南充前几年的数学一模模拟卷子

高三一模已经结束了，咱们今天主要说一下这个大体的前三个，如果咱们这次考试大体的前三个出错，那就说明咱们根本就没有做过近几年的高考原题。 咱们第一个三角函数来说，那个题不是太难，你需要画图，那个咱们经常来说，也经常爱画图，那个题咱们在高考整体里面没有找到原题，但是画图体相似的图非常多， 咱们今天主要说第二个、第三个，如果你第二个立体几何没写出来，那就说明你连二零二四年全国二卷那个题，咱们高考整体那个题你根本就没做。 那个题他俩的思路是一样，只是这个题的第一位变成了平行，那个题的第一位变成了还是证明垂直，而这个题第二位告诉你的 p b 等于根号六，而那个题告诉的 p c 等于 二倍几根号几。你可以看一下，他俩的思路是一模一样的，都是需要证明个三垂直，都是需要用勾股定律在证明那两条线垂直，而勾就做成了三垂直，去间隙， 知道吧？所以说你这个题没写出来，那就说明什么？咱们那个题就没写过，然后有十七题，有十七题。好多孩子说，老师，这个题我就没学过呀，这个打乒乓球，他这是打球，我就没学过呀。 你这个题如果你没没有做过，那就没有见过，就说明你干嘛呢？你二零二一九年那个全国二卷新高考题你也没有做过，那个题是打什么呢？也是一个乒乓球，那个是，他是一个打成十比十。什么你可以看一下，你可以看上面的题， 这两个题几乎如出一辙，这个题的就是第一位，比那个题的第一位稍微难一点，那个球是打，那个题是打了四个球，而这个题是打了六个球，也是画四，那个题是画四个圈，你这个题是画六个圈，你只要那个题会研究，稍微简单点，那这个题咱们也就会研究了。 虽然什么意思？我一直强调大家平时做题的时候要以高考真题， 如果咱们这次考试这三个大题没有写全对，你记住问题，那就说明什么意思呢？咱们最最基本的高考题都没做对，那我问你，那你说咱们今年高考考场怎么办呢？ 所以说咱们还有这两个月的时间下去，努力的把高考真题一个一个挨着挨着去做，不要有任何偷懒，不要有任何偷奸耍滑的机会。说是，哎呀，我这个题看着会了会了，不要这么去想，所以说你现在一定要请我高考真题为主， 一定要去教教你，你放一万个心，你只要能把近几年的高考整体做做对，会分析，我告诉你近几年的高考数学肯定不会差。

刷完南充二六年二卷数学卷，整体难度中等偏高，压轴题很能区分水平。单选部分，前六题都是纯基础送分题。第八题，双曲线内切圆问题， 重点考察几何逻辑和双曲线性质。第九题，三角函数图像题，把周期降位、对称、中心平移变换揉在一起，考的全面，但不偏，是高考高频考法。第 第十题是全县最有高考味的，很多知识点一网打尽，没有偏，难怪全是核心考点。第十四题属于拔高题，正四面体洁面体积比问题 不能硬算，要靠空间想象。思路对了就很简单。大题质量很贴近高考，数量概率都是很标准的。考法立体几何结合新定义很有创新。导数计算量大，但题型常规，需要答案参考，留六百六十五。

朋友们大家好，今天呢，我们来看一下之前的一道一模考试题，如图是一个正方体的表面展开图，正方体相对，两个面上的代数式的基相同，则 a。 为什么？ 那我们在做这道题的时候，首先我们要考虑的是什么呢？正方体它的一个表面展开图，它的一个对立面。 那首先我们先去找 a 的 对立面是谁，那这里 a 的 对立面是谁呀？是 x 平方加 x 分 之 x 减一，那我们来给它圈起来，它和 a 是 对立面， 然后 x 平方减一分之 x， 它和谁是对立面呢？它是不是和我们的 x 分 之 x 减一是对立面呀？ 那现在题目当中是不是跟我们说了对立面上的什么呢？代数式的积相同，那既然相同，那我们就可以得到，这里 a 乘以 x 平方加上 x 分 之 x 减一， 它们两个的乘积和谁相同呢？和 x 平方减一分之 x 乘以 x 分 之 x 减一是相同的，所以这里我们就可以得到 a 等于什么呢？ a 就 等于 x 平方减一分之 x 乘以 x 分 之 x 减一，再除以 x 平方加 x 分 之 x 减一，那除以它是不是等于乘以它的倒数？也就是 x 减一分之 x 平方加上 x。 那这里我们计算 a 的 时候，一定要记得给它约分啊。这里 x 和 x 可以 约分， x 减一和 x 减一可以约分。 大家再注意啊，约分的时候一定要什么呢？分子和分母去约分，不要说哎，分子和分子他们两个是相乘的形式，可不是要约分的形式啊，很多同学在做的时候，这个地方就分不太好，一定要注意 好。那现在剩一个什么呢？ x 平方减一，然后分子剩一个什么呢？ x 平方加上 x， 我 们发现它们两个都可以再进行因式分解，对不对？ x 平方加 x， 它可以分解成 x 倍的 x 加一， x 平方减一，它可以分解成 x 加一，乘以 x 减一，所以这里它们两个约分之后剩下什么呢？ x 减一分之 x。 所以这道题呢，主要就是选择 d 选项，他主要考察的是什么呢？他主要考察的第一个啊，正方体的表面展开图对立面， 然后第二个属于考察的是什么呢？我们分式的计算问题啊，我们分式的运算问题，所以大家在去做的时候，先去判断正方体的表面，展开图的一个对立面，确定对立面之后，然后正确的计算出这个式子就可以了。

一模一选卷来了，包括我前几次跟大家讲的比较好的那几个高质量试卷，这里面都有。你像我们的苏北四市联考，对吧？包括我们的这个沈阳高三质检，还包括我们这个武汉的武昌区高三圆月质检， 这里面都有啊，一共十套试卷，一张试卷不到两块钱，比你打印还便宜。关键他的这个答案特别齐全，关键的一些难题还有视频讲解，所以这个把它拍回去，现在练手刚刚好。

有这么一种题啊，它的文字一大片啊，又有表格，又有图像，还有这么多绝对值，知不知道？那么这种题孙老师给他取一个名字叫做纸老虎啊， 什么意思啊，看着挺吓人，其实一点也不难。好，咱们接着这个题，大家分享一下在函数学习中，我们经历的确定函数的表达是利用函数培养研究性质，然后运用函数解决问题啊，函数的三步学习法 啊，同时我们也学习了绝对值的意义啊，绝对值的意义， x 绝对值等，如果说 x 是 非负数，那么是等于它本身，如果 x 小 于零，那么是它的相反数。好，我们探究一下函数它的图像与性质 啊，此函数是我们未曾学过的，那么它也是我们高中阶段重点讲的一个。这个分段函数， 小明尝试啊，结合一式函数的学习经验，学习经验，研究事物。下面是小明看题过程补充完整啊。这个列表里面，老师说一下，这个是符号啊，这是符号哈，因为表格没拉开，这三个都是符号，所以说第一个根据表格中信息确定 的值。好，我们看这个地方 b 的 值啊，其实就是说当 x 等于二的时候，你直接带入就可以了， x 等于二，带进去就是 y 等于二， 负四嘛，是不是啊？第一个是比较简单的。好，那我们看第二题，它的根据一中的表格，请在给出的平面直角坐标系中画四个函数下。 好，下面列表啊，已经有了，秒减零线。第一个是负一，二好来负一， x 等于负一，二等于二等于零。第二个是 x 等于零，二过圆点。 第三个是 x 等于一， y 等于负二，第四个是 x 等于二， y 等于负十，那下面一个是 x 等于三， y 等于负二，第四个是 x 等于四， y 等于零。好，下面换一个颜色， 这是这一部分，然后左边也是左边，我们把它描一下，连一下，连一下，好 好保持一致嘛。好，这就是它的函数，对不对？难不难？不难吧，是不是啊？ 拿到分啊？如果这个题十分的话啊，那四分倒数。好，第三个，它说若点 a x 一 y 以 b x y 在 这个函数项上，且 x 一 小于 x 二小于二。好， 让我们比较 y 一 y 二大小，那么 y x 一 x 二小于二，那么小于二，就是这个函数的它啊，左边的一部分，咱们看它是一个什么函数，它是一个什么样的啊？从左向右看，它不就往下来吗？往下来就是 y 随 x 的 啊， y 随 x 的 增大而减小， 增大，减小，减函数嘛。啊，高中的减函数， x 等于 x， 那 么 y 大 于 y， 对 不对？好，这是 b 三题啊，三题六分到手，难不难？不难。所以说你需要什么？你需要耐心，你需要自信，就像张雪峰老师说，你一定要相信你自己，一定可以，你一定能考上，你一定能做出来。好，第四个，解决问题，结合话术的含蓄性，姐姐问，第一个是好姐，那么一个不等式。 好，这个地方我们看一下，这是原来的函数，那么这一个是什么？这一个不就是我们讲的正比例函数吗？ 对不对？正比例函数，它让我们结合图像，这个我没画，我没有画，那么我们画一下正比例函数，是不是啊？需要一个点就可以，因为他过了一个圆，过了一个圆点，我们令 x 等于三， y 等于 负二， x 等于三分之二啊，这是一个，然后它过圆点。好，咱们换一个颜色。 好，那么这个含图像就是 y 等于负的三分之二 x， 让我们求解急啊，求解急。这个题孙老师之前专门分享过一个复杂的啊，复杂的啊，八个字送给大家啊，在上则大， 在下则小， 那么孙老师解释解释这八个字，你就说我在函数垂线上比较他们的函数的大小，我干嘛？首先是我，比如说我这个题啊，我做一个垂线啊，过 n 做个垂线，比如说我在这个范围内，我做一条垂线， 我做完出现之后，我看一下在上头，谁在上谁的函数值就大，谁在下面谁的函数值就小，比如说在这个范围内，在哪一个范围哈？咱们都是焦点确定哈，在小为零这个范围内，我们看一下 小为零谁在上面啊？原函数在上面，它要求我们什么？原来的函数值小，是不是？所以说这个范围就是哪一个范围， x 小于零， x 小 于零这个范围它是不成立的。好，咱们继续看啊，又有两个焦点，又有两个点，这个这个点他应该是，我刚才说啊，应该是他们焦点在这个三负二上啊，来咱们这个范围里画一条线，咱们画一条垂线。 好，画完之后我们发现啊，这个地方差一点，画完之后我们发现谁在上面啊？正好我们所求的反比例函数在上面， 它的值在上面啊，圆函数在下面，可不可以符号记忆？这是第二个范围，是 x 大 于零，小于三是可以的。好，咱们再继续往下找哈，它，因为有的时候不止一个答案，咱们继续做一条垂线， 咱们做完之后发现一个什么问题啊？发现啊，第三个是 x 啊， 大于三，小于等于零，大于等于三。好，我们看这个地方，我们画完中发现 y 还是原函数在上面，呃，我们要求的负的三分之二 x 在 下面，在下的小啊，我们应该是要它大，所以说第三个上面也不可以。 这个最后它的解析就是 x 大 于零小于三，这是这一个 啊，咱们看第五个。第五题，若关于 x 的 方程好有且只有一个证明和一个不变，请直接写，不要你写过考它是一个，是你的思维能力 啊，满堂月的 m 的 小数范围啊。这个地方你看，我从你从他给的是你方程是不是？那么我如果说我从函数的角度去看，他就是函数啊，就这一个分段函数，那么右边的一个什么，负的三分之二加 m， 它也是个函数，而且是一个一次函数， 而且它是什么呀？它和 y 等于负的三分之二 x 啊，加 m 与 y 等于负的三分之二 x， 他 们的关系是什么？这是两条平行的直线，知不知道？平行的直线，因为他们的 k 向孔都是负的三分之二，所以说这个 m 是 什么意思？就是 m 是 指我这个函数项我 向上或向下啊，平移 m 单位长度啊，平移 m 单位长度就是由 y 等于负的三分之 x， 整体解释就是 y 等于负的三分之二 x 啊，平移啊，平移 m 的 单位长度 就得到什么得到 y 等于负的三分之二 x 加 m， 所以 说就是一个平移的问题，然后一个正根，一个负根，怎么去理解哈？ 这是这一个正根，一个负根，就说正根是什么？负根什么是 x？ 各位是 x， 所以 说我就要求什么，你在就是你这两个方程啊，你这两个方程的解， 或者说你是函数，你你看那函数它就是什么？它就是函数值的还是焦点？焦点在它左侧一个，右侧一个， 是不是？所以说我看这个就是我把这个这个蓝色的 y 等于负的三分之二 x， 我 怎么拼一？好，我往下拼一，我往下拼一，我看看行不行？往下拼一， 往下平移行不行？往下平移，你发现他们的焦点是什么啊？都是大于零， 不可以，对不对？那么我往上平移呢？我往上平移之后，我发现什么啊？正好一个在啊，外周左侧一个，外周右侧一个正根一个负根，而它是可以向上无限延长， 对不对？所以说 m 的 形式上面是什么？就是大于啊， m 大 于零啊，这就是什么竖形结合，竖形结合，难不难？不难，所以需要的是什么？你仔细啊，需要的是你啊，咱们总结一下 啊，你不要被纸老虎吓到，你需要什么？你需要有仔细的去做，有信心，有耐心啊，然后沉住气，相信自己啊，利用好塑形结合， 这个题又不是压轴题的问题，对不对？难度不是很大，就看你有没有信心。好，咱们分享到这里。

中考一模第一次模拟考试是初三复习中承上启下的关键节点，更是后续复习备考的指明灯。主要作用集中在诊断、定位、练兵三大维度。 一、诊断真实漏洞、核心价值这是一模最实际的意义，通过高仿真的试卷结构和难度，暴露复习中的真实问题、知识盲区，精确找出十分严重的章节和题型，如物理、电学、数学、几何、 习惯印章，检查是否存在审题不清、时间分配不均、步骤丢分等非知识因素失分。二、校准目标定位、预估排位。排名是中考录取的唯一的参考系，帮你客观评估，在权限的位置，建立合适的目标，为后续冲刺砥砺思想基石。 三、心理与节奏练兵抗压训练体验在高度紧张下，如何保持专注，锻炼临场心态，节奏固化，强制建立考试复盘调整的闭环习惯，避免中考时因流程陌生而慌乱。 四、考后关键动作一周内考后一周内是黄金复盘期，务必完成错题归因，不仅要看错题， 更要分析是概念不清、计算失误还是审题问题。基于诊断结果，制定适合自己情况的学习计划，重点攻克高频失分板块，而非盲目刷题，尤其是盲目的完成作业。一模中考定局，它是一次重要的体检，目的是发现问题，而不是宣判结果。 大量例子证明在一模后的、有效率的、有目的的备考，一个月之内最少提高二十分，加。

家人们，这套资料是二零二六年中考数学通用的一模模拟卷，里面有空白习题详细解析，还附了答题卡，整整四十一页，内容超丰富。有了它，就像有了一个专属的数学辅导老师，能让同学们在模拟考试的过程中熟悉题型， 通过解析搞懂每一道题的思路。而且答题卡的设置也能让大家提前适应考试流程，提升答题的规范性。同学和家长们千万别错过！赶紧点击购物链接查看优惠活动，让这套模拟卷助力中考！

好，咱们继续分享紧急重点初中，呃，一模数学试卷的填空题，那么讲之前孙老师说一点啊，一定你这个题哈，你不要因为这个题简单啊，就比如说十一、十二题简单，你就不认真去对待， 因为这个地方就是这些题师傅的多的是，所以说他你，你对这种简单题的就是重视程度，也是影响你成绩的，那你喜欢他，他也喜欢你，你重视他，他也重视你， 对不对？所以说就是这么一个关系啊，好，第一个同内向是不是？好，咱们说同内向的概念，什么是同内向啊？淡雅式的同内向，就是啊，字母相同。 第二个就是相同字母的指数相同。 好，然后根据这个关系，我们去看一下它的四种特性，那么相同的字母就是 m 加四等于二，是不是？那么 y 指数相同就不用再考虑啊，很简单啊，然后 m 等于一个啊，负二 啊，这是第十二题啊，十一题，十二题，我们看下，正多边形哈，正多边形，那么我这个接这个地方，我把这个数字点给大家总结一下，就是正多边形啊，首先是它的概念哈，正多边形，它的概念啊，各边相等， 各角相等 个角上的哈的多边形。然后咱们比如说我随便画一个，我画一个整体变形吧，然后我把里面的关系给大家捋一下， 你要光光讲这个题，它没多大意义是不是？好，比如说 a、 b、 c、 d、 e、 f， 好， 这是它的中心， 然后 o， 这是，这是直的啊，这是直的啊，然后 o 是 中心哈， o 是 中心。那么像角 a 叫做什么？哈？角 a， 角 b， 角 c， 角 d 叫做它的内角啊，正 a 边形哈，正 a 边形，内角， 那么我，我是以正对称正对边形为例哈，就是正 a 边形的里面这些东西， 那么它的内角，它的内角的度数是 n 减二乘以一百八十度除以 a 啊，用内角和公式除以它角 a 角，内角，那么角 b o c， 所以哈，我们把它叫做中心角啊，中心角，那么它等于多少？三百六十度除以 n。 第三个啊，我做一个吧，哈，隐藏一下 它，这个版字不好写，有点啊，然后我隐藏一下， 那么这个角哈，角一把，我们把角一叫做正多边形的外角啊， 外角和啊，外角和。所有的多边形，外角和都是三百六十度，这是三百六十度除以 a， 这是这一个，然后第四个哈，我们把 o b 啊 o b 叫做正多边形啊，外接圆的半径， 正多边形外接圆半径，这些关系，你要知道它是干嘛用的，是不是啊？外接圆半径， 然后第五个，然后我做一个垂直过点 o 做 o g 垂直 bc， o g 垂直 bc， 然后我们把 o g 叫做它的内切圆半径，也是正方正 a 边形的半径， 内切圆半径，这是这么一个关系哈，那么第六个，我要说的是，我要说的是什么？第六个，我就说，如果说他让我们研究是正多边形的面积哈，你只需求出一个面积乘以 a， 求出一个，就说你他哪怕是正一百边形来，是不是？那么你花的一个是不是花出一个，你去研究一个也可以，是不是？其他都重复的，是不是啊？重复的啊，中心角三百六十度除以一百，是不是？ 然后就是说，呃，咱们做这个题的时候啊，就要多说一点啊，一定和圆，一定与圆结合在一起学啊，结合起来 就是你一定要画它的圆，不画它的圆，这种题不好做啊，如果说遇到遇到稍微难一点的题，那么这个题就是多少啊，三百六十度除以七十二，是啊，边数是五啊，第三个 x y 的 倒数为会倒数，那么 x y 的 乘以等于一，没什么可说的哈， 这个题就是一个计算，仔细啊，一定要仔细，这道题你千万不能失分，展开哈，展开之后就是减一加二，然后再减去 x， y 分 之一，咱们代一下，就是二减一加二，再减一， 嗯，然后就是四减二，等于二，也没什么可说的哈。第十四题，十四题，我的视频号里面还有抖音里面这个关于这个地方讲的很多哈，咱们就直接说了哈啊，平行四边形， o， a， b， c 的 顶点， o 是 坐标原点 啊，在 a 在 x 的 正半边上， bc 在 第一项线，反比例函数 y 等于 x 分 之一啊，它的推向经过点 c 啊，经过点 c， 那 么 y 等于 x 分 之 k 推向经过点 b 啊，经过点 b， 然后若 o c 等于 a， c 好， o c 等于 a c， 那 么这个我们求 k 的 值哈，那么求 k 的是两种思路，各位哈，两种思路就是第一个是找一个点啊，一个点 代入，就是我能把这个点求出来。第二个就是利用把比例函数啊，它的系数 k 的 集合 e。 这个地方啊，太多，我就不再单说了哈，因为我之前讲了很多这个地方的哈，讲了很多。好，那你看这个题啊 你，你看这个题哈，你去用第一个方法，他很难，对，很难哈，一般的他大题里面比较多，你看这种题里面基基本上都是用到第二种啊，用到这一种是不是好？我们看 o、 c 等于 a， c 等，等完三角形是不是？等完三角形的话，咱们就做一个高呗，是不是？为什么？三线合一对不对？做 c， d 啊？ c， d 垂直它，那么我们根据那个反比例函数几，它的系数 k 的 几何意义，我们很清楚地知道啊， o、 d， c 的 面积是二分之一啊， a、 d， c 的 面积也是二分之一，又因为它这个平行是菱形，是不是？平行是菱形，所以说这一个三角形 abc， 它的面积啊，三角形 abc 啊，面积等于三角形 a、 o， c， 所以 说它的面积就是一啊，然后对不对？那么你要求 k， 你 肯定要做垂直，是不是啊？做垂直，做垂直 x 轴，垂直 y 轴的， 你们看，然后它的面积是二分之一，那么这个地方跟前呢？它也是二分之一，它也是二分之一，所以说我们又求出来一个什么？求出这一个哦，标号字母啊， c， d 啊， e 就是 s 矩形， 它的面积就等于一个二分之一啊，二分之一加上一个一加一，再加二分之一，它的面积就等于几等于一个啊？四 四吧。啊，二分之一一加一哦，我忘了说一点哈，那么你做完这个垂线之后，你注意哈啊，做完垂线之后，这个三角形，三角形 a、 b、 e， 它和三角形就那个什么 a， a， o， o， c， d， 它的面积也相同，是不是？我们可以正圈的，是不是圈的 这个角啊？等于这个角 a、 c 等于 ab， 是 不是？然后还有去指 a、 a， s 可以 正圈的，所以说就是二分之一加上这个 e 啊，加上这个 e， 加上这个二分之一，就是等于三，所以说 k 的 值不，它矩形的面积等于三，那么咱们知道哈，这个系数 k 就是 矩形的面积，等于啊，二分之 k 的 绝对值， 等于 k 的 就是他的矩形，是不是啊？等于三，因为他位于第一象限嘛，所以这就取中了等于三这道题哈。嗯，到到到了这个地步也不是很难。好，咱们看最后一道监考题的最后一道题，第十五题，第十五题看一下， 或者如图啊，圆 o 式啊，等边三角形把这种条件可以标一下，等边呢？是不是啊？ d 是 移动点，哪里动点？弧？ a c 上移动点，是不是啊？那么不与 a c 中下联结论正确的是，第一个是角 adb 啊， adb 怎么角 bdc， a， d， b 啊？ b， d， c 很 简单，都是六十度，是不是啊？都是六十度啊，角 a， d， b 等于这个角六十度。角 b， d， c 中这个角六十度，是不是等于它也行吗？第一个，没没没得没说的是不是？那么第二个，他说 d a 等于 dc， 那 么咱假设哈。第二个，假设 d a 等于 dc 的 话，那么 d a 等于 dc 的 话，那么这两个角应该相等， 是不是啊？根据那一个就是它的对称性，也可以，它俩应该相等，但是不可能，人家是一个动点，是不是？动点不可能一直相等，它是错的，是不是啊？好，第三个题， d b 最长，什么是 d b 最长什么时候啊？ d b 是 直径， 是直径，那个时候它最长，那么它最长的话，我们连一下， 你看直径是不是直径，它为我们 dc 的 长度哈， dc 啊， 倒到里的，然后这个地方就成了这个 d 就 没有了。倒到里是不是？那么你看这个地方，它是一个 i m sorry， 它没有过，那个没有过圆心，我再重新画一下，这个没有过圆心 还缺不掉嘞啊，他，他其实应该是过银杏的，过银杏的，过银杏的是不是过银杏的？然后那个这个地方就是直角 啊，就是直角，直角的话，那么那么他说 d b 等于 r b c 是 不是？你这个六十度三十度，是不是？这里是 d 对 不对？那么就是一二一二三嘛，是不是一二三？所以在这个地方啊，就是直角三角形中的三十度角啊， 三十度角就到直角边啊，直角边对不对？斜边的一半啊， 这一个到了这个时候对不对？都 b c 等于二十一 a b 是 不是啊？没问题。好，咱们看最后一个啊，最后一个我得把这个啊，怎么能去掉呢？我看一下啊，能去掉 不？好去啊，等我讲完这个题学一下，他说 d a 啊， d a 等于 d c， 也没有一个撤回啥的， 但是它也也受影响。嗯， 咱们先来讲题吧。好，来，你们看哈，他说 d a 加 d c 等于 d b， 好， 那么这个时候哈，这个时候我换一个颜色，我换一个颜色的那个，呃， 你来讲一下啊，去拼一下啊，啊，像这种题哈，你干嘛？你截啊，截取啊，截取法对不对？ d a 加 d c， 呃，就是 d a 加 d c 等于 d b， 好， 那么我就在 d b 上哈，我在 d b 上截取一个 啊，截取一个点啊，在 b d 上 截取。我们截取什么？截取 d 等于 d a， 那 么我们截取完之后，很显然三角形 a d e， 它就是一个正三角形，是不是正三角形？为什么？因为这个是六十度嘛？是不是六十度？又因为它是等幺三角形，所以都是六十度啊。然后 我们啊，他说怎么三角形，我们知道什么哈？我们就是下面，下面我们就是说我们只需要证明什么啊？只需要啊，证明出来 b 一 c、 d 就 ok 了，是不是好？ b、 e 等于 c、 d 的 话，咱们看一下，因为前面有一个等边三角形啊，啊，很显然啊，咱们根据图，很显然，我们要正什么？我们要正啊，三角形 a、 b、 e 啊，全等三角形 a、 b、 e 好， a、 c、 d， 是 不是啊？因为它在两个三角形的嘛？这个思路还是这个题，作为这个选择题的填空题，最后一个还是比较简单的哈，然后咱们看有没有条件啊，条件满足不满足哈， 咱们看，首先是等边三角形 a、 b 等于 a、 c 啊，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， a、 b 等于 a、 c， 然后还有一个啊， a， e 啊， a， e 等于 a、 d， 是 不是？刚才说完了，这不是正三角形吗？是不是 a 等于 a、 d 啊？那么咱们看一下啊，那么这个角 a、 b 啊， a、 b 等于一百二十度，是不是角 a、 b 一 百二十度，咱们看到的地方 a、 d、 b 和 a、 d、 c 都是六十度，是不是？所以说啊，它等于角 a、 d、 c 条件满足，证明全等，全等之后，你说我们证明出来了什么啊？ b、 e 等于 cd， 是 不是 b 等于 cd， 又因为 a、 d 等于 d、 e， 那 么我们是不是就可以推出的啊？ d， b 啊，等于一个 d， e 加 d e， 然后咱们换一下，换成就是 d， a 加上 d、 c， 是 不是啊？咱们换一下，所以这个题就一三四啊，总体来说这几道题难度不特别大哈。

好，各位同学，大家好，我们今天来点评一下这个五式联考的一个卷子， 这个五式联考卷子，我们来看一下这份二零二六年啊，高三 啊年级的一模数学试卷啊，整体难度是中等偏上，那么在这里我要做一个预测啊，就是说白了啊，二模难度和这个一模难度是基本上是大差不差 啊，我们看一下这次的一模啊，可以说是历届来最低的水平了啊，因为什么？大家看一下今年所出这个分数线啊，这个 一模的本科线的数学，竟然理科方向就是物理方向啊，竟然能达到三十四分啊，以及这个啊，我们所说的叫什么特空线啊，也就是啊，五六十分的样子啊，我印象是，那么这个地方啊 啊，和我们试卷难度是有关联的，用试卷难度难，他就分值压又普遍要低一些，这个道理大家应该能懂啊，要水涨船高，有道理，那么这个试卷的整体难度，我刚说中等偏上 二模呀，跟他是啊，基本类似的，可以让说大家在背靠二模手，一定要注意以下几个方向点，第一个是计算量较大啊，第二个注重的是知识点啊，多综合运用与逻辑的推理。 这个试卷呢，我可以这样说，它这个质量啊，非常高啊，适合大家用来这个突破你的一个真实水平 啊，因为今年高考的难度肯定是要提升了，因为去年我们都做过那个卷子，是吧，你看前六题都可以松分，但是大家看啊，这前六题基本上啊，我还正确率不是很高 啊，平常考一百一百二的前六题还有栽倒的啊，但是对于平常我们考一百一百二，我们发现前六题基本上是稳做的啊，就可以说是稳对的啊， 那么我从下面几个方面入手，第一个是整体难度评价，就说这试卷它的好题和它去温度再熨哪啊，也让同学们去备战的时候啊， 容易去啊，更高效的去备战，而不是盲目性的备战啊。第一个是一道八题啊，它的基础以中档题为主啊，比如说第八题，它就是一个综合性较强的题目， 那么这个放在高考中也是这样的一个位置啊，他不可能会放到第六题，也不可能会放到第五题，他只能放到第八题。好，所以这块在备战时大家一定要注意好，平时我们去练习的时候，好，我们第八题就要强调了一个啥运算以及你的分析期末能力， 九到十一啊，可以说是一选错了啊，或者说是错选的啊，甚至漏选啊 啊，他这里面啊，就是我们刚所说的啊，尤其是第九题，我看好多好学生平时能考一百二一百三的，这第九题也不会了啊，考场上去转的时候，发现好多题的第九题书 还能选错啊，甚至第十题啊，会出现这个错选的现象，疑十一题 啊，你要是细致的去分析，就静下心来预看的话啊，十一题实际也不难啊，也是我们平时所练的部分啊，可能就这 d 选项有点蒙啊。 那么从十二到十四这三个选择就有填空题中啊，我们发现 好填空题的十四题是几何了，综合性的大题，我们很少见到几何了题目啊，在小题中用间隙的形式， 他这个今年就打破了常规，你像往常我们说起了半截球就压根就用不到间隙这个思想，但今年呢，可能会用到啊，就是我们所说的暴力间隙吧，他是最直接了当了 啊，当然特殊方法也有啊，不能说就是奸细把，就维解。没有这样说啊，我们也可以通过这个啊，立几何的几何性的关系去找啊，也是可以的啊，不过那个思维性比较强，甚至这个综合性也比较大。 十五到十六，这十五题有坑啊。十五题啊，我看大多数同学所写的步骤是有问题的啊，这个地方扣你两分。好的同学到现在就没有发现，为什么我会扣我两分啊，我的这答案都对，为什么还会扣我两分啊？因为你的 啊，步骤也就我们所说的先假设，我们叫个假设 h 零啊，然后再去进行，是不是啊， 这个否定他这个说法，然后再去验证啊，是否是成立的啊，那不成立就是假设，是不是就不成立，那假设不成立就是说白了什么找他的还是不记。 第二，这个利用的是条件概率的形式啊，条件概率啊，他就考察学生的读题的一个逻辑啊， 这地方容易出问题啊。十六题啊，这个题难度啊，不是很高，也是个很长的问题，就是我们所说的啊，构造啊， 啊，它利用等差的模型啊，去求解这个 a n 啊，构造 a n 和 s 木关系去求解。实录是第二问的啊， 也这非常好的题啊，他这个原题比这个难啊，但是他考试简化了啊，原题他所表述就是我们所说的分解形式啊，把这个因素 啊，把一个这个数分解成多个因式的形式啊，但这个题他做了简化啊，就说难度还是再降低的， 那么十七题这个题的错误率是最高的题啊，没有想到就立即几个题成为这个卷子的死亡点啊，可以说标志你能上高分就立即和我看。好多朋友这第二问竟然能做不出来，哎，我当时就非常疑惑， 这个地方强调一点，实际的模型可能已经变形，大家可以去看武汉的三调。那个的利益几何也是很难的啊，就说再增难，不能说很难，是增难了，增加了一定难度。就是说 迪莫也是震的是垂直，他好像震的是面面，而他有一个也是长的是这个蟹面啊， 以及二面狭角啊，还有立体几何的个球体积啊等等等等啊，求线段长也是可以的，哼。 啊，那么这个题啊，当时我记得我考场上转的时候横队的第二问是错了，就瞧了三遍，都是不是一个答案就答案对不上号啊。那你可以寻求几何法的思路，我们所说两可得啊，只要我们找到这个先线角 啊，就差的平面角，我就可以把这题做出来了啊。方法是一定是可以行得通的啊，就说我们所说通法是一定能行通的，只不过很多同学就是说在学了立体几何之后就空间向量之后，他会遗忘他所学的这个几何法， 但是大多数的教材现在赏的都是这个间隙法，但很少去提这个几何法，因为为什么几何法不好想啊，他来去构造这个平面是不太好想的，但是这个思路是非常明确啊，是可以利用几何法去 啊，精益求精，因为去年的高奥题以及前年都是可以利用几何法去啊求角的啊，是可以的， 每年都是可以的啊，所以说大家一定要注意哈，你在学建一把的同时，一定要加强自己的几何方向啊。然后十八题是个特别特别好题，这题是最容易产生错误的地方，啥意思呢？ 我们来看一下。十八题凑合率最高，他是个韩餐啊，讨论的问题就是零年讨论问题，第二轮他用了反韩中的思想去求证了 啊，以负函数的形式去推导了。这题是个相当不错好题，它实际是你必修一，老教派必修一的一个经典例题啊。这个例题我待会可以给大家找一下，它实际就差了一个改变，就差了一个升级版啊。十九题啊， 说是一个这个新定义的轨迹题，实际它考察是折痕和直线的焦点问题啊，折痕啊 和焦点啊，需要转化成一个啊曲线的形式。那么这里面啊，提示一下， 给各位考生做一个复习建议啊。第一个是回归了的课本基础啊，强化它的概念，尤其像第二题百分 啊位数这个题，好多同学他觉得这个八个数二还是您家赢，你从小到大排列好了，他觉得四分之三的就是六个位置好，直接就秒选了二十三个答案，好发现是错的。这题你能这样做，莫打想象肯定是不行的，他肯定是要找第六和第七的答案 生不平均值啊。而第三题，看似这个题很难，又加了一个陈浩，而且还有个绝对值，难就难在这个形式上面啊，但是我们发现它是可以化简的 啊，或者我们用最基本的一个常识去这个代入啊，就可以得到答案，就是我们索取了一个公式啊，代入一下就可以知道周期了啊，不用太多的这个运算啊。 第四题是一个向量的投影向量的考察，这是坐标的形式考察，当然我们还有非坐标的形式考察啊，以及我们还有投影数量的这个考察方向。还有一个就是南奥一高之前考的题，是非常好的一个题， 个人感觉这个出题啊非常有水平，他考的是投影向量模，当时好多同学问什么叫投影向量模，那不还是求了时差啊，是不是长度的问题啊，那就是在投影向量技术上再加上他的模，那你比如说这题问的是投影向量为多少， 那么现在改为了是投影下的魔鬼端，那大家想想是不是就是他的横轴标题吗？将纵的标题吗？再开放就他的投影向量的魔长啊，就这样做的，很多人说投影向量还有魔投影向量肯定有魔长啊，大家想想他的魔长不就是他的长度啊。 那么这时候我们来看下第五题，第五题很多同学说用二乘四算十一，这题用不到二乘四，它就是个很简单的找规律啊，个人来说他 变到我们的数列中也不为过啊，也是不为过的啊，因为你列几个例子啊，找这个几个为一组啊，那就是周期的一个形式啊，可以看那个周期数列去解决。 虽说这个题的解法是不一的，你站角度不同，你会发现解法是不一的，个人感觉只要能把这个题解对都是可以的啊。 然后就是我们第六题，这个若读啊，古代数学文化问题啊，就是你要读这个文化啊，然后读懂之后才能去做。第七题是非常坑的，谁还没有发现算完之后他是个长竖脸啊， 因为他在低旁再提示啊，他是个两次项的形式啊，也就是平房，平房而求和。 注意好这第八题啊，四点共圆的一个窗户，条件打响是什么？在圆之学院里面它有一个啊，说法的第九，就是我们所说的复数的根的问题，这个题啊，是要先转化成它的 啊， a 加 b i 啊，把我们的 x 一 s 二求开， s 一 就是 z 一， s 二就是 z 二，求开之后就可以求它的魔长，魔长就是啥呀，就是二二，我们 a 就是 它的 实部啊， b 又上虚部啊，然后对应的求 cosisata 萨克斯塔就能求那个俯角是多少啊？ ok， 到这里结束。

同学们来看看二零二六年的广东一模，我们的模拟考试呢，一般是比较难的，所以呢，在看模拟考试里面的成绩不到的同学呢，不要心急，高考呢，不会这么难。 那我们现在看看广东一模，大家都说难，那是不是真的很难呢？那我们来看看。首先呢看单选题，一到四题呢是送分题，我们不讲了， 无论多难的考试，他肯定有一个送分题的，对吧？所以呢，我们一道式题就是送分题，不讲，我们从第五题开始讲 第五题，第五题呢，它是有三个数，它呢平均数是一，方差是二，我看到方差是二呢，就知道这三个数呢，肯定不是相等三个数，好吧，后面要求什么呢？就求 x 一 x 二， x 三，二 x 减一，二 x 两， x 二减一，两 x 三减一的方差，对吧？好，这种题呢，我们呢不要硬算，我们还是用为原来的方法，用为我们老方法就把特殊值打进去。我们知道 x 一 加上 x， r 加上 x 三除以三的平均数是一，对不对？三，猜起来就是三。好了，它们方差是 r， 应该怎么算呢？ x 一 减一的平方加上 x， r 减一的平方加上 x 三减一的平方， r 就是 等于多少，等于六，对不对？ 好了，那我们怎么带一个特殊值呢？我们特殊值带带进去，我们干脆更加特殊一点，我们假设什么呢？我们假设 x 一 等于 x， r 够特殊，对不对？然后呢，我们带一个 x 一 进去，我们带数的五分无非就几个，一二三四五，对不对？还有一个零，那我带一进去行不行呢？明显是不行的，因为它是平均数，是一对吧？平均数是一，我 x 一 x 二等于一， x 三就等于一， 那翻开就是零，就是零了，五十二了。这是个题目矛盾的，所以呢，我们带下一个数字，带一个好算的，我们等怎么样？把零带进去，对不对？所以 x 一 x 二等于零， x 三呢， 就等于三。我们再把这直接数带进去试一试，零减一就一，对于是一，三减一是二的平方就是是一加一加四等于六，刚刚好。好了。所以呢，我们再把这题目 这六个数带进去，就对 x 一 至零零三两， x 一 减一是负一，后面负一两个 s f 三减一呢，就是五。 好，我们看到方差是多少，方差是多少呢？我们先算什么？就算它平均数的比，平均数怎么算呢？也加起来不对，三减一减一就是一，一加母等于六，六除以六呢，等于一好，刚好它们的平移数也是一，那方差就好算数啊，减去再平方加起来这几 一一是吧？二加就是六。好了，我们知道这前面呢，加起来是六的好，这个一减一的平方的四对不对？一减一的平方呢，也是四，五减一呢？ 五减一的是四十六，对不对？好，我们再把它们加起来，这里加起来是二十，这里加起来呢，是十，对不对？这是二十。二十除以六等于多少呢？等于五，这是 b， 这题呢，我们就算出来了， 同学们，我们看第六题，第六题呢，它有一个九宫格，九宫格呢，有十六个节点，每个节点呢，我们要选出十三个互不相同的点的吗？在 a b c， 请问你 a b c 它向量相乘个最大值，那向量相乘成什么样的呢？ 应该是我们以其中一条向量呢，我们作基整的嘛，另一条线呢，直接垂直拉下来，要把它们这两个值呢相成为要找到最大点， 最单调的直。我们要做学一件什么事情，我们就要找出最长的两条，因为我们他们加角呢，也要小一点的嘛，那怎么找呢？最长一条很简单，直接就是这一条对不对？这条直接就最长的，我把它变成 a b 好 了， a c， 那 最长一条找到了，那我找第二长一条， 第二长那条呢？我们有几个？我们肯定是这个对不对？这个对不对？这个是 c。 好 了，那我们算出它这两个相乘，它有个夹角，问大家，这个夹角我们需要算吗？我们不需要算对不对？那首先呢，我们知道 ab 的 长度是多少呢？ 一二三，一二三对不对？所以 a b 长度呢？就是九九就是，嗯，根号十八对不对？有。那 a c 这个长度呢？ 是根号几呢？这里一二三，那么九对不对？一二就四，就根号十三。好了，这两个相乘呢？还有它又应该什么？ 它最大值是什么？最大值的 a 和 b 至几乘七级对不对？是最大的，所以呢，最大是十八，但是我们两个显然不是至几乘七级对不对？连如果加九还是长短的，所以十八横是错的。好了，我们再看 前面 a b c 哪个可以算尾错的呢？我们把线这样拉下来，对不对？好了， a c 它已经是根号十三了， a b 拉上来比它还长，对不对？所以呢，就根号十八， 所以呢，这条即使 a c 拒绝，即使即使三点，你都是根号二十三的，而且这个拉长比它还长，所以它应该是大于根号二十三，根号二十三呢，就是应该大于十三，对不对？这应该大于十三，所以选 c， 我 们直接用排除法呢，把它做出来。 我们看他第七题，第七题呢，他说一个立方体，他棱长是士，他的 p 呢，是他的面的中心，对不对？就是说他这边，这边不是中心都是一半的好了。 q 呢？是线的中心的吗？他棱的中心好了，他说过 a、 p、 q 做一个平面，将它分成上下两个部分，求体积比较小的，是吗？仪表手没看这上面的一半体积比较小的好，那我们应该怎么求呢？我们应该注意到这里 p 和 q 连起来说呢，这条线它是位于整个立方体的内部的，所以我们不能用 p 和 q 作为一个分界的线。那么我应该怎么样？我们应该把这个 结面呢，把它补充完整。为什么补充完整呢？我们知道这里有个知识，这种结面呢，一般来说呢，是一个平行式，所以呢，我们要 把 a、 p、 q 从三角形呢补充成一个平行式边形，怎么补充呢？很简单对不对？ a 和 q， 是 吗？我就知道它是平行的，所以我们 a 和 q 翻过来的 a 和 q 的 平行线有呢，但是它通过这一个维度，我们把这提升上去，提升上去 就够了。变成什么呢？变成 h 啊，从中间呢，是通过 p 点的，提升了多少呢？提升了一对不对？因为这里呢， 我们起成一的好，下面这，因为这里是二对不对？一半二嘛？这里呢，肯定是一对不对，这里 p 商发二，这里是一。好了，那我们就做了一个新的献出来，对吧？好了，我们再把什么呢？把这个 r 和 q 连起来， 就是这个结面呢？在后面的一个交线好了，交起来之后呢，这里 a 和 h 连起来，这个呢就是我们 所需要求到的 a p 勾对平面呢？和这个整个立方体呢？它们相交了线，那是差的四个面相交线了。好，但是在这里不能直接求，对不对？因为它是不规律的图形，所以怎么办呢？我们知道这里缺的一块，对不对？ 左边是低一点点的，右边是高点点，所以我们要把左边低一点点的呢补出，补上来，补呢，很简单， 这个 r 和 c 是 三，对不对？那我这里写上，哎呀，所以我把这个抬高圆点，我把这个 h r 平移过来，是吧？ p 对 p e 来画一条要连接过来，这条呢连接过来，上面一条呢是划出来，大家不要管它。 好了，这样子呢，我们就有一个新的图形，是吧？是 r s t， h r 为新的图形，那新的图形是多少？那体积多少呢？那很简单的，我们呢，它出我们的面积是一个直角 梯形，对吧？直角梯形，直角梯形的乘以，那这个棱是四，我们就知道它的体积，对不对？那梯形很好，算是吧？二分一， 上底加下底乘以高，是他的题面积，那乘以四呢，就是他的体积了，所以我们求出来他的大一的体积。后面呢，我们又减去哪一个部分呢？我们减去这个能三能追，是不是？对，就有个三能追的， 有个三能追就三能追的体积容易算吗？也很容易算，对不对？我们知道这里是一，这里是四，对不对？所以呢？二分一，乘以一乘以四就是他这根的 面积，这个的底的面积，它的高是多少呢？我们是棱长的四，对不对？所以它四，那么算一算呢，前面就是三十二，后面就是八，三十二减八就是二十四，我们选怎么和我选 d 这一题呢？它难，难在哪里呢？难在你又知道这一个平面呢？它和 整个正方的四个错面相加交线呢，可以围成一个平行四边形，你知道这个这个规律呢，就比较容易解题了，所以这个题呢，比较难，对于不知道规律的同时是比较难的。 同学们，我们看看第八题，第八题他们给了我们一条曲线，对吧？要求曲线的点到原点上面的最小距离，这个曲线呢，我们看看比较复杂，对不对？但是它，但是呢，它是干关于 x 和 y 的， 所以呢，然后呢，我们也发现规律就是前面这个呢和后面这个呢 是相同的，对不对？所以呢，我们看了相逢，我们第一个反例就是把它作为整体的嘛，变成 t， t 等于三， t 乘以三的 t 四方等于八十一，所以 t 等于多少呢？ t 我 们一看就三了，对不对？我知道八十一，怎么这个怎么看的呢？我们就八十一的八十九九，八十一又九，就是三乘以三，对不对？那我们要从三那里想起来了， 好，那这个就变成 s 的 平方加上 y， 应该是 s 的 平方，减 y 等于三，对不对？好了，那我们圆点距离应该怎么算的呢？应该是 s 的 平方加上 y 的 平方，就是圆点的距数啊，好，那我们算一算它圆点距离，我们 这样吧，我们把它 l 的 圆点的距离好了，我们看看 这里 x 的 平方， x 的 平方是不对我们，所以呢，我们带一个底 g， 对 吧？ y 加上三就是 y 的 平方，加上 y 加上三，对不对？这个呢就是圆点的距离， 好了，他说最小值是吧？最小值，哎，我们是不是很简单？这一个我们是不是看到了有一个 二次函数，对吗？很简单的知识，就初中的知识的二次函数，我们这个数刚好有最小值啊，没错，这个是有刚好最小值，对吧？你看它应该是什么样的？等于 y 减去 加上二分一的平方，后面加上一个数，我们不算了不是，所以呢，我知道它取最小值的就是 y 等于负的二分一的时候是取最小值的，那我们把这个代数行不行呢？可以啊， x 的 平方对吧？等于 y 加上三等于什么？等于 二分之五对吧？好了， y 呢等于负，二分之一就是 y 的 平方等于四分之一，对不对？ 后面呢圆点很简单呢， s 加 y 加起来，这一加根号就是二分之五，加上四分之一等于多少呢？等于四分之十一，对吧？后面我加根号，这个二分之根号十一就是选 a， 这题呢还是比较简单的好，我们今天的单选题呢就做完了，我们看看多选题，明天我们讲多选题，关注我看看多选题呢，是简单还是难。 同志们，我们看看第八题，第八题他们给的我们条曲线对吧？要求曲线的点到原点上面的最小距离， 这个曲线呢，我们看看比较复杂对不对？但是它，但是呢，它是干关于 x 和 y 的， 所以呢，以后呢，我们也发现规律就是前面这个呢和后面这个呢是相同的，对不对？所以呢，我们看了相逢，我们第一个反应就是把它作为整体的嘛，变成 t， t 等于三， t 乘以三的 t 四方等于八十一，所以 t 等于多少呢？ t 我 们一看就知道是三了，对不对？我知道八十一，那么这个怎么看的呢？我们知道八十一的八十九九，八十一又九，又是三乘以三，对不对？那我们要从三个里想起来了， 好，那这个就变成 s 的 平方加上 y， 应该是 s 的 平方，减 y 等于三，对不对？好了，那我们圆点距离应该怎么算的呢？应该是 s 的 平方加上 y 的 平方，就是圆点的距离数二，好，那我们算一算它圆点距离，我们 这样吧，我们把它 l 对 圆点的距离。好了，我们看看 这里 x 的 平方， x 的 平方，对不对？我们，所以呢，我们带一个底 g， 对 吧？ y 加上三就是 y 的 平方，加上 y 加上三，对不对？这个呢，就是圆点的距离。 好了，大家说最小值是吧？最小值。哎，我们是不是很简单？这一个我们是不是看到了有一个 二次函数，对吗？很简单，知识也就初中的知识的二次函数。问，这个数刚好有最小值啊？没错，这个是有刚好最小值，对吧？你看它应该是什么样的？等于 y 减去 加上二分一的平方，后面加上一个数，我们不算啦，不是，所以呢，我们知道它取最小值的就是 y 等于负的二分一的时候是取最小值的，那我们把这个代入值行不行呢？可以啊， x 的 平方对吧？等于 y 加上三等于什么？等于 二分之五，对吧？好了， y 呢，等于负二分之一，就是 y 的 平方等于四分之一，对不对？ 后面呢，原点很简单呢， s 加 y 加起来，这里加根号就是二分之五，加上四分之一等于多少呢？等于四分之十一，对吧？后面我加根号就二分之根号十一，就是选 a， 这题呢还是比较简单的好，我们今天的单选题呢就做完了，我们看看多选题，明天我们讲多选题。关注我看看多选题呢，是简单还是难。

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先生好，咱们今天啊，分享一道啊，中考一摸的一道气势吞山河，无缘圆的问题。好，且先证明，如何，我就不再多写了哈。那么关于圆的，且先证明，我说三点他的， 他出题一般有三种出题思路啊，就是三种方法啊，就像这道题，点在圆上 啊，正垂直，那么这个就是啊，啊，点 a 的 原上，我们需要证明角 o v p 中九十度，那么第二个就是啊，有垂直， 需要证明啊，点在圆上，那么我们一般是证明啊，证明什么？证明他的切线，切点，切点就是切点到圆心的距离啊，等于半径。 第三个就是切线的定义，与圆只有一个交点。 第一种是最常见啊，最常见，最常见。第二种少啊，很少。第三种是极少极少啊， 我记得印象中只见过一次哈，好，咱们看第一位哈，第一位他说证明啊，证明他是全线，咱们读完题之后看一下子哈， 啊，我要证明 p a 是 圆的弦，我只需要证明一个问题，证明角 o a p 等于九十度，那么根据我们条件，我们看一下， b 是 圆的啊， b 位切点，那么你一定要连接，你一定一定要连接 o b， 为什么连接接之后又垂直啊，这是并缺点，然后原因中有隐形条件哈， o a 等于 o b 啊，这个注意哈，隐形条件半径相等，这一个是经常用啊，经常经常用 好，还有垂直，咱们今天还有垂直，那么有垂直的话就是什么？他就有等腰三角形 o a p o a b， 所以 啊，那么有等腰三角形，一定要想到三线可以令， 是不是啊？好，咱们看，我要证明角 o a p 总有湿度，那么第一眼你的感觉就是湿度在哪里？湿度就是这里有垂直。我看了三角形 o a p 和 o b p， 它全对，所以说我们的目的是啊，目的是正 啊，九十度，我们的思路是正全等。好，咱们看一下，我们要正全等啊，我们要正九十度，我们需要干嘛哈？我们需要证明角 o a p 啊，等于角 o b p 等于九十度啊，这老师只说思路啊，不说过程啊。那么如何证明他等于九十度呢？刚才说了，是不是我们需要用全等啊？我们需要用全等 三角形 o a p， 全等三角形 o b p 啊，那么我们看条件够不够？条件来好，角二，没有角哈，没有角，我们知道什么？ o a， 这两个三角形中有一个隐形条件 o a o b， 还有一个隐形条件就是公共边相等，所以说这两个都是隐形啊， 隐性条件不是隐啊，隐形也可以哈什么的，隐性就是告诉你你可以直接用 啊，然后下面我们缺一个角哈，那么我们看下来哈，角一，这是角二，刚才分析了吗？对不对 啊？角，一种角，咱们如何证明他俩相比？好，我们看一下来证明他俩相等。我们需要什么啊？我们需要 o a 啊，等于 o b 看，没有啊，他是等式隐形，然后 o p 垂直 a d， 看到没有？所以说我们用的什么啊？三线合一啊，三线合一，咱们就证明出了哈，我们用的什么哈，是老用的方法，是注意哈，是倒推法啊，倒着推 啊，思路倒推。你写证明的过程时候，你从下往上写，这是第一位，那么第二位哈， 你看啊，让我们证明 e f 的 平方等于四倍的 o d 乘以 o p。 我 敢说接近有一半的同学，哈， 你看到这道题对不对？就快放弃了，你看这个东西，啥？ e f 平方四倍，什么 o d 乘以 o p， 是 不是 啊？这样听你看，静下心来，仔细分析来。 e f 的 平方等于四倍的 o d 乘以 o p。 那 么你去干嘛啊？你去干嘛？你去看图啊， 数形结合吗？ e f 是 什么？而我一看， e f 是 圆的，直径是不是？有直径的话，那么直径等于半径的二倍，那半径的 o a， o e， o c， o f， o b， 是 不是啊？咱们又看一下，它和 o d 和 o p 有 关系，那么我们首先考虑谁啊？考虑 o a， 那 么 e f 等于二倍的 o a 的 平方等于四倍的 o d 乘以 o p 啊， 然后咱们把它展开一下，展开一下，就是四倍的 o a 的 平方等于四倍的 o d 乘以 o p， 然后再展开就是 o a 的 平方去同时除以四，得到 o d 乘以 o p。 好 看，这个式子啊， o a 的 平方，好家伙， o a 的 平方等于 o d 乘以 o p。 这不就是射影定律中的一个吗？射影定律 啊，很显然不是定义哈，摄影定，我们要证的是啊，三角形相似。到这里，这个题的思路已经很清晰了哈，三角形相似，给你算一下吧。啊，咱们这是三角形 o a， d 啊，相似三角形 o p a， o p a 啊 啊，至于什么相似，我不再整，我之前讲过很多，对不对？讲过很多，那么如果说你想知道摄影电影内容，你可以给孙老师哈在评论区留言啊，留言，好，咱们总结一下这个题啊， 我们用的什么哈？我们用的，嗯，全能，我们用的相似， 我们用了三线合一啊，对不对？我们用了摄影店的，摄影店的其实就是正啊正那个相似的。 那我们的方法你用了什么？倒退法？倒退法， 这两个都是倒退啊啊，思路都是从上往下思路。 那么过程从下往上啊，证明过程或者求结过程从下往上写啊，这是随老师今天分享的题。

天山区一模数学试卷分析来了一条视频带您了解 这套卷子呢，标准是按照中考模拟难度来的，属于中等偏上难度。百分之六十的基础题型，百分之二十五的中等题型，以及百分之十五的压轴题，就是用来检测一轮复习效果的，太有参考价值了。 填空题和咱们的选择题，前半部分都属于送分题。三是图科学计数法密运算，吃透课本就可以拿分。比如说我们的七到八的选择题，十三十四的填空题，都属于中等题型， 细心就不会丢分。唯一天空的最后一道大题，以及我们大题的压轴，就是用来拉分的关键基础。一般的孩子，这在这类题型上卡壳属于太正常了啊！不同水平孩子的失分点一目了然，基础弱的全栽在计算上了。 公式概念，这个不记得不牢靠啊！中等题中等声呢，大多数会在咱们的几何旋转圆综合，还有就是粗心算错。尖子声呢，也就是在天空的压轴题以及我们的二次函数综合上能拉开差距， 他们但凡基础扎实，压根就不会丢分。数学后期要怎么冲，直接照做，基础弱的咱就死磕计算。中等生呢， 专攻几何旋转圆综合、不等式组这类中档题型，减少粗心造成的失分。尖子生集中练习二次函数压轴几何动态题，冲刺我们的高分段。 最后提醒，这套试卷的难度呢，跟中考题型的难度稍微偏低一些，现在做查漏补缺完全来得及， 需要用这套试卷做针对性训练的。家长评论区扣数学，我是孙老师，只讲本地干货，让家长和孩子少走弯路。

银川湖畔中学一模数学试卷。

来聊一聊石家庄长安区的这次一模数学考试。这次数学考试出的非常有水平啊，我觉得这才是新课标下符合中考命题新趋势 和选拔学生标准的一套好卷。这套卷子呀，不偏不怪，灵活且有深度。做完这套卷子，你就感觉看了一场意境悠远的电影。开始的时候啊，你看很多题都不难，面目可亲， 但越坐到后面的时候，你就越能感受到与出卷人的斗智斗勇。从难度上来说，这套卷子的难度要大于玉华区，要大于桥西区。但评判一套卷子，不应该是越难越好。 我在课堂上会跟孩子们说，有的题难是为了难而难，这叫勉为其难。比如说加入一个奥数知识的考察，比如加入一个孩子们没怎么学过的模型的考察。这种题在我看来出的就没水平。好的题应该是从出题角度和知识深度来着重设计。 接下来，我把每一个有陷阱、有深度的题讲解给你看。首先选择第四题，这道题的思维量就比较大，题目考察的是格点中有几个点与已知的三个点能构成轴对称的四边形。这个出题的角度放在第四题这么靠前的位置，对孩子们的心理压力就会很大。 有两个点很明显，马上就可以看出来，但是孩子们就会担心会不会少数，所以需要在格点中每一个点连起来再去试。第八题出了一个概率问题，但是他结合的角度特别巧，考察了正方、体点、棱面的关系。 第十题考察了一个矩形对角线相等的性质。别小看这个性质啊，这道题有区分度的，对于学霸来说很容易一眼就看出来，但对于学渣来说，真的想不起来。第十题，考察了斜率的深层理解， 很多同学可能在考场上会看不懂题，如果你对于斜率 k 的 理解只停留在学校教的初级阶段上，那么这道题你大概率看不懂他在说什么。对于我们这种啊，跟中考出卷人斗智斗勇了十多年的老教师来说， 看这道题真的会会心一笑。第十六题，考了一个相似型的刮豆原理。刮豆原理啊，其实也是我们中考模拟的一个常课了，像是新华区二十八中在九上这个学期的时候考了非常多。如果对这块有问题的同学，要好好去看一看，手拉手的全等手拉手的相似 再去学习刮豆原理，那么这道题啊，就很简单了。再来说二十三题，这道题考察了圆和解三角形的知识，乍一看人畜无害的，但是第二问计算有一点复杂，尤其那个得数很难看。还有就是第三问需要调取孩子们的几何想象能力。 那么这道题呢，它的边界选曲也非常的易错，有陷阱。最后再说二十四题，这道题一上来就有难度，因为它给我们植入了一个新定义，叫好点。当我们按照题目中的含义用 k 来表示出 p 的 坐标之后，很多同学可能就停留在这，把它当做一个未知点来处理了。 但是应该很少有同学意识到，如果我们可以用一个未知数去表示点 p 的 坐标，他的轨迹是有方程的，他是有图像的。那只有理解到这个深度，你才可以去做最后一问，那么这道题啊，也是有原型的，二三年二十五题第二问的圈二选项，考察的就是这个。 最后总结一下这套卷子，有心意，有灵活，有深度，如果中考分数想要冲击一百一十五级以上的同学，要好好把这套卷子做两遍， 而且吃透。考的不好的同学啊，也不用气馁，因为这套卷确实有点难，借由这套卷，我们既可以检测知识上的漏洞，又感受到了真实中考的深度和强度，聚焦问题一定可以再进一步。难题压轴不用处，曲老师带你有思路！

去刚进行咱们一中考一模测试啊，然后考完试之后我把试卷做了一下，总体来说难度的话啊，如果跟莱芜区做对比的话，稍微有一点难啊，优秀的话，呃，个人感觉在一百二十五这个位置，咱们莱芜区之前给大家讲过，大概在一百三十分这个位置， 哎，咱们具体可以看一下这套题当中啊，有难度题型啊，主要集中在咱们这个就是填空选择最后一个啊，就第十题，还有咱们的第十五题啊，这是一个折叠类型的，上面一个二次函数翻转类型的啊，这是这两个题型 后面的话，呃，这些题难度不是很大啊，正常难度二十三题的这个第三位啊，考的一个，这是一个背角问题啊，可能同学平时有可能没做过，这样的话咱们给统一扣了个四分。 再就是咱们二十四题的这个第二位，先讲过一个类似的题型，就是拉窗帘的方法，我不知道咱同学在考试当中有没有想到啊，这是咱们这个题型，嗯，包括咱们第三位还是有一定难度的 啊，为什么我们讲这道题难度要比咱们那个莱芜区大呀？就主要体现在咱们二次函数这个题难度要稍微大一些 啊，包括咱们这个刚才说的这个二十三题的这个第三位。至于最后一道题的话，前两位还就是没有什么太难的地方啊，跟咱们这个莱芜区啊考试同一个知识点， 就是旋转完之后啊，考的这个 s a s 来证明相似问题。但是第三位有难度，这样的话，咱们这个，呃，这边的话是扣了一个八分啊，两万吗？八分，这个是最后一位四分，加上咱们前面这个题扣了四分啊，再加咱们填空选择是吧？ 呃，就是说最后大概啊就是在一百二十五分这个位置啊，如果说孩子成绩啊，能考到这个成绩的话，说明孩子比较优秀啊。咱晚上给大家再详细讲解一下咱们这套啊，钢城区一模数学试卷。

咱们今年的中考一模真难哈，尤其是数学科目。咱们刚考这些一模的数学卷呢，一定要做一做。你像这个 c 二十的、百校联英的、安徽第一卷的、 a b 卷、江淮名卷的等等的进点新题啊。您私信我九零一我发给你，答应还去做一做。我觉得这些卷子练完的话，到了二模的话数学进步个一二十分问题不大啊。