学林数学六下比例

这道题每年必考，妈妈用一百二十毫升的酸梅原汁加二百五十毫升水调制的酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，妈妈应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水加多少。 当酸梅原汁和水的比是三比七时，口感最佳。这道题的破题思路就是量律对应，看见比就想到分数。口感最佳的酸梅汤中，酸梅原汁和水的比是三比七，就把酸梅原汁看成是三份，水看成是七份，酸梅汤是这两个玩意混合而成的， 那口感最佳的酸梅汤就是三加七等于十份。那口感最佳的酸梅汤中，酸梅原汁就占了酸梅汤的十分之三。 妈妈用一百二十毫升的酸梅原汁配酸梅汤，把酸梅汤看成单位一，用具体的量，一百二十毫升酸梅原汁除以口感最佳时，酸梅原汁占酸梅汤的分率十分之三， 就可以求出单位一，也就是可以配得四百毫升酸梅汤。这四百毫升酸梅汤中有一百二十毫升的酸梅原汁，那酸梅汤中的水就是四百减一百二十等于二百八十毫升。 而题干中妈妈带的水是二百五十毫升，显然，二百八十毫升大于二百五十毫升，水不够还需要加水，二百八十减二百五十等于三十毫升。

今天我们来讲正比例与反比例。首先我们要理解正比例与反比例的定义是什么， 当有 a、 b、 c 三个量时， a、 b 为变量， c 为定量，这个是一直保保持不变。 a b 也就是 a 乘 b 等于 c 时，在这种情况下， a 与 b 的 关系成反比例关系。因为为了保持 c 不 变，如果 a 扩大倍数，那 b 就 得缩小同倍数，这样它们俩 才能抵消保持 g 不 变， 所以它们俩的关系是一个上涨，一个下降。乘反比例关系，而这个 b 分 之 a 等于 c， a 除以 b 等于 c 时， 因为这个前提条件是不变的嘛，所以这种情况下就是正比例关系。 倍除数 a 和除数 b， 它们是扩大同时扩大倍数和缩小倍数的。 因为我们知道约分大家应该都学过吧，是不是是根据商不变的性质演变而来，他必须要上下同时乘或除以相同的数，才能保持式子不变。所以这时候 乘正比例，那我们就总结出一个口诀，这时候 a、 b 等于 c 是 不是基定， 那就是为反比例关系， 而这个时候是不是商定 为正比例关系？

今天用比例的基本性质，一分钟搞定这道经典的计算题。题目说甲的五分之二等于乙的四分之三，我们直接把这句话翻译成数学等式，甲乘五分之二，等于乙乘四分之三。接下来我们要把这个乘法等式变成甲比乙的比例形式。 我们知道比例的基本性质是两个外项之积等于两个内向之积。我们来找找看。当甲和五分之二作为两个外项的话， 那它俩就应该写在比例的两端，那乙和四分之三就是两个内向，那它俩就是在比例的中间。现在你们看到了吗？加 b， 乙等于四分之三 b 五分之二。接下来化简这个分数比，用前后向乘两个分母的最小公倍数 等于四分之三乘二十比，五分之二乘二十。约分后加比乙等于十五比八。最后求得加比乙等于十五比八。同学们记住这个万能方法，只要遇到这种类型的题目，直接列等式，变比例，化减比，一步到位。

来看第七题，已知二十四乘三等于八乘九，根据比例的基本性质，你能写出比例吗？你能写几个？其中给的是乘积式， 那怎么样写出比例式呢？我们知道根据比例的基本性质，在比例里，两外向的积等于两内向的积，那既然二十四和三相乘， 八和九相乘，那我们把相乘的两个数同时做比例的外项，或者同时做比例的内向，是不是就保证这样的两个数相乘？ 那假设我们让二十四和三这两个数做比例的外项，那么八和九只能做比例的内向，所以我们就可以写出比例。 二十四比八等于九比三，那我们来看一下二十四和三是不是做的比例的外向，八和九做了比例的内向，所以把比例式看能不能再回到成级式，我们就知道写的比例是不正确， 那仍然让二十四和三做比例的外向，然后我们让内向八和九交换一下位置，仍然做内向，那我们看能不能回去乘积式。 二十四乘三等于九乘八，是不是可以回到乘积式，证明我们的比例是正确的？那有了这种思路，我们让二十四和三做比例的外向，让他左右交换一下位置， 仍然做外向，那么这时候八和九仍然做内向，那我们就可以写出比例， 三比八等于九比二十四。那我们来看一下两个外向相乘，三乘二十四等于八乘九，也能回到乘极值，那么这个比例也是正确的。那三和二十四 两个外向不变，仍然让两个内向交换位置，所以又得到一个比例。 看来呀，二十四和三做比例里做外向，我们就写出了四个比例， 同样让八和九做外项，是不是也能写出四个比例呢？我可以写成八比三等于二十四比九，我们来看两个外项，八和九相乘，两个内向，三和二十四相乘， 比例式能够回到乘积式，那我们的比例式就是正确的。这时候我们让八和九做的外向好，八和九做外向不变，让两个内向交换位置，所以我们就得到了两个外向，八和九相乘，两个内向，二十四和三相乘， 同样八和九做外向，让两个外向交换位置，仍然三和二十四做内向，所以我们就写出了 九比三等于二十四比八，两个外向相乘九乘八，两个内向相乘三乘二十四，是不是能够回到乘积式，我们的比例是正确的。接着让九和八做外向不变， 九和八仍然做比例的外向，让内向，三和二十四交换位置，仍然得到九乘八等于二十四乘三，回到乘积式，证明比例是正确的。总结一下方法， 二十四乘三，我们首先让二十四和三做比例的外项，是不是写出了四个比例？ 接着让八和九做比例的外项，又写出了四个比例，所以给出一个乘积式，我们就可以写出八个不同的比例。

看题，某天王叔叔爱好骑行，计划骑行六小时，这六个小时是一共的时间，一共的时间，出发是上坡骑行，每小时两千二十千米， 原路返回是下坡骑行是提高百分之五十。求王叔叔出门骑行多少小时后就应原路返回。好，用笔的解答， 我们先求一下回来时的速度。回来的速度他说了是提高百分之五十。好，那就是二十乘以括号一加百分之五十等于三十千米每时，这是回来时的速度。 好，我知道了，一共骑行是六个小时，王叔叔要多少小时后返回对不对？好，我们是 是王叔叔骑行 x 小 时后， x 小 时后返回。好，骑行 x 小 时，那去的时候是 速度是二十，骑行 x 小 时，那回来的时候是六减 x 小 时，回来时候的速度是三十。这里有一个量是相等的，是什么呢？就是去时候的路程和回来时候的路程 相等，我们就用这个路程相等来解出这题。好，解出来之后是二十 x 等于一百八减三十 x， 五十 x 等于一百八， x 等于三点六。好奇，行，王叔叔骑行三点六小时后就应原路返回。本题的关键就是路程相等。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

六下学完比例这个单元有很多填空题是关于我们的比例的意义啊，还有比例的基本性质的，比如说这个第五题，从二十四的因素中 选出四个数，组成两个比值不同的比例。 这个题考察两个比相等的式子， 其实说白了比例就是一个等式，那还有一个就是利用比例的基本性质，比例的基本性质就是外向乘外向等于内向乘内向，这是一个突破口啊，说白了就是两个数的乘积等于另外两个数的乘积，外向乘外向等于内向乘内向。然后呢，我们来看他是从二十四的因素中， 这是有关于五项的东西。二十四的因素有哪些？你怎么找？那这一道题，老师给大家说一个比较简易的方法，我们找因素的时候，我们成对的找你，比如说一 二十四，这是一对都是二十四的因素，然后二乘以谁等于二十四？二乘以十二等于二十四，哎，你找到这两组因素之后，你会发现这两个数的乘积正好等于这两个数的乘积，哎， 这是不是比例的基本性质？外向乘外向，他就等于内向乘内向，哎，那这样的话，我们就可以根据这个等式来给他写比例了。如果说这两个是外向的话，那这两个 b 是 内向， 那内向我们是写在两端，外向，哦，外向是写在两端，那内向呢？我们是写在里面，然后呢画等号一笔就可以了， 对吧？那如果说这两个是内向的话，那这两个肯定就是外向。 同样的道理，内向写里面一二十四，外向写外边，二十二等于比号，比号，我们来看这两个比例， 他的要求是组成两个比值不同的比例。首先来看这个比例，对吧？然后你看这个比，他的比值是二分之一啊， 是不是他的比值肯定也是二分之一，那你看这个比值呢？二除以一等于二，二十四除以十二也等于二。其实我们已知这样一个等式，我们可以写出来八个比例， 无非就是我们把外向的位置给他交换一下，外向和内向的位置给他交换一下。两个外向的位置也可以交换，两个内向的位置也可以交换啊。所以说我们在做填空题的时候，思维还是比较重要的。

数学不用报班，课本知识跟着我一个一个来啃。今天我们来说六下第四单元，比例单元里边如何用四个数组成八个比例，这是一个非常容易出错的地方，很多同学可能会写不全，今天我们来仔细讲一下这个方法。好， 那首先我们要知道，根据比例的基本性质，把下面的乘法算是改写成比例，那二十四乘三等于八乘九，它有四个数字，那在前面我们知道两个内向的积等于两个外向的积，这是比例的基本性质。那么好，再来重申一遍，在比例里，两个内向积等于两个外向积，那么 乘积的两个数要不然同时是内向，要不然同时是外向。好，那么首先既然有四个数，我们先把八和九放在比例的内向的话，那另外两个数就是二十四 比上，二十四乘三，那就写外向，对吧？内向等于外向的积，那这个时候我们可以，那还用八， 内向还是八和九的话，那么二十四和三此时是不是就要调换位置？好，这就两种了，那么八和九两种已写完了，我们此时就要把九、八和九调换一下位置，就是九和八，那二十四和三还是跟上面的一样，二十四比九等于八比三，下面好，再把二十四和三调换位置，三比上九等于八比 二十四，对吧？在这边我们总结了一下，八和九不动的时候，只把另外两个数调换位置就可以了，那另外两个就是把八和九调换位置完之后，还是用另外两个数调换位置就可以了。好，这就是四个，那么遵循一下内向机的外向机，你看内向都是八、九、七十二，外面二十四乘三都是七十二，好，指这四个结束。 那么八和九做完内项，我们接下来要把二十四和三作为内项，这样的话就掉了一个位置来写另一种情况。那么二十四和三作为内项的话，那九和八和九是要作为外项，我们撇八比上二十四等于三比九，那二十四和三还在内项，那此时九和八就要调换位置。好，那三和二十四调换位置之后， 上面是二十四和三，下面是三和二十四两个，那还是跟刚才一样，八比上九，然后再把九和八调换位置。 好，这边总结的有二十四和三不动的时候，八和九调换位置，那么再把三和二十四调换位置之后，两边还是跟上面一样，只需要调换八和九的位置就可以了。好，学会了吗？那么下次我们接着讲反比例的内容。

光看数字是不是有点猛？别担心，我们用比例的基本性质一步步拆解，保证一听就会一座全对。已知两个数的和，还知道这两个数的差，回忆一下和差问题公式，就可以分别求出这两个数了。 大数等于这两个数的和，加这两个数的差的总和，再除以二，大数就等于四十五。加二十七的和除以二等于三十六。小数等于这两个数的和。减去这两个数的差，减后的结果，再除以二，小数就等于四十五。减二十七的差除以二等于九。 现在知道了大数和小数也就是两个外项是三十六和九。条件说两个比的比值是等于二分之三， 外向有两个，所以要分两种情况讨论。当第一个外向是三十六的话，那第二个外向就是九，这是第一个比例。当第一个外向是九的话，那第二个外向就是三十六，这是第二个比例。注意，这两种情况，每个比的比值都是二分之三。 三十六。比多少等于二分之三相当于三十六。除以多少等于二分之三，所以这个数就等于三十六。除以二分之三等于二十四。多少比九等于二分之三， 相当于多少。除以九等于二分之三，所以这个数就等于二分之三乘九等于二分之二十七。这样就完成了第一个比例。再来看第二个，这个比就是 九。除以多少等于二分之三，这个数就等于九。除以二分之三等于六，这个比就是 多少。除以三十六等于二分之三，这个数就等于三十六乘二分之三等于五十四。通过刚才我们的分析，这道题有两个符合条件的比例，一个是三十六比二十四，等于二十七比九，另一个是九比六等于五十四比三十六。

六、下数学最难的比例，就这十大题型练完稳进班级前三六年级下册数学比例十大重要应用题型题型一，归一问题题型二，过高与隐藏问题题型三，行程问题题型四，间隔问题 题型五，分数相关问题题型六，相遇追急问题题型七，规整问题题型八，铺地砖问题取件码一样。

六年级今天我们来学比例的基本性质一、填空题第一题，如果 a 比八等于 b 比十一，那么 a 乘几等于 b 乘几。 根据比例的基本性质，两个外向的积会等于两个内向的积，所以 a 乘十一等于 b 乘八。 如果七 a 等于十 b， 那 么 a 比 b 等于几比几， a 是 外向七， a 也是两个外向相乘的积等于七 a， 那 这个外向就是七 b 在 内向十 b， 那 就是两个内向相乘的积等于十 b， 这样七 a 才会等于十 b， 所以 这个内向就是十。 第二题，在比例里，两个外向互为倒数，其中一个内向是零点二五，另一个内向是几， 两个数互为倒数，那么他的积就为一。两个外向互为倒数， 那说明这两个外向的积就为一。在比例当中，两个外向的积等于两个内向的积，所以零点二五乘一个数就要等于两个外向的积，也就等于一。 零点二五乘四等于一，那另一个选项就是四。第二题，在比例 a 比 b 等于 c 比 d 中，如果 a 与 d 不 变， b 乘时，要使比例乘以 c 要怎么变？ 在比例当中，两个外向的积等于两个内向的积，所以 a 乘 d 会等于 b 乘 c， 现在 a 与 d 不 变，那也就是它们的乘积是不变的。 那你看，两个数相乘，一个因数乘十，也就是 b 乘十，要使它的积不变，那另一个因数就要除以十。 这样一个因数乘十，一个因数除以十，那这两个数相乘，它的积就不变， 所以 c 它就要除以十。如果 a 和 c 不 变， b 乘时，要使比例成立， d 要怎么做？两个内向相乘会等于两个外向相乘，现在 a 和 c 不 变， b 乘十。你看两个数相乘，一个因素乘十，另一个因素不变，那他的积就相当于乘十，那同理，这里两个数相乘， 一个因素不变，那要让他的积乘十的话，那另一个因素就要乘十，所以这个时候 d 他 就是要乘十，这样他们的积才会相等，所以 d 要乘十。

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一堆糖果，奶糖占百分之四十五，再加入十六块水果糖后，奶糖就只占百分之二十五，这堆糖果中奶糖有多少块？用比例思想解答。第一个条件当中说奶糖占的是这一堆糖果的百分之四十五， 那我们就可以给他写成原来的糖果总量，乘上百分之四十五就会得到奶糖的量。 现在他加进来了十六块，我们会发现他说奶糖占的是百分之二十五，那占的虽然还是糖果的百分之二十五，但是他是现在糖果总量的百分之二十五， 那么就乘上百分之二十五就会得到奶糖，那么来抓抓不变量，只加水果糖，所以奶糖的量在这期间它并没有发生改变，一直都是相等的。所以呢，我们就可以找到一个等量关系， 再根据比例的意义，我们知道内向机会等于外向肌，那通过等机制，我们给它转化成比例， 写成原来糖果的总量，我简称圆总比上现在糖果的总量，简称为现总，会等于什么？比上什么呢？我们看这个呢是内向肌， 所以呢，现在的总量他是乘上百分之二十五，所以这个百分之二十五要放在内向这个位置，那原来总量呢，他要跟另外一个外向相乘，也就是这个百分之四十五。那么来化解一下，先去掉百分号， 在前项后项同时除以五，等于五比上九，也就是说原来糖果的总量是五份，现在糖果总量为九份，为什么会有这样子的份数差呢？ 九份比原来的五份会多了四份，多了四份是因为它多放进来了十六块的水果糖，那我们一相除就可以求出一份，它具体代表的是 四块糖果，那问题问的是这一堆糖果中奶糖有多少块？那我们先来求原来 糖的总量，原来糖果是占五份，一份呢是四块，那么原来的总量他就有二十块糖，那奶糖占的是原来糖果总量二十，他的百分之四十五求得等于九块。

今天这节课我们来一起学习图形的放大和缩小四单元比例。第一，王小光拖动电脑鼠标把一张长方形照片放大，我们来看原来长方形照片的长是八厘米，宽是五厘米， 放大后长方形照片的长是十六厘米，宽是十厘米。问放大前后照片的长有什么关系宽呢？我们来一起探讨长方形放大前后的关系。首先我们用长方形放大 后的长和宽分别去除以放大前照片的长和宽，那我们放大后长方形的长是十六厘米，我们原来长方形的长是八厘米，所以我们用十六除以八 等于二。我们紧接着再用放大后长方形的宽十厘米去除以放大前长方形的宽，那就是十除以五等于二。 那通过观察我们可以发现，我们放大后照片的长是原来的两倍， 宽也是原来的两倍，所以我们放大后照片的长是原来的两倍，宽也是原来的两倍。 那我们在上学期所学习了比，那我们长方形放大后照片与原来长方形的长的比是几比几啊？那是不就是十六 比八呢？那我们化解成最减整数比是不就是二比一？ 那我们放用我们放大后长方形的宽和我们放大前长方形的宽去进行比较的话，是不是十比五也等于二比一呢？ 所以我们放大后照片与原来照片长的比是二比一，宽也是二比一。 这样的话，我们把长方形的每条边放大到原来的两倍，放大后的长方形与原来长方形对应边上的比就是二比一， 就是把原来的长方形按二比一的比放大。这里面老师要提醒大家，不管是放大或者是缩小，都是把图形的每条边放大或缩小，它们的大小发生了变化，而图形的形状不变。 第二问，如果要把原来的照片按一比二的比缩小，长和宽应是原来的几分之几，各是多少厘米？ 在这里老师要强调的是，要把原来的照片按一比二的比缩小，就是把图形的每条边缩小到原来的两倍或者是二分之一。 所以我们按一比二的比缩小我们长，缩小后长方形的长和宽都是原来的二分之一或者是两倍都可以。那在这里老师写成分数的形式的， 那缩小后我们长方形的长应该是多少厘米呢？我们原来长方形的长是八，那缩小后长方形的长就是八乘二分之一等于四厘米。 我们原来长方形的宽是五厘米，缩小原来的二分之一，那就是五乘二分之一等于二点五厘米。所以缩小后的长方形的长是四厘米，宽是二点五厘米。 如果我们按照比的形式的话，把缩小后长方形的长和原来长方形的长进行比较的话，它是不就是四比八等于一比二呢？化解成最减整数比， 我们用缩小后长方形的宽和原来长方形的宽进行比较的话，就是二点五比五也等于一比二，化解成最简整数比也是一比二。 这样的话，我们把长方形的每条边如果缩小到原来的两倍，或者缩小到原来的二分之一，缩小后的长方形与原来长方形对应边长的比就变成了一比二， 就是把原来的长方形按照一比二的比缩小。在这里同学们可以观察到 我们的前向和后向发生了什么变化呢？我们在进行放大的时候，我们是二 比一，前向发生了变化。我们如果说小的时候是后向，是不发生变化了，变成了一比二了呢？ 所以老师在这里总结，如果把图形按照 n 比一的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的 n 倍。 如果把图形按照一比 n 的 比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的 n 分 之一， n 大 于一。 第一个总结，把一个图形放大或缩小后，得到的图形和圆图形相比的话，形状相同，大小不同。

数据可以组成多少个比例？比一比，看谁写的又快又好， 写好了以后同桌之间互相交流一下。 二二， 一点五。 哎呀 啊啊， 我们一起来看一下。四比二等于二比一，同意吗？同意。二比四等于一比二，同意。三比一点五等于二比一，一点五比三等于一比二。同意。 还有没有四比一点五？没有没有。除了刚才的这些还有吗？ 我们一起来看。三比一点五等于四比二，同意。四比三等于二比一点五，同意。一点五比三等于二比四，同意，三比四等于一点五比二，同意。 那么除了这些还有没有？ 那我们一起再来看一下啊。在这个直角三角形中， 大三角形的底是四厘米，高是三厘米，那么这个小三角形 底是二，高是一点五。我再找同学来说一下啊。对照这个来说， 陈米良大三角形的底和他的高比是三比三、比四，然后小三。小小三角形的底是二，他高是一点五，他们的底是一点五比二，他们就是三比四比三比四等于一点五比二。掌声， 你 c， 五，那个他大三角形的底是四，然后 他小三角形的底是二，然后他们两个的底就是四比二，然后大三角形的高是三，小三角形的高是一点五，然后底就是三比一点五，然后他们两个的比例就是四比二等于三比一点五。 坐下，刚才他写的是二比一点五等于四比三，还有吗？ 同学 一，一点五比三等于二比四， 对不对？对，满意。一点五比二等于等于三比四，可以吗？ 脱。三比一点五等于四比二，三比一点五等于四比二。非常好，掌声送给他们。 那么我们要判断他们能不能组成比例，我们的依据是什么呀？你 再说他的比值和另一个数，另一个比的比值一样，他们就能组成比例，比值相等就能组成比例。那我们再看啊，他们的，他的比值是 三分之三，他的比值是三分之四，所以他们能组成比例。他的比值是二，他的比值是二，所以他们能组成比例。他的比值是三分之一，他的比值是二分之一，他们也能组成比例。他的比值是四比三。二比三， 四比三，他们的比值是四分之二，他们的比值四分之二，也能组成比例。最后一个，他们的比值二，比值二，所以也能组成比例， 对不对啊？对。那么我再找同学说一下，到底什么样的情况下才能组成比例呢？ 李宇杰，两个笔的笔直相等，他们就能组成比例。掌声送给他， 那么十比五等于几比几？看同学们谁写的多，谁写的快，送给他。 金子涵，嗯，他们十比五可以扩大两倍，就是二十比十。最后化简还是二，所以十比五等于二十比十。 坐下刘建豪，十十比五，那么同时约分 除以二就等于二比一，所以十比五等于二比一。李子涵，十比五，他们可以同时扩大，扩大两倍，就是二十比十。 前面先十比十比五，他们可以同时扩大三，他们可以同时扩大两倍，就是二十比十。王爷，十比五，他们可以同时扩大十倍，就是一百比五，十就是二，就是二。 一百比五。十加上三十比五，可以从十扩大九倍，十变成九十五变成四十五，它们化简后还是二，非常好，这是 所以啊，十比五的比值是二，只要是比值是二的都可以，都可以，我们可以写多少个？无数个，是的， 那么今天呀，我们学习了关于比例，在人体中也有许多有趣的比例，我们一起来看一下。 拳头滚一周的长度比，脚底的长度等于一比一， 身高和双臂平身的比例等于一比一，腿长和头长等于四比一，脚长和身高的比是一比七。 成年男子的肩宽和头长的比是二比一。 所以这就是我们讲的生活中处处有数学，数学来源于生活，我们要用数学的眼光去思考，去观察世界， 要用数学的思维去改变世界。 那么最后呢，我想找同学来说一说，这节课你学会了什么？ 俗话语，比值哦，比例，他们，他们两个比，必须要比值都是相等的，才能组成比例。王子宁，我学会了，比例是由两个比， 两个比和一个等号组成的，但是两个比的比值必须是相等的。掌声送给他们， 今天啊，同学们学的非常的开心，学的特别的认真，咱们这节课就上到这里，行了，谢谢老。

各位家长好，今天我们用两分钟的时间来快速拆解一下比的意义，这一节的两个重要知识点，一个是内向和外向的定义，另一个是比例的基本性质。首先我们来看第一点，什么是内向？什么是外向？ 那我们来看啊，这是一个比例，我们知道比例是由两个比值相等的比，用等号联系在一起的式子，那我们这个比例其实是由四个数组成的， 然后我们会发现，我们定义的是把里面的这两个数叫做内向，外面的这两个数叫做外向，那这很容易理解，也符合我们的常识，对不对？里面的叫内向，外面的叫外向。 那好，我们接着来看第二个知识点，比例的基本性质。我们是首先我们给到几个比例， 让学生去，让家长可以让孩子去发现一下，去验算一下这个比例有什么规律。其实通过验算，我们会发现这个比例的两个外向相乘，等于他的两个内向相乘的积。 好，每一个比例其实都满足这个规律，那这就是我们比例的基本性质，就是两个外向基等于两个内向基 级。那如果我们把比例写成分数的形式，我们会发现我们可以换一种说法，那把比例写成分数的形式就变成八分之十二等于二分之三。那我们会发现刚才那个比例的内向， 一个是在这边左边这个分数的分母上，一个是在右边这个分数的分子上，那刚才那个比例的外向， 嗯，在一个是在这个左边这个分数的分子上，一个是在右边这个分数的分母上，那我们会发现内向相乘的积等于外向相乘的积，我们也可以换种，换一种说法，就是这两个 分数的分子分母交叉相乘的积是相等的。 那其实这两种说法说的是同一个意思啊，都是比例的基本性质。那给到家长一个 辅导小建议是什么？就是你在给孩子讲这个比例的性质的时候，先让孩子拿几道比例去验算一下，让孩子去自己去探索，去发现，这样孩子的 记忆会更深刻。好了，那这节课我们就分享到这了啊，我们下期再见。

六下数学最难的比例，就这九大题型练完稳进班级前三，可打印六下数学比例常考九大题型题型一，比例的意义题型二，比例的基本性质题型三，结比例题型四，正比例意义图形与判断题型五，反比例的意义与判断题型六，比例尺的认识 题型七，线段竖直比例尺的互化题型八，比例尺的实际应用问题题型九，图形的放大与缩小。以上应用电子版。

好，我们今天来讲一下第四章第四单元的比例。比例的知识点总结的话，我们一个是比例的意义，我们 那个六上的时候学了比，对不对？学了比，现在多一个比例，那比例跟比是有区别的哈， 那我们来先看它的意义，那比例的意义是什么？就是表示两个什么？两个相等的食指 叫做比例，就是两个比相等就是他这个比，哈，又相等，对不对的食指就叫做比例，就像什么？你看我十五比去六， 十五比六换成最减，是不是就是五比二，对吧？那五比二是不是他的 食指是不是也是比？是不是也是五比二？那这两个比是不是相等，对吧？那这两个比相等，他就写着个等号，那他就是一个什么？组成一个比例，对吧？组成一个比例，那好，那比例我们在比例里面有个 名称，那好，我们来看下比例里面的名称，那组成比例的四个数叫做比例的项，这十五就是一个项，六是一个项，对吧？五也是一个项，二也是一个项。好，那在 比例里面两端的两项就两端，两项叫什么？外项，两端是什么？十五和二是不是都是在最开始的那一段跟最后的那一段，对吧？这叫做外项。那既然有外，那肯定要 要有内的嘛，对不对？所以说你看中间两项叫做比例的内向，对不对？内外内外，所以说 跟六是不是就中间的两项，对吧？中间两项他就内向啊？内向，好，那最外面的两个就叫外向，那也可以写成什么的形式？这种是写成 这个是比例，是写成什么笔的形式，用笔号表示出来，对吧？还可以写成什么分数的形，对吧？用分数线表示分数线表，我们这个如果说他是比例的话，他应该说的是十五比六等于五比二，对吧？ 讲式比例就是应该要写讲这个表示就是十五比六等于五比二啊，它不是六分之十五等于二分之五啊。在比例里面我们应该把它讲做十五比六等于五比二好。那写比例时组成比例的什么？ 两个笔既可以写，写成什么带笔号的形式，也可以写成什么分数形式，就像刚才上面这样的，对不对？这是写成笔号的形式，这是写成分数的形式啊， 这是比比例的概念啊。那我们来看一下，那判断两个比是否组成比例，那方法只有什么，就用什么求比值的方法进行判断，对不对？求比值， 我看十五比十八好，因为十五比十八，他最终是不是等于五比六，对吧？就可以。就如果写成比值的话，他就是六分之五，对不对？写成比值他等于六分之五，好。三十比三十六，他是不是也等于六分之五，对不对？那大家都等于六分之五，那是不是就是比值是相等的， 那比值相等，那他们就可以组成一个比例，对吧？是确定一下比值相等，所以他们就可以啊。这个四分之一比去十六分之一，那最终他的比值是等于什么？ 是那零点五比去二，他的比值是等于零点二五，对吧？那他们的比值是不是不相等？不相等的话，那他们就没办法构成一个比例，对吧？要想构成比例，他一定是 比值，要是相等的哈，那好用，还得用什么？用化简比的方法进行判断。刚才前面是求比值的方法进行判断，是吧？那用化简比，那化简比的话就是什么？我把十五 比十八，是不是可以写成五比六，对不对？化成最简是不是？五比六，对吧？那好，三十比三十六，他化成最简也是五比六，那最终他们 都是一样的，对不对？都是五比六好，那最终他们是不是就可以凑成一个比例，是吧？ 这个四分之一比去十六分之一化成最减比，他等于四比一，对不对？四比一，那零点五比去二，那化成最减比是一比四啊？一个是四比一，一个一比四，完全不一样了，对不对？ 虽然数值都是四根一对吧，但是写在前面跟写在后面它就不一样了，对吧？所以它们不相等，不相等的话，所以它们不能凑一 好。来看一下，做一下这个练练习，来做一下这个练习。那练习呢？他说下面各项中两的两个比，可以组成比例的是哪一项？就是这四项可以组成比例的是哪一项？来看一下 我们两种方法，一种是什么？画成最简笔，对不对？他们的笔都是一样的，就可以是比例。还有一种是什么？求比值，大家的比值都一样。好，第一个二十比五，如果画成最简，他是多少 对？换成最减，它是四比一，对啊，它是一比四，那肯定就不穷不同了，对吧？直接就发成最减 b， 看一下就知道了。好，那这个呢？ b 呢？二点四比一点六，然后换成最减，看一下二点多少 啊？同时都可，大家都可以除以的嘛。零点八，对吧？那零点八，零点八，三比啊，是吧？好，那这个呢？ 它放在这点是不是三比五，对吧？好，完全不一样，两个比不一样啊？啊？二分之一比去三分之一， 二比三呢？二分之一比去三分之一，我们说了比，对啊，我们比是什么？除号，对吧？除一个数乘以这个数导数，它是等于二分之一三，对吧？所以它应该是三比二，对吧？那六比四呢？ 是不是就放在最简单的？是不是也是三比二？好，那不就大家一样了吗？对吧？那不就出来了吗？是不是选 c， 大家确认一下 d 对 不对？ 二分之一比三分一，大家说了是三比二，对不对？这个三分一比二分一等于多少啊？你看它就等于二比三，所以不一样 啊。二比三，所以它不一样，所以错了，只能写 g 的， 对吧？好，那来看，用四八九十八四个数组成两个不同的比例来怎么比？ 四比八等于九比十八，是吗？那好，我们来看，四比八换成最减它是多少？应该是什么？二比二和一比二， 那就等于一比二，对吧？那九比十八是不是也是一比二，是吧？也是一比二啊，那他们就可以凑成 b b， 对 吧？那我们就可以写什么四比八等于什么九比十八，对吧？他说要还得写一个 四比九，八比去十八除以二，刚好啊，没错了，那四比去九，八比去十八除以二，刚好啊，没错了，四比去九 是不是等于这个？换成最减就是四比九，对不对？那八比七十八刚好，八比一，十八都可以约二，这边剩四，这边是不是刚好剩九，对吧？也是四比九，没错啊，非常非常大，所以他就可以写成这两个不同的比，是不是还有很多？是不是？我 就算这样子，我还可以反一下，就是把这个什么，因为他不是还给位置对掉一个八比七四，是不是等于十八比九，对吧？位置对掉都可以啊？一样的啊。再来看三，如图，直角三角形。这个直角三角形， 它的两条直角边分别是 a 和 b， 斜边是 h， 下面是指中不成立的，不会成立。 那我们来看，先看 a 比去 b 等于 h 比去 c， 它是对的还是错的？能不能成立？我们来看它，我们来先看这四个字母哈。 abab 是 两条直角边，对吧？ 细是斜边，高是 h， 斜边上的高是 h， 那 这四个字母怎么样子能相等？ 它们其实都是三角形凑成这个三角形的。什么？ a 跟 b， 是 不是就是这个三角形的底根高啊？ 那个 c 跟 h 是 不是就三角形的底根高啊？那它们都是不是都同一个三角形？那它们什么相等？ 根根三角形面积大家是不是相等，对不对？那我 a 乘上 b 就 等于什么？对， a 乘上 b 就 等于什么？ g 乘上 h， 对 不对？那它们相当于这四个字母的关系，是不是这样？ 是不是这样的，对吧？既然它们的关系是这样子，我们是不是根据这个关系就可以写出比值了，对不对？是吧？ 那好，我们这里面这个关系能看出是 h、 b、 c 跟 a， b， a 比 h 吗？ a a 比 b 吗？是不是看不出来那一下啊？先放在那里，我们看别的， a、 b 去 c， 是 不是可以看出 a、 b、 c 啊？我就把 c 移到 c 移到这边，是不是就变成 a、 b 去 c 了， 对吧？是不是就除以 c 吗？如果用分子、分母同时除以 c 吗？那这边呢？分子分母同时除以 b， 对 不对？那不就变成了吗？ h b 去 b， 对 吧？是不是？那这个是不是对的？ 对吧？是不是对的？好，那来看 a， b 去 h， 那 不就是像底下一的是 c， 我 像 c e h 吗？对不对？是不是 a b 去 h 是不是就等于什么 g 比 g 什么 b 啊？对不对？是不是对的还是错的？是不是也是对的啊？好，来看 d， b 比去 c， b 比去 c， 是 不是把 c 是 不是除过来？把 a 除过去，对吧？是不是？它是对的还是错的？是不是也是对的？那只有谁是错的？ a 是 不是只有 a 是 错的？那就选 a， 那 只能选 a 了嘛？ 好，继续看下一题，这种题一定要掌握好，这个应用的题就三角形的什么面积呢？是不是那大家面积都相等， 都是同一个名啊？来看题，这个在一个比例里，两个内向都是字数，告诉我们他们都是字数。什么字？字数还记得吗？字数的定义是什么？ 五年级就学过了吗？ 质数的定义是只有一和它的本身的因素就是它的因素，只有一和它的本身，这就是质数。质数最小的质数是谁？ 不对，一，它不是质数，也不是和数， 只能是一跟它的本身。 三是一个， 三是字数没错了。还有没有比三还小的？对呀，二是不是也只有一根二？ 二的这个因素是不是只能分出一根二，没有别的了，对不对？所以说只有一根，它本身最小的字数是二，懂了没有？一定要记住哈，最小的字数是二。好，那他说这两个是字数，内向是字数，而且他们的极等于多少？ 二十一，两个字数相乘等于二十一，哪两个字数相乘能在一起？对，只有三根七，是不是等于二十一？没有别的了。一乘二十一，是不是还有一个一乘二十一？但是一乘二十一 一啊？二十一不是指数啊，对不对？一也不是指数啊，对吧？只有三根七，对不对？只有三根七，那他不是说了这两个是什么？是内向，那这不是内向，那就留在这 就是三比七嘛，对不对？那外项能填什么？而已知一个外项告诉我们一个外项是十一比七了，那这个比例可以写成多少？他告诉我们了是十一比七了，那我外项是不是可以写成在这里啊？十一比七， 对不对？那我是不是就可以求出后面这一项呢？后面这一项应该等于多少？ 他们再加应该等于二十三，他应该是什么用？他们？因为他们是极是相等的，对不对？ 他等于他乘以多少？要也要等于二十一嘛，对不对？那不就二十一除以什么十一分之七嘛，对不对？那不就是二十一乘上什么一分之十，对不对？那约一下，那不就是， 这就是三个三，对吧？这是不是就是一种比例了，对吧？那还有没有一种可能？ 还有没有一种可能？我们刚才是不是只知道他的内向是什么？是这个对不对？是不是？他又说已知一个外向是十一分之七，那他外向是不是有两边啊？我一边是在这里，我有没有可能一边在这里啊？ 有没有可能？有没有可能？是不是也有可能？那也有可能，那他应该等于多少？ 也是三十三吗？ 我们可以看这里嘛，七除以十一分之七，那不就是什么七乘上七分之十一嘛，对不对？约一下是不是等于十一，对吧？那等于这边要等于十一，那这边也得等于十一啊，那他只能转， 是不是还是三十三啊？三十三除以三才等于十一啊，是不是才能相等，对吧？所以是不是还是三十三？但是那写成比例的时候，我是不是就变成三十三比三等于七比十一分之七，对吧？或者十一分之七比三等于七比三十三，对吧？是不是可以写成这两种形式，对不对？两种形式都可以哈。 ok， 他 他没说写，因为没说哪一个，我们随便写一个就好了，但是能写出来就好了，对不对？可以写这个比例可以写成什么写出来的啊？是吧？ 啊？啊？我啊，这个尽量换一下位置哈，尽量把三跟七放在中间啊，因为他说了 三根七是什么？内向，对吧？内向哈，把三根七放在中间啊，按这样子写，或者这样子写。