青岛一模数学立体几何传统法

高考立体几何证明，难倒很多人？今天教你垂直证明，怎么用反推法让证明变简单。这节课我们将来学习空间几何中的垂直的证明的一个问题。然后垂直问题分三种，第一个就是线线垂直， 第二个就是线面垂直，第三个就是面面垂直。首先线和线垂直就很简单，对吧？就是证明，怎么证明呢？就可以用这个勾定里 是不是可以证明？你看如果他符合勾股定律，是不是这里就会有个垂直，对吧？这个就简单的，然后我们还有正余弦定律，就是通过算出边上也能算出来他是一个直角。然后重要的就是什么呢？就是我们这里面会有一个 菱形啊，菱形除了对角线会垂直以外，他还有个什么性质呢？很多出题的只要看到菱形和六十度角， 好吧，所以他会和六十度角去结合，有个隐藏的垂直就在哪里呢？如果这个角是六十度，我把一个顶点和这个中点连接起来，这个角会垂直，为什么呢？你看我把它连接起来，看上面这个三角形啊，是不是三边就会相等了，就相当于是， 对吧？所以这个是很多东西都忽略的一个问题。然后其他的，而且那个什么梯形里面也有那个对角线垂直的情况，那个就完全可以用那个国物理等等等等都能算出来的啊。好吧， 所以线线垂直是我去证明后面两个的基础，我只有线线垂直了才能证明线面垂直。那么怎么去证明线和面垂直的呢？就是要证明我一个面里面有两条线，看到没？分别和它垂直，那么下面这个面， 对吧？就是这样子的，所以我才会有这条线啊，这条红颜色，红颜色的线 和下面这个面垂直，这个就线面垂直。那么面面垂直是什么呢？面面垂直就是两个面垂直， 对吧？那两个面垂直我们怎么去判断的呢？就是说我这里面有这个面，里面有一根线垂直于下面那个面啊，好吧，就是垂直这个阿法， 那么你看我就可以说，如果啊，这个贝塔是过这个 l 的， 那这个贝塔就会垂直 r， 对 吧？所以它的本质是不是还是线面垂直，对不对？所以， 嗯，你要说它有平行兰吗？它没有，只是这里面会有一个方法，我们等一下后面会讲的叫反推法，因为很多人看不出来它是垂直的，对吧？然后这个面面垂直里面有个很重要的性质啊， 就什么呢？就是如果就用这个图来说啊，这个文字你们自己去看，就是如果我两个面是垂直了，然后这个 l 它垂直于这个交线，这个是交线啊， 好吧，那这个 l 就 会垂直于 r， 这个我们在平行里面也也经常用到，只要你看到面垂直于面，那这个定你是一定一定不要忘记的， 好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊，好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三棱柱中， a、 b 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面 b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c、 e、 b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b， c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊，这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线，你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc。 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里。 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎呀，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来 p e 现在在垂直于谁？ 垂直于，垂直于我们底面里面的这根线， b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 a p 等于二，然后 p d 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方，去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a， d， 不知道 x 去，再去乘以一个 p， a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方，会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道，我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条。 所以你看，不就 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f、 e 的， 所以我就能得到 a c 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直它还是要你先证明线面垂直，线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a b c d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三， ok， 二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊，就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是，你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a、 b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条 g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好这里有个直角， 然后就是以，就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 am 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，呃，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 c、 d， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是。我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊， 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a、 d 以外，现在题目是让你 a， 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b、 d 了？所以我现在还要证明 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c、 d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看一下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂直面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧，所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清，搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是终点，所以一定会有什么， 这个 a e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的， ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛，我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面？ 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法啊，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是，嗯，线线垂直。线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理，但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有， 呃，错误了。但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧？可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线，看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰、等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。

我们看一下这一道立体几何，首先我们先把这个四四面体画出来，以 p 为顶点， a、 b、 c 为底，他说 p b 垂直于 p c， 然后角 b， a、 c 等于九十度， 六十度，然后呢？ b、 c 等于二。问，我们这个立方体的就是四面体的锥体的那个体积最大值是多少？那我们体积的话就是公式就是，嗯，三分之一的底层高， 对吧？所以说我们先去看它的底，再从那么怎么求以 c 为底，很明显就是以三角形 a、 b、 c 为底嘛，对吧？三角形 a、 b、 c 为底，因为它知道量，这个只能知道它的角跟边，那我知道一角跟一边的话，我们要想到用什么呢？那只能用弦定力喽，对吧？现在 a、 b、 c 上呢？我们用弦定力， 那么圆定的话，五把它写成为 c 边，这个是 b 边，这边是 a 边，要对角 a 有 圆定力，比如说 a 平方会等于 b 方加 c 方减二 bc 乘以口塞 a， 那 就是说四会等于 b 方加 c 方减 bc， 这个东西要达到，那我们去看一下他怎么去取它面积，那它的面积的话，对吧？就我一只角 a， 我 们就是二分之一， b， c 乘以塞 a， 那其实上 a 就是 二分之根号三就是四倍分子，根号三 bc， 所以 我这里要把这个加法给它变成乘法，那我们就运用减不等式来说，对，对，这个 b 方跟 c 方用加减模式可以得到十二 bc， 那就是减 bc， 所以 很容易得到四会大于等于 bc， 所以 这个面积最大值就是小于等于根号三， 你，你乘以四嘛？四约掉了，那高呢？什么时候取得高的最大值？也就是说我这个 p 点上至最高的位置，那我们看一下 p 点它满足什么条件？ p 点它满足的是那个 b p 等于垂直于 p c， 怎样是令这个东西一直垂直呢？比如说我 p 点的话，要是在一个圆周上，圆周上我们直径所对的圆周角是直角吗？对，我们的圆，那我们直径 直径所对的不管是在哪里，它都是九十度。所以我们这里的话，我们 p 点的轨迹其实就是以 b c 为直径的一个 球面，这个的话，因为 p 点它不在平面当中，它是在力当中的，所以说点 p 的 轨迹 是以 b c 为直径的球面。 那我们什么最大呢？也就是说当明当这个平面 p b c 垂直于底面的时候，也就说明当就它垂直的时候，它的高的最大值 其实就会等于这个圆，这个球的半径也是二分之一 b c， 那么就可以得到是一，那我们三角形三等锥的面积等于三分之一，底面积最大是根号三，对吧？高最大也是一，所以答案就是三分之根号三。 然后我们看一下第二题，他的球，他的外接球表面积，那我们要知道外接球的球心会在哪里？他是在两个平面上面的中心引发的垂线的焦点就是他的球心。 我们看一下点 a 在 球面上，点 b 在 球面上，点 c 在 球面上。我们看一下，假如我假设球心为 o， 对吧？那我们就要连接哪一个面的中心会更好找呢？哪个面的中心会更好找？我要找到一个面的洁面圆的中心， 洁面圆的中心，你这个 p 它是动的， 它自动的，所以说我们不要考虑这侧三个侧面，我们考虑底面 a、 b、 c 的 球心会在哪里，对吧？底面，假如底面 a、 b、 c 的 球心为 a 撇， 那么底面这个这个底面 a、 b、 c 三角形 a、 b、 c 的 外接圆在哪里呢？就是它处在平面的洁面圆， 我们是不是已知它的 a 边跟角 a 是 六度，所以说外接圆半径我们可以走到 我们记为小 r 会等于 a 比去三， a 除以二对乘以二分之一，那么带进来的话就是二除以二分之根号三乘以二分之一，就等于根号三分之二。 然后我们看一下，就是我这个这一个 外界圆圆心 o 撇，它这个就是它的角 r， 那 我们要求它球的半径呢？我要求球的表面积表面积，而球的话 就是会等于四拍二平方，那我们连接，也就 o、 c 就是 我的 o， c 就是 我的球的半径， 对吧？那求的半径怎么求呢？ 这是直角，比如说求的半径二平方会等于小二平方，加上 o、 o 撇的平方，那也说明我这一个小二是固定的，当我们 o、 o 撇取得它的最小值的时候，我这个二取得最小值， 对吧？有时候我们看一下什么时候 o 撇角值啊？就它们重合的时候， 就是 o 与 o 撇点重合，也就说明当我以以 abc 这个三角形为这个球的半径所在的结面啊重合， 那所以就可以知道 r 撇会等于三分之四，三分之四就 r 的 平方减三分之四，那它的这样面积就是三分之十六派。 所以说这一道题的话，它其实主要还是靠直观，直观想象，那我们要知道一个动点的轨迹就是一个圆圆周上运动，那在地理当中是个球面， 然后呢？外接球的半径，其实它的思路也挺固定的，就是要找球，找那个三角形所在平面的中心，连接球心去构造直角三角形，用勾股定力去做。

哈喽，大家好，我们来看一道立体几何的大体。已知在三人追 p a b c 中， p a 等于 p b 等于 p c 等于二，然后角 a p b 等于九十度，角 b p c 也等于 角 a p c 等于六十度，然后 m 为 ab 的 中点，然后 q 为 c m 的 三等分点，那我们证明 ab 垂直于 pmc？ 好， 那我们先看第一个条件， pa 垂直， pa 跟 pb 是 相等的对不对？然后 m 又是 ab 的 中点，所以说我们知道，因为 pa 等于 pb， m 为 ab 中点，所以我们可以得到第一个垂直关系， pm 是 不是垂直于 ab 对 不对？好，这是我们得到的第一个垂直关系。那我们再来看， 因为角 a p c， 我 们把 a p c 这个三角形画一下， a p c 因为 pa 等于 p c， 那 这个角又是六十度，那三角形 a p c 是 不是个等边三角形？所以说这个 a c 是 不是也等于二，对不对？ 因为 pa 等于 pc 角 apc 等于六十度，所以 ac 是 不是就等于一个 pa 等于二？那我们再来看 pbc 这个三角形，它是不是跟 apc 这个三角形也是一样，也是个等边三角形？所以同理， bc 是 不是也就等于一个 pb 是 不是也等于二？所以 bc 是 不是就等于一个 ac？ 好， 又因为点 m 为 ab 中点， 所以 c m 是 不是垂直于 ab？ 好， 那现在两个垂直关系有了，那 c c m 和 pm 是 不是交于点 m， 且 c m 属于面 p m c， p m 也属于一个面 p m c， 所以 我们就可以得到 ab 是 不是垂直于面 p m c 的？ 好，那第一问就证明完了，我们再来看第二问。设线段，求线段 p q 的 长度，那线段 p q 怎么求？是不是在 p m c 这个三角形里面？那我们先把这个三角形画一下， p m c 好， 他说点 m， 点 q 为 c， m 的 三等分点靠近 c 点，那就是点 q， 大 概是在这个位置，然后我们把 p q 连一下， 我们 pm 这条边，我们是不是可以算？因为 a p 等于 pb， 它是等于个二，然后他又说角 a p b 等于九十度，好，那我们把 a p b 这个三角形画一下， a p b 这个三角形画一下，这个角是不是九十度？然后 m 为 ab 的 中点，那 pm 这条边是二，它又是中点，那 pm 是 不是就等于根，根号二？ 因为 pa 等于 pb 等于二角， a pb 等于一个九十度， m 为 ab 中点， 所以 pm 是 不是就等于一个根号二，对不对？那 pc 等于多少？ pc 是 不是等于个二，对不对？ pa 等于 pc 嘛？那 pm 是 根号二，那 cm 等于多少？那 cm 是 不是在三角形 a c b 里面？那 a c 等于 bc， 它是等于个二的，然后 cm 是 不是也等于根号二？同理， cm 是 不是也等于一个根号二？好，那大家发现没有， cm 是 根号二， pm 也是根号二。所以说 pm 是 不是垂直于 cm？ 因为 pm 方加 cm 方等于 pc 方嘛，对吧？所以 pm 方加 cm 方是不就等于一个 pc 方？所以 pm 是 不是垂直于 cm？ 好， 那 pm 垂直于 cm 之后， 那 m q 的 长度我们是不可以求？因为点 q 为 m 的 三等分点，所以 m q 是 不是就等于三分之二？根号二，那 p q 是 不是可以求了？我们用一下勾股定点，那就是 pm 方加上 m q 的 平方是不是就等于 p q 方？ 那 pm 方是多少？ pm 方是二 m q 的 平方是三分之二根号二的平方。那就是九分之八等于 p q 的 平方。那我们算出来 p q 是 不是就等于根号下 九分之二十六，是不是就等于三分之根号二十六？好，所以 p q 的 长度是三分之根号二十六。那这道题就做完了。

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

那年我双手插兜，不知道什么叫做别看答案，你能做对吗？这个题让我们求的是 三棱锥 p、 a、 b、 c 体积的最大值，那我们根据三棱锥的公式， v 等于三分之一 s h 可以 得到， 因为它的高是一定的，因为上下底面的高是垂直，它是固定的，所以我们现在的话，只要算出它的高，然后呢，根据它底面这个三角形 a、 b、 c 面积的最大值，就可以算出咱们体积的最大值。所以第一步应该是先算这个三轮锥的高，因为他告诉了你三轮锥外界球的表面积，那么可以用咱们外界球的表面积就是 s 等于四派 r 的 平方就等于 五十二 pad， 这样的话，我们可以算出外接球的半径就是根号下十三，因为它这个屁在上面这个圆上运动，然后呢 abc 在 下面这个圆上动，但是呢， 你不管怎么动，你还得满足这个三棱锥的表面积永远是定值五十二块，所以我们就可以得到一个结论，这个三棱锥外接球，也就是这个圆柱的外接球，因为只有这样上下底圆， 它的上面所有的点都在这个外接球的球面上，所以它的屁不管到哪，它组成的三棱锥的 表面积他永远是五十二派。所以的话呢，那我们就可以把这个圆柱的外接球画出来。现在我们可以发现这个三能锥外接球的球心刚好就在这个 o 一 o 这个直线的中点部分， 比如说是 q 点，因为只有在这一块的时候，他到上下两个圆圆弧上的距离才能一样，那我们就可以算一下 这个 o 一 o 的 一半是多少？然后呢再乘以二就可以了，因为我们刚才算出来，它外接球的半径是根号下十三，所以 q c 就 等于根号下十三。我们现在要算一下这个底面 a、 b、 c 外接圆的半径， 因为我们知道这个 ab 等于二， a、 c， b 是 三十度，我们可以利用咱们的正弦定力， ab 除以 c 音角， a c， b 就 等于二，除以 c 音三十度就等于 二。 r， 我 们可以得到 r 呢就等于二，所以它外接圆的半径是二，利用勾股定律就可以得到。 o， q 就 等于三， o o 撇就等于二倍的 o， q 就 等于六，这个 o、 o 撇的话，那也就是咱们三轮锥 p abc 这个体积固定的高。现在的话，我们就需要去算一下这个 s 的 面积什么时候最大，然后把下面这个底面可以给它拿出来。 那我们这个 abc 在 运动的时候，什么时候它的面积最大？这个 ab 是 定弦，然后呢角 c 是 动角。 利用我们初三学过的知识点，什么时候这个 abc 的 面积最大？在 ab 的 垂直平分线上，且过圆心与圆的交点上，所以我们就可以把 c 放在这个地方。角 c 是 三十度，我们呢可以连接 a、 o 和 o、 b， 那 可以得到 a、 o、 b， 它就是一个等边三角形，那这一段是一，这一段呢就是根号三，所以呢我们可以写出 s 三角形。 abc 面积的最大值就等于二分之一， ab 乘以， 这是根号三加二，等于根号三加二为 p， a、 b、 c， 它体积的最大值，那就等于三分之一， s h 就 等于三分之一，乘以六， 乘以根号三加二，就等于四加二倍根号三。这题最难的就是需要知道三能锥外接圈，就是圆锥的外接圈，那就简单多了。好，你学会了吗？

hello， 大家好，我们来看一道例题几何的大题。第一问，证明 a 的 垂直于 p b。 那 首先我们知道因为 p 的 垂直于面 a b， c 的， 那我们是不知道，又因为这个 a 的 它是在面 a b， c 的 里面， 所以说我们知道 a 的 是不是要垂直于一个屁的？好，这是我们得出的第一个条件。我们再来看第二个条件，因为 a b 等于两倍的 a 的， 然后角 b， a 的 等于一个三分之派，所以我们根据余弦定律可以知道这个 a 的 是不是要垂直于一个的 b， 我 们这里可以把这个三角形画一下，它是一个特殊的三角形， 我们这样大致的给它画一下，这，这个是 a 的 比，这个是一比二比根号三，这个角是三分之派，所以它是一个一比二比根号三的一个特殊直角三角形， a 的是肯定是垂直于得比的， 你也可以去用余弦定律给它证明一下。好，那 a 的 又垂直于一个得比，又因为我们知道 p 的 交的 b 于的点对不对？又因为 a 的 它不属于面 p 的 b， 所以 我们知道 a 的 是不是垂直于面 p 的 b， 所以 a 的 他是不是垂直于 p b？ 好， 那第一问就做完了，我们再来看第二问，求平面 p a b 与平面 p 的 比角角的正切值。那我们主流做法呢？是间隙法，那我们这里间隙法待会再讲，我们先讲一种 不用间隙法，我们怎么去做？假设我们设 a 的 等于一，又因为 p 的 等于 ab， 等于两倍的 a 的， 所以我们知道 p 的 是不是就等于 ab， 它是不是要等于一个二，对不对？所以我们过点 a 做 a， h 垂直于 pb， 好， 这样做一条垂线之后， 那我们把的 h 连一下，连接的 h 好。 那么现在再来看，因为 pb 是 不是垂直于 a 的， 对不对？这是我们第一问已经证出来的好。 a、 h 是 不是又垂直于 pb， 对 不对？好， a、 h 与交 a、 d 于点 a， 对 不对？又因为这个 p、 b， 它是不属于面 a、 h、 d 的， 对不对？所以说我们知道 p、 b 是 不是 垂直于面 a、 a、 h、 d 对 不对？ a、 h 得好。既然 p、 b 垂直于面 a、 h 得，那它们面 p a、 b 与平面 p d、 b 的 夹角是不是就是这个角，对不对？所以面 p a、 b 与 p 的 b 的 夹角为角 a、 h、 d 对 不对？好，这个 a、 h、 d 就是 它们的夹角。那我们再来看，因为这个 a 的 是不是垂直于面 p 的 b， 所以 我们知道 a 的 它是不是一定垂直于的 h， 那 我们可以把这个三角形简单的画一下 a 的 h， 它是一个直角三角形，对不对？好，那我们 a 的是知道的， a 的是一的 h 我 们是不可以求的 h 我 们也可以求，因为 这个 p 的 垂直于底面 a、 b、 c 的， 那 p 的 笔是不是也是一个直角三角形，对不对？那么可以先把 p 的 笔求一下， p 的 笔，我们也把这个三角形画一下， p 的 笔大概是这个样子， p 的 b， p 的 是不是就等于一个二？因为 p 的 等于两倍的 a 得嘛，对吧？那得比，等于多少？得比？我们一会已经说了，它是一个根号三，因为它是直角，所以 p、 b 它是不是就等于一个根号七？好， 既然 p、 b 等于根号七的话，那得 h 是 不是可以求？因为得 h 它是垂直于一个 ab 的 嘛，对不对？得 h 它是垂直于一个 ab 的 啊？得 h 垂直于 pb， 对 不对？好，那我们这也可以用一下面积法。 s 三角形 p 的 b， 它是不是就等于二分之一？ p 的 乘以的 b 是 不是就等于二分之一？ d h 再乘以一个 p b， 对 不对？好，那我们可以把 d h 简单的求一下 d h 它是不是就等于一个两倍？根号三，再除以一个根号七，所以它是等于七， 等于一个七分之二，根号二十一，对不对？好，那 d h 有 了 a， d 有 了，那 a h 是 不是也可以求？那？ 其实这道题 a h 不 用求，因为它让我们求的是正确值，不是余弦值。所以说贪心它角 a h 的， 它是不是就等于 a 的 比上一个的 h 好？ a 的是一的， h 是 二，根号二十一，再除以一个 七，对不对？好，它就是 二，根号二十一分之七，那他是不是就等于两边同时乘一个根号二十一的话，下面是 二乘二十一，下面是七，根号二十一，那这里个七约掉，那下面就是六分之根号二十一，对不对？好， 最后答案就是这个。当然你也可以用间隙法去做。如果说我们间隙法怎么去做呢？因为我们知道屁的是垂直于底面 a、 b c 的， 那么可以以这个为 c 轴，这个为 x 轴，那这个是为 y 轴，对不对？那我们可以依次间隙， 这样间隙的话，我们这样 a 点坐标，我们也可以求 b 点坐标是不是零，根号三零， 然后得点坐标，当然就是零零零，对不对？好，那我们求 p 的 b 的 发向量和 a 的 b 的 发向量给他呃 p 的 b 的 发向量跟 p a b 的 发向量给他求出来就行。那 p 的 b 的 发向量很简单，因为我们知道 a 的是垂直于这个面 p 的 b， 所以 说 p 的 b 的 发向量是不是就是 a 的， 对吧？ a 得是不是可以作为 p 得 b 的 法向量？那我们可以最后也给他算出来，最后算出来答案是一样的，也是呃六分之根号二十一，你看你们可以自己看完视频之后自己去算一下，那我这里就不讲了，好吧。

有一个知识点，学不好的话，立体几何就很难学好啊。大家都说培养空间想象力，那怎么培养呢？有，其中有两个重要的手段，就是看图和画图。如果图像画不明白，你就看不明白，你看不明白 就想象不明白。如果一个题没有给图怎么办？你得画图，如果题中给的图角度不合适，你得调整这个图像的角度，都需要画好图，所以画图非常重要。那么怎么画好图呢？咱们教材上有一节好好学，尤其是高一的同学，马上就要学到，要认真听。

二零二六年青岛中考一模数学全卷一测，整体结构呢，应该不会变，选择、填空加解答，题量呢，依旧是二十四到二十五个题。压轴题集中在几何、综合、函数应用、新定义探究、压轴动点等四大板块。 全卷的侧动点呢，基础题应该会占百分之五十左右，建议回归课本。中档题的话，百分之五重视综合应用，难题的话，百分十五考察思维拓展。压轴题的核心啊，就是奥常识探究和动点。 二函数呢，考两大类，两大类又有十一小类，比如说如果考到图像，那就是高差呀，最值啊，钢架呀，平移等，那么如果考的利润呢，那就是最值，不等式含餐。如果考着探究的话，那大概也得有一个八九类， 如果考着动点的话，那就是八类。当然动点在这里是必考，主要是看是八类中的哪一类。中档题呢，要求稳拿分， 压轴题呢，要求拿到步骤分，结果分咱是先不说，但是比如说动点至少要拿到最后一问的一半的分数，顶多能扣两分，比如说探求，最多也就能扣最后一个空。所以在这里的话，在还没有到一模之前，我们都还有机会进行训练。 韦老师在最后叮嘱，一定要回归到你的错题，不要再专偏题怪题，把握好答题时间，一定要不断的进行全真模拟训练。韦老师这里呢有十一份一模的押题卷，都是最新的全国必考的经典题。压轴题， 每一个板块都有坑，每一个板块都有测重点题目，都是新题，全都是难题。所以在这里推荐大家回复九八五，领取这一份押题卷回去使用。

立体几何遇上组合数学，这道题你能解吗？在立体空间中求组合数，再列概率分析，这可不是一般的挑战。这类题目往往没有捷径可走，必须算出用 n 表达的式子 p n 才能继续推进。 这其中有两个难点，一是确定 p n 的 表达式，这属于立体空间中的难题。二是算出 k 和 l 的 不可能性，这个相对简单，用反正法就能解决。要确定 p n 的 表达式，我们得先搞清楚边的分类，把边分为侧零和上下底面的边 平行边的组合方式有两种，要么是侧零与侧零，要么是上下底面的对应边。对于侧零， n 条中任选两条，它们一定是平行的， 而底面的边平行情况则需分 n 为基数和偶数来讨论，看每个底面中每条边是否有另一条在平面内与它平行的边。 最后根据这些情况分出分段函数，讨论 n 为基数和偶数的情况，再进一步讨论 k 和 l 的 基偶分布问题才能得到解决。立体几何与组合数学的结合，是不是让你感受到了数学的魅力与挑战？

我们在学立体几何的时候啊，没有空间想象能力，咱也能很快的找到辅助线，你就拿好自己手上的尺子去推就好了。 比如说我们来看一道这样的题，他是告诉我们有一个三棱柱， a、 b、 c a、 b、 c， 其中呢， a、 c 上面取它的中点，在 bc 上面取了个 e 点，能够使得 b e 等于两倍的 e、 c， 那 是不是就告诉我们 e 点是 bc 边上的三等分点？ 最后让我们去证明什么？ a、 e、 b 这条线平行于 c、 e、 f 这个平面，那么如果我们要去正线平行面，是不是我们需要在这个平面上找到一条线与已知直线是互相平行的，是不就可以了？ 但问题是，你说我找哪条线能够跟 a、 e、 b 互相平行呢？啊？我这个辅助线应该做到哪呢？好，那我们采用什么办法呢？找直尺平移法。 你要知道我们所有画的这种图形啊，都是根据什么方法来的？斜二侧画法，那么斜二侧画法里面垂直关系它会加四十五度，但是平行关系会发生变化吗？不会。比如说如果这个线和某条线是互相平行的，我们直观上去看，它也是 互相平行的，对不对？我们拿好自己的尺子，把这个 a、 e、 b 这条线向我这个平面去平推，推到这个平面上的时候，某一条线就一定是我要做的辅助线。 比如说我们把这条线推推推推推推过来，好推到一点锄禾了吧？那么这条线就一定是我要找的那条辅助线。 那问题来了，你说这条线这个点我们是怎么来的呢？他不能无缘无故我在上面找一点吧，所以这个点我们来看一下是不是我的 a 一 点和 c 点连接所产生的交点呀？比如说这个点是 g 点连接 e g， 那 这个辅助线你就做完了。好，那接下来我们怎么证明呢？刚刚是帮你找到辅助线啊，怎么去证明？ 那么这条线和这条线是不是他俩在同一个三角形 a e、 c b 内，我们可以大概画一下这个三角形啊？ g 点在这里，是不是 e 点在这里？那我们通过什么来正平行相似对不对？那这边的比例是一比二的关系对不对？ 那我是不是要证明 c g 比上 g， a e 也是一比二就可以了。那你看一下这条线和这条线是不都是在这个平行四边形内呀？ 其中我这边找的是什么终点吧，然后我再这么连接得到的这个 g 点吧，来看一下这是不是终点，这是不是一比二的关系？这是一比二吧，上下相似吧，那这边是不是也是一比二的关系啊？ 所以同学们，我们在证明所有的平行问题的时候，其实一个方法就可以全部搞定，叫做什么直角平移法，你找不到你的辅助线，你就拿好自己手上的尺子，往你想要的那个平面或者线去推就好了。

具体做法呢，分三步，第一步，回归基本概念，用自问自讲加默写的方式过关，先把课本啃干净，每天十来分钟，第一件事就是对着定理自己讲出来，写出来。比如问自己，线面平行怎么正，线面垂直怎么正， 你能讲清楚才叫真会讲不出来，就是概念夹上每天默写一遍，平行四条，垂直四条，判定加性质，把文字语言、符号语言、图形语言都写对。这一步啊，是立体几何不丢分的根。 第二步，画思维导图，把必考题型锁死。例题几何大题呢，三年只考这几类，你把框架呀梳理出来。第一问，考两类，平行线面平行面，面平行垂直，线线垂直垂直。 第二问，考这几种二面角线面角点到面的距离。新高考二卷呢，最常考的是二面角，你把这个思维导图啊画在错题本的第一页，看到平行，要想中位线平行四边形，看到垂直呢？要想勾股等腰 面面垂直推线面垂直，看到球角直接间隙，用法向量框架一清啊，做题就不慌了。那第三步是回归错题，只做溯源复盘。把最近的月考模拟卷的例题，几何错题啊，全都拿出来，只做三件事，第一， 错在哪一步，是概念不会证明跳步坐标写错，还是法向量算错？第二，对应哪个知识点补回去，重新默写定律。第三，同类型的题呢，再做两道，直到不再错。 错题呀，不是用来抄的，是用来堵漏洞的。例题几何错一次就要堵死一个坑。 四步，每天针对性的精练，不搞题海战术。每天咱就练三道题，一道 证明题，练第一问一道间隙求角，主要是练第二，问一道选填主要是关于体积表面积或切接问题。 每道题都要限定时间，只练常考模型，能追十三棱柱啊，折叠问题啊，不求多，一定要做一道会一类。 最后建议每周再给数学加一个现实的综合卷，训练一模前还有三次机会，把握速度，规范，计算准确率。 你要记住啊！立体几何最容易丢分呐！不是不会，是坐标写错法，向量算错证明少写条件，知道常见问题，再针对性练习，上考场啊，就稳了。立体几何不是只靠空间，想象也要靠规范，靠步骤，靠套路。 一毛钱把概念讲清楚，题型锁死，错题复盘，每天精练，每周限时。那这二十分你一定能稳稳拿住！三周复习时间，给大家一些实用的复习建议。

青岛二零二六年数学一模考试啊，预计在四月十七号左右，那一周你准备好了吗？二零二六年青岛中考一模数学选择和填空抢分的关键，直接划重点， 单选前八题，考基础、考几何，考整式运算、三式图、函数概率计算等，全都是课本原题的变式，千万不要丢分。压轴重点盯住二函数性质圆的基本定律，角度计算等。这些呢，也是高频考点。 渐近题呢，多是概念细节的问题，或者就是数形结合上想不到位的一个问题。那么填空压轴锁定第十五和第十六题大概呢？是能有三个方面，一个是反比例函数几何，还有呢就是扇形阴影面积。那反比例函数几何呢？是涉及到求面积， 然后相似求 k， 扇形阴影面积肯定就是扇形阴影面积五大方法来求解。还有的话就几何综合有四边形综合、四边形相似最值折叠模型等五大类型。 提醒大家选择和填空要控制在三十分钟以内，最好的话是二十五分钟。男的不要死磕，先空着，把时间留到后面， 要不然写不完，写不完整个节奏就会打乱，分数就很难上去。那基础题要逐一验算，小压轴题可以用一些特殊指法、排除法快速拿到这个题。 压轴题的话，想我们平时讲过的一些类别模型，还有通用方法，那拿下选择和填空，一模数学就稳了一大半了。如果你不知道选择和填空怎么练，可以跟着我们这三十六天打卡，分为选择和填空基础应用探讨和动点， 专门为青岛一模考试而准备，让你把选择和填空刷上十五天，刷上几百个题，刷出速度，刷出熟练度，想要跟着打卡三十六天的回复九八五。

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hello， 同学们好。呃，由于自己的一个本人原因啊，也是持续的断更了几个月啊，然后的话呢，我记得我最后一期视频的话是剩这道二十二题，我是没有完全讲解完的事吗？那我们就来看到这个，就是这次学业考试二零二六年的最后一道立体几何的一道题目， 我们来看一下。首先二十二题，他说已知在这个子三棱柱 abc， a， b， c， e 中，那什么是子三棱柱啊？子三棱柱就是他的所有的侧棱，是吧？垂直于这个底面， 并且并且都平行的一个柱形，那就是三楞柱嘛。那他要告诉我们 a、 c 他 是垂直 bc 的， a， c 垂直 bc， 那 我们就把他这个嗯比较垂直的标记给他标出来， 然后他又说 a， a、 c 等于四， a， c 在 这里它等于四，然后 b c 等于二， b， c 在 这里等于二，然后 c c 一， 也就是这条只能等于二倍的根号三， 然后他说 d、 e、 f 分 别是 a、 b， b， c， c e 它的一个中点，然后距它是一个点吗？ a， e、 c， e 的 一个点吗？就这个点。那好，那既然它中点这么多，第一问就立马让我们求证什么呢？这个 a， e， c e， a， e， c e， 也就是这条线 是吧？它平行于 d， f， d， f 在 这里。那我们怎么样通过终点去求证这个 a、 c， e 平行这个 d， e， d， e 呢？那我们要证线面平行， 是不是首先得先证什么？是不是线线平行啊？ 啊？比如说在这个平面里面这条线啊，这个叫做 r 法平面，这个叫做呃，小 b 吧，然后这外面有一条线呢，叫做小 c， 那 我们是不是得正？先，我们要正 c 平行于 这个 r a、 r 平面，那我们是不是首先就得先正 c， 它是先平行于这个 b， 并且 b 它是包含于 r 法这个平面，从而 才能证出这个 c 它是平行于这个二八这个平面的，那所以其实我们也就大致的可以区分三步走。那所以说第一问，我们其实可以 在这个图像内直观的观察出是不是这个 a 一 c 一 肯定是跟这个下面的 d 一 它是平行的，为什么？因为 d 是 终点， e 也是终点，在这个三角形， 这个三角形 a、 b、 c 内，它是不是就是一个中线？那好，那其实我们这个也是个老套路来的，那我们就把它求证的结果写一下。首先先写解， 因为 e、 e 分 别为 ab、 bc 的 中点， 所以 d、 e 为三角形 a、 b、 c 的 中位线，再所以 d、 e 平行写相等于二分之一的 a、 c。 然后又因为 又因为在指四人指，指三人柱里面这个 a、 c、 c、 e、 a、 e 它是不是一个长方形来的？那所以又因为 a、 c 它是平行于 a 一 c 一 的，所以是吧，因为它的上下两个底面它是平行的关系吧，就它的这些线都是平行的关系吧，所以那这个 a、 c 是 吧？ 这个第一啊，写错了，这个第一啊，就平行于这个 a、 e、 c、 e 嘛，因为平行就有传递性嘛。然后再加一个这个包含，同学们一定不要漏，漏掉了，漏掉的话这里是可能要扣分的。又因为 啊，又因为第一包含于平面，我们所求的一个平面，第一 f 吗？ 所以 a 一 c 一 平行平面 d e、 f， 那 这就是以第一问的一个满分结果啦。那第二问，它，让我们求证这个 g， d， e、 f 它的一个体积， g， d， e， f 它的体积，那我们大致的把它演一下， 哎，那我们会发现什么？我们是不是会发现这个 g， d， e、 f 它的一个高，可能并不是这么的好找啊？ 是不是？那这个时候我们怎么办呢？我们是不是可以理解成这个 g 的 一个 d， e、 f， 它可以转换成哪个它跟哪个 t 啊？就是哪个三人追的一个体积是相同的，是不是很明显应该是跟这个 c， e， c 一 一以 c 一 为顶点，然后 d， e、 f 为底面，它这个三等锥它相同的。那有同学就问了，那为什么呢？因为你想想，我们第一问，是不是已经求证了这个 a， e， c， e 平行于 d， e、 f 的 那 g 点，它是 a， e， c， e 上面的点是吧？那这条平行线上所有的点是吧？是不离这个 d、 e、 f 这个平面，它的一个高度是相同的，就相当于这个这个点到这上面 a， e， c， e 这里啊？ 这上面所有的点到这个平面 d， e、 f， 它上到它的一个距离到这个里面的距离它相等的，因为它平行这个平面嘛，是吧？所以说， 所以说它是可以这个距点可以间接成，转化成什么呢？间接转化为 c， e， d， e、 f 它的一个这个三轮锥它的一个高，那这个三轮锥的高我们又怎么求呢？这个时候想想啊，我先把这个擦一擦，那我现在这么一转换 是吧？我把它这么一转换，我以 c 一 为顶点跟以 d 为顶点，它是不是相同的一个效果啊？就它求出来的三棱锥，它的一个它体积肯定是相同的一个效果的嘛，它的一个值肯定相等的嘛，那 我现在因为什么呢？因为这里 a b a c b 它是垂直的，然后它这个 d， e 跟 a c 是 平行的嘛，所以说 d e 肯定是垂直于这个底面 c 一 c 一 b 二，然后 s e b， 然后 bc 的，是吧？那既然它垂直，那 d 一 这个肯定是垂直这个底面的，它可以做高啊，为什么能垂直呢？因为这个 d 一 是垂直 bc 的 吗？并且这个 c， e， c 它是垂直于 bc 的， 那所以说那 这个 d 一 就肯定垂直这下面那个底面，所以我可以以 d 一 做高低一，这条高我们好求吧，对线也可以求出来，这个 d 一 应该是等于二的，然后底面这个 c， e， f， 那 抓住这块三角形我们怎么求呢？其实也蛮好求的，因为 ec 它是垂直于这下面这个底面的嘛，所以说你只要把 ec 这个 边求出来，其实它就是这个三角形它的一个高了。能理解好，那具体的求证过程是怎么样的呢？我们来大概书写一下，因为这过程我们要慢慢慢慢的去把它证明一下。那首先因为有一得嘛， 就是这个 d e c e a e c e 平行于平面 d e， f 且又因为 又因为距为 a c e 的 上的点，那它是上，它是上的上面的点，所以说它们的一个体积 v 它的一个以距为顶点，然后 d， e、 f 为底面，它可以转换成以 c e 为顶点， d， e、 f 为底面。也可以再转换成什么呢？以 d 为顶点，然后 c， e、 f， e 为底面。 好，那这么一转换完之后，其实我们要求的很简单。再所以啊，再所以他这个首先我们要证明，因为我们不确定这个第一是不是这这个这个轮锥的，他的一个，这个三轮锥，他的一个高码。所以说我们现在想要证明这个第一，他是垂直这个里面的。再所以 因为再所以这个 d e 平行于 a c 平行写，相当于就第一问嘛，我们挣了这个 d e 平行且算，我们分开写吧。 d e 平行于 a c， 所以 啊，然后 a c， 哦，这个还漏了一个条件， a c 它是垂直于 bc 的， 所以这个角 d e， b 等于角 a， c b 那 它就等于九十度了嘛？那既然它等于九十度了的话，那我们再来看看，那既然它等于九十度，那所以说这个 d e 是 吧？垂直 b c d e 垂直 b c 因为在三轮锥， 在三轮锥啊，直三轮锥 a e b e c e 然后 a， b c 中，哦，三棱柱，不是三棱圈，写错了， 在这个三棱柱中， a e b e c e 中 abc 中就是它的这个 c， e， c 是 垂直于底面， 垂直于这个平面 a， b， c 的 嘛，所以 c c c c 垂直于这个 c， c 垂直于这个，呃， d e 嘛， 再所以 c c 交这个 b c 于点一所以 c e c 它是垂直于这个 c e， f e 的， 那既然我们说明了它垂直，所以说 c e c 为 三楞锥，这个一定要说明一下，它这个它是为三楞锥，以 d 点为顶点，然后 c f e c e f e 它的这个高， 那既然它是高的话，那我们是不是就可以求出来，把 d e 先求出来，所以 d e 等于二分之一的 e c 就 等于二了。之后呢，紧接着我们再去求这个，呃，三人追 这个底面 c e、 e、 f， 它的一个面积，再所以 s 三角形，是吧？ s 三角形 c， e、 e、 f， 它等于什么呢？它等于二分之一的 ec 乘以乘以 c、 e、 f， 那这个的话呢？怎么去证明呢？为什么好证明啊？因为它这个 e、 c、 e c， 它是垂直于里面 c b 的 嘛。然后又因为又因为什么呢？是不是又因为这个 c、 e， 它是属于这个屏包包含于这个平面 c b 的， 所以说这个 c e 就 垂直于这个， 这个，这个 c、 e、 f 嘛？又因为我们已经第一位已经证明它在紫砂轮柱里面 c， e， c c、 e、 f， 它是垂直于这个 c、 b 的， 所以这个 c， e、 c 垂直于这个底面 c、 e、 f， 那再所以它就是高了，那其实我们就可以把三角形的面积求出来了，是吧？那所以 s 三角形 c， e、 e、 f， 它就等于二分之一的 e c 乘乘以 c， e、 f， 那 就等于二分之一，乘以 e c 的 话，我们可以求出来，它是不是就是。呃，因为这个 ab a b， 呃， a a c， 它是四，然后 ab 的 话是， ab 的 话是没有说，那说了 bc 是 二，那 bc 是 二的话，根据终点，是吧？根据终点这个 e、 c 应该是可以求出来的。 ec 的 话，这里的话中终点的话，他这个是二，那这里的话 c 一 是不就他的一半，那是 e 吗？那是二分之一乘以，再乘以这个 c e、 f c， e、 f 的 话是他的高，那就相当于根号三，这个算出来，他就等于二分之根号三的这个三角形的面积。然后紧接着我们要求的是这个 d、 e、 d e 的 话，我们求出来是二，那所以说这个三棱锥是把它的 v e， d， e 为啊顶点，然后 e， f， c， e 为底面，它的一个高就等于三分之一的 s 三角形 c， e， e， f， 再乘以它的一个高，高就是 d， e， 那就等于三分之一，乘以二分之根号三，再乘以这个第一，第一的话就是二，那最后算出来就是三分之根号三。好了，那么就是这个以上就是他的所有的一个完整过程了，当然如果你比较喜欢的话，那就点一下一个小心心吧， 那大家可以看一眼。那好了，那么本期视频就结束了。

这样作为开胃菜，本身难度并不高啊，只是用它来讲核心方法啊，一会咱是有难题的。 ok， 找线线平行，已经把它找完了。那接下来我们来找面面平行的方法就是，你要过这个线找到一个面，那这面咋找啊？有的宝贝可不会了，我教大家如何做平行面。 第一步，就像刚才说的，这条直线呢，一定是以个线段的形式在立体几何当中出现的，所以意味着吧，他必然有两个端点，想做平面，就从这俩端点入手。第一步，先从其中一个端点做，那面上某条线的平行线一定非常好找。我这做完之后，哎，是不是支棱出来另外一个端点了？我记为端点之一， 那宝宝们自己看， m、 n、 g 是 三个不同点，三点本身就能确定一个面对不对。所以我们做辅助线的方法特别清晰，就过其中一个端点做条平行线出来，连接一下，形成一个面。结束， 我记下来过两个端点当中的任何一个做平行线。好，面是做完了，那我如何证明面面真的平行啊？小傻瓜，面面想平行，我们一会会讲啊，咱得找到两对线面平行， 咱得说明这两条红线，第一个跟底面平行，第二条红线也跟底面平行。如果两条红线都跟底面平行了，那面面就平行了。面面一旦平行，那第三条边 m n 就 一定跟底面也平行。因此大家会做完辅助线之后，你还得会证明，你就找两对线面平行， 哪两对？这面一共就仨边， m n 是 你最后要正的，你不能用，那你要用 m n， 那 不就直接正完了嘛。所以你一定用 m n 之外的另外两条边。 你去说啊，这蓝的跟蓝的线线平行，那线面就平行了，一对找到，然后再换一个啊，这个粉的跟面上的某条粉线，他也线线平行，线线一平行，线面就平行了，第二对也找到。 所以大家有没有发现我解释一大痛，最后的根本是什么？就是你过两个端点，做这面上某两条线的平行线和平行线。如果觉得乱，刚才啥也没听懂，没关系，你就记住一句话，过端点做线线平行结束 举个具体例子。还拿刚才这道题啊，第三个方法啊，我要证明，绿线跟绿面平行咋做来着？过俩端点做那面上的平行线， 比如说啊，我过点 n 咋做平行线哦，过 n 点，你要么做 b c 的 平行线，哎，咱这样做，你这样做支出去了对不对？支出去真没法做。你要么做 e、 c 的 平行线哦， e c 的 平行线本身就是 m， 能变成方法二了 啊。那现在如果方法不让用了，那你就只能做 e b 的 平行线，太好做了。 n 点是中点，我在 a b 上再取一个中点，可不就构成中位线了吗？好，所以我取 a b 中点，我记为 h 那面一共就需要三个点，这三点我都找到了，我再连接一下，那是否真的面面平行嘞？刚才咋说的？我得找到两对线线平行吧。第一对线线我已经找到，第二对，这个线跟谁平行？傻了，这都中点？ h， m 是 a d 的 中位线， a d 同时等于 b c， 所以 相当于说，根据平行的传递性，这蓝的跟蓝的也平行。 好家伙，粉的跟粉的平行，那你线面是平行了哦，蓝的跟蓝的平行，那也是线面平行了。两对线面平行，面面就平行，我把它涂黑。面面一旦平行，那其中一个面上任何一条线，包括这 n m 就 跟另外的面是线面平行的，咱就整完了。 对于这道题来说，第二个方法显然最简单，第一个方法其次。那有的宝宝想问了，那你为啥非得还想第三个方法嘞？你昏头了，我是故意的，因为有的时候出题也故意出成，你用前两个方法，那题你做不了，你就只能大胆的去做面，真的有那种高考题。 所以今天我要强调的是这三个方法，做平行四边形、做中位线以及做面。不是你选一个会，而是三个方法你都得会，因为考试不一定考哪个。以上就是给大家介绍的如何证明线面平行的方法。

hello， 我是 小习老师，咱们这个视频呢，看一下一个繁体函数的题啊，他说了 a b 是 图像上的两个点，然后呢，有一个条件是 n e 等于的是三分之一倍的 n b， 也就是说 这条边是 n e 的 三倍，那他占一，整体占三，他不就占二吗？一比二两部分，对吧？那这道题题目中告诉你，这个阴影部分是二，那阴影部分既然是二的话，那这个阴影部分很熟，对不对？我们常见的一个模型，对吧？那我把它连起来， 其实这个三角形和阴影部分面积是不应该是相等的，因为他加上 s 一 都等于的是 这个三角形是二分之 k， 这个三角形也是二分之 k， 这个 s 一 是又是公共的，所以说我们就得到这个绿色的阴影，就等于题目中给你说的这个二，所以说我们就推出来了这个面积就是二。 那我们再根据什么呢？这个三角形和下面这个三角形属于同高的三角形，面积比直接是底的比，所以说就是二比一， 那这块是二，那 s 一 面积就是一，那整个三角形的面积不就是三了吗？那二分之 k 的 绝对值等于三， k 的 绝对值就是六，它又在第一项线，所以说 k 就 等于的是正六。好，这个题你听明白了吗？