三角形移动的规律是什么？

只能移动一枚硬币，使三角形的头部朝向下方，应该怎么移呢？思维灵活的人眼睛一看或许就会明白，如果脑筋一下子转不过弯，可能会觉得这题根本就无解。接下来我们一起来试一试。 我们先把顶部的硬币放入左侧，不行，我们把顶部的这枚硬币放在最下边，还是不行。你们知道应该怎么移动吗？

好，我们来看今天的思考题哈。来，你试一下读题，一动三个，让三角形的尖角朝下。对，就是你只能动三个哈，然后他现在尖角不是朝上吗？然后让让尖角朝下，只能动三个哈，你试一下。 嗯，这两个了啊，不行不行啊，你再，你再试一下，你找到他的尖角， 你先把三个。嗯。 哦，你这是移了三个尖角朝下。嗯。你。

你们看啊，这是一个椭圆， 这是它的交三角形， 左边这个底角是阿尔法，右边这个底角是贝塔，上面顶角是 c 塔啊。那么离心率就等于 三以 c， 它除上三以 r 加三以贝塔，然后再利用二倍角公式和和差化积，也可把它化成扣三以二分之二加贝塔，除上扣三以二分之二法减贝塔 啊。如果再利用这个和角差角的正弦公式把它展开，就可以用离心率来表示 r 和贝塔就得到二分之二法的正切 乘上二分之 b， 它的正切等于一减一，除上一加一。好，另外，交三角形的面积 s 还等于 b 方乘上它体二分之 c， 它，然后再结合这个内切圆的半径公式，可以得到内切圆半径等于它。 另外，再在这个交三角形里面利用正弦定比啊，非常简单，又可以得到左边这个交半径 p f 一 等于二 c 乘上三以贝塔。哎，除上三以 c 塔，把贝塔改成阿尔法，就得到了 搅拌进 p f 二。好，前面说的这个思路，大家顺着去推导一下，哎，尤其是第一个式子，大家也推一推，正一正。

那么关于这个第一文跟第二文是比较难一些啊，比较难的话呢，我们现在就详细把这个图分析一下啊。首先第一步我们先得找到这个象区出金区啊，这个合金里面出金有几种，首先最左下角 这个黄色小区，它是铝固溶体的出金区，那么右上这一块绿色我没有画全绿色这块我画的不不是很全，你心里面知道， 但是这个颜色的话，很难找出来一样的颜色，就总之你知道就是整个绿色这一大片 绿色这一大片，那么其实它延长上去了，其实好多一大片它都是这个铁铝三的，就是铁铝三的出进去就是绿色这一片。然后我们右右侧右侧这个紫色这块区域，它是靠近这个铜铝二的， 也就是铜铝二的出金区，这个铜铝二的出金区它就对应于紫色这一大片，然后中间有个铜二铝，铜二铁铝漆，它的出金区就是我画的蓝色这一小片， 蓝色这一小片是我通过相图来分析出来它的出金区，那出金区找到以后咱们再结合，呃，上交大教材， 结合上交大教材讲了一些基本法则吧，因为这个上交大教材是比较全面，他有两个法则是这样说的， 就是在三项区进行变化的时候啊，或者说他这个法则可以判断谁可以判断这个单倍链线，他可以判断单倍链线上面发生的反应到底是什么反应啊？比如说 咱们现在把这个单边线给大家画出来，他这个单边线有几根线是比较重要的线，第一个线是这根线， 这个线就是很粗这根线，那么就不用画了，你们看图，但第二个线是连接这根线 啊，第二根线是这根线，还有这一根线，再一个就是这根线，再一个就是这根线总共有这么一二三四五五根线，这五根线这个题目让我们判断到底是共金还是包金线，他用的方法就是咱们上交书上告诉大家的方法。呃，怎么来看的？是这样看， 关于这种线条的话，就是它是液体存在的， 在这根线可以认为就是单变量线，那咱们现在在这个单变量线上去给它干啥？去做切线，比如说这个单变量线它旁边左边是 alpha 出境区，右边 beta 出境区，那我们在上面就给它做一个切线， 做这个切线之后，这个切线它跟我们这个 alpha 与 beta 的 连线如果直接相交的时候，那么它就是共进线，画一个箭头，共进线。如果说咱们这个单倍链线在这一块，这个单倍链线在这， 你把这个单倍链线找到以后，左边如果是 alpha， 右边是 beta， 然后在上面做切线， 这个切线如果说没有直接跟我们这个连线相交，那么他就是包紧线，划双箭头， 这个算是切线规则，但是裁克机里面一般不讲，就是金属裁克机里面不怎么讲切线规则，你心里面要知道就是在这个单边连线上面做做切线，他没有直接跟连线相交， 那连线指的谁？连线一般指的是这个单倍链线旁边两个出金区成份点的连起来的直线叫连线。 这个就是单倍链线旁边两个出金区所对应成份点的连接的直线叫连线。这个连线跟这个切线如果说没有直接相交，它就是报警线， 直接相交就是啊，共进线，这是基本法则，基本法则学会以后咱们分析啊，比如说我们看这个 e， e 到 p 就是 做题了，直接做题，这个题第一问就是让我们判断这个各个单变量线到底是共进还是 包金。首先这个一一到屁，我就直接写了一一到屁，一一到屁，你看他旁边两个出金，一个是黄色，一个是绿色，黄色是铝，绿色是这个。呃，铁铝三， 那么黄色它的成分不太好找，总之在底下，在底下这一片，那么绿色它成分点在上面，这个成分在这，那么黄色在高温下的成分它就是。呃， 你就大致上认为可能就是在某个地方吧，就在黄色区域随便找一个点，反正他这个成分在高温下肯定是这边浓度高一些， 然后你把他跟他连起来，连起来你就知道这个单边线上面随便做一个牵线，他是直接跟这个连线相交的， 可以说直接跟连线香蕉底下这块是一个区域，不太好找这个成分点，但是你在这个几何中心啊，就不要右边肯定不行，一边一边都降温了，左边你找一个， 就在这个高温下这一块区一般不在右边找，在左边这个高温区找一个点，或者说你压根就直接在左边这块找一个点，也不是不行，在这找一个点，或者你不想找的话，你直接连接纯铝， 就连接纯铝跟这个铁铝三两个一连接。那我在这个啊，单臂连线上面做个切线，咱们随便做个切线，你就知道切线跟这个连线直接相交，所以说这个上面画单箭头，他就是共金， 这个就是共金线，共金出来的物质就是他旁边两个出金，一个是铁铝三，一个是铝。 那么另外一个咱们可以找别的，比如说找这个 p 和 p， 它两个出镜，一个是蓝的，一个是绿的，这个蓝的是这个点啊，蓝的是这个点， 然后绿的是上面这个点，这个就是连线。那么这根线上随便找一个点做切线，它没有直接跟连线相交，所以它上面是啊，双箭头，这是包镜线， 那包金包谁呢？一般来说你找一个啊，他这个跟这个延长线相交，相交的话，这个点是液体，液体会包上远处的物质，生成近处的物质。想必之前我也有讲过类似的知识点， b 证上当时有分享那个铅 b c 合金的讲解，跟这个其实是类似的，所以这个线是包金，就是 p e p 是 包金线呢？我们写一下 p e p 包金， p e p 包金。哎，其实这五根线也只有这个线是包金线，其他线都是共金线，这是包金线。然后再看这个 p 到 e t， 呃，这个 p 到 e t， 它旁边所含的出金线，一个是黄的，一个是蓝的，黄的它是铝，这个左边这个点， 那蓝的是谁？蓝的他是这个点。当然了，你看这个图，高温下是连接这个点，低温下连接这个点，不管是这个连线还是底下这个连线。总而言之，你在世界上面随便给他找个点做切线，他是直接跟这个连线相交的， 对吧？咱们直接在上面随便找一个点做牵线，就随便找一个点做牵线，他直接跟这两个连线是相交的，那相交的话他就是共进线，降温箭头当然就是往这边降温。 我们就讲的是这个单变量线，单变量线和它的连线的焦点或者延长线的焦点，直接的焦点，它是温度最高点，那往另外一侧降温嘛？那个是什么法则？那个是连线规则， 连线规则你知不知道？比如说一个单变量线在这，这是它的单变量线 左边阿尔法，右边贝塔。那如果说连线在这，那你发现这个单倍连线直接跟连线可以延长线有个焦点，这个焦点他就是单倍连线上的温度最高点，这个就判断出个降温方向。如果说连线在这一块也行吗？ 这连线如果在这一块呢？你把这个连线再延长一下，把它再延长一下这个焦点，这个点它是温度最高点，所以说降温方向它就是这样判断，只不过根据切线规则可以判断这个包金还是共金。 那另外再看这个黄的跟紫的去，它的交线是一二和一 t， 这根线旁边的出金线分别是黄色跟紫色，紫色它的成分点在右边这个点， 那黄的在左边吧。一连这个连线，他就是这么一根线，这书上已经帮你连好了，课本上已经帮大家连好了，就是连接他和这个同理二。 书上其实已经帮你们连好了，只不过这块画到四十了啊，其实这个点不是四十啊，这个点其实已经连到这个同理二这个点，只不过书上这个连的不是很好看而已， 大概就这么多。一连到这一块之后，你看这个连线，连线是直接跟它上面做切线，是相交的，相交的相交的话，那么它上面就是 共进线。然后再看最后一个蓝的跟紫的，蓝的跟紫的相交，它是 e 三和 e t， 它这两个出金分别是这个出金和这个出金，这个出金的成分点在这，所以说这个它就是连线， 这个是连线。那我们在这个单边链线上面找一个点做牵线，直接跟连线相交，所以说他是这个共金线，共的就是这两个啊。出金 弄好之后，咱们就把这第这个题的第二个弄完了啊。第一问，第一问就是有五个单边链线，除了说一根是共金线，其余都是包金线啊，不是说错了，其余都是共金， 只有它是包金线，只有这个是包金线。划双箭头，其他那些都是共金线。

数学难题是大老虎，我们都是打虎的小英雄，今天我来给大家讲数学题，请听题。如下图所示，红色和白色两种颜色的三角形按规律 排序，第几个雏形中两种三角形的数量相差十二呢？其中白色三角形又有多少个？ 现在我们先把红色三角形给数出来，这个有一个，这个有三个，这个有六个，这个有十个。 我们我们现在已经把红色三角形给弄出来了，现在我们来看白色三角形， 这个没有三角形，所以是两个，这个就是一个，这个就是三个，这个就是六个。 ok， 我 们现在先算两种三角形的数量相差十二呢。 now， 你 看，这里相差一，这里相差二，这里相差三，这里相差四， 第十二个就相差十二。现在我们算其中白色三角形有多少个？ 这里相差一，这里相差二，这里相差三。 因为第一个百姓要想是零，所以我们要从零开始加，既是零加一、加二、加三、 加四、加五、加六、加七、加八、加九、加十，最后再加十一。 十二还需要加吗？不需要。现在我们来用首尾相加计算法， 零加十一等于十一， 一加十等于十一， 二加九等于十一，四加七等于十一， 五加六等于十一。所以我们现在有数一数有几个十一，一个十一，两个十一，三个十一，四个十一，五个十一，六个十一有六个十一对不对？等于 六乘以十一等于六十六，所以其中白色三角形有六十六个。 好啦，小朋友们，今天的数学题到这里就结束啦，我们下次再见，拜拜！

一二三，这里是五四，五六，这里是十四，那么七八九这里是多少呢？

哈喽，大家好，我们今天来看一下七年级下册五点四的平移这一块的内容非常的简单，我们就简单的过一下，那平移，平移，什么叫平移呢？就是平行的移动。 那举一个简单的例子，我们随便去画一个三角形， 好，随便画一个三角形，那么现在我要把这个三角形移动起来， 移动起来，我左右移动，上下移动，我这么移，这么移，这么移，这么移，我，对吧？我都可以移，平行的去移动，那我平行在哪里呢？我先去随便的移动，好吧，我先随便的移动，那移动到这里，我是斜着移动的，对不对？ 好，那现在可以看到我是斜着移动的，那移动之后他的图形的大小有什么变化，对吧？移动之后的图形大小是没有变的，也就是说前后你的移动前后， 它的图形的大小，你看大小没有变，对不对？也就是说边的长度没有变，对吧？那角度呢？这个角和这个角是不一样的，一模一样，完全复制过来的，对不对？所以说移动的前后它的图形是完全相同的， 那完全相同什么意思？就是说我的边相同的，我的角也是相同的，对不对？那 边和角都相同了，那这就是移动，对吧？那平行在哪里呢？我们来看一下平行在哪里？假设这个点是 abc 得到的是 a 撇、 b 撇和 c 撇，那我现在把 a 点移动之后的点 a 撇给它连接起来， 同样的，我们把 b 点和 b 点移动之后的这个 b 撇点也连接起来，还有 c 点和 c 点移动之后的 c 一 撇点给它也连接起来。得到的这三条线段。你看， 也就是说我们的 a a 撇和 b b 撇它是怎么样的？平行的，对吧？以及我们的 c、 c p 也是平行的，那平移，平移就是平行的移动，那移动我可以上下左右，也可以斜着移动，对不对？那移动的前后 我们的两个图形是完全相同的，而且我们得到的对应点的连线他们是互相平行的，那这个就是我们平起平移的内容，非常的简单。

请问你们摆过三角形吗？摆过一个三角形，几个角？三个，两个，三都五个。那像这样，像这样摆几个？六根？六根。但是还有一种摆法是将两个三角形拼起来，拼起来哦，拼成一个四边形，那他就只需要五根， 那这样子拼起来，摆中间的这条边，我们叫做共用边，公共边。哎，我们给他一个名字叫公共边。那今天这节课我们就来解决一个 像这样子摆三角形，摆一百个三角形需要多少根小棒的问题。当我们遇到一个像这样复杂的问题的时候，可以怎么办？把它拆剪成简单的小问题， 从简单的问题开始找规律。赵雨欣，把复杂化为简单，把复杂化为简单，那怎么样才能退到简单里面去？怎么说？从一千个简单数量少一点开始，是不是一百个？那我们可以从 十个、五个，甚至一个、两个三个开始去找规律。是的，像我们遇到复杂问题时，我们先把它转化成简单的问题，去寻找规律，那自己独立完成第一张表格，学习单上的表格一好开始。 老师这里看到了三种方法，让我们来听听看他们的思路， 听懂的请掌声送给他。按照印心妍的这个思路，四个三角形的时候，小棒根数的算式怎么列？三加几乘二 哦，三加三乘二，这三表示什么意思？第几个三角形？第一个三表示什么意思？李佳玉， 第一个三角形表示第一个三角形的三根小棒，第二个三什么意思？你想这是哪三个三角形？ 二号、三号、四号，也就是除了第一个三角形剩下的三个三角形。所以刚刚王林一第一次说四乘二的时候，这里的四应该要减掉一， 一剪掉的是哪个三角形？第一个三角形剪掉第一个三角形，剩下的三个三角形，每个三角形需要两根小棒，每增加一个三角形就增加一两个小棒，两根小棒。好，请做第一种方法理解的举 手。十个三角形，按照这个思路怎么列算是会列的举手，你同意吗？ 这里的九表示什么？意思是剩下的九个三角形。哦，除了第一个三角形，剩下的九个三角形每增加一个增加两根小棒，那 m 一个三角形呢？ 一个小三角形，第一个他是用三根的，所以后面的几个就是要减去原始的第一个，是不是这样子？对，这里不是 m 个三角形，而是 m 减一个三角形。很好啊，这个错误犯的很好，给大家提了个醒，这里是 n 减一个二，请第二位同学说出你的想法。 好，把手放下。那我来问了， 曲子消磨的第三个算式里面，三个三角形里面三乘三表示什么意思？就是说按，按这个算的话，他就是按按这个开算。月成语就是说如果把这个三角形分开算的话，他一共需要三乘三根小棒。这说的好，然后呢？他有然后呢？但是呢，我们是拼起来的，所以说还要减去这三个三角形的公共边。三个三角形 夹着几根公共边，两根两根公共边。你看三个三角形有两条公共边，那四个三角形是三条，三条公共边，所以我们看消磨的算式里面 四个三角形减掉的是四，减一条公共边。好，我们整理到这边来，四个三角形，如果按完整的算，总共需要四乘， 四乘三减四减几根？四减一等差。哦，四减一等差，那我直接写上好了，好不好？ 也等于几根？九根？九根。答案跟前面一样。好，十个三角形，按照消磨这种思路，先按完整的算，再减掉公共边的思路，你会列算式的举手。 同意吗？同意，请做那 n 个三角形，按照这种思路怎么列？字母是三乘以减 哦，同意的举手。太棒了啊，杨雨辰要表扬，请做，你就是把会变数去改成未知数就行了。 三 n 减去 n 减一的叉。好，第二种方法你理解的，请掌声送给自己和他。最后一个方法， 好的，你能听懂吗？能，那我们整理到这边来，那根据他的思路，这部图是不是应该拆成这个样子？对的哦，把第一根小棒先拆出来， 接着每摆一个三角形，就增加几条几根小棒，两根小棒，先把第一根小棒拆出来，再加上每增加一个三角形，也就是这里几个三角形。 四个乘二等于也等于九。好，十个三角形会列成一加十乘二。朱兆丰，这个一表示什么意思？ 非常好，第一节课十表示什么意思？十个三角形，二表示二，表示十个三角形的两条边，最后字母是一起说出来，等于一加 m 乘二， m 乘二。同学们给他个名字区分一下，定 第一个，第一个，第二个是先固定了定每个每个再减去公共边啊，最后一个是定定一根哎，定一根之前，在三个字母式里面， 这个是最减了，这两个看起来跟他不一样，最后能不能画成一样？能，我们来画画，看。第一个三加二乘 a 减一去括号，这里用什么去？括号 分配率好看，这里三超下来，这里二乘二等于二，二二乘一等于减减二，那么三减二等于一，所以最终能化简成二 m 加一。好，第二个三 m 超下来怎么去括号？ 括号前面是减号，去括号有没有变好？所以今天这个摆三角形的规律，最终可以用字母去 二 n 加一来表示。啊。好，那我们回到最初的这个问题，一百个三角形你能解决了吗？现在请你挑其中一种方法，写在这个作业纸的 最倒数。第二个问题，列式计算开始。请问现在有三十七根小棒用掉了，他摆了几个三角形，先减掉一根，再除以二。好， 三十七减一的差除以二，等于十八个。第一个是，第二个是二乘二，第三个是三乘三，第四个是四乘四， 这个规律你看出来的举手。所以下一个会是几乘几？五乘五下，接着看。请你列出算式，第一个是一，第二个是一加二加一，第三个是一减一，加二加三加二， 意思就是一加二加三加四加三加二，你看出来的是什么？把手放下，我把它点出来。大家看，这个点正，除了 横着竖着有这个规律，他还可以斜着看，那么斜着看的规律就是从一一直向第四个他就加到 四，然后呢？回家。那如果下一个方正点正，他的规律用算式大家一起说出来。一加二加三加四加 五加四加三加二加一，对，这是他斜着看能呈现出来的规律。那刚刚已经现题了，还可以怎么看？拐弯，看对，拐弯一层一层的加，那么第一个算式可以表示成一加一，第二个算式是一加三， 第三个算式一加二加九，第四个算式一加二加七。好，我们把图看一下， 五七啊，一三五七。十张桌子可以坐多少人？现在请你把你的想法写在草稿纸的反面。第三幅图左右两个不动，每增加一张桌子就增加四个人。那现在两个人不动 有十张桌子就有几个，四十个，四十个四，所以等于四十二人。第二个是反向问题，是吧？哦，三十人需要几张桌子？怎么列式？ 三十二十减二十，减二等于四，三十，先减掉二二，一头一尾减掉，再除以四，等于几张桌子，七张桌子。 听懂的举手。桌子的问题，听懂的举手。很好，把手放下。那今天这节课我们就上到这，大家把课堂作业本拿出来，完成今天这一节的课做。

只能移动一个大蒜，让三角形的头部指向下方，应该怎么移呢？思维灵活的人看一眼就会明白，如果脑筋一下没转过弯来，可能就会觉得这题根本无解。我们一起来试试，把最上面这个大蒜直接移动到下方， 好像不行，我们再换个方法，移动到左边，好像也不行，太难了，你知道如何移动吗？

嗯，过来写，写的过去。这里，这里过来写，写的过去。 别着急，别着急。 听够了没有？好听，拜拜。

这个视频我们来学习洋灰三角这个专题，我们把 a 加 b 的 n 次方，把它叫做二项式，那它的展开式当中每一项的系数所构成的这个三角形的数字堆，也就是这个， 我们把它叫做洋灰三角，比如说 a 加 b 的 一次方，它展开式一共是有两项啊，它的系数分别是一和一，所以说它对应的是洋灰三角第二行的两个数， a 加 b 的 二次方，他的展开式一共是有三项，那这三项的系数分别是一、二、一，也就是阳亏三角第三行的三个数， 那 a 加 b 的 三次方和 a 加 b 的 四次方，他们展开式当中每一项的系数也是对应着阳亏三角第四行和第五行的数字。那这个第一个数字一，他是怎么构成的？他其实也可以把它当做成 a 加 b 的 零次方等于一。 好，比如说这个就是这个一。那我们来首先来看一下这个三角形的数字堆，它有一个什么样的特点，或者说有一个什么样的规律呢？ 好，我们发现这个扬灰三角这个三角形的数字堆，它的最外侧的数字，也就是左右两侧的数字都是一啊，这是我们看到的第一个规律，最外侧 数字 都为一。好，再来看我们观察，其实可以得到，你有没有发现这个二，它是等于一加一，三等于一加二， 这个三等于二加一，这个四等于一加三，六等于三加三，四等于一加三。那我们是不是也可以得出另外一个规律，就是每一个数它都等于这个数的左右两肩的数字之合，对不对？ 二等于一加一啊，左肩数字是一，右肩膀它的数字也是一，所以说一加一是二，所以说它是等于一加二， 那依次类推，我们就可以把第六行的数字也可以写出来，那第六行的数字应该可以怎么写？是不是一加上四加一啊？一加四等于五，四加六 等于十，六加四等于十，一加四等于五，最后一个数字一啊，所以我们可以得到第六行的数字是一，五十是五一。那我们把这个规律啊，我们来写下来，每一个数字 都等于 它左右肩 数字之合。好，那我们再来看一下，再来观察一下这个两回三角，我们发现它也是左右对称的啊，有没有发现？你看啊，一一一 三三四四，所以我们知道第三个规律，数字左右对称。 好，那我们再来看一下每一行的数字的各处和每一行的数字的和有什么规律。第一行有一个数，第二行两个数， 第三行三个数，第四行四个数，第五行五个数，那我们就可以知道每一行的数字个数啊，就是 n， 每一行数字个数 为 n， 那 这里的 n 指的是行数啊。再来看每一行的数字之合有什么规律呢？第一行 是一，第二行一加一是二，第三行一加二加三是四，第三行第四行是一加三加三加一，是吧？那我们发现每一行， 比如说第一行他是不是二的零次方，第二行二的一次方，第三行二的二次方，第四行二的三次方，所以说每一行的数字之合是不是二的 n 减一次方， 这里 n 也是行数啊，所以我们可以得到第五个规律，每一行 数字和为二的 n 减一次方，这里的 n 是 行数啊，注意啊，是行数。好，那我们继续来看一下 a 加 b 的 n 次方，它有什么规律？它的展开式有什么规律呢？ 我们刚刚也讲了， a 加 b 的 一次方，它的展开式的系数对应的是阳辉三角第二行的数字。那 a 加 b 的 二次方，它的展开式的系数对应的是阳辉三角第三行的数字，那以此类推， a 加 b 的 n 次方， 它的展开式的系数应该是对应的是阳辉三角第 n 加一行的数字。好，这是我们得到的第一个规律啊。针对展开式 a 加 b 的 n 字方，它的展开式 的系数对应阳虚三角 d， n 加一横的数。好，我们继续来看 针对这个展开式，我们看看这个展开式，每一项啊，也就这个项数和这个 n 有 什么关系？那我们来观察一下， a 加 b 的 一次方，它一共是有两项，它的展开式一共是有两项。 a 加 b 的 三次方， 它的展开式是有四项。那以此类推， a 加 b 的 n 次方，它的展开式是不是就是 n 加一项， 一共是有 n 加一个展开式啊，它展开式一共是有 n 加一个。好，这是我们得到的第二个规律。 a 加 b 的 n 次方，它的展开式的 项数一共是有 n 加一项， 这是我们得到的第二个规律。再看一下每一个展开式的系数之和和这个数字 n 有 什么规律呢？那我们来看一下啊。 首先， a 加 b 的 一次方，它的展开式的系数分别是一和一，它所对应的系数之和就是一加一 是二。 a 加 b 的 二次方，它的系数之和是一加二加一。 十四， a 加 b 的 三次方，展开式的数字之和是一加三加三加一，是吧？二、四、八，它有一个什么样的规律？是不是每一个 展开式的系数之和是不是对应的是二的 n 次方， 这个二是二的一次方，这个四是二的二次方。八对应的是二的三次方。所以说 a 加 b 的 n 次方，它的展开式的系数之和是二的 n 次方，这是我们得到的第三个规律。 a 加 b 的 n 次方的展开式 的系数是和是二的 n 次方。好，那针对这个展开式的系数之和，我们知道是二的 n 次方，那我们现在有一个问题， 那 a 加 b 的 n 次方，第二项的系数有什么规律呢？那我们观察，我们可以知道， a 加 b 的 一次方，它的第二项的系数是 一。 a 加 b 的 二次方，它第二项的系数是二，也就是这个数。 a 加 b 的 三次方，它的第二项的系数是三，也就是这个数，以此类推。那 a 加 b 的 n 次方， 它的展开式的第二项的系数是不是对应应该是这个数啊？那我们看这个数和 n 有 什么关系？是不是正好都是 n 啊？ 当 n 等于一的时候，第二项的系数是一。 n 等于二的时候，第二项的系数是二， n 等于三，第二项的系数是三， n 等于四，第二项的系数是四，以此类推。那我们就可以知道 a 加 b 的 n 次方， 它的展开是第二项系数 为 n。 好， 那我们再看一看，我们留一个问题，我们看这个 a 加 b 的 n 次方，它的展开时的第三项的系数有什么规律呢？好，我们同学自己课下可以去看一看，去发现一下，探索一下有没有什么规律哈。好，那我们继续来看， 我们看一下 a 加 b 的 n 次方，这个展开式，每一项的次数有没有什么规律？好，我们一个一个来看， a 加 b 的 一次一次方，它展开式一共是有两项， a 加 b， 那 这每一项的系数啊，每一项的次数是不是都是一啊？ 同样的 a 加 b 的 二次方，它的展开式有三项，那这三项每一项的次数是不是都是二？同样的 a 加 b 的 三次方，它的展开式，每一项的次数是不是都是三？所以我们可以得到一个规律，也就是 a 加 b 的 n 次方，它的展开式的每一项的次数的规律。 a 加 b 的 n 次方的展开式， 每一项的次数都为 n 啊，都为 n。 好， 那我们再来观察一下， a 加 b 的 n 次方，它的展开式当中，每一项这个字母，它有一个什么样的规律？它的次数有没有什么一个规律？那我们来看，比如说 a 加 b 的 一次方，它的展开式是 a 加 b 啊，第一项是 a， 第二项是 b 啊，第一项次数是 e， 第二项次数也是 e。 再来看 a 加 b 的 二次方，它的展开式是 a 平方加二， a， b 加上 b 平方，第一项是 a 平方， a 的 次数是二，第二项 a 的 次数是一。 第三项没有 a 了，那我们可以得到一个什么规律？你看哈，这个 a 的 平方，我们是不是可以把它看作成 a 的 平方乘以 b 的 零次方，同样的，这个 b 的 平方，我们是不是也可以写成 a 的 零次方乘以 b 的 二次方，同样的 a 加 b 的 一次方，这里的 a 的 一次方，我们是不是也可以写成 a 的 一次方乘上 b 的 零次方。 b 的 一次方可以写成 a 的 零次方乘以 b 的 一次方。 同样的， a 加 b 的 三次方，这个第一项， a 的 三次方，我们是不是也可以写成 a 的 三次方乘上 b 的 零次方。 b 的 三次方是不是也可以写成 a 的 零次方乘以 b 的 三次方？那我们是不是可以总结一个规律？那有没有发现 每一个字母这个数字母 a， 它的次数是由，比如说我们以 a 加 b 的 二次项，而二次方它的展开式，举个例子，它是不是它的字母 a， 它的次数是由二到一到零？ 同样的， a 加 b 的 三次方，字母 a， 它的次数是不是由三到二到一再到零？ 好，那我们就可以总结规律，那就是 a 加 b 的 n 次方，它的展开式当中， a 的 次数它是在按照一个降密的顺序。那再观察一下 b 这个字母 a 加，我们就拿 a 加 b 的 二次方举例啊， b 的 次数是从零到一到二， a 加 b 的 三次方， b 的 次数是从零到一到二到三，所以 b 它是以一个生命的顺序再排序的。好，那我们可以总结出来一个规律。 第五个规律，也就是 a 加 b 的 n 次方， 它的展开式当中， a 它是按照 降密排序的， 是由 a 的 n 次方到 a 的 零次方。 b 这个字母它是按照生密排序 的，是从 b 的 零次方到 b 的 n 次方啊，这就是我们这个阳亏三角啊，我们发现的一些规律和特点。 那根据这个规律，那其实我们是可以把 a 加 b 的 五次方， a 加 b 的 六次方，都是可以把它写出来的，比如说我们来写一下 a 加 b 的 五次方应该怎么写，我们往下面写啊， a 加 b 的 五次方，首先我们是可以知道每一项的次数都是几，是不是都是五， 并且 a 是 按照降密排序，从五到零， b 它是按照升密排序，由零到五，所以说我们首先可以把每一项的字母给写出来。 那 a 加 b 的 五次方，第一项应该是 a 的 五次方乘以 b 的 零次方加上 a 的 四次方乘以 b 的 一次方加上 a 的 三次方， b 的 二次方加上 a 的 二次方， b 的 三次方加上 a 的 一次方， b 的 四次方加上 a 的 零次方， b 的 五次方。 好，字母的我们写出来了，那我们就可以去添上每一个项的系数了。我们知道 a 加 b 的 五次方，它对应的每一项的系数是 洋灰三角第六行的数，那也就是我们刚刚写的一五十十五一，所以我们可以把每一项的系数给他添上去，也就是一 五十十五一啊。我们给它整理一下， 也就是 a 的 五次方加上五倍的 a 的 四次方， b 加上十倍的 a 的 三次方， b 平方加上十 a 平方， b 三方加上五， a、 b 四方加上 五的 b 次方，这就是 a 加 b 的 五次方的展开式。以此类推，我们也可以把 a 加 b 的 六次方， a 加 b 的 七次方，它的展开式都可以给它写出来了。 这就是我们针对这个洋灰三角的这个三角形的数字堆和针对 a 加 b 的 n 次方这个展开式我们总结的一些规律。

三角形，圆圆圆，五角星。三角形，圆圆圆，五角星。三角形，圆圆圆，五角星。按这样排下去，第四十二个图形是什么？这四十二个图形中，三角形有多少个？圆有多少个？好，我们看题，他说按这样排下去， 这样是怎样呢？是不是根据上面的图形去找到它的规律？我们会发现上面的图形都是按一个三角形，然后三个圆加一个五角星，这样往下排的。那我们可以把一个三角形、三个圆和五角星看成一组， 这又是一组，这又是一组，也就是一、二、三、四、五五个图形为一组。他问第四十二个图形是什么？我们可以算四十二个图形里面有几个五， 有几个五，就说明可以分成这样的几组，那四十二除以五，等于八组， 排余下两个，也就是这四十二个图形，按上面这样的规律，我可以把它分成八组，二、三、四、五、六七八， 不仅分出了八组，还多了两个图形，那我们继续排下去，已经八组，这样完整的，那接下来继续排的话，就按规律先排三角形， 再排圆，所以四十二个图形分出了八组，余下了两个继续排的话，第四十二个图形就是圆形。 好，接下来再看这四十二个图形中三角形有多少个？那么我们来看这样的一组中就有一个三角形，那每一组中都有一个三角形的话，我一共分出了八组，说明这前面就已经有八个三角形了。 前面八组里面有八个三角形，但是后面还余了两个，余了两个里面有一个三角形，所以要加起来呢，就是八加一 算出来一共有九个三角形，有九个。继续问圆有多少个？那我们还是一样，先看一组中有几个圆，一二三，一组中有三个圆。我们这里已经分出了八组了，那就说明有八个三， 也就前面这里已经有二十四个圆了。还有我们这四十二个图形中分出了八组，还余下的两个，余下的两个中有一个圆，那么我们还要再加一，算出来圆形一共有二十五个， 所以原有二十五个。好，这道题你学会了吗？

这是七年级上学期必考的几何图形动点问题，我们一起来看一下。甲乙两动点分别从正方形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a、 c 沿着正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙呢，按照逆时针方向环形，乙的速度是甲的速度的三倍， 并且呢，他们第一次相遇是在 a d 边上，请问他们第二零二五次相遇是在哪条边上？那很多同学啊，看到这样的题目呀，就一筹莫展了 啊，我们来看一下这个题的切入点到底在哪？那这个题的切入点呢，就在这乙的速度是甲的速度的三倍，那我们来想一想，甲和乙他们的运动时间是一样的吧，他们的速度如果说是三倍的一个关系，那是不是也说明他们走的路程 也是三倍的关系啊？那我们首先我们可以得出来一个式子，就是 s e 啊，比上 s 甲，它等于三比一的关系。那我们再来想， 如果说我们将这个正方形的边长呀，我们设为 a， 那 他们在第一次相遇的时候，我们想他是不是从 a 到 c， 他 们走的路程之合，是不就应该是他这两个正方形的边长之合呀？ 那也就是他总共走的路程是不是二 a， 我 们先算一下甲的路程，他等于二 a， 那 然后甲的话他是占了整个路程的四分之一，所以说他占了四分之一 啊，那所以说我们是不是可以去计算出来甲的一个路程呀，那就是等于二分之一，那也就是说他们在哪相遇了，相当于甲才走了这个正方形的边长的一半的一个路程，他们就相遇了，我说那这就是第一次相遇 那个点。好，那我们再接着往后看，他们在第二次相遇的话，应该是一个什么情况呢？你想乙从这那是不是就往左走了呀？ 好，甲的话是不是从这继续往右走？那他们在下一次相遇的话，他们要经过的一个路程，那就应该是这个正方形四个边长的一个核了。哎，于是这个正方形一周的核了他的总的一个路程，那你想那甲在其中是不是还是占了四分之一啊？那所以说，哎，他再乘以四分之一 也是假呀。在第一次相遇之后，他走的走路程一共是 a， 那 我们现在来看，他原来相遇点是在这，那他走了 a 这个路程，那是不是应该到这了呀？啊，那也就是说咱们走到了 c、 d 的 终点去了，那这就是第二个情况，那很多思维敏捷的同学已经找到这个规律了，那第三次是不是应该在 b c 的 终点？ 第四次是不是应该在 b a 的 终点？再一次，这不又回到了 a、 d 的 终点啊？那所以说这就是一个循环。那现在这样去求第二零二五次它们相遇在哪条边上，我们是不是就用二零二五 去除以四，我们看着它余几就行了呀？我很明显发现它应该是等于五零六余着一， 那所以说于这一，那就应该是在哪条边上，那应该就是在这个 a d 边上，那也就是他第一次然后相遇的那个点。好，那所以说我们应该是选 a d 啊，也就是 a 选项，那你学会了吗？点关注田老师，带你学习更多的数学解题方法。

朋友们大家好，今天我们来学习一个七年级的很基础的一个知识点，平移。好，首先我们来看一下什么是平移，就是我们把一个图形整体沿着某一个方向就给它移动，我们得到一个新的图形，那新的图形和原有的图形，它们的形状和大小是完全相等的，那我们就把图形的这种移动叫做平移。 那平行有什么性质呢？就是新图形和原图形中，它的对应线段是平行的，或者对应线段是在同一条直线上的，然后对应线段是相等的，对应角也是相等的。 好，我们来看这里边这个三角形 abc， 我 们给它向右平移一、二、三、四、五、六，向右平移六个单位， 然后呢，我这个 b 是 不是到这了，然后再向上平移一一二、三、四，那再向上平移四个单位，得到了这个三角形 a 片、 b 片、 c 片。好，我们来看一下这个线段的关系，是不是有 ab 平行于 a 片 b 片好， ab 是 不是还和 a 片、 b 片是相等的？ 好，那其他的线段是不是也是类似的关系？好，我们再来看角，那这个角 a 和 a 片是不是相等的？角 a 等于角 a 片，角 b 呢？是不是和 b 片也是相等的？ 角 c 等于角 c 片，好，这就是平移。对应线段平行，或者在同一条直线上对应线段相等，对应角相等。好，我们来看一道例题， 西城区的期末考试真题，他说如图边长是四厘米的这个正方形 a、 b、 c、 d， 我 们给他先向上平移两个单位，那如果说我们给他句型化向上平移，那是不是就是 bc 到 b 片 c 片这个垂直距离是一个两厘米啊，是吧？ 好，然后向右平移一个单位，那是不是这一条边到这，那这一段是不是一厘米？ 好，那现在问我们阴影部分的面积，阴影部分是一个什么形状？是不是一个正是一个长方形？长方形的话，我们是不是要确定它的长和宽，我们就知道它的面积了？好，我们来看一下哈。平移之后，那它的这个长是不是它的这个长？是不是？我们比如说这是一个。呃， 就这条边吧，这是它的长长，是不是原有的这个四厘米？减去现在平移的这一厘米长是不是三宽呢？原本这高是四吧，然后它现在向上平移了两个，那四减二是不是剩了二？ 好，那现在这个长方形的面积就是六平方厘米。答案选择 b。 好， 以上就是今天我们所学的平移。

今天我们讲一道数学思维题，那首先来看这三角形，分别写了一二三四、五六和七八九，那第一个他给出的数字是五，那第二个他给出的是十四，那问我们这个空里边填的是什么？那我们首先第一个想到的要么是加法， 要么是乘法，那我们来看一下规律啊。那首先来看这五如何得出来的呢？ 我们二加三，但是如果在这的话，五加六就等于十一，所以和这个数得不上。那我们再看二加一如何等于五呢？你动一动小脑子，是不是在这里可以用二乘二加一等于五，那我们再来试第二个， 用五乘以二，再加四算出来等于十四，那这个数，哎，正好等于十四了，那这个数该怎么去做呢？我们应该八乘以二加七，最后得数等于二十三，所以这里边添的数是二十三。

数三角形啦。