八年级下册数学108第9题怎么画

今天我们再来看一道八年级的尺规作图题，那么现在新教材之后，七年级和八年级经常好考尺 规作图，不写做法，但要保留作图痕迹。如图，四边形 a、 b、 c、 d 在 边 a、 d 上求作一点 e 在 边 bc 上求作一点 f 在边 c、 d 上求作一点 g， 使四边形 e、 f、 c、 d 为菱形，让我们做的是菱形。那么这道题的尺规作图的依据就是运用菱形的对角线 三个性质，一、互相垂直。二、互相 平分。三、平分对角。 那么同门想一想，首先 e、 f、 c、 d、 e 点我们是要保留的啊， e 点是要保留的啊， c 点是要保留的， e 点在 a、 d 上， f 在 b、 c 上， 那么 g 点是在 c、 d 上。大概是这样一个图形啊，大概是这样一个 菱形啊，大概这样一个菱形的位置。那么我们首先怎么要考虑是怎么运用 c 点来找到 e 点？ 很显然，我们用的是对角线平分，没读对角。所以这道题的第一步先找到 e 点，那么是作角 c 的 角平分线， 那么脚碎的脚皮中线， 那么我们说脚碎的脚皮中线和 a、 d 的 交点就一定是一点的位置。因为菱形对角线平分，每一组对角有 c 点，我们可以很容易找到一点的位置。 那么我们再怎么去找 f 和 g 的 位置，那么 f 和 g 是 菱形的另外一条对角线，所以我们利用它们对角线垂直平分 这两个性质来做，所以那个 f、 g 肯定是要垂直平分 c、 e。 所以 第二步我们只要做出 c、 e 的 垂直平分线就可以了。 那么 c、 e 平面和 bc 的 交点就是 f 的 位置，和 cd 交点就是 g 的 位置，最后我们再连接 ef 和 eg， 那 么四边形 ef， c， g 就是 让我们做的菱形。 好这道事物做头题运用的就是菱形的对角线，它的三个性质来进行做头的，你学会了没有？好，这道题就讲到这里，同城再见。

我们一起来看一下这一道八年级下册关于各股定律的题目。如图是一块四边形场地， a、 b、 c、 d 边 c、 d 上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度。经测量得知， a、 b 等于 a、 d 等于六十米，角 a 等于六十度， b、 c 等于八十米。角 a、 b、 c 等于一百五十度。如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出 c、 d 的 长度。首先我们 看到 ab 和 ad 是 相等的，而且有个六十度，那我们立马就想到有一个知识点，就是有一个角为六十度的等腰 三角形，是等边三角形。屏幕上面告诉我们 ab 等于 ad 等于六十米， 我们就不妨做一个等边三角形出来。我们可以连接 b、 d， 这样子的话， a、 b、 d 就是 一个等边三角形，而这个角就可以知道它是等于六十度， 这条边也等于六十米，而 a、 b、 c 它是等于一百五十度的，那么角 d、 b、 c。 那 就等于一百五十度。减六十度就等于九十度，那么三角形 d、 b、 c 就是 l、 t 三角形。 在一个直角三角形当中，已知直角边的长度要求斜边，那么我们就可以用勾股定律 c、 d 等于根号， b、 c 的 平方加 c、 d 的 平方就等于根号八十的平方，加六十的平方，那就等于一百。我们把这道题的一个解的过程写出来解，如图连结 b、 d。 因为 ab 等于 a、 d 等于六十米，角 a 等于六十度， 所以三角形 a、 b、 d 为等边三角形，所以角 a、 b、 d 等于六十度， b、 d 等于六十米。 因为角 a、 b、 c 等于一百五十度，所以角 d、 b、 c 减角 a、 b、 d 等于一百五十度，减六十度等于九十度。在 r、 t 三角形 d、 b、 c 中， b、 d 等于六十米， bc 等于八十米。 所以 c、 d 就 等于根号 b、 d 的 平方，加 b、 c 的 平方就等于根号六十的平方，加八十的平方就等于一百米。这就是这一道题的解析思路和解析过程， 大家听明白了吗？自己在本子上面重新做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

这个是练习的第二题，你可以先暂停思考一下这道题怎么做。好，我们现在来讲一下，他说一个四边形的一组对角是互补的，他的另一组对角是什么关系？我把一个四边形画一个，随便画一个四边形出来，随便画一个啊，我们把它的内角标起来， 角一、角二、角三、角四，看到没有？好，一组对角什么意思？也就是说角二，这个角一和角三是一组对角，它们是相对的， 而这个角二和角四，它也是一组对角，也是相对的，它的另一组对角有什么关系？好，我们这里就假设，假设 其中一组对角 互补是角一和角三，加起来等于一百八十度，对吧？好，角一加角三，那另外一组对角就是角二和角四了，对不对？好，那我们因为四边形内角和是三百六十度，四边形 内角和为三百六十度，所以我们可以得到这个角二加角四，或者是角一加角二加角三加角四等于三百六十度。你再把角一和角三做一组， 角二和角四做一组，然后把角一加角三等于把它替换掉， 就等于三百六十度，那么角二加角四就会等于三百六十度，减去一百八十度，所以角二加角四就会等于一百八十度。 那角二加角四等于一百八十度，是不是也是互补啊？对不对？所以我们就总结一下，四边形的一组对角互补，则另一组对角也互补就 ok 了。

我们一起来看一下这一道八年级下册的题目。如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 c、 a 是 九十度角， a 是 三十度， ab 等于四， cd 垂直于 ab 于 d。 求 cd。 这道题，首先它告诉我们其中一个角是三十度，而且是直角三角形，那么我们就可以知道三十度所对应的直角边是斜边的一半，那么 c、 b 就 等于二。用勾股定律，我们就可以把 a、 c 算出来，等于根号 a、 b 的 平方减。 b， c 的 平方等于根号四的平方减二的平方等于二倍根号三。 现在题目上面要求我们求 c、 d。 注意了这个直角三角形，我们在图上可以看到两组底和高，第一组是 直角边， bc 和 ac， 第二组是斜边 ab 和 ab 上的高 cd， 所以 我们可以用等面积法把这道题算出来。好，那我们把解的过程写一下。解 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，因为角 a 等于三十度，所以 b、 c 等于二分之一， ab 等于二分之一，乘以四等于二， 所以 a、 c 就 等于根号 a、 b 的 平方减， b， c 的 平方等于根号四的平方减二的平方等于二倍根号三。因为 s 三角形 a、 b、 c 等于二分之一 乘以 b， c 乘以 a， c 等于二分之一乘以 a， b 乘以 c、 d， 所以 二分之一乘以二，乘以二倍。根号三等于二分之一乘以四，乘以 c、 d， 所以 c、 d 就 等于 二，乘以二倍。根号三除以四等于根号三。这就是这一道题的整个解析思路和解析过程，大家听明白了吗？自己在本子上面做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

我们一起来看一下这一道八年级下册关于动点形成等腰三角形问题的题目。在三角形 abc 中，角 a、 c、 b 等于九十度， ab 等于五， bc 等于四。若 p 点从 a 以每秒一个单位长度的速度沿折线 a、 c、 b a 运动，回到点 a 时，停止运动，设运动时间为 t 秒 d。 问，当 p 在 b c 点上， 且 p a 等于 p b 时，求 t 的 值。二、当点 p 在 a、 b 上，求 t 为和值时，三角形 a、 c p 是以 a、 c 为幺的等腰三角形。这道题相对来说比较难。首先，题目上面告诉我们，角 c 等于九十度， ab 等于五， bc 等于四。根据勾股定律，我们就可以知道 a、 c 等于三， 所以角，因为角 a、 c、 b 等于九十度， a、 b 等于五， b c 等于四，所以 a、 c 就 等于根号 a、 b 的 平方减 b， c 的 平方等于根号 五的平方减四的平方，这是一组勾股数，所以 a、 c 等于三，而他说 p a 等于 p b， 那 么我们先连接 p a， p a 等于 p b， 那 么 p 就是 从 a 走到 c， 再走到 p， 所以 p 运动的长度就是 ac 加 cp， 我 们可以设运动的时间为 t， 那么他走了 t 秒，而走了 a c 加 c p， 那 么 t 秒所走的路程不就是 t 了吗？所以 c p 就 等于 t 减三，那么 p b 的 话，那就等于四减， t 减三，那就等于七减三，所以 p b 就 等于七减三。 由于 pa 等于 p b 的， 所以 pa 也等于七减三。这样子，根据勾股定律，逆方程就可以把 t 算出来。我们先做一下第一问一， 我们把这个图叫做图一，如图一连接 ap， 设运动时间为 t 表，所以 c p 就 等于 t 减三， b p 就 等于 四减 t 减三等于七减 t。 哦，这里是七减 t 才对。 因为 pa 等于 p b， 所以 pa 也等于七减 t。 根据勾股定律，得 三的平方加 t 减三的平方等于七减 t 的 平方，那就等于九加 t 的 平方减六， t 加九等于 四十，九减十四， t 加 t 的 平方， t 的 平方和 t 的 平方去掉，把十四 t 移过来，就剩下八 t 就 等于四十，九减九减九，八 t 就 等于三十一， 所以 t 就 等于八分之三十一。当 pa 等于 pb 时， t 的 值为八分之三十一。这是第一问，第二问。我们再看一下， 当 p 在 a b 上，就是 p 在 斜边上， t 为合值时，三角形 a c p 是 以 a c 为腰的等腰三角形，他说 a c 为腰，但是并没有说明 a p 是 底还是腰。所以这里就有两种情况，由于时间关系，先把两个备用图先画了，我们把这个图叫做图啊。我们假设 a c 为幺， a p 也为幺，那么我们就可以在 a c 上取一个点， p 连接 c p， 一 种情况 如图二，连接 c p， 当 a c 等于 a p 时，因为 a c 等于三， 所以 a p 也等于三，就是这里是三。而斜边 a b 是 等于五的，所以 b p 就 等于五减三等于二， 所以 p 所走的路程就是 a c 加 c， p 加 b p， 所以 b p 就 等于 a b 减 a， p 等于五减三等于二，所以 a c 加 c， b 加 b， p 就 等于三加四加二等于九， 所以 t 就 等于九。除以一等于九，这是第一种情况。第二种情况的话，可以是 a c 和 c p 相等，就说 a c 和 c p 为腰。我们先把图先画一下，这个图叫图三。 第二，如图三连接 c p， 当 a、 c 等于 c、 p 时， 因为 a、 c 等于三，所以 c、 p 也等于三，就是它是三，它是三。那么 p 点所走的路程就是 a、 c 加 c， b 加 p、 b， 而 a、 p 等于多少呢？我们就要求出来，那怎么求呢？我们可以过 c 点做 ab 的 高， 为什么呢？因为三角形 a、 c、 p、 b 是 一个直角三角形，我们用等面积法，用二分之一乘以 a， c 乘以 b， c 就 等于二分之一乘以 ab 乘以 c、 d， 这样子我们就可以把 c、 d 算出来。过 c 点做 c、 d 垂直于 ab， s。 三角形 a、 c、 b 等于二分之一， a、 c 乘以 c， b 也等于二分之一， ab 乘以 c、 d， 所以 二分之一乘以三乘以四，是等于二分之一乘以五 乘以 c、 d 的， 那么 c、 d 就 等于二点四， g、 d 算出来是等于二点四，那么我们用勾股定力就可以把 a、 d 算出来。所以 a、 d 就 等于根号 a、 c 的 平方，减 cd 的 平方就等于根号三的平方，减二点四的平方就等于根号九减五点七、六等于根号三点二、四。算出 a、 d 等于一点八，那 a、 d 等于一点八。 因为 ac 和 cp 它们是相等的，它是一个等腰三角形，三线合一，所以 d 点也是 ap 的 中点，那么 ap 就 等于两倍的 ad。 好， 我们往这边写，因为 ac 等于 cp， c、 d 垂直于 ab， 所以 d 为 ap 的 中点，所以 ap 就 等于两倍的 ap 就 等于二。二乘以 一点八，等于三点六，那么就可以把 b、 p 算出来， b、 p 就 等于 ab 减 ap 等于 五，减三点六，等于一点四。这样子的话， p 点它所运动的轨迹就是 a、 c 加 c， b 加 b p， 那 么它的路程就是三加四加一点四，所以 a、 c 加 c， b 加 b， p 等于三加四加一点四等于八点四，所以 t 等于八点四。 所以第二问，如果说 a、 c、 p 是 等腰三角形的情况下的话，那就有两种情况，第一种情况的话就是九，第二种情况是八点四，所以综上所述，当 t 为九或 八点四时，三角形 a、 c、 p 是 以 a、 c 为腰的 等腰三角形。这是一道动点的题目，对于初中生来说是比较难的，但是其实一慢慢慢慢分析下来的话，也不算很难， 这道题大家要反复的多看两次，这就是这道题的解析思路和解析过程，大家听明白了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

要想成绩好，天天听我讲 半年级数学下册数学小册子的第十五页纸第三题，两个城镇 a、 b 与两条公路 o、 c、 o d 的 位置如图所示，其中 o c 是 东西走向的公路。 好，这里的图在这个 o c 东西左右啊， o d， o c 是 公路， a、 b 是 两个什么呢？两个城镇啊，这个在 o d 的 两边。 好，继续我们看图，现在电信部门需要在点 e 处修一个，这哪来的点 e 呢？修建一个信号发射塔， 要求发射塔到哪里呢？在角 c、 o d 的 内部，并且到城镇的距离相等，到 ab 的 距离相等，并且到公路的距离啊，也相等。那么点 e 应该写在哪里？请在图中用尺规作图，找出符合要求的点 e， 不 写做法，保留痕迹。 好，对于这里呢，我们未来都是这样的，不写做法，保留痕迹。现在对于这个图，刚才说到 ab 的 距离要相等，所以我们现在怎么做呢？我们现在把 ab 可连可不连，其实连起来哈，为了说明方便 啊，我们做 ab 的 垂直平分线。当然呢，题目上也说到角的平行线，我先把角的平行做出来，再来做中垂线啊。 角的边以点 o 为心，以任意长为半径作弧，再分别以这个两个角的 o 为心，以大二分之一两点的长度为半径作弧，对吧？这个加入一点好，现在我们看到过这里这个点，这里他们的加点和这里的这个点 做一条射线啊，这就是角平分线，那就是那个点 e 应该在这条线上。刚才我们说到 a、 b 的 距离相等，所以我们以点 a， 点 b 为圆心，以大于二分之 a、 b 的 长为半径做弧， 关键是这两弧的焦点要找出来中间，你说这个东西要不要做无所谓了，我们只是把这个两个两点确定一条直线 啊，这个是 ab 的 中垂线，好，慢一点画好啊，好了，他们的加点 e。 好， 这个图形它的字母痕迹，但是我的要求呢，还要写个结果点 e 啊，写在这里，既为所求，既为所作都可以，你就简单的写一下就行了。啊。好，我们看到第四题在刚才的做图题啊，有人 有的同学这个连圆规都没有，如果有的家长刷到我，你一定要叫孩子跟着我一起做啊，那你一定成绩，你那个这个又不要钱的，是吧，你那个在外面要听花许多钱，你看，跟着我讲，跟着我听多好。如图，在三角形 abc 中，角 c 九十度， 现在呢，第一步，取个作图作角 a， 什么 a， b， c， 哪讲呢？这角平分线加 a， c 与 d， 保留痕迹，不求做法，标明字母。你看好，那么这个做哪个角？ a， b， c， 那 我们就以点 b 为圆心，以任意长为半径啊，我稍微做短一点 好，那么加这个角的两边为两点，再分别以这两点为半径。好，这里呢？啊，慢一点 好，他现在呢，就加入一点。加到哪里来了？哦，刚才加到这里来了啊，刚才好像这个挡住了，对吧？啊， 加到这里对吧，看，你看见吗？啊，加这里。好，那么过这个地方和这里做一条。哎呦，这里注意问题啊，什么问题？ 就是三角形的角平分线呢，他是一条线段，角平分线是，是做这个角的平分线呢，他应该是射线，可是这又在三角形当中， 所以这又怎么办呢？对吧？本来角平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，可这题目又说做角平分线， 所以我觉得这么处理一下，咱们这地方虚线来表示，这地方实线来表示，那我觉得这个题目还是有点表述不太妥的啊。那么他加 a、 c 于 d 好， 点 d 在 这第一个横截图形写了，不写做法 啊，点 d 即为所求啊，比如说这条怎么的结一如图啊，点 d 即为所求 啊。第二个，在一的条件下，如果 b、 c 等于六， a、 c 等于八， 那么 ab 就 应该等于十，那么这样 ab 等于十，要求 d 到 ab 的 距离。好，这里我们做垂直。注意啊，现在做垂直是负的线啊， 做，比如做 d、 h 设置 a、 b， 那 么这地方你用高固定，你也可以利用那个面积也可以啊。过程呢，我就简单的提一遍，如果我们这个设 d 大 a、 b 的 距离为 x， 而假平方线呢？点大家在里面去建立下来，所以这个点 x， 这个点 x， 这个点六，这个点六，这个点四。呦，我们前面不是刚刚讲了吗？那就是四的平方加 x 的 平方， 嗯，四的平方加 x 平方就得，这个呢是八减 x， 因为这个等于 x， 这整个等于八，等于八减 x， 括号的平方一十六加 x 平方等于六十四减一十六， x 加 x 的 平方一十六， x 等于四十八， x 等于三。 刚才我们前面呢，求的也是三，这里求的也是三，对吧？这里怎么也还是三呢啊，这是一种方法，所以 d 的 a、 b 的 距离等于三，那我们也可以来利用面积， 对吧？如果面积 s 三角形 a、 b、 c 等于二分之 d， a、 c 乘以 b， c 等于二。分之 d 乘以这个什么呢？ b， c 乘以 x， 加上二分之 d 乘以 a， b 乘以 x。 有 这个方法跟前面讲的一样的， 跟这里讲的一样的，也等于三啊，这个也等于三我们就不多说了，记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十页练习。 嗯，第一题，一个矩形得一条对角线长，把两条对角线相交所成的角中有一个 为一百二十度。求这个矩形相邻两边长，相邻两边长的长啊，相邻两边的长。那我们首先呢，给它配一幅矩形 abcd， 然后对角线相交啊，与 o， 他 说，嗯，对角线相交所成的角中有一个是一百二，那你看这个肯定是大的一百二，对吧？然后对角线长为八，那么 a、 c 和 b、 d 都应该得八， 这个没问题吧？没问题。之后呢，他让我们求的是相邻两边长啊，相邻的两边长，那就是 ab 和 bc 啊。那我们来求一下啊，这题怎么求呢？你先分析一下题目啊。首先呢，菱形对那个矩形啊，对角线是互相平分的，那么他的一条对角线长为八， 那你的 a、 o 和你的 b、 o 都应该得四啊。矩形对角线相等且互相平分，也说 a、 c 和 b、 d 相等，然后呢，并且互相平分，那 a、 o 等于 ob 都应该得四。 然后你这个一百二，那零补是不就六十，那就说明这是一个等边三角形，那 ab 应该等于 a、 o 和 b o 都应该得四。 嗯，然后我们一条边是不求出来了，那我们在求 bc 的 时候，我们可以用直角三角形，用勾股定律，这是八，这是四啊，这就能求出来的四倍角三来。那第一题减， 如图所示，如图所示，因为 四边形 abcd 是 矩形， 所以你的 a、 c 等于 b， d 等于八，然后嗯，角 a、 b、 c 等于九十度。 嗯，还用上什么呢？还用上你的 a、 o 等于 嗯， b、 o 等于二分之一的 a、 c 等于四啊。然后又因为你的角 a、 o、 d 等于一百二十度，所以角 a、 o、 b 应该等于六十度 啊。嗯，这个地方可以换一种写法， 因为角 a、 o、 d 加上角 a、 o、 b， 它等于一百八，所以角 a、 o、 b 应该等于六十。 然后呢，我们可以知道，嗯，所以三角形 a、 o、 b 是 等边三角形， 所以 ab 等于 o， a 等于四。 然后在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，这个 b、 c 它应该等于根号下 a、 c 方减 ab 方就等于根号下 八方减四方，等于四倍根号。三、 第二题说，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形， a、 b、 c、 d 啊，是矩形，那你脑袋里就想，矩形有什么性质呀？ 矩形对角线相等，然后四个角都是九十度啊，这两条性质是平行四边形没有，而矩形特有的。 那 e 呢？在 b、 c 的 延长线上说 d、 e 平行于 a、 c 啊，他俩平行。那问你 d、 b、 e 是 等腰三角形吗？等腰三角形，那么 b、 d 和 d、 e 应该相等呗，是不是？那么你想啊， 这个题里我们说对角线，是啊，相等的，那也算 a、 c 和 b、 d 相等， 那么你的 a、 c 和 d、 e 又平行，那 a、 d 和 b、 c 平行， e 又在 b、 c 的 延长线上，那我是不是两组对边分别平行的四边形就是平行四边形啊？那你的 a、 c 和 d、 e 是 不就相等了？ 那等了再换，你的 b、 d 和 d、 e 是 不就相等了？那不就等幺了吗？是不是？所以来这道题啊，挺容易正的，那我们在在这里写吧，这地方擦掉一点 来。首先我们来解解儿，那人家问你是不是等腰三角形，你答是，然后理由如下， 那么我们先由矩形啊，四边形 a， b， c， d 是 矩形， 然后得到你的呃 a， d 会平行于 bc 啊，你的 a， c 会等于 b， d 啊，然后又因为你的这个呃 e 呢，在 bc 的 延长线上， 所以呢，我会把你的 a、 d 平行于 bc， 给它转换成平行于 c， e。 看到了吗？然后又因为你的 d， e 是 平行于 a、 c 的， 那这不就是两组对边分别平行了吗？所以呢，四边形 a、 c， e， d 是 平行四边形，那平行四边形的性质是不是应该是对边相等啊？所以 a、 c 会等于 d， e， 那 a、 c 又跟 b、 d 相等，等量代换，那么 b， d 就 会等于谁？ d e。 所以 三角形 d， b， e 是 等腰三角形 啊。这题就完成了。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

这是一道仅用五刻度的直尺进行作图的一道八年级作图题，很多同学不会做，那么现在作图题是近几年考试的热点。好，我们来看一下这道题。 在图一中的菱形 a、 b、 c、 d 的 边找一点 f 作线段， b、 f 等于底一， 那么说是在菱形的边上，他并没有说是在哪条边上，而且我们必须是用的是无刻度的智齿， 那么既然是用无刻度的支持，所以我们只能通过连线来找出相应的点，那么这里面用的知识点就比较多。首先我们先用一个全等法来找 b， f 等于 d、 e， 首先我们连接 i、 c， 这时候菱形 abc 的 对角线 i、 c 和 d、 e 有 一个交点，然后我连接 b 和这个点交点， 和 a、 d 相交于一点，这一点就是 f， 那 么这个 b， f 就是 等于 d、 e 的。 那么朋友们，为什么我们可以通过证明三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 b、 f 来说明 d、 e 和 b、 f 相同的，那证明的过程我就不再追溯了 啊。这是一个方法，另外一个方法就是我们可以构建平行四边形，就是在 cd 边上找一点 f， 在 cd 的 边上找一点 f， 这时候 beef 是 平行四边形，这时候 bf 就 等于 d、 e 了，这也是很多同学想采用的方法。 那么我们怎么找到 b、 f 和 d、 e 平行？好，我们的方法是，首先连接 i、 c， 再连接 b、 d， 那 这时候 i、 c 和 b、 d 有 一个交点 这点，那么我再连接 e 和这个交点 并延长，这时候它就会和 c、 d 有 一个交点 f， 这时候我们再连接 b、 f， 那 么 b、 f 就 等于 d。 一， 此时的 b、 f 也是等于 d 的， 我们同学们想一想，你可不可以证明这个 b f 是 等于 d 的 呢？ 那么我们可以证明 d b b e， d f 是 平行四边形， 怎么来证明它是平行四边形？特别客户想一想。这里面我就不讲了啊，就不讲了。好，第二问，在图二中的菱形 a b c d 的 边找点 f g， 使 b f 等于 b g， b f 等于 b g 等于 d e， 并作出等腰三角形 b f g。 那 么第二位恰好就是运用了我们刚刚讲的这两种方法，那么这个是 b f， 那 么我这种找的话就是 b g 了，所以我在连接这个点， 那么这个位置就是 g 的 位置。根据我们刚才讲的电路方法，我们知道 b g 是 等于 d e 的， b f 也等于 d e 的， 所以 b g 等于 b f， 那 么三角形 b f g 一定是一个等腰三角形。 那么这是八年级的一道特殊四边形当中用无刻度知识来进行作图的一个一道题比较好。好，这道题就分享到这里，朋友们再见！

题目他说设 a 等于根号六，减去根号二。 b 等于根号三，减去一， c 等于根号三加一分之根号二，然后给出了它们三个 指比较 abc 的 大小。好的，那我们来看，咱们要想比较大小，如何才能比较大小呢？因为我们会看到它们其实都是二四根四和二四根四有关，所以我们拿到二四根四，咱们说了第一步先干嘛呢？第一步我们先化解 好，那我们先对谁化解呢？咱们先对 c 化解，因为 c 的 话，它的分母下面是不是有二四根四，所以它不叫最减二四根四， 所以我们先对 c 进行化简，也就是进行一个分母有理化，化简完了之后咱们再去找关系，所以那么第一步咱们就是化简。 好，那我们会看到 c 的 话，它现在的分母是根号三加一，然后呢我们要想把它变成有理式，所以我们应该同时对分子和分母乘以一个根号三减一，这样的话咱们就可以构成平方差公式，对吧？ 此时我们是不是就达到了一个分母有理化的过程，将分母原来是无理式，然后变换成我们的一个有理式，所以下面就是根号三的平方，减去一的平方，上面是根号二倍的根号三借 一。 ok， 我 们下面的分母是不是就是二，然后二分之根号二倍的根号三借一。 好的，那我们接下来看，这是我们的 c 化简完了。好，我们化简完之后，你会发现有什么特征哦？在这里是不是有一个根号 三减一？这里是不是也有一个根号三减一？如果我们把 a 也可以构造出一个根号三减一，他们是不是就有公共部分了？那咱们这个时候是不是就便于比较？所以我们接着对 a 进行化简。 a 怎么化简呢？咱们的根号六可以写成根号二乘以根号三， 然后根号二是不是可以写成根号二乘以根号一，也就是根号二乘以一嘛？此时我们是不是可以提一个共因数，就是根号二？好，所以就是根号二倍的根号三减一。 ok， 此时我们现在 a、 b、 c， 我 们会发现它们是不是都含根号三减一这一部分？所以如果它们都含有这一部分的话，咱们就可以用一种什么方法呢？复杂的代数式重复出现，咱们用换元法 可以化繁为简，把它们当成一个公共部分。所以第二步咱们就是换元， 然后那就是令我们的根号三减一等于 t 吧。然后此时呢，我们的 a 是 不是就等于根号二倍的 t， 然后 b 呢？是不是等于 t？ 然后 c 是 不是就是二分之根号二的 t？ 现在比较它们三个大小是不是就太好看出来了？因为我们会发现 t 都是相同的，咱们是不是只需要比较系数就可以了？ 好，系数呢？是不是？咱们是现在根号二大于一大于二分之根号二。又因为我们的 t 是 一个什么数呢？ t 是 一个 大于零的数，所以我们是不是就可以直接退出 a 大 于 b 大 于 c， 所以 这道题呢，咱们就选 c 选项？ 好，所以这道题咱们就是分两步来进行求解。第一步我们先对 c 进行一个分母有理化，化解完的时候我们会发现它出现了根号三减一，此时我们 b 也有根号三减一，所以我们对 a 进行一个化解，也构造出一个根号三减一。 我们在化解 a 的 时候，有点类似于我们在有理数中的一个乘法分配律， 对吧？好，那么接下来第二步就是我们会看到其实根号三减一这个相对看起来有点复杂，我们可以采用换元的方法，不换元直接比较也是 ok 的， 只不过换元会看起来更加的简变一些。哦，好，那接我们这道题咱们就教完了。

如图所示的长方形透明鱼缸，假设长 a、 d 是 八十厘米，然后呢高 a、 b 是 六十厘米，水深呢 a、 e 是 四十厘米， 然后在水面上紧贴内壁 g 处有一块面包屑，然后 g 在 我们的水面线 e、 f 上，且我们的 e、 g 等于六十厘米。 一只蚂蚁想从鱼缸外的 a 点，然后沿着鱼缸 b 爬到我们鱼缸内的祭点吃面包蟹，则蚂蚁爬行的最短 路线是多少？ ok， 我 们现在就是一个立体图形，对吧？所以以我们现在要求的是线段的最值，这是平面内的，对吧？那么所以我们要想把立体图形转换成平面，所以需要干嘛呢？做展开图。 好，我们画出了展开图，接下来分析最值，我们要这样在求最值，其实是不就是求 a 到 g 的 最值，但是它是不是 a g 直接连线就可以了？ 不是的，因为我们现在 a 是 在外边， g 是 在里边，他俩不在一个空间里边，所以我们现在要从 a 这个地方出发，然后呢爬向我们的内地，然后再走到 g， 所以 它其实对应的是一段折线的场。 好，那么我们如何求解呢？所以我们现在从这个外边要走到里边，其实是不是就转变方向？怎么样转变方向呢？答，做对称可以转换方向，所以我们就是过 a 点做这个 b、 c 的 对称点， 比如说我们是 a 撇，然后接下来呢，我们是不是连接我们的 a、 g， 此时它和我们 b、 c 的 交点即为我们的所求点， 也就是它在这个地方进行。嗯，一个转换方向，然后再走到我们的这个 g 点处是最短的，那么此时我们要求解的这个最值就是谁啊？是不是就是 a、 p、 r、 g 的 最值？ ok， 所以 我们说了第一步做展开图，第二步找什么呢？找对应点， 也就是我们的 a 点在那，然后 g 点在那，然后找完对应点我们还要去找什么呢？就是找所求线段， 找完之后咱们才进行待数计算。那我们来看一下这个 a、 p、 r、 g 的 话，现在是不是在我们的 a、 p、 r、 e、 g 这个直角三角形中，其中我们的 a、 p、 r、 b 其实是不是就等于 a、 b 的 长等于六十？ 然后呢，我们的 b、 e 的 长咱们是不是可以算出来它是等于 a、 b 减去 a、 e 就是 二十， 单位都是厘米喽？好，那 e、 c 的 长是多少呢？ e、 c 的 长题目中是不是也给了是六十？ 所以我们的 a 撇 g 是 不是就等于根号下 a 撇 e 的 方，再加上我们 e、 c 的 方开方，所以就是根号下八十的方，再加上六十的方开方，结果就是一百， 相当于我们六八十同时扩大了十倍得到的，所以这道题呢，最短路程就是一百厘米。

下面我们看八年级奥数，每周一题，矩形综合问题给了一个六八，所以 a、 c 是 十啊， o a 跟 o d 都是五。好。这样一个矩形， 然后过点 p， 做了对角线的两条垂线，他说 pm 加上 p， n 是 多少啊？这里 pm 加上 p n， 它是一个定值。嗯，这里怎么做呢？啊？垂直想到了什么？垂直想到了高 啊。我们先把这个 a、 o、 d 这个三角形画一下，也就是我们过点 p 啊，做了两条垂线， 分别是 m 跟 n， 垂直就想到高，高就想到面积，所以我们这里连接 o p， 用一个等面积法， o a 是 五， o d 也是五。 三角形 a、 o、 d 的 面积，它可以看成左边的面积加上右边的面积。 o p a， 它的底看成五 高就是 p m， o p d， 它的抵抗成五高，就是 p n， 所以 也就是二分之五，括号 p m 加上 p n。 好。 也就是说，如果我们将这个 a、 o、 d 的 面积啊给它求出来，这个 p m 加上 p n 肯定是能求的，那么 a、 o、 d 的 面积能求吗？可以的，大家看下这一幅图， 这个的面积是不应该是矩形面积的四分之一， 对吧？中心对称性好，我们知道矩形的宽是六，长是八，所以矩形的面积就是四十八，所以我们这里这四个区域，它的面积都是一十二， 一十二，所以 a、 o、 d 的 面积就是一十二，那么我们就有 a、 o、 d 的 面积是一十二，就会等于二分之五， pm 加上 pm， 所以 pm 加上 pm 就 可以求出来了，这是五分之二十四。 这里我们就用等面积法将 pm 加上 pm 的 值求了出来。好。

大家好，我是你们的左老师，今天给大家讲的是八年级下册勾股定律与最直题型一、几何最直，利用垂线段最短，求最直。 话不多说，来看题。如图，已知三角形 a， b、 c 是 等边三角形 a、 b 等于二， a、 d 是 bc 边上的高， e 是 a c 的 中点， p 是 a、 d 上的移动点，则 p e 加 pc 的 最小值是多少？ 有需要的同学可以暂停两分钟，仔细思考一下。好，接下来就让老师为大家讲解一下这道题目。 首先，我们拿到这个题目，我们该如何做呢？ p 是 a、 d 上的一个动点，所以 p 的 位置我们不确定，那怎么办？首先，我们是不是可以连接 b， e 连接 b 一， 注意，不是连接 p 点，是直接连接 b 一， 然后与 a、 d 交于点 p， 因为三角形 abc 是 等边三角形 a、 d 是 bc 边上的高， 那么是不是可以得到 a p 是 垂直 bc 的， 并且 e、 d 是 等于 c， d 的 均等于多少？是不是均等于一？题目告诉了我们， a、 b 等于二，因此 a、 c 也等于二， bc 也同样等于二，所以 b、 d 等于 d， c 等于一，那么 a、 d 便垂直平分 bc， 因此 p b 就 等于 p c， p b 等于 p c， 明白吗？所以呢， p e 加上 p c 就 等于 p b 加 p e， p e 加 p c 便等于 p b 加 p e 均大于等于 b e， 因为 b、 e 的 直线连线是最短的， 此时呢， p e 加 pc 是 最小的，那么 b e 就是 p e 加 pc 的 最小值。好，我们需要求的就是 b、 e 等于多少， 那么怎么求呢？题目告诉了我们，三角形 abc 是 等边三角形，所以角 bc 是 不是等于六十度？ 又因为 b a 等于 bc， 也等于 a， c 均等于二，并且一是 a c 的 中点， 那么 b e 是 不是就垂直 a c？ 我们可以得到 b 一 垂直 a c， 并且 c 一 是不是等于二分之一的 a， c 均等于一啊？ 那么角 b e， c 等于九十度，所以 b e 等于多少？是不是就等于根号下 b c 的 平方减 c， e 的 平方 就等于根号三呀？学会了吗？跟着左老师数学没烦恼。

前面我们讲了四边形以及它的内角和，现在我们来学一下。多边形以及它的内角和 多边形在生活当中是挺常见的，比如说这里，对吧？它其实就是三角形加正方形，这里也是正方形，对不对？好，那这个呢？蜂巢它是一个六边形，像这个窗子它是一个什么？它是一个八边形，对吧？好，那么多边形是怎么定义的呢？来看 如图所示啊，在平面之内，只要这个 n 大 于等于三，有这么多条线段，我们四边形是由四条线段首尾顺次相接的，而这个多边形它就是由 n 条线段首尾顺次相接的 啊，首尾相连连起来之后会得到一个封闭图形，这里也是一样的，它必须是一个封闭图形， 那这样的线段首尾顺势相连，变成一个封闭的图形组成的图形就叫做多边形。多边形同样的，它也有边，有顶点、有内角、有外角以及对角线的概念， 它与四边形对应的概念是类似的，多边形几条边就叫几边形啊。多边形同样 用表示他的各个顶点的字母来表示，比如说这里有个六边形，对不对？我们逆时针读就是六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f 就 可以了啊？好，那么这里他叫我们类比四边形，指出这个多边形的边 顶点，内角、外角、对角线啊？在哪里？对不对？好，我们这里一个一个给他写出来。首先他的内角和对角线是没有，内角是已经有的，但对角线没画，还有什么没画呢？还有外角也没画好，我们自己给他画一下，好吧？ 那比如说外角我们只要其中一个嘛，对不对？好，连接这个角就是外角，对吧？好，延长过来和另外一条边的假角，这个也是外角，这个标做角二，这里标角三， 这里标角四，标角五， 幺角六。好，这里的角一、角二、角三、角四、角五、角六，就是它的外角，对不对？它的内角。好，我们先说边，边有哪些边有六条， a、 b、 b、 c、 c、 d， d， e、 e、 f 和 f， a， 这里有六条，对吧？好，顶点呢？ 顶点就是这个点 a、 点 b、 点 c、 点 d， 点 a、 点 b、 点 c、 点 d、 点 e、 点 f， 对 吧？好，我们再说它的内角， 内角的话，因为我们已经延长出去了，你就不能直接说角 a、 角 b、 角 c 了，对吧？你就直接说 b、 a、 f， 也就表示角 a、 角 b、 a、 f， 角 abc、 角 b、 c、 d、 角 c、 d、 e、 角 d、 e、 f， 以及最后一个是角 e、 f、 a。 好 了，反正角呢，就是这六个角，这六个角就是内角，对不对？好，它的外角呢？我们之间是用这个数字去标的， 外角就是角一角二角三角四、角五、角六。好，这些角就是它的外角，那对角线呢？对角线我们连一下，好吧，我们用虚线把它连一下， 那一个顶点就可以连出两条虚线了，啊，不对，这里可以连出三条，对吧？好，当然了，也会有重复的，从 f 点往 b 连， f 点往 c 连， f 点往低连。好，然后呢，这个 e 点也可以连，因为 e 点已经连过 a 点了，咱们就不连了。 然后 c、 e 啊， d， b。 好 了，你再看它的每一个顶点都怎么样？都有三条对应的射线，对不对啊？不对，对角线啊，不是射线，对角线。好，我们这里再写一下对角线， 对角线写一下，有 a、 c、 a、 d、 a、 e， 然后 f b， f c， f d 这里注意，你千万不要数重复了啊，因为这六条你看到没有？这六条我们已经数过了，还剩几条，没数就还剩这两条了，就是 b d 和 c e， b d 和 c e。 好， 所以它这里一共有几条？一共是有九条的，哦，对了，我们这里还有一条没有数，这个 b e 没写上去，对吧？ b e 一 共有九条，看到了没有？好，这它的对角线，那么这样的话，它黄色的这一块的问题我们就给它回答完了，好吧， 同时与四边形类似的，在多边形当中，有的是凸多边形，有的不是凸，有的不是凸多边形、 凹凸边形，这里咱们没有说啊，那我们就不说了，就直接考虑啊，这个凸多边形只要没有特殊说明，我们讨论的多边形都是凸多边形，知道吧？好，我们知道正多边形的正方形的各个角都是相等的， 各条边也是相等的，像正方形这样的各个角相等，各条边都相等的多边形，我们就叫做正多边形啊。 那各个角相等，各条边相等的多边形，咱们叫它叫正多边形啊。像这里还有什么正三角形，正三角形其实就是等边三角形啊，正方形、正五边形、正六边形， 因为这些正多边形它是一些特殊情况，我们很多时候出题目的这个条件当中都是考虑正多边形、正五边形、正 n 边形的比， 下面的探求叫我们研究一下多边形内角和与边数的关系，也就是多边形内角和怎么求， 让我们类比四边形内角和的推导过程，四边形内角和怎么推出来的，比如说随便画一个对不对？哎？你连接对角线，这个四边形是不是分成了两个三角形？一个三角形， 它的内角和是一百八十度，那既然分出来了两个，那就是二乘一百八十度，所以四边形内角和就是三百六十度，就是这么推出来的。所以它这里教我们求五边形和六边形，你看 给了步骤，从一个顶点出发，五边形从一个顶点出发，可以做几条对角线，他给我们画好了，是不是两条，对不对？一条两条可以画两条对角线， 他们将五边形分成了几个三角形呢？分一下一个、两个，三个分出来了三个三角形，对吧？一个三角形的内角和是一百八十度，那么三个三角形的内角和呢？哎，就是三乘一百八， 它就等于五百四十度，所以五边形内角和就是五百四十度。那六边形呢？一样的，从一个顶点出发，可以做几条对角线呢？可以做三条对角线， 他们将六边形分成几个三角形，一二三，三条之后分出一二三四，是不是分出四个三角形呢？分出四个三角形， 一个三角形的内角和是一百八十度，四个三角形的内角和就是四乘一百八，等于七百二十度。好，五边形内角和六边形内角和是不就都求出来了？接下来要找规律了，看一下，这里是五边形， 这里数字是五，六边形数字是六，那这里是 n 等于五，这里是 n 等于六。 n 边形嘛？几条边，那它就叫几边形，对不对？这里是五边形，那就 n 等于五，对吧？ n 等于五的时候，他一个顶点发出，可以做两条对角线，你看这个两条对角线和五相比，是不是少了一个二啊？少了一个三呢？对不对？好，可以分出三个三角形，五变成三，是不是少了一个二啊？你再看一下六边形是不是也有这样的规律？你看 他是从一个顶点出发，可以做三条对角线，从六到三，是不是减了三，跟这个五到二减了三是不是同样的差距？再看六边形 可以分出四个三角形，是不是减了二，而五边形可以分出三个三角形，是不是也是减了二？发现了没有？ 当这个边数不知道的时候，也就是变成了 n 边形，那么 n 减三就是它的对角线的条数，这个 n 减二就是可以分出来的三角形个数。所以呢， 他们认为从 n 边形的一个顶点出发，可以做 n 减三条对角线，不是说它只有 n 减三条对角线啊，是从一个顶点出发， 有 n 减三条对角线。然后呢，他们将 n 边形分成 n 减二个三角形，是的，六六边形分出了四个三角形，是不是减了二，对不对？五边形分出三个三角形，是不是也是减了二？所以 n 减二就对了？好，我们把它画起来。 所以 n 边形可以分出 n 减二个三角形。一个三角形是不是一百八十度？那 n 减二个三角形呢？就是 n 减二个一百八，所以它的内角和公式 就是 n 减二乘上一百八啊。 n 边形内角和等于 n 减二，乘上一百八，这个 n 就是 边数，你几边形，这个 n 就 等于几，你十边形 n 就 等于十，知道吧？其实在这里 你推导出来之后，你不仅仅只可只是可以推导出内角和公式，你还可以推导出对角线公式。你看从一个顶点出发，对不对？可以做几条对角线？ n 减三条对角线。那么假如说你拿这个六边形来讲， 它有几个顶点？它是不是有六个顶点？一个顶点出发可以做 n 减三条，那六个顶点出发是不是就是六乘 n 减三？当然这里的 n 也是六，对不对？好，我们这里来研究一下。就拿这个六边形来说，好吧，你看我从这个点出发， 我也画虚线啊， 我从这个顶点出发，是不也会画三条？ 然后我再从这个顶点出发，哎，它本来就已经有一条了，如果我们不不管这个重复问题的话，我们是不是仍然可以画三条？一二三，对不对？好，我们不管这个重复，不考虑重复的情况下，它就是 n 减三条， 那等会我们再考虑重复的情况。好，那么从这个顶点出发，它也可以连三条。一二三，有一条没补上，对不对？好，补起来。 从这个顶点出发，已经有三条了，对不对？虽然我们没连，但从其他的顶点已经连过来了，连完了你自己数一下，一条、两条、三条、四条、五条、六条、七条、八条、九条， 这里有九条。但是如果说我们是考虑一个顶点出发，可以做 n 减三条的话，我们就拿六边形来讲，我们就拿六边形来讲，六边形一个顶点出发， 可以连多少条？可以做六减三等于三条，那一共有几个顶点？六边形有六个顶点， 如果不考虑对角线重合的情况下，就从这里连过来算一条，然后从这里连过去也算一条。不考虑重复的情况下， 有几条？有六乘六减三，一共有多少条？一共有十八条。注意，我这里是不考虑重复的情况下。 那你再看一下，有几条是重复的？重复了几条？一条数了几遍，你看同一条，对不对？你从这个点连过来数了一遍，从这个点连回去是不是又数了一遍？它是不是一条对角线数了两遍， 对不对？一条对角线数两遍，你再看这个对角线，从这个点连过去算一次，从这个点连回来算一次，是不是也数两遍？每条对角线是不是都数两遍？哪怕是五边形也是一样的？你看从这个点连过来算一次，从这个点连回去又算一次，是不是？一共算两次，对不对？所有的对角线 如果不考虑重复的情况下，他都算了两次啊，这就他的重中之重了啊。一条对角线，一条对角线被数了两次， 那也就是一条被我们数成了两条，那怎么办？你就除以二，对不对？它是不是重复了一遍，你除以二是不是就得到了原来的一倍？哎，就是得到了最原本它有几条数量， 对吧？因为我们现在数出来的十八条，是它实际对角线的两倍啊，对不对？因为你多数了一遍嘛，所以考虑重复的情况下， 对角线应该干嘛？对角线应该除以二，对角线会等于十八，除以二就等于九条， 那跟我们自己用肉眼一个一个去数，是不是数量相同啊？是不是就等于九条啊？对不对？所以我们这里就推出来了对角线的公式，那我这里写一下， 因为这里是六边形，所以是六减三乘上六，六减三乘六再除以二，对不对？后面除以二了，是不是？所以对角线公式 n 边形， 对角线公式有 n 乘 n 减三除以二条。 知道了多边形内角和，那我们就要开始探求多边形的外角和了，那这里叫我们求多边形外角和等于多少度，并且叫我们说明理由，其实理由就在这里， 他这个是怎么来的呢？你看他与四边形是类似的，多边形的每一个内角与他相邻的外角都是零补角，什么意思啊？一个内角加一个外角就会等于一百八十度，你可以把它当做一个平角，那我把它圈起来， 它的每一个内角和它相邻的外角是零股角，所以一个内角与它相邻的外角相加 等于一百八十度， 也就是说它有一个顶点，你就可以看作一个一百八十度，你看看到没有， 一个内角加一个外角，是不是就正好等于一百八十度，对吧？有几个角就有几个一百八十度。好了，那么现在我们已经求出来了，多边形的内角和等于 n 减二乘一百八，是不是？好？ 那么你只需要把所有的平角全部加起来，再减去里面的内角，那剩下的是不是就是所有的外角之和，对不对？所以呢，他这里 就拿所有的平角，这里有 n 个顶点就有 n 个平角，我们这里就把它相当于一个平角，那这里就有 n 个平角。 减去什么呢？减去内角和，因为这个就是内角和。公式，减去内角和，它就会等于外角和。 n 个平角减去内角和就会等于外角和， 就 ok 了，对不对？好，那么外角和呢？算出来，它固定等于三百六十度，那其实我们这里可以拆开给大家算一下啊， n 乘一百八就是一百八十度， n 减去这个是什么呢？ 这个一层等于一百八十度， n 再怎么样，这里前面是减号，里面是不要编号啊，就变成加上三百六十度，这两个抵消掉了，就只剩下一个三百六十度了， 它就等于三百六十度，它就是这么算出来的，知道吧？好，那所以多边形的外角和就等于三百六十度。记住，外角和跟它的边数是没有关系的，是固定为三百六十度的。好，外角和 与边数无关， 横为三百六十度。也就说你无论是五边形还是六边形、七边形、八边形、九边形，一万边形，它的外角和都等于三百六十度。 好吧，好，你也可以这么理解，为什么多边形外角和等于三百六十度？比如说看到这里的图对吧？它从 a 点对吧出发，然后沿着 多边形的各条边依次走过这个顶点，再回到 a 点，你看他转弯的这个地方，到这里转个弯，到这里转个弯，到这里转个弯，到这里转个弯，然后跟原来出发的时候方向是一致的， 你想一下，你面朝前面，你要转多少度才能回到刚回到现在的这个方向，是不是转三百六十度，对不对？所以呢，他就可以这样去理解，在行程当中所转的各个角的和，就是多边形的外角， 由于是走了一圈，所转的各个角就等于一个周角，你转了一圈嘛，一圈三百六十度嘛，对不对？所以多边形外角就等于三百六十度，这个是理解层面上 来。看到这个例题二，一个多边形，内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是几边形？好，我们先把这个多边形设为 n 边形，设这个多边形 为 n 边形，那么它的内角和和外角的关系是它的两倍，对不对？我们就把它们分别表示出来，内角和内角和，公式还记得吧？ 是 n 减二乘上一百八十度，对不对？外角和呢？外角和是固定的三百六十度，它说内角和等于外角和的两倍，所以内角和 会等于外角和乘上二。好，我们再把它还原一下，还原这两个式子就变成了 n 减二乘上一百八十度 等于外角和三百六十度乘上二，所以这个 n 减二就会等于三百六十度。乘上二除以一百八十度，所以 n 减二就会等于七百二十度。 除以一百八十度。七百二十度除以一百八十度等于四，所以 n 就 会等于四加二， n 就 等于六，所以它是个几边形呢？它是一个六边形，所以这个多边形 是一个六边形 就可以了。来看到练习一叫，我们求出下列图形当中 x 的 值，这些 x 都表示为 这个多边形的内角其中一个，对不对？好，我们一个一个来看，先看第一个，第一个是几边形呢？数一下，一、二三、四、五是一个五边形，它的每一个角要么直接告诉我们了对不对？要么就是用 x 表示出来的， 所以我们只需要把这些角全部加起来，等于它的内角和就可以了，它是一个五边形， 五边形内角和是等于五减二，乘上一百八十度的就等于五百四十度。所以呢，我们这里把这五个角全部加起来 九十度，加上一百二十度，加上一百五十度，再加上二 x 度，再加上 x 度等于五百四十度。好，把它全部加起来，二 x 加三加 x， 等于三 x， 三 x 度。后面不变，前面的度数全部加起来，正好是等于三百六十度的。 你把三百六十度移过去，三 x 度等于五百四十度，减去三百六十度，所以三 x 度 它就会等于多少？这里一减的话，它就会等于一百八十度，所以 x 度就会等于一百八十度，除以三 x 度就会等于六十度。那我们就可以得到这个 x 是 等于六十的，那这是第一个。 再看第二个图，第二个图是几边形呢？一二三四五六六边形，第二个是六边形，六边形内角和也可以直接算出来， 表示为六减二，乘上一百八十度，等于七百二十度。你把这里面所有的角全部加起来，九十度，加上九十度，两个直角是九十度，对不对？再加上四个 x， 四 x 度等于七百二十度。 四 x 度。好，咱们移向过去，距七百二十度减去两个九十度，还剩多少？还剩五百四十度。然后我们这个 x 度就会等于五百四十度，除以四，那么这个 x 度它就会等于一百三十五度，所以 x 就 会等于一百三十五， 对吧？好，这个是第二个，咱们再来看到第三个，第三个是几边形呢？一二三四五，也是五边形，对不对？五边形内角和等于五百四十度，我们已经知道了，对吧？五边形内角和 为五百四十度，所以我们只需要把这里所有的角全部加起来，等于五百四十度，就可以把未知数 x 算出来了。不过它还有个条件， ab 平行 cd， 所以 我们可以因为 a b 平行 cd， 所以 同旁内角互补，所以角 b 加角 c 等于一百八十度，那么在这个五边形当中，你就可以得到 这个 x 度加上一百三十五度，再加上一百五十度，再加上角 b 加角 c 会等于内角和五百四十度， 把它全部合并起来， x 度加上这两个一加会等于二百八十五度，然后后面这两个一加也会，这两个合并可以等于一百八十度，等于五百四十度。好，这里想要对齐的话就写不下了啊，我就写过来，那么这个 x 度就会等于五百四十度，减去二百 八十五度，再减去一百八十度，就可以算出来 x 等于七十五度，所以 x 就 等于七十五，就 ok 了啊，这是这三个。 再来看到练习二，这里有三个小问，每个小问都是跟内角和以及外角和有关，对吧？所以我们直接先把它写出来，内角和公式 是 n 减二乘上一百八十度，而外角和是固定的 三百六十度。好，我们知道了这个之后，你再去做第一小问，一个多边形的内角和等于一千零八十度，那么这个多边形是几边形？那你就直接拿内角和公式和它相等就可以了。那么第一个就是 n 减二， 乘上一百八十度，等于一千零八十，对不对？好，那么这个 n 减二就会等于一千零八十，怎么样？除以一百八十度， 所以 n 减二就等于六， n 就 等于六加二， n 就 等于八，所以是八边形。 再看第二个，一个多边形的每一个内角都等于一百二十度，也就是说正多边形，对不对？ 那这个多边形是几边形呢？同样的，因为我们也是把这个几边形设为 n 边形，那每一个内角都等于一百二， 所以他的内角和就会等于 n 乘一百二，对吧？因为有 n 个一百二十度，所以我们可以直接拿内角和和它相等就可以了。 那这是第一种思路啊，就是拿内角和计算一百，这个 n 减二乘上一百八十度，等于一百二十度。乘上 n， 你 把它拆开，它就变成了这个 一百八十度。乘上 n 减去二乘一百八十，等于三百六十度，等于一百二十 n 一下把这个移过去一百八十度， n 减去一百八一百二十度， n， 它就等于三百六十度。一减等于多少等于六十度， n 等于三百六十度， n 就 等于六，所以这个 n 就 会等于三百六十度。除以六十度， n 就 等于六，所以它是一个六边形。 哪一种方法？你可以用外角和的这个角度去思考，因为它是正多边形，因为它每一个内角都等于一百二十度，所以它是一个正多边形，对吧？你就算它的外角一个外角 就等于一百八十度，减去一百二十度，等于六十度，然后外角和固定为三百六十度，你再拿三百六十度，就除以六十度，就等于六。那么有六个外角，说明就有六个角，有六个角就有六条边，所以就是六边形， 你用这个思路去做也是没有问题的啊。再看第三个， 一个多边形的每一个外角都等于七百二十度，那么这个多边形是几边形？那直接算了，对不对？每一个说明每一个外角都相等，每一个外角都相等，说明每一个内角都相等，每条边都相等，那就是正多边形，对吧？好，所以呢，我们就直接拿外角去算， 一个外角 是七百七十二度，那么你就看有几个外角就有，那么它的外角个数 就等于三百六十度，除以七百，除以七十二度，对吧？好，它就是五，那么有五个外角就有五个内角，有五个内角就有五条边，所以它是一个五边形。

大家好，今天我们一起来学习一下八年级数学下册二次根式的加减第一课时，二次根式的加减法先导入新知，有八只小白兔，每只身上都标有一个最减二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里面 啊，我们来看一下啊，这几个兔子上面都标着数字呢，第一个呢是根号二，第二是二倍根号三，然后下面是二倍根号五，二分之根号三，三倍根号二， 负的二倍根号七，还有负的根号五，还有四倍的根号七，那么如果是根据他们的特征来分的话呢，你看根号二，我们找根号二，谁是根号二呢？我们来看，哎，根号二放到一个来，那么二倍根号三放到一个来， 二倍根号五放到一个篮，然后二倍二分之根号三，他是都是有根号三的，都放在一起， 三倍的根号二，这是都有根号二的放在一起，然后负的二倍根号七再放到一篮，然后负根号五和根号五放在一起。四倍根号七都是有根号七的，又放在一起，那么这样呢，就是他们的特征，就是根据他们根号也就被开放，数是一样的，都放在一起了。 好，今天我们看一下我们的学习目标，第一个理解二次根式可以合并的条件，第二个类比整式的合并同一项，掌握二次根式的加减运算法则。 第三个能熟练的进行二次根式的加减法运算，好探求新知知识点，一，二次根式可以合并的条件。 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则，观察下图并思考啊，那么下面呢，是两个离再加上三个离啊，每个离呢代表是一个 a， 字母 a， 他 得到的呢，其实就是五个离，也就相当于啊，拿字母来表示就是二 a 加上三 a 等于五 a， 所以当 a 要是等于根号二的时候呢，带入进去就是二倍的根号二加上三倍的根号二等于五倍的根号二啊，因为都是根号二，可以相当于把根号二呢当成是一个字母来看待，然后我们和平同立相就可以。 然后如果是 a 等于根号三呢，那么带进去之后呢，就是两个根号三加三个根号三等于五个根号三等等， 所以你发现了什么呢？前面依次往下推导，由特殊到一般一直二次根式的被开放数相同，可以合并。继续观察下面的过程， 那么这也是两个梨再加上啊，三个苹果，梨呢代表是 a， 苹果呢代表是 b， 它能得到呢，其实就是两个 a 加上三 b， 那么它们不是同类的，所以说是不能合并。所以当 a 等于根号二， b 等于根号八时，能得到二 a 加上三 b 等于二倍根号二加上三倍的根号八。那么这个里边儿 我们这两个二次根式可以合并吗？其实我们如果学过前面的这个内容的话，其实是可以可以合并的，因为根号八呢，其实能给拆出里边是四乘二来，然后四开出来是二啊，其实最后根号里边还是一个根号二 啊，所以下面就出来这个结果了啊，八呢，可以拆成是二的平方乘二，能把二的平方开出来，所以二的平方开出来是二，二和前面三相乘是六，那么括号下只剩下二了，就得到是六倍括号二，所以由前面知，两者是可以合并的， 你又有什么发现呢？好，我们做一下归类总结。将二次根式化为最简二次根式，如果被开方数是相同的，则这样的二次根式可以合并。 注意第一点，判断几个二次根式是否可以合并，一定要化为最简二次根式再判断啊，这是很重要，一定要化为最简的二次根式来判断。 第二点，合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数或者因式相加，根指数和被开放数或者被开放式子，它不变。比如 m 倍的根号 a 加上 n 倍的根号 a， 等于啊，我们把根号 a 摘出来，就相当于是 m 加 n 倍的根号 a。 好， 我们做一下回顾练习，看一下第一题，下列各式中与根号三是同类二次根式的式， 我们看一下 a 选项是根号二，它不是，被开方数是不同的，不同就是不是第二个根号五，它也不是。 那么根号八，根号八呢，我们可以写成啊，八可以写成是二的二次方乘以二的形式，然后呢，把二啊这个给开出来，就是二倍的根号二啊，然后那么它也不是啊，它的被开方数是二， 第四个呢，是根号十二，那么根号十二呢？同样，我们可以写成里边是四乘三的形式，四呢，是二的二次方乘以三，那么把二开出来，就是二倍的根号三，那我们来看被开方数这个是三，那么我们题里也是三，所以它们是相同的，所以选第四个。 第二题，下列二次根式不能与根号十二合并的式啊，哪个不能与根号十二合并呢？首先我们先看根号十二，根号十二呢，它不是一个最减的，我们要把它化成最减的，它就等于啊，我们由第一题就能得到了，是二倍的根号三， 二倍的根号三，我们来看圈一是根号四十八，那么四十八呢，我们要给它拆成能开出方来的，那么谁能开出方呢？我们就能想到十六乘以三 是四十八，所以呢，十六呢是四的二次方乘以三，那么四呢啊，直接能开出来了，就是四倍的根号三，那么他俩啊是没有问题，是同类的二次根式，所以第一个是对的，第二个负的一百根号下一百二十五，一百二十五呢，其实是 可以猜出来啊，是根号下二十五乘以五，也就是五的二次方乘以五啊，最后能开出来的话是五倍的根号五被开方数不同，所以他不是 第三个啊，根号下一有三分之一，那么这个呢，我们在这里写根号下一有三分之一，可以写成是根号下三分之四，那么三分之四呢，其实四能开出来，下面三呢带着就是根号三分之二，那么我们分母是不能带根号的，所以分子分母同时乘以根号三， 分子乘以根号三是二倍的根号三分母乘以根号三是三，那么被开放数也是三，所以它也是可以合并的。 再看第四个，直接是二分之根号三被开方数是三，他没有问题。第五个是根号十八，我们根号十八呢，可以写成是九乘二，九呢是三的二次方乘以二，所以把三开出来了，三开出来之后，根号下只剩下二了， 那么被开方数是二，所以跟他不是能合并的，那么最后这个题呢，是说不能与根号二合并的，所以这个题呢，应该是二和五。 好，我们看一下考点一，利用二次根式可以合并的条件，求字母的值，若最减二次根式啊，根号啊，开多少次方呢？开的是二 n 加一次方，三 m 减二 n 与根号三可以合并，求根号下 m n 的 值， 那么它既然是可以合并的，说明是开方啊，开方是一样的，而且呢被开方数是一样的， 也就是说我们这个二 n 加一。我们先来看一下这个根号三，那么这个根号三是什么意思呢？根号三相当于是给三开二次方，那就说明我们的这个二 n 加一其实就等于二 啊，相当于是二啊，我们知道啊，都是开二次方的话，我们这个二是可以省略的，所以我们根号三上面这个二省略了， 然后呢啊，下面被开放数也是一样的，说明呢，就是三 m 加减去二 n 是 等于三的，那么建立的一个是啊，二元一次方程组，二元一次方程组的话啊，我们这个就可以运用加减消元法，一加上二， 一式加上二式，把二人消掉了。那么我们来操作一下，就是三 m 加上一等于五，最后呢三 m 是 等于把一移项是等于四 m 呢，是等于三分之四， m 等于三分之四了，带入二式，带到二式里面之后呢，就是三乘以三分之四减去二 n 其实等于三，最后呢是四减二 n 等于三，那么负二 n 呢，是等于负一的啊， n 是 等于二分之一的， 所以说他求根号下 m 乘以 n， 其实就等于根号下啊， m 是 三分之四， n 呢是二分之一。最后我们啊化简一下啊，四和二能够约分，约完之后呢，其实就是根号下三分之二， 那么我们这是不是一个最简的根式啊？之前我们如果学过的话，我们一定要把它换成最简根式，所以它等于根号二，除以根号三，那么我们分子分母同时乘以根号三，分子呢，就变成了三，所以最后是三分之根号六。 好，我们做一下巩固练习，完成下列个题。第一个，根号八与最减二次根式，根号 m 下啊，根号下 m 加一能合并，则 m 等于多少 啊？这个题呢，我们也是尝试着写一下根号八与最减二次根式。首先我们根号八不是最减二次根式，根号八呢，等于根号下二的平方乘以二二，所以说能把二给开出来，就是二倍的根号二。 人说二倍的根号二和根号下 m 加一是能合并，说明被开方数是相等的，说明 m 加一其实是等于二的，那么 m 呢，其实是等于一的，所以这个里面 m 是 等于一。 第二题，若两个最减二次根式啊，它与啊，这个呢，因为太麻烦了，我们看一下就行，与根号下 a 加四可以合并，则 a 等于多少， b 等于多少，那么又是可以合并说明呢？第一个啊， 被开方数是相同的，第二呢，开的方啊，次数也是相同的，这个开的方的次数呢，也叫根次数，所以呢，啊，我们这个是省略二了，那么就可以知道其实是三， b 减 a 其实是等于二的， 然后呢，我们下面被开方数二 a 加上三 b， 其实是等于 a 加上四的， 然后又构成了一个啊二元一次啊方程组，然后我们这个还是进行效元法，这个是一式，这个是二式，我们可以用二式减一式， 二式减去一式，其实可以得到，就是二 a 三 b 减三 b 减消掉了，然后呢啊减去负 a， 就是 加上 a， 其实等于啊 a 加上四减二，那么我们两边的 a， 这两个 a 都是消掉了，所以二 a 其实就等于二， a 呢，最后是等于一， a 等于一出来了，我们把 a 等于一带进一式，那就是三 b 减一等于二，最后解得三 b 等于三， b 等于一，所以 a 和 b 的 值都是一。 好，接下来我们看一下知识点，二，二次根式的加减，现有一块长七点五分米，宽五分米的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积，分别是八平方分米和十八平方分米的正方形木板， 我们看一下操作啊，如图所示，他已经把这个八平方分米的正方形和十八平方分米的正方形都已经画出来了。啊， 那我们看一下怎样啊，怎样列式，求两个正方形边长的和，那么这个呢啊，两个正方形边长的和。我们知道面积了，其实我们就可以去啊，因为边长乘以边长等于是面积，那么知道面积的话，给面积开方就是边长了， 所以就是根号八，加上根号十八，就是它两个边长之和。当然了，这个里边呢，我们没有进行化简啊，只是说在列这个式子。 好，我们再来看讨论二，所列算式能直接进行加减运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化为最减二次根式后，再试一试，说出每步计算的依据。那我们看一下 啊，列式如下，就是根号八加上根号十八，根号八呢，我们刚才已经演示很多遍了，等于二倍的根号二，根号十八呢，其实里边能拆成是三的二次方，乘以二，能把三开出来，所以是三倍的根号二，最后呢，合并同列项就是 五倍的根号二啊，这一步呢，是化成最简的二次根式。最后就是啊，括号里二加三啊，倍的根号二就是五倍的根号二 啊，那么这一步呢，其实是用的一个逆用的分配率啊，所以因为根号十八等于三倍根号二，它是小于五的五倍根号二是小于七点五的啊。如果这个小于号大家分辨不清楚的话，我可以给大家去解释一下， 为什么说是三倍的根号二是小于五呢？我们可以给他二次方来比较，因为都是正数。三倍的根号二，其实是他的二次方就是十八，五的二次方是二十五，那十八小于二十五，那么开出方来也是小于的。那我们再来看五倍的根号二， 他的二次方，我们就可以写五倍的根号二，他的二次方，二次方的话呢，就是五的二次方就是二十五，根号二的二次方是二，其实是等于五十，那我们七点五的二次方呢啊，我们就可以算啊，七点五乘以七点五，大概算一下，应该是 应该是五十六点四五，所以五十要小于他的，那么给他开放之后呢，也是要小于他的啊，这个呢，就是我们其实在初一的时候就应该学会的啊，比较根号和根号的大小，不同的根号啊，不同的根式去比较大小的话呢，我们用平方的方法来进行去比较， 所以在这块木板上可以截出两个分别是八平方分米和十八平方分米的正方形木板。我们再来接着看一下刚才列的这个式子，那么根号吧，啊， 根号八，加上根号十八等于二倍根号二，加上三倍根号二，这是化为了一个最减的二次根式，这我们是运用的是二次根式的一个性质， 三倍的根号二。啊，二倍根号二，加上三倍根号二，等于二加三倍的根号二，这是用的分配率进行了一个合并，也就相当于是合并同一项的意思，这是一个分配率。最后呢我们变成了是五倍的根号二，其实就是运用的是整数整式加减的一个性质 整式加减法则，所以它的依据就是二次根式的性质分配率和整式加减法则 基本思想，把二次根式加减问题转化为整式加减的问题。好，我们再做一下归类总结 二次根式的加减法法则，一般的二次根式加减时，可以先将二次根式化为最减二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，一定要注意要化成最减二次根式 加减法的计算步骤，第一个化，将非对称二次根式的二次根式化简二，找，找出被开方数相同的二次根式三，并把被开方数相同的二次根式合并，所以就是一化简，二判断，三合并。啊，这个我们简单的记一下就可以。 好，我们看一下考点一二次根式的加减计算啊，这是一二三四四个计算，我给大家去演示一下。首先看第一题， 根号八十，减去根号四十五，那我们先画成最减二次根式，根号八十呢，相当于是十六乘以五， 减去根二四十五呢，可相当于是九乘以五，那么我们呢，这里边就能把十六开方开出四来，四倍的根号五减去九，开方是三三倍的根号五。所以最后啊，合并同类项就是四减三，就是根号五。第二题 啊，第二题是根号九 a 加上根号下二十五 a， 那 么这个九呢，其实能开出来，开出是三二十五，能开出来，开出是五啊。最后呢，根号里面只剩下 a 了，所以我们直接写就是三倍的根号 a， 加上五倍的根号 a， 其实等于八倍的根号 a。 第三题，根号八加上根号下五十分之一，那么根号八呢，其实可以写成啊，就是根号下四乘以二 五十分之一呢，可以写成根号下啊，二十五乘以二分之一。那我们来看，四能开出来是二倍的根号二， 加上啊二十五分之一，能开出来，其实能开出五分之一来啊，也就是说可以写成啊，根号一除以啊，根号下二十五乘以二 啊，它就等于二倍的根号二，加上啊，根号五，根号下二十五能开出来，上面根号一还是一，所以写成这样，就是五倍的根号二。 我们分母呢，是不能有根号的，所以分子分母同时乘以根号二，它就会变成二倍的根号二，加上同时成为根号二之后，下边是变成十了，上边是根号二， 那么到这呢，其实是相当于是我们把根号二提出来，就是二加上十分之一来算了。那么二加十分之一二要化成啊，分母是十的一个数，那就是二可以化成是十分之二十，这是十分之一倍的根号二，这是十分之二十倍的根号二。最后其实就等于十分之二十一倍的根号二。 好，我们再看一下第四题，三倍的根号十二啊，十二呢，我们可以写成是四乘以三的形式，那么四能开出二来，再和三相乘，就是六倍的根号三 减去啊，直接写就行了，根号一除以根号下二十七，二十七，可以写成九乘以三，那我们继续写，就是六倍的根号三减去九，能开出来就是三倍的根号三分之一。 同理，我们也是啊，这个的话呢，把分母分子同时乘以根号三，乘完之后呢，分子乘根号三是根号三，分母乘以根号三的话啊，三乘三是得九啊，这是六倍的根号三 减去它，同样也是把六呢和九分之一合并就行。那么六化成是分母为九的一个数，就是九分之六九五十四 g 倍的根号三，减去九分之一倍的根号三，其实就等于九分之五十三倍的根号三。 好，接下来我们做一下巩固练习，下面计算正确的是，那我们来看一下 a 选项根号加根号二，合并的话，就是二倍根号二，它得二是不对的。 b 选项三加上根号二，应该啊，他们不能合并，就是三加根号二，保留啊，他这个呢，算成相当是一个乘法了。 c 选项根号十二减去根号三，等于根号三，那我们来看一下这个，那么根号十二呢，其实可以写成是根号下四乘三， 其实就等于二倍的根号三啊，这个因为之前我们做了很多了，直接写就行，那么二倍根号三减去根号三，其实就等于根号三，所以这个题呢，应该选 c。 再看下一题，已知一个句型的长是根号下四十八，宽是根号十二，则其周长。那么句型的周长是不是就等于长加宽，括号乘以二啊，所以我们就可以写成是根号四十八 加上根号四十二，根号下四十二啊，括号乘以二。那么我们要进行合并的话呢，先把它们换成最简的二次根式，根号下四十八是根号下十六乘以三加上啊，根号十二是根号下四乘以三 乘以二，那么我们其实就能得到了，括号里呢，其实是四倍的根号三加上二倍的根号三， 再乘以二，最后呢，其实是等于六倍的根号三乘以二，最后等于十二倍的根号三，所以它的周长应该是十二倍的根号三。 再来看一下考点二，二次根式的加减混合运算啊！看一下这两道题，我给大家去计算一下 第一题，它是二倍根号十二减六倍的根号下三分之一，加上三倍的根号下四十八，那我们先进行把这二次根式呢啊，先进行化简二倍根号十二，我们之前做过很多了，其实呢，根号十二其实就相当于是二倍的根号三，那么呢，就是二 乘以二倍的根号三减去啊，六倍的，那么上面是一，下面，相当于是根号三，这样来写就行了，加上三乘以啊，这么根号四十八呢，其实可以写成是十六乘以三嘛。根号下，那么能把十六开出来是四啊，四倍的根号三， 最后呢是等于四倍的根号三减去，我们上下都乘以根号三，分子分母，那么就变成了六乘以三分之根号三，那么这个六和三其实能约分，约完了之后呢，这边应该是二二倍根号三，加上十二倍的根号三， 最后呢，四倍根号三减二倍根号三，还剩二倍根号三，再加十二倍的根号三，是十四倍的根号三。 第二题，括号里的根号下十二，加上根号下二十，加上括号里根号三，减根号五，那么我们还是有括号，先算小括号里，然后把括号里的二次根式进行化解。 根号十二，其实是二倍的根号三啊，我们做过很多了，其实就应该记住了，加上根号下二十，根号下二十呢，其实可以写成是四乘以五，那么我们能把四开出来啊，五保留了，加上啊，把括号去掉，就是根号三减去根号五， 因为我们前面是加号，所以后边呢，这个符号不发生变化。那么我们再来看，就是二倍的根号三，加上二倍的根号五，再加上根号三，减去根号五， 所以合并一下二倍根号三加上根号三，就是三倍的根号三，二倍根号五减去根号五，其实就是根号五。好巩固练习，我们再做一下下面的这两道计算题。 第一题，根号十八十八呢，可以写成九乘以二的形式，所以呢，九能开出三来，就是三倍的根号二， 加上啊，括号里啊，我们先把括号去掉就可以了，因为是加号，就是加上根号九十八，减去根号二十七，那么九十八呢，其实可以写成四十九乘以二，四十九能开出七来，就是加上七倍的根号二， 减去二十七，可以写成九乘以三九能开出三来就是三倍的根号三，最后合并一下，那么三倍根号加七倍根号二，就是十倍的根号二啊，最后减去三倍的根号三。 第二题，括号啊，括号里根号下二十四，加上根号下零点五，减去它，那我们可以先进行去括号就可以进去完括号之后，我们来看一下，其实就等于根号下二十四 加上零点五呢，可以写成根号下二分之一的形式，减去根号下八分之一的形式，再负负得正，加上根号六。那我们来看一下，二十四呢，可以写成是四乘以六的形式，所以四呢，能开出来，开出二来就是二倍根号六， 加上根号下二分之一呢，可以写成是根号二，就是二分之根号二，所以加上二分之根号二， 减去啊，根号下八分之一呢，同样也可以写成啊，那么写成就是啊，根一根号一， 除以根号八，那么分子分母同时乘以根号八，那就变成了八分之根号八。那么八呢，其实可以写成四乘二的形式，把四开出来，那就是二倍的根号二，除以八，二和八能约分，就变成了四分之根号二， 再加上根号六啊。接下来我们进行啊，合并一下二倍根号六，加上根号六，是三倍的根号六， 然后二分之根号二减去四分之根号二。也就是说我们可要化成同分母通分二和四呢，它通分的话是四，这就变成了四分之二倍的根号二，减去四分之根号二，其实就等于三倍的根号六啊，加上四分之根号二。 再来看一下考点三，二次根式的综合性的题目。有一个等腰三角形，两边长分别是五倍根号二，二倍根号六，求其周长。那我们来看一下 啊，这有两个解，其中第一个呢，就是当腰长为五倍根号二时，腰长五倍为根号二，那么我们来看一下五倍根号二 啊。因为有等腰三角形，有两个腰，所以五倍根号二加上五倍根号二，等于十倍的根号二，它是大于二倍根号六的。那么这个呢，它的啊，怎么来计算它是大的呢？其实我们也是可以进行一个平方，十倍根号二，它的平方呢，其实十的平方是一百，根号二是二，说是二百， 然后呢，二倍根号六的平方呢？是四，二的平方是四，根号六是六，四，六是二十四，二百是大于二十四的，所以我们十倍根号二大于二倍根号六， 所以此时能构成三角形，周长为十倍根号二，加上二倍的根号六。那么第二种情况就是当腰长为二倍根号六时，我们来看一下啊，因为二倍根号六加上二倍根号六，是四倍的根号六，那这个里面呢，我们也可以去啊，给他去平方去来判断 四倍根号六，他的平方四四十六，根号六的平方是六啊，十六乘以六等于九十六，然后五倍根号二的他的二次方呢， 其实就等于五的二次方是二十五，根号二的二次方是二等于五十九，十六要大于五十，所以啊，被开方数也是啊，大于这个五十的被开方数的，所以四倍根号六大于五倍根号二，所以说 此时能构成三角形周长就是五倍根号二，加上四倍根号六就可以了。 巩固练习，如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是八平方厘米和十八平方厘米，求圆环的宽度 d 两圆半径之差， 那么这个呢，它是就是求两个圆的半径，再用它的半径相减就可以了。其实呢，这个题来说是一个小学类的一个题目，那我们看一下解法 啊，就是大的半径减小的半径，那么大的半径是什么呢？我们知道圆的面积呢，其实可以写一下圆的面积， s 其实等于 就是 pi 乘以它半径的平方，我们假设半径是 r 吧，就是 pi 的 平方，所以啊，所以说我们第一个大 r 是 根号下啊， s 比上 pi， 那 么我们来看，其实 r 的 平方不就是 s 除以 pi 吗？就是面积除以 pi， 所以 说 它的半径就等于给它开方就可以啊，根号下 s 除以 pi 就 行了，那就是我们这两个式子的由来， 所以就等于根号下啊，十八除以 pi 减去根号下八除以 pi， 然后我们再进行一个化简，那么根号下 pi 分 之十八，它等于什么呢？其实等于根号十八除以根号 pi， 那么我们分子分母同时乘以根号派，分母变成了派，分子变成了根号下十八派，根号下十八派，十八呢，可以拆成是九乘二，所以把九开出来是三倍的根号下二派 除以派。然后我们再来看，根号下八除以派，就等于根号下，就等于根号下八除以根号。根号下派其实也是分子分母同时乘以根号派，那么它就变成派分之根号八，派 八呢？可以啊，写成是四乘二，所以把四开出来是二，就能写成是二倍的根号下二派 除以派。所以我们大的半径减小的半径就是派分之三倍的根号下二派，减去派分之二倍的根号下二派，最后他俩相减，其实就能得到派分之根号下二派就可以了。 好，接下来我们做一下链接，中考第一题，下列二次根式中，能与二倍根号三合并的是哪一个？先看 a。 根号八相当于是二倍的根号二， 不能合并括号下三分之一，相当于是根号一，除以根号三，分子分母同时乘以根号三，就变成了三分之根号三啊，被开方数是相同的，所以这个题应该是选第二个 c、 d 选项呢？根号十八，其实十八拆成九乘以二九呢，开出来是三三倍的根号二，被开方数不同，根号九呢，可以拆出是三来。 第二题计算，根号十二减去根号三，根号十二呢，其实能等于是根号下四乘以三，四能开出二来就是二倍根号三，二倍根号三减去根号三，就得根号三，应该选 a。 好， 接下来我们做一下课堂检测基础巩固题。第一题能与根号十二合并的二次根式是什么？ 我们看一下 a 选项，根号三十二，三十二，可以写成是根号下十六乘以二十六，能开出四来，就是四倍的根号二。 那么我们根号十二也不是最减的啊。我们刚才已经做过题，根号十二呢，其实可以写成是二倍，根号三，被平方数是三，所以不能合并。再看 b 选项，根号下二十四，二十四能写成是四乘以六，其实就是二倍，根号六也是不能合并。 c 选项，根号下五分之十二，那么我们进行拆一下，就等于根号十二除以根号五， 根号十二，我们知道是二倍的，根号三，再除以根号五，那么分子不能是根号五，分母不能是根号五，所以我们分子分母同乘以根号五，那么分母呢，就变成了五，分子呢是二倍的。根号三乘五是十五啊，被开方数也是不同的。 再看第四个，是给二十七分之一开六次方，那么这个开六次方我们可能没见过啊，这个题，那么我们可以想是二十七分之一，如果是开三次方，他其实是等于三分之一的，这是在我们初一的时候就学过，因为二十七呢，就是等于三的三次方， 等于三分之一，那么三分相当于三分之一，再开一个二次方，就等于根号下三分之一，其实三和二相乘就是六次方了，开六次方了，所以我们写成就是啊，根号一除以根号三， 那么分子分母同时乘以根号三，那么下面就变成了三，分母，就变成三，分子呢，就变成了根号三，那么被开方数是三，和我们的这边根号是二是相同的，都是三，所以这个题应该选第四个， 大家看第二题下面计算正确的是 a 选项，根号二加根号二等于二，这个肯定是错的。第二个三加根号二，不能合并。 c 选项，根号是二，是等于二倍根号三，二倍根号三，减根号三应该等于根号三，所以应该是选 c。 第三题，三角形的三边长分别是根号二十，根号下四十，根号下四十五，则这个三角形的周长是多少？周长就是把我们三个数相加，那么根号二十呢？我们化成最减 s 根式，其实等于根号下四乘五， 四能开出来就等于二倍根号五，根号下四十呢，其实等于根号下四乘十四能开出来就是二倍根号十， 根号下四十五呢，可以拆成是根号下九乘五，九能开出三来就是三倍根号五。最后我们是二倍根号五，加二倍根号十，再加三倍根号五，其实最后是五倍的根号五，再加上二倍的根号十。 第四题计算啊，第一个五倍根号加根号十八，根号十八，其实十八是九乘二，相当于把九开出来，是三倍根号二。那么三加五应该是八，应该是八倍的根号二， 四倍的根号二，十八呢，是三倍根号二，四倍呢，就是十二倍的根号二，十二倍的根号二，减去九倍的根号二，应该是剩下三倍的根号二。 第三个，十倍的根号二，加上三倍根号八，减去七倍的根号二。我们先去括号，去完括号之后，符号不变。十倍的根号二，相当于减去七倍的根号二。还剩在这边写是三倍的根号二， 那三倍的根号八，根号八呢？是二倍根号二，二倍根号二，乘以三是六倍根号二，所以加上六倍根号二，很显然就能得到是九倍的根号二。 第四题，五倍的根号十二减去三倍的根号八，加上二倍的根号下二十七啊，那么根号十二呢，其实是二倍根号三，五倍的就是十倍的根号三，减去三倍的根号八，根号八呢，是二倍根号二，三倍呢，就是六倍的根号二， 然后啊，拆过括号之后，这是减，这也应该是减二倍的根号下二十七，二十七呢，可以写成是九乘三九呢，可以啊，开出是三来，再乘二是六倍的根号三， 所以我们合并一下，十倍根号三减六倍根号三，应该是四倍的根号三，然后和根号二不能合并，就直接写下来，减去六倍的根号二即可。 好，我们看一下第五题，如果最减二次根式根号下三 a 减八，与根号下十七减二， a 可以 合并，那么要是式子 根号下四， a 减二， x 除以根号下 x 减 a 有 意义，则 x 的 取值范围。那么他们如果可以合并，首先开方开的根次数是相同的，都是开二次方，说明我们被开方数也是相同的。那么直接写一个就是三 a 减八，其实就等于十七减二 a， 那么这是一个一元一次方程，我们啊，一项和平同零项就可以。一项之后呢，是五 a 负八以后记是正八，正八加上十七是二十五，所以 a 解得应该是等于五， a 等于五了，那我们这个根号其实就可以写成根号下啊，四五二十减二， x 除以边号下，应该是 x 减五，他说有意义，求 x 的 取值范围。如果有意义的话，首先我们先保证分子它是根号，根号下它要大于等于零，非负型二十减去二， x 要大于等于零，这是一个非负型。 所以我们就是啊，我们可以一项，也可以说运用啊，这个之前讲过的不等式的解法都可以。负二， x 大 于等于负的二十，那么我们系数是负数，先变开口方向，所以同时除以负二，这边变成 x， 这边变成十， x 小 于等于十，那我们再来看分母， 分母要想有意义，首先不能等于零，其次呢，根号根号下要大于大于等于零的，那么不能等于零和大于等于零一合并，其实就能得到。我们根号下 x 减五，应该要大于零，不能等 啊，等于零的话，那就是零做分母了，没有意义，所以解得 x 是 大于五的。所以啊，综合来看， x 取之范围就是 x 要大于五，而小于等于十。 好，接下来再看一下拓广探索题，已知 ab 都是有理数，现定义新的匀算 a 啊，这个是姓 b， 等于根号 a 加上三倍的根号 b， 求二星三括号减去括号里二十七星三十二的值。 啊，那这个题呢，其实是一个很简单的题，我们直接是套用就可以了。那么二星三其实就等于根号二加上三倍的根号三，括号 减去二十七，星三十二就是根号下二十七啊，乘加上三倍的根号下三十二啊就行。然后我们再拆括号就可以了啊，根号二加上三倍的根号三， 减去根号下二十七，我们直接可以算出来，因为二十七呢，相当于是九乘以三，那九呢，能开出三来，就是三倍的根号三， 再减去啊三，三十二呢，其实相当于是十六乘以二十六呢，能开出四来四呢，再和三相乘就是十二倍的根号二，所以我们进行合并一下，三倍根号三和负三倍根号三合并为零了，根号二减去十二倍的根号二就是负的十一倍的根号二。 好，接下来我们做一下课堂小结二次根式的加减，它的法则其实就是一般的二次根式，加减时可以先将二次根式化成最减二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 那么需要注意的是什么呢？注意的是一个运算的原理，原理是运算率仍然要实用。第二个运算的顺序同样与实数的运算顺序是一样的。 好了，视频到了这里马上就要结束了，有问题的小伙伴可以在我的视频下方进行留言，我们下次再见！关注我，带你开启学霸模式！

大家好，我是你们的卓老师，今天带给大家一道八年级下册数学中考专题。 话不多说，来看题化简求值，括号一加 x 减一分之一，括号除以 x， 平方减一分之 x， 其中 x 等于根号五减一。 有需要同学可以暂停两分钟，仔细思考一下。首先我们拿到这个题目，我们是不是就应该对它进行化简， 我们可以看到括号内左边这一部分是不是就等于 x 减一分之 x 减一加 x 减一分之一啊？这是括号内的部分。对于右边的部分，我们可以看到进行的是一个除法， 我们是不是应该尽量给它变成乘法运算，因此乘的便是它的倒数，就是 x 分 之 x 的 平方减一。 进一步化简，我们可以得到左边等于 x 减一分之 x， 右边等于 x 分 之 x 加一，乘 x 减一了。 好， x 和 x 可以 约掉， x 减一和 x 减一可以变掉，因此可以得到原式就等于 x 加一。那题目告诉我们， x 等于根号五减一， 因此 x 加一便等于根号五减一，再加一，最终便等于根号五。好，最后老师再总结一下， 有括号的我们先去括号，再进行分式的乘除法，分子分母能因式分解的先因式分解， 而除法呢，要尽量统一为乘法运算。学会了吗？跟着卓老师数学没烦恼！