 这样的话我们就有了 am 比 ap 等于 ap， 比 a d 等于一比二。又因为角 a 是 公共角，所以三角形 apm 和三角形 a d p 相似，那 pm 就 等于二分之一 pd。 嗯，那通过这个相似，怎么把要求的这个 pc 加上二分之一 pd 转化成我们熟悉的问题呢？ 其实啊， p c 加上二分之一 p d 就 等于 p c 加上 pm， 那 根据两点之间线段最短，所以当 c p m 三点共线的时候， p c 加 pm 最小，这个最小值就是 cm 的 长。 嗯，那在直角三角形 c， m d 中，因为 m d 等于六， cd 等于六，所以根据勾股定律可以算出 cm 等于六倍根号二。原来如此， 那我们今天其实就是讲了这个阿是圆模型它的这个原理，以及它在球带有系数的线段最值问题当中的巧妙应用。对，其实说白了就是构造子母相似，然后把它转化成一个两点之间线段最短的问题。