正弦函数图像折叠

他呢，就是说如果说这是数学里边那个图像的话，这个坐标就是零嘛，对吧？这是派。嗯，这地方是二派嘛？这一半呢？这是二分之派，这中间呢？这是四分之派，对不对？然后这个点呢？就等于一，这个点呢就等于二分之根号二。听懂， 就是说如果数学的这样一个散元函数图像，它是这么关系，对不对？嗯，明白。然后我那个意思是 啊，我那个意思是他这个，你从那个地方得到的数，不是这些数，知道吧？但是比例是，这个比例什么意思呢？比如说这是零，这是四，这是八，可以吧？现在他一个周期就变成八了嘛，明白。嗯，那四的一半，这个黄线是二，再一半这个子线就是一嘛，没问题。 嗯，这个顶上这个数你随便写，你说个数，呃，一吧。嗯，不行哈， 好。但是三元它最大值五以上的数，五以上的数，那就七吧。好， ok， 那 这是七，好不好？也就是说我的意思是它是仿着上面的图的比例来画的下边这个图，这些数值你可以随便写， 但是它的关系不能是随便的。什么关系？这个位置是这个位置的，怎么样？一除以根号二得到的吧？ 啊？所以呢？这个点，这个 a 点它的数值是几？七除根号二吗？对吗？七除以根号二吗？所以是二分之七倍根号二吗？就这么个东西吗？ 是这个意思，懂不懂啊？然后呢，我又举了例子，比如说，你看现在咱们都是卡住这个左边键，是零吗？是吧？救了这个外轴，现在就忽略这个外轴，他就不是外轴了，你就随便写个数，比如说这是四，对不对？然后呢？这咱们写个十六，那你说右边这个点是几？ 最右边那个吗？嗯，呃，随便说吧，还是要那不是那肯，那肯定是根据四和十六来的吗？嗯，加十二吗？那是二十八吗？对对对，没毛病。那说明还行啊，那黄线是几？ 黄线是八不对吗？你零和十六的中点是八，现在是四和十六的中点吗？我是十，对啊，我看一下两头相加除以二，这个会吧。哦，知道了，那这个子线是谁？ 子线也是七，对吗？然后你再给这个点上面这个点给个数， 这随便说吗？对，随便说。那九对，他如果是九的话，对不对？这个点不就有了吗？这个点是多少？九除根号二吗？得了吗？ 我就这样啊。对啊，那就是说他们后边全都是借了这个基础赛亚函数的图形的比例来的，明白，嗯，特殊比例，听懂了吗这回？嗯， 那老师你当时在课上说，嗯，就是你在讲最后一个图的时候说他那个点是这个馒头的四分之一，对啊，这不是一个馒头吗？嗯，对啊，这不是半个馒头吗？哦，这不再切一刀，这不就是四分之一个馒头吗？ 那，那他这个四分之一个馒头怎么用式子表示出来？就是表示他的公式吗？ 对对对。哦，首先我第一个啊，我后边有特别去讲啊，而且我还在那里边把那数学的知识点讲了， ok， 但是现在呢，我我我，我来给你讲它好不好， ok， 嗯，首先呢，他们所有的式子都写成这个 a 倍的撒引 omega x 加上一个 f， 当然这是数学里边的式子，在物物理里边他就变成欧米伽 t 了啊。然后呢，加上一个 d， 这个 d 先说是上下平移，这个你理解吧。 嗯，但他没有上下平移，所以在本题中 d 等于零搞定。嗯，然后这个九呢？是他的正负啊，那不就是 a 吗？ 所以 a 就是 那个九。明白，当然可以是负九，得看题目里边的要求，一般来说要求 a 是 正的，你写的话也写 a 是 正的，听懂了吗？嗯，然后就差欧米伽和斐了吗？就对吧。欧米伽和周期有关系吗？所以咱们这个周期是多大？四到二十八是二十四对不？对 啊？所以欧米伽等于二派除上周期吗？除二十四是不是十二分之派？嗯，那这个时候呢？他就有了吗？是九倍的赛。什么十二分之派？乘上一个 t 加上一个 f 吧。嗯啊，你现在不就差这个 f 等于几吗？对吧？ 对，你就在这里边找一个点带进去就可以把 f 取出来了。找哪个点？推荐你找这个点，找这个风或者是鼓的这个点。为什么呢？因为如果你带入零点的话，他就有可能是往上走的零点，也可能往下走的零点。什么意思呢？你比如说我画这个图像 和他上下翻转的图像，这个点是不是也是带进去等于零啊？你带进去求出来的结果有没有办法区分他是拱的还是凹的？如果带零点算的话，没办法，但是你带这个峰值点他就 对吧，没得跑了吧，他就只能是这样。所以推荐带风之点。你就把这个横坐标十，纵坐标九给他带进去就行了吗？对吧？嗯，你带进去不就是九九倍的萨耶，你乘上十是十二分之派，乘上一个十加上一个派，呃，等于一个九吗对不？ 嗯然后九抵掉之后是萨耶里边是六分之五派加上一个派怎么样等于一吧。嗯萨耶谁等于一 二分之派所以这一坨就是二分之派吧。啊啊他这六分之三移过去之后是负的六分之二是负的三分之派吗？嗯啊 完了否有了 a 有 了这参数都有了最后写他的式子吗我写成黑笔就是九倍的三元一个多少十二分之派完事之后呢 t 减掉一个三分之派这就是他的表达式明白嗯 搞定 ok 好 嘞啊你往后看啊这是开始是刚开始接触这个东西后边呃反正你遇到的题型基本上在后边都能找着 ok 行哎我得交代一句啊你现在虽然可能很着急但是你既然学就学的过程中不能着急啊 你就保证每个每一版都听懂了而且自己再过一遍然后再往后听下一版好不好因为因为你可能也不需要把所有的东西都学完知道吧。就是但是你学过的地方得扎实一点能行这是其一其二 就是听这个视频课啊有个有个问题就是你听的时候觉得挺懂的学的东西也不少 但是你得有个检验的步骤就是检验的环节你得听完课之后自己去刷题懂不懂然后呢用刷题的时候在初级阶段啊比如说你你看完课时一你就可以去刷了刷的时候你只要把课时一里边讲过的东西给他做对了就行 至于后边涉及到什么干涉那些东西加强减弱点你没有学到那个地方对吧但题考到了你没做出来就不管他懂吗？你带着这个疑问在学后边，然后学后边时候反而效率会更高一点，然后你再去做就会更好一点，能懂。 ok， 好， 就这么着。好吧，拜拜。谢老师。还还给你说一个事情，那个热热血的，我打算先把我讲的那一点点 剪出来，然后给你，你去看一看，你看你能不能接受啊？因为我感觉前面讲那两个例题稍微有一点点难度。 ok， 如果你看完之后，你觉得你说老师有点太难了，我就再找几个简单的例题放在他前边，你懂我意思，我就再去讲两个简单，因为后边呢？我可能去 就是我老婆他们家呃，待一个礼拜，我这就是没有特别好的电脑可以用，懂吗？他就可能这个 呃制作的流程就会受阻。明白。所以说我打算今天在我们家把这事给弄完，然后给你一部分，你去看好不好？看完之后你感觉你说老师，哎，还可以，我能接受，那我就按我之前准备的那个讲义去讲，如果你觉得，哎，老师太难了， 我就去找几个简单题目做个铺垫，然后你再去看后边那种难一点，好吗？ ok， ok， 好， 拜拜，拜拜， ok。

这节课我们一起来学习正弦函数图像的伸缩与平移变换。我们在之前讲正弦函数五点法画图的时候，那么到 x 显示范围是零到二派 l 四的值分别为零二分之派、派二分之三派和两倍的派，这样的函数值呢，分别为零一零、负一和零，所以我们把这五个点给标出来。以后呢，我们在直角坐标系里边把这五个点描出来，利用光滑的直线把它连接起来，这就是五点法画图。 接下来根据 y 等于三 y s 看一下 y 等于三、四 x， 他五点该怎么样来选这五个点呢？ 这个时候是令四倍 x， 然后四倍 x 是零，到二排的时候，他的值分别为零、二分之派派二分之三派和两倍的牌刚好是为这里的。这里 声音四百来个词是等于这么多对应的函数值呢，三言四百个字，他的值与他是相等的。但是呢，我们要注意，横坐标是 x 值，而不是四百 x 的值，那 那么要选五个点，既要知道横坐标，又要知道动作标，所以我们要算出横坐标的值。横坐标的话， 另四倍 x 是分别等于这么多，那么算出 x， 那么就是用这些横坐标除以四就行了。比如说四倍 x 等于二分之派，那么 x 值呢？是等于二分之派，除以四等于八分之派的分别算出来。 所以来看这两个函数，这两个函数的话，这里 x 的值是为这么多，但这里呢， x 的值是为多少？ x 是等于四分之一，上边的四分之一是上边的 x 乘上四分之一，刚好是等于这个 x 的值，当在这里 s 前面乘上四的时候，它的横坐标乘上了四分之一，而重坐标呢，它的重坐标没有发生任何的变化。 那么我们得出这样一条结论， y 等于三 y， x 变成 y 等于三 y 四百 x 动作表是没有变化的，动作表没有变化，但是它的横坐标呢？来看一下，是变为原来的四分之一，乘上了一个四分之一。 再来看第三个 y 等于三，四分之一倍的 x， 这里我们用四分之一倍的 x 分别等于零、二分之外，派二分之三，派两倍的派。对应的函数值呢？在下边同样也要算出 x 四值， x 值该怎么样算？四分之一， x 等于二分之派，那么 x 值呢？是等于二分之派乘上四一词，我们来看这里呢是派乘上四得到四派，这里是二分之三，派乘上四得到六排，所以他到他是乘上四的一个关系。 看一下他的横坐标和他的横坐标，他的横坐标到他的横坐标是乘了四，但是他的重坐标和他的重坐标是相同的。所以我们又得到另外第二个 y 等于三元的是，纵坐标是不变，但是横坐标变为原来的四倍，这个 里乘上个四分之一就变为原来的四倍，这里乘上四就变为原来的四分之一。所以得出一条这样的结论， y 等于三 y 的时，要变成 y 等于三 y 的， 这是它的函数图像，它的函数图像该怎么样变换呢？纵坐标是不变的，在 x 前面呈上一个系数，纵坐标不变，横坐标变成原来的欧米伽分之一。 接下来我们看一下第二个，刚才是在 x 前面呈上欧米伽，那么动作不要不变，横坐不要变为原来的欧米感分之一。现在呢，我们要在整个赛眼前面呈上一个四，该怎么样的变化呢？同样用五点法作图来看一下， 这里 x， 当我 x 的取值范围是零到二拍的时候，那么他取这几个点， x 是这样，三，一个字是这样，但是四倍的三，一个字只要在前面乘上四就行了，很作标是没有发生变化，但是纵坐标呢，都乘以了四，所以我们 得到恒坐标不变，动作标成为原来的四倍，这里是个四，写错了，变为原来的四倍。 那么得出这样一个结论，外，等于三亿 x 变成 y 等于 a 倍的三亿 x， 我们横坐标是不变，纵坐标变为原来的 a 倍。最后统一我们把这两个结论叫做正弦函数图像的伸缩变换。 接下来我们再来看第三，第三讲的是什么呢？ y 等于三， x 向上平移四个单位，向下平移四个单位，向左平移四分之派，向右平移四分之派， 这是有关正前还是图像的平易变换？左加右减，上加下减，这个其实我们已经讲过，但是这里呢，我们再重新把它整理一下， 左加右减，上加下减，现在左移四分之拍，那么左右是和 x 后面有关，左移四分之拍，那么在 x 后面加上四分之拍， 右移四分之拍呢？左加右减，那么右移的话，是在一个侧后边减去四分之拍，上移下移是整个柿子后边做加减，上加下减，上移呢？那么整个柿子后面加上四下移呢？是在整个柿子后边减去四， 这是有关正线还是图像的平移变换？左加右减，上加下减。接下来看一下例子。第四，先伸缩变换，后平移变换。 y 等于三 x， 他的 答数图像变为 y 等于三倍的相应四， x 加上三倍加上一，该怎么样的变化呢？先伸缩，那么是在 x 前面呈上，或者是在整个 在后面呈上一个数平移变换呢？在 x 后面加减，或者在整个式子后面加减，那么我们先乘，首先我们在 x 前面乘上四，那么动作标不变，横坐标缩短为原来的四分之一， 好，再在整个四字后边扯上三横，作为不变中作标，变为原来的三倍。接下来我们在四倍 x 后边加上三分之派，加上三分之派。有些同学问，为什么是向左平移十二分之派，而不是向左平移三分之派呢？根据左加右减，上加下减， 因为这里是四倍 x， 我们看上面这个四倍 x， 那么我们下边也要把它把这个式子化成四倍 x 的形式。我们假设是四倍 x 一，那么这里 x 一的值刚好是 x 加上十二分之派，要把四给 提出来，要把四提出来以后呢，那么就变成这个样子，他是加上了十二分之拍，所以是向左平移十二分之拍，这里四要拎出来。最后呢，我们在整个四字后面加上一，那么上加下减，纵向向上平移一， 这是先伸缩后平移变换。接下来我们看一下先平移变换，后伸缩变换。外挡于三 e x， 那么也是变成同样的这样的一个函数图像。首先呢，我们先加上三分之派，横向左平移三分之拍。刚才是要加上三分之派，因为 我们先伸缩了，现在我们没有伸缩变换，直接平移，那我们直接加上去拍。接下来呢，我们在 x 前面要乘上上一个四，那么重坐标不变，横坐标 缩短为原来的四分之一就行了。好，我们在在整个式子后面存上三，那么纵向身长三倍，横向是不变的。最后我们加上一上加下减，纵向上平移一个单位， 这是有关先生速变化后平易变化，以及先平易变化后伸缩变化他们俩的一个区别。 后，我们来做一下小节。这节课呢，我们学习了有关正弦函数的一个伸缩变换以及平移变换。先看伸缩变换， y 等于三， x， 他的函数图像变成 y 等于 c， 我们看 x， 他的函数图像呢？那么动作标是不变，横坐标变为原来的 oppo 分之一，在 在 x 前面沉，那么重视不变，横变呈上欧米伽，那么是变为圆的欧米伽。分之一 等于三， x 变为 y 等于 a b 的三 e， x 横坐标不变，因为是在整个式子后面存上 a， 动作表变为原来的 a 倍， 这是正前行函数的伸缩变换。再来看一下正前行函数的平移变换，左加右减，上加下减，左右加减与 x 有关。上下加减呢？与整个四字有关。 向左平移，顺着拍， x 后面加上四个单位，向右平移四个单位， s 后面减去四个人。拍向上平移四个单位，那么是加上整个四字后面加上四，向下移四个单位，那么整个四字后边减去四。好，这节课我们就讲到这。

你个废物，这么优秀的学生都教不会？名师课堂开课，好，这节课我们讲一下那个正弦函数， 那么我们先看一下它正弦函数，它为什么叫正弦函数？正弦函数它的来历是啥？就是古时候人靠那个日月星辰来 看那个四季啊、节气啊，来决定那个农耕时间，然后他就会计算那个太阳月亮，这个行星在天空中的运动运动，然后去观察他的角度变化。但实际计算呢？要有，要有高度啊，距离啊、轨道，他都 实际上都要有这些轨道这些偏差，那我们就会计算到一些弦弦就是说连接圆上两个点的线，比如像 a b， 圆上的 a b 两个点，那这就是 a b， 这就是一个弦，那这个就是符，这个就是弦。 ok， 那 它为什么叫正弦函数？你看，比如说这是一个单位圆，那单位圆上面有一点 p， 中边上面有一点屁，然后比如说，那你三 in theta 是 不是等于一个对边比斜边，那斜边是单位圆，是，是个一，是不是？三 in theta 是 不是就等于 mp， 对 不对？是不是等于 mp？ 那 这个 mp 是 什么？是不是就是弦的一半呀？ 是不是？我们算弦的时候，是不是？我们只要知道这个是不是单元的时候，只要知道三弦，它就知道这个 mp 了，是不是？所以这叫正弦弦弦，因为这个就代表弦，实际上一个三弦它就是二分之一个弦。 还有这正弦函数的来历，那 cosine sine 等于 o m， 然后 tan 的 sine 这边比这边，它是，你看像是三角形，这边比这边等于，这边比这边，对不对？这边又是一单位圆，对不对？ 所以判定 c， 它等于 it， 对 吧？好，我们来看正弦函数的一些特点，我们知道正弦函数、余弦函数，首先我们一定要脑子里面牢记它的图像，就像我们之前学的其他的函数一样， 我们一定要知道它的图像，那这些函数，首先它的定义域，这是 r 吗？整个范围内都有，那你看到它的图像也知道它最大值，最小值都是，最大值是一，最小值是负一，对不对？它都是这样的，它的周期呢？你看它的周期都是 ipad 没过 ipad 没过， ipad 就 重复，对不对？嗯，你， 你看什么是周期呢？比如讲函数 f x 的 定义域是 d， 如果存在一个非常硕像 t， 使得每一个 x 输与 d 这个集合都有 x 加 t 属于 d， 满足什么 x 加 t 等于 f x， f x 加 t 等于 f x， 那 有一个前提条件，什么 x 属于这个里面的， x 加 t 也是属于这里面的， 且这两个相等，那么 f x 就 叫做周期函数，那呢？周期就是 t， 那 我们讲它讲最小正周期是二 pi， 对， 最小正周期是二 pi， 美国二 pi 也重复，那我们如果因为它是最小正的周期，其实四 pi 也是它的周期嘛，对不对？ 它的单调性，它的增区间是哪？撒引函数的增区间是哪？是不是增区间啊？是不是负的二分之 pi 到正的二分之 pi， 这一段是递增的，对不对？那它递减区间呢？是不是二分之 pi 到负的二分之三 pi， 这是不是递减区间，对不对？ 但它要有一般性，它是不是每一个都要加上一个二 k pi， 对 不对？还有一般性，推广到整个电影院，它是不是都要加上二 k pi？ 那 同样的，那余弦函数也是的余弦函数 它的，它的争取间是什么？它的争取间是不是 pi 到二 pi 对 不对？那你要把它 你正区间，你可以这样的，负派到零，对不对？负派到零，你给它一般化了过后，也两边加上二 k pi 嘛，对不对？那它的减区间就是二 k pi， 也就是零到 pi 就是 二 k pi pi 加二 k pi 都是有一个周期加进去，对不对？ 然后你可以看到这个余弦函数它是偶函数，对不对？它是关于 y 轴对称的，对不对？那那这个正弦函数它是什么？它是关于圆点对称的，是不是？它是一个 g 函数，对不对？ 那它最大值是不是是一最大值？余正弦函数最大值是一，是不是它都在二分之 pi 加上一个二 k pi， 就是每个周期二 k， 二分之派加上它的周期二 k 派，它都是最大值，对不对？那它最小值呢？是不是二分之三派加上二 k 派，对不对？是负一对不对？ 那同样呢，余弦函数它的最大值也是一，它是不是都是在什么？在二 k pi 的 时候，对不对？二 k pi 的 时候取得最大值，那它最小值呢？是不是都在什么？ 都在 pi 加上二 k pi 的 时候是不是最小值？ 然后它的正弦函数的对称中心是 kpi， 对 不对？那对称中心是 kpi， 然后 k 取零的时候，在这 kpi 的 时候在这，它的对称中心是在这，对不对？它的对称轴呢？对称轴是不是二分之 pi 加上一个 kpi， 对 不对？这也是它的对称轴，那这台也是它的对称轴，对不对？它最高点最低点，它都是它的对称轴，那 cosine 也是的， cosine 的 对称轴是关于 它在比方它在原点是开派，每隔一个派对不对？它都是它的对称轴，对不对？那它对称中心呢？对称中心是不是？这是不是开派加二分之派？是不是？是不是？ 这这这二分之派，这二分之三派对不对？这二分之五派对不对？这是它对称中心。

五分钟搞定正弦函数的图像与性质。哈喽，大家好，我是高中数学罗老师。好，我们接下来来看这个正弦函数的图像与性质啊。在看这个性质之前，我们先来看一下这个图像 啊，图像散 x 啊，我下面还画了个什么，这个是谁？图像是不 cosine x 的？ 好，我接下来来教大家怎么去记住这个散 x 和 cosine x 这个图像啊。 sin x， 它的首字母是这个 s 啊，你这个图像它是不是相当于是它倒过来啊？实际上不是倒过来，但是可以这样去记，好，那类比下面这 cos x 是 不就是这个 c 啊， c 是 不是倒过来也长这样啊？好，这两图像记住了，我们接下来直接来看这个性质。 好，性质，第一个就包含什么？我们在研究一个函数，我们是不是先去看它的解析式啊？我们先把这个解析式看了啊，就是 y 等于 sin x 图像呢？啊，就长这样啊，你把这边啊，我刚才画这个图像给他补齐。那是啊，就是他挑选的一部分出来啊。定域是什么啊？由于周期性，他可以怎么样？无限延伸啊，无限延伸，他这个定域就是什么？就是 r 啊， 他所有 s 都可以取到啊。直域呢，我们就看图像的最高点和最低点啊，最高点这块是不一啊，最低点呢，就负一啊，所以直域就是负一，这个周期，它是具有周期性的，所以这个周期就不想多说了。他是 t 等于二派的呀，那基友性呢 啊，奇偶性的啊，我们前面说过，说到一个什么，是不是提到那个诱导公式，它会有一个和这块啊，就是可以体现这个奇偶性的啊，是什么？有散引负啊法，它是等于负的散引啊法的 啊，所以它是一个什么？是一个奇函数啊？好，接下来来看这个递增区间啊。递增区间，我们来看这个图， 他是从负二分之派到二分之派，他是单调递增的啊，就这一个递增区间吗？啊？他不是的啊，他其实这样，后面你把后面图像给他补齐，他有什么无数个递增区间的？那下一个递增区间是什么？就是这个二分之三派到二分之五派啊。所以我们这块用什么二分之 k 派减二分之派， 有什么二分之 k 派加二分之派啊来表示啊？当这个 k 等于零的时候，就是哪个递增区间，是不就这一段，那我用红的给大家表示出来，是不就这段啊？那当 k 等于一呢啊，是不就后面这一段？那 k 等于负一呢啊？是不就他左边这一段啊？我把左边也补齐 啊，是不就左边这一段啊，对不对啊？这个就很好体现了，那递减区间就类似于这个递增区间啊，一起去记啊，就把图像一画，这些性质你是不都可以写出来啊？对称中心好， 他有一个特殊的对称中。对称中心是什么啊？是不是就根据这个基友性给他他的一个什么特殊对称中心就是零到零啊？这样这块也可以说明这个 k 等于零的时候啊，第一个对称中心就这个零到零啊，那还有呢？我们来看到这个图 是不是拍抖零啊？啊？拍抖零，后面还有二拍抖零啊，当 k 等于一的话，它这个对称中心是不是就拍抖零， k 等于二呢，就二拍抖零， k 等于负一呢，就负拍抖零啊，所以这个就是对称中心。那么对称轴呢啊，对称轴先找到第一条啊，我们以这个为第一条为例啊，就是 s 等于二分之派 啊，这是他第一条对称轴方程，再往右边就是 x 等于二分之三派啊。我们所以可以用 x 等于 k 派加二分之派，是不可以表示所有的对称轴方程啊。当 k 等于一的时候，就 x 等于二分之派， k 等于二的时候，就 x 等于二分之三派， k 等于负一呢，是不就是 x 等于负二分之派 啊？发文这半是不是就这条对称轴啊？所以这个啊，就是我们什么正弦函数的图像与性质啊。今天就讲到这，我们下期再见。

上课同学们好，请坐前面！我们学习了三角函数的概念，那谁来回顾一下它的内容呢？嗯，第二排那位同学，非常好。正弦函数是 y， 等于 sin 的 函数， 定义域是 r， 余弦函数是 y 等于超赞 x， 定义域也是 r。 正切函数是 y， 等于贪婪的 x。 要注意，它的定义域是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 是 除以 g 的。 好，那哪位同学可以说一说，我们是如何得到三角函数的定义的呢？第三排那位同学，哦，非常好！通过研究单位圆上点的运动，得到了 射线 o a 绕着点 o 逆时针旋转角阿尔法， 其中边与单位圆相交于点 p， 那 么点 p 的 纵坐标 y 就 表示 alpha 的 i 正弦函数，点 p 的 横坐标 x 就 表示 alpha 的 i 与弦函数。非常好，请做 那本节课呢？我们就从三角函数的定义出发，来研究正弦函数与弦函数的图像。我们先来研究正弦函数的图像， 我们知道单位圆上的任意一点， 在圆周上旋转一周，就会回到原来的位置。那这个现象我们就可以用公式表示为 sine x 加减二 pi 等于 sine x， 那就说明自变量 x 每增加二派或减少二派，正弦值是不变的。那么利用这个特性，我们就可以大大简化正弦函数的作图过程。那我们是不是只需要做出正弦函数在零到二派上的图像， 然后呢，通过不断地向左向右平移，就可以得到整个定域域上的正弦函数的图像了。 那下面呢，请同学们分成小组来思考这样一个问题，在零到二派上，任取一个点 x 零， 我们该如何利用正弦函数的定义来确定它的正弦值 sin x 零呢？进而做出正弦函数图像上的一个点 t x 零， sin x 零。好，给大家一些时间， 好，哪个小组？第二小组哦，你们组先做出 x 零，然后呢，记其中边与单位圆相交于点 b。 根据正弦函数的定义，点 b 的 纵坐标就是 sine x 零。 那你们是如何确定出横坐标 x 零的呢？ 非常好！弧度值的定义，根据我们之前所学习的弧度值的定义，弧长 a b 与半径的比值就是 x 零，那因此 x 零的大小就是弧 a b 的 长度。 那我们可以将弧 a b 拉直，将其平放在 x 轴的正半轴上，那这样呢，我们就找到了 x 零。接着呢，我们就可以确定点 t 的 坐标。 第二小组对之前指示的掌握非常到位，很好，请坐。那下面我们将零到二派分成十二等份，那分别就是零，六分之派，三分之派。 那同时呢，这些角中边与单位圆的交点，也将这个单位圆分成了十二等份。 那接下来，如果我们要是按照化点 t x 零， sin x 零的方法，我们就可以做出自变量取这些角时对应的函数图像上的点。 当 x 等于六分之派的时候，对应的函数值是二分之一，这是二，分之根号三，这是一。 其实当我们用信息技术软件在零到二派上取足够多的值，做出足够多的点，将这些点用一条光滑的曲线连起来， 于是呢，我们就得到了正弦函数在零到二 pad 上的图像。接下来，我们通过将图像不断地向左向右平移二 pad 单位，那么我们就可以做出哎，正弦函数在整个定义域上的图像， 我们向右平移可以得到二派到四派上的图像，通过向左平移就可以得到负二派到零上的图像。 我们发现这是一条哎波浪起伏，连续不断的曲线，我们把正弦函数的图像叫做正弦曲线， 让同学们观察一下，我们做正弦函数图像的时候，我们应该抓住哪些关键点呢？那下面我们介绍一种作图方法，五点法来作图。 我们在正弦函数图像上，零到二派之间取五个关键的点，分别为零二分之派 派二分之三派二，然后呢，相应的函数值就是零一负一零，然后呢，我们做出这些点， 我们发现这五个点就大致确定了正弦函数图像在零到二派上的形状。如果我们对图像的精确度要求不高，那么我们就可以用一条连续光滑的曲线将其连接起来， 那么我们就可以得到正弦函数图像在零到二派上的减图了。那这种近似的五点作图法在我们今后的学习当中是非常常用的，同学们之后在画正弦曲线的时候，我们都是采用的五点法来作图。 好，那以上呢，便是正弦函数图像的内容。 利用三角函数的定义，我们知道正弦函数与余弦函数之间存在着紧密的联系，那下面呢，我们就利用这种联系来由正弦函数的图像画出余弦函数的图像。 那我们应该利用正弦函数与弦函数的哪些关系，通过怎样的变换来做出余弦函数的图像呢？ 哎，非常好，右等公式，我们知道利用右等公式 sin x 加上二分之 pi 是 等于 cos x 的， 那这是不是就说明我们只需要将正弦函数的图像向左平移二分之 pi 的 单位，就可以做出余弦函数的图像了呀， 那么这条红色的线就是正弦余弦函数的图像，我们将其称为余弦曲线。 同样，对于余弦函数图像上，我们也是取五个关键的点，我们来计算一下相应的函数值， 然后呢，做出这些点， 用光滑的曲线连接起来，我们就得到了余弦函数在零到二拍上的简图了。 那在今后的学习过程当中呢，我们都是采用五点法作图，来做出正弦函数余弦函数的简图，然后呢，通过向左向右平移，我们就可以得到其他去进行的图像了。好，那本节课的理论内容我们就介绍这么多，那我们做一道练习题， 请同学们画出 y 等于一加三 x 在 零到二 pi 上的图像，以及 y 等于负的 cosine x 在 零到二 pi 的 图像。 好，谁来说说？嗯，第三排同学好，非常好，采用五点法作图，我们取零二分之派派二分之三派，二派， 我们可以先计算一下 sin x， 然后呢，就可以计算出一加 sin x， 然后呢，我们再做出这五个点， 再用光滑的曲线连接起来，于是呢，我们就得到了这个函数图像在零到二 pad 上的图像， 那 y 等于负的 cosine x 呢？我们也是采用同样的做法，我们可以计算出 cosine x， 然后呢，再计算负的 cosine x， 描出这些点，再用光滑的曲线连接起来，我们就可以得到它的图像了。好，本节课呢，我们从三角函数的概念出发， 利用它的定义来研究正弦函数与弦函数的图像。同学们课下一定要掌握利用五点法来作图的方法，在今后的学习当中，这是非常常用的好课下呢，请同学们完成相关练习题，本节课就上到这下课。

注意看，这个图像挺好看。没错，这就是我们熟悉的正弦函数。沿图像折叠纸，直到最大程度对形状稍作整理，就得到了一个这样的图形。放在桌面时，一面竖直，另一面水平来看，这是形成的曲线， 它在一个平面上，且相对原来的水平面有四十五度夹角。再来看俯视图， 这是三个标准的半圆，主视图 也是三个标准的半圆，很有趣不是吗？

来，我们讲一下这个正弦函数啊， y 等于三 x， 咱直接来啊，咱直接来。它的图像 x y， 它的图像是长成这个样子的， 这样，这边这边继续啊，这边继续啊，有很多啊，就这种啊，就这种有周期性的，这种波浪性的啊。来，我们知道这个这个地方是零多少零，经过原点的一看，从这个图像上也能看出来，这个函数是个奇函数，对吧？ 然后这边是零，然后这边呢？这边是二派逗号零，哈，这个点是二派逗号零，那这个点就是派逗号零，那中间这一个，那这个是二分之派，那这个点是最高点，最高点是一 一，那最低点这边是负一哈，这边是二分之，那这个数就是二分之三拍啊，二分之三拍。好吧，来，那有了这个公式，我们去分析一下它的性质啊。分析它性质，第一个， 第一个是定义域哈，定义域是全体实数，它的值域是负一到一哈，值域是负一到一， 这个三角函数 y 等于三 x， 这个函数有范围的，我直域是有范围的，我们也把它叫做有界性啊。第二个，第二个是单调性哈，这个函数不具有在整体上不单调，但是它有它，它有存在单调递增区间，以单调递减区间，对不对？ 我们看单调性哈，单调性里边，我们先看单调性里边的增区间，那第一个就是增区间， 那么我们能找到一个增区间，一个增区间，就比如说从这到这， 那这个是谁呢？这个是负派，这边是负二派，那中间这个就是负的二分之派，所以一个单位的增区间就是负的二分之派到二分之派是一个，对不对？ 然后后边还有，对不对？后边也有哈，一共有无数个，对吧？一共有无数个，然后这些单子，这些单调递增区间的这个差别就是从这个单调递增区间到后一个单调递增区间是加了个二拍，然后再到一个又加了个二拍， 所以就是单列递增区间，就是负的二分之二拍叫二 k 拍到二分之二加二 k 拍， 然后 k 除以整数，这就是它的单调递增区间哈， k 等于零的话就是这一个， k 等于一的话就是这一个， k 等于二的话就是这一个，那 k 等于负一的话，就是后边的这个，对不对？ k 等于负一的话就是后边的，这 不能叫后边，这个也得叫左边的这些是不是看好了有无数个哈来，那这是它的增区间，那它就在单调递减区间。 减区间，减区间。减区间的话我们去找一找哈，找一找，那在这 在这在这，但在减区间哈在减区间，那就是二分之派到二分之三派，哈，二分之派到二分之三派，就二分，二分之派加二 k 派到二分之三派加二 k 派， 然后 k 属于 z， 二分之派到二分二分之派加二 k 派到二分之三派，加二 k 派，哈， k 属于 z 哈，二分之派到二分之三派是一个。那然后呢？这边是不是还有啊？对不对？这边还有，那这个和这个是差了 二派，差了一个周期，差了二派啊。二派它加上个二派就是这个，再加上个二派就是这一个， 对吧？所以它的单调的递减区间就是二分之二加二 k 拍到二分之三拍，加二 k 拍单调性。 第三个就是奇偶性，那这个函数很明显它是个奇函数哈，奇函数从图像上也能看出个大概，因为因为我们知道 f 负 x 等于个 三负 x， 根据有导公式，这个结果等于负的 x， 对 不对？所以意味着 f 负 x 等于负的 f x 吗？所以这个函数就是一个奇函数。 第四个，周期性，单六性、基五性，周期性，周期性。这个函数它有，它是一个周期函数啊，周期函数，周期呢？它的一个最小正周期是 二拍啊，来，我们去看一看啊，最小正周期就是从这 到这，这就是一个周期，一个周期哈，一个周期后边的图像或者别的部分图像都可以看成由他复制平移得到的哈，复制来的都可都可以看成由他复制来的，所以周期性就是他的周期就是二派， 二派是他的，就我们把它叫做最小正周期哈，正周期。 同时我们知道四派或者是负二派，或者是负四派，甚至是负六派，或者是二派，四派、六派、八派等等，这些都是他的一个周期哈，都是在一个周期，但这是最小正周期哈。 来看哈，一二三四五，但是星期五周期性。再看对称性哈，再看它的对称性， 呃，这个图像既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，它的第一个，它的对称轴哈，对称轴，我们去看一下它的对称轴，哎，这个是一条对称轴，对不对？那这也是一条，对不对？你看哈， 从这个对称轴到这个对称轴是加了谁？是加了个派，加了半个周期，加了派，对不对？他们加的是派，然后呢？到下一个对称轴也是加派，再到下一个对称轴呢？加派， 再到下一个对称轴，又加派，对不对？所以在二分之派的基础上，加上若干个派，或者减掉若干个派啊，减掉若干个派，都能得到它的对称轴，所以它的对称轴就是 x， 等于二分之派加上 k 派啊， 加上或减掉若干个牌哈，就加上一个 k 牌，然后 k 除以 z， 这就是单对称轴，然后第二个，第二个，然后它的对称中心哈，对称中心。 对称中心是写叫 k 牌多少？零哈，嗯， 对称中心，嗯，对称中心。怎么说呢？这，哎，这个什么叫对称中心呢？就是绕着某个点旋转一百八十度之后，能够与原原来图形重合，对不对？那这个点， 这个点，这个点，这个点，这个点，都是他，都是他，对称中心，对不对？看这个来，零，零派，零，二派，零，三派，零，四派，零五派，零六派零，一直往后走，对不对？所以对称中心就是 k 派，逗号零哈，然后 k 属于 z， 好 吧， 对称轴心哈。嗯嗯嗯，一般都是这几大性质哈，单调性、基有性、周期性和对称性。函数的四大性质嘛，对吧？那对于这个函数来说，我们再加一个哈，第六个，再加一个它的最大支点哈， 最大支点，最大支点。我们要注意一下这个事。 什么是最大值点呢？最大值点跟零点一样，它不是点，它是函数取得最大值的时候所对应的 x 的 值。 当函数取得最大值的时候，对应的 x 值函数，比如说那函数取得最大值，我们知道函数最大值是一，对不对？当 x 等于一的时候，当 y 等于一的时候， x 等于二分之派也可以，那这个呢？从这到这是不是一个周期啊？二分之派加上二派， 那这个呢？再加上个二拍，那就是二分之拍的基础上加上若干个二拍，就可都可以得到这个函数值。就是当 x 等于这个数的时候，都能得到这个函数的 y 都是等于一的，对吧？所以它的最大值点是 x 等于二分之拍，加二 k 拍，然后 k 属于 z， 这是就是来再强调一下，最大值点，不是点啊，是函数取得最大值的时候所对应 x 的 值。那最小值点呢？那最小值点就是 x 等于负的二分之派加二 k 派， 然后 k 属于 z。 好 了，这就是它的最大值点和最小值点。最小值点。也很好理解啊很好理解，我们去换一个啊，换一个。 嗯，这吧。呃，最小值点在这嘛，对不对？在这，那个函数的最小值是负一，当 x 等于 c 的 时候，当 x 等于负二分之派， 这个这个也行。在负二分之派的基础上再加上一个二派，就是二分之三派，再加个二派也可以，再加二派也可以，或者在负二分之派的基础上减二派也可以哈。就是负二分之派加上二 k 派， k 属于 c， 哈， 当 k 是 负的的话，那是不是就是减了？ ok， 这就是函数的基本性质哈。来， 那我们可以用这个三角函数的图像用来干什么呢？那它的作用就大了哈，它的作用就大了。来，我们去研究研究哈，我们去研究研究。嗯， 哎呀，画的有点点丑。嗯， 这样啊，这边我就。啊，我我，我，再稍微稍微画一点点吧。 好吧，来，有点丑了，这样吧，这边是拍，这边是二拍，这边是零，这边是。这个最大值是函数的最大值是一，最小值是，这边就是负一，是不是？ 来，我们可以用来干什么？第一个，我们可以用来解方程，解方程和解不等式哈。 啊？这个解方程关于三 x 的 方程哈，你比如说？最简单，你比如说我告诉你说三 x， 你 比如说我们解，比如说我们解三 x 等于一，对不对？你看三 x 等于一的话，你再去看看啊，那三 x 等于一的话，就是 y 就是 y 等于一，对不对？这这这是 y 等于三 x， 对 不对？ 三个就是 y 等于一，那就那就是，那就是这些呗，对不对？那 x 等于谁啊？ x 等于二分之派，也可以二分之派加上一个二 k 派啊，所以 x 就 等于二分之派加上二 k 派， 对吧？这不是减三 x 等于一吗？没问题哈，那再来，那如果我减三 x 等于零的话，三 x 等于零的话，那 x 等于谁啊？再去看看啊。 三 x 等于零，那你那像，那你看，那是不是找这些点，对不对？这些点的 y 是 不是都是零啊？这些点？那 x 等于谁啊？零也行，拍也行，二拍也行，三拍也行，四拍也行，五拍也行， x 等于 k 拍， 嗯，对吧？然后第三个，你比如说解三 x 等于你不是大就等于负一，三 x 等于负一的话，那 x 等于谁啊？你找找 y 等于负一吗？对不对？你找找 y 等于负一的这些点，哎。 y 等于负一，那这个，这个 x 等于谁啊？这个 x 等于负二分之二， 这个 x 等于谁啊？二分之三派，对不对？那就是负的二分之派加上一个这个呢？这个是负二分之派，到这是加个二派，到这呢？再加个二派，对不对？那就是 x 等于负的二分之派，加二 k 派加若干个二派吗？对吧？ 好了，那再来哈。再来，那如果我要减你的下一个，如果我减三 x 等于二分之一的话，当然了，我们用三角函数线一样可以操作，然后我们就用它来看一看哈。三 x 等于二分之一，那就是找 y 等于二分之一呗，对吧？ 来找 y 等于二分之一，这个是二分之一在这，对不？你看这一些，你看这一些啊。好了，那首先看这个，先看这个，这个是谁？ 这，这个 x， 这个 x 当然是在零到二分之派之间，这个是二分之派，对吧？零到二分之派之间，就是第一象限里边的，都在第一象限里边哈。那三 x 等于 三 x 等于二分之一的话呢？ x 等于谁呀？那这个 x 等于谁呀？这个 x 等于三十等于二分之一，肯定是三六分之派吗？对不对？ x 等于六分之派。 还有一个，你看这个是谁啊？这个，这个他，他和他，他俩肯定是关于二分之拍对称的，对不对？所以这个是六分之拍，那这个一定是六分之五拍，对吧？或者 x 等于六分之六分之五拍， x 等于六分之五拍， x 等于六分之五拍啊？这个六分之五拍，可以吧？来，那，那这个呢？那这个 x 是 谁啊？ x 是 谁啊？那这个 x 实际上就是六分之拍的基础上加上了一个周期嘛，对不对？在这个周期上是不是加上加二拍啊？对吧？那这个是谁啊？ 这个三它的 y 也是二分之一，那对呢？ x 是， 那就是在六分之五拍的基础上加了二分之一， 对吧？我换个颜色哈。我换个颜色，我就用红色吧，我就认识黑色和我就认识红。这个，这个是 这个是这个。这叫什么颜色？不知道，就这个吧哈，就这个吧哈。哎，不太清楚，就这样吧哈。这个叫绿绿色吧，好不好？是，这是叫绿色吧。来，那你看。哎他，你看，这是六分之五拍，那这个呢？就是六分之五拍加二拍，对不对？ 然后然后，然后这个呢？这还有一个，那这个是不是这个是不是？他在他的基础上是不是又加二拍啊？对不对？ 那后边是不是还有一个无数个哈，那他呢？他是在这个基础上再加二拍，对不对？所以是分为两大阵营哈。我叫两大阵营哈，那这个 x 等于六分之派加上二 k 派可以， x 等于六分之五派加上二 k 派也可以，可以除以 c 哈， 可以数一岁，对吧？好了啊，这就是，那这个，这个蓝色的就是六分之派 再加上二派加二派得到的，那这个绿色的就是六分之五派加上二派再加二派得到的，对不对？好了，这不就解空了，别的都是同样的道理，我就不啰嗦了哈。这是解等式，然后我们还可以解不等式哈。 解，解不等式哈？解不等式，那当然解不等式。解不等式只能解一些特殊的哈。特殊的，你比如说我解三 x 大 于等于二分之一吧啊，别用二分之一了啊，别老用二分之一换一个哈。 但是也得特殊的。三 x 大 于等于，比如说二分之根三吧，好不好？这个有点乱，把它擦掉哈。 就这样吧啊， 来，它的图像长成这个样子的，哎哎哎哎哎， 这样哈，这样哈，来。嗯，三 x 要大于等于谁呢？要大于等于，这是二分之根三。找找。那这个最大最大值是一，对不对？找二分之根三，在这找二分之根三。啊？ 二分之根三，这边是二分之根三，对不对？二分之根三。那三 x 大 于等于二分之根三，那找找大于等于二分之根三，是哪一块呢？是哪一块呢？是这一块， 对不对？这一块，这一块，其实这一块和到这一块，我其实我们把第一块求出来就行了。第一块求出来，第二块呢？第二块是就再加一个周期吗？就加 ipad 吗？对不对？加一个周期。那这个呢？继续往后加一个周期， 这是在这一个就相当于在第一个周期里边，我们只求在第一个周期里边的就可以了。哈。来，我用红色的吧。啊？那这个是谁呢？这个是谁？你想想上谁？ 三 x 等于二分之根三，对不对？那 x 在 零到二分之派之间是谁啊？那当然是三分之派了，对不对？所以这个是三分之派，这个是三分之派。这个红色的三分之派。那这个绿色的呢？ 这个绿色的是三分之二派。根据对称性是不也知道，对不对？他们关于二分之派对称的，那这边是三分之派，这边肯定是三分之二派，这个好理解吗？ 那这个是零，因为这个是零，这个是拍嘛，对不对？这个间隔也行，这个间隔，这个间隔是三分之拍，这个间隔也是三分之拍，对不对？对称嘛，所以这个就是三分之二拍，这个是三分之拍。好吧，来，再继续看。那这个是谁啊？那这个红色的，那肯定是在三分之拍的基础上再加个二拍， 对不对？那这个红色呢？是在三分之拍的基础上再加个二拍，对吧？那这个蓝色的呢？ 那这个蓝色就是在三分之二的基础上加二拍，在三分之二的拍的基础上再加个，在在这个基础上再加个二拍，就是他的，对不对？如果我让你解三 x 等于二分之根三的时候，你一定解出来， x 等于三分之拍，加二 k 拍，或者 x 等于三分之二拍，加二 k 拍， 是这个样子的哈，是这个样子的，那如果王胜杰他大于呢？那如果三 x 大 于，那就这个这边红色这一块对不对？那就是 x 大 于等于三分之派， x 大 于等于三分之派，加二 k 派小于等于三分之二派，加二 k 派是不就可以了？然后 k 除以 c， 好 了，这不就这样吗？这不就是它在单调，这不就解出这个不等式了， ok， 哈，就是这个意思。 然后这是我讲的这个事啊，我把它的基本的一些东西再一讲啊。来，这是它的，我们可以用它来解决的几个小问题， 那在这里边，同样，如果我告诉你个 x 的 范围，你可以求 y 的 范围，对不对？就是这个意思啊。来，我们再看， 嗯，再看一个什么？再看一个图像的变换吧，哈，图像的变换，基本的变换哈， y 等于三 x， y 等于三 x 的 图像，是，我们当然知道是长成那个样子了哈。来， a x y， 它图像长成这个样子， a a， 好哈，那个我要干什么来着？我现在要把它说说变变形哈，我现在要得到 y 等于三呀，负的三 x， 哈， 我现在要得到 y 等于三，三幺负 x 吧。三幺负 x 啊，三幺负 x， 三幺负 x， 是 不就是这个？把 x 变成符号了，对不对？ x 变成符号了， x 变符号的。这个函数图像，它是长成什么样子的啊？它长成什么样子的， 实际上它就是这个图像，实际上就是 y 等于负的三 x， 对 不对？那负三 x 长什么样呢？负三 x 就是 原来 x， 原来 x x 同样取一个数的时候，原来是 y 等于三 x， 原来是正，原来是正的的话，那后来就变成了同样的 x， 后来变成相反数了，后来是负的了，对不对？就是在函数值在自变量相同的情况下，函数值变成负负相反数了，所以它的图像就会长成这个样子，就翻过来了， 就翻过来了，好吧，就这样了哈，画的不好看了哈。这就是这就是 y 等于负的向量 x 的 图形，或者是 y 等于或者是 y 等于向量负 x 的 图形， 好吧，就这么回事了哈。再去看。这是第一例哈。第二例，我们再去看 y 等于向量 x 的 绝对值的图形， 他有什么变化呢？你看，我们会发现他的函数值不可能是负的了。函数值如果原来是负的，那变成正的，如果原来是正的呢？是保持不变的，对吧？所以他的图像如果我们要画一下的话，他应该是长成这个样子的哈，这个样子的，哎，这个样子。 这边是零，这边是派，这边是二派，这边是三派啊，这边是负派，对吧？周期变了，这个函数的周期变了，周期变成了派了，对吧？我的人指的周期 就是说的是最小正周期哈。第三个，你比如说 y 等于三 x 的 绝对值，对不对？三 x 的 绝对值，我们明显知道，这个函数已经是一个偶函数了，当 x 大 于零的时候不变，当 x 小 于零的时候， 关于 y 轴对称过去就行了，所以它图像会长成这个样子的哈，会长成这个样子，哎，这边右边是这样，左边呢？因为它是偶函数，左边关于右边对称，所以也是这个样子的哈， 就这么画，画的有点丑，就这个意思。好吧，去找就行了哈。所以这就是他的图像，然后再找第第四种哈，就是 y 等于 sin x 加上三分之配，这就完全符合左加右减了哈， x 加，那就往左平移三分之配，左加三分之配哈， 那原来图像我们知道是大概长成， 现在出来大大概长这个样子，对不对？往左平移三分之派，我们去看看，哎呦，不对哈，来往左平移三分之派，上去往左平移三分之派，就这个样子，对不对？就这个样子哈，这个样子的话，那这个数，哎， 那这个数，那这个数就是负的三分之 pi， 对 不对？能理解吗？这个数原来是 pi 的， 现在减三分之 pi 就 变成了三分之二 pi， 就 这个意思哈，就这就往左偏移了三分之 pi， 对 不对？ 那么同样的第五个 y 等于三 x 减掉三分之拍，就是往右平三分之拍了，对不对？我就不画了哈。那第六个 y 等于三 x 加上一，就是向下向上平一个单位哈，就把这个函数图像整体向上平一个单位， 我在这里感受感受。什么感觉呢？就这样往上平移了一个单位啊，好了，就这样了啊，哎，稍微往下靠一点，就这个意思啊？就这个意思，就这个意思啊。这就是往上平移了一个单位，好吧？他突然就长成这样了。 ok， 好， 我们就过。

同学们好，请坐好前面我们学习了三角函数的定义，按照学习函数的一般思路，接下来应该学习什么了？图像性质。这节课我们就一起来学习 正弦函数、余弦函数的图像。下边请看个视频， 这个视频呢，反映了弹簧、震子、 单摆、沙漏还有水波都展现了波浪形的图形，而这个波浪形的图形和正弦函数与弦函数的图像非常相似。 那么请看这节课的学习目标，找个同学来读一下啊！李浩宇， 一、学会做正弦函数一些函数的图像，明确图像的性质，从中体会数学美。二是学会用无点法做出正弦函数一些函数的简图。三是提升直观想象和逻辑推理的核心素养。还好，请坐下边来学习 正弦函数的图像。请思考下边两个问题。第一个，单位圆中正弦函数的定义， 行啊，括号 x， 范围 x 选 r。 好， 那如果角二法的中边请作于单位圆角于一点撇，坐标为 x 零外零，你来想，这里的外零应该等于什么？ x 二法，那么再想，或 a p 的 长度会等多少？ r 等于 r 法。 接下来的问题是，画函数图像的一般方法和步骤分别是什么？怎么会描点法？ 步骤是列表，描点连线。好，那我们知道单位圆上的点绕圆点每旋转一周都会回到原来的位置，呈现一个 周而复始的变法规律。所以我们要来学习正弦函数在二上的图像，我们可以来研究它在哪个范围内图像幺二派。好，那你再想， 如果我们用描点法画 y 等于 c， x 在 零到二派上的图像，可以取哪些？ x y 的 对应值怎样描点 给你二分钟的时间小组讨论一下 啊 啊 哈哈 想好了吗找同学说说你们组是怎么交流的哈。梁新宇。 嗯组五点哪五点零点二分之派一派零二分之三派负一。你为什么想到了这五个点？ 这是你们讨论的结果啊。为什么想到这五个点你们为什么取这五个点？这五个点是呃他们时差等最差然后呃有些是在最高点和最低点啊还好 还知道最高点最低点一看就是预习过高亮说说你们组的想法。好做我们组员应该再取一些别的点啊比如三分之派啊二分之跟三那个六分之 派二分之一啊那如果取这些点的话想想以三分之派二分之跟三为例怎样来坐标细下描出这个点 取近四值。取近四值啊跟三跟三取一两七三二。好但是现在有个问题哈你说我们用近四值描出来的图像精不精准不精准。好下面再来想如果不取近四值以三分之派为例 怎样在直角坐标系下描出它所对应的点。请坐。 可以讨论讨论。 sorry 啊 哎呀 哎呀 哈哈。

视频，咱们来看看正弦函数的图像长啥样。在研究三角函数图像时，通常用弧度值来表示角，记住 x， 也就是字变量。 用 y 来表示函数值，也就是音变量，所以就可以用 y 等于三 x 来表示正弦函数。 接下来我就教教你，用单位圆来画一画 y 等于三 x 图像。先在直角坐标系中随便画一个单位圆， 从这个焦点开始，法元平均分成十二等分，显然这些线所对应的弧度就是零，六分之派，三分之派，二分之派等等等等，一直到回到这里就是二派。 你已经学过，正弦值就对应单位元中的纵坐标，所以当 x 等于零时，所对应的函数值就是零， 显然图像得过圆点。当 x 等于六分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点一定在函数图像上。当 x 等于三分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点也在函数图像上。 像这样，你就把所有的 x 都标在坐标轴上，然后依次找到他们所对应的函数值，描述这些点，再把这些点用光滑的曲线连接起来，就得到了正线函数在零到二派上的图像了。用同样的方法，你也可以把二派到四派之间的图像画出来。 突然发现其实就是在重复这段图像，用单位原来看就是正着多转了一圈，如果反方向多转一圈，就是左边的图像了，其实也是在重复这一段图像。两边依次 画下去，你就得到了 y 等于三 x 在 r 上的图像。从图上可以发现有五个关键的点，零零，二分之派，一派零，二分之三派负一，还有二派零。以后再画图，你就用这五个点描一描就成 图像。画好了，再来看看这个图像有什么性质，瞪眼就能看出。正义域就是全体实数，周期就是二派。再瞪眼一次， 图像夹在这两条线之间，显然值域就是负一到一。现在弄明白了它的性质，出道题考考你， 函数 y 等于三 x 在三分之派到派上的值域是多少呢？要弄清楚在这段上的值域，看看图像就一目了然了。三分之派到派 然是这段图像，最大值就是一，最小值就是零，所以值域就是零到一。 ok， 搞定。看来以后让你求正弦函数在某段区间内的值域，你就利用图像找找最值就行。 好了，就讲这么多，总结一下，这个视频我就给你讲了，正前函数的图像长得非常妩媚，就是一条以二派为周期的波浪线，定义域是全体实数，值域是负一到一。另外，如果要求某段区间的值域，就用图像来找最值好了。

今天给大家分享一道去年辽宁省实验的月考题的第五题啊，那么这道题主要考的是一个正弦型函数的一个平移变换。好，我们来读下题，他说啊，现在这个 f x 是 a 的 三幺，我们应该加 f 再加 b， 然后给了一系列的一个范围范围，这样的话呢，然后我们进行变换，首先第一个向左平移六分之派，然后横坐标变为原来的二分之一，纵坐标 面向上平移啊，一个单位得到三 x， 问你 f x 等于多少？那么这道题呢，肯定还是比较简单的，那就是我们有两个思路，第一就是哎，从头到尾按照他说的顺序，我们就给他表示出来，然后让 a 我 们一个斐和 b 变换之后，跟我们现在的三 x 进行一个系数对应的相等，然后去把这几个未知数求出来，然后 得出选项。第二个思路呢，就是我往回推，那么因为这个三 x 解析式我们已经知道了，所以我肯定是什么呢啊，肯定是往回推更简单一些啊，这样的话我们就不用去表示那么多未知数了。那往回推的话，我们来一步一步进行一下，首先他写的是 g x 等于的是三 x， 那 么我们原本呢是一二三这么一个顺序，那我既然往回推就得三二一往回去推了。那么第三步他是向上平移得到的三 x， 我 往回推就得向下平移啊，所以我要往下平移 一个单位，那么上加下减是在整体 y 上做加减，所以这里边我们就会变成三 x 整体去减一啊，上加下减好，然后再进行第二步，横坐标变为原来的二分之一，纵坐标不变，那我们反着来就是横坐标变为原来的二倍， 然后纵坐标呢？还是不变，不要去动啊。那么横坐标变为二倍，我们讲平移变换的时候一定要注意啊，纵坐标变大多少倍，我前面系数就变大多少倍，但横坐标跟 omega 是 正好相反的， 你的横坐标变得越来越大， o omega 反来反而越来越小，所以横坐标变为二倍呢，其实就是把 x 前面系数，也就是所谓的 omega 应该变为二分之一，所以这块应该变成了 sine 二分之一， x 再减一，这块一定要注意一下，它是反的啊，它是反的。然后最后一步就比较简单了，原本它要向左平移六分之派，现在我就向右平移 六分之派就可以了。然后我们说呢，不管是我在横坐标变为原来的倍数，还是说我要左右平移，都得在一倍的 x 上平移。什么叫一倍的呢？也就是说我应该把这个二分之一给他提出来 啊，这样去平移，那么左加右减，应该是向右就是减六分之派，所以这个二分之一是一定要提出来的，这会要注意一下啊，然后后边再减个一 啊，减个一就变成这样了。好，变成这样之后呢，我们去给他打开啊，那么现在他就应该等于二分之一， x 减去一个十二分之派，再减去一个一。 好，那我看下选项里边有没有好像没有这个答案，是吧，但无所谓啊，为啥没有这个答案呢？因为我们这道题的斐的要求呢，是在零到二派之间，但我们算完这个斐，它是负的，十二分之派明显它不在，那不在怎么办呢 啊？其实我们无所谓啊，这个角度上加上一个二派的整数倍，它的图像啊，它的性质啊，什么都不会发生改变，都有给负的十二分之派加上一个二派就可以了，那么也就是说加上了一个十二分之二 四，所以应该变成十二分之二十三派，那么这样的话，我们去看应该就有选项了，是不明显选我们的一个 a 选项啊，所以这类问题呢，就是我们正着推，反着推都可以啊。那么但是要注意的是，我要左右平移和横轴要变大或变小的时候，一定要注意，我们是在一备台上去平移啊，去伸缩，那么这道题就这样。

hello， 大家好，我们今天来看正弦函数与弦函数的图像。我们先来看正弦函数的图像，其实不管是正弦还是与弦函数图像，它大概都是一个这样波浪线，只是说它的点不太一样。 然后在书课本上我们也有那个正弦函数的图像的一个几何的画法，就是它的定义就很长，这个我们就不看了，我们来看我们正，我们一般来用的就是这个五点法来画这个正弦函数的图像， 就是大家可以这样记啊，就是如果你让你直接记这五个点，其实很难记，但是我我我本人是这样记这个正弦函数的，就比如说我画出来一个一个平面直角坐标系，对不对？正弦函数你要知道他过的，他一定是过零零的，你记住就可以了。正弦函数过零零，所以说我从零零开始 往上走，然后往下走，然后往上走，往下走，你会发现这个图像他是每二派，你看每二派就是循环一次，我们就把零到二派当做第一个，你看又循环又循环，我这边也是又循环又循环，所以每二派循环一次。我们一般只看零到二派的这个这个从这， 那就说从这到这分别哪哪五个点，一个是零零，然后一个是这里是二分之派一， 这是派零，二分之三派负一，二派零，就这五个点，就是你只要知道他的最最高点是一，最低点是负一，然后图形大概是这样子的，你这五个点就随之也可以知道，也就可以出来了，因为你光单记这五个点是非常不好记的。 你看这五个点，那比如说啊，我现在知道了这五个，这这个图像，我就这样画上，然后把五个点标上了，然后他有的，他有的题目可能不止二排，那你就往下，往下连续，连续之后你接着往下标就可以了， 这边也是你反过来标就行了，这是负二分之派，负派负二分之三派，这个图像大概就是这个样子。然后余弦函数的图像跟正弦函数图像，其实就是我们之前学有老公知道，你也知道，他其实就是差了一个二分之派，那也就说整体把这个图像往左边移一个二分之派，那也就说本来在零零的这个图像，我现在 本来零零，对吧？本来是这样子的，那我现在往这边移一下，变成了这样，这就是我的正弦函数的。呃，余弦函数的图像，那就是我余弦函数图像是过这个点的，是过的是零一，那我平常画的时候，我就一样的，我就知道了，我过零一，那我的图像肯定是这样上来的， 那这就是一个一个图像，一个一个周期的，然后我们以这个周期为循环，那这样标点的时候，我就知道这是零一， 这是零一，那这是负二分之派零，那这里是二分之派零，然后这里是派负一，然后这是二分之三派零。如果你要找二派的话，你就这样在这里二派一，就是这样子的五个点， 然后连接起来就可以了，就是关于正弦函数和余弦函数的图像，就是就是这两个图像。然后我们大概看，我们来看一道例题啊， 我们来看这道题目啊，看起来好像没什么头绪。已知零小于等于 x 一 小于 x 二小于等于 pi， 嗯，然后满足 x 一 等于 x x 二，然后让我求 cosine 三分之 x 一 加 x 二。 我通过这个题目我可以得到我的两个值， x 一 和 x 二都在零到派，然后 x 一 等于 x 二。那我先来看一下，那我先把图像画出来一下啊，再它是 sin， 那 sin 的 图像。我们刚刚我刚刚说了，就这样子画，画完之后我再标这是二分之派，这是派。好，那我就到这，因为我就指零到派嘛， 我的 x 一 x 都在这里，那我的 c x 一 等于 c x 二，我的 c 隐值相同的。那也就是说，那也就是说我比如说我任意画一下，那我，那我这里就等于 x 一， 对吧，这里就等于 x 二， 那只能这样，它们两个 c 隐值才是相同的。那这个时候其实你会发现什么？我的二分之派其实是 x 一 和 x 二的中间，那，那我通过那个中间点的那个定 那个定例，我是不是可以得到二分之 x 一 加 x 二就等于二分之 pi 的？ 对啊，然后那我的 x 一 加 x 二其实就等于 pi？ 好， 只要你写过来，这个下面的题就很好解了。那 cosine 三分之 x 一 加 x 二，其实就等于 cosine 三分之 pi， 其实就等于多少啊？ cosine 三分之 pi， 三分之 pi 等于六十度就等于 二分之一，对吧？题目啊，这题目是不等式， c x 大 于等于二分之根号三， x 属于零到二， pi 的 解集为多少？他说我的 c x 大 于等于二分之根号三，然后 x 是 属于零到二 pi， 那 我还是一样，我先画图像，我在图像上找这个大于等于二分之根号三， 零到二派的图啊，零到二派的图像都到这二分之派派，二分之三派，二派。然后我来观察，我来想一下 cx 如果等于二分之根号三，那我的 x 值是等于多少？ 首先在第一项线看， x 的 值是可以等于六十度，也就是三分之派。然后他还可以是还有是正的时候，就在第二项线，第二项线的话，那就是三分之二派， 第三个点和第四项线 x， 嗯， x 值都不可能是正的，所以只能是到这两个了，那这个时候我就可以这样画一下，那我这里是二分之根号三，对吧？ 那我这样画过来，那我这两个这个，那这里就是三分之派，那这里就是三分之二派。那我的 c x 要大于等于根二分之根号三，那也就是在这一段是不是就这一段？那我，那我的这个剪辑很好找了，我的 x， 你 就在三分之 派和三分之二派的中间就可以了，那这就是这是我的剪辑，我们这个剪辑最后是写成集合，就是区间的形式也可以，或者写成集合的形式也可以。啊。好，我们今天关于这个图像的问题就讲到这里，我们下节课再见。

同学们，三角函数的最终点它来了，我们百分之九十的考试题都会围绕正弦型函数给大家出题考察，那么正弦型函数怎么去攻克？大家跟着老师拿开笔记一起上课， ok， 我 们说正弦型函数之前，我们先复习一下正弦函数 y 等于 sine x 啊，这个叫做正弦函数， 那么他是怎么来的呢？他应该是由一个单位员，一个员，一个字典在这转圈，哎，他的纵坐标的记录，大家看纵坐标的记录，上升下降，下降上升，哎，这个正弦函数就会制出来了，对吧？ 那么什么叫正弦型函数呢？大家来跟上。 y 等于 a 倍的 sine omega x 加 f， 哎，这个我们通常给它叫做正弦型函数的一个表达形式，那么这个 a， omega 和 f 是 三个不同的参数，有不同的功能，那么他们究竟怎么去，咱们怎么去理解他们呢？大家跟上老师， 这三个最简单的就是这个 a 啊，这个 a 叫做正负啊，它的考点是最最最简单的，比如说 sine x 长成这样， 那么二倍的三 x 呢？那就是横坐标不要变，纵坐标变成两倍，震动的幅度加强了。大家看，我们学过物理的，大家都知道这个震动啊，大家看有这么震的，也有这么震的，对不对？说震幅的不同大小， 大家只要注意什么呢？大家注意震幅不是 a， 是 a 的 绝对值，是震幅，大家看能明白吧？ a 的 绝对值，也就是说 a 的 a 如果得负二，那么他的这个震动幅度，大家一定要注意啊，比如说 a 得二，是这个长度得二，还是这个长度得二，这个大家一定要注意这个震幅啊， 来，注意是笨了，就是说以这个东西为平衡，哎，这个长度是二，这个长度也是二，正离中间的位置最远是二，最最 下边最远也是二，这个叫做正负。那么通常来说，我们的三角函数正负是多少呢？是一，也就是我们的最大值是一，最小值是负一，这叫正负是一，那么正负是三呢？最大值是三，最小值负三。 ok， 那 么老师给大家画一个图，考察大家一下啊，非常简单，大家来看啊，那么我们来画一个图啊，这个点是负一，这个点是七，请问正负是几？ 比如说老师，那最大的是七呀，正负是七呀，错了，那么很明显一个三角函数被往上平移了，他应该是上下对称的，对不对？那么很明显他现在关于这条线对称了，那么这个总长度是六，那么半拉就是三，正负就是三，来看，能理解吧， 正负是最简单的，老师不多说了，那么这节课的重点我们落在 omega 和 find 上，很多同学对 omega 和 find 是 不理解的，我们把它擦掉， ok， 那 么大家跟上，什么是 omega， 什么是 find 呢？首先我们研究这两件事之前，我们先弄清什么是 x， 大家注意 x， 我 们都要给他灌输一个情景，也也就是说我们很多同学学过物理，我们可以用物理的语言，那么如果没学过物理的同学也能听得明白，非常简单，我们灌输一个情景，一个小点，在这转呐转呐转，那么 x， 我 们可以理解为时间， 就是他转了多久啊，他刚开始在这转了一秒，他跑哪两秒跑哪三秒，跑哪也是横，坐标是一个，其实说白了是 x 轴，我们可以把它理解为时间轴，一秒钟，哪两秒钟，哪三秒钟哪，用这种感觉去想，那么如果 x 大家认为是时间了，大家说欧米克是啥？ 大家注意，我们物理的语言告诉咱们，它叫做角速度啊，大家学过物理圆周运动的都知道它叫角速度就行了。那么我们速度乘时间等于啥呀？ 速度乘时间他不等于长度吗？等于距离啊，对不对？等于他走了多远，大家看能理解吧？那么走了多远是不是我们走的路程啊？那么大家注意翻译叫什么呢？翻译叫做出象位， 哎，这又来了一个词，大家说什么叫象位？很多同学对象位这个词一听就蒙了，什么叫象位啊？大家注意，翻译叫出象位，整体叫做象位。 那么相位说简单点就是单位圆当中的位置，相位就是单位圆当中的位置，那么这个相位就是零， 这个相位就是二分之派，这个相位就是派，这个相位就是二分之三派，那么这个来三十度，这个相位就是六分之派，就是单位圆当中的位置，他的这个点的位置他在哪？那么什么叫出相位？就是他刚开始跑时候在哪啊？刚开始跑他在哪个位置啊？ 叫做出向位，起步的向位，那起步的向位加上他跑了多远呢？的一个长度，是不是等于他最终在哪啊？他随时随着时间的推移，他在哪啊？他的位置在哪啊？向位大家能听懂吗？再说一遍， 他起步在这开始跑，一声枪响跑，跑起来之后，他是不是在随着时间他的位置在变呢？他从这跑的，一会跑到这，跑到这跑，跑到这，对不对？所以说这个叫做位置，这个叫做出位置，这个叫做他跑动的距离来看，能明白吧？速度乘时间 那么好，那么我们理解了这样的一个物理情景之后，我们想如果 omega 大， 那会发生什么现象？那比如说举例，三 x 和三 x 会有什么区别？三 x 长成这样，那么三 x 二 x 呢？大家注意，三 x 是 这么跑的， 三 x 呢？是这么跑的，因为它速度快呀，对不对？所以说它是不是很快，都很短的时间就跑了一圈，所以它图像是不是长这样啊？大家看，很短的时间就跑了一圈，那你同样的时间我能跑两圈，大家看能明白吧？所以说 omega 越大，图像越 密集，这时候很多数学老师讲，纵坐标不变，横坐标缩小啊，欧米扩大二倍，横坐标缩小一半啊，这个道理大家还能明白吧？那么我们再来比较，三 x 和三 x 加六分之派有什么样的一个关系呢？那么三 x 是 这样的啊，老师，简化啊，草图， 那么再加六分之派呢？很多老师讲啊，这叫左加右减，往哪平移啊？可以，这数学的角度，函数的角度可以的，但还可以换一个角度。你从这开始跑，跑一圈，那我从这开始跑啊，六分之派的出将位吗？我跑一圈不回来了吗？所以说六分之派是二分之一吧，所以说我搁这跑啊， 跑到二分之一又回来了，大家看我这个图能理解吗？从零开始跑，时间开始跑，一个周期跑回来了，跑到二分之一这个点了，也从这开始跑来看，上升，下降，下降，上升，再上升一点点回来了， 对不对？所以说从今开始，大家去理解什么叫 omega， 什么叫 five， 一个是起跑点，一个是跑步的速度， ok 吧？跑步速度越大，他用的时间就越少，就越密集。跑步的速度越小， 他跑的就越慢，他就越稀疏，就这个道理。 ok， 老师带大家一起画一个完整的图像，大家看黑板。 ok， 同学们，大家一起来动笔画这个函数的图像，大家可以点个暂停，自己尝试一下。 ok， 老师给大家带着大家去做图，大家一定要学会做图，不会做图做函数等于白给啊。大家来看， 首先我们先用一个单位圆，这个单位圆可太重要了，老师把这个圆画稍微圆一点，哈，有点没画好啊， 这个单位员可太重要了，大家一定不要离开他啊，单位员一切三角函数都是在他身上展开的。 ok， 我 们先看旗袍点，旗袍点在负三分之派，大家找到这个象位， 零负二分之派，负三分之派，是不是在这负三分之派，负六十度这个位置对不对？也就是跟我们的正三百度六分，呃，三分之五派是一个象位对不对？ ok， 那 么这个象位找到了，然后他就开始跑，对不对？ 我们先不用管他啊，这个二是最后去改就行了，我们不用改这个，管这个二，那么从这个点开始跑，我们要画图，大家得跟上。这个点是不是负三分之派对应负二分之根号三呢？我们找到啊，这个是负一， 找到这个负二分之根号三，我们还得找到这个这个，这也是特殊点啊，这也是特殊点，负二分之一的这个点，那么我们从这开始画 往上划，对不对？一个格，两个格上去一个格，两个格上去了，我们把这看成一个格，这看成一个格，对不对？那这有几个格？这是一个，这是一个，这是一个，这是不是三个格啊？对吧？上上上，然后呢？这三个格下来，下下下，然后呢？这三个格下来， 下下下，下到负一了，下到负一了，然后再上一个格，再上一个格。哦， ok， 到这一个周期就画完了，大家看一个周期一共有十二个片段，十二个片段， 我老师故意给大家画细，要不然我直接就是一勾就完事了，但是这一勾大家错过很多细节，大家跟上， 为什么说十二个呢？每一个四分之一就切成三份，每一个四分之一给它切成三份，每个四分之一给它切成三份。大家看，从这开始上上上上下下下下下下上看两个上三个上三个下三个下一个上，大家看能明白吧？这个到负二分之二三，那么我们标注横坐标， 正常来说标注横坐标一个周期，这应该标二派，然后给它切成十二份，除以十二。每个每个段是六分之派。六分之一派，六分之二派。六分之三，六分之五，六分之六六分之七六分之八六分之九，六分之十六分之一，六分之十二二派。但是大家注意这道题，我们的周期还是二派吗？ 不是了，我们的周期应该等于二派，是一个总路程，也是一个圆的总路程，除以我们的速度等于我们走一圈的时间，对不对？ 周期等于二派。表密个这么来的路程除以速度等于时间，那么二派比二也就等于派，也就是他用不了二派就跑一圈，他用派他就跑一圈了，大家看能明白吗？ 派，那么我们把十派拆成十二段，那么这是十二分之一，这是十二分之二派，三，四十二分之 五派，六，七十二分之八派，九，十十二分之十一派，十二派。大家看这个图就完美的画出来了，那么他再问你说，同学让你求六分之派到十二分之十一派上的直域什么什么的，你看图就可以了。 所以说大家这节课一定要学会如何将 omega 和 five 对 应到图像当中。 ok， 下课。