26年武汉三调数学立体几何一题多解

每天一道好题，为高考加油！这个题目是来自于二零二六年三月武汉调研考试的第十六题。 嗯，虽说这套试卷出来有一段时间了，但是由于工作忙，没有来得时间。呃，来得及去做这道卷子。昨天做了一下，感觉这个题目还真挺不错。 我感觉不错的原因呢，就是这个题目啊，表面上是一个立体几何问题，实际上里边含的最多的是解三角形问题， 就是因为它不落俗套出题呢，风格比较新颖。好了，我们来看一下这个题目。 如图，在三棱锥 p a、 b、 c 中，这里边首先给了一些棱长 p a 得一， p b 呢，等于二倍，根号三，我们标上 p c 呢，等于三， bc 呢，等于根号六， ac 又等于根号七。给了这么多的棱长 点， m n 分 别是 pb， pc 上的点，并且 pa 垂直于平面 amn。 第一个求 m n 的 场。这个题和立体几何啊，表面上是一个三棱锥问题，但是你想想有没有我们传统立体几何中的这个线面平行垂直的这些问题呢？ 它只给了一个 pa 垂直于平面 amn， 那 这个有什么用？显然这个跟传统的平行垂直是不沾边的。 线面垂直只能说明线和面内的线垂直，比如说 pa 是 垂直于 am 的， pa 是 垂直 amn 的， pa 垂直于 m n， 那 这里边也未让你正成平行垂直，只让你求线长，显然和立体几何是不沾边的。 那么怎么处理呢？大家想一想，我要求 m n 的 长，这个 m n 不 就是一个几何图形中的一条线段吗？所以我们转换一种四位的话，是不是可以给他放到三角形里边，通过解三角形来处理呢？ 首先我们看这里边给了很多的棱长，那么三角形的边长都给的话，是不是都能求角啊？ 你比方说我要求这个 m n， 你 怎么处理呢？我可以放到三角形 p m n 中，这个 p m n 里边的话，你这个 p m 场不知道 p n 的 场不知道能解决吗？ 貌似解决不了，但是你看看还有什么条件呢？这个里边有个 pa 垂直于 a m n， 这样一垂直的话，这个 pa 不 就可以和 am 垂直了吗？那就出现了一个直角三角形，出现一个直角三角形的话，我们能解决这个问题吗？ 这个是直角三角形 p a m 中，好像条件也不够，因为只给了一个 p a 得益， 对吧？只给了一个 p a 得益，我们如何去往下求结呢？我们如何去往下求结呢？ 我们可以考虑什么呢？大三角形 p a b 这个里边，这个大三角形 p a b 中，那不显然三个边长都给了吗？三个边长都给了，有解三角形的知识就可以求角，比方说求这个角 a p b 或者 a p m， 对 吧？好，这个题的分析思路咱们就出来了。好，先写第一问， 首先有什么呢？这个里边这个 pa 垂直于平面 amn， 我 们首先分析出这里边这个垂直关系，就能够得到这个 pa 是 垂直于 am 的， 那同理这个 pa 呢？也垂直于 am 啊。为我们后续解三角形先做准备，然后再考虑什么呢？考虑三角形 pab。 哎，在这个三角形 pab 中， 那三角形 p a b 中三个边长都有，我显然可以求角，对不对？这个角 a p b， 它的余弦值用余弦定理吧， 就等于 a p 的 平方加上 p b 的 平方减去 a b 的 平方，比上二倍的 a p 乘以 p b 的 平方就是十二， a b 的 平方是九，比上二倍的 a p 是 e， pb 是 二倍根三。所以这样一减的话，嗯，我们算一下，这个 e 一 加十，二是十，三减九是四，下面跟四约掉，所以是根三分之一。 这个角的余弦有了，我们再考虑这个直角三角形。哪个直角三角形呢？ p a m 中 这个直角三角形里边，你看这个角的余弦有了，这个角的余弦有了，那么这个角的余弦又等于什么呢？我们写一下 cosine 角 apm 吧，它等于邻边比斜边，也就等于这个 ap 比上 pm， 对不对？ ap 比上 pm， ap 是 一 pm， 我 们不就可以求了吗？这个等于根三分之一，所以就可以得到这个 pm， 就 等于根号三 看到了吧。所以我们这个解三角形就很好处理了。那同样道理，你看右边这个三角形 p a c 里边，是不是三个边也都给了？所以你也可以求 a p c 这个角， 然后在直角三角形 p a 摁中，就求这个 p， 对 吧？所以好好看右边在三角形 p a 摁中， p a c 中， 那么这个角 a p c 的 余弦，它又等于 a p 方，我就直接写吧。有 e 的 平方加上 p c 方，就是三的平方，加九减去 a c 的 平方跟七平方是减七比上二乘 ap 乘以三， 这个算一下，九减七十二，二加一是三，这个结果就得二分之一，这个结果得二分之一的话，我们就考虑这个三角形，这个再考虑二 t 三角形 a p n a p c 就是 那 a p n a p n 的 余弦就等于邻边比斜边，也就是 pa 比上 p n p n 呢？哎，这是我们要求的，这个等于二分之一，所以这个 p n 它就等于二。 好了，这里边都有了，我们下边看看下面能干什么呢？我要找的是这个 m n 的 场，那这个 pm 和 p n 都有了，我是不是还需要求一个角就行了？ 那显然在这个大三角形 p b c 中又可以求角了，对不对？所以在考虑大三角形 p b c 中啊，我们可以考虑这个，考虑这个角 b p c， 它的余弦值等于 p b 方，我写一下吧， p b 方加 p c 方减去 b c 方，比上二倍的 p b 乘 p c， 我 们把数据带进去， p b 方是十二， p c 方是九， b c 方是六，比上二倍的二倍跟三再乘以三， 我们算一下，九减六是三，三加十二是十五，上面是十五，我们约下，上面是十五，下面是二乘二倍跟三再乘个三，把三约掉，上面剩个五，所以这个余弦值就是四倍跟三分之五。 好了，这个余弦值是四倍根三分之五啊，这个就是。呃， p b c 这个角，那么我们下边呢，就可以考虑这个 m n 了， m n 咋办呢？那么 m n， 我 们看一下这个图形，在这里 m n 的 平方啊，我们可以考虑这个就在三角形 p m n 中 啊，那么这个 m n 的 平方就等于 pm 方加 pm 方，减去二倍的 pm， 乘以 pm， 乘以这个 cosine 减 b p c， 也就是四倍根三分之五。 这个数据挺挺大啊， pm 呢，我们刚才算的是根号三平方就是三， pm 呢是二，平方就是四，减去二倍根三乘以二，再乘以四倍根三分之五。 好，我们下边开始约这个根，三和根三约掉，四和四约掉，所以就是三加四减五，七减五，这就得二 m n 的 m n 的 平放得二，所以这个 m n 呢，就等于根号二。 好了，第一问我们就解决了，表面上是一个立体几何，实际上我们发现这就是一个解三角形，而且是多个三角形里面求解问题， 下面我们再看这第二个，表面上又是个立体几何，我们看看这个立体几何是不是立体几何呢？求 p a、 b、 c 的 体积。立体几何求体积问题，那么就是三分之一底面积乘高啊。咱们咱瞅一瞅， p a、 b、 c 这个三棱锥有什么特殊性吗？ 显然没什么特殊性，唯一的特殊性就是 p a 垂直于 amn 这个面， p a 垂直于 amn 这个面，那和 p a、 b、 c 有 什么关系呢？ 那么 p a、 b c 没有特殊性的话，我们没法直接求，所以这个题啊，就得想办法，三棱锥等体积转换， 这个等体积转换又转换不了，为什么呢？因为你想想，把 p 看成顶点，三棱锥不特殊，你把其他点看成顶点，三棱锥仍不特殊，唯一特殊的就是 p a m n， 所以我们想办法就是想想这个大三楞锥和小三楞锥 p a， m n 有 没有关系呢？这个是有的，为什么有呢？你也可以这样去考虑，把 p a b c， 把 c 当成顶点 c， p a b 这个三楞锥和 n p a m 这个三楞锥， 这个 apm 和 apb 这两个三角形是在同一个底面上，你这样的话，这两个三角形的面积只面积应该有个关系，我们应该能够导出来，对不对？面积关系要能导出来的话，那这个三棱锥的体积关系，实际上我们就能发掘了， 能明白吗？这里边并且告诉你， p n 它是得二的啊，所以这个 p n 和 pc 的 边，这个边长的关系也有，那它 g 的 关系也有，所以我们这样的话，把大三棱锥 p a、 b， c 的 体积转化成 p a m 的 p a m 的 体积上去。 好了，我这个地方没地方写了，我擦一下吧，不往下写了啊，擦一下 好了，我们下边来计算。哎呀，擦的这个数据都没了，我看一下啊，这个数据，这个 p n 得二， pm 是 得分散的，我把它标上一会，我还得用上 pm 得分散， 嗯，这个擦一下这块吧，这块擦一下啊，那么我们得到的这些数据啊，我们再往下看啊，得到的这些数据，我要表达什么呢？表达一下这个三棱锥 p a、 b、 c 的 体积和 p a m 的 体积。 我们想一想，首先三角形 apm， 这个三角形的面积和这个三角形 apm 的 面积，它俩有啥关系呢？它俩的面积之比， apm 的 面积，它等于二分之一， pa 乘 pm 乘以塞角。 apm 这个三角形 a， p b 呢，等于二分之一， pa 乘 p b 乘以三角 a p b。 这两个显然正弦值相等， pa 相等，二分之一相等，它就等于 pm 比 pb。 看到了吗？ pm 比 pb 的 话， pm 的 根三 pb 等于二倍，根三不正好等于一比二，那这个面积比有的话，那整个体积比呢？ 体积 b 又得什么呢？我们看这个大三棱锥的体积，就是这个 v c， p a b 的 体积比上这个 v n p a m 的 体积， 嗯，这两个三棱锥的体积，它等于三分之一底面积乘高，而显然这个高又得什么呢？你看， 嗯，咱这样说吧，这两个，你看啊，这里面这个 pc 比 p n， 它的比是三比二，所以我们就可以知道这两个三棱锥它的高值比也是三比二， 嗯，高之比也是三比二，能看懂吗？啊，所以这样的话，这两个三棱锥的体积比就等于三分之一底面积，底面积呢，这个就是 p a b 的 面积 啊， p a b 比上啊，乘以这个高高之比啊，我们这样设吧，哎呀，这个咋说呀？ 嗯，这个就用语言描述一下吧。所以点 c， 呃， pc 比 p n 等于啥的话，那这个高值比，那我就记得 h 一 比乘这个 h 二吧。 啊，那么 p a b 的 体积就是三分之一底面积乘高就乘 h e， 这个呢，就是三分之一底面积就是 p a m 的 面积乘以这个 h 二 三分之一底面积乘高，而这个底面积之比是一比二，高之比呢，是三比二，这样的话，这个体积之比就是三比四。我看一下，哎，不对，这个高之比。这，是 啊，我看，啊，啊，这字写错了，这个二比一，这块写错了， 这个面积比是二比一， p a b 的 面积比那个面积大，这是二比一，所以这样的话，这个面积之比就是三比一啊，面积比就是三比一。 嗯，所以我们要求这个 p a b 的 面啊， c p a b 的 面积只需要求 n， p a m 的 面积也，体积也只需要求这个三棱锥 p a m 的 体积。 下面呢，我们就计算这个 p a m n 的 体积就行了呗。而这个 p a m n 的 体积，显然把 pa 当高比较容易，所以求 a m n 的 面积，而这个 a m n 的 面积又怎么办呢？这里边我们知道 m n 的 长，但是 a m 和 a n 的 长不知道， 那我们想一想，这个直角三角形我们是能解决的呀，对不对？所以我们就考虑在这个直角三角形中。在直角三角形啊， apm 中，那显然这个 am 的 场，它就等于根号向 pm 方减去 pa 方， 它得几呢？就是三减一，就是根号二。同理，这个 a n 的 我就直接写吧。这个 a n 的 长度，它就等于根号下，这个是 p n 放减去 p a 放， p n 放减 p a 放，它就等于应该是四减一，根号上。 所以我们在这个 a m 按里边就可以求出这个角来。三角形 a m 按中，我们就可以求出这个 cosine 角 m a n， 它的余弦值就等于 a n 方加 a m 方，减去 m n 方，比上二倍的 a n 乘 a m， 我 们把它算出来。 a n 呢？咱们刚才算的是根号三，平方就是三，加上 a m 方就是二，减去 m n m， 刚才算的是多少？ 我还擦掉了啊，这个，这个 m n 是 根号二，我想起来了，所以这个 m n 是 根号二的话，这就是减二，比上二乘根三乘以根号二，所以这个就是根二倍，根号六分之三。 二倍根号六分之三的话，我们就求一下这个正选，所以这个三角 m a n m a n， 它的正选值，我们可以画一个直角三角形三比上二倍，根号六，这个应该是多少呢？二十四减九应该是，我 看一下啊，三角 a m n， 嗯，二得四，四六，二十四，二十四减九，根号十五， 这个应该是根号十五，所以这个正弦应该是根号十五，比上二倍根号六。嗯，这个可以约掉一个根号三，就是二倍根号二分之根号五啊，就这样一个值。下面呢，我们就可以表达这个三角形 a、 m、 n 的 面积了 啊，这个数据啊，确实挺墨迹的， a m 呢，咱们刚才算的是根号二， a、 n 呢是根号三，再乘以这个二倍根号二分之根号五， 我们把根号二消掉，所以这个是四分之根号十五，这就是三点形面积，所以这个体积我们也就出来了。嗯，三棱锥，这个就是 p a、 m、 n 的 体积就是三分之一，底面积就是四分之根号十五，乘以高就是一， 也就是十二分之根号十五。而这个大三棱锥体积就是 p a、 b、 c 的 体积，它等于三倍的 p， a、 m、 n 的 体积，它也就等于乘个三的话，又等于四分之根号十五。 好了，这个第二小问咱们就解决了，把这个立体几何的这个球体积问题转化一下就可以了， 只不过这个运算量比较大啊。好了，第二问，我们好不容易算完了，还有个第三问，求 bc 与平面 p、 a、 b 所成角的正弦， bc 与这个面所成角的正弦，要求这个线面角怎么处理呢？ 这个三棱锥又不规则，显然第一想法是由 c 点相面做垂线显然做不出来， 是不是有点相面做垂线做不出来？你求线面角。要建坐标系的话，好建吗？显然也不太容易啊，这个坐标系，你这个就这轴的话，你 x 轴外轴建哪？是吧？ 也不太容易啊，能建倒是能建，太不容易，那么想到什么呢？求线面角。还有一个方法，你能求出 c 点到这个面的距离吗？ 因为我们前面第二问已经算出了体积，我要能够利用等体积法求出 c 点到平面 p a、 b 的 距离，是不是就好解决一点呢？ 那么在这个线面角的正弦不就等于这个 go 比上 bc 吗？对边比斜边。所以第三问呢，我们的想法就是啥呢？利用这个等体积法求出点 c 到平面的距离。 好，我们下边开始算等体积法。首先我们已经知道了，这个体积是四分之根号十五，这个体积是四分之根号十五。下面我们要计算什么呢？要计算的就是这个三角形 p a、 b 的 面积 啊，这个大三角形 p a、 b 的 面积，这个大三角形的面积，我们用这个面积公式对不对？ p a 乘 p b， 求塞盈角 p a b。 好， 我们下边算一下， 这个我还擦一下吧，这个面积啊，擦一下，这块数据也接的差不多了。 好了，我们再写一下这个三角形啊。首先啊，我们先说这个等体积法第三个了，这个等体积法就是说三棱锥 p a， p a、 b， c 的 体积，它就等于三分之一，三角形 p a、 b 的 面积乘以它对应的这个距离高啊，就是 c 点到面的距离 d， 那么这个三角形这个体积我刚才算出来是四分之根号十五，只需要表达出三角形的面积是不是就可以了呀？而这个三角形 pab 的 面积是不是导出这个小角就可以这个角呢？我们很好导，这个 am 是 多少呢？ 嗯， am 的 长，刚才咱算的好像是根号二吧，这个 am 是 根号二，所以这个塞阴角，嗯，我就快写吧。塞阴角 ap m 这个等于对边比斜边，也就是根号二比根号三，所以这个三角形 p a b 的 面积就等于二分之一。 p a 乘 p b 乘以三根角 a p m a pb， 也就是把数据带进去二分之一， p a 呢是一， pb 呢是二倍根三，三根 a pb 是 根，三分之根号二， 咱们把把根三消掉，二消掉，所以这个面积就得根号二，这样的话，这个体积三分之一乘以根号二，乘以这个 d 等于四分之根号十五，我们就可以把这个 d 给算出来。 我们算一下啊，这个 d 算出来，这个就是多少了，这个数据还挺庞大啊，这个 d 就 等于，嗯，我们算一下 d 就 等于应该是把根号二除过来，四倍根号二分之三倍根号十五，是这样一个数 啊，我看看对不对啊。这个数算完以后，我们要求的正弦值，我们看一下线面角的正弦啊，所以这个 sin theta 我 就直接写吧，因为等于这个 d 比乘这个 bc 线面角的正弦啊，过程我就不想写了。 b c 是 多少呢？是根号六，我们看一下啊，这是四倍根号二分之三倍根号十五，除以根号六，我就直接乘以根号六分之一吧，给他乘一个根号六分之一，这样一乘的话，我们看看是多少。 这个根号十五和根号六能消个根号三啊？根号三，所以上面是三倍根号五，下面呢是四倍根号二，再乘一个根号二，应该是八分之三倍根号，这就是最后结果看到了吧，刚才这个消呢，是把这块消个根号散去了，我写到下边来了。 好了，这个题啊，本身难度不大，但是出题题目比较新颖，既有解三角形的思想，又有立体几何的思想，而且运算量也挺大的。耐心算，这是我们学数学的一个基本的能力吧。好了，今天就讲到这里。

我们来看一下武汉三调的第十六题，这个题首先给了三棱锥 p a b c， 然后给了各个边长 m n 呢是 p b p c 上的点，然后告诉我们的是 p a 垂直于 amn 这样一个面 好。这个题呢，可能有的同学看起来有点懵，因为他没有给出很多垂直的关系好，或者说特殊角，反而呢，给出了这样这么多边好，和我们这个常规的地地几何题呢，还是稍微有点差别 好，那他把所有的边都告诉我们了，所以呢，我们就可以联想到解三角形，也就是说，我们可以用余弦命令呢，把相应的角都求出来。 比如这里我们可以把 a p b p b 呃， b p c， a p c 这三个角呢，用余弦命令把它们分别都算出来。余弦值啊，一个是刚好三分之一，一个是四倍刚好三分之五，一个是二分之一， 那算出来之后，我们可以看到它给的是 pa 垂直于 amn， 那 么也就是 pa 垂直 ampa 垂直 n 好， 这样的话，刚才算的这个余弦值呢，就有用了。比如口算一角 a p b， 那 么就是 a p m， 所以呢，在这个直角三角形中，它就应该等于零边 pa 比上斜边 pm， 这样的话等于一比根号三，那 pa 刚好是一，除以 pm 刚好是根号三， am 也可以顺便算出来是根号二， 那接着我们就可以呃，再利用这个口算角 a p c 算出好，它，这个等于 pa 比上 pa 好， 算出 pa 等于二，然后 a n 好， 当然呢，就等于杠三了。 那么对于 m n 来说，我们可以注意观察到 p m p n 都知道好，然后让求 m n， 我 们这个角呢，刚才这个 b p c 这个角我们就算出来了， 所以当然就可以用余弦定律算出 m n 的 平方等于这个，进而呢，算出 m n 呢，是等于根号二的。这是我们的第一问好，更多的就是和解三角形结合在一块来考察的。 然后我们来看第二问，第二问呢，让我们算的是呃，这样的一个三棱锥， p a b c 它的体积， 那我们要算体积，关键就是三分之一底面积乘高。好，关键就这个高，而 p a b c 呢，没有明显的这样的线面垂直的关系，对吧？好，但是很明显，我们题目就给了 p a 垂直 amn， 也就是说，如果我们要算 p a m n， 算这个三棱锥的体积的话，当然就非常简单了。好，所以这里呢，我们可以呃，通过算出 a m n 的 面积，这其实是一个等腰三角形吧，算出 a m n 的 面积，然后呢，再结合这个 p s 高，就可以算出 p a m n 它的体积了。 那 p a m n 和我们这个大的三棱锥有啥关系呢？好，我们这里可以连接一下 b n。 好，因为这里根据我们刚才的计算， m 点呢，应该是 p b 的 中点。所以如果要看这里的这个 p a m n 和 b a m n 的 话，很明显它们的体积相等的，因为它们都是以 a m n 为底，以一个是点 p 为顶点，一个点 b 为顶点。 好， m 呢，是 pb 的 终点，所以它们的体质相等的，那么合到一块的这个大的三棱锥就是 p a b n， 对 吧？这个三棱锥呢，就应该等于二倍的好， p a m n， 那 p a b n 和我们大的三棱锥有啥？呃，这个差别呢？是不是还差了一个？呃，这样的一个 c a b n。 好， 如果是以 a b n 为底的话，一个是 p a b n， 一个是 c a b n， 好， 我们再根据 n 点好， n 点呢？我们刚才已经算了， p n 是 等于二，然后 n c 就 等于一了。好，他们是二比一的，所以呢，我们以 a a、 b n 为底， 好，相应的 p n 比 c， n 呢，等于二比一，所以他们的体积也是二比一。这样的话，我们就知道 好，相应的这个合在一块的 p a， b， c 就 应该是等于二分之三倍的 p a b n， 这样的话就等于三倍的好， p a m n， 它的 t 几 好？ a m n 按照我们刚才说的好，可以是三分之一乘底面积，这个底面积呢？呃，这里这个高，就当成等幺三等零来算了吧。可以算它这个高呢，是二分之根号五，这里没有详细写啊。 好，算出这个三分之一底面积乘高，好，然后单前面再乘一个三，就得到的结果呢，就是四分之根号十五。好，这第二位 好，终点呢，就要能够发现 m 点是 p b 的 终点， n 点是 pc 的 三等分点，然后我们结合他们这个好同底，然后利用他们高值比转化成体积值比，好一步一步的转化。呃，可以算出我们这个 p a b c 了， 好，这是第二问，然后第三问呢，让我们算的是，呃，这样的 b c 与平面 p a b 它们所成角的正弦值。 那么这样一个线面角，我们，呃，最好是间隙做这个不见隙的话，可能你找这个角呢，也不太好找啊。 好，那这个间隙，那当然 p a 垂直， amn 有 一个线面垂直，当然就想着以 amn 为底面了，对吧？好，以， amn 底面，那 amn 呢？刚才说了 m a 等于 m n， 所以呢？好，我们要取一个 a n 的 中点 o， 好， 这样的话 om 垂直，这样的话，这个 amn 这个底面里面呢？就有垂直了。好，然后 z 轴，当然就是， 呃，以呃 ap， 对 吧？好，所以这里就是过 o 做 ap 的 平行线，对吧？好，这样，好，我是这样画的，就是 o a 是 x 轴， o m 是 y 轴，然后这个做的平行线是这种。好，这样建立空间坐标系。 好，建完系之后我们就写坐标了， a 点的坐标就很简单，这个是负的二分，呃，是二分之根号三嘛，所以是二分之根号三都零都零， 那 n 点在右边是负的，所以就说负的二分之根号三到零到零。好， p 点在一点的上方，所以就是二分之根号三到零到一，然后 m 点呢？好，是，呃，我们这个在外轴上，所以就是零到二分之根号五到零，就是它这个高是二分之根号五， 然后相应的这个呃 b 点的坐标。好，由于 m 点是 p b 的 中点，所以你就可以结合这个中点坐标公式，好，利用 p 点好 p 点和 b 点的中点三点，所以就可以写出 b 点坐标了， 好，让 c 点坐标呢？ c 点，首先你要注意观察到，它应该是在这样一个好， p a n 这个平面内，也就是说它在 x o z 这个平面内，所以 c 点的 y 轴等于零的，那 x 轴等于什么呢？ 好，这个当我们画出来，就是说，呃，你这个呃大，大家如果不太清楚的话，可以画出平面图，好，就我们这里这个是三十度，好，这六十度，对吧？刚我们算出域线值二分之一嘛，所以六十度， 三十度，好，然后这样延长一下，好，这也是三十度。好，然后 n， c 等于一，所以这里做的这个垂线呢，好，就是二分之一，所以这里做的这个垂线呢，是负的二分之一了，因为他在下面。 好，那 x 的 坐标，这是二分之根号三，前面还有一个二分之根号三，所以这个整个长度呢，是根号三，那么在右边。好，它是负的，所以负根号三到零到负的二分之一。 好，那么 b， c 的 坐标可以写好，然后相应的呃算，接下来要算的就是 a， p， b 的 法向量。好，设法向量 n， x， y， z， 然后 n 和 a， p 数量积，对吧？就是直接就是这等于零， n 和 a， b 的 数量积，这个好，所以我们这里呢，不妨直接令 x 等于根号五， y 呢就等于根号三，这样的话就求出法向量了。 好，只要大家能够正确的把它们的坐标都写出来，那相应的这个计算呢，包括法向量的计算，包括这个呃角的计算，应该就是呃常规的操作了。 好，那我们算出来之后，然后就设它这个夹，夹所剩的角是 c 的 角，那么 c， n， c 的 就等于 cosine， 呃， bc 和 n 的 夹角。好，这样的一个绝对值 好，所以上面数量积加绝对值，下面两个模，好，这样算出来呢，就是八分之三倍根号五，这就是最终的答案了。

今天我们要分享的数学内容是武汉三条立体几何的间隙法，上一节我们讲了它的几何法，然后我结尾时提到过间隙法也会给大家做一下讲一遍， 因为有的同学有这个需求，间隙法我刚才做完了，所以给大家讲一下。我先说一下我的感受，考场上用间隙法应该大多数都栽进去了，因为这道题的间隙法属于纯暴力拆破，强行求解， 尤其是第二问开始间隙的，因为在算到中途中会发现你算出的那个数，让你怀疑自己算错了，不应该算出那样的结果。哈哈，想到这我就忍不住想笑了。 大家看我笔记上面算出的那个数，七十六分之三倍的根号五百七十那一步，当我算出这么一个东东时，我当时的心力状态就是自己算错了吧。然后我反复回去检测了好几次，一步步重新计算， 但是结果是发现自己没错啊，于是我在那左右横跳，要不是最后，我决定想就先按这个数，把最后结果先计算出来再说。发现是这个题的正确答案， 我可能还在怀疑自己呢，毕竟应该大多数人都会跟我一样，看到自己算出七十六分之三倍的根号七百六十，都会怀疑自己算错了， 哈哈哈。所以这节我决定先不给大家讲解了，因为刚才做这道题在反复检测时点燃了我的心烦气躁，等我的心绪平静下来，到时候给大家讲解。但是我先把我做的笔记分享出来，大家先自己看看，下一节我们再见！ say goodbye！

今天的数学分享我来也这一节，我们接着上一节。上一节讲了第一问，我们当时一开始把这个题整体思维捋顺，打通了一遍后说过，这个题的核心就是第一问， 第一问一出基本，第二问和第三问就根本不费吹灰之力，所以我们就直接开始第二问和第三问的讲解了。大家看我解析笔记，基本写的很少，只几步就解决了。 第二问问的 p a、 b c 体积肯定不好求，但是我们别忘了，第一问我们已经求出 m n 的 长，同时在求 m n 的 旅途中把 m n 都求出来了。三角形 a m n 是 一个等腰三角形， 我们可以很容易就可以求出 p a m n 的 体积。我们通过给出的示意图可以直观明了地看出 p a m n 和 p a、 b、 c 有 联系，它们共顶点三组楞长也共夹角， 所以它们之间的联系就出来了。体积比等于三条，能长乘积之比，能长全部一只和求出来了， 所以体积之比我们也就马上得出一比三，再加上 p a m n 的 求出，那么 p a、 b、 c 的 体积不就呼之一出？是不是感觉第一问一出，第二问就是顺手的事？ 第三问问题是一求直线 bc 到平面 pipe 乘角的正弦值， bc 是 已知条件，也就是只需要我们求出点 c， 但 pipe 的 距离这个题就解决了，因为距离除以直线 bc 不 就是它的正弦值， 而如何求点 c pipe 的 距离，看到它是三楞锥，又加上我们之前刚刚讲过一道高考真题的例题，几何那个题就是三楞锥， 我们当时先讲了间隙，后讲了几何法，而在几何法中讲了等体积转化，所以我当时看这个题看着看着就乐了。 我们思维迁移， c pad 的 体积等于 p a b c 的 体积，这时候我们看看第二问，发现我们正好求的就是 p a b c 的 体积，所以 c pad 的 距离就出来了，是不是很简单？ 所以只要第一问一己出，第二问就很容易出来，第二问一出，第三问也就轻而易举出来。如何感受到出己人的心思了吧，哈哈！讲到这儿，我们这个题我们就结束了，当然指的几何法结束了。因为上一节我提到过间隙方法也会给大家讲一遍， 所以下一节的数学分享会是间隙吧。希望大家看完这一节和上一节对这个题有所获得。如果把这个题我拆解的整体思想和局部思想消化吸收，那就是对我莫大的荣幸！ say goodbye！

好，这一课我们一起学习圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，那么根据上一课的知识，我们知道这些几何体呢，都是旋转体， 那么旋转体呢，就是一个图形绕着一个旋转轴进行旋转围成的。那么首先看圆柱， 圆柱可以怎么形成呢？这个我们在啊这个生生活的过程中应该经常遇到这种情况啊， 你像这个一扇旋转门，那么他绕中间的轴旋转一周，形成了一个圆筒形啊，这是给我们的印象， 所以圆柱就是由这样的一个矩形绕着它的一条边旋转而而形成的啊，围成的这个面。 好了，那首先那矩形的这一条边为轴，那其他的三个边就围成了一个面，这个面围成的这个旋转体呢，就叫圆柱 啊，那相关的概念，我们把中间的这条线叫旋转轴啊，也叫圆柱的轴。然后呢上下两个这个宽或者说长， 所旋转形成的这个面呢叫底面，那这个底面我们要注意它的特点，首先呢， 它必须是由这个垂直于轴的这样的一条直线啊旋转而形成的，所以呢，这个几何几何特征我们要把握住，这也是我们今后解题的一些隐含条件。 那这样它旋转一周呢，就形成了一个圆，所以它的上下底面都是圆面啊， 好，这是第一个。然后呢就是和它平行的这条直线旋转而形成的呢，就是它的侧面，那它的侧面呢，很明显是一个曲面啊， 然后圆锥的侧面啊，就是上下这两个点啊，它的连线 形成了这个侧面，那因此啊，不，不论他转到什么位置，我们把这条线叫做他的母线。 好，所以那母线在圆柱里边也是有 有一定的这个黏聚价值的啊，那你像这个，呃，我们这个 母线呢，必须平行于轴，所以这两个是平行的啊，那他们两个平行，所以和这个上面的这条线呢，就是垂直，所以母线和底面垂直啊，这些也是隐含的条， 所以呢，呃，在这个圆柱里边这些隐含条件我们要注意啊。 下面再看圆锥，圆锥怎么形成的呢？那么圆锥是由一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转而形成，那么我们来看这个图， 那么直角边为轴，然后剩余的一条直角边和它的斜边，这个就旋转形成了一个啊，一个这样的 曲面，还有下面这个圆，那么这它们共同围成的这个几何体呢？我们叫圆锥， 那我们来看，首先圆锥它的这条直角边绕着的这条线，我们就它叫它的轴， 所以和刚才类似于圆柱里边的关系。那么下面这一条啊，旋转成的这个圆，我们叫底面，所以呢，底面必须是这个地方也是一条线和它垂直而旋转形成的。 那由于这个点呢，直接就在轴上，所以它不管怎么旋转，它就是在这个点上，所以这里没有形成面啊，这是圆锥的地面，那它的侧面呢？侧面我们看是由这样的一条线 啊，绕着这一点旋转形成，那因此呢，我们可以看成是这个点连接了底面圆上的任何一点，那么这时候这个连线呢，我们也叫它叫母线， 所以呢，这个区别于圆，圆锥啊，他这个圆，呃，区别于圆柱，圆锥的母线是和底面不垂直的形成一定的角度啊， 好，这是关于圆锥的相关概念，那么这里面呢，我们就是要注意这么几个隐藏的条件，就是第一，这个中间这条轴是和底面 垂直的啊，这是一个引线。再一个呢，就是刚才说的任意点连接里面都形成一个母线，并且呢任意两条母线都相等， 那因此连接母任意两条母线下边那个端点都可以构成一个等幺三角形啊，其中我们把这个过轴的啊，过轴的 两个连线经过和轴相交的啊，这样的一个三角形 s、 a、 b 成为它的轴结面啊，轴结面，那 轴结面呢，它是一个等腰三角形啊，所以这是一个非常重要的概念，同样的上面圆柱的轴结面呢，这个比较简单啊，观察的轴做一个结面，应该是一个矩形啊， 好，这是关于圆锥的认识，我们来看圆台，圆台呢，根据上一课的知识，我们知道啊，怎么得到一个台呢？是用一个平行于圆锥底面的平面去结圆锥， 那么它两个底面与结面之间的部分叫圆台，所以那圆台呢？呃，我们类似于锥啊，通过锥去认识它，就是它这里延长以后就能交于一点，因此这个点呢，应该在啊它这个 中间这条线上，那中间这条线呢，就是原来圆锥的轴啊，好了，那么 这样结出来呢，我们知道它平行于底面的圆去结圆结，这个圆锥啊，结出来的肯定都是一些圆啊，上下两个底面圆啊，是平行， 那么两个圆心之间的连线，我们叫它的旋转轴啊，也叫圆台的轴。同样的，我们来看几个概念， 那么原来任意一条圆锥上的母线被截以后，都是圆台的母线， 那么圆台的任意两条母线之间，它的连线也可以构成等腰体，其中和轴相交的 啊，连线与它相交的这两条线形成的这个等腰体形，我们叫它的轴节点， 轴节点啊，好，那么 圆台呢，我们除了啊，这样看是有圆锥结的，其实我们从这个图形可以看出啊，我们这个阴影部分，它是一个直角梯形，因为这个地方垂直啊，这里也垂直， 所以呢，这个圆台我们可以看成是一个直角梯形，绕着它的一条腰是垂直于底上下两个底的腰，然后旋转形成的曲面围成的这个图形几何体， 所以可以这样去看啊，那然后呢，就是 关于球的啊，球呢，这个我们比较熟悉，球怎么旋转形成的，它可以看成是一个半圆啊，一个半圆绕着它的直径 所在的直线为旋转轴旋转一周形成的曲面啊，形成的曲面叫球面， 那球面围成的这个旋转体呢？简称球，叫球体，也就说呢，现在我们研究的这些几何体都是包括内部的部分啊，那它外边那个面呢？我们叫它的表面 好了，那其中这个旋转轴，刚才我们说了它是半圆的直径，那我们以后呢，也就也把它叫球的直径。 那球呢和参考圆，它肯定也是有那么一个性质，就是球上的任何一点到球心的距离都是相等的，那都是半径 过球心的一条直线与球交于两点，那这两点之间的线段呢？我们叫它叫直径，所以这是它的相关点， 而对于球来说呢，这个首先我们要注意，它不止一条轴，所有过 这个球心的直线其实都是它的旋转轴。再一个呢，我们除了把它看成是这个半圆， 也可以看成是一个圆绕着它的啊，那个直径所在的直线旋转半轴啊，就可以形成一个球面。好，这是球的主要几何特征。 好了，那关于球这个地方呢，也是它的结面的问题，凡是过球心的结面，我们看有一面去过球心结，这个球肯定隔出一个圆来，隔出一个圆来，这个圆呢，是 这个所有能够用平面去割这个球得到圆中最大的圆啊，所以呢，我们把一般把这个这个圆叫大圆 啊，这是一个数学概念，并不是说它比较大，也叫大圆，大圆必须是过球心的一面圆， 那比如说这个地方，我有一个平行于刚才这个大圆的结面，去结了这么一个这个圆呢，我们就得叫小圆啊，这些概念呢，大家了解一下。 好，然后呢，就是关于一些简单的组合体的定义啊，就是由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体。简单组合体呢，我们经常也是考试的重点， 它可以看成是由几何体拼接而成，那当然还有一种呢，是挖取或截取一个部分而形成。比如说，呃，你像大家刚才前面看到的一个直角三也行， 绕着它的直角边旋转形成一个圆锥，那么这个绕着直角边形成形成一个圆锥，那如果是绕着它的斜边呢啊，比如说我们把这个直角三角形这样画， 那么这时候如果绕着它的这个斜边旋转，那它应该生成一个什么图形呢？ 那根据我们在前面学习的知识知道，如果这条线垂直于这个轴，那么他就旋转形成了一个底面，那这里呢，我们可以通过这个点做垂线， 所以这时候他这里就形成了一个啊圆，那当然这个地方 连线以后就可以看出他形成的。对，那这个呢，我们就可以叫简单的组合体，是由两个底面相同的圆锥构成的 啊，那么这样的图形呢，也是经常考察的啊， 好，这就是关于组合体的定义，好，这一刻的定义呢，大家要注意旋转体主要把握住它的旋转轴以及和轴垂直的直线，不垂直直线旋转，如何旋转形成一个面 啊，这是关键。那并且呢把握住这些我们就知道了，里边很多几何元素的位置关系就可以运用到解体中啊，这一点呢，我们通过后边讲解细节的时候可以再体现。

今天的数学分享我来演，今天要分享的数学题，也就是我们上一节数学分享的约定，就是那个来自哭爹喊娘一堆人说恶心的武汉三条的数学题，例题、几何大题。 在开讲之前让我先哈哈哈笑几秒钟，因为这道题真让我找到了乐趣，说实话，很对我的偏爱。 这份题的出题老头真的很有想法和构思，出这份题是真上心了，有些提出的就是好，用李云龙粗话就是，他娘的出的真好，你能在做的过程中感受到出题人的，那真的尊重我们，在出题这一块给我们花心思了。 其实事后做完，我真的很想把我做当时这道题时旅程拍下来的，可惜环境不允许，不满足啊，那种心理活动和状态很难遇到。好了，不给大家扯废话了，我们言归正传，正式开启对这道题的讲解。 首先，我在看到这道题，第一问跟许多人的心力差不多，这怎么不是考证明垂直或平行了？这是要作妖。但是我在看了第二问第三问，我发现只要第一问做出来了，第二问和第三问，那不就是也出来了？ 第一问求 m n， 第二问虽然问的是 p a b c 的 体积，但那图形很明显，共角又共高，这两个三棱锥的棱长成比例，也就是把求 p a b c 转化到 p a m n， 只要求出 p a m n 这个题就解决了，而 p a m n 不 就是我们第一问的旅程？ 第三题问的是直线 b c 与平面 piap 乘角的正弦值，这 b c 是 已知的，言外之意，只需要求 c 点到平面 piap 的 距离就可以，至于怎么求距离， 真的有点让我哭笑不得了，这不就是我前一节分享那道高考数学立体几何的思维，等体积转化 到这，这道题的整体思路就是这么醍醐灌顶，任督二脉全部打通，我们的思路非常清晰，把第一问解决了，这个题就不费吹灰之力解决了， 我们的核心就是第一问了，那么这个题第一问到底会不会上难度？但是当我把已知条件看了一遍，在图上标了一下，我笑了，这个题思维上没设难度，它考察的是计算， 因为你在根据已知条件标完之后，我们会发现，它给了我们圆满的三角形的三条边，一个三角形三条边都给了我们， 我们发现又不是勾股数，那排除了勾股，就只剩下最后一种可能了，他要考察啥？不用说了吧，绝对是余弦定力了。 所以这三个圆满的三角形 a、 p b， 三角形 a、 p c， 三角形 a、 b c。 利用这三个三角形给出的各自完整的三边，利用余弦定力，求余弦开始倒腾 m n。 到这儿，第一题的思路我们也是非常清晰，剩下的就只有计算了。 至于解析的完整过程，我在解析那里已经放给大家了，我把每一个环节，每一个图解都单独拉出来了，我相信大家应该没有看不懂的吧，相当于再给大家喂饭了。这一节我就分享到第一问，这因为这个题的核心其实就是第一问， 其他两问我们留到下一节分享。说实话，记上一道填空题，给他点赞后，为这道题也再给这位出这道题的老爷子点个赞，出的是真的好，能感受到他的巧思构想， 我们也不要怪第一问为啥要换套路，考了那么年的垂直和平行，我们应该更反胃了，快吐了。这道题的间隙思路我再用几何方法，其实做完第一问后就已经大概确定了，但是我先用了几何方法先把这道题解决了。间隙法回头再做一遍也会给大家分享。 好了，今天分享就到这，祝大家有所获得。如果能消化吸收，那就是我莫大的荣幸！ say goodbye！

武汉三调这道三角函数真的能把人逼疯，他考的不是单纯的公式计算，而是把几何距离转化为三角函数周期的能力，这也是高考高频踩坑点。看完这条视频以后，三角函数综合题通通秒杀 武汉三调的第十四题。我觉得这道题还是很有含金量的啊，大家把题目读一下啊，一个三角函数的图像告诉你了， a、 b、 c 是 同一个直线上的三点，而且 a、 d 等于 d， b 等于 b， c 要求我们应该等于多少？好，把题目读完。这个题有两个关键点，第一个，你们说这个斐对这个题目有没有任何的影响？斐值决定函数往哪边平移，对我们应该是没有影响的，所以你不妨直接就令这个斐呀 等于零，对这题目一点影响没有。这第一个步骤好，然后我们看一下 a 点跟 d 点他们的横坐标有什么联系，一定要搞清楚啊， 如果你不理解的同学啊，我画一个普通的三 x 你 们就理解了，大家思考一下啊，你比如说 a 点是六分之派，那么 b 点必须是多少，是不是六分之七派？ 如果 a 点是三分之派，你是不是一定要是三分之四派？总之，这个 b 点的横坐标一定要比 a 点的横坐标多几个啊，多半个周期，这个地方非常重要。好，搞清楚以后，我们来看一下啊。周期 t 本来是等于二派除以我们的，我们设 a 点的坐标 x 零 y， 那 么 b 点的坐标 横坐标是多少呢？就是 x 零加上半个周期派除以幂幂港重坐标呢负的外，零啊，为什么呢？因为做个垂线，做垂线，这两个三角形 是全等的，所以重坐标呢，是互为相反数的。 a 点 b 点都已知了，以后我们来看一下如何去求 c 点的坐标。好，我们过 a 点做垂线，过 b 点也做垂线，过 c 点也做垂线。那么大家可以仔细观察一下啊，从这到这 是四分之一个周期，从这到这又是四分之一个周期，从这到这还是四分之一个周期，所以 c 点的横坐标就是 a 点的横坐标，再加上 四分之三个周期，所以呢，是四分之三乘以二派除以我们一个， 然后它的中引坐标呢，你们可以看一下这个长度，是不是这个长度两倍，所以呢，就是负二倍的外零。好， a 点， b 点 c 点都表出来了啊，那么 d 点的坐标是多少呢？我们也把它写出来吧。 d 点坐标呢，就是 x 零，加上四分之一个周期， 逗号零。好，接着呢，我们把 a 点的坐标加上四分之一个周期，逗号零。好，接着呢，我们把 a 点的坐标加上四分之一个周期，逗号零 就等于 y 零啊，要不要加 f 呢？ f 的 零不用管啊。接着呢，我们把这个 b 点的坐标也带到这个三角函数里面，就等于上引 omega 乘以 x 零，加上 omega 分 之 pi 就 等于负的 y 零。然后把 c 点也带进去，就是 omega 乘以 x 零，加上四分之三乘以二 pi 除以 omega 等于负二倍的 y。 好， 这些都知道了，以后啊，我们看一下，这个呢，不用化简了，这个化简你会发现跟上面那个没有区别，为什么呢？ omega 和 omega 约掉 一个 pi 去掉加个负号，所以呢，跟上面这个没有任何区别啊，这个没有用好，这个是有没有什么用呢？我们把它化简一下啊，上 omega x 零，再加上 二分之三，派就等于负二倍的外零，其中二分之三既变偶不变，我们先把它变成扩散我们 x 零，然后到底要不要加符号？符号看象限，你们可以思考一下啊， x 零在这个地方，然后加上 m 三，派到这个地方 上引呢，这个角度一定是负的，而扩展这个是正的，所以一正一负要加个负号，于是就等于负二倍的外零，也就是 cosine omega x 零 就等于二倍的外径。好了，化解，我们得到了这个式和这个式还有什么条件没有用？ a d 的 长度是等于一的，我们看一下， a d 的 长度就等于什么呢？横坐标相减，于是呢，就是 二。我密解，分之派括号的平方纵坐标相减，就是外力的平方等于一，所以呢，我们就给得到派除以二，我密解括号的平方加上外力的平方等于一。要求这个我密解，我是不是把外力给算出来。怎么样算外力呢？ 知道这个式子，还知道这个式子，我们是不是三的平方加 cosine 等于一，所以呢，这个平方加这个平方是等于一的，也就是 y 零的平方加上二倍的 y 零平方等于一，于是呢，我们 y 零的平方 就等于五分之一带到这个里面来，所以呢，我们就会得到 pi 除以二维码括号的平方再加上一个五分之一就等于一，所以 pi 除以二维码的平方就等于五分之四。 好了，于是呢，派除以二五幺一定是个正数五分之二倍的根号五，所以呢，五幺就等于派除以二乘以五分之二倍的根，号五，最后算出来四分之根号五倍的派搞定结束。 所以这道题嘛，我觉得出的还是很不错的啊，你们把派等于零，就可以大大的减少计算量。然后呢， a 点坐标知道重点，算出 b 点坐标， 要知道他们的横坐标的差距是半个周期，这个非常重要。把 a 点 c 点带到这个三角函数里面，得到这个式和这个式子，就给算出外零的平方，外平方算出来就给算出这个。 所以呢，这道题还是一个非常不错的题目啊，大家可以好好体会一下。 ok， 我 们下个视频再见。跟着勇哥跑，数学一定好。

别人都在躺平，而我在偷偷内卷。今天讲的是武汉三鸟。好，我们来看多选啊。首先，第一个九比较简单，就是最基本的概念啊，好种数应该是三，所以 a 不 对，平均数啊，三个四个三，然后呢，三个四， 两个五，再加上一个六，应该是刚好是四十，所以平均数是四十 除以十等于四，正确，极差是三啊，六减三等于三，没问题，中位数四点五，中位数它是两个四之间的，对吧？哎，所以应该是四 不对，选 b c， 哎，这个比较简单。第十个啊，两个立体几何体啊，这个正三能柱这个，这几个都是终点啊，我们就不多管， 我们来看第一个要去看 p q 是 不是平行于平面 abc 的， 哎，没问题啊，去想这个 a 选项的时候，其实可以直观的去想， 想要平行 abc， 你 只需要去确保 p 和 q 它们两个的高度是一样的就行了。那你看 p 到底面的距离和 q 到底面的距离应该都是这个高的一半，对吧？哎，这个就行了啊，当然，如果你要从平平面的 哎线面平判定定理的角度，你去去想也行。我只要把 ab 的 中点 p 撇取出来，你就会发现，哎， p q 是 平行于 pc 的， 哎， p 撇 c， 这就推出来了， p q 平行于平面 a b c 啊，这个是 a 选项正确。好， b 选项 m n 垂直于 b c。 哎，这个思路上呢，有两个啊。第一个，如果你把它看成一个平面问题，我就在三角形 m b c 里面去处理，哎，这个就行了，其实反而不太用到太多立体几何 知识啊，哎，如果你想去证明 m n 垂直于 bc， 你 只需要去看 b m 的 长度和 c m 的 长度相等就行了啊。哎，因为这个相当于是等腰三角形三线合一， 等价于 b m 等于 c m 啊，这个也是我在实况里的做法啊。哎，这个直接就能看出来了，你会发现 b m 的 长度应该是什么呢？应该是这个 h 的 平方再加上这个的平方，对吧？哎， 好，那这个是什么呢？如果我把这个当高是 h， 里面半径是 a， 你 这条边中点，它应该是二分之根号三 a， 对 吧？ 所以它是四分之三 a 方了。好， c m 方应该是什么呢？ c m 方，这个是 h， 这个是二分之一。哦，它是 h 方， 再加上四分之一，所以他不对了就行了啊。好，那第二个方法呢？我们从呃，利益几何的角度去想，我想去证明他和他垂直，有没有跟他们相关的其他的垂直呢？有，因为我的棱柱 bc 一定和这个边垂直啊，所以我可以把它的中点一个取出来。 q 撇， 所以我现在已知的是什么呢？已知的是 n q 撇，它是垂直于 bc 的， 对吧？所以，哦，那我就懂了，如果你 m n 还垂直于 bc， 这个其实和谁等价呀？和 bc 垂直于平面， m n q 撇 是等价的啊。好，那 m q 撇这个平面在哪呢？其实是在这个平面，对吧？哎，那你会发现这个平面肯定不和它垂直。为什么？因为 m q 撇和 ab m q 撇这条线和 b c 的 加角它应该是多少度啊？其实是六十度 矛盾，对吧？ m q 撇 b c 加角 六十度啊，就不行了啊。哎，所以你看咱们立体几何问题处理的时候，还是有平面几何的思路的时候，直接用平面几何思路就可以了啊。 好， c 选项， p q 垂直于 ab 垂直这个面，这个没有问题啊，因为 p q 它这条线其实在哪在哪呢？哎，我，因为它是对角线的重点啊， 我把它在的那条，咱们在 a 选项里面不是正完了平行吗？你把 p q 所在的那个平面你也给画出来，这个图形就特别清楚了啊，好， 差不多在这，对吧？嗯，哎，它在这个面上啊。好，好， 它如果在这个面上呢，你会发现啊，那我的 p q 至少和这条红线是垂直的，对吧？我给他记总 l 啊， p q 是 垂直于 l 的。 好，那 p q 还垂直于谁呢？因为你都落到这条平行于底面的平面了，它肯定也垂直于这个高，对不对？ 哦，那这样的话，我就退出来了，它又平行又垂直于 b b， 一 又垂直于 l， 所以 说 p q 就 垂直于平面 a a a b b 就 行了啊，正确。好，四 d 选项， p q 和 m n 相交，这个是相对有一些难度的啊，是我们要去判断四个点，四个点的关系啊。去判断相交，其实就是去判断什么呢？就是去判断 这四个点是否是有这个共面关系的啊。好，那想要去判断共面关系，也是两个思路，那怎样才能确定共面呢？要不然是他们这四条线应该是有平行关系，要不然是有相交关系。显然啊，在这道题里面的相交只能是 m n 和 p q 是 有相交关系的啊。那你想要去找这个相交关系，也只能是把这个平面给还原出来啊。那还原这个平面本质上就是在干嘛？就是去在找截面， 相当于比如说你从中选三个点，我去看 m、 n、 q， 它去截这个正三棱柱得到的那个平面哈，它这个截出来，那个平面过不过这个 p 就 行， 行了，对吧？哎，好，那在这呢，我们去找谁比较好呢？哎，我们在找结面的时候，你看做法也是啊，你要不然去用相交线去找结面，你要不然用平行线去找结面，这里面有没有比较好的线啊？有，你看 m q 是 一个落在底面的线，对不对？ 包括 mp， 你 稍微折腾折腾应该也还行。哎，行了，所以我在这就选择至少把 m q 都带上啊，还带一个谁呢？ 哎，还可以带 n， 对 吧？哎，你可以把 m， n、 q 这三个点都带上啊，它们仨都是在这个平面里面的， 好了，带谁呢？在这我 m q 肯定都选啊，选 n 还是选 p 呢？你可以至少先把 p 选上啊，因为 a 在 这个底面还挺好的，我 至少先利用这个屁，你看我这么做，我看把这个结面找出来，我看它过不过 n， 哎，就行了啊，如果这样是过 n 的， 它们共面了啊，那它就肯定相交了，对吧？哎，好，所以这就变成了还是一个共面的题啊。 好，四 d 选项，我们单独拎出来画好，那两个选，我们思路出来了，第一个，我先去看 m q 啊， m q， 那 m q 怎么交呢？哎，它肯定直接这么交出来一个点，对吧？好，这是 d 啊，哎，首先因为你作为中点，所以 c d， 哎，这个就应该是二分之一 a， 对 吧？ 相当于你做了一个非常中中线啊，它是交 a， c 于 d 的 c， d 的 二分之一 a， 这是第一件事。第二个，好了，稍微麻烦一点的，这个 m p 怎么教啊？好，那我需要落在哪呢？我需要去看它落在这个底面到底在哪，对吧？哎，其实你去找这个面，如果你觉得有点难找，你就把 m p 或者说这条线在的那个比 好的平面比较找出来，找出来就行了啊，哪个平面比较好，你就看他到底是在这个垂直于底面的那个，他是在哪个垂直于底面的平面就行了啊。哎，他应该是在这个平面上，对吧？所以在这呢，我把它给标出来， 把这条线给画画长延长画出去，这样哦，你看我在这又取得一个空点，相当于懂了。 mp 是 在这个平面上的啊，那我再延长出来就清楚多了啊。哎， 再延长出来他应该也还在这个平面上，对吧？然后我这么出一个焦点，因为你看这个作为中点，所以你都是在背长中线啊，所以你落到底面上的那个点是一点在这啊，然后一点应该满足什么呢？嗯， 这是 f 啊， mp 我是 取 a c 中点 f， 这样的话，然后呢， mp 交底面于 e e p 撇 f 贡献啊，为什么贡献？因为其实这个和这个都是二分之一边长，对吧？啊，那你我从这延长出二分之一边长来，肯定是这样贡献的啊。好了，那现在我们就看看底面这个 e、 n、 d 三个点是不是贡献的就行了，对吧？好，第三步 啊， e n d 是 不是贡献的，我把这个图他们在的那个图给还原出来就行了啊，好，是这样的，对吧？ 哎，首先呢，怎么这个 d 我是 这延长了一半出来，对吧？然后 b 我是 这么延长的，这是终点 f 屁撇，对吧？哎，我想去看这三个点，哎，或者说 e d 和 bc 的 交点是不是终点呢？当然是终点了，对吧？哎，为什么呢？因为 f c 等于 c d， 同时我的 e f 是 平行于 bc 的， 对吧？哎，所以 e d 交 bc 于 n， 哎，所以 e n d 共线证明了啊，哎，所以它们应该是点后面的 就出来了啊，所以四点共面，本质上你还是一个去找结面的问题啊，然后你每一个这个怎么找，都是去把它放到这样比较好的平面里面，它一点点就传过去了啊。好，当然你会发现我在实况里面其实不是这么做的啊，哎，我实况里面，哎，这，这个找共面的方法是一个通法 啊，哎，所以在这我还是带着大家复习一下，那稍微快一点的方法是什么呢？哎，你就是去看，因为我的 m n 是 这么穿过去的，对不对？而 p q 我 们刚才说了，它是在于 中间这个拦腰截断的平面上，我就看 m n 和这个拦腰截断的平面那个焦点在不在 p q 这条线上就行了，怎么去想，哎，你就去想俯视图就行了。 好，首先第一个，我 m 点在这儿，对吧？这是俯视图， m 点应该是在这个左边啊，好， n 点在哪呢？ n 点在这，哎，那你看啊，我这么穿过去的过程中，因为我这个 m 是 最上面的面， n 是 下面的面， 而 p q 这条线是在中间这个面，对不对？那我们想一想 m n 和中间这个面的交点，如果你从俯视图上看， m n 和中间面的交点 应该在哪呢？哎，应该是 m n 中点，对吧？ 俯视图啊， 哎，因为你刚好是中间面嘛，对吧？哎，所以我就懂了 m n 和中间面的那个交点 r 应该在哪呢？应该在 m n 的 中点上，对吧？ 好了，那你看，如果你是在 m n 中点上，它在不在 p q 啊？在啊，对不对？ q 在 这儿， p 在 这儿啊，我的 p 刚好是这个中点，你的中 m n 的 中点 r 在 不在 p q 上？在呀，哎，好， r 在 p q 上， ok， 所以 m n p q 相交， 哎，就搞定了，不行了啊。好，这个俯视图是最快的方法啊，我们来看十一。好， 我们来看十一题啊，十一题，这个我实况里面做错了啊，所以我重点讲一下，做错了，我关键错在了这个 c 选项啊，它应该是错的，正确答案应该是 a d。 我 们来看啊，首先我， 我们拿到一个分段函数，我其实都是建议大家咱们从函数的这个框架去思考问题啊，一定尽可能从直观的角度去思考，因为我们知道你去表示函数的时候，就是两种大思路，一种是几何表示，一种是代数表示。代数表示他已经给你了，那相对的，你想直接 在对他有一个直接的体会，就是把他的图像给画出来啊，所以在这我们先把前几个把把，比如说前几段上他的图像都先拎出来看一看啊。哎，那我们在这我就先不写，我先还是这个 都是做实验的阶段啊，我们一个个来看，第一个 n 等于一的时候，也就是零小于 x 小 于等于一的时候，我的 f x 就 变成了 x 乘上 x 减一， 对吧？ x 乘上 x 减一啊，那我就懂了，它这个应该是一个开口向上的二次函数过零 过一，对吧？这样子啊，这是第一个。好，那 n 等于二的时候，就是一小于 x 小 于等于二，那我的 f x 就是 x 减一 乘剩 x 减二的平方，是这样子，对吧？哎，这回变成了一个三次函数啊，好，这个三次函数它应该有什么特点呢？注意，这一项是正的，对吧？ 啊，这一项是负的啊，所以它大概应该是朝上的这么一个位置， 哎，应该是这样的，哎，这一项也是正的，对不起，哎，它应该也是在上边，对吧？ 是这样啊，好，再看 n 等于三的时候，也就是二小于 x 小 于等于三的时候，我就会了啊，我就一个个往下写，减一变减二， 然后减三变成三次方，那这回这个还是正的，但是这就变负了，对不对啊？所以它这一项 x 减 n 加一，这一项永远是正的，而 x 减 n 的 n 次方这一项会因为 n 的 奇偶而改变，像这样正负负正交替变化，对吧？然后第三个是这样， 就之类的吧，我就大概画一个就行了啊，下一个就这样， 所以它大概图像上是这样啊。那这样的话，我能不能判断出 a 选项的正确与否呢？哎， a 选项肯定是对的啊， f x 乘上 f x 加一小于等于零，因为它在每一段上都是这样，负正负正，你 x 和 x 加一，必然在分别的两段，对不对？ 比如说 x 如果在这， x 加一就在这，那就是一负一正，或者有可能是一正一负，但无论哪种情况都是小于等于零的啊，所以 a 选项正确。好，再来看 b 选项， f x 在 t 到二 t 内恰有两个零点啊，我知道 f x 的 所有零点应该是谁呢？哎，就是这些 一二三四这些正整数，对吧？哎，因为它这个这个点是个空心圈， 这个点是个空心圈，其他都是实心的。好，那这样的话，我就问你， t 到二 t 内恰含有两个零点的时候， t 的 取值范围对不对 啊？这个其实很像哪种题啊？很像咱们之前三角函数那种欧米伽的取值范围的题目，思路是完全一样的啊。首先第一个，我们先把它等价的给翻译好啊，那你想让它 t 在 二 t 内恰好有两个交点，说明什么呢？只有两个零点， 至少我包含了两个正等数进去，同时它不能包含更多了，对吧？哎， 所以这是第一个啊，它一定等价于我的 n， 要满足这个不等式。好，第二个，我们把它来解出来啊。首先上面这个 n 减一小于等于 t 小 于 n 没问题，下面这个应该是 t 小 于等于二分之 n 加二， 同时又要大于二分之 n 加一，只有我找到正确的 n， 使得他们两个有交集才行啊。好了，那他们两个如果有交集，你要去怎么找呢？哎，你就去找他， 我得满足什么？哎，我得满足你，这个最大的一定得介于这个二分之 n 加二，得比 n 减一要大才行，同时这个 n 又得比二分之加一要大，对吧？哎，这样他才有焦点才能有焦点，对吧？有减啊， n 减一啊，这是小于等小于等于二分之二加。然后呢，二分之二加一 又得小于 n， 对 吧？好了，这个我解出来 n 应该是小于等于四，这个解出来呢， n 大 于一， 哎，这样的话只能是一小于 n 小 于等于四，对吧？哎，所以 n 应该是等于二三四三种情况啊，那我们分别来看，解出来了， n 等于二的时候应该是什么呢？应该是一小于等于 t 小 于二，这边是二分之三 小于 t 小 于等于二，对吧？哎，那这样的话， ok， 没问题，那就是二分之三小于 t 小 于二，这是第一个解。好， n 等于三的时候，就应该是二小于等于 t 小 于三，然后呢？这个是二小于 t 小 于等于二分之五。哎，这个解出来应该是二小于 t 小 于等于二分之五，对吧？好， n 等于四， n 等于四的时候，应该是三小于等于 t 小 于四，然后是二分之五小于 t 小 于等于三，哎， t 等于三，所以 t 真实的取值范围应该是二分之三到二并上二到二分之五并上三才行啊。 哎，所以 b 选项应该不对啊。好，那你会发现其实最明显的错误应该在哪呢？这个二它不对，对吧？你看 t 等于二的时候，这个区间是二四，它刚好只有三一个，所以 二，但是他去这个题干里面说二，再取之范围里边，那就肯定不对了啊。好，这 b 选项不对，再来看 c 选项啊， c 选项是关键，它其实也是错的。为什么我们来看要去看 f x 总比 e 的 负 x 去要小，其实你就去抓谁就行了，你就去抓他在每一段上这个最大之点就行 啊。哎，你也不用刻意去分奇偶，因为你看这每一个这个，呃，每一段上至少有一半啊，基数，这第二段，第四段、第六段，他们都会是正的啊，我就去看这些最大指点，他到底应该长成什么样，他和 n 的 关系是什么啊？好，那我们来看第一个，我的 f x， 它是 x 减 n 加一再乘上 x 减 n 的 n 次方。好，那这样的话，它的导数就应该是什么呢？这应该是 x 减 n 的 n 次方， 再加上 n 倍的 x 减 n 加一，再乘上 x 减 n 的 n 减一次方，等于什么呢？哎，等于 x 减 n 的 n 减一次方，乘上 x 减 n 再加上 n， x 减 n 方加 n 啊。哎，那就是 x 减 n， n 减一次方， n 加一倍的 x 减 n 方啊。哦，那我就懂了，它在每一段上那个极值点 x n 应该是谁呢？应该是 n 加一分之 n 方啊。好，如果是 n 加一分之 n 方，代入 f x n 啊，我们就算它的绝对值就行了啊，因为，呃，我也不区分基友了，像咱们刚才解释的，那这个就是 n 加一分之 n 方 减 n 加一乘上这个 n 加一分之 n 方减 n 的 n 次方啊，好，第一个你会发现刚好就变成 n 加一分之一。第二个变成了什么呢？变成了 n 加一分之这个 n 方 减 n 方减 n， 它的 n 次方啊。哎，那就是 n 加一分之一乘上 n 加一分之 n 的 n 次方啊。哎，你看它整理好，其实是 n 的 n 次方， 比上 n 加一的 n 加一次方这么一个形式。哦，那我就懂了，如果是这样的一个式子，我去看它到底长得像谁就行了啊。 好，这是这道题的难点啊。哎，我当时在算的时候我算错了，我算成 n 的 n 次方分之一了，所以我以为它是可以的啊。我们来看这个东西长得像谁。哎，这个东西，如果你很敏感的发现，这里面其实有一个 e 在 里面啊，但是大家可能对 e 的 这个定义，或者说这个定义不太熟悉，没关系，我给大家写一下啊，我们把它记作 就这个东西啊。好，那它等于什么呢？我把这个 n 加一分之一给单独拎出来啊，它这不是 n 的 n 次方除以 n 加一的 n 次方吗？哎，它其实应该是 n 加一分之一乘上一加上 n 分 之一的 n 次方。分之一，这么一个东西啊， 这个东西当 n 趋近于正无穷的时候，它刚好就会变成 e。 为什么？在这？我给大家简单解释一下。好，为什么呢？哎，我这么写啊， g n 如果是一加 n 分 之一的 n 次方。好，那你看，我对它取倒数啊，取对数啊， 他变成了什么呢？哎，变成了 n 分 之一乘上 l 一 加上 n 分 之一，对吧？哎，那你看啊，我当 n 分 这个 n 特别大的时候呢，这个 n 分 之一会是一个趋近于零的东西，对吧？哎，所以其实他问的是啥？ n 倍 n 分 之一会趋近于零啊？我把它这么写，它其实是 n 分 之一乘上绕一加上 n 分 之一，对不对？哎，那你看，我把这个整体当做一个新的东西啊，咱们就 x 吧，或者是 z 啊。好，你看，当 n 趋于正无穷时， 我的 z 会趋近于零。哦，那这样的话，我的 g n， 它会变成 z 分 之 long， 一 加 z， 它会趋近于谁啊？它会趋近于一啊。 long 一 加 z 为什么会趋近于 z？ 我 用一个事儿给大家解释清楚，你去看这个 long 一 加 z， 它在 z 等于零处切线方程 就行了啊。哎，好，它的导数应该是一加 z 分 之一，所以它在零处的导数是一啊，所以 y 等于 long， 一 加 z， 它在 z 等于零处 切线方程就是 y 等于 z。 哦，那你看我这儿画这个轴，你一下就懂了，老 e 加 z 啊，它的图像应该是这样的，对吧？ 嗯，这是 z 轴的啊，行，好。哎，切线刚好是 y 等于 x 相线 啊，在这相切了。所以你看，当我再去零的时候，他们俩差不多就是一样的啊，所以这个东西极限最终会走到一，其实他和咱们在导数里面学的那个放缩是一样的啊，是一个，是一个事， 咱们在导数里面学的那个放缩是这个，对吧？哎，所以我就知道了， g n 它最终会趋近于一啊，这是关键，这是第一个，第二个。好了，那如果 g n l n g n 在 n 特别大的时候，它会趋近于一，说明什么？说明当 n 特别大时， 我的 g n 会趋近于谁啊？哎， g n 就 会趋近于 e 啊，那我就懂了，你看我的 f x n， 它的绝对值应该是什么呢？它应该是 n 加一 分之这个 g n， 对 吧？哎，它会差不多是谁啊？它就是差不多是一分之一倍的 n 加一分之一这么一个式子，对吧？ 哎，好了，如果是一分之一倍的 n 加一分之一，这我就懂了啊，我在 d n 段上啊，在 d n 段上，在 x 属于 n 减一到 n 时，你看我的 f x n 的 最大值， 哎，它应该是小于差不多是一分之一的 n 加一分之一的，所以你看啊，我 n 减一和 n 上，它是 n 加一分之一，换句话说，我这个最大值是一个差不多，是个什么函数啊？差不多是一个反比例函数，对不对？ 好，我在这简单把这个图给大家画一下，大家就明白这个感觉了啊， 我这不是都取绝对值翻上去了吗，对吧？ 一二三四啊，所以你看我在第一段上的时候，他最大值也就不超过二分之一，对吧？ 哎，差不多是这个啊，那这个我就这么画了，然后呢？第三段是变成一分之一的三分之一，然后是这样子，我画高一点啊， 哎，它这个最大值点，它差不多是一个什么函数图像呢？哎，这个差不多是一个反比例函数啊， 差不多是这样一个东西。好了，那你看它最大值点总是一个反比例函数图像，那我的我要的是 f x 小 于负 a 的 e x 次方就肯定不行了啊， 因为我的指数函数最终它一定会掉下来的啊，它一定会比你这个 x 加一分之一小，当 x 去正无穷式，对不对？ 哎，因为我的指数函数衰减比你的密函数衰减要特别快，或者反过来，我要知道啊，我是指数函数，你的增长 是远大于 e 的 x x 加 e 次方，这个咱们反复说的啊，所以你在缩贪取倒数贪缩的时候，你是贪缩的也远比它快的，哎，就行了啊，好， 这样的话 c 选项就不对了啊，哎，关键就在于看出我 g n f n 的 这个极限行为就是差不多是这么一个反比例函数 啊。好，在这我也特意，这个我也说一下啊， c 选项这个事，我如果大家没有顺利的判断出来，没关系啊，只要大家能理解这个这个部分 啊，这是我在在这给大家讲清楚我讲的这个方法，大家需要吸收或者说需要理解的是什么东西啊？ 第一个就是 log 一 加 z 的 绝对 log， 一 加 z 小 于等于 z 以及这个切线方程，这个是大家一定要知道的啊。哎，这是第一件事，第二件事就是当 当你知道了他的极限行为差不多是一个反比例函数的时候，你要能够在考试中判断出来，指数函数衰减是比反比例函数要快的，这两件事就行就行了啊。我在这给大家明确一下，要会的， 要会的啊。第一个， log y 等于 log y， 一 加 x 和 y 等于 x 之间的这个关系要会，它永远在它的下方，同时这是一个切线，这个是你要会的啊。第二个，我的指数函数衰减远比 反比例函数要快，这个要会。这两件事如果你会了，那这道题你需要提炼出来，或者说需要学会的东西就够了啊。那至于考场上你能不能像这样给他，呃，能不能知道这个再看出来，我个人认为是没必要的啊，或者说对一百四以上的同学咱们再去追求，哎，你也理解这个极限为什么是他啊？ 对于其他的同学啊，那咱们没事就这样就行了啊。好，这个是 b 选项， c 选项啊，再来看四 d 选项，你看我把 b c 排掉之后呢？四 d 选项肯定就对了啊，那四 d 选项其实跟谁是一样的，跟 b 选项做法完全一样啊。二 t 减四 t 加一，我在这给大家简单写一下。一个是， 呃，还是我们去像在做二 b 选项的时候去解这个不等式啊，但是因为我的 x n 咱们刚才算了比较复杂，就不太好解了，那我可以试着把它们具体是多少我都写出来，我不再去解了啊， 我不再去解这个抽象的 n， 我 就分情况，一个一个把它们都写出来啊。好，我的 x n 是 n 加一分之 n 方，这会我的 t 是 在二到五，然后二 t 减四， t 加一，对吧？ 是在这个区间啊，好，那我们看看啊，因为你 t 是 小于五的，所以我 t 加一应该比六小啊，所以我把所有比六小的这些基值点就写出来就行了啊，那他们有谁呢？我把 n 等于零带进去，首先零，是啊，但是零他取不到啊， 或者说函数这零是取不到。好，然后呢？一带进去应该是二分之一，然后是三分之四， 四分之九，五分之十六，六分之二十五，七分之三十六，这几个就写出来了啊。好，第一个， 哎，那我们如果想让你二 t 减四到 t 加一之间有两个，说明什么呢？哎，说明你要不然是这么包含两个，对吧？要不然是这样子， 要不然是这样子，要不然是这样子，要不然是这样子，对吧？哎，那我们就一个个来写啊。第一个，我的左端点二 t 减四大于等于零，小于二分之一时，也就是二小于等于 t 小于四分之九十，我的右端点得在这，对吧？应该是三分之四小于 t 加一 小于等于四分之九啊，那就是 t 小 于等于四分之五大于三分之一。哎，这个没交点，为什么？因为你看啊，这已经比二大了，结果这你只比四分之五小，不行，不要了啊， 这第一个，第二个，那我二 t 减四，再往前走一格，你比二分之一大，但是比三分之四小时，那就是四分之九小于等于 t 小 于三分之八十啊，那这样的话，从这个下一个蹦到哪了呢？蹦到四分之九了啊， 四分之九小于 t 加一小于等于五分之十六，这样的话应该是四分之五 小于 t 小 于点五分之十一啊，这个也不行，为什么？因为我的四分之十九，四分之九比五分之十一要大，对吧？ 四分之九是二点二五大于五分之十一等于二点二啊，所以这个也不行，你俩也没交集啊？第三个，嗯，三分之四 小于等于二， t 减四小于四分之九十， ok， 那 这样的话，三分之八小于等于 t 小 于 八分之二十五，对吧？好，那就是 我再往前走一格，五分之十六小于等于 t 加一小于二六分之二十五，嗯，那这样的话就是五分之十一小于等于 t 小 于六分之十九了，哎，这样的话太好了，有交集啊，就应该是三分之八小于 t 小 于六分之十九，没问题，这样的话，我把哪个算出来了呢？我把这个算出来了，对吧？ 啊，对，八分之二十五啊，对不起，写错了，哎，因为八分之二十五是 三加八分之一，他比六分之十九是三加六分之一要小，对吧？好，这是第三个啊，第四个我就不写了，还是对的啊。然后后面第五个，第六个啊，一一二三四，第五个就不对了， 哎，第五个，第四个解出来，应该是这个，就这个解，对吧？是六分之九到六分之十九到五分之十八 就行了啊，所以选 a、 d 啊，那这样一个个你把它解出来就行了啊，考试的时候呢，也是我 b c 排调 a d 一 选就行了啊。好，我们来看天空，同学们今天的课就到这了，赶紧趁热拿铁把它 消化吸收，下节课我可是给大家准。

这道武汉三调立体几何题考哭学生，本质竟然是解三角形！习惯了间歇，用间歇思维还真的容易被困住。这道题对二轮学生的思维拓展很有帮助，看完记得双击加关注！

我们看今年武汉三调的一个填空题，关于三角函数的，这个题出的比较灵活哈，下面我们看看解这道题都用到了哪些知识点。 说是函数 f x 等于 c 欧米克， x 加 f 欧米克是大于零的一条直线，与这个函数有三个焦点 abc， 并且这个直线呢，与这个 x 轴交于点 d， a， d 等于 db， 等于 bc 等于一让求的是欧米伽的值。对这类题只给出图像上的点，没有给出点的坐标 啊，给出了有相应的关系式，一般情况下，我们要设出它们的坐标，根据这个关系式建立一定的联系，求出相应的参数，或者是相应的坐标，这是一般的思路。 这个题有个简易的算法哈，我们可以观察一下，这个 d 是 ab 的 中点，并且呢 d 在 x 轴上， 也就是说 ab 两点，关于点 d 成中心对称， ab 两点呢，又在这个正弦型函数的这个图像上，又关于点 d 对 称，那么就由 ab 的 水平距离正好是这个正弦型函数的半个周期。能看出这一点， 这个题就简单多了哈。 f， x 的 周期是 t 等于 omega 分 之二 pi， ab 的 两点间的水平距离啊，这里我标的是 e， f 就 等于 omega 分 之 pi 半个周期吗？ 我们设 a 点的坐标是 x 零 m， a， d， b， c 这几个点的横坐标一次相差二分之一的 omega 分 子派，这个二分之一的 omega 分 子派，也就是这个 f， x 的 四分之一周期。于是我们把 d， b， c 三点的横坐标 啊写出来，他们的纵坐标呢？由于 a， 我 们设的是纵坐标，就是负 m， a， b 对 称的呀。 c 点的 纵坐标是负二 m， 这个负二 m 是 根据线段成比例得来的哈，点 c 又在 x 轴的下方啊，所以是负二 m。 相应的坐标射出之后，下面就是把坐标带入到解析式当中，这里是带的 a 点和 c 点， d 点是在 x 轴上，不在 f x 上啊，不用带 b 点呢，与 a 点带入之后是一样的，所以我选的是 a 点和 c 点，两点带入之后分别得到两个式子， c 点代入之后要应用到诱导公式，我们化简之后是得到 cosine omega x 零加 f 等于二 m， a 点代入之后是 c in omega x 零加 f 等于 m。 我 们根据同角三角函数的性质， c 平方加 cosine 方等于一， 于是我们可以把 m 求出来， m 方等于五分之一。最后呢，就是根据勾股定律做一个简单的运算，三角形 a， e， d 是 一个直角三角形啊， a d 又等于一， e， d 又等于二。 omega 分 之派，上面我们说了 e d 正好是 f x 的 四分之一周期，所以说是二分之一的 omega 分 之派。经过计算， omega 等于四分之根号五派。 这个题还有另外一种解法，计算起来比较复杂一点，就是没有看出 ab 的 水平距离正好是 f x 的 半个周期。我们根据 abbc 这几个点 依次相差相同的距离，我们可以把这个相同的距离设成一个参数，再设出来相应的坐标，把这些坐标带入到解析式当中， 利用三角函数的运算求出这一个参数。运算起来有点复杂，但是同样可以求出这个参数是正好等于四分之一的周期。后面运算啊，都一样了哈，这是一种通常的做法，你可以自己做一下，练一练自己的运算能力。

看这越复杂的题目，其实越简单。武汉三调第八题，选对变量就能秒杀！面对多变量的谜局，核心在于化繁为简，寻找那个最本质的单一变量。我们先通过设点，将数量机转化为关于 y n 的 表达式。真正的转折点来了，如何处理角度直接硬算余弦值会陷入距离公式的泥潭。此时面积法就是降维打击，结合数量技巧取于切值。 聪明的你发现数列边竟然可以直接用 t n 表示，既然公差相同，直接作差，答案瞬间浮出水面，跳过余弦定里，锁定余切转化，这才是本题的最优解。

大家好，这里是龙虎七队因为过年放假延期的武汉二调，今天下午刚刚考完这套试卷，依然延续着武汉二调的高质量。同时有些题目难度较大，纯送分的题目并不是很多， 尤其是十六题，例题几何本来应该是一道送分题的位置，却在考场上，非常容易影响考生的心态。下面咱们主题讲解。 第一题，集合集合 a 是 x 方减三， x 减四小于等于零，那显然它应该是负一。 集合 b x 属于整数， x 减一的绝对值大于等于二，那应该是或 x 小 于等于负一。此时我们取交集，注意，集合 b 中是整数，因此取交集。答案选 c。 第二题，负数 z 的 实部与虚部相等，则 a 的 值为。这个没啥说的，我们上下同乘以分母的公和负数， 下面一减四 a 方五，上面是 a 加二， a， i 加 i 再加二， a 方，也即减二 分母五。我们不用管它，我们只需要让上面的 a 减二等于二， a 加一即可。这样解得 a 等于负三，答案选 a。 第三题既半径为 r 的 球体表面积和体积分别为 s 一 v 一。 一个圆锥底面半径也是 r， 表面积即为 s 二、 v 二，如果它们的表面积相等，则 v 一 比 v 二等于几。对于这类问题，我们不管 r 是 多少，最后肯定可以消掉。所以这里为了简化计算，我们不妨 不妨就取二等于一。此时 s 一 等于四， pi 球的表面积四 pi 二方 v 一 等于三分之四 pi 二的三次方 s 二圆锥的表面积应该等于底面积加上侧面积，底面积就是 pi 二方，也就是 pi 侧面积是 pi r l 对 吧？ pi r l 它等于 s 一， 因此我们可以得知 l 等于三。那简单画一个圆锥的结面， 这是一，这是三，自然高是二倍。根号二，所以 v 二等于三分之一， pi 二的平方再乘以二倍，根号二，也即三分之。 所以 v 一 比 v 二等于三分之四， pi 乘以 将派约掉以后答案是根号二。 前三道题，第一题跟第二题属于常见的送分题，但即使如此，也比上周讲的深圳一模前两道题计算量要略微大一些。第三题在 一般的考试，或者说在高考当中，在现在的新高考中，已经是出现在第五或第六题的位置。 第四题， a cosine b 减 b cosine a 等于五分之三 c。 那 正常的想法应该是把 abc 都换成角 sine a cosine b 减去 sine b cosine a 等于五分之三 sine c。 此时如果右边依然保持 sin c， 我 们其实得不到什么关系。这里左边出现了 a 跟 b， 因此把 sin c 写成 sin a 加 b 再展开，应该是一个比较自然的想法。等于五分之三。 此处我们两边一项，然后合并同类项，看一下是什么情况。五分之二散 a 括号散 b 等于五分之八。 call 散 a 散 b。 我 们要求的是贪婪的 a 除以贪婪的 b。 应该可以发现，如果我现在把右边这个除到左边，左边是不是就是贪婪的 a 比贪婪的 b 啊？因此散 a 和散 b 除以 等于四，而它就是贪婪的 a 除以贪婪的 b。 答案，选 c。 第五题既等比数列 a n 的 前次项和为 sn， 如果两倍的 s 九等于 s 三加 s 六。 看到这里，我们应该能够迅速反应，二倍的一减 q 的 九次方等于一减 q 的 三次方，加上一减 q 的 六次方。 这是在用完等比数列前项和公式之后，把分母的一减 q， 我 在这边写一下，一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 n 次方。因为每一项都有一减 q 和 a 一， 所以我们可以约掉约掉之后的结果，然后再稍加整理，可以得到 二倍 q 的 九次方减去 q 的 六次方等于零。 等比数列的 q 自然不可能为零，所以这个式子还是可以在两边同除以 q 的 三次方。这样写成我们的更为习惯的样子就是，二 q 六次方减去 q 的 三次方，再减一等于零。 这样我们可以解得 q 的 三次方等于负二分之一或者一，但是一肯定要舍去，因为 q 如果等于一的话，是不可能有这个条件的。 下面 a 三加 a， 六加 a， k 的 倒数之和等于零。问我们 k 等于多少？那我们先来写一下 a 三，就是 a e q 方加上 a e q 的 五次方，再加 a e q 的 k 减一次方。同样，我可以选择把 a e、 q 方提出去，也就是 里面是 e 加上 q 的 三次方分之一，再加上 q 的 k 减三次方分之一。 外面 a 一 q 方肯定不等于零，这里一加 q 的 三次方分之一， q 的 三次方等于负二分之一，那它要倒数等于负二，负二再加一等于负一，也即负一加 q 的 k 减三次方分之一要等于零。 这样 q 的 k 减三次方等于一，所以 k 等于三。 答案，选 a。 第六题，连续抛掷一枚质地均匀的硬币八次，每次正面向上得两分，反面向上得一分，既总得分为 x， 则 抛一枚硬币，连续抛至 n 次。正面向上和反面向上，这本身是一个标准的二项分布，但是这个题给它赋予了正面向上和反面向上得的分不一样，所以我们有必要先把二项分布写一下。 假设 g y 为正面向上的次数，显然 y 杠 b 八二分之一，那么 e y 等于 np 四 d y 等于 np， 乘以一减， p 等于四乘二分之一。 我们看 x 跟 y 是 什么关系？总得分为 x 正面向上两分，反面向上一分正面向上。 我可以得这么多。如果是反面向上，因为总共八次正面向上， y 次反面向上就是八，减 y 次得负一分， 这样 x 等于计算一下是三， y 减八，所以 e x 等于三倍的减八， a b 都是错误的， d x 等于。我们复习一下， e a x 加 b 等于 a 倍的 d 等于 a 方 d x， 所以 这里 d x 等于三的平方 d y 也就是九倍的 d， y 等于十八 d 选项没问题， 下面看第七题。存在正实数 a， 使得函数是定义在负无穷到负 a 并 a 到正无穷上的奇函数，则 b 等于几。 这道题如果正面做的话，其实我觉得还是有点麻烦的，因为你还要去研究存在正实数 a， 这个 a 到底在哪，还需要花一番功夫去研究，甚至研究半天也不一定能研究的出来。所以这个题我觉得用极限是最为简单的。 道理很简单，正实数 a 在 哪你不知道，但是正无穷和负无穷它一定是在定域的，我们可以直接使用极限来计算。 因为 f x 是 奇函数，所以 x 趋正无穷的时候和 x 趋负无穷的时候的两个值相加，必然要等于零。 f x 趋于。我们来算一下，当 x 趋正无穷的时候，这个式子减一就忽略不计，然后 e x 消掉，也就是三，所以它是趋于三减 b。 当 x 趋负无穷的时候， e 的 负无穷次方是零，上面就是零减一，下面也是零减一，所以是一，此时是一减 b。 根据奇函数三减 b 加上一减 b 等于零，我们直接可以得出 b 等于二，所以答案选 b。 当然，如果你实在想正着去研究，那也不是不行，先让绝对值里面这个函数 等于 g x。 这个函数其实我们应该还是比较眼熟的，它是一个中心对称，就是有一个对称中心，我们可以计算一下 g x 跟 g 负 x， 计算之后你会发现 等于四，也即 g x。 关于中心对称， 那么如果它要是基函数，是不是需要把它的对称中心给它往下移两个单位？当然你还要去研究绝对值的问题，这样做还是有点麻烦的，所以我个人建议还是使用极限做这道题会更为简单一些。 下面看第八题。这道题建议大家在考场上还是先行跳过，后面如果有时间的话再回来做，如果没有时间，就随便选一个好了。这道题本身提议倒是不难理解，但是计算量确实过大。我们先画个图， 它说 p n a 向量点乘 p n 向量和一减扩散二 c t n 分 之一都是等差数列，且公差相等。 我们先来表达 p n a 向量点乘 p n b 向量，看看它到底等于个啥。这里我们设 p n 的 坐标是 x n y n， p n， a 点乘 p n， b。 根据极化函数，等于 p n， o 减去 o， a， 这里 o 是 圆点，偏 o 就是 偏到圆点的距离的平方。这里应该是 x 方加 y n 方，减去 o， a 方就是 a 方。接下来我们看 e 减 cosine 二 c， t， n 分 之一。 这个东西说实话看起来就不是很好处理，我们需要先尝试化简，把分母的一写成三方加 cos 方后面的二倍角公式咱们也用一下 减去 cosine c， t， n， 再加上 cosine c， t， n 分 之一，这样化简一下就是二倍的 cosine c， t， n 分 之一的平方。 这个式子说实话依然不是很好处理，所以我们先研究一下萨耶塞恩，看看它是否好表达。在三角形中， 跟正弦相联系的最紧密的也就是三角形的面积，所以这里 s 三角形 p n， a， b 等于二分之一 ab 乘以 p n 的 纵坐标绝对值，也就是 y， n， 它还等于二分之一 p， n， a 向量 p n， b 向量，再乘以 sin c 特 n， 这样我们可以得到 sin c 特 n 等于 p a 点乘 p b 向量分之二 a 乘以 y， n 的 绝对值。 此处我们看一下上面的 p， n， a 点乘 p n， b。 我 们的结果里面有 x， n， y， n 跟 a， 这显然最后肯定还是要化简的。而我们 sin c， t， n 里面出现了 y， n， 但并没有 x n， 这里我们考虑将 x， n 给它换掉。 对于这个双曲线，我们可以得到 b 方 x 方减 a 方， y 方等于 a 方 b 方。简单化简一下，把这里的 x 方代入到这里，我们可以得到 它应该是 b 方分之 a 方加 b 方乘以 y n 方。这个式子我们先暂时放在这，接下来我们算下面的 sin c， n 的 平方等于四 a 方 y， n 方比上下面距离的平方，这里也不是交半径。我们还有公式可用，那就只能硬算了。 x n 加 a， x n 减 a， 然后将双曲线的方程带入，化简一下。四 a 方 y， n 方比上 上下，把 y， n 方除掉， 加上，嗯，这还有个 y， n 的 平方，再加上 c 方，这样我们要求的二倍的 sin c 的 方， sin c， n 的 平方分之一就等于 二分之一，加上八 a 方 b 的 四次方分之 y， n 方。此时我们来比对 提干动，说它俩都是等差竖列，且公差相同。而第一个结果是这个，我把它在下面再抄一遍， b 方分至 a 方加 b 方 y， n 方， 此时我们可以发现，它俩是不是对于 y， n 方而言都是一个向量的函数？我们知道，等差数列 a， n 等于 a， 一 加上 n 减一乘以 d， 事实上它是一个关于 n 的 一次函数， 这里它们俩都是关于 y、 n 平方的一次函数。因此前面的系数应该要相等，故 b 方分之 a 方加 b 方，两边把 a 方加 b 方约掉之后，就得到 a 方加 b 方比上八倍， a 方 b 方等于一。 而这部分对代数结构熟悉的同学应该能发现，它其实就是 a 方分之一，加上 b 方分之一，那它自然就等于八。所以这道题答案应该选 d。 总的来说，这是一道嗯，非常耗费时间的题目，希望大家在考场上还是先行跳过是最好的选择。