六年级下册北师大版数学圆形教程

压路机的前轮是一个圆柱体，轮子的宽度是两米，前轮的直径是一点二米。 求前轮压过路面的面积，其实就是求一个长方形的面积，这个长方形的宽就是压路机前轮的宽度两米，这个长方形的长就是压路机前轮这个圆形底面一圈的长度，也就是圆的周长。 根据长方形的面积计算方法，压路机前轮转动一周压出的面积是指七点五三六平方米。

阵法失控了，凝沙城的核心石环卡住，护城灵气正在流失。玄英姐姐，石环上的三个镇眼机关全错位了，如果不赶紧把它们掰回原位，这座古城就要被流沙彻底吞没了。万物运转皆有定数， 只要找准机关，死死定住的中心，顺着轨迹转动，就能让他们归位。各位聪明的朋友，这三个阵眼的复原之法就在眼前，你们能不能帮我们看破这转动的玄机，救救这座古城？ 不行啊姐姐，这根杆子的一头被这颗圆石头死死锁住了，拔也拔不出来，另一头歪在这，根本进不去那个发光卡槽。既然这一头被定死了，那我们就以这颗原石为桩， 到底该往哪个方向推？推多大的幅度，才能让这根长杆精准落入前方的卡槽中？ 找准了长端还不算完哦，要想把整个图案补全，一定要找到！ 哎呀，这个机关更奇怪，这块三角玉砖的一个尖尖明明已经对准死角了，但是整个身子却歪到了外边，怎么按都嵌不进去。玉砖的形状和大小一点没变，只是姿态不对。 既然这个尖端已经死死对准，如果我们只盯着这条金边，该怎么让这块三角玉砖绕着这个尖端严丝合缝的转进凹槽里？ 不要被斜线吓倒，死死盯住和中心点相连的那两条直直的边，一条一条转，整个三角形就乖乖听话了。 最后一步了。可是，这里怎么只有一片花瓣？正图上说，这里应该是一朵完美盛开的八瓣宝象花呀，其他的花瓣去哪了？花瓣并未丢失， 只要我们知道这一片花瓣绕着花心，每次需要跨越多大的跨度，就能召唤出下一片。究竟跨越多少次，才能让这朵宝象花完全绽放 成功了？阵眼归位，流沙退散，天道有常，周而复始。 一次精妙的运转，便能唤醒这千年的大漠繁华。只要找准了中心和方向，再难的机关也能被我们轻松玩转。 找准中心，认清方向，再复杂的乱局都能被理顺。少侠们，经历了这场大漠奇遇这节课，你最大的收获是什么呢？

小朋友们好，我是小鹿老师，今天让我们一起做一道圆柱练习题， 请看题。题目中说，在陶瓷的造型中，瓶子是一个很大的门类， 各式各样的瓶子造型繁多。陶瓷匠人在制作一个陶瓷瓶时，需要将一块长方体陶土削成一个最大的圆柱，削成的这个圆柱的体积是多少立方厘米呢？ 这道题实际上是一个从长方体里找出最大圆柱的题。 我们来看长方体的底面，它是一个正方形，圆柱的底面是一个圆形。先从正方形里找一个最大的圆形，那这个圆形的底面直径就是正方形的边长。 接着来看高，既然是最大的圆柱，那圆柱的高就是长方形的高。现在圆柱的高和底面直径我们都找出来了，但是要求圆柱的体积，需要知道底面半径和高 直径是三十厘米，那半径就是三十除以二等于十五厘米。 然后套圆柱的体积公式， v 等于 pi r 平方 h， 也就是三点一四乘十五的平方乘四十等于两万八千二百六十立方厘米， 所以这个圆柱的体积就是两万八千二百六十立方里。我们来看下一道题，题目中说把一根圆柱形木料横切成两个圆柱， 表面积增加了二十五点一二平方厘米，重切成两个半圆柱，则表面积增加了四十八平方厘米。问，原来圆柱的体积是多少？ 我们来看图，横切的话，横截面其实是圆柱的底面，并且切一次增加的是两个面， 所以两个底面积是二十五点一二平方厘米，那一个底面积就是二十五点一二除以二等于十二点五六平方厘米， 底面是一个圆形，圆形的面积是 pi r 的 平方，那 pi r 的 平方就等于十二点五六除以三点一四等于四。 想一想，谁乘谁等于四呢？对，是二，所以底面半径就为两厘米。再来看图二， 图二属于纵切，这样切出来的横截面是一个长方形，长方形的宽是圆柱的底面直径，也就是二乘二等于四厘米，长方形的长就是圆柱的高。 同样切出来也是增加了两个面，两个面的面积是四十八平方厘米，那一个长方形的面积就是四十八除以二等于二十四平方厘米， 长方形的面积等于长乘宽，那长就等于长方形的面积，除以宽，也就是二十四除以四等于六厘米，所以圆柱的高就是六厘米。 现在底面半径和高都知道了，直接套圆柱的体积公式， v 等于 pi r 平方 h， 也就是三点一四乘二的平方，乘六等于七十五点三六立方厘米。 所以原来这个圆柱的体积是七十五点三六立方厘米。好了，今天的题目就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？

要塌了！要塌了！今晚可是云隐寺百年一次的祈福大典，镇寺之宝！四神壁画的封印突然炸裂，图腾全都错位了！ 白羽大人，大典马上开始了，要是壁画恢复不了，神兽无法显灵，祈福大典就彻底毁了，咱们还能补救吗？莫慌， 壁画的灵骨未断，只是青龙、朱雀、白虎三大神兽的图腾碎片偏离了阵眼，只要让他们精准归位，壁画就能重燃神光。但这绝不是胡乱涂抹就能解决的！ 原来是破解图腾阵！屏幕前的小画师们，展现你们实力的时刻到了！这三大神兽碎片到底该怎么归位？快来和我一起力挽狂澜吧！ 白宇大人，您看，这块青色的龙鳞碎片，上下左右的方向明明是对的，可是他离右下角那个发光的坑洞好远啊！ 龙鳞脆弱，移动时绝不能偏离这条笔直的轨道。到底该怎么在轨道上移动，才能让他不多不少严丝合缝的滑进右下角的阵眼里呢？ 万物推演，平移为基。切记平移时关键要数清楚格子，找好对应的点，不可只看图形的边缘哦！ 哎，气死我了，这块红色的围雨怎么底朝天倒过来了？不仅位置不对，连方向都反了，这怎么塞进中间的图案里呀？ 修复之术，切记心浮气躁！方向反了，位置也不对，到底得先向哪个方向转动，再怎么移动，才能让它完美契合正中心的法阵 妙极！作图之时，务必先转后移，步步为营，先定点，再画线，最后连图，方能万无一失， 就剩最后一步了。可是这四块金色的碎片长得奇奇怪怪的，东一块西一块，他们真的能拼出中间那个威风凛凛的白虎头吗？ 万物生化，皆讲究对称之美，只要找准了这条中轴之线，这四片散落的碎片要怎么翻转移动，才能在中心拼出完美无缺的白虎图腾呢？ 拼上了，全都拼上了！四神壁画的神力彻底苏醒了！善哉！万千变化，不过是天地间最纯粹的推演之法， 顺应法度，精准归位，此乃守护传承的真正奥义。太棒了！多亏了你们这群神仙画师，云隐寺迎来了有史以来最壮观的祈福大典，未来的秘境挑战，咱们还要一起硬核通关！ 这场云隐寺的硬核通关真是太爽了！我学会了平移和旋转，那你呢？快告诉我，这节课你有什么收获？

同学们大家好，我们就来看一下关于我们圆柱体的体积这一部分的最后一个模块的内容。思维训练还是一样，给大家一点时间读一下题， 也可以和老师一起来读题哈。说银行通常将什么五十枚一元硬币落在一起，用纸卷成圆柱，如下图啊，给了我们的视域图，让我们算一算一枚一元硬币的体积大约是多少立方厘米。那我们只需要怎么样 把整个圆柱的体积算出来，除以五十是不就可以了？好，我们来看一下这个不同在哪？二点五其实给的是什么圆的直径对吧？一定要注意它的高是九点二五厘米。好，那一起来计算一下吧，给大家两分钟的时间。 好，我相信大家已经算出来了，咱们一起来看一下。大家已经算出来了，人家只需要保留一位小数， 那我们就还是一样，用二点五除以二求出半径，半径的平方乘三点一四求出底面积，对吧？然后底面积再乘上我们的高 h 相乘，求出体积。总体计算出来了，一共有五十枚，再去除以五十，就能求出其中一枚的硬币大约是多少了。 最后算出来的结果是零点九立方厘米，同学，你做对了吗？好，注意检查一下自己的，如果没有做对，检查一下是自己的计算过程还是理解题有问题哈。 好，最后应用题要写答一元，每一元硬币的体积大约是零点九立方厘米。那关于圆柱体的体积啊，咱们就先讲到这，在下一个视频里面，我会带着大家一起做一个课堂小结，咱们下个视频再见。

上期视频我们搞定了圆柱体切拼成近似长方体基础，但考试想拿到分，只懂基础远远不够。今天咱们直接进入题型专题，一步一步带你吃透学会就能用 好了。那么我们接着上一个视频呢，接着给大家去讲我们这块圆柱体啊，转化成一个近似的长方体这块的一个题型啊。首先我们来看这个题型啊，我们边看题型边复习知识点啊， 第一个题型，已知增面去求体积。首先我们要知道什么叫增面，孩子们，什么叫增面啊？ 增面就是他增加的这个切面。那老师问大家，由一个圆柱转化成一个圆锥的话，他的这个增面增到的切面有几个面？ 几个面？大家思考一下，几个面，几个非常好，有同学已经想到了，是不是他右侧的一个面，加上他左侧的这个面，总共有几个面，哎，两个面 对不对？那这个是不是就他的增面啊？那这里面老师要告诉大家，我们一定要知道，由一个圆柱体转化成一个近似的长方，他是有两个增面，这是一个很重要的啊，做题他是很重要的啊。然后我们接下来看 把高是十厘米的圆柱高给你了，这里拼接成一个近似长方体表面积增加了多少呢？增加了六十，表面积增加六十，让你去求圆柱体的体积是多少， 那我想要去求这个圆柱体的体积，老师问你，我是不是只需要知道两个量，第一个我要知道它这个底面半径啊，以及它的高度 h， 如果说这两个量，我们就能够通过 v 柱 等于 pi r 方 h 这个体积公式就能得到圆柱的体积，那这里面高是不是给你了？孩子， 高是十厘米，现在差啥呀？差一个半径 r， 那 差的这个半径 r， 我 只能通过这个题当中最后的一个条件，表面积增加六十平方厘米来得到 表面积增加了六十平方厘米。老师说了，增面增了几个面？两个面。那如果说两个面它等于六十的话，我们就能知道一个面是不是就是六十，除以二就等于三十， 对不对？那这个三十它所代表的是什么？是不是就是我这个切面的长，方形的长和它的宽， 他俩相乘等于六十，对不对？那他的这个长我们发现是不是就是这个题中给的条件？ h 高，宽 是啥？矮，非常好，上个视频你听懂的同学一下就能翻出来，这个宽是不是就是半径啊， 对不对？也就是说他这个三十就等于什么？就等于 h 乘 r 的 三十， h 的 多少？ h 的 十，也就是说十乘 r 的 三十，我们就能知道 r 就 等于三 厘米，对不对？那 r 如果等于三厘米的话，那我这里面是不是就可以套用公式了？ pi r 方 h 就 用啥，就用三点一，四乘三的平方再乘十， 对不对？继而我们就能求解出这个圆柱体的体积就得多少就得多少，等于二百八十二点六，听懂了吗？孩子们？好了，抓住，啥叫增面？增几个面啊？ 好了，来下一个题型。已知半径是求增面底面半径是四，高是六。好了，半径 r 给你了，高也给你了， 让你去求增面，增加了多少啊？面积增加多少？那我想知道增加面积是多少，我就抵知道我这个增面的长和宽分别是多少 长是多少长，是不是我们所说的高？ h 宽是啥？宽是不是就是半径 r 高给不给你六？半径是四，所以说它一个增面就是六乘四等于二十四平方分米，这是一个增面，增几个面？ 上个视频老师说了就两个，那就用二十四再乘以二就等于四十八平方分米，你看迎刃而解对不对？好了，不说了，下个视频 已知长去求体积来看啊，切片后的长方的长是十二点五六，高是五，求圆柱体的体积。好了，还是那句话，求圆柱体的体积。我只要知道了 r 和 h 这两个量分别是多少，这道题就所有问题迎刃而解。 那给的这个条件 h 是 不是给你了？ h 等于五，我现在只需要求 r， 那 想求 r 的 话，在这里面我们只有一个条件，没用了。哪个条件？切边厚长方体的长 是十二点五六，切边厚长方体的长是十二点五六，那这个十二点五六是不是就是它？它的这个长度是十二点五六，它的长度是十二点五六，它代表的是什么？它代表的是不是底面周长的一半？ pi r 等于十二点五六， 对不对啊？那 pi r 如果等于十二点五六的话，我们就能知道 r 就 等于多少， r 就 等于四厘米， r 是 不是得四？ r 现在等于四了。那我现在知道圆柱体的体积代公式， v 柱等于 pi r 方 h 就 等于三点一四乘以四的平方，再乘 谁呀？对不对？进而我们就能得到就得多少？二百五十一点二，单位是立方厘米。 好了，那你看是不是知道了这些基础之后，我们这些题都能迎而解了啊？还是那句话，我们做这样的题，只需要你找到什么叫增面，增几个面。第二个 长是这个长方体的长代表的是啥？长方体的宽代表的是啥？长方体的高代表的是什么？好，知道了这四个知识点之后，这些所有题型我们都能了解。 好了，课下大家做一下这道题啊，我们考试当中经常考的题啊，可以截屏，也可以去加入老师的这个主页群，我们来领取奖励。 好了，这次课我们就上到这，下次课老师继续给大家去更新我们六下的必考题型，关注韩老师，我们下个视频再见， 记得关注再走哦！

终于找到圆柱体了，可是看起来他没有能量啊！ 使用魔法颜料给圆柱体涂上色，正确计算出涂色面积，普通圆柱体将觉醒化为能量，支柱 颜色涂好了。可是怎么计算圆柱体的表面积啊？有谁可以帮帮我吗？算出这个圆柱体的表面涂色面积就能激活它的能量了，快来试试吧！ 我知道了，求圆柱的图的面积，就是求圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加两个底面的面积。可是圆柱的表面积应该怎么计算呢？ 两个底面的面积就是两个圆的面积，可以根据圆的面积公式得到。 可是圆柱的侧面积怎么求呢？长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。 我知道了，原来圆柱的侧面积就等于底面周长乘以它的高啊，看起来很简单啊， 我知道了，要计算圆柱的侧面积，必须要知道它的底面周长和高， 只要测量出圆柱底面半径和高，就能算出圆柱的侧面积了。 谢谢大家，我会计算圆柱的表面积了，就是把圆柱的侧面积和两个底面积加起来就是圆柱的表面积了。 只要知道底面半径就可以求底面积了。只要知道底面半径和圆柱的高，就可以求侧面积了。根据公式，然后提取公式就得到圆柱表面积的公式了。嘿嘿，这也很简单呀， 哈哈哈，颜色已经涂好了，只要算出这些圆柱体的表面积就能激活圆柱体的能量了，快来一起挑战一下吧！

三十秒吃透圆柱横切纵切的问题来看这道题，纵切一刀分两块，增加两个长方形面积。 纵切两刀分四块，增加八个小长方形面积。小正方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的半径，且他们的面积相等。已知纵切增加的表面积是四十八平方厘米，得到这个等式。 再来看横切，横切两刀分三块，增加四的圆形面积。已知横切增加的表面积是五十点二四平方厘米，得到这个等式。 半径等于两厘米，高等于三厘米。烧成最大的圆锥则就是与圆柱是等底等高的。根据公式，得到减少的体积则是圆柱的三分之二，等于二十五点一二平方厘米。

我找到了圆柱体，而且激活了能量援助，这下应该可以启动我的飞船了吧？ 明明激活了援助的能量，怎么还是启动不了飞船呢？是还有什么问题没有解决吗？ 计算蓝色圆柱体体积，解锁飞船起飞权限，我就知道没这么简单。可是圆柱体的体积到底该怎么计算呀？大家快帮我一起想想办法。 通过转化思维，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，再把圆柱切开，然后拼起来，得到一个近似的长方体。 圆柱体转化成长方形后，体积不变，只是形状变了。分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。 哇！通过老师的动画演示，我明白了，圆柱通过切拼后，表面积变化了，增加了两个长方形的面积。长方形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于圆柱的底面，半径不变向是体积，底面积和高。这个我知道，长方形的底面积和原来圆柱的底面相关是相等关系。 我来我来，我来说，长方形的高和原来圆柱的高相关是相等关系。转化后的长方形在体积、底面积和高都与原圆柱对应相等，因此，圆柱的体积也可以用同样的公式计算。 长方形的体积与圆柱的体积相等。长方形的高等于圆柱的高，长方形的底面积等于圆柱的底面积。哇，这就是圆柱体的公式，我只要测量出这个圆柱的半径和高，就能算出它的体积，解锁飞船起飞权限了。 是计算杯子的容积。容积的计算方法与体积的计算方法相同，把杯子的容积和牛奶的体积相比较，五百零二点四大于四百八，所以杯子能装下两袋这样的牛奶。 我学会了计算圆柱的体积了，起飞吧！

嗯，说的好不好，好，请坐。那么圆锥的特征又是什么呢？好，我们继续看。前面说 好，同桌你来说到圆锥的底面是个圆，侧面是一个扇形，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥的高只有一条。嗯，好，很好，请坐。刚才同学汇报的时候呢，说到了很多的计算公式，那么我们同学回想一下， 圆柱表面积公式是怎样得来的呢？请同学们看 好。通过观察，你知道了什么？ 知道加强力。好的，我知道了，圆柱的侧面展开图是长方形 啊，长方形的面积等于啊，圆柱的长方形的长相当于圆柱的底面中长，长方的宽相当于圆柱的高。因为长方形的面积等于底长高，底长宽，所以圆柱的侧面积等 于底面中长乘以高，圆柱的表面积等于两个底面积加上一个侧面积。嗯，好，请问他说的有没有问题呢？ 听听，同学们老师听出来了，他说长方形的面积等于应该是什么？长乘以宽。哎，好，那么 圆锥啊，圆柱的体积公式又是怎样得来的呢？啊，请同学们继续观察。 好，这回通过观察，你知不知道圆柱的体积公式是怎样推算出来的？谁知道？高慧淼。

学会这个题啊，让你对圆柱体的表面积和体积更加的理解来看，求半圆柱体的表面体和体积。 首先来看表面积，是不是上下两个底占一个，红色长方形占一个侧面的一半 来看，这个切面是个长方形，它的面积就是长乘宽二乘六等于十二，所以再看上底和下底，它拼起来是不是一个整圆，所以我们用派二平方就可以算出来。 因为直径等于二，所以半径等于一，直接是三点一四乘以直径除以二的平方等于三点一四，那再来算这个侧面积。 我们知道侧面积它等于底面的周长乘以高，那这一半呀，就是二分之一，底面周长乘以高低面周长等于派地，就是二乘三点一四， 它这一高是六，等于十八点八四平方米，所以表面积就是这三个加起来。再来看体积，怎么算？ 像这种直棱柱呀，包括长方体、正方体、圆柱体，他们的体积公式，我们只需要记住一个等于底面积乘以高就可以。那这个半圆柱体就等于底面积乘以高的一半， 二分之一 s h， 那 就等于二分之一乘以，那极点就等于 pi 二平方 r 等于一，就是三点一四乘以一的平方乘以六， 等于九点四二立方厘米。好，这个题我们就算完了，如果你觉得我讲清楚了，你学懂了，可以点个关注，顺便转发给身边爱学习的朋友。

北师大六年级下册圆柱圆锥关于体积守恒的巧妙运用这道题呢，难哭了，很多学生一起来读题。有两个透明的封闭容器，由圆柱与圆锥组成，圆柱的底面直径与高呢都是十四， 里面有一些水，正放的时候呢，水离容器的顶端，这里有十二厘米，倒放的时候呢，这里有五厘米，让我们求圆锥的高度。 读完题以后呢，很多同学觉得条件不足。首先我要明白，你的容器正放与倒放的容器，它里面的液体体积是不变的，空白的这个体积的话，它也是不变的。 这部分如果是 a， 那 这个空白部分的话是 b， a 的 话，它是等于 b 的。 a 的 体积呢？ d 知道了，高也知道了，即可计算出来。 b 的 话，它是由圆柱与圆锥相互组合而成的，且它们的高的话是十二。这里的话，我们既可以设其中一个量的话为 x， 既可求出另外一个量。第一步，先求出空白体积， a 的 体积是二百四十五 pi， 那 b 的 体积的话也属于二百四十五 pi， 我 们可以设圆锥的高呢，它为 x 厘米。 到了这一步的话，我们直接化解就行了，两边同时约至 pi， 那 x 的 话，它等于是点五。 总结一下，像这种复杂的图形问题呢，它的核心是找不变量，只有查找体积数横，既可以将几何问题转化为一个代数方程。那我们首先的话，我们要记住，我们先分析什么是不变，然后再建立公式，这样的话就能快速地去菩提。

北师大六年级下册关于圆柱体表面积的经典的一道题型，一起来挑战。一张长方形的纸板呢，剪成一个最大的部分呢，刚好做成了一个圆柱体右图球，右图的这个表面积是多少？ 题型里面给到我们只有一个条件，这个纸板的长是四十一点一二。这道题的核心就是通过已知条件至少与隐藏条件的对应关系。圆柱的表面积 s， 它等于 底面积加上侧面积，那如果要求底面积的话，我们必须要指到它的半径或者直径，乘以侧面积的话，也要指到它的半径与直径和它的高，这里的高的话就是咱们圆的直径，那四十一点一二， 那这里就是咱们的直径，这个也属于直径，这个周长的话就等于是 pi d， 这里就形成了一个等式，整理一下， d 就是 八，那二的话就等于是四，直接带入 最终计算它的结果。

黑板上这道题啊，百分之八十的学生不会做，我们一起来看一看，有一块长方形的铁皮，如下图，利用图色部分，刚好可以做一个有盖的水桶，贴图处忽略不计。求木桶的表面积是多少？ 来看图色部分是两个圆形加一个长方形，又已知长方形的长是十六点五六厘米， 那么我们可以已知啊，他做的木桶是一个圆柱体，这个题就需要求圆柱的表面积，那么圆柱的表面积公式是什么呢？是不是一个侧面加两个底面？ 那么不管是求侧面积，还是要求底面积，我们都要已知圆柱的底面半径或者底面直径。为什么呢？来看圆柱的侧面积就等于底面周长乘以高，为什么呢？ 我们来看这是一个圆柱体，我们把它侧面展开，它就是一个长方形，那么展开之后呀，这个长方形的长是这个长方形的长，就等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽呀，就等于圆柱的高， 所以圆柱的侧面积就等于这个长方形的面积，那就是底面周长乘以高，用字母表示就是派地乘以高。那来看两个底面积怎么算呢？就等于派二平方乘以二， 所以我们要根据这个图形，把圆柱的底面半径或者直径给它算出来，那么这个题就很好算了。来看观察这个图形， 我们把这两个圆形作为水桶的上底和下底，那么右边这个大的长方形，它就是圆柱的侧面积。那么圆柱的底面周长是哪一部分呢？是这个长度呢？还是这个长度呢？ 我们来考虑一下。来看这个长度呀，他是两个直径的长度，他能做几面周长吗？可以，没减，不可以，因为几面周长等于派地 等于直径的派对，也就是大概是直径的三倍，但是这个长度他只有直径的两倍，所以这个长度呀，他不能做底面周长，只可以做圆柱的高，所以啊，这一部分就是圆柱的底面周长。 那来看，这里有一个十六点五六，那么这个十六点五六是不是底面周长加一个直径的长度？ 前半部分就是一个直径，我们用字母 d 来表示这个的面周长就是派 d， 所以 我们就可以得出这个 d 加派 d 等于十六点五六， 派取三点一四，就可以解出 d 的 长度，那就是一个 d 加三点一四个 d 等于十六点五六。我们求出 d 等于四，那我们就会求出半径等于 d 除以二等于二分米。接下来我们看这个圆柱的高呀，就是两个直径的长度就是四乘以二等于八。 接下来我们来按照这个圆柱的表面的公式来计算，那么侧面积等于底面周长乘以高，那就是三点一四乘以 四，再乘以八，加上两个底面积，就是派二平方乘以二，二等于二，所以三点一四乘以二的平方再乘以二。我们来算一下， 三点一四乘以三十二，再加上二的平方等于四，四乘二等于八，就是三点一四乘以八。 结果等于三百一四乘以三十二，加八，也就是三百一四乘以四十等于一百二十五点六，所以这个木桶的表面也就是一百二十五点六平方分米。

我是清华大学附属小学的数学老师玄老师，今天我们同上一堂课，上课的内容是北师大版六年级下册的圆柱与圆锥第一单元第一课的内容，面的旋转。那么我们在上课之前，我们先准备如下的学具， 请你先在家中找一找圆柱、圆锥形的物体，然后再自备几张 a 四纸、剪刀、胶条、笔直尺等学具。 同学们，准备好了吗？好，那么现在请你观察圆柱形的物体，先想一想它们是怎么形成的呢？ 好，我们现在就带着这样的寓学的思考，正式进入我们的学习活动。同学们，请看下面的这三幅图，说说你是怎么理解的？你能用数学语言概括这三幅图吗？ 我们先看第一幅图，同学们请看 你发现了什么？你说对了，当点在做运动的时候，它的轨迹形成了一条线，所以我们可以概括为点动呈现。 就像这颗美丽的流星，它在划过夜空的时候，它的轨迹就形成一条美丽的线。那我们再看 你又发现了什么？当一条线在做运动的时候，它的轨迹形成了一个面，所以我们可以概括为线动层面， 就像这个雨刷器，它在做旋转的时候就形成了一个扇形的面。我们再看最后一幅图，请你先空间想象一下这个旋转门在旋转时候的情景。 好，我们一起看一看，跟你空间想象的一样吗？所以第三部图我们可以概括为面动成体， 也就是这个长方形的旋转门绕着门轴进行旋转运动的时候，它形成的就是圆柱体。 所以这三幅图实际上解释的话，就是表示点线面体之间的关系，也就是点动成线，线动成面，面动成体。 而我们这一堂课主要研究的就是面动成体，而且是平面图形，在旋转的时候，它形成的是什么样的立体图形？那么现在我们先看长方形， 请你观察并想象一下，当这个长方形的硬纸片绕着这条宽做旋转运动的时候，它会形成什么样的立体图形呢？同学们，请空间想象一下。 好，请同学们看一看，跟你想的一样吗？所以当它旋转的时候形成的是这样的圆柱。 那么如果以这一条长为旋转轴进行旋转的时候，它又会形成什么样的立体图形呢？我们再一次空间想象一下。 好，我们看一看，跟你想象的一样吗？所以这时候它形成的是这样的圆柱。 我们再看正方形，如果正方形以这一条边为旋转轴进行旋转运动的时候，它会形成什么样的图形呢？我们空间想象一下。 好，那它形成的还是圆柱，是这样的圆柱。 我们现在加大难度，我们把剩下的正方形的三条边都做这样的，绕着这样的三条边做旋转运动，我们想象一下会是什么样的情形呢？ 同学们，请看，跟你想象的一样吗？所以长方形和正方形以它们的某一条边为旋转轴进行旋转运动的时候，它形成的都是圆柱。现在我们看一下直角三角形， 当直角三角形沿着这条边旋转的时候，它会形成什么样的图形呢？ 我们看一下它会形成这样的圆锥，如果是以这样的直角边为旋转轴进行旋转呢？我们想象一下它会形成什么样的图形呢？ 它会形成这样的圆锥，所以直角三角形以它的直角边为旋转轴进行旋转运动的时候，它形成的就是圆锥。我们看最后两幅图， 看一看这两张硬纸片快速旋转后形成的图形是什么？我们想象一下。好，我们看一看跟你想的是否一样。 那么第一个直角梯形，这样旋转之后形成的是这样的立体图形，我们称它为圆台。 第二幅图半圆形，以直径为旋转轴，旋转的时候它会形成我们非常熟悉的球体。 好，现在有一位同学提出了这样的问题，老师，我们刚刚在研究直角三角形的时候，我们落了一条边，就是斜边，如果以斜边为旋转轴心旋转的时候，它又会形成什么样的图形呢？ 那么这个问题提的特别的好，那么这个问题我们就留作这一堂课的研学的一个任务，课后感兴趣的同学们可以继续探讨这个问题，现在我们看一看。现在我们开始研究圆柱和圆锥的特点， 现实生活当中有很多圆柱和圆锥的物体，现在请你把准备好的圆柱、圆柱形物体拿出来，用看一看，滚一滚、剪一剪、切一切等多种方式来探求圆柱和圆锥的特点，同学们准备好了吗？ 好，我们就开始探讨他们的特点，我们看一下这位同学是怎么探讨的。通过观察，我发现这个圆柱体是由三个面组成，分别是上面、侧面和底面。 其中上面和底面是两个完全相同的圆形，而侧面是一个曲面，可以在桌子上滚来滚去，就像马路上的压路机的滚筒一样， 通过观察我发现这个圆锥由一个顶点，一个侧面和一个底面组成，其中底面是一个圆形。 我还发现圆锥在桌面上滚的时候，跟圆柱在桌面上滚的不一样，它是旋转着滚。 好，通过探究，我们发现了如下的圆柱和圆锥的特点，我们可以用列表格的方式梳理圆柱和圆锥有什么样的特点， 并且老师建议同学们一定要观察，发现圆柱和圆锥有什么不一样的特点。 那我们可以发现他们俩的共同点就是两者都是由底面和侧面组成，并且底面都是圆形，侧面都是曲面。但是不一样的地方就是圆柱是由两个底面组成，圆锥是由一个底面组成， 圆柱的侧面是可以前后滚动，但是圆锥的侧面呢？它只能以顶点为旋转中心，旋转着滚动。好，接下来我们看这位同学是怎么探求的， 同学们看明白了吗？这位同学他找到的圆柱形物体是一根香肠， 那么他把这个圆柱形物体横着切的时候，他发现结面是与底面相同大小的圆。那么在这里老师提个醒，一定要注意安全，建议在家长的指导下进行操作。 那么如果把这个圆柱形的物体沿着高线竖着切开的时候，他发现是一个长方形， 那么圆锥呢？这位同学找到了好吃的甜筒，他横着切开的时候，他发现结面是一个圆，但是是比底面小的圆， 那么沿着高线竖着切开的时候，他发现结出来的面是一个等腰三角形。 那么同学们，我们看这些圆柱和圆锥的横截面和纵切面，你发现了什么？你还能提出什么样的问题呢？ 有同学就提出这样的问题，那么圆柱和圆锥的截面除了这些情况之外，还可以是什么图形？ 比如说我横着切，我从下往上一直横着切，他的洁面会是一样吗？比如说我竖着切，我从左向右一直竖着切，他的洁面，又会是一样吗？甚至我不是横着竖着切，我斜着切，他的洁面又会是什么图形 啊？这个问题提的非常好，那么这个问题就留作我们这一堂课的第二个研学的任务，课下感兴趣的同学我们可以继续研究。最后我们看一下圆柱和圆锥的高。 圆柱是由两个底面和一个侧面组成的，那么现在请你用标准的数学语言来说一说，圆柱的高是什么？哪个是圆柱的高呢？ 老师给个提示，现在你能说出来吗？你说对了，圆柱的高实际上就是两个底面，圆心连接起来的时候，这条线段就是圆柱的高， 那么圆锥是由一个底面和一个侧面组成，那么圆锥的高是在哪里呢？ 你说对了，圆锥的高就是圆锥的底面，圆心连接圆锥的顶点形成的线段，这个线段就是圆锥的高。 那么现在请同学们用指尺量一量你手中的圆柱的高，想一想，并动手试一试我应该怎么测量？测量之后我应该注意什么？那么测量的过程当中你又发现了什么？好，同学们，我们现在一起探讨， 我们看一下这位同学的探求过程。圆柱体的高是圆柱体的上底面与下底面之间的任意一条垂直线段， 圆柱体一共有无数条高，那么我们该如何去测量圆柱体的高呢？具体步骤如下，首先我们需要准备一个圆柱体，还需要准备一把直尺和一个较硬的硬纸板。 我们先将圆柱体放在一个平面上，然后将硬纸板盖在他的上底面， 接着我们拿出纸尺，将刻度对准这个纸板，就能测，就能够测量出圆柱体的高了。 为了圆周体测量的高更加准确，我们需要做到以下几点，第一，尺子的边缘紧靠桌面。 第二，在最后计算高的时候，我们需要加上边缘与零之间的距离。第三，在我们读取数字的时候，我们的视线应该与物体保持平行。 好，我们在测量圆柱高的时候，我总结一下，需要注意以下三点。首先，我们要保证直尺的零刻度线与底面是对齐的， 如果因为客观原因对不齐的时候，那么我们在最后计算高的时候，我们要把缺少的部分加进去，把多余的部分减下去。 第二，要保证直尺与平面是垂直的，最后要保证视线，直尺的刻度线和圆柱的上沿是水平的。 那么在测量过程当中，这位同学就发现了，圆柱实际上好像不止一条高，好像这些都是圆柱的高，而且它的长度是一样的。那么这是为什么呢？ 同学们，实际上圆柱的两个底面是相互平行的两个面，所以圆柱的高的长度实际上是什么呢？就是两个平行面之间的距离，所以我们可以发现圆柱有无数条高。 那我们再看圆锥，我们先看这是圆锥的高吗？同学们，你们说对了，他不是，因为他与底面是不垂直的，圆锥的高一定是这条线段。 那我们看圆锥的高我们应该怎么测量？应该注意什么？我们看一下同学的分享。圆锥体的高是圆锥体的顶点与下底面的垂直高度，圆锥体一共有一条高， 那么我们该如何去测量圆锥体的高呢？首先我们需要准备一个圆锥体，然后和一把直尺，还有一个较厚的硬纸板。 先将圆锥体放在一个平面，然后将硬纸板放在他的顶点上， 然后直角的刻度去对准这个硬纸板，就可以测量出圆锥体的高了。 为了使圆锥体测量出来的高更准确，我们还需要用到三角板，它们俩边缘与零之间的距离需要一致， 如果两边的刻度是相等的，那么就说明纸板已经与桌面保持平行了。在最后计算圆锥体的高时，再加上边缘与零刻度之间的距离就可以了。 那么我们在测量圆锥的高的时候，需要注意的点是，老师讲的三点之外，要保证上面的硬直板和下面的硬直板要相互平行。并且我们还发现了圆锥的高只有一条高，为什么呢？ 因为圆锥的高的长度实际上就是一个点到面的距离，所以它只有一条高。那么这堂课马上要结束了，那么通过这堂课学习，你收获了什么？ 我梳理一下，那我们在梳理的时候，我们可以用这样的形式，我们可以用图文并茂的形式来总结几何体的圆柱，圆柱的特点， 然后不要忘记我们还我们还问出了这样的新的问题，同学们可以在课后继续再继续上第二堂课。

同学们，我们今天来看看这道题，把一张长方形纸片按下图所示的方法剪开后，刚好做成一个圆柱，那么这个圆柱的底面半径是多少分米？ 底面积又是多少分米？好，这个题的话，相当于他把一个啊圆柱展开图给他画出来，对吧？好，他下面写了个十六点五六分米是什么意思呢？就是底下的这一部分 加上他一个什么，嗯，一个两，两个就是半径，一个直径，对不对？总共加起来的长度是十六点五六。好，那么会想着他是一个圆柱的展开图，那么那么他到底是以哪个为 底边给他围起来了？因为我们知道他的侧面展开图的话，其实他的这个呃底面的周长就是这个长方形的一个什么长，是不是？那到底是怎么样围呢？是以这一边围呢？还是会这一边围呢？我们现在并不知道对不对？那我们怎么样去思考这个题呢？ 因为我们想的话，它的这个长度展开图的话，一个圆的一个展开图，其实就是它底面的一个什么圆的一个周长，对不对？那底面圆的周长是不是一个二派 r？ 那 假如我们以它为它的底边去给它 转的话啊，这个二派 r 啊，这样给它围起来，会发现这个地方的话，它是几个圆？两个圆对不对？两个圆的话，它总共的这个直径是几 r？ 是 不是四 r？ 好，通过圆来给他分析，话是四 r， 但是我们如果以这个二拍 r 这个边啊给他围起来的话，会发现二拍 r 他 其实并不等于四 r， 对 不对？所以他肯定不是以这个边给他围起来，那么他肯定以下边这个长方形展开图的这个长为他的底面周长， 对不对？好，那接下来我们就分析到这之后，我们来看看这个题到底怎么去解决啊？ 如果以这个长为他的这个底面周长的话，那他一样的表示为一个二拍二，那这一部分是多少？这部分是不是就是个二二？ 好，总共加起来就是十六点五六，我们可以设一下，我们既然要求他这个圆柱的底面半径，我们肯定要把半径求出来，所以用个方程来去解。那么第一个我们可以去设，设什么呢？就是设这个圆柱 的底面半径， 为什么 r 分 米好？设完之后我们是不是有个关系式了？因为它总共加起来是十六点五六，所以我们写上一个二 pi， r 加上 r 等于十六点五六， 因为在这个地方 pi 一 般来说它没有具体告诉我们就取什么三点一四，对吧？所以二乘上三点一四， 乘上 r， 再加上一个 r 等于十六点五六，我们可以把这个解一下，六点二八， r 加上 r 等于十六点五六，那么八点二八 等于十六点五六，所以我们解的 r 应该等于几等于二？好，把半径解了，这个题是不就很简单？ 好，半径是两分米，那么底面积怎么求底面？它其实就是一个什么圆的面积，对不对？那已知半径怎么求圆的面积公式用起来啊，派二平方，好，那么它就等于三点一四 乘上二的平方，我们解一下等于十二点五六。好，注意它求的是底面积啊，所以代单位平方分米。 所以这种类型题的话，我们分析的时候啊，注意你要考虑清楚是到底以哪一个以长方形的这个长还是宽为他的底面周长给他围起来。 好。这个题的话，如果他会出现告诉我们这个样这样一个图，让我们去求他的表面积，是不是也好？求？我们现在把半径求完之后，请问这个啊，圆柱的一个，他的高是多少 高？其实就是这个什么啊？两个什么圆的直径之和对不对？好，那直径之和是不是就是这一部分？ 哈？这一部分的话应该是几呢？几个半径？四个半径是不是二四得八，对吧？我们把这个求出来之后，知道半径和知道高，我们要求它的表面积是不是也比较简单？所以这一类型的题啊，关键就是我们首先要把它的一个半径用方程的思维给它求出来。

hello， 同学们好，我是喵老师，上次课呢，我们一起来学习了圆柱的一些基本概念以及它的展开图形，那我们今天一起继续来学习圆柱的表面积。 首先，哎，我们一起来回顾一下圆柱它的展开是怎样的，把它展开之后，这里是得到了两个底面圆，中间的呢，是一个长方形，而这个长方形的高就会是圆柱的高， 那么这个长方形底面的宽呢，它应该是就等于这个圆柱底面圆的周长， 如此一来，这样子的一个图形，我们就可以把它的哎表面积算出来，因为长方形和圆的面积公式我们应该会非常的熟悉。首先我们一起来看一下， 在圆柱之中啊，它的侧面积该如何的来求圆柱的侧面积呢？实际上就是一个 长方形，这个长方形高度已知是圆柱的高，而底面我们只需要来去求出底面的圆即可啊，这是底下的一个长度，它就会等于底面圆的周长， 于是乎的话，我们可以知道 s 测就是测面积会等于底面圆的周长 c 乘以 h 啊，是直接用周长乘以高， 那么如果说把它利用半径来表示的话，就是二派 r， r 是 表示底面圆的一个半径会等于二派 r 再乘以 h， 如果是用直径来表示的话，那么这个地方 c 会等于派 d， 那 么直接就是派 d 再乘以 h， 这是呃圆柱的侧面几，应该非常的简单。接下来圆柱的表面几， 那么也就是只要在侧面积的基础之上，再加上什么上下底面圆的面积即可，也就是 s 表面积会等于 s 侧面积加两个 s 底面积， 于是乎我们可以用字母来表示，那么这里会等于二 pi r 乘以 h 啊，再加上二 pi r 平方，就是两个 pi r 平方，这是用半径来表示。 那如果说我们已知直径该怎么办呢？那也就是说 pi d， 那 么就是底面圆的周长再乘以 h pi d h 侧面积， 再加上两个 pi 乘以二分之低的平方，那么也就是加上两个底面圆的一个 面积，那么就会等于表面积，那么这是用直径来表示。如果是已知底面圆的周长呢？那我们可以知道是对是 c h 直接是侧面积加上二 pi 乘以 r 平方， r 是 等于 c 除以二 pi， 那么这个时候的话，也就是说把中间哎这个地方的 r 表示成 c 除以二 pi 即可，那我们这里就是用周长来表示。总的来说，哎，分两个部分来求，第一个，表面积等于侧面几，侧面几我们需要知道的是底面圆的周长，周长乘以高度，这也就是得到了侧面几 长方形的面积，当然也有可能是正方形，那么接下来这个地方哎，再加上两个哎上下底面的面积，那么这个底底面积哎 pi r 平方，也就是两倍的 pi r 平方即可，分开来求其中加相加。好的， 那我们一起来看一下立体。如果说有一根圆柱的木头，它是长是三米，这个时候呢底面圆，它的直径是八厘米， 把它截成三段，截成三段之后，表面积增加了多少？首先我们来想一想，一根哎这样子的圆柱截成三段，应该只要砍怎么砍两刀即可，砍两刀那么是增加了多少呢？其实增加的 跟它的总长度有没有关系？没有关系，可能它的表面积应该只是我增加的时候是切出来 增加的面，它的面积的和，那么这个时候是跟长度没有关系的，我可以知道切两刀之后应该是增加了多少呢？增加了四个面，也就是四个圆面， 所以增加的面积我只需要用 pi r 的 平方即可，也就是 pi 乘以 r 是 什么呢？ r 这个地方我知道直径是八，那也就是一除以二 的平方，哎， pi r 的 平方是一个圆的面积，那么增加了四个圆，也就是 四倍的它，那我们把数值带入进去，也就是四乘以三点一四再乘以二分之八的平方，也就是，哎， 四的平方，那我们最后计算出来的结果会等于二百点九六，单位是平方厘米。答， 把它增加了三段之后，哎，结成了三段之后呢，是增加了四个圆的面积，那么是增加的面积是二百点九六平方厘米啊，这是一个哎，非常基础的问题，哎，注意跟这个三米的总长度是没有关系的。 那我们接下来再来一起看一下。例题三，如果说有一个半圆柱，这个半圆柱的一个形状就如图所示，也就是说把圆柱呢，从上底面的这个中间线，哎来把它劈开，劈成一个半圆柱，这个时候呢，已知它的底面直径 为二十厘米，高是八厘米，让我们去求它的表面积，那我们可以知道，这样的一个圆柱，它的表面积应该可以分成中间的这一个长方形的面积， 侧面的也是一个长方形的面积。上下底面是不是两个半圆的面积， 我们可以有两种方式来求啊，一个是按照我刚刚所说的这样子，呃，就是分开几个面单独去求，最后再把它加起来，也可以直接套用圆柱的表面及公式。我们知道圆柱的表面及公制是什么呢？就是 pi 乘以假设这个地方，哎，我已知的是底面圆的直径，那么也就是 pi d 是 底面圆的周长，再乘以 h， 这是它的侧面积，加上什么呢？加上上下底面的圆的，哎，它的一个圆底面圆的半径，那么也就是二倍的 pi r 平方已知是底，那么这里是二分之一的平方，这是它的表面积。 那我们来看一下圆柱的表面积跟这个半圆柱它之间有什么关系？除去中间这一个 p 出来新增加的结面，那么是不是剩下的面应该是圆柱表面积的一半，也就是说我要求的也就是 二分之这一个的面积，就是原来就具有的圆柱的表面积的一半，那我们可以把它来算一下，那么这一个地方应该是会等于代入数据啊，三点 一四乘以二十的直径，再乘以八厘米的高，然后加上两倍的三点一四乘以二分之低，二分之二十平方，再除以二。 好的，通过计算我们可以知道这里会等于五百六十五点二，单位是平方厘米， 这是一个圆柱把它劈开之后，哎，它的一半的面积，那中间的结面的面积该怎么求呢？中间的结面面积，我们要知道这里是一个长方形，其中哎圆柱的高度，哎就是它的一个长， 那么另外的一条边应该是底面圆的直径，再加上，哎，我们这里的二十 底面圆的直径乘以高是八，会等于一百六十平方厘米，所以表面几 它会等于五百六十五点二，加上一百六十，也就是这两部分的和会等于七百二十五点二，单位是平方厘米。最后作答 答，它的表面积为七百二十五点二平方厘米，这里哎，直接把它用整体法去求哎，会更加看得更加清楚一点。接下来我们一起来看一下第四个题。 对于一个工人师傅，他要去加工一个哎铁皮做的如图所示的一个物体，这个时候呢，请你算一算这个物体的表面积，这个图应该是相对会比较复杂的，他的外侧呢，是应该是类似一个呃，圆柱形，呃，他的一个大圆柱， 中间呢？他又有一个什么东西，是有一个小圆柱把他挖空了，挖空成了一个小圆柱，所以他的表面积应该第一个是整个的外侧的一圈，他的侧面 以及中间这个小圆柱内侧这一圈，这个小圆柱的表面积，再加上上下底面，上下底面应该是非常的好求，应该是大圆减了小圆，也就是上下是两个圆环， 所以要求这样子的一个哎铁皮，它的一个面积我们可以来看到，首先我们把总体的侧面积可以求出来总测， 也就是包含了内和 y， 那 我们把测面积的公式来来写一下，这个地方是已知它的直径的，那么也就是 s 测 会等于 pi d h， 哎，这是哎小 d 表示内部的直径，再来一个 pi 大 d h， 那 我们可以代入数值 三点一四哎乘以。注意，我们可以把哎 h 和 pi 都直接先提出来，哎 h 是 等于六， 再乘以小 d 是 四，大 d 是 八，通过计算我们可以知道最后的答案会等于二二六点零八。好的单位是平方分米， 这是它的两个侧面积，那我们这个时候再来看一下它的上下底面， 上下底面应该是两个圆环，那我们圆环的计算公式是，哎，可以知道是等于 pi 乘以大二的平方减小二的平方。那我们可以来算一下啊，上面的大二的平方 大二应该是八除以二，也就是四分米， 小二呢应该会等于四除以二，也就是两分米，这是一个圆环，接下来我要再乘以二来表示两个圆环，所以它会继续等于三点一四乘以 大二四的平方减小二二的平方，再乘以二。通过计算啊，我们可以知道这里的答案是等于七十五点三六平方分米 啊，会等于七十五点三六平方分米。接下来的话，那我们也就是 s 总面总的表面积 会等于二二六点零八，加上七十五点三六。最后通过计算，我们可以知道这里会等于三百零一点四四平方分米。 最后哎作答，我们可以知道这里的表面积 会等于三百零一点四四平方分米。通过这样子的一个比较复杂的一个立体图形，它的表面积的计算我们可以知道其实也就是把它看成简单的几个部分的 面积的和，那么这个时候的话，我们就可以把它表示成这个复杂的面积，完全的计算出来。

狗蛋儿他们最近参加了全国机器人大赛，比赛分为三部分，机器人足球赛、灭火赛和综合竞赛。狗蛋儿他们设计了一个超强力机器人，其中包含了一些用来运水的圆柱体。 现在到了制作环节，大家难住了，圆柱体要怎么构造呢？豆花出了个主意，想一想，学过的长方体，只要利用展开图一拼就能够成，那我们就不妨从圆柱的展开图开始，一起来研究一下吧。 说到展开图，顾名思义，就是把立体图形的表面经过一番裁剪之后展开摊平的结果。所以对于圆柱来说，展开图呢，就是把上下两个底面以及侧面裁开后摊平的结果。 那你觉得可能会是什么样子呢？没啥头绪的同学不妨想一想一卷一卷的卫生纸或者饮料瓶上的包装袋 选 a， 上下底面不难想吧，剪出来还是两个相同的圆，你可别千万觉得就是看上去扁扁的样子，选错了 d。 难一点的是，侧面展开后为什么可以是个长方形呢？我们口说无凭，一起来动手实践一下。 经常手痒的同学肯定拆过这条包装袋吧，其实就能看作是圆柱的侧面，我们从它隐蔽的这条高开始拆， 撕开绕一圈，取下来放在桌面上把它捋平。哎，什么形状啊？长方形？为了严谨一点，我们准备了一个不含防腐剂的圆柱侧面，从已知的一条高开始剪， 剪完之后再放到桌上展开捋一捋，怎么样啊？还是长方形再卷起来呢？又成了圆柱的侧面。 现在我们就能得到这样一个结论，圆柱的侧面沿着高的方向剪开后展开，是一个长方形。不过问个问题，考考你，圆柱的侧面展开后只能是长方形吗？ 答案是 b。 我 们拿这两个侧面剪一剪，你就一清二楚了。比如这样斜着剪 或者乱七八糟的剪，展开后看看都不是长方形。但是有一点你得注意，无论我们怎么剪，只要再卷起来，两边都能拼合到一块。 所以像是三角形啊圆啊分别卷一卷，完全围不起来，不可能是圆柱侧面的展开图。当然，为了方便研究和构造，我们一般会选择长方形。 这个视频我们学到把圆柱展开后，可以得到两个相同的圆和一个长方形。 那狗蛋他们能根据展开图成功构造出原著吗？我们下个视频再见。

hello， 同学们好，我是喵老师，今天我们一起来学习圆柱的另外一个度量圆柱的体积。 首先我们一起来看一下圆柱的体积应该如何来推导它的一个计算公式。首先呢这里有一个圆柱哎是一个这样的一个柱体，上下是两个圆，侧面的话呢是呃垂直的哎，直上直下的展开是一个长方形， 那么这个时候呢，我把这个呃圆柱体像切蛋糕一样的哎等分，等分，把它等分的非常的细小， 这个时候呢我把它一半染黑，另外的一半呢保持是白色，那么把这样的一些像切蛋糕一样的这样子的每一块一小块一小块的给它展开，然后呢给它对折啊，把它再把它插起来， 这个时候的话，哎像很像我们之前在推导圆的计算公式时的用到的那样子的一个分割方式， 那这个时候拼接在一起上面，我们知道如果说我分的足够的细小，也就是我分的非常多份，这个时候上面会类似于一个长方形， 非常近似的像是一个长方形，那么这样子的一个图形重新拼起来了之后，就很像一个长方体。 那我们来看一下这个长方体，它的一个哎各方面的长宽高的度量，首先高的话，哎一定就是这样子的一个圆柱的高 h， 那 么它这里哎长方形，它的长与宽呢？ 这个宽的话应该就是 r， 也就是这个半径，因为它的哎，这里就是我们来看到它的展开的部分，半径展开了之后依然不变，但是这个长方形的长此时是什么呢？ 这一个长这个部分应该我们来看到它是这白的哎的这一部分的周长啊和黑的这一部分的长，也就是整个圆柱它上下底面的半周长， 圆的周长应该是哎派低啊，或者是等于二派 r， 那 么它的半周长呢？二分之 c， 也就是直接会等于派 r， 所以 这个拼成了长方形之后，它的一个里面的长应该就是近似的，会是派 r， 如果说我分的足够细小，那么这个圆柱啊，他就会越来越接近一个长方形，进而就完全的跟长方形是一样的了。所以我可以通过这样子的一个推导，可以总结出圆柱的一个体积计算公式应该是等于 s h， 那 么 s 怎么求呢？ s 会等于 pi r 的 平方，对吧？再乘以 h， 也就是说圆的将上下底面的面积直接转化成一个长方形， 那么这个时候有了这个公式， v 等于 pi r 平方 h， 那 我们就可以来求出已知它的圆柱的底面半径和它的高度，就可以求出圆柱的体积来了。 那我们简单的直接运用这个公式来看一下哎后面的这样子的一个基础的计算，如果说已知它的直径是四，那么很简单，它的半径就会是二，于是乎体积公式会等于 pi r 平方 h 等于三点一四乘以二的平方，再乘以三，于是乎我们可以代入数据得到是三十七点六八，单位是 立方厘米啊，因为这个地方是体积，所以哎单位是立方厘米。那我们再来看一下这样子的一个躺着的圆柱，那么此时它的直径应该是一十二，也就是半径会等于六， 这个时候依然 v 等于 pi r 的 平方 h 可以 代入数据，得到三点一四乘以六的平方，再乘以二十二，直接把数据代入到公式里面，可以得出是二千四百八十六点 八八，单位依然是立方厘米，这里呢是直接套用公式而去求这个圆柱的一个体积。那我们接下来再看一下下一个问题，这里有一个杯子啊，它是一个圆柱形的，如果说我杯子我从里面量的 必须要是从里面，为什么呢？因为这个地方杯子到底能装多少水，能装多少牛奶，应该是跟它的内侧的这个圆柱，它的一个体积有关的，也就是说这个杯子的容积 啊，它可以装纳液体的一个体积是多少，那我们来看一下，从内侧测量出这里直径是八厘米，高度呢是十厘米。 那我们这个时候问你，这个牛奶可以哎完全的倒进去吗？这个杯子能不能装下这杯牛奶呢？此时，哎，我们来计算一下这个杯子它的容积 v 哎应该会等于什么东西？ pi r 平方 h 等于代入数据，可以知道这里是三点一四乘以哎，半径 r 会等于四厘米，那也就是四的平方，再乘以十， 最后计算出结果可以知道这里是五百零二点四，单位 立方厘米，那么这一个他应该是可以换算成容积，换算成容积就会是直接等于五百零二点四毫升，他应该是大于四百九十八毫升的， 所以说可以装下哎这一袋牛奶。好的，这里也是一个直接的计算。 接下来我们来看一下例题三是一个相对比较复杂的题，其中呢，有一个内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米， 这个时候呢，我为了要去求这个瓶子它总共的一个容积，然后我把它倒过来，因为此时左边通过左边我们可以得到水的一个体积，那么右边的这个图形告诉我们，哎，如果说把它倒置过来了之后，上面的空气的高度是一十八厘米， 于是乎右边我们是不是可以求出整个瓶子它的空气的体积，左边水在里面的体积，右边求出空气在里面的体积，把它一相加，是不是就得到了这个瓶子的总容积了 啊？你可以分开求，当然我们也可以把它整体的求出来，这个时候它的整个的 容积 v 总它会等于 v 水加上 v 气 会等于 pi r 平方，小 h 加上，哎， h 水加上 pi r 平方 h 空气，也就是说会等于 pi r 的 平方。提出来，哎，整个的乘以 h 水加上 h 气。 注意这个地方的水是指我静止的时候水在下的一个，哎，这里的水的高度，那么空气呢，是指右边的这个时候的空气的高度，那么我们要求出半径，直径是八厘米，所以半径是四厘米， 于是乎可得三点一四乘以半径四厘米的平方，再乘以水的高度，七加空气的高度一十八。 那么我们注意这里其实可以有简变运算，就是说七加一十八等于二十五，二十五乘四会等于一百 一百根，前面的这里的三点一四，把它的小数点处理掉，直接是得到的是三百一十四，再乘以四等于一二五六啊，单位是立方厘米。 当然如果说我们要写成容积的话，那么这个地方就会等于一二五六毫升。 好的，最后再做答答，瓶子的一个容积会为一千二百五十六毫升。啊，这样子的一个哎技巧，哎，你学会了吗？那么我们接下来哎，再来一起看一下例题四， 例题四呢，这里是，哎，一个这样子的图形，看起来呢像是一个圆柱啊，上面，哎，这里我再给他斜着切了一刀， 也就是下底面应该是一个正圆，上面呢是一个椭圆，左边最低的地方呢是四厘米，右边最高的地方呢是六厘米。 那我们这个时候来问你，这样子的一个图形，它的一个体积是多少呢？有的同学会觉得，老师，这个你没有教过我，哎，对不对？我们只求过了圆柱的体积，但是这样子的一个图形可以按照圆柱的一个计算体积的公式去求吗？ 那显然是不行的，对不对？那这样子的图形既然他不能套公式，我们应该怎么办呢？虽然他不是圆柱，但是我刚刚说了他是圆柱怎么样？斜切了一刀，这个时候我们只要把它补成一个圆柱就行了， 那补成了圆柱，虽然我可以把它补出来的圆柱求出来它的体积，但是补上去的图形体积又是多少呢？那是不是依然是个不规则的图形？ 那这里好像我依然没办法解决，但是请注意，如果说我补上去的本身就是这样的一个图形，他把它倒过来给补上去，那么我就可以至少可以知道两倍的这个图形的体积，是一个我可以求出具体数值的一个圆柱， 也就是说先把这个图形给倒过来，哎，旋转一周倒过来，我给扣上去，这个时候是不是就是一整个圆柱了？ 那我们来看一下，这个图形倒过来之后，也就是最短加最长，直接就都会等于这个圆柱的高度，也就是这边是六，而这边是四，也就是新的这个圆柱总共的一个高度， 这样子的一个高度，它应该会等于四加六等于十厘米， 所以这个时候就好办了，也就是说我可以知道两倍的 v 会等于什么东西呢？会等于 pi r 的 平方 h， 那 么这个地方是一个圆柱的非常标准的计算， 那么它会等于三点一四乘以底面，哎， r 会等于一点五带入进去一点五的平方乘以高度十。通过计算我们可以知道这里会等于七十点六五 立方厘米，也就是说我可以知道这样子的一个呃不规则的图形，我把它再旋转一周之后，跟自己会拼成一个两倍它的体积，而这两倍的体积实际上是一个圆柱 体积，我直接可以套入公式去计算，那么也就是二 v 会等于七十点六立方厘米，那我再来把它的呃一半求出来，所以 v 直接求出来会等于三十五点三二五立方厘米， 这么一来我就把它的体积求出来了啊，最后，哎，做的好啊，这一个呃 物体，它的体积是三十五点三二五立方厘米，有的时候呢，我们会去求一些不规则的呃圆柱它的一些 体积，那么这个时候的话，我们应该要想办法把它化成我们渴求体积的这样子的一个图形。那我是苗老师，我们下次再见，拜了个拜。