余弦函数1+cosx的图像怎么画

大家好，这个视频我们利用图像来动态演示，用鱼弦线来画鱼弦汉字的图像。 好在这个图中呢，我们看一下有一个单位圆绿色的，然后呢圆上一点，一通过一点做 s 轴的垂线，这点是 f， 那么在三角形 e b f 中，角 e b f 这个角，他对应的对边是 e f， 那么他的另一边呢，是 b f。 根据余学函数的定义 coss 角，我试一下 coss 角 eb f， 他的定义应该为 b f b b e， 这是余雅涵的定义， 那么我们就把 b f 叫做余弦线，并且 bf 有方向的，和做正选函数的图像类似， 我们要研究的是角 bf 这个角和 bf 的关系，在直角这个戏中把它展现出来， 角 ebf 把它化为弧度，展现在 s 轴， b f 呢，应该展现到 y 轴，但是呢，他和 s 轴重合。那么我们要利用一条直线，就是 yds 这条 四十五度的直线，把它对应到外轴上去。好，我们通过 f 点做 s 的垂线，与外面 s 这条直线求于 m， 那么我们知道 m f 和 b f 是相等的， 然后通过平移 fm 到 f t n 这个地方，我们就知道了 f p， l n 这一条就是余弦线的直。那么在途中这三条红色的线都是代表了余弦的直。来看一下余弦直的变化， 从零开始， 这时候呢，鱼线线 b f 等于一 f， 撇 m 的值也为一。好，这是初始值，就是说扩散零度等于一， 我们开始变化 好，大家可以看到，随着角 e b f 的增大，扩散的直 b f 再减小， 减小，从一开始减小。继续， 当 ebf 这个角大于九十度的时候，余弦线 b f 为负向的余弦值是负值，继续， 当这个角达到一百二十度的时候，库穗为负一于全的最小值，继续， 当一天画到二百七十度的时候， 库线池漂移帘继续。 好，那么这一个完整的周期已经结束，大家看一下。 好，谢谢大家。

好，通过例题巩固知识，通过题型总结方法这一课，我们来继续讲解正与弦函数图像的进一学。下面我们看相关的例题。 首先看第一个题型，对于正与弦函数图像的理解，我们先看第一个题， 那么这个题目呢，是 sin x 绝对值，那么这个题主要考察了图像的变换，就是当 x 加绝对值时， 这个我们通过前面学习的函数知道，对于 x 加绝对值，我们可以考虑当 x 大 于零时，那么这个 sin x 加绝对值和原来的 sin x 应该是一样的，那因此呢，我们就想到， 那么当 x 大 于零，也就是 y 轴左边的函数图像应该就是 sin x， 这样我们就可以把 c d 排除。那么对于 ab 呢，我们来看，当 x 小 于零时， 写幺零时呢，我们想到这个 x 去掉绝对值以后，它就变成了 三负的 x， 其实呢就是负的三 x， 那也就是说当 x 小 于零时，它的函数图像应该是和原来有变化，那首先肯定 a 就 排除了，所以我们选 b， 那 么有什么样的变化呢？填上符号以后，它和原来的函数图像应该是关于 x 轴对称， 那我们就知道是 b 这种求，或者说我们从另一个角度考虑，那么在 x 加绝对值以后，它是一个偶函数， 那因此我们通过偶函数可以知道，那么当 x 大 于零的图像有了以后，那我们可以去根据偶函数关于 y 轴对称， 就可以得到它左边的图像，那么这个知识点呢，大家要熟悉。 好，下面再来看第二题。第二题呢，给出的是 y 零 q 三 x 加上 q 三 x 的 绝对值，那么这个地方的绝对值是加在整体上， 那我们可以回顾一下，前面我们学过函数整体加绝对值时，应该是 x 轴 下方的，其实就是函数之小于零的部分要变正，所以图像来说呢，就是下方的要沿 x 轴对折或者叫翻转。 那因此呢，我们知道，对于三 q 三 x， 我 们可以看一下，原来它在零到二倍图像是这样的， 那所以它在零到二分之派时，它的图像原来是正的，肯定还是正的，所以确定就这以后呢，就变成了原来的二倍，因此原来 这个地方焦点是一，那一次就变成了二，那这个零呢？还是零，所以形状呢，跟这一块差不多，那就是在二分之派到二分之三派这一段上，那图像原来是负的加角的值以后呢，就变成了正的，所以需要翻上去。 那所以当这两块相加以后呢，我们可以看出来这块零，所以它对应的图像应该就是 x 轴上的这条线段，那从这个看， ab 都可以排除了，那再加上刚才我们判断的零到二分派的图像， c 也可以判断去掉，因此选 d。 所以这个题呢，就是我们在熟悉以前已经认识的在 x 中加绝对值，也就是 f x 绝对值的图像和 f x 整体加绝对值的图像的变化问题。 好，这个考点呢，也是一个常考的问题。好，我们下面再看第二个问题，就是五点法作图， 那这里呢，让我们用五点法做出下面函数的图像。和上一课我们讲的基础知识一样，我们来回顾一下五点法作图。首先 要知道我们取的是 x 对 应的函数值的，把 x 对 应的打五点， x 取值应该是取零，二分之 pi pi， 二分之三 pi 以及二 pi 这五个函数，那么对应的 y 呢？你原来对应的 c， 那 么它是 三，零是零，那乘上负二加一以后，它对应的函数值应该是一，相应的，可以算出后边分别是负一，一减一。 那这样呢，我们有了这个函数以后，呃，图标以后我们可以建立， 都别洗。那当然我们这里呢画的是草图，尽量准确，当然呢，这只是草图，那么这时候我们对应这五个点，要注意，零的时候，他取的只是一 把点。描好二分之派，那么这个地方呢，咱们稍微注意一下，二分之派对应的应该要比一要大，所以呢，我们尽量的取值取得比一大一点，二分之派对应的值是负一， 然后派对应的值又是一， 二分之三派对应的是三，然后二派的时候呢 又是一，因此这样我们用要光滑的曲线，或者就初中说的要平滑的曲线把它连起来， 有笔的限制，这地方画的不够平滑啊，那么这就是他一个周期内的函数曲线。 那么我们画图的时候呢，对于这种五点法作图，一般情况下，我们首先要关注他要求的这个周期零的二倍， 那么如果是一个周期内，我们还要注意的什么呢？那一个周期的起点，如果它的函数值是一，那么它最后一个周期内，也因为要回到原点，所以这个地方对应的函数值一定是一， 所以这些呢，都是作为一些基本特征，是我们需要关注的。我们往往很多同学画图的时候画出来四个象啊，那么有的取不到一个周期， 那我们呢，一定要注意按照这种列表描点连线的方法把它画出来啊。好，这是第二个知识点，下面来看第三个，后边呢是关于它图像的应用， 那么这个地方，首先我们看题型三是与图像有关的焦点问题。那么这个题呢，也是一个非常经典的问题， 它要求看 y 等于 log x 绝对值，这个函数与 y 等于三 x 图像的交点个数。那所以这种题呢，我们通往往通过把两个函数画在同一个函数图像里边 去解决，那么因为我们知道对于这个 log x， 它 x 是 大于零的，所以我们只需要画出在外 y 轴右侧部分的图像就可以了。 那这里呢，我们可以先画出三 x 图形，那这个地方呢，我们因为是要研究焦点个数，所以画一个草图即可。 画草图呢，我们要注意它们的这些主要特征，就是这些零点，把它标一下， 那么然后我们再来画这个劳改 x 绝对值。那么这个我们前面比较熟悉，劳改 x 它本身是对数函数过一零点，那么我们尽量画的准确一些，那一零呢， 比二分的派要小一些，所以一应该在这儿。那么由于它是加了整体，加了绝对值，所以原本对数函数应该是从负无穷开始，逐渐呃是靠近外轴，以外轴为间隙线逐渐的增大， 那么这时候呢，加绝对值以后，它应该就是 y x 轴翻折，所以它应该是递减的，然后呢，从这个地方又开始递增， 那么至于这个地方增是增到什么情况，后边是不是一直会有焦点？那么这时候我们就要把握住这些函数的关键特征，那就是正弦函数， 那么这个地方他最大值是一，所以当我们这个函数超过了一以后，我们就知道他肯定不会有焦点，那他什么时候是一呢？ 已知 x 等于一的数是什么情况？我们可以解的是 x 等于十十，那我们知道三派大约是九点几，四派呢？就十二点几，所以这个十大约稍微超过了三派，那也就是说在这个地方它对应的函数值取到了一， 那因此我们就可以判断在这个点之前的数，它的值都不超过一，尤其是这个地方是一的话，那么函数图像应该在这一点之下，那么这一点就很很重要， 在它之下，那因此它要和这个函数还有两个交点，那过了这一点以后呢？后边它都超过一了，因此它就不会再有交点了， 那由此我们可以数出来它的焦点有一、二、三、四、零四个角。 所以这个题我们看大家在画图的时候，一定要把握住这个两个函数的关键特征啊。像三 x、 三 x， 一个关注他，关注他的零点，还有他的对值是一，最大值是一。那么对于 l x 呢，我们就要关注他什么时候会超过一啊？这是对这种问题的 重点关注的特点啊。好，下面我们看这个另一种，就是利用正弦函数余弦函数图像解三角不等式，那么这个解三角不等式问题呢？我们实际上在前面讲过 利用三角函数线啊，他说三角函数线也可以解决， 那现在呢？我们学习了三角函数以后，我们可以用正弦函数、余弦函数的虚线去解决，比如说像这个题， 它要解决 q 三 x 大 于等于负二分之三，小于等于二分之一，那么没有告诉我们 x 的 取值范围， 所以呢，我们可以先画出 q 三 x 的 图像，那当然一部分图像即可啊，比如说画出这一步， 那这是零，这零是二派。一般呢，对于这个三角函数来说，它没有告诉我们 x 取值范围时，我们一般研究它一个周期内的 这个二图像即可啊，因为其他的范围内呢，都是重复的。那因此呢，我们可以考虑研究零到二派上， 那么我们知道它最小值是负一，所以我们先找出它等于负二分之根三的点， 那比如说是这个这两这两个交点，然后呢，二分之一是对应的值，这是一， 那因此我们就可以看出来，夹在大于负二分之三，小于二分之一之间的函数值，对应的图像，在这一个周期内应该有这两段 啊，我们用不同颜色的笔把它描出来，有这两段， 那因此呢，我们就可以写出它对应的解集了。那这个地方是余弦等于二分之一所对应的，那么这时候我们想到这个锐角应该是三分之二， 那么这个地方呢，是余弦等于负的二分之根三。这时候我们想到等于二分之根三的锐角是六分之派，因此这个钝角呢，就是 派减六分之派，也就是六分之五派。那同样的这个地方，我们发现它是超过了派。在第三项线内，那对应的角， 那我们也可以用派加六分派，也就是六分之七派， 所以对于这样的三角函数值，呃，已知三角函数值求角时对应的角是谁？我们结合诱导公式，注意总结这样的方法啊。一般情况下，像笨角，我们一般就是用派减去对应锐角的 三角函数值对应的锐角，那第三象限时呢，就用派加上，那同样的，在这个地方对应的，我们就用二派减，那当然是二分之一的话，对应的应该是二派减三分派，也就是三分之五派， 这样我们就可以写出它对应的解集，那在这一个周期内，零到二派的范围内，它符合条件的解集就是 x 要大于等于 三分之派，小于等于六分之五派，或 这边呢，是六分之七派，小于等于 x 小 于等于 三分之五派啊，这是它们对应的 这个角的范围，那当然我们知道需要给它加上，根据中面相同的角啊，需要给它加上二 k pi， 所以 最后它对应的解集，我们应该写成 三分之 pi 加二 k pi， x 小 于 n， 六分之五 pi 加二可派或六分之七派 x 啊，加二可派， 显然 x 加上三分之五 pi， 加二 pi 属于整数。那么这个地方，首先大家注意总结这个方法。第二呢，提醒大家注意， 这个答案不是唯一的， 为什么呢？因为这是我们研究的这个范围决定的，那比如说我们要研究啊，这个范围里， 从这里开始研究它一个周期，那么夹子两段呢，就可以用这边来表示和这边来表示。所以呢，答案虽然不一，但是呢，最终它表示的结果是一样的。这个大家要注意 好，这是第一个，第二个呢，我们来看这个题要解决零到二派上能够使 cos 大 于三 x， 那 么这个函数这个不等式呢？我们也比较熟悉，前面我们曾经用三角 函数线来解决过这个问题，那么这个呢，也是同样，我们画出在同一个 坐标西向三 x 和 cos x 图像，我们先大致画一下 cos x 在 零到二 pi 范围内， 那然后呢，我们再描点，画出 cos cos 在 零的时候是一，在二分之 pi 呢是零 pi 的 时候呢是负一，这边是 二分之三 pi 时，它是零，二 pi 呢？六是一，所以余弦函数的图像应该是 逃脱，是这样，那所以一目了然。我们看在领导派范围内，正余险大于正险的，余险大于正险的，首先是这种， 然后从这里往后比正弦小，然后又从这个地方开始比余弦要大，那这样我们很容易结束。那在零到二分派范围内，两个正弦与弦相等的地方，我们知道它是四分之派， 所以第一段呢，就是零到四分派，那这个地方他这是超过了派，也就是说在第三项线内，他们两个相等的，那就是派加四分派，也就是四分之五派， 那因此我们就可以他得到对应的范围，那应该是零到四分派和四五分派到二派这个范围。 因此这个题有两个选项， a c， 所以呢，这个题是一个多选题。 好，这就是三角函数图像的命令。

刚学来了，我们来看看这题，已知函数 f x 等于 cosine 三分之 pi， 则 f 一 加 f 二加 f 三，也加上 f 二零二五等于多少？让我们看它这题呢，就是告诉我们一个函数，然后让我们求把 x 等于一二三一直到二零二五的值全部带进去之后， 这些值的相加之和，那我们看我们可以先试试列一下前提，先找一下规律， f 一 的话就等于 cosine 三分之派，那就是二分之一， f 二呢，那就是 cosine 三分之二派，那就是 far 值。 f 三呢就是 cosine pi， 那 就是负一。然后我们再看 f 四， f 四的话，那就是 cosine 三分之四 pi， 那 就是 cosine pi 加上三分之一 pi， 那 所以呢，它就等于这边添个符号，负二分之一，那同理我们的 f 五就等于这里添个负二分之一， f 六 填个负号等于一，那所以呢，那我们遇到这个时候会发现，那这个时候我们有 f 一 加 f 二加 f 三，一直加到 f 六， 它由于后面我们 f 四 f 五 f 六都是根据 f 一 f 二 f 三填个负号的，等于它们相加减零，那所以呢，周期有周期 有最小正周期 t 等于六，那所以我们就得到它的周期，那得到它的周期之后，所以呢，他让我们求的这个 f 一 加 f 二加 f 三一直加到 f 二零二五，它就应该等于前面的每每六项就会抵消变成零，那这样的话就剩下了 f 二零二三加 f 二零二四加 f 二零二五，直到这个时候，那我们看那它这个的话，根据前面我们的想法，那它的话就应该等于 f 一 加 f 二加 f 三， 那对于 f 一 加 f 二加 f 三来说，那不就是二分之一加负二分之一等于零，再加上负一就是负一了。 那这个也解好，了解这些呢？首先我们可以先列出前几项，找找规律。我们发现列出前六项之后，六项之和等于零，那我们得到它的最小正周期 t 为六，那所以呢，他让我觉得这里 f 一 加到 f 二零零二零二五，它就等于 f 二零二三加 f 二零二四加 f 二零二五， 前面呢都已经是每六项每六项就可以变成零零消掉。那这个的话，再根据前面问号的规律，那他就应该等于 f 一 加 f 二加 f 三，那才等于二分之一加负二，分之一加负一，那就是负一，那这也讲了，下个视频再见。

我们今天来学习正弦函数，当然还有余弦函数的图像与性质。首先我们来看一下这单，这个单元和我们之前学过的几张有怎样的联系呢？ 我们通过高一上学期学习学到了函数，包括密函数，指数函数，还有对数函数。那么今天我们要来结合第六章所学的三角学习三角函数。 首先我们来看一下正弦函数，首先给出了一个 x， 那 有唯一的反 x 与之对应，所以我们按照这样的对应关系建立的函数叫做正弦函数， 形容 y 等于 sin x。 我 们在研究函数的时候，总是说它的定义域，值域，然后图像性质，对吧？那它的定义域是什么？ 呃，定义域是我们的 全体实数，那值域我们也其实也知道了，在之前的学习中，我们也知道它的值域是我们的负一到一。 那接下来的话就是我们的一个图像的问题了，我们该如何来画出我们正弦函数 y 等于 sine x 的 图像呢？ 当然我们有第一种方法，就是我们的描点作图，对吧？在描点作图之前，我们希望我们把表格列出来，所以把它直先列出来，那是列表描点， 然后再作图，这是我们的第一种方法。 我们说在我们这里要得到正弦函数 y 等于三 x， x 属于二的图像，我们当然不可能说在整个实数上都画出来，但是我们在诱导公式里面学习到了 三 x， 如怎 x 加上二 k， pi 等于三 x， 那 k 属于 z， 它们两个是相等的，那么我们只要研究我们零到 pi 之间的函数的图像啊，别的我们只需要把它平移一下就可以了吧， 那也就是说我们先来研究 y 等于 x， x 属于零到二派的大致图像就可以了。所以我们先在零到二派当中先来列表描点，然后作图， 比如说我们现在可以列这几个数字，请大家算一算， 算出来值之后我们把它划出来，我们这个是取的是零到派上的一些值，那么 find x 加派和我们的 find x 之间，我们说右导公式嘛， 所以在派到二派上的图像，我们可以就是原来是在 x 轴上方加了个符号，是不是翻到 x 轴下方来了呀？所以我们在 pad 到二 pad 上可以直接翻下来，当然你也可以在我们的 pad 二 pad 上再取很多的点来画，那这是我们的第一种方法，描点作图。那我要大家记下来的呢？是我们的第二种方法， 我们在学三角，学三角三 x 这个定义的时候，我们借助了单位圆，那么我们现在也来看看，如果想要借助单位圆，该如何来求解这个问题呢？ 我们可以看到我们在这个图的左边放了一个单位圆，当时我们对于 find x 的 定义是不是 find x 的 定义，我们是它的 三角形，一个三角形应该是它的这条边比上我们的斜边，也就是我们这个函数这个三角形里面的这个 h， 对 吧？高， 那我们看一看，那我们说把它的横坐标，比如说这个时候横坐标我们看最开始零，那我们说在这个图像上零，那它对应的纵坐标，对应的纵坐标 是我们的高吧？那我们就把那横坐标和纵坐标都有了，我们可以把它图像画出来了，那我们瞄点作图，我们开始启动它。瞄点作图 之后，我们可以看到那这个正弦函数的一个大致的一个走势了吧？所以我们说借助单位元，我们也可以来研究我们正弦函数的图像。 最后我们说那只要把它进一步的推广， 只要说那不团不停地加上二二 pi， 减去二 pi， 我 们就可以得到整个实数上那 sine x 的 图像。 之后我们来看一看它有没有一些比较关键的点呢？ 比如在零到我们的二 pi 上，它有哪些关键的点呢？哦，我们说我们把关键的点列出来，并且把它们对应的值写出来， 我们说比较关键的是有零，它对应的值是零，二分之 pi pi 二分之三帕，还有我们的二帕，我们说这几个点是比较重要的。然后我们来划一划这几个点上， 那首先列表列出了几个关键点之后，为了让大家看得清楚一点，我直接用叉表示这些点，那你画的时候注意下比例啊，比如说 pi 是 三对吧？三左右，那你的高度是我们的三分之一对吧？那应该是一嘛， 我们有了列表秒点，还有我们的作图，我们把这几个关键点啊，一共有五个关键点，所以我们把这种作图的方法叫做五点作图法。 接下来我们看一下立一，那如何用我们的五点作图法来完成我们的立一呢？ 那首先是列表，我们表列出来，首先第一行已经给你了，是我们的 x， 对 吧？然后第二行 可以写是负三 x， 那 我们有个过渡，最后到达我们的 y， 我 们的一减三 y 等于一减去三 x， 这五个点写上去， 那对应的，比如说零的时候取的是零，那二分之 pi 取的是负一，之后那 y 等于一减去三 x， 在 它基础上加一。 接下来我们在这个图上面把这些点点出来 之后，我们用光滑的曲线连出来 啊，这就是我们说想要的函数图像了。之后我们还有一个问题，就是让你来求一求说我们 y 小 e 的 时候， x 的 取值范围是什么呢？ 我们说在研究函数的时候都是啊，定义域值域图像性质，那么我们到了最后这个 以后，我们会有很多的情况下，都要借助我们的函数图像来研究性质。我们把 y 等于一画出来，那在它下方呢？应该是这样一段，那 y 小 于一的剪辑是属于这里是空心的，空心的，对吧？它是小于，没有等于，那应该是属于零到派 啊。除了这是我们的第一种方法来解决我们的这道题，那法一是， 那还有别的方法吗？我们还可以把它看成是我们的 sin x， 通过一些平移得到的吧，那 y 等于 sin x， 然后他说关于哪个轴对称可以得到 y 等于负 sin x 呢？关于 x 轴对称 之后再向上平移一个单位，就是 y 等于一减三 x， 那 首先是 y 等于三 x， 那 我们来看一下它的图像，然后说 先是说向下对吧？ 我们先向下。好，我们这幅图先是向下了，呃，而且先是变成了关于关于 x 轴对称了，之后，我们说再向上平一个单位，最后我们说得到的答案是一样的， 那么我们类比我们正弦函数的定义，现在我们来要考虑考虑，那余弦函数该如何定义呢？ 我们只需要把定义当中刚刚说的正弦值改成我们的余弦值就可以了吧？ 那它的定义域和值域分别是那定义域还是全体实数？ 那值域还是我们的负一到一？ 在研究余弦函数图像的时候，我们也可以照样用我们的五点法进行研究，包括或者是用我们的单位元来研究，当然我们还可以把它看作是我们， 当然我们还可以把它看作是我们 y 等于 sine x 变化而来的。那我们来看一看它是如何变化而来的呢？ 那我们先把刚刚呃，我们先来看看它是如何变化来的。我们先来呃，我们首先是这是 y 等于三 x。 我 们来利用一下我们的诱导公式， 我们想写成 sine 的 形式，那里面应该加什么？比如说 x 啊，既变偶不变，它是变化名称了吧？所以可能是加二分之派，也可能是减二分之派，那大家想一想，那是加还是减呢？啊？很好，是加二分之派，那是 sine x 向左平移了二分之派的单位吧，那我们把它向左平移二分之派的单位。 由于我们说那在别的呃定域上，我们的这个，由于在别的这个定定义的域上是我们呈现出一个呃两个图像，图像是一样的，那所以我们可以继续往上画， 对吧？所以我们这里说，因为我们原来在这边我们可以继续画出去嘛，所以我们继续可以平移过去， 那么我们可以画出了我们 y 等于 cos x 的 大致图像，它可以由 y 等于 cos x 平移而得到。 我们把正弦函数的图像叫做正弦曲线，那余弦函数的图像叫做余弦曲线。 如果在这个时候也想让大家说明，在零到二派上它的五个，五个重要的点我们也是，它是重要的，它是重要的，它是重要，它是重要，还有它是重要的，那我们 x 的 x 的 曲值是不变的， 这个时候让大家试一试，用五点法画出 y 等于二分之一减 cos 的 图。图像我们这里首先要注意它是负派到派之间，那我们取的这五个点应该是怎样呢？我们首先肯定有一个是负派，一个是派， 那中间我们可以发现刚刚都是隔二分之派一个，二分之派一个吧，那我们这边也是那隔二分之派一个，隔二分之派一个，隔二分之派一个，那这里说用五点法画，那我们首先还要画一个负可反 x， 我们可以发现这里填一，这里填零，然后是负一零一，那他再加上二分之一之后是二分之三，二分之一， 那我们按照点的坐标是 x 逗号 y 进行描点，那作业上一定要，我一定要大家出现的是我们这个描点的一个过程啊，这是负派，然后这是负二分之 派对应的值，之后是这里是零对，然后过来， 如果你没有这个点，那作业是不合格的，那我们从负派到派 连起来，那图像就是长这个样子。当然你可以用我们的 y 等于 cosine x 那 平移和旋转得到 之后是我们的例三绝对值在我们的零到四派上的减图，那么它等于我们先把它去绝对值， 那如果是反负反 x 小 于零，那它前面要加负号，我们很显然把反 x 分 成了大于零和小于零的部分，也就是在 x 轴上方和 x 轴下方的两个部分。那在 x 轴的上方的部分，我们说保留它的全貌， 对吧？那这里是我们的几个重要的点， 那 x 轴上方不变， 那 x 下 x 轴下方呢？对称过去吧。关于我们 x 轴对称过去才能得到上 x 的 绝对值， 也就是它原来是在我们下面的，有这几个关键，然后我们把这几个点都翻上去之后再连起来，这里是零，二分之派派，二分之三派，二派，那根据我们说它跟我们的 加上二派是一模一样的，所以我们直接可以画出在我们零到四派的图像，大概就是长这个样子。 那本节课我们主要学习了正弦函数与弦函数的定义，并且根据五点作图法，知道了它的图像是如何画出来的。

由于这个视频比较长，大家可以先看一下视频的内容，然后根据下方的进度条选择自己想要了解的内容进行观看。 首先我们先来看正弦函数的作图，正弦函数作图的预备知识就是大家需要先记住正弦函数的特征五点，所以以下五点就是我们在正弦函数当中需要记忆的内容。 当特征五点的坐标你已经记住之后，我们用例一来演示一下在具体画图当中特征五点坐标的应用。首先第一步，我们在画图的时候，首先需要令函数当中的相位等于特征五点的横坐标，即 零二分之派，派二分之三派，二派。这样的话我们就可以求出来相应的 x 的 值，第一个八分之派，第二个八分之三派。然后在求 x 的 值的时候，我们有一个小技巧， 因为根据正弦函数的特殊性，它的这些 x 肯定是一个什么呢？肯定是一个等间距的排列， 所以说根据前两个值你已经看出来了，它们相差的是八分之二排，所以往后依次肯定都是低成八分之二排，所以你就可以利用这个规律求后续的数值，就不需要一个个解方程了，这样可以节约很多时间，所以往下八分之五排， 八分之七派，八分之九派，所以这个就是第一部分。第二部分我们需要令函数里边的散引来等于特征五点的纵坐标，即零一零负一零， 这样我们可以进一步求出来什么呢？求出来 y 的 值 哦。当你把 x 的 值和 y 的 值都求完之后，我们就组合成了新的特征的五点，八分之派都负一， 八分之三派都一，八分之五派负，一，八分之七派负，三，八分之九派负一。然后我们把这新的五点在坐标系当中 秒点连线，就可以得到函数的图像。首先第一个八分之派都负，一， 八分之三派都正，一， 八分之五派都负，一， 八分之七派都负，三， 八分之九派都负一。所以这样我们在坐标系当中就描好了五个点，然后用光滑的曲线将这五个点进行连接， 那么得到的就是此正弦型函数在一个周期内的图像。接下来呢，我们对方法进行一个总结，便于大家的记忆。第一步那就是令相位 等于特征五点的横坐标来求出 x。 第二部分就是令函数当中的 side 等于特征五点的纵坐标来求出来 y， 这样 x， y 就 组成了新的特征五点，然后秒点连线即可。 说完了基础的作图方法之后，我们再说一个在实际做题当中能遇到的一个问题，很多题题里边对函数自变量可能有具体的范围要求，那么当自变量有范围要求时， 我们就要做出与字变量相对应的函数的图像，那么也就是说你可能说需要对函数的图像进行截取或者是延展。 首先我们先来看图像的截取，第一就是刚才我们画过的图像，只不过现在他有了一个附加的要求，我们需要做出他在零到派对应这个区间内的图像。所以首先我们先将这个区间的两个端点坐标求出来， 当 x 等于零时，我们代入可得 y 等于二倍的 sine， 负四分之派减一，解得负根号二减一，当 x 等于派时代入 y 等于的是 sine 四分之七派减一，解得相同的时，还是负根号二减一。所以这样我们就先求出来这两个端点的坐标。 第一个点，零度负根号二减一，大概是在这个位置，我们将它设为 a 点，然后第二个点派渡负根号二减一，大概是在这个位置， 我们将其设为 b 点，然后截取出从 a 到 b 的 图像， 然后多余的部分我们需要将其删掉，这样我们就截取出来了从零到派这个范围内的图像。 然后我们对截取图像的方法做一个总结。首先第一步就是先要描出两个端点的坐标，然后通过函数图像的趋势掐头去尾，只保留这两个端点中间的相应部分。 接下来呢，我们再来看一下图象的延展，这次呢，他是想让我们画出来在零到二派上的图像，所以我们首先还是先求出来两个端点的值。 x 等于零的时候，带入 y 等于负根号二减一， x 等于二派时，带入 y 也是等于负根号二减一。所以咱们先描述出第一个点，零度负根号二减一，大概是在这个位置，好，下一个二派都负根号二减一， 大概是在这个位置，然后我们根据图像的走势先延展出零到八分之派上的图像， 然后当我们延展八分之九派到二派这段的图像时，我们一定要注意函数的一个周期，因为延展你不能延长过头，也不能说延长的不够。首先这个函数的周期呢，我们能看出来， 二派比上欧米克等于的是派，然后八分之九派和二派之间的距离 是八分之七派，大于了四分之三个周期，所以你肯定需要至少延展出四分之三个周期，所以按照这个图像的特点我们进行延展 好，所以这样的话，我们就画出了从零到二排上的相应图像。接下来呢，我们还是总结下延展图像的方法。首先还是先需要描绘出区间的两个端点，然后区间之外的部分我们要把它去掉， 空白的部分需要根据函数的周期性延展出来，所以在这里我们一定要注意函数的周期，比如说你不能延展的过多，也不能延展的不够。 说完正弦函数呢，我们再来说一下余弦函数的作图。余弦函数的作图方法其实与正弦是一致的，也会用到五点法，但只不过就是余弦函数特征五点的纵坐标与正弦是不同的，所以这里我们要注意就是与正弦的区分。 接下来我们根据例一看一下余弦型函数具体的作图方法。首先第一步我们还是先需要令函数的相位等于特征五点的横坐标记零二分之派，派 二分之三派，二派，然后求出相应 x 的 值，一个六分之派，第二个十二分之五派，然后再往下求值的时候，我们还是可以遇到用到等间距的这个技巧来解后面的值， 三分之二派，十一二分之十一派，六分之七派。然后第二步，再令抽象的值等于特征五点的纵坐标记一零负一零一，求出来相应的 y 的 值， 然后由 x 和 y 的 值构成新的特征五点， 然后将特征五点秒点连线，第一个六分之派斗二， 然后下一个十二分之五派斗零，三分之二派斗负，二， 十二分之十一派都零，最后一个六分之七派都二，然后还是用曲线将它们进行连接， 这样我们就得到了这个余弦型函数在一个周期内的图像。接下来呢，我们还是对于余弦作图的方法进行一个总结。第一部分跟正弦相同还是令向位 等于特征五点的横坐标，而且这五个横坐标与正弦是相同的 x， 然后再令题当中的口塞 等于特征五点的纵坐标，然后这里要注意余弦的纵坐标跟正弦的是不同的，要注意好区分。求出 x、 y 之后构成新的特征五点，然后瞄点连线。 然后当大家在做题的当中遇到余弦需要截取图像或者延展图像的时，用到的道理跟正弦是相同的。所以以上就是正弦型函数和余弦型函数作图的方法。

函数性质题不会做一个图像全部解决。呃，设常数啊， m 使方程呢？ cos x 等于 m 在 区间 二分之派到三派上恰有三个解， 三个解依次为 x 一， x 二、 x 三，我们给它规定一下大小啊，且 x 二的平方等于 x 一 乘以 x 三啊，则 m 的 值等于多少？ ok 啊，这样一道题目呢，它就是在考我们一些图像上的一些基本性质啊。好，那 m 等于个 cos 是 二分之派到二分之三派之间，所以我先第一步，我先要把这个图像找二分之派找到它， 二分之三啊，三派找到它在这儿啊，在它们两个之间呢，我们在这儿 能看到它是这么一个图像啊，那作为这样一个图像呢？呃， m 等于它有三个减，所以对于这条线来说的话啊，我基本上知道应该是画在 x 轴以下啊，大概在这个位置 啊，有三个点。好，它们对应的横坐标呢，分别叫做 x 一， x 二， x 三啊，三个横坐标啊，如果要是画在 x 轴以上呢，就是有只有两个焦点了。 好，那作为有三个点的情况下，我们会发现他们两点之间呢，会有一个对称关系，比如说 x 一 和 x 二，他们是关于 x 等于把这条线对称的，所以 x 一 加 x 二， 我能确定他等于二派啊，终点公式，那 x 二和 x 三呢？他们两个中间也有一个对数高，应该是二派，所以他俩和应该是四派。 ok， 这是我们在做完图之后能发现的一些性质啊。那他还给我一个条件，他说 x 二方 等于 x 一 乘以个 x 三，所以在这里我可以替换一下，比如说我可以把 x 二给它求出来啊，那又说 x 二的平方等于 x 一 转化成 二派减 x 二， x 三呢？转化成四派减 x 二。好了，到这就是我们熟悉的一元二次方程，把它打开啊，我们的问题基本就得到解决了，叫八派方减去一个 六派 x 二加上 x 二方啊，两边的 x 二方呢？我把它给它消掉啊。所以也就意味着 八派方等于个六派 x 二好消一消 x 二，在这等于三分之四派。好了， x 二等于三分之四派，那作为 m 的 值呢？是取个点的总坐标，所以 m 呢，其实可以等于 cosine 三分之四派。好了，这个数值是不也就结束了，对吧？那 cosine 三分之四派等于一个多少呢？啊？你可以说我这个地方用一下诱导公式， cosine pi 加三分之派，这是没问题的啊，偶不变，所以等于个 cosine 三分之派啊。然后根据象限判断一下，它是一个负的，所以最后的结果呢，负的二分之一 ok 啊，考了一个图像的对称性。

信息差就是分叉，你的余弦函数还在死记硬背，抱歉，这已经是一场不公平的竞赛了。考场里你对着周期单吊区间抠破头，别人早用技巧了解韩餐问题也能轻松拿捏， 这从来不是智商的差距，而是方法的差距。今天从基础靠塞音到娴行函数，层层拆解图像性质，教你换元法破解最难含残题， 一个视频带你搞定余弦函数！我是小舒老师，今天我将会用二十分钟时间带你系统梳理余弦函数与余弦型函数的图像性质与解析方法。最后一种方法，换元法非常重要，请你一定要看到最后。首先呢，我们先来看一下余弦函数图像性质啊，我在屏幕当中呢，已经把这个余弦函数图像给大家画出来了。大家可能在这个地方会有一个疑问说，老师，那这个余弦函数图像到底是怎么画出来的？ 它跟我们的正弦函数其实是一样的，本质上是由描点法的方法给绘制成的。那么什么叫做描点法呢？我给大家举个例子，例如我令这个 x 等于三分之派，那么我们就可以得到这个 f， x 呢，它就等于我们的 f， 三分之派就等于我们的 cosine， 三分之派就等于我们的二分之一。 由此呢，你就可以得到一个点，横坐标呢是三分之派，纵坐标呢是二分之一。原则上来说，只要你瞄的点足够的多，我们是不是就可以把这个函数的完整图像给它绘出来了？那么有了这样的一个图像之后呢，我们就可以借助这个图像来研究余弦函数的相关性质。首先呢应该是它的定义域， 就是我们总得知道我们是在一个什么样的范围当中研究它的吧，很明显，余弦对于次变的 x 是 没有特殊的限定的，那么它的定义域呢就是二。那么说完了定义域之后，下个是什么？那就是它的值域，定义域呢是 x 的 范围，那值域是什么范围值域呢？就是我们的这个 y 的 范围。 看这个图像大家可以看出来，我们当 x 等于派的时候，它取的最小值负一，而当这个 x 等于零的时候呢，它取的最大值一呗，所以呢，它的值域呢，就是负一到一。 然后大家仔细看这个余弦函数图像，你会发现一个特别有意思的事情啊，就是他跟我们的正弦函数是一样的，就是左右两边无限延伸，并且是一个周期函数。什么叫周期函数？就是他每隔一定的区间呢，他的图像就重复出现了，比如说这个余弦函数的最小重复单元呢，就是我给他画出这一段这样子的， 你会发现他就是这样的一段图像，一直 control c control v， control c control v 这样重复出现的吧。那么所以说我们就可以知道，这个余弦函数图像的最小正周期 t 呢，它就等于我们的二派，当然呢，这个二派是它的最小振周期啊，也就是它最小的重复单元。你像是四派呀，六派呀，八派呀，本质上也是它的周期啊，就是它每隔二派之后，它的函数值呢，是保持不变的。 那么研究完了这个函数的定义域、值域和最小振周期之后呢，我们要研究它另外两个非常重要的性质，就是它的对称轴和对称中心。我们先来看对称轴啊，大家仔细观察一下这个图像，你会发现后，当中这些所有的蓝色线条， 他其实本质上都是他的对称轴。那比如说我给他画一下啊，有这条线，你这样给他画一条线之后，你有没有发现他左右两边是完全一样的？大家可能说这看着也不一样，但是大家注意了，余弦函数图像他是会往左右两边无限延伸的，也就是你这样乍一看他好像不对称，但实际上因为他左右两边无限的重复， 所以它其实从这个位置开始，左边和右边是完全一样的，所以这是它对称轴吧。那么换一个，换成这条线，你会发现它同样符合这个特点。那么有没有什么样的方法可以把这些所有的对称轴给它统一起来呢？哎，可以的，我们观察一下它的数值关系就可以了。比如说这个余弦函数的最中间的这个对称轴呢，就是 x 等于零，其次呢是 x 等于 pi， x 等于二， pi x 等于三派， x 等于四派，发现了没有？它们都是派的整数倍吧，所以说我们可以把这个对称轴呢，统一写成 x 等于 k 派，然后呢， k 属于 z， 同样的道理呢，这个对称中心呢，也有无数个，比如说我们的二分之派零， 二分之三派，零，二分之五派，零，二分之七派，零，二分之九派零，发现了吧，都是二分之派的基数倍，所以说我们可以把它统一写成二分之派，加上 k 派都是零，因为它是点嘛？同样的 k 属于 z， 就是 k， 可以 取所有的整数，比如 k 等于零的时候，就是二分之派零， k 等于一的时候，就是二分之三派零， k 等于负一的时候呢，就是负二分之派零吧。那我们就可以把它所有的这个对称轴和对称轴性都给它呈现出来了。除了这五个性质之外呢，还有两个非常重要的性质，大家也需要记一下，就是它的 单调增区间和单调减区间，那么它的单调增区间是多少呢？大家看这个图啊，我在图像上面给大家画了一段，就是从负派到零的这一段，你会发现这段图像它是越来越高的。我在图像上呢给大家画了一段出来，就是从负派到零的这段，你会发现从负派到零的时候，它的函数值是不是越来越大， 这就是它的单调增序键。而且它的单调增序键呢，也不是唯一的，这是不是也是它的增序键？这，这是不是都是它的单调增序键啊？跟我们的对称轴和对称中心一样的，我们可以用统一的一个表达式呢，把它的所有的单调增序键呢都给表示出来，我们只需要写它其中的一段就好了，就是我们的负派到零。 但是我们刚给大家讲到过这个余弦函数，它是个什么函数？它是个周期函数，最小正周期是多少？是二派，所以说我们需要怎么样加上它周期的整数倍，加上二 k 派，别忘了后面 除以 z， 这就是它的单调增区间啊。那么有了单调增区间之后呢，我们来看它的减区间其实就是从零到派的这一段，你看这个图像是不是越来越矮，这就是它单调减区间，但这只是它众多单调减区间当中一个，你比如你看这些， 这些是不是都是它的单调减区间啊？跟我们刚刚的增区间是一样的，我们用一个统一的表达式把它都给呈现出来，我们只需要写最靠近于 y 九的这一段，就是从零到派， 同样的也需要加上一个周期二 k pad k 除以 c 就 完事了。在这个地方有一个小细节，大家需要注意什么？小细节就是大家可以看到我们在这个写增区间的时候，这写的方括号，在写减区间的时候，这也是方括号。大家注意，以后做题的时候，如果他既求了增区间和减区间的话， 你就不能同时写方括号，你要把其中的一个呢改成圆括号，如果只是单纯的求增减区间的话，那就都写成方括号，这个我解释清楚了吧， 这个呢就是我们余弦函数的最基础的图像性质，那么有了这样的一些图像性质之后呢，我们就可以借助这个函数的图像性质来解答相关的问题。首先呢，我们先来看一下第一道题啊，它是这样说的，让求这个 f x 等于 cosine x 在 三分之派到六分之五派上的值域。那么这道题应该怎么做呢？其实方法非常简单啊，我们只需要借助我们刚刚所讲到的余弦函数图像 来做就可以了，我们刚是不是已经把这个余弦函数图像给它画出来了，就是我们的 f x 等于 cosine 图呢，就长成这个样子的。 那么有了这样一个图像之后呢，大家还需要知道这个图像上的一些关键点的坐标啊，比如说这个地方呢，是我们的负二分之派，这呢是我们的二分之派，这个地方是派， 这个地方是我们的二派，这些点坐标大家需要知道，因为它有助于我们去定位吧，不然的话，你怎么知道三分之派和六分之五派在哪吧？有了这样的一个准备工作之后呢，找题就会非常简单了，你看他不是让你求这个三分之派到六分之五派上的值域吗？那么第一件事情我们先找着三分之派的呗，就是三分之派呢，在这个位置上， 六分之五派呢，他肯定是挨着派的，所以这个点呢，在这个位置上，那所以说这个函数图像，他从三分之派到六分之五派的这段图像呢，就是这个样子的，给大家用这个波浪线给大家描述一下，你看这个图像 是不是就可以找到这个函数图像的最高点在哪？是不是就在三分之派这取得最大值，在六分之五派这取得最小值吧。所以接下来的步骤就会非常简单了，你只需要把三分之派和六分之五派的函数值求出来就可以了。 第一步，你令这个 x 等于三分之派，那么这个 f x 呢？它就等于 f 三分之派就等于我们的扩散三分之派。我们都知道扩散三分之派等多少等于二分之一吧， 然后我们再令这个 x 呢，等于我们的六分之五派，那么则这个 f x 呢，它就等于 f 六分之五派，它就等于扩散六分之五派，就等于我们的负二分之根号三， 你看你最高点有了，最低点有了，最小值和最大值，是不是也就有了？所以它的值域是多少值域呢？就是我们的负二分之根号三 到二分之一就做完了，是不是特别简单？紧接着我们来看下第二种题型啊，就是利用余弦函数图像性质来解不等式。那么这种问题应该怎么去解呢？根据我们刚刚所讲的方法一样，我们肯定要借助这个余弦函数图像来解了，比如我们先把这个余弦函数图像给它画出来啊，就是 f x 等于 cos x 五就长成这个样子的。 我们之前是不是给大家讲到过，我们在研究周期函数图像的时候呢？其实不用研究它整个区间上的图像啊，我们只需要找到它最常用的那个周期内的图像性质，然后再加上周期不就得了吗？我们先把一些关键点的坐标给大家标一下，比如这个点的坐标呢，很明显是负二分之派，这呢是零，这呢是我们的二分之派，对称轴这个地方呢是我们的派， 然后这个地方呢，是我们的二分之三派，我们只需要研究这个曲线就好了。那么既然他要扩散 x 大 于二分之幺三的话，那就是整个的这个函数图像呢，是位于 y 等于二分之幺三这条水平横线以上的，我们给它画这样的一条水平横线 y 等于二分之根号三， 那你想啊，要这个扩散 x 大 于二分之幺三的话，那我们是不是只需要保留位于这条水平横线 y 等于二分之幺三以上的部分就好了，那就是这段儿 以及它周期出现的剩下的部分呗，当然，因为它是左右两边无限延伸呢，所说我们肯定不能都画出来了，我们只需要研究它在一个周期内的范围就可以了，比如说这段，比如说负二分之派到二分之三派这一段， 那么我们令扩散 x 等于二分之根号三，我们就可以得到这个 x 一， 它就等于多少，它就等于负的六分之派，或者是 x 二就这个位置， 它就等于我们的六分之派，所以这个扩散 x， 它要大于等于二分之根号三的话，那么则我们的这个 x 呢，它就是大于等于负六分之派，小于等于六分之派的，没问题吧？当然呢，这肯定不是它最终答案，因为我们讲的过它是个周期函数啊，所以它最终的答案呢，需要加上它的周期二。 kpi 说解集是多少方？括号负六分之派加上二 k 派，到六分之派加上二 k 派，然后 k 属于 z， 这才是这个解集的最终答案。所以你会发现，无论是求值域也好，还是解不等式也好，我们都可以借助它的图像 求解。讲完了余弦函数图像性质之后呢，紧接着我们来给大家讲一讲余弦型函数图像的基本性质。那么什么叫做余弦型函数啊？跟我们的真弦型函数是一样的，就是形如 a 倍 cosine omega 加 f 这样的函数。比如为了方便呢，咱们这道题呢，就以四倍 cosine 二 x 减三分之 pi 为例哈，我们都知道这个余弦函数定义是多少，是 r 吧， 那么我们的余弦型函数就是后面这个函数，它的这个定义呢，自然也是 r， 对 于这个 x 是 没有特殊限定的。 刚刚我们讲了过，余弦函数值域是负一到一，对吧？那么如果说我们这个余弦函数前面有个系数四的话，那它的值域呢，就是我们的负四到四，这个没有问题吧， 就相当于把它扩大了四倍呗。同样道理，余弦函数最小正周期呢是二派，那么我们余弦函数的最小正周期 t 呢，就等于二派 以上我们加的绝对值，那就等于二派比上一个二就等于派，没问题吧？二派比上 x 系数的绝对值就是我们的余弦型函数的最小正周期。大家还记得我们刚刚讲到这个余弦函数对正轴是多少吗？是 x 等于 k 半没有问题吧？ 那么余弦型函数的对称轴应该怎么去求呢？我们只需要令括号里面这坨二 x 减去三分之派等于 k 派就可以了，这能看得懂吗？就是令括号里面黄色荧光笔的这个整体等于我们的 k 派就可以了，然后你把它化简解出来就行， 那就是即我们的二 x 等于三分之派加上 k 派，即 x 等于我们的六分之派加上二分之 k 派。但是不要忘了 k 属于 z 哈，前面也把这个 k 属于 z 呢给补上，因为它能够表示它所有的对称轴。 到这个方法呢，我们是不是也可以把它对称中心给求出来了？我们刚讲到过这个余弦函数对称中心呢是二分之派加上 k 派都是零，后面呢，有一个 k 属于 z， 那 我们要求它的对称中心的话，其实只需要令这个 二 x 减去三分之派等于二分之派加上 k 派就可以了。那就是即二 x 等于六分之五派加上 k 派，即 x 呢，等于十二分之五派加上二分之 k 派， 这个 x 呢，就相当于是对称中心的横坐标吧，所以它对称中心是多少？就是我们的十二分之五派加上二分之 k 派，都是零 k 除以 c 也就做完了，是不是非常简单？有了上面方法的启发之后，你再来去求单调增区间和减区间，是不是简单多了？我们刚是不是讲到过余弦函数增区间呢？是 x 大 于等于负派加上二 k 派，小于等于二 k 派， k 属于 c 没问题吧？ 当然你得写成区间或者是集合的形式。那我们要去求这个四倍 cos 减三分之派的单调增区间的话，我们只需要怎么做？我们只需要用这个二 x 减三分之派，怎么样替换掉 原来的这个 x 就 可以了。所以说你就可以得到负派加上二 k 派，小于等于二 x 减去三分之派小于等于二 k 派，后面呢，有一个 k 属于 z， 你 把这个不等式化减一下不就得了吗？怎么化减？先左右两边都加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派加上二 k 派， 然后呢，大于等于负的三分之二派加上一个二 k 派。你在左右两边除一个二呗，那就是 x 呢，就大于等于负的三分之派加上 k 派，然后小于等于六分之派加上一个 k 派， k 除以 c。 当然呢，你得写成区间或者是集合的形式啊，比如你可以这么写，这样才是规范表达的结果。我们再来看下减区间是不是一样的道理？我刚是不是讲到过，余弦函数减区间是多少？就是我们的 x 大 于等于 二 k 小 于等于派加二 k 派， k 属于 c。 同样道理，我们只需要用我们的这个二 x 减三分之派替换掉这个 x 就 行了。那你就可以得到二 k 派小于等于二 x 减去三分之派小于等于派加上二 k 派， k 呢？ 属于 z 是 吧？一样的操作方法，左右两边先加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派，大于等于三分之派加上二 k 派。 然后你在左右两边除上一个二就可以了，那就是 x 小 于等于三分之二派加上 k 派 大于等于六分之派加上一个 k 派， k 属于。对，同样道理，你需要写成区间或者是集合的形式。 你现在还觉得余弦弦函数图像性质很难吗？非常简单哈，知识点讲完了，接下来我们来做几道题。我们先来看第一道题啊，它要求这个 f x 的 最小正周期啊，超级简单。 t 就 等于多少？就等于二？ pi 比上什么？比上 x 的 系数？二啊，就等于 pi， 这不有数就行吗？ 对称轴怎么求？我们刚是不是讲的过，我们是不是只需要令括号里面这坨怎么样？我们只需要令二 x 加上六分之派等于 k 派即可。当然 k 属于 z 哈，那就是即二 x 等于负，六分之派加上 k 派，那就是即 这个 x 就 等于负的十二分之派加上二分之 k 派， k 除以 z 完事。那对称中心是不是一样的道理？我们只需要令括号里面那坨二 x 加六分之派 等于多少？等于我们的二分之派加上 k 派就好了，那就可以得到二 x 就 等于三分之派加上我们的 k 派。 那么所以说这个 x 呢，就等于我们的六分之派加上二分之 k 派， k 属于 z， 但是别忘了这是对称中心啊，它是个点，它的动作表是多少是零啊？ 求它答案呢？应该是六分之派加上二分之 k 派都是零，后面有一个小尾巴， k 属于 z， 那 么求这个单调增区间呢？也是一样的方法。我们是不是只需要令这个二 x 加六分之派，怎么样？ 令这个二 x 加六分之派大于等于负派加上二 k 派，然后小于等于二 k 派， k 属于 c， 你 再化简就行了呗。那就是二 x 就 小于等于负六分之派加上 二 k 派，然后呢，大于等于负六分之七派加上二 k 派，没问题吧？然后左右两边除一个二，就是 x 呢？小于等于负十二分之派加上一个 k 派，然后呢，大于等于负十二分之七派加上 k 派 就算完了。当然这个 k 呢，怎么样是属于 z 的？ 同样的注意细节，你需要写成区间或者是集合的形式。然后大家观察一下这个第五问和第四问有什么区别，其实只有一个小小的区别，就是这个第五问呢，它多了一个限定条件，就是求 f x 在 零到派上的单调层区间就是限定呢，这个 x 怎么样限定呢？这个 x 呢，是大于等于零 角等于 pi 的 呀。你想我们刚刚求出来的这个单调增区间是怎么样？是它所有的增区间呢？ k 是 能够取所有的整数的吧，所以我们需要在第四位的基础上赋值。会有很多同学说我们为什么要令 k 等于零，为什么要令 k 等于一，就是这个目的，因为它限定了 x 只能在零到 pi 这个范围当中。那你比如说你令 这个 k 等于零啊，就是在刚刚第四问的基础上赋值啊，那这个时候你可以算出来这个 x 怎么样？它是大于等于负十二分之七派，小于等于负十二分之派的怎么样？很明显不在零到派这个范围当中啊。然后如果你再令 k 等于一，那这个时候你算出来这个 x 怎么样？它就是大于等于 我们的十二分之五派，小于等于我们的十二分之十一派，这个范围就是可以的。那如果你再令 k 等于二呢？那这个时候呢，你会发现这个 x 呢？就是 x 大 于等于十二分之十七派，小于等于 十二分之二，十三派很明显就不在零的派这个范围当中了。所以说最终符合题的范围只有哪个？只有十二分之五派到十二分之十一派就做完了。 其实会有很多同学在这个地方想半天说，为什么要赋值啊？就是因为题干当中限定的 x 是 大于等于零，小于等于 pi 的， 所以说你需要通过赋值的方式把 x 的 范围限制在零到 pi 的 范围当中啊。然后呢，我们来给大家讲一讲换元法的使用啊。其实这种方法我们是不是在给大家讲正弦型函数图像的时候也讲到过啊？ 那么具体是怎么操作呢？我们来看下这道题，他是这样说的，他让你求这个 f x 在 零到二分之 pi 上的值域，你直接去求值，不太好求啊 啊，因为我们并不知道这个扩散二 x 加六分之派的图长什么样，那么在这个时候应该怎么办呢？哎，换元，如何换元？我们只需要令括号里面那坨二 x 加上六分之派等于 t 即可。请问这个 x 有 没有范围？有范围吗？ x 呢？它是大于等于零小于等于二分之派的，对吧？ 那么 x 大 于等于零小于二分之派的话，那么二 x 呢？它就是大于等于零小于等于派的。那么这个二 x 加上六分之派呢？它就是大于等于六分之派，小于等于六分之七派的， 这就是谁的范围？这就是 t 的 范围啊！ t 是 大于等于六分之派，小于等于六分之七派的。那么由此呢，这个问题就可以转化为求这个 y 等于扩散 t 在 这个 t 大 于等于六分之派小于等于六分之七派上的值域。 这样的话，是不是就和咱们今天所讲的第一道题是完全一样的了？我们只需要先画出这个余弦函数图像长成这个样子的，然后呢，我们只需要在图当中找到这个六分之派和六分之七派的位置就可以了。六分之派在哪？六分之派肯定是挨着这个二分之派的，大概在这六分之七派呢，肯定比派要稍微大一点，大概在这。 所以说这个 y 等于 cos 呢？在六分之派到六分之七派上，图像呢，就长成这个样子的，看这个图像是不可以看出来，那最大值在哪取得？最小值在哪取得？在派这取得呀？所以我们就可以知道，这个 y 的 最大值就等于扩散六分之派就等于二分之一，而这个 y 的 最小值呢，就等于扩散派就等于负一。 你由此的话，不就可以知道值域了吗？因为我们讲到过，值域其实本质上就是最小值到最大值呗，那就是我们的负一到二分之一，就契合了 同样的道理，大家可以来解这个不等式，它不让你去解这个扩散二 x 加上一个六分之派。怎么样？大于等于二分之一吗？是不是看起来好像不太好解啊？我们说如果你不是很熟悉的话，你就换个圆，你就另这个二 x 加上一个六分之派等于 t， 那 它可以转化，为什么呢？ 这个扩散 t 大 于等于二分之一了。哎，你看这是不是又变成了咱们今天讲的第二道题了，它就会从一个相对来说比较复杂的函数呢，变成一个简单的函数。 跟我刚所讲的一样，你是不是只需要把这个扩散 t 的 图给他画出来就好了呗？就刚刚那个图呢，还可以用大概长成这个样子。然后呢，我们找到一条水平的横线， 比如说 y 等于二分之一，大概在这个位置上，我们是不是可以把这两个绿色点的横坐标给他算出来？大家要对三角函数值非常熟悉啊，你应该要知道，这个扩散人负三分之派等于二分之一，这个扩散人三分之派 也等于二分之一吧。所以说这两个点的坐标呢，就是一个是负三分之派，另一个呢是我们的三分之派，你想它要大于等于二分之一啊，那就说明这个 t 的 范围呢，是位于负三分之派到三分之派之间的，那我们是不是可以得到一个不等关系，比如 t 大 于等于负三分之派，小于等于三分之派，但是你不要忘了它是一个周期函数啊，所以你还需要怎么样？你还需要加上一个二 k 派， 当然呢，这是我们谁的范围？这是我们 t 的 范围啊，我们要求出谁的范围？求的是 x 范围，但是别，别忘了，这个二 x 加六分差，它不等于 t 吗？你最后再给它换回来就好了，那就是二 x 加上六分之派，然后呢，大于等于负三分之派加上二 k 派，然后小位等于三分之派加上一个二 k 派， k 除以 z， 你 再画点就做完了。当然大家可能说可不可以不这样换元啊，直接去写可不也行？我们给他换元呢，是希望大家能够看得更加直观一些， 你直接去解不等式，其实也是 ok 的 啊，换元法呢，不仅可以用来求值域和解不等式，它还可以用来求参。比如说这道题他是这样说的，他说已知函数 f x 呢，在这个零到 a 上单调递减，然后让求参数 a 的 取值范围 你就可以使用。我们刚刚所讲的换元法就是你先甭管那么多，你首先第一步先换元，只需要另括号里面那坨二 x 加三分之派怎么样？等于 t 就 可以了。 这个 x 有 没有范围？有啊， x 呢？是大于等于零小于等于 a 的， 对吗？那么 x 大 等于零，小于等于 a 的 话，那么这个二 x 呢，它就是大于等于零，小于等于二 a 的。 那这个二 x 加三分之派呢？它就是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上一个三分之派的，那这个就是谁的范围？这个其实就是我们 t 的 范围呗，因为刚令 t 等于二 x 加三分之派吧，那我们就可以知道 t 呢是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上三分之派的。 然后我们这个问题是不是就可以转化为 y 等于二倍扩散 t 在 这个三分之派，小于等于 t 小 于等于二 a 加上了三分之派上，怎么样 e 减，然后让你求这个参数 a 的 范围呗。那应该怎么去求呢？他其实还是要记住我们刚所讲的图像来做。我们首先呢，先把这个二倍扩散 t 的 图给他画出来，大概呢就长成这个样子的。 然后我们只需要在这个图像上找着三分之派和二 a 加三分之派的位置不就得了吗？那我们先标记一下三分之派，它是一个具体的值，就在这个位置上。你想一下，这个函数要从三分之派到二 a 加三分之派上是单调递减的，那左端点是固定的，它的右端点是一定不会超过谁的，一定不会超过派的。 为什么呀？因为它一旦超过派，它又递增了呀，因为别人说的是递减呀，所以说它从这个二分之派到它的右端点的时候，是不可能越过派的，因为它一旦越过派，就不会单独递减了。所以说这个二 a 加三分之派这个右端点一定在哪？它一定要在这个派的左边，这个位置呢，是我们的二 a 加上三分之派， 由此你就可以得到一个不等关系，那就是二 a 加上三分之派，他是小于等于派的，他不能越过派啊，那就是即二 a 小 于等于三分之二派，那么这个 a 呢，就小于等于三分之派，别忘了还得大于零哈，因为你这个区间是零到 a 吧，他肯定要比零大呗。 所以你有没有发现这种换元法，他无论是在我们今天所讲的余弦函数当中，还是在我们之前所讲的正弦函数当中，都是非常好使的一个方法，大家一定要掌握的。 以上呢就是我们今天关于鱼弦函数以及鱼弦型函数图像性质的讲解，希望对大家的三角函数学习呢会有帮助，我也会把对应的笔记和学员呢给大家同步到小学里头，如果大家有什么问题的话，欢迎大家随时来提问，我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。

上课同学们好，请坐前面！我们学习了三角函数的概念，那谁来回顾一下它的内容呢？嗯，第二排那位同学，非常好。正弦函数是 y， 等于 sin 的 函数， 定义域是 r， 余弦函数是 y 等于超赞 x， 定义域也是 r。 正切函数是 y， 等于贪婪的 x。 要注意，它的定义域是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 是 除以 g 的。 好，那哪位同学可以说一说，我们是如何得到三角函数的定义的呢？第三排那位同学，哦，非常好！通过研究单位圆上点的运动，得到了 射线 o a 绕着点 o 逆时针旋转角阿尔法， 其中边与单位圆相交于点 p， 那 么点 p 的 纵坐标 y 就 表示 alpha 的 i 正弦函数，点 p 的 横坐标 x 就 表示 alpha 的 i 与弦函数。非常好，请做 那本节课呢？我们就从三角函数的定义出发，来研究正弦函数与弦函数的图像。我们先来研究正弦函数的图像， 我们知道单位圆上的任意一点， 在圆周上旋转一周，就会回到原来的位置。那这个现象我们就可以用公式表示为 sine x 加减二 pi 等于 sine x， 那就说明自变量 x 每增加二派或减少二派，正弦值是不变的。那么利用这个特性，我们就可以大大简化正弦函数的作图过程。那我们是不是只需要做出正弦函数在零到二派上的图像， 然后呢，通过不断地向左向右平移，就可以得到整个定域域上的正弦函数的图像了。 那下面呢，请同学们分成小组来思考这样一个问题，在零到二派上，任取一个点 x 零， 我们该如何利用正弦函数的定义来确定它的正弦值 sin x 零呢？进而做出正弦函数图像上的一个点 t x 零， sin x 零。好，给大家一些时间， 好，哪个小组？第二小组哦，你们组先做出 x 零，然后呢，记其中边与单位圆相交于点 b。 根据正弦函数的定义，点 b 的 纵坐标就是 sine x 零。 那你们是如何确定出横坐标 x 零的呢？ 非常好！弧度值的定义，根据我们之前所学习的弧度值的定义，弧长 a b 与半径的比值就是 x 零，那因此 x 零的大小就是弧 a b 的 长度。 那我们可以将弧 a b 拉直，将其平放在 x 轴的正半轴上，那这样呢，我们就找到了 x 零。接着呢，我们就可以确定点 t 的 坐标。 第二小组对之前指示的掌握非常到位，很好，请坐。那下面我们将零到二派分成十二等份，那分别就是零，六分之派，三分之派。 那同时呢，这些角中边与单位圆的交点，也将这个单位圆分成了十二等份。 那接下来，如果我们要是按照化点 t x 零， sin x 零的方法，我们就可以做出自变量取这些角时对应的函数图像上的点。 当 x 等于六分之派的时候，对应的函数值是二分之一，这是二，分之根号三，这是一。 其实当我们用信息技术软件在零到二派上取足够多的值，做出足够多的点，将这些点用一条光滑的曲线连起来， 于是呢，我们就得到了正弦函数在零到二 pad 上的图像。接下来，我们通过将图像不断地向左向右平移二 pad 单位，那么我们就可以做出哎，正弦函数在整个定义域上的图像， 我们向右平移可以得到二派到四派上的图像，通过向左平移就可以得到负二派到零上的图像。 我们发现这是一条哎波浪起伏，连续不断的曲线，我们把正弦函数的图像叫做正弦曲线， 让同学们观察一下，我们做正弦函数图像的时候，我们应该抓住哪些关键点呢？那下面我们介绍一种作图方法，五点法来作图。 我们在正弦函数图像上，零到二派之间取五个关键的点，分别为零二分之派 派二分之三派二，然后呢，相应的函数值就是零一负一零，然后呢，我们做出这些点， 我们发现这五个点就大致确定了正弦函数图像在零到二派上的形状。如果我们对图像的精确度要求不高，那么我们就可以用一条连续光滑的曲线将其连接起来， 那么我们就可以得到正弦函数图像在零到二派上的减图了。那这种近似的五点作图法在我们今后的学习当中是非常常用的，同学们之后在画正弦曲线的时候，我们都是采用的五点法来作图。 好，那以上呢，便是正弦函数图像的内容。 利用三角函数的定义，我们知道正弦函数与余弦函数之间存在着紧密的联系，那下面呢，我们就利用这种联系来由正弦函数的图像画出余弦函数的图像。 那我们应该利用正弦函数与弦函数的哪些关系，通过怎样的变换来做出余弦函数的图像呢？ 哎，非常好，右等公式，我们知道利用右等公式 sin x 加上二分之 pi 是 等于 cos x 的， 那这是不是就说明我们只需要将正弦函数的图像向左平移二分之 pi 的 单位，就可以做出余弦函数的图像了呀， 那么这条红色的线就是正弦余弦函数的图像，我们将其称为余弦曲线。 同样，对于余弦函数图像上，我们也是取五个关键的点，我们来计算一下相应的函数值， 然后呢，做出这些点， 用光滑的曲线连接起来，我们就得到了余弦函数在零到二拍上的简图了。 那在今后的学习过程当中呢，我们都是采用五点法作图，来做出正弦函数余弦函数的简图，然后呢，通过向左向右平移，我们就可以得到其他去进行的图像了。好，那本节课的理论内容我们就介绍这么多，那我们做一道练习题， 请同学们画出 y 等于一加三 x 在 零到二 pi 上的图像，以及 y 等于负的 cosine x 在 零到二 pi 的 图像。 好，谁来说说？嗯，第三排同学好，非常好，采用五点法作图，我们取零二分之派派二分之三派，二派， 我们可以先计算一下 sin x， 然后呢，就可以计算出一加 sin x， 然后呢，我们再做出这五个点， 再用光滑的曲线连接起来，于是呢，我们就得到了这个函数图像在零到二 pad 上的图像， 那 y 等于负的 cosine x 呢？我们也是采用同样的做法，我们可以计算出 cosine x， 然后呢，再计算负的 cosine x， 描出这些点，再用光滑的曲线连接起来，我们就可以得到它的图像了。好，本节课呢，我们从三角函数的概念出发， 利用它的定义来研究正弦函数与弦函数的图像。同学们课下一定要掌握利用五点法来作图的方法，在今后的学习当中，这是非常常用的好课下呢，请同学们完成相关练习题，本节课就上到这下课。

大家好，我是教中值数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下余弦函数的图像和性质这四道练习题来。第一题，求函数 y 等于二， cosine x 减一的最大值和最小值，并写出取得最大值最小值时自变量 x 的 集合。 我们知道 cosine x 的 一个值域，那么要求这个整体的话，那么就根据这个 cosine x 它的一个范围来写一下，那就是负一小于 cosine x 小 于等于一， 我都要变换一下啊，它的系数有二，那就同时乘二，左边是负二了哦，二口三， x 小 于等于二，然后后面还有个减一，再减个一，二口三， x 减一， 然后负二减一，那是负三啊，二减一等于一了。所以呢，我们这个啊，这个函数，它的一个啊值域就是负三到一了，那么最小值就是负三了，最大值是一啊。 那么再反对回去，我什么时候取到这个啊，负三呢？那就是当 cosine x 等于负一的时候啊，什么时候取到这个啊，一呢，那就是 cosine x 等于一的时候啊。所以呢，这里当 这个 cosine x 等于负一及 x 等于啊， pi 加二 k pi 的 时候呢，有 这个最小值等于负三，此时 x 的 集合 为我们写成集合的形式，那就是 x 等于 pi 加二 k pi 变去整数啊，然后是最大值当口算以 x 点一时啊，即 x 等于啊，二 k pi 有最大值就等于一，此时 x 的 集合为 x 等于 r k pi 数整数啊。第二题，已知角阿尔法，贝塔都是锐角啊，且阿尔法小于贝塔，则它们两个的比于弦值谁大谁小。 锐角的范围咱们是知道的啊，锐角是在这个零到二分之派这个范围内的角呀，啊，那么在这个范围内呢，我们这个余弦函数啊，可以看到上面这个图案啊， 零到二分之派呢，它是当下递减的呀，所以呢，它这个角度越大呢啊，余弦值反而越小，所以呢，这里面啊，应该是 cosine alpha 大 于 cosine beta 了。 第三题，求函数 y 等于根号口乘以 x 的 定义啊，我们知道要使这个式子有意义啊，应该让这个根号里面啊，这个式子根号 x 大 于等于零，那么就要求这个啊，它的一个解析了，我们看图像，嗯，把这个擦掉， 我们要求的是这个啊，是 y 等于它是吧，那就是 y 大 于等于零的部分啊， y 大 于等于零的部分啊，这啊，我知道等于零，那么端点就取上实心，实心啊，这是这一个范围内，然后其他范围也有，那么只要加上一个周期的描述就好了呀，那么先把这个啊 写一下，那么是在这个负二分之派到二分之派这时候是那个大于等于零的啊，所以呢，我加上周期呢，应该是啊，定义域为 到二分之 pi 加二 k pi， 到这个二分之 pi 加上二 k pi 这个 b 区间啊， k 属于整数。 第四题，求函数 y 等于 cos 二 x， 它的单调区间啊，这个跟之前有道练习啊，也是一样的处理，把这个看作一个整体啊，我们知道 cosine 啊，我就把它表示一下，令 t 等于二 x， 那 么这个原来的这个式子 就会变成 cosine t 了呀，是不是就说只是变量啊，替换了一下啊，那么 cosine t 它的一个单调区间呢啊，应该跟我们前面那个性质啊，总结的那个啊，单调区间是一样的，只不过呢，这个 t 呢，是二 x 的， 比如说单调递减的范围 啊，它是从这个二 k pi 小 于等于 t 小 于等于 pi 加二 k， pi 也属于整数。这时候我的这个 t 呀，是等于二 x， 那 就写成二 x 啊，然后呢，你把这个奇数画一呀，就是 x 的 范围了呀，是不是所以同时除以二，那就变成 k pi 小 于等于 x 小 于等于二分之 pi 加 k pi 啊，所以当掉例减区间呢 啊，我写在这边，所以单调递减区间为 kpi 到 octave 加上 kpi， k 属于整数啊，这是一个了，那么这里面我就不用这个变量替换了呀，直接用另一个啊式子取出这个 x 的 范围来就好了啊。 那么单调递增区间也是一样的处理方法，我们只要这个令这个 pi 加二 k， pi 小 于等于二 x 小 于等于到二 pi 的 这个位置，加上二 k pi 得， 那就同时除以二二分之 pi 加 k pi 小 于等于 x 小 于等于 pi 加 k pi 啊，所以我们这里写上单调 递增区间为这个二分之 pi 加 k pi， pi 加 k pi 啊， k 属于整数。

这节课我们一起来做一下鱼线函数图像练习题来看看。练习题一，画出 y 等于负的可算 xx 属于零到二派的图像，这样图像该怎么样的画呢？我们通常采用五点法，按五个关键点，然后呢我们再列表， 当 x 值分别为零二分之派、派二分之三派两倍派的时候，科三研 x 值呢？它是为一零负一零一，但题目问的是 y 等于负的科三前面有个负号，他的还是图像，而且 x 的取值范围呢，是零到二派，必须减。 接下来我们再多练一行，是负的可算 x， 它对应的函数值分别为负一零一零负一 x 值呢？还是不变？那么五个点分别为 x 等于零的时候，那么负的可算 的值呢？是等于负一 x 等于二分之派的时候，负的可算的指呢？是等于零， x 等于派的时候，那么负的 可算 x 值是等于一 x 等于二分之三派，那么负的 x 值是等于零。 x 等于二派的时候，对应的函数值是等于负一。我们把这五个点 把它描出来，然后用光滑的曲线把它们连接起来。是这样的一个函数图像，紫色这一条五个点，我们用红色把它标记出来了。 y 等于负的个三 x， x 属于零到二排，必须填，这是用描点法。 接下来我们看一下练习题二，判断 x 平方减去个三 x 等于零的根的个数为多少个？这样的题该怎么样来做呢？有些人说我直接来解放乘 x 平方等于个三 x， 但是这样来求解呢？ 不是很好求 s 平方等于扣三 x， 直接写方程不是很好求，我们利用第二种方法，另外是等于 x 平方，另外一个函数呢，是 y 等于扣三，以 x 画出他们两的函数图像。画出图像以后呢，我们看他们图像的焦点的个数有几个焦点，那么他跟的个数就有几个。 y 等于 s 平方，它是一个二次函数，比较好画。 y 等于可算。 x 呢，它是一个鱼形函数，我们刚学过，那么我们画出他们俩的函数图像，大概是这个样子的。从图中我们可以看出他们的焦点个数是有两个 好，那么它的根的个数呢，也是两个，这是类似。第二，接下来我们看一下类似。第三，下列函数图像相同的是哪一个？ a 选项 y 等于个三， x 与 外等于快，加上一个字，那么要判断他们的函数图像是否相同，只要判断他们化解以后呢，函数是否一致。首先我们回忆一下之前所想的诱导公式的时候呢，积变偶不变，符号看象限这样的口诀，积变偶不变， 符号看相线。 所谓即变偶不变，就要讨论餐饮和餐饮 弹性的二分之 k 派加减 r 法这样的情形，当 k 为基数的时候，那么就要变腮影变成口腮影，弹性的变成可弹性的。 如果 k 是偶数的时候呢，我们不需要变相应还是相应和相应还是相应符号看象限呢？通常情况下，我们会把阿尔法看成是一个 角，看成是一个锐角，于二分之 k 派做运算以后呢，看他是在第几个象限。如果是在第一象限正前于线正切都是正的，我们再来回忆一下，如果是第二象限呢，只有正弦是剩的。 第三项线呢，只有正切和鱼切，他们俩是正的。第四项线呢，只有鱼弦，他是正的。根据这个我们再来做这个题。 a 选项， y 等于可算， x 与 y 等于可算，以派加上 x， 这里呢，是二分之派的偶数变，所以不变。但是当 x 为锐角的时候，加上派是在 第三项线，所以为负的，那么这里是 y 等于负的，和三 ex 他们还是不一样，那么图像也必定不一样。第二个呢， y 等于三， ex 减去二分之派，这边呢 除外。等于三引二分之派减去 x， 刚好想差一个符号，那么这边几个符号出来呢？因为我们有讲过，三引负的 x 是等于负的，三以 x， 那么这边是等于负的。三引 x 减去二分之派。 我们也可以根据机变偶不变符号，看向线，把它化解一下。 x 减去二分之派， x 是在第一象线一个锐角，那么减去二分之派呢，必定在第四象线。三印在第四象线是为负的，所以是负的 cosin x， 那么这边呢，三引二分之派减去 x， 二分之派减去 x， 必定还在第一上限，那么是正的，正的即变偶不变，这里是二分之派的基数变，所以变成可相应，这边是可相应 x， 而这边呢，是负的，可相应 x， 所以也是不一样。第三个 y 等于三，一个四与 y 等于三应付的 x， y 等于三以负的 x， 刚才有讲是等于负的三以 x， 所以也是不一样。最后一个 y 等于三应两倍派加上一个词与 y 等于三，一个四，三以， 也就是正弦，他是以二派为周期的周期函数，所以加上他减去他，不影响他们俩是一样的。最后答案选 d 选项。 最后我们来做一下小结。这节课呢，我们主要讨论呢，雨险还是 y 等于块三 x x 属于二，他的图像 y 等于 c x， 他的图像该怎么样画呢？我们是根据三以 x 加上二分之派来画的，因为 快三 ex 是等于三 ex 加上二分之派，我们首先画出 y 等于三 ex 他的函数图像。 然后呢，根据左加右减，上加下减，这里是加上 s， 后面加上二分之拍，那么整个还是图像是向左，在他的基础上是向左平移呢？二分之派， 然后得到这样的函数图像，大概是这样的一条曲线，最大值是一，最小值是负一。关于外主对称，好，这节课我们就讲到这。

hello， 大家好，我们今天来看正弦函数与弦函数的图像。我们先来看正弦函数的图像，其实不管是正弦还是与弦函数图像，它大概都是一个这样波浪线，只是说它的点不太一样。 然后在书课本上我们也有那个正弦函数的图像的一个几何的画法，就是它的定义就很长，这个我们就不看了，我们来看我们正，我们一般来用的就是这个五点法来画这个正弦函数的图像， 就是大家可以这样记啊，就是如果你让你直接记这五个点，其实很难记，但是我我我本人是这样记这个正弦函数的，就比如说我画出来一个一个平面直角坐标系，对不对？正弦函数你要知道他过的，他一定是过零零的，你记住就可以了。正弦函数过零零，所以说我从零零开始 往上走，然后往下走，然后往上走，往下走，你会发现这个图像他是每二派，你看每二派就是循环一次，我们就把零到二派当做第一个，你看又循环又循环，我这边也是又循环又循环，所以每二派循环一次。我们一般只看零到二派的这个这个从这， 那就说从这到这分别哪哪五个点，一个是零零，然后一个是这里是二分之派一， 这是派零，二分之三派负一，二派零，就这五个点，就是你只要知道他的最最高点是一，最低点是负一，然后图形大概是这样子的，你这五个点就随之也可以知道，也就可以出来了，因为你光单记这五个点是非常不好记的。 你看这五个点，那比如说啊，我现在知道了这五个，这这个图像，我就这样画上，然后把五个点标上了，然后他有的，他有的题目可能不止二排，那你就往下，往下连续，连续之后你接着往下标就可以了， 这边也是你反过来标就行了，这是负二分之派，负派负二分之三派，这个图像大概就是这个样子。然后余弦函数的图像跟正弦函数图像，其实就是我们之前学有老公知道，你也知道，他其实就是差了一个二分之派，那也就说整体把这个图像往左边移一个二分之派，那也就说本来在零零的这个图像，我现在 本来零零，对吧？本来是这样子的，那我现在往这边移一下，变成了这样，这就是我的正弦函数的。呃，余弦函数的图像，那就是我余弦函数图像是过这个点的，是过的是零一，那我平常画的时候，我就一样的，我就知道了，我过零一，那我的图像肯定是这样上来的， 那这就是一个一个图像，一个一个周期的，然后我们以这个周期为循环，那这样标点的时候，我就知道这是零一， 这是零一，那这是负二分之派零，那这里是二分之派零，然后这里是派负一，然后这是二分之三派零。如果你要找二派的话，你就这样在这里二派一，就是这样子的五个点， 然后连接起来就可以了，就是关于正弦函数和余弦函数的图像，就是就是这两个图像。然后我们大概看，我们来看一道例题啊， 我们来看这道题目啊，看起来好像没什么头绪。已知零小于等于 x 一 小于 x 二小于等于 pi， 嗯，然后满足 x 一 等于 x x 二，然后让我求 cosine 三分之 x 一 加 x 二。 我通过这个题目我可以得到我的两个值， x 一 和 x 二都在零到派，然后 x 一 等于 x 二。那我先来看一下，那我先把图像画出来一下啊，再它是 sin， 那 sin 的 图像。我们刚刚我刚刚说了，就这样子画，画完之后我再标这是二分之派，这是派。好，那我就到这，因为我就指零到派嘛， 我的 x 一 x 都在这里，那我的 c x 一 等于 c x 二，我的 c 隐值相同的。那也就是说，那也就是说我比如说我任意画一下，那我，那我这里就等于 x 一， 对吧，这里就等于 x 二， 那只能这样，它们两个 c 隐值才是相同的。那这个时候其实你会发现什么？我的二分之派其实是 x 一 和 x 二的中间，那，那我通过那个中间点的那个定 那个定例，我是不是可以得到二分之 x 一 加 x 二就等于二分之 pi 的？ 对啊，然后那我的 x 一 加 x 二其实就等于 pi？ 好， 只要你写过来，这个下面的题就很好解了。那 cosine 三分之 x 一 加 x 二，其实就等于 cosine 三分之 pi， 其实就等于多少啊？ cosine 三分之 pi， 三分之 pi 等于六十度就等于 二分之一，对吧？题目啊，这题目是不等式， c x 大 于等于二分之根号三， x 属于零到二， pi 的 解集为多少？他说我的 c x 大 于等于二分之根号三，然后 x 是 属于零到二 pi， 那 我还是一样，我先画图像，我在图像上找这个大于等于二分之根号三， 零到二派的图啊，零到二派的图像都到这二分之派派，二分之三派，二派。然后我来观察，我来想一下 cx 如果等于二分之根号三，那我的 x 值是等于多少？ 首先在第一项线看， x 的 值是可以等于六十度，也就是三分之派。然后他还可以是还有是正的时候，就在第二项线，第二项线的话，那就是三分之二派， 第三个点和第四项线 x， 嗯， x 值都不可能是正的，所以只能是到这两个了，那这个时候我就可以这样画一下，那我这里是二分之根号三，对吧？ 那我这样画过来，那我这两个这个，那这里就是三分之派，那这里就是三分之二派。那我的 c x 要大于等于根二分之根号三，那也就是在这一段是不是就这一段？那我，那我的这个剪辑很好找了，我的 x， 你 就在三分之 派和三分之二派的中间就可以了，那这就是这是我的剪辑，我们这个剪辑最后是写成集合，就是区间的形式也可以，或者写成集合的形式也可以。啊。好，我们今天关于这个图像的问题就讲到这里，我们下节课再见。

这个视频我们来学习七点三点三余弦函数的性质与图像。前面我们已经学习了正弦函数的性质与图像，有了前面的学习，再来学习余弦函数的性质与图像，就变得非常简单了， 因为对于任意一个角 x 都有唯一确定的 cosine 与之对应，所以 y 的 cosine， 它是一个函数，一般称为余弦函数。 显然，现通过正弦线研究正弦函数性质一样，我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质 啊，这是可以做到的。不过呢，我们有更简单的办法来研究余弦函数的性质和图像，就是通过正弦函数的平移。我们知道 cosine x， 它可以表示为 sin x 加上二分之 pi， 所以 y 等于 cos， 它的性质与图像和正弦型函数 y 等于 sin x 加二分之派是完全相同的。 而我们刚刚学习的是 y 等于 sin x， 它的图像呢，可以通过平移得到 y 等于 sin x 加二分之派的图像，它是向左平移了二分之派。 我们已经熟悉了 y 等于三 x 的 图像，只需只需要把它平移往左平移二分之 pi 就 可以得到它，而它呢，就等于 cosine x。 我 们来看下面这个图，蓝色的就是 y 等于 cosine x， 只需要向左平移二分之 pi 变成黄色的这个曲线，它就得到了 y 等于 cosine x， 它的函数的图像。 好，这就是它的图像。接下来我们来看一看余弦函数的定域和值域，它的定域呢，很显然，和正弦函数 y 点三 s 的 定域是一样的，都是 r， 值域呢，也是负一到一，并且它的周期也是相同的，是二派 单调区间会发生了变化，平移之前单调递增区间是从负二分之派到二分之派，这样的区间是单调递增区间， 然后向左平移之后呢是负派到零。那么我们表示出来所有的单调递增区间就可以表示为负派加二 k 派到二 k 派是单调递增区间，二 k 派到派加二 k 派， 也就是这段是单调递减区间，这段是单调递减区间。 函数的零点在这就可以表示为二分之 pi 加 k pi。 另外根据诱导公式，我们可以得到 cos 负 s 等于 cos s， 很 显然满足偶函数的定义，所以说 y 等于 cos s。 余弦函数，它是一个偶函数。然后看图像，图像是关于 y 轴对称的， 并且我们通过图像观察可以发现余弦线余弦函数的图像，它的对应轴呢？在这就可以表示为 x 等于 k pi 对 称中心，这都是对称中心，就可以表示为二分之 pi 加 k pi 逗零。 接下来我们来看例题。一，求下列函数的值域。根据刚才的学习，我们已经知道这个 cos x， 它是大于等于负一，小于等于一的，那么这个函数 y 对 吧？前面由于前面有个符号， cos x 取得最大值的时候， y 取得最小值，所以 y 大 于等于把 cos x 等于一带入，就得负二小于等于把负一带入， y 取得最大值， 那就是三加一，四等于四。好，再来看第二个，第二个我们可以通过换元令 t 等于 cos x， 那 么 t 的 范围就是大等于负一，小等于一，那么整个函数就变成 y 等于 t 加二分之一的平方再减三。 我们画一下这个二次函数的图像对应轴是 t， 等于负二分之一， 然后在这个图像上找到负一和一，负一在这个位置，一在这个位置，很显然一离对线轴更远，那么在一取得最大值，对线轴这个位置在这个位置取得最小值， 所以 y 的 最小值就是函数的最小值，就是 t 等于二分之一的时候，它的零就是负三，它的最大值 就是 t 的 一的时候。那么把一代入二分之三的平方四分之九，四分之九减三，那是减去四分之十二，等于负的四分之三，所以 y 就 大于等于负三，小于等于负的四分之三，指括号这个函数的值域。 再来看例题二，判断下列函数的基偶性，对吧？判断基偶性，通常我们可以用定义，就是把负 s 代入 来判断。另外，我们根根据它的图像，原来这个函数是不是括号 s， 它是偶数啊，它上往上拼一两个单位，它还是偶数呗。因为它还关于 y 轴对称，所以说它一定是偶的。 或者把负 s 代入 cos， 负 s 等于 cos， 它还是有函数。然后它呢，也可以通过通过定义，比如说设它为函数 f x， 那 f 负 x 呢？ 就等于 sine 负 x 乘以 cos 负 x。 右导公式，嗯， cos 负 x 就 等于负的 cos， cos 小 于 cos 等于 cos， 它就等于负的 f x， 所以 说它就是奇函数。另外呢， cos 我 们知道它是奇的， cos 呢？我们知道它是偶的， 那么奇函数乘以一个偶函数，得到的一定是奇函数。这样判断也可以。 再来看例题，赞，求这个函数的周期。呃，和其图像的对称轴方程 周期的话，就取决于这个欧米哥呗。那周期 t 等于二 pi 比上欧米哥，那么欧米哥是三分之一，所以说二 pi 比上三分之一，那就等于六 pi。 对称轴的话，我们要把这个括号里当做一个整体去和 cos y 等于 cos x， 它的对称轴去对应， 那么就令这个 x 比三减去四分之 pi， 它等于 k pi， 因为 y 等于 cos x， 它的对称轴是 x 等于 k pi 嘛。 我们要把这个括号里当做一个整体，令它去等于 k pi， 然后解出 x， 解出的 x 就是 它的对称轴方程，那么解一下 x 就 等于四分之三 pi， 加上三 k pi， k 属于 z。 再来看例题四，求函数 f x 等于 cos， 这是一个余弦函数在这个区间内的最大值和最小值。 那么做这个题，我们学完了余弦函数的图像之后，通常就利用它的图像去求最大值和最小值了。那么我们画出一个 cosine s 它的图像， 我们画出一个周期的图像，找到负四分之派，我们知道这是负二分之派，这是二分之派，然后这是派这个位置 派，这是二分之三派。那么找到负四分之派在这个位置， 四分之三派在这个位置， 这是四分之三排。就是在这这段图像上求它的最大值和最小值。这显然最大值是多少一呗。 最小值呢？最大值在这取，最小值在这取在这取，应该是负的二分之根号二。

每天看题数学蹦迪，今天我们看到的是余弦函数的形式，那么余弦函数形式它满足怎样这个模型呢？是这样子的， f x 加 y 加上 f x 减 y， 等于两倍的 f x 乘 f y， 那 么这个呢？用余弦函数带进去最基础的余弦函数，如果我们带进去的话，证明起来也是非常的简单的， 等于两倍的 cosine x 乘 cosine y， 所以呢，我们这个模型可以是设成是 cosine k x 或者是 cosine omega x 啊，证明呢，下面也会有也比较的这个简单，当然我们也可以通过这个和差画质的公式进行一个推导，那么这个是基础的部分，当然了，这类函数不一定定就是余弦，那么双趋于弦是什么样子的呢？ 方曲线这样子的二分之一的 x 加上 e 的 负 x， 哎，其实如果我们把这个东西给大家带进去，你看二分之一的 x 加 y， 加上 e 的 负 x 减 y， 加上二分之一的 x 减 y， 加上 e 的 负 x 乘上二分之一的 y 加上 e 的 负 y 的。 那么 那么区分这个余弦函数和双趋于弦呢，也比较的简单，因为我们知道余弦函数的话，它的范围是负一到一的，那么双趋于弦呢？根据基本不等式，它是大于等于一的， 所以在这里面我们可以再通过新的条件去判断到底是余弦形的还是双趋余弦形的。行，我们来看到下面一道题，告诉我们说 有如下的一个形式，那么又因为 f 一 是二分之一，对不对？所以我们就锁定了 余弦函数，所以先设 cosine 的 k， x 是 f x 的， 又因为 f 一 是 cosine 的 k 是 凹分积，我们非常的简单， k 就 可以找到一个三分之 pi， 因此 f x 我 们可以写成 cosine 的 三分之 pi， 这就是它的句式的表示。好，我们来判断 a f 零等不等于一，没问题，对吧？ cosine 就是 一的 b， f x 是 个偶函数，也是没问题的，因为是余弦型的 c， f 的 三 n 是 等于负一，我们来看一下 f 的 三， n 带进去就是 cosine 的 n 派，我们知道如果说 n 是 偶数的话，那么它这个数其实是一的，对不对？ 因此 c 选项呢，是错误的，对吧？只有当 n 为奇数的时候，它才是负一的。最后再来看 d， 那 么这个呢，是一个累加的符号，也就是说我们要从 f 一 一直加到 f 的 二零二四的好，怎么判断这个呢？其实很明显，我们根据它是一个余弦型的函数，那它的周期呢？就是二派除以三分之派是六的，那么我们其实只需要算 六个就可以了，因为我们把这个六个为一组进行相加的话，后面的 这些数对吧？其实它都是这六个组的相加。好，我们来看 f 一 带均项对不对？不要忘记带均项， f 一 是二分之一， f 二是负的二分之一， f 三呢是负一的， f 四呢是负的二分之一， f 五呢是正的二分之一， f 六呢又是一的，所以 我们会发现每六个整数的相加对吧？都是零的，因此我们这个二零二四有多少个六呢？ 其实我们只需要二零二四除上六，那么其实呢，不用看它有多少个六，我们只看它的余数是多少，对不对？它的余数是二的，因为二零二二除上六是没有余数的，所以余数的意思就是这么多数，对吧？它就相当于是 f 一 加 f 二只保留了前面的两个，那么 f 一 和 f 二呢？就是二分之一和负二分之一，因此这个结果也是零的，所以 d 选项也是正确的。那么这道题呢，就选 a boy dog， 你 看明白了吗？

余弦函数基本性质？哈喽，同学们大家好，今天我们来学习一下余弦函数的图像 啊。首先第一个，我们在之前学到过正弦函数的图像，还学过一个知识点，叫诱导公式啊，叫奇变偶不变符号。看下弦函数的图像，那我可以借助于正弦函数来画一下余弦函数的图像。那我可以知道塞 x 加二分之派，它是等于 cos， 所以 相当于把整个正弦函数的图像往左平移了二分之派的单位得到了余弦函数的图像在这里。 啊，那对于余弦函数呢？第一件事啊，他的最小正周期啊，那最小正周期从正弦左右平移啊，可以知道最小正周期呢，和正弦是一样的，也是二派。或者你说我从这个图像上看， 从最高点到最高点，那他们之间可以作为一个最小的正周期，所以最小正周期等于二派，这是第一个第二个正弦函数的对称轴方程。 首先我先找到一条对称轴的位置，比如说 y 轴可以， x 等于派，这条线也可以，二派也可以。所以我们在写的时候呢，从零开始间距派，那我在写的时候，零加 k 派，也就相当于是 k 派好写的时候， x 等于 k 派， k 属于 z。 第一个，第二个中心对称点的坐标 啊，首先第一个二分之派都零，这里可以叫做一个中心对称点，下一个二分之三派都零，二分之五派都零都可以。那我从一个二分之派开始，它们之间的距离呢？是派，所以写的时候叫二分之派加 k， 派 都零啊， k 属于 z。 再下一个单调区间， 单调区间，比如说我们在这里面写一个单调减区间，我们可以从零这个地方 y 轴这里开始啊，零到一开始往下走啊，一直走到派到负一，这里算是一个完整的一个减区间。所以写的时候啊， 可以说零加哎，加多少？下一个减区间，我看是从二派到三派写的时候，零加二 k 派 好到右端点 i 加二 k i 啊，这是他的一个单调减去键，那单调增去键蕾丝好，这是他的一个基本的图像的一些性质，就需要大家把它记熟了。

今天给大家沉浸式的推导一下 cosine 阿尔法减倍特的公式，这个公式记忆很简单，但很多人不知道它的原理过程，二零二一年高考考过，类似的问题很多人没做出来，今天我们把它好好的讲一讲。 要想推导这个公式，我们肯定得从定义出发，那我们需要先画一个坐标轴，画一个单位圆， 好图画出来了，我们假设阿尔法的中边呢落在这个位置， beta 的 中边呢落在这个位置，那么阿尔法减 beta， 那 中边就会落在这个位置。好，这个时候我们来看一下， 那相当于这个角啊，它和这个角是相等的，可以这样理解，对吧？那这两个点的距离公式和这两个点的距离公式也应该是相等的，那我们就需要把这四个点的坐标给写出来， 那这个点的坐标好写，它其实就是 cosine 阿尔法。 cosine 阿尔法，那同理这个点呢？它其实是 cosine 贝特。 cosine 贝特， 那这个点呢？是扣三引阿尔法减贝特，三引阿尔法减贝特，那这个点就更简单了，这个点是一零， 那这两个点的距离公式是啥？那其实就是根号下扣三引阿尔法减扣三引贝特扩起来的平方，加上三引阿尔法减三引贝特扩起来的平方。 同样的道理，那这两点的距离公式我们也可以算出来，对吧？就它减它的平方，加上它减它的平方，然后再开根号， 那这两个距离要相等，那为了方便我可以两边平方，于是呢，我就会得到这么一个式子啊，距离的平方等于距离的平方。那我们整理一下这个式子，大家看啊，这个式子拆开会出现一个扣三亿方，这边会出现一个三亿方，那扣三亿方加三亿方是一个一， 这边还会出现一个三亿方贝特，那出来呢？又是一个一一相加， 然后还有一下减二倍的扣三引阿尔法扣三引贝特，减二倍的三引阿尔法，三引贝特，这个我们都能看出来，对吧？那再看这个它等于多少？ 这个一拆开扣三引法，二法减倍特，这里边有三引法，二法减倍特，那一平方相加是个一，然后呢再减这个拆开减二倍的扣三引二法减倍特，再加上一的平方出来是个一，这个时候大家请看， 一和一是二，一和一是二，抵消了，那他和他等于他，那这个东西我们把这个负二一约，我就会得到 cosine 阿尔法减 bet 等于 cosine 阿尔法， cosine bet， 加上 cosine 阿尔法， cosine bet， 这就是公式的推导原理，你学会了吗？