45度角求解方法

今天咱们要讲的是如何用构造相似三角形的方法来解决二次函数里面这个四十五度角的存在性问题。错，这个也是一个非常经典的一个类型题了，那这种问题呢，其实我们是有一个比较通用的三步的解法，嗯，通过构造相似三角形啊，把它转化成线段的比例关系，然后来进行求解。 没错，这个方法听起来就很实用啊，那我们就直接开始吧。好的，首先我们要讲的是关于这个问题的切入点和这个通法啊，就是为什么很多同学一看到这种在 x 轴上找一个点 p， 使得角 c p e 等于四十五度，就会有点懵。嗯，那这种问题有没有什么比较通用的思路或者说套路 可以去解决它呢？其实这种题目的话，大家觉得难，主要是没有抓住这个关键啊，就是你看到这种四十五度角的存在性，你要想到的就是构造模型化角为线， 嗯，就是把这个角的问题转化成线段的问题。 ok， 那 我们来看一下这个具体的题目啊，那现在是已知一个抛物线，它经过了 a 点一零， b 点三零和 c 点零三，然后呢，直线 c d 交抛物线于点 e， e 点的坐标是五八。嗯，现在就是要在 x 轴上找一点 p， 使得角 c p e 等于四十五度。嗯，就这个题，我们第一步应该怎么入手呢？首先啊，咱们先找找有没有什么隐藏的特殊角。对，因为你看这个 c 点坐标是零三， d 点坐标是负三零，所以呢，这个 o c 和 o d 的 长度都是三，那这个三角形 o c d 就是 一个等腰直角三角形， 所以这个角 p d e， 它就是一个四十五度角。哎，那我们要找的这个角和这个已知的四十五度角就产生联系了。没错，那接下来第二步，我们要怎么去做，才能利用上这个四十五度角来证明三角形相似呢？是这样的，因为题目里面说要让角 c p e 等于四十五度， 那我们已经知道了角 p d e 也是四十五度，对吧？嗯，然后呢，它们还有一个公共角，就是角 c e p， 所以 根据两角对应相等，我们就可以直接得到三角形 e c p 和三角形 e、 p、 d 是 相似的，那既然已经证明了这两个三角形相似， 接下来我们怎么通过这个相似比来求出点 p 的 坐标呢？接下来就很简单了，由这两个三角形相似，我们就可以得到一个比例关系，就是一 p 的 平方等于 e c 乘以 e d， 然后我们把这个数值带进去啊， e c 是 五倍根号二， e d 是 八倍根号二，所以一 p 的 平方就等于八十。 嗯，然后呢，过这个 e 点做 e h 垂直于 x 轴，那这个时候 e h 的 长度就是八。再用勾股定律，我们就可以求出 p h 等于四，然后这个 h 点的坐标是五零，所以 p 点就有两个可能啊，一个是把 h 点向左平移四个单位，那就是一零。 另一个就是把 h 点向右平移四个单位，那就是九零。明白了，那我们最后来总结一下啊，就是遇到这种二次函数里面有一个四十五度角的单位，那就是九零。明白了，那我们最后来总结一下啊，就是三步啊。 第一步就是先去找题目里面有没有隐藏的特殊角，比如说四十五度或者九十度。第二步就是根据这些特殊角以及题目条件去证明有三角形相似。 第三步就是利用相似三角形对应编程比例这个性质，把它转化成线段的比例关系，然后通过计算求出点的坐标。

各位，吃亏作图啊，画四十五度角怎么画啊？这个方法和原理必须得学会啊，我们来看一下这道题啊，说在 ab 上找一点 d 啊， ab 上找一点 d， 是 a， d， c 等于四十五度。 a， d， c。 怎么听起来这么熟悉啊？ a， d， c 啊，就说找一点 d 啊，是 a， d， c 这个角度啊，等于四十五度，这个 d 在 哪啊？各位啊， 你不能蒙啊，啊，也不能用两角器啊。尺规作图，只能用尺子和圆规，怎么找四十五度？各位啊，你怎么找？你又不能蒙，又不能用两角器，那怎么办？各位注意了啊，看到四十五度，必须想到 等腰直角三角形，这个道理能不能明白？也就说你只要能做个垂线就好办了，也就说我通过 c 如果能做个垂线， 然后做个等腰直角三角形就就行了。好，那第一步，做他的垂线。做垂线怎么做 啊？做垂线也是有方法的啊，就是做垂直的方法。什么方法？给大家演示一下啊，这个方法必须得学会。第一步啊，你不要在这找垂点吗？垂垂线吗？第一步，把这个 ac 连起来啊，为什么要连接 ac？ 等会你就明白了， 我要找到 ac 的 终点，怎么找？ ac 的 终点，他的终点怎么找？很简单啊，在 a 点上随便画个圆，在 c 点上啊，随便画个圆。各位， 这有两个焦点，看见没有？这有两个焦点，这两个焦点连起来，各位，这个就是终点， 为什么？因为这是垂直平分线，所以这个点 e 啊，它就是 a、 c 的 终点。那找到终点有什么用呢？各位，那就很简单了，找到终点画圆，你看我通过这个终点画圆，你发现一个问题， 我是不是以 a、 c 为直径画了个圆，以 a、 c 为直径画了个圆，圆交于这一点，各位， 这一点连起来，它一定是垂直的，哎，有同学问，为什么？因为过直径的圆周角在圆里边啊，过直径的圆周角，它一定是直角，所以这个点 e、 f 就一定垂直， c， f 一定垂直，他好找到这个垂点了。下一步怎么办？等腰直角呀？构造等腰直角，那怎么办呢？各位，那就很简单了啊，以 f 为圆心啊，以它为半径， 然后你再画个圆，你会发现，哎，这交了一个点，这是不是也也会交一个点？这个交点如果连起来，各位，你有没有发现一个问题， 这个就是等腰直角，因为这个是半径 r， 这个也是半径 r， 所以 他就是四十五度，那这个 d 点不就找到了吗？在这吗？这边还有个焦点啊，这个焦点应该如果 a 足够长的话，这个焦点可能在这。 那 a， d， c， a， d， c 是 不是也是四十五度？你看如果 a 啊，如果啊，人家说在 a、 b 上找啊，可不能出去啊，这个方法必须得学会啊哥。

哎，哈喽，我们来看一道折叠问题。哎，这个题本身看不出任何的折叠来吧，但是呢，实际上呢，他要用构造折叠的方法来进行求解， 他说啊，这个角 m a n 呢等于四十五度，然后接着呢， m h 等于二，然后 n h 呢等于三，这个是垂直的，现在让我们去求 a h 的 长度是多少。 那这道题拿到手啊，你就看到这个四十五度，它非常非常的特别吧，它是个特殊角度，对吧？那看到四十五度呢，一般情况下，我们会考虑说把这个四十五度往直角三角形里放， 但这道题呢，你去尝试一下，无论往这边构造还是往这边构造，做直角三角形都没有什么用，因为呢，这个四十五度角啊被劈开了。哎，你想一想啊，那么四十五度角被劈开的话，往往会和什么模型相关呢？ 哎，会和绊脚模型有关吧？四十五度的绊脚模型呢，就是有一个四十五度的角要跟他的全角九十度的角要共顶点，那这里可不可以去构造那个九十度的角呢？我们可以去把这个给它翻过去，把这个呢给它翻过去，那么这样的话呢，就 变成九十度的角了吧，我们来翻一翻啊，把这个三角形丢翻过去，大概呢变成什么样呢？变成这个样好，我们把它呢也翻过来，那这个点呢，我们叫它 b 啊，这个点呢，我们叫它 d， 哎，为什么叫 b 跟 d， 为什么不写 c 呢？这个 c 呢？我字有妙用。 好的，那么这样一来的话呢，这个角跟这个角相等，这个角呢跟这个角相等，所以呢，这里就是一个九十度的角了， 并且呢，因为你是翻过去的嘛，对吧，所以 a h 就 跟 a b 相等， a h 呢，还和 a d 相等，因此 a b 跟 a d 相等， 那么这时候啊，我们会发现，我们构造出来的是一个等腰值，而这个等腰值呢，这边还有个直角，这边还有个直角。哎，这么悬在这肯定是不太好的吧，那我们不妨呢，再多加一点东西，把这个 四十五度的绊脚模型给它构造的更全面一些，并且呢，把这些信息呢用的更全面一些。哎，也就说呢， 这里我要给它延长一下，那这里呢，我也给它延长一下啊，这里呢，就变成了一个大的正方形啊，虽然画的有一点点不太好啊你们， anyway， 看得懂就行。 好的，所以呢，现在我们要去求 a h 的 长度，该怎么办呢？那我们不妨呢，就假设这个 a h 是 x， 对 吧，所以正方形的边长呢，就都是 x 了。 另外啊，这个是二，这个翻过去就是二，这个是三，这个翻过去就是三，所以呢，正方形的边长是 x 的 话，那么这段的长度就是 x 减二，那么这段的长度呢，就是 x 减三吧。 好的，那这时候四十五度所对的这条边的长度呢，是二加三，然后这条边呢，放在这样一个直角三角形里面， x 减二， x 减三，另外两条直角边都能表示出来了，所以呢，我就可以列出勾股定律方程来， x 减二的平方加上 x 减三的平方，就等于二加三的平方。哎，依然是一道可以用勾股定律假动作来解的题啊，因为这里呢有一个 x 减二，这里有个 x 减三，对吧，这里呢是一个 五，哎，那斜边是五的话，我就猜一条直角边是三，一条直角边是四，那这个等于三的话呢， x 也是等于六的，哎，那 x 肯定就是等于 六了，不过呢，这里是一个二次方程 x 平方，这里还有个 x 平方， x 平方消不了了，对吧？所以一元二次方程的话呢，肯定还有一个赋解，所以呢，我还要写一个赋值舍去。 好的，所以呢，这里的 a h 就是 这个 x 就 等于六吧，那我们把这个 x 等于六啊，带进去看一下。哎，四十五度角呢，分成了两个角，一个 alpha， 一个 beta， 对 吧？这两个角加起来是四十五度，然后这时候贪进它， alpha 是 一比三，贪进的 beta 呢，就是一比二。 ok， 所以 这里还是用到了一二三四五模型的这个数据的组合吧，一二三四五真的是处处可见，虽然这道题不是用一二三四五解出来的，但是一二三四五呢，是处处可见的。 好的，再总结一下，但凡看到一个四十五度的角，然后还被劈开了，对吧？所以我们优先会想到绊脚模型的处理方式。哎，这道题你学会了吗？

同学们，今天我们来学习一道中考数学小押中题，大家看题目，矩形 a， b， c， d， c， b， e 等于一，这里一 c， e 等于三，这里三角 a， e， d 四十五度，这里四十五，求 a， b， 求这里 a， b， x。 这个题目很简洁，要拿到这个题目，我们怎么分析？这里关键就是在哪里，关键条件就是这个角四十五度， 有四十五度的角，大家要注意它在球里面的有关边上的时候，一定要利用这个特殊角来做直角三角形， 所以我们第一种方法就是面积法，这是我们经常要用到的第一种方法。面积法好，我们来用这个三角形 a， e、 d 的 面积的不同的计算方法来列等式， 大家肯定想不到，第一个等式很简单，因为这里是一三，上面就是四， 我们先把 a、 d 为底这个高做出来，这个高做出来，那么这个高是什么？ x， 很 清楚，很明显 x。 然后我们随便找一条边 a， e， e， d 来这里四十五度，做一个特殊的等腰直角三角形，到这条边，我们取下字母，这里 f， 这里 h， 那 么我们就可以来练完成了。那怎么练？因为这里设了 x， 那 么这边也是 x， 那 么一 d 的 长度就可以以 x 以勾股定力来表示，它就是什么了， 根号 x， 平方加九，这是一点乘以它的高高是谁啊？是 a h， a， h 是 什么呢？是 a 一 乘二分之根二，那么它就乘以 根号 x， 平方加一，再乘以根号二，再除以二，再乘以二分之一，这个二分之一我们就可以不写它等于什么，等于四乘四 x， 这就是第一个方程，我们就会列出来了，这个方程呢， 它含有等下我们求出来之后可能有四字法，可能也是一个比较难减的， 这是第一种方法。我们一般来讲拿到这个题目就是利用四十五度这个特殊角来求他的高，然后以面积法来做，这是第一种方法，这是我们一般基本上能想得到的第一种方法。 第二种方法也同样是，我们也同样是因为这个角是四十五度，是个特殊角， 这里放在这个矩形当中，我们要散到什么四点共圆的方法，所以第二个方法就是四点共圆法。大家来怎么看？这个是四十五度， 我们把这个四十五度把它变成九十度，来扩大一下什么看，我们坐在这里做个辅助线，变成为九十度，这个起点 e， 我 们把它取为 f， 那 么大家这里就有 a、 e、 f、 d 四点共圆， 那你这里是九十度，好，这里因为是四十五度，我们把对角线连起来，就会发现什么那是什么了， 这里有一个四十五度角啦，来个这里，这边这个角是四十五度， 那么我们就比这里也是四，出现了一个等腰直角三角形。好，这个时候我们的 c、 f 就是 等于多少啊？就是 x 减四，大家注意 a、 b、 e 和 e、 c、 f 这是两个相似三角形，这里一线三垂直，所以第二种方法叫什么呢？四点共圆，你说一点一线三垂底啊？对，也是通过这个四十五度的角把它变成九十度， 实际上我们第三种方法也是这个角是九十度，这个时候怎么做这个幅度性，哎，就有点不一样了。大家我们来看， 我们通过一点来做一个等腰直角三角形，看这里发现什么了？我们这里取点 f h， 这个 a f e 和 d h e 是 两个相似三角形，为什么我们注意看 这个小角，小圆圈跟这个角它们之和是四十五度，这个也是小叉， 这个也是小圆圈，所以我们把这些有关数字标一下，这个是一，这个是三，你看这里也就是一，这里也是三， 那么这里又是什么啦？三根号二，这里是什么啦？根号二，这里上面就是什么啦。 x 减三，这里 a f 等于多少？ x 减一，那么两个三角形 a b e 和 d h e， 它们是相似三角形对应边乘比例， 我们就很快的能够把这个 x 求出来。所以第三种方法，什么相似法？做相似还有不一。第四种方法呢？有这个题目有十几种方法，但是我们还是从这个四十五度这个角出发来想办法， 因为这个角我们来把这个擦掉，因为这个角是四十五度，我们还拉 可以想到什么，大家想一下，如果我们把这个 a、 d、 e 这个三角形的外接圆发出来， 它的圆心角是九十度，因为它的圆中角是四十五度，所以我们讲到它的圆心角，这个外接圆的圆心大概是在这个地方，我们把它连起来，连起来这是一个九十度， 那么大家想一下，这个是一，这个是三，这个是四，这个我们把它距离二点，那么 a 幺是等于多少？对二根号二，也就是半径是二 根号二，这里也一样的二根号二。好，这个时候我们要求的是个 a、 b、 x， 我 们把它移到中间来，这里做一个垂线下来， 我们上面取一个字母，这里 f， 这里是看一下，那么 o f 等于多少？对，这里应该是等于二，下面等于多少？大家开始看一下，这里 这个需要要求一下，下面这里这个一点多少应该是一，那根据勾股定律 o x 求出来后，把它两个相加就求出来了。第四种方法什么啦？外接圆法，外接圆，还有有没有第五种也有， 这里面的方法很多哎，我们还可以做四十五度的一线三等奖等等。 但是这所有的方法里面最核心的一个东西是什么？就是我们要充分利用这个四十五度的角， 所以在这个题目我们一定要跟棒角模型的一些基本的性质，基本模型你要联系起来，特别是它是放在矩形当中或者正方形当中，你一定要想到四点公园。 所以我们讲这个题目的关键条件，四十五度这个特殊，讲好，这节课就讲到这里，下课。

大家好呀，不好意思才更新，我们一起看看这道题吧。首先呢，还是读题，这道题呢，是在矩形 a， b， c， d 中说明呢，每个角都是直角， a， b 的 六， b， c 等于八点， e 在 b、 c 上，并且呢， b， e 的 二， 所以我们知道 e、 c 是 等于六， cd 等于六，所以 e、 c， d 是 等腰直角三角形，所以这个角是四十五度，这个角也是四十五度。 f 是 ab 边上的动点，那 f 点的运动轨迹在 ab 上，又是关于动点问题哈，下面呢，是连接 ef， 并且呢线段 ef 绕着点 e 顺时针旋转，四十五度到达 e， g， 也就是 e 点是定点， ef 顺时针，顺时针是这个方向，时钟钟表走的方向是顺时针的。所以题中告诉我们， f， e， g 等于四十五度，根据旋转的性质， 旋转前后两个线段长是相等的，所以 ef 是 等于 e， g 的。 然后你看他有很多四十五度，这道题我们要引起注意了，那又因为这个是平角，这四个相加和得一百八，他俩得九十，这两个角是不是互余的呀？得九十度，又因为他俩互余，是不是这个角等于这个角啊？ 这是我们根据条件所分析的，不管题中用没用到，但是我们是不是要想到呀？下面呢，他告诉你连接 a， g， c， g， 我 这个图没有画，因为 a 选项用不到，我就把多余的线段给省略了，这样看起来更清晰。 问你判断错误的是那 a 选项，他说 g， d， e 的 面积不变， g， d， e 在 哪里呢？这个三角形 面积不变一一谈到面积，面积等于什么？面积等于底乘以高， 对吧？有三种情况呗，以它为底，以它为底，以它为底，那要自己去试吧，但是我们要聪明点，我们要结合题中条件最多的去分析，这样我们来剖析一下这个三角形。 首先来研究边，这个边已知 e g 等于 e f， f 是 动点，所以 g 也是动点，所以这个长度我们不能确定，只知道 e f 等于 e g， 并且呢构成的这个三角形是等腰三角形，这两个底角的度数能求出来这道题没什么用，但是我们得知道是吧，如果以它为底呢？ 那么是不是就要做各种高啊？你可以自己去尝试，来看一下这个边， e d 与这个三角形构成了这个三角形的斜边，那这个三角形我们刚才说了，他是等腰直角三角形，并且边长的六，所以我们知道 e d 的 长度 是可以确定的，等于六倍根号二，一比一比根号二，对吧？这个勾股数要记住，所以我们知道这个长度是确定的， 这个边不知道，如果你要再求高呢？它的高怎么求啊？是不是延长啊？通过我们刚才所分析，这个三角形当中谁的条件是已知条件最多的？肯定是 e d 吧，所以我们聪明一点，我们知道 e d 乘以它的高 a 选项，这个三角形以 e d 为底，以过点 g 做垂线为高，让我们来判断面积是否是不变的，也就是研究这个高的情况，假设是 m 吧， 那么问题来了，因为 f 点是动点，根据旋转 g 点也是动点，那么我们怎么判断这个高的情况呢？就是要我们要确定 g 点的运动轨迹， f 点的运动轨迹在 ab 上，那么 g 点的运动轨迹呢？ 确定了 g 的 运动轨迹，也就能确定 g、 m 是 不变的。给他单提出来，如果这个是 e、 d， 这个是 g 点， g 点是动的哈，那如果一个点到一个线段的长是不变的，它只能是在平行于 e、 d 的 这条直线上，对吧？ 平行之间的线段长是不变的，那如果 g、 m 的 运动轨迹正好在平行于 e、 d 的 一条直线上，我们是不是就能证明 g、 m 的 长是不变的，那么面积就是不变的。 所以我们首先来确定这点的运动轨迹。我们又知道这点是因为 f 点的旋转产生了这点大家这里记着一个知识点，一涉及到旋转，尤其是初三啊，百分之九十 都会和全等三角形结合起来，如果没有，就去构造全等三角形，数学当中的一些性质啊，知识点不用背下来，你就是用图形给它理解出来就好。 那关于旋转的，不就是找一个定点，就这个旋转中心，顺时针或逆时针旋转一定角度，旋转前后的两个三角形是全等的。如果旋转到这里， 可能不是很标准哈，这个长度等于这个长度，这个长度等于这个长度，这个长度等于这个长度，这是线段长角呢？这两个角旋转前后的两个角是相等的，也就是 这个角等于这个角，因为中间有共同的夹角，如用图形表示的话，大概是这个样。旋转最重要的就是等线段和等角，这不是吗？旋转前后的等线段，这个角度相等，相等， 这个相等加上或减去同一个角，这两个是不是也相等呀？他不一定是九十度啊，我这是让你看着好看一点，我们现在来回顾一下这道题。这是个矩形， 也就是说这个四个角都是九十度，并且呢对边平行且相等。 ab 等于六点， f 呢是动点，它的运动轨迹在 ab 上， b， e 呢等于二， e 呢是定点线段。 ef 绕着点 e 顺时针旋转四十五度，到了点 g， 也就是 f 点到了点 g， 所以 点 g 也是动点， e， f 等于 e， g， 这个旋转角是四十五度，我们知道 e、 d 是 等于六倍根号。二，现在让你求以 e、 g、 d 为三角形，它的面积是否是不变的？如果我们想确定面积，就是要确定 g 点的运动轨迹，如果这个面积是不变的，那么我们知道只有一种情况，也就是点 g， 它的运动轨迹在平行于 d、 e 的 直线上，只有这种情况，两条平行线之间的线段长是不变的，也就是高是不变的。所以我们要确定这点运动轨迹。怎么确定用旋转，因为这点是由 f 旋转产生的，所以我们要利用旋转的前后的一些性质， 那旋转大概率会用到全等三角形。如果做题多了，有这种灵敏性，就是四十五度得天独厚的构造条件。旋转最重要的就是旋转中心，旋转角，旋转方向， 那么以它为例的话，旋转中心就是这个点，旋转角呢？对应点 与旋转中心的连线。旋转角旋转方向呢？这个图形当中就顺时针呗，旋转前后两个图形是全等的，也就是对应点到旋转中心的距离都是相等的，对吧？旋转角也是相等的，带入到这里面，旋转角度是四十五度， 旋转中心是点 e， 那 么旋转方向呢？是顺时针，所以这道题呢，是不是相当于 b e f 绕着点 e 顺时针旋转四十五度，点 f 到达点 g 一 点不变，那么 b 点的对应点呢？ 他的对应点是不是就是线段 b e 绕着点 e 顺时针旋转四十五度，对吧？长度是二。我这画的是大概的，有两角器的话，用两角器来量，假设吧，是 b 撇， 那连起来这个角度是不是也是四十五度呀？根据旋转性质去构造了一个全等三角形，那他怎么就全等了呢？因为 我们做了一个 b e 绕着点 e 顺时针旋转四十五度到 b 撇，所以这个长度是相等的，又因为旋转角，这是四十五度加上这个角，也就是 f e b 等于 g e b 撇，对吧？都是四十五度加上这个角，然后又因为 ef 等于 eg s a s， 所以 两个三角形是全等的，证明了我们构造的三角形是全等三角形，这个是成立的。那么问题就来了， b 撇 e 是 不变，它旋转四十五度就是到这里， b 撇 e， 它这个位置是固定的，这个没问题吧？可是 ef 可是会变的呀， f 点是动点，它有没有可能 f 点在这， e f 是 这个样子的， 在下面。如果要做大题的话，是不是要讨论一下 e f 的 位置，它可能在 e b 撇的下面，但是呢，是一样的旋转角加上这个共同的角，减去这个共同的角，两个角度还是不变的。但是我们要讨论一下这种情况，这道题就不用了，感兴趣的话可以自己画一下。 好，刚才我们 sas 这个边，这个角，这个边 sas 证明了这个两个三角形是全等的，那么我们知道这是矩形，所以这个角是九十度，所以这个角是九十度，所以呢？这个角度是不是等于这个角度呀？ 刚开始我们读题的时候就说了，什么这个是平角，这两个加起来是九十度，所以这两个角是九十度，又因为他俩是九十度，所以这个角度等于这个角度，对吧？ 刚才我们构造了全等三角形，两个角度是一样的，所以这两个角度是一样的。证明了 b 撇 g 平行于 e、 d， 所以 证明了 g 点的运动轨迹。 b 撇大家要知道是固定的，因为点 b 和点 e 是 定点，绕着点 e 顺时针旋转四十五度形成的 b 撇，所以 b 撇是定点， 所以点 g 的 运动轨迹在过点 b 撇平行于 e、 d 的 这条直线上。两条平行线之间垂线段的距离是相同的，所以 g、 m 是 定长，对吧？ g、 m 是 高啊，是定长， e、 d 是 定长，所以面积是固定的。 g、 m 的 长能求出来不？当然能啊，因为 b 撇 e 等于二，两条平行线之间的距离吗？他是不是也是垂垂线段呀？他是平行且等于 g、 m 等于二。如果让你求 g、 d、 e 的 面积等于什么？ 等于 e、 d 上是六倍根号二乘以高是多少？二乘以二分之一，等于六倍根号二。 那么刚才我们刚确定了这点的运动轨迹，他是在过点 b 撇，并且平行于 e、 d 的 这条直线上。如果你说我想求一下点这个具体的范围，他到底在这条直线的哪里？能不能求呢？是可以的，因为点 f 他是在 ab 上是运动的，你可以取极端值啊，点 f 在 b 上，求一下点质在哪里？点 f 在 a 上，求一下点质在哪里。所以点质的运动轨迹是不是也可以求出来 这道题的？它没关系，但是如果是大题的话，让你精确精细化的去求，是不是也要知道？回到 b 选项，他问你 c g 的 最小值，点 g 是 在这条直线上，但拿出来 c 是 定的吧， 一个点到一条直线的最小值，是不是远距离做垂线呀？那这道题也是一样呀，过点 c 做这条线的垂线呗。 此时这个线段长，是不是就是我们要求的最小值呀？我们重新画个图，此时这个图呢？

今天我们跟大家说这样的一个问题，在初二和初三卷纸的最后一道压轴题，往往是最后一问，会出现一个四十五度角，作为一个前提， 让我们来解决一些点坐标，包括一些特殊的线段的关系等等等这样的一个问题。好，这个题他有一个固定的逻辑。所以今天呢，我们跟大家分享具体的一个思路是什么？我们不具体讲题，这个图就是一个载体。 好了，已知呢，平面直角坐标系 x、 o y， 在 上面这样的一条直线，直线上有一个 a 点的坐标是二到二，在 y 轴的负半轴上有一个 b 点，坐标是负一到零。 我们的问题是啥？说当角 a、 b p 等于四十五度的时候，我们求这个 p 点坐标是多少？咱们明确了这个 p 点是这条直线上的一个点。 好，咱们来思考，你想我有了四十五度，咱会想到什么？有四十五度，我是不是会想到等腰直角三角形？好了，那这样我过 a 点向这个 b p 做一个垂线垂直呢，就是 k， 就 构造了一个等腰直角三角形 k a、 b。 其实呢，等腰直角三角形我们核心想要的是啥？是不是垂直且相等？就是 k a 和 kb 垂直且相等。 好了，那么这个等值我们要完了之后，它并不是我们终极目的。我们接下来要什么？是不是要一线三垂直？在外面，我简单写叫 y 三垂， 什么意思？也就是说这个 k、 e、 a 和 k f、 b 是 在三角形 k、 a、 b 的 外部构造了一个什么一线三垂直的全等。 那么构造这个一线三垂直的全等，咱们的目的是啥？来我们看，我们可以设这个 k 点，它的横坐标是 m， 纵坐标是 n， 那么一线三垂直的全等，是不是？根据全等的结论，我们能知道对应边相等，在这个图里是不是就是对应直角边相等，那对应直角边有几组？你看他和他对应相等，他和他对应相等，两组对应相等。我们这个 k 是 横坐标和纵坐标，都是什么？ 都是未知数， a 点是已知的， b 点是已知的，所以你看我有两个等量关系，有两个未知数，大家会想到什么？是不是应该是建立叫二元一次什么方程 组？建立二元一次方程组，建立完二元一次方程组了之后，大家再去想我们要求的是什么？是不是求的就是 m 和 n 的 值？ 那么我们把 m 和 n 的 值求出来之后，那是不是这个 k 点的坐标我们就求出来了？ k 点的坐标是谁斗谁我们就搞定了， 那 k 点的坐标搞定了之后，我们再结合这个 b 点的坐标，负一斗零，有了这两个点的坐标的话，那我们能解决什么？是不是就可以求这个直线 b k 它的解析式 对不对？那直线 bk 的 解析式求完了之后，这个直线 bk 的 解析式连立原有的这个解析式，是不是我们就可以求出来这个 p 一 点的坐标 ok 吗？这个 p 就是 第一种情况，我把它称之为叫 p。 接下来我们看这个 p 二，也就是说在这个方向上是不是还会有一个点？为啥呢？因为这个 a b p 它是四十五度，题干中并没有明确这个 p 点是在 ab 的 上方还是下方，所以我们要进行分类讨论。 但是呢，有的同学说，老师，那前面的 p 一 我会求了，后面的 p 二不是和 p 一 样吗？那就不用说了，我把重复的事情再做一遍就 ok 了， 不需要这样。大家来观察，这个角是四十五度，这个角是四十五度，那么这个 b p 一 和 b p 二是什么关系？ 是不是应该是垂直的关系，对吧？所以我们求 b p 二的解析式的时候，不需要像刚才求 b p 一 这么麻烦。那 b p 二的解析式我们应该怎么去求呢？来，咱们观察，你看我这个 b p e 它的倾斜程度，或者我们称之为叫斜率 k， 我 们是不是知道，然后这个斜率 k 和这个斜率 k 它俩的乘积是不是应该得负一？所以我简写成 b k k b p 一 乘 k b p 二是不是应该得负一？那如果要是得负一，大家思考我是不是直接就能找到谁找到 k b p 二的值， 对吧？那所以对于这条直线来讲的话，是不是我们的 k 值就知道了？我们的 k 值知道了之后，我们是不是 y 等于 k s 加 b， 我 们要求这个 b 值， 那这样的话呢，我只有一个参数，因为 b 点是两个函数在 y 轴上的公共交点，所以这样的话呢，我们可以把这个 b 点带进去，对不对？把 b 点带进去之后，那这样是不是这个 b p 二这个直线的解析式，也就是说在这个位置，我带一个 b 点，是 这个零到负一，零到负一，把这个 b 点给它带进去，这样这个问题也就可以 ok 了，可以搞定了。这个位置，我发现这个也写错了，我改一下零到负一这个位置也是改一下零到负一，因为它是 y 轴的负万轴。 好了， ok， 那 这样我是不是 b p r 的 解析式就求出来了？ b p r 的 解析式求出来之后，我想求这个 p r 的 点是不是也很 ok？ 那 就是什么？ 那是不是连立这个 b p 二和这个直线，然后形成二维一次方程组，然后求这个方程组求解，他的解就应该是对应的这个点坐标，这样这个题就完事了。所以最后我们就汇总总结，然后下一个结论就好了。 所以满足提议的点一共有两个，这个位置有 p 一， 这个位置有 p 二。刚才呢，我们已经把这个求解的过程给大家表述出来了，这样这个问题就 ok。 好 的，再见。

上个视频我们留了一道题啊，一道四十五度角的存在性的问题，我说有十种方法啊，至少有十种方法，那么我们今天来把这道题来玩一下啊 啊，题目这样的平面直角坐标，其中直线 y 点三 x 加三与坐标轴分别交于 ab 两点，那 a 点坐标负一豆零啊， b 点坐标零豆三啊，我们记住了啊，然后在 x 轴上存正，半轴上存在一点 c， 使得角 abc， 这个角是四十五度啊，要求 c 点的坐标 啊。第一种方法，解，直接解三角形。为什么想到这个呢？我们把 ac 求出来就可以了啊， c 点坐标，关键求 oc， 那我们把 ac 求出来就可以了 啊，因为 ac 啊，在这个三角形 abc 当中，这个三角形是可解的啊，这个三角形角 abc 等于四十五度，然后这个角 b ac， 虽然我不知道他具体的度数， 但是我知道他的三角函数，他的正切值是三。这个天气的叫 b ac 啊，因为他等于 b o 比上 o a 啊，等于三比一，所以等于三， 所以啊，这两个角都是已知的。那我们过 c 点啊，做一个 cs 和 ab 垂直啊，然后呢， 这个角的正切值等于三，所以 c 牙齿就等于三倍的 a h， 而且呢，这样做了垂直以后，三角形 b， c 牙齿是一个等腰直角三角形，那么 b 牙齿就等于 c 牙齿，所以 b h 就等于三倍的 a h 哎，而 b 牙齿和 a h 的和啊，是三倍呃，是根号十， 所以他们都能算出来啊， a 牙齿， b 牙齿和 c 牙齿都能算出来啊，都能算出来以后呢，相应的 ac 啊，也可以就求求出来了啊。先说答案啊， c 点坐标，答案是二分之三，逗零啊，大家自己去算一下。 第二种方法是构造摄影模型，借助找平分线定理去求解。摄影模型呢，就是直角三角形斜边上的高这个模型哈， 哎，我们看到这个四十五度啊，再加上本来这边坐标轴垂直，所以呢，我做一个什么 bd 和 ab 垂直，和 x 轴交于地点， 这样这个摄影模型就出来了，而且呢会出现角平纹线啊，因为 abc 是四十五度啊，呃，那 cbd 呢，也是四十五度，所以 bc 是三角形 abd 的角平分线，所以我们根据角平分线 定理啊，有 bd 前面我们讲过的啊，比上 ab 等于啥呢？等于 cd 比上 ac， 这个我们可以用面积法去证明的啊，很好证， 然后再结合这个摄影模型，摄影模型的本质就是相似啊。啊，我们可以算出什么呢？ pd 可以算出来啊，或者你直接用相似的话， ao 是等于一吗？ ob 是等于三吗？啊， ab 是等于根下十嘛，所以这个直角三角形是一比三比根号十，那所有的直角三角形都是啊，这里面这些直角三角形都相似的， 所以我们很快就可以算出欧 d 啊，欧 d 就是九，因为他在直角三角形 b od 当中啊，一比三 三，那 a d 就有了啊， a d 就是十啊，那同样的这个 b d 也可以算出来，这一比三比跟号十，他就是三倍跟号十，然后用这个比啊，我们发现 啊， bd 比 ab 就是三吧，哎，这个大的直角三角形 abd， 他也是一比三比，重要是他就等于三，所以 cd 比 ac 也等于三，而 cd 和 ac 的和是知道的啊，和就等于十啊，所以很快就可以算出来 啊，把这些线段都算出来以后，那么 c 点的坐标啊，就很好求了。好，这是 第二种方法啊，再看第三种方法，去构造共编字母型的相似三角形， 实际上摄影型也是供边子母型的，特殊情况怎么去构造呢？我们看到这个四十五度的角啊，啊，有人说向我向左边做一个，让这个角等于四十五度，角 bdc 啊，这个角四十五度， 在副伴奏上取一个地点，使得角 bdc 等于四十五度，这样这个三角形 cba 就相似于三角形 cdb， 但是这样构造没很难算出来。为啥呢？因为你这个 这些边都不知道啊，根据这个结论， bc 方等于 c， a 乘以 cd， 但是这边都不知道，所以应该向右边去构造啊， 接住这个四十五度，那我只要在正半轴上取一个地点啊，使得这个角也等于四十五度。 这样还有个好处，就是构造出了等窑直角三角形啊， b， o d 啊，由于 o b 等于三呢， o d 也等于三， o d 等于三， o a 等于一，那么 a、 d 也知道了啊，所以我们根据这个结论啊，三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a、 d， b， 那么我们得到， 我把这个再推一遍啊，有人可能不大熟练用起来那小三角形的 ac 边啊，比上大三角形的 ab 边，应该等于小三角形的 ab 边比上大三角形的 ab 边，所以得到 ab 方等于 ac 乘以 ad 啊， ac 啊，是，呃，刚刚有没求出来 ab， ab 是知道的啊，是可以求出来的。那 ad 呢？刚刚也也算出来了哈，那就可以算出 ac 了，那 c 点坐标就出来了 啊。第四种方法呢？是构造，等腰直角三角形，再去构造一个三垂直模型啊，我们借助这个四十五度的角，想到做一个高 那三角形 abd 啊，就是一个等于二直角三角形，然后再去构造一个三垂直过地点啊，做一个 ef 和 y 轴平行，再做一个 be 啊，和 xo 平行啊，这样，这个三角形，这是三垂直三角形， bde 就全等于三角形 d， a， f， 这个证明的过程很简单，我就不讲了啊啊，但是借助这个权杖好像不能直接算出哪些线段啊，我只能算出斜边，因为 ab 可以算出来， 那么这个等于二直角上写的 b， d 和 a， d 边可以算出来，但是另另外两个直角边不能直接算，那我射未知数，比如说我射这个边是 a， 那这个也是 a 啊啊， 那个，这，这个也是 a 矩形吗啊，然后 o a 等于一吗？那么 a f 就是 a 加一， a f 等于 d f c d f 也是哦，第一啊，第一也是 a 加一，然后再根据这条边是等于三的，这两个加起来啊，是等于 ob， 也就是 a 加一，再加 a 等于三，所以 a 等于一啊，结束 a 等于一 啊，算出这些边以后，那下面你要算这个，这个，这个什么要求？这个 c 点坐标就很好算了啊啊，这里方法非常多啊，我可以怎么样呢？我可以借助，比如说借助这个角啊，我看一下啊，借助这个角的正切值来算啊， 这角的正确值 b 第一的正确值是二分之一吧， a 等于一啊，这条边是二，所以这条边的正确值也是啊啊，直接放到哪个三角形我看一下啊，直接用这个角 d a， c， 他的正确值也是二分之一啊，可以直接算出来 啊，下面第五种方法是构造贡献三等角的模型啊，这个因为这个角是四十五度，所以呢，我过闭点啊，做一个平行线和 xo 啊，平行啊，然后呢，在这里做一个角四十五度的角， 让这个角也等于四十五度，这就是贡献三等角，三个相等的角，顶点在同一条线上，那我们可以推出三角形相似的啊，这个证明我简单说一下这两个三角形啊， abd 和这个三角形 cbe 啊， 首先他有两个角相等了四十五度角，然后呢，我可以借助外角定理我们看一下啊，这个大角角 abe 啊，是不是等于 这个四十五度的角，再加上这个角低 ab 的，根据外角定点啊，就标上角一嘛，而这个大角是不是又等于四十五度加角二的，所以角二就等于角一啊，很容易推出这两个三角形相似，然后把它的相似笔写出来啊， 右边三角形的 b 一边对应于左边三角形的 ad 边啊，等于右边三角形的 c 一边对于左边三角形的 bd 边，然后看看啊，哪些可以求呢？ ad 可求，因为这个四十五度的角啊，这个 ad 还是很好算的啊，我做一个垂直下来的话， ob 等于三，所以他等于三，这个等于二直角三角形呢， ad 就是三倍跟号二啊，这个是可求，然后 ce 也很好求啊， c e， 你做一个垂直，其实也是三倍更换二，一样的方法啊，那 bd 啊， bd 在哪里啊？ bd 也可以求， 因为你做垂直下来，这个是一，这个是三，所以比例就等于四啊，这三条边都可求，然后相似比就可以比出 b， b 比出来以后，同样的，哎，你这这个垂直下来的话，这是三，这是三，你算出 b 以后呢？这这个这条边啊， b 牙齿不就有了吗？不就等于 oc 吗？那 c 点多就出来了啊 啊。第六种方法就是借助线段 ab 的中垂线的解析式啊，因为 ab 啊啊，我们知道 a 点坐标， b 点坐标有，那么他中垂线的解析式是可以求出来的啊，就垂直平分线， 然后这个中垂线和 bc 的焦点啊，比如说屁点吧。 中垂线的解析是怎么求呢？由于垂直，那么这两条线呢， k 相乘等于负一，而直线 ab 的 k 等于三的啊，还记得吗？把 y 的三 x 加三啊，他的 k 等于三，所以他的中垂线的 k 啊，就是负三分之一，因为相乘要等于负一嘛，负三分之一个 x， 然后他的 b 怎么求呢？ 借助这个终点，这个终点是 ab 的终点，所以他的坐标可以求，然后再带进去啊，就可以把这个 b 给他算出来，然后解析式算出来以后啊，我就可以把这个他和 b 四的焦点批点坐标求出来啊， 我可以设，根据这个解析是来设屁点坐标，然后呢，根据 pb 方等于 p a 方啊，可以解除屁点坐标啊，然后 c 点也就跟着出来了哈， 写出屁点坐标以后，我可以怎么样啊？我可以很多方法啊，比如说我可以求 bp 的解析式，对吧？那 c 点坐标就有了， 好，第七种方法是借助三角形 abc 的外接圆啊，为什么想到做他的外接圆呢啊，圆圆 m 啊，因为这个角四十五度，那么我们根据圆珠角定理，那么这个角 amc 就是九十度吧 啊，而且他是一个等腰直角的小型，这个 m ac 啊，然后呢，我可以设 m 点的坐标啊， 我不是要求 c 点坐标吗？我把这些等于直角三角形的这个呃边长算出来，就可以求出了 c 点坐啊，或者我也可以设 c 点坐标，比如说 c 点坐标啊，假如是 a 豆零， 那么我就可以表示出 m 点坐标了啊，因为 m 点他是横坐标啊，这个点他是 ac 的终点嘛，所以就是二分之一个 ac 的横坐标啊， a a 点坐标是负一，豆零就二分之一减一啊，然后重坐标呢，应该是二分之一个 a 加一， 为啥呢啊？因为 ac 是 a 加一啊，那么 m h 应该是他的一半啊，然后我可以列方程来求解，根据 m a 等于 mb 啊，用两点之间的距离公式解除 a 啊。 第八种方法是套用一二三四五模型的结论啊，可能很多人拿到这道题就直接心算出来了，他知道这个结论，对吧？这个一模型啊，是这样的， 这个模型啊，一二三四五。什么叫一二三四五模型呢？就是若天气的阿尔法等于二分之一，天气的贝塔等于三分之一，这两个角啊，一个正确值二分之一个三分之一，所以这个一二三，那么得到什么结论呢？这两个 角的和是四十五度四五哎，所以我们把它系为一二三四五模型。嗯，由，由于这个角的正确直啊，角一吧，他是三分之一啊， 而大角是四十五度，所以呢，我们套结论很容易知道，这角二的增减值就是二分之一啊， 那这个证明的过程啊，这个一二三四五模型的证明啊，方法比较多，你可以放到那个网格中啊，还可以什么构造三垂直啊，放到这个构造矩形啊，这里我讲一个很容易理解的方法啊。 好，我们借助这个三四五的直角三角形，也可以正出来啊，这个这条边三，这条边是四啊，这条边是五，这个直角三角形，我把这条直角 延长出去啊，让这条边和斜边相等啊，也就是等于五啊，这样的话，在这个直角三角形这个角一啊，你去看一下天津的角一是不是等于四比三加五十八啊？四比八就是二分之一， 那同样的，我把另一条直角边加呃，延长出去，让这条边等于斜边五，那么看一下这个角二， 他的正确值是不是得三比上九就等于三分之一。所以啊，天界的角一点二分之一，天界角二等于三分之一，那这两个角加起来是多少度呢？我们发现角二是这个角的一半， 标上角就阿法吧啊，随便啊，角二是阿尔法的一半，为啥呢？因为这是一个等于二三角形啊，同样的角一呢，是这个贝塔的一半，也是等， 怎样这样行，顶角的外角啊，阿尔法加贝塔是九十度，所以角一加角二就是四十五度。 好，再看第九种方法运用两脚合叉的正确公式，这个公式真的是太强大了，对吧，强烈要求去记一下啊， 你知道这个公式的话呢，前面的一二三四五也可以套这个公式啊。天津的角 c o b o 啊，他是等于四十五度减去这个天降角 abo 啊，直接套用天津的四十五度是等于一天天，天津的角 abo 呢，是等于三分之一啊，直接套 好。第十种方法是依据互于两角的间隙时互为倒数去构造二倍角，互于两个角，他的间接时互为倒数，这个很简单，对吧？因为这个角 abo 标上角一和角二吧，这两。

家人们注意了啊，动脚问题一定是我们期上前末考试压轴必考题型，也是考场丢分的重灾区。很多孩子面对这样问题啊，无从下手，核心原因没有掌握这类题型的处理方法与技巧。今天刘老师一个视频让你通透。如何处理这样的问题，我们来看， 如图， o d 垂直于 o b， o e 是 角， b， o d 的 角平分线。好，这个角啊，是一个直角， o e 平分它，那意味着这个角和这个角都是四十五度。 角 a、 o e 等于八十五度，角 c o e 等于二十度。看到这一系列的角啊，很多孩子已经没有耐心再往下做了啊，我们今天呀，把这种动角问题转化成数轴上的动点问题，用三步法来轻松了解。第一，因为它是往这个方向旋转的，按逆时针方向， 也就这是旋转方向，那我不妨就去设它的逆时针方向，为什么方向呢？啊？正方向啊，我把 o b 啊这个点当做坐标原点，因为它是度数问题。我假设这是零度啊，这是奇数点，那么 b， o e 等于四十五度，那么 o e 这条射线所在的度数应该是什么？ 四十五度。角 c、 o e 等于二十度，那么四十五度，再往正方向加二十度，那 o c 所在这条射线应该是什么？六十五度好， o d 的 话，角 b、 o e 是 九十度，那 o d 所在的射线，我们就是记作九十度，那 a、 o e 一 共是八十五度， a、 o e 是 八十五，八十五，再加四十五，所以 o 这条射线我们记错了什么？一百三十度。好，接下来啊，我们第一步去表射线，表示谁呢？我们来看一下啊，他说了，呃，角 c o e c o e 这个角 绕着点 o， 每秒钟五度啊，每秒钟转五度，按逆时针方向逆时针方向旋转 t 秒，说 t 为合值时，角 a o c 等于角 d o e a， o c 等于角 d o e。 同学们注意，这个 o a 是 不动的，这个 o d e 也是不动的。我们旋转的是什么？ c o e 是 不是好，所以我们第一步去表射线， 表示谁呢？我们首先去表示出什么 oc， 对 吧？因为这两条线属于什么？动射线，是不是？我们第一步表射线？ o c 的 话是从起始点，也就是六十五度，跟竖轴动点是一样的啊，起始点加减，它移动的什么距离，是不是因为它是朝着逆时针方向旋转，也就正方向，所以我们是什么加好，旋转多少秒呢？旋转 t 秒好，一秒钟转五度，也就旋转了五度 t 是 五度 t 好， 五度 t 好，这是 o c 最终达到的一个位置。我们再来看一下，还有 o e， 因为旋转的是角 c o e 是 吧？ c o e， o c 旋转了还要旋转什么？ o e o e 的 话，其实点是四十五度，对吧？它也旋转了什么？ 五度 t 是 五度 t 好， 也旋转了 t 秒，一秒钟是五度，这是 o e 最终位置。那剩下的第二步，我们就来求夹角， 求谁的夹角呢？我们来看一下啊，角，我们最重要研究的是角 a o c， 我 们来看一下 a o c 啊，刘老师说了， o a 是 不动的，那 o c 的 话，因为是逆时针旋转出使的话，是在 o a 的 右侧，但是随着时间的流逝啊，它待会儿会旋转到 o a 的 什么 左侧，是不是也就是 o c 和 o a， o a 一 开始大， o c 小， 但是当 o c 超过 o a 的 时候， o c 大 了， o a 是 不是小了？好，这里我们就要用到了，已知大小大减小，未知大小 差，绝对要做差，加什么绝对值。所以 o a 和 o c 啊，所在的度数的大小我们是未知的，是不是因为 o c 是 运动的 好位置大小，我们要做叉加什么绝对值？所以啊，讲 a o c， 我 们就可以表示成它的度数，就可以拿大减小哦。位置大小叫什么？叉，绝对做叉，谁减谁无所谓啊，也就拿一百三十度减去 o c 啊，也就是六十五度加上 五度 t， 加绝对值啊，这是角 o c， 我 们把它化解一下啊，化解一下。呃，一百三减六十五，也就等于六十五，再减去五度 t 啊，加绝对值来，再来表示一下角 d， o c。 我 们再来看下 d， o e， o d 是 不动的， o e 一 开始比 o d 小， 但是也随着旋转啊，是不是也可能超过 o d 小， 但是也随着旋转啊，是不是也可能超过 o d 值啊？我们就拿 o d 绝对值九十度 去减去 o e， 对 吧？ d o e 啊， o d 一 开始比 o e 大， 然后旋转过去之后 o e 大， o d 小。 位置大小做差加绝对值九十度减去括号四十五度 加五度 t。 好， 我们化简一下，等于绝对值四十五度减去五度 t， 是 不是好？第三步呢？我们就到用到列方程，是不是解绝对值方程叫列方程来出角了啊， 好求替了，好练方程来求时间替啊，怎么练呢？因为它最终要保持两个角是不是相等哦，我们刚刚都已经表示出来了， a o c 是 六十五度减去五度 t 要等于角 d o e， d o e 的 话是绝对值，四十五度减去五周 t 是 不是？好，我们来解这个绝对值方程。那这里就涉及到了 a 的 绝对值等于 b 的 绝对值，所以这个 a 啊，有可能等于 b， a 还有可能等于什么？ b 负比两个数要么相等，要么互为什么相等数？所以第一种就是六十五度 减去五度 t 有 可能等于四十五度，减去什么五度 t。 第二种的话就是六十五度减去五度 t 是 等于它的什么数？相反数，相反数，加个符号也就掉换两个数位置等于五度 t 减去什么 四十五度，我们来解一下啊，由它我们看一下 t 能不能解出来啊。两边都有减五度 t 是 不是消掉了，发现六十五度等于四十五度 t 是 什么？无解的 是不是啊？那还有第二个啊，呃，减五度移过来等于十度题，减四十五移过来等于一百一十度， 所以减得啊， t 等于什么？十一是不是我们再带进来？这里有 t 的 范围，十一在不在零和十三之间是不是存在？好，所以他满足什么？其综上所述， 当 t 为十一时，角 a、 o， c 等于角什么？ d、 o， e， 你 学会了吗？这就是三步法，解决动角问题，一定要把它给弄懂了。好，关注李老师，学习路上不迷路！

这道题有两种解法，我们先讲八年级应该怎么做，然后接下来再说九年级的孩子又应该怎么做好？我们来看一下这样的一道题，在平面直角坐标系 x o y 中有这样的一条直线 ab， 它的解集式呢是 y 等于二， x 减一， 与 x 轴相交于 a 点，与 y 轴相交于 b 点，我们把这条直线呢，让它以 b 为旋转中心，顺时针旋转四十五度，让它和 x 轴的正半轴相交于第三个点，是 c， 对 吧？然后我们的问题是什么？让我们求这个 bc 直线的解析式是什么？当我们拿到这个题之后，其实大家去想 这个 y 等于二， x 减一，是这个直线 a b 的 解析式，那我们就能知道这个 a 点的坐标呢，应该是二分之一到零，这个 b 点的坐标应该是零到负一， 我们看到这个位置有一个四十五度，我们会想到什么？是不是会想到外三垂，也就是说一线三垂直这样的一个模型。所以呢，我们包含这个四十五度，构造一个等腰直角三角形。比如说过 a 点做 a d， 然后它是怎么的垂直？ a b 交 b c 这条直线于一个点 d， 然后过 d 点呢？向这个 s 轴做垂线，做垂线，这个垂足我们给他设一个叫 e， ok 吗？ 然后大家看这个图，这个三角形和这个三角形，它俩是不是就构成了一千三垂直的这样的一个全等的形式，对不对？我们能不能知道 d 点的这个坐标？当然是可以的，你看它的横坐标应该是多少？ 应该是这个位置应该是二分之一，这个是一，这个是一，这个是二分之一，最低的横坐标应该是二分之一，加一应该等于二分之三，中坐标应该是啊，它应该是负的二分之一，对不对？他在第四项线， 好了，那我们知道了地点坐标了， bc 这个直线的解析式我们应该怎么去看呢？是不是应该是 y 等于？比如说我车程是 k， x 减一，可以，对不对？把这个点往里带重，坐标应该是负二分之一，横坐标是二分之三，二分之三 x， 然后减一， 这样的话呢，我们算一下，应该是二分之一等于二分之三 x， x 呢？应该等于的是三分之一，对不对？所以我们的这个 b c 的 解式呢，就应该是 y 等于 三分之一， x 减一，这样的话，这个思路我们就完事了。当然这个思路呢，是我们八年级的同学应该会的一个思路。如果我们是九年级的同学，我们了解了一二三四五模型之后，这个题其实就会变得非常简单。为什么？这么说来，大家看， 比如说我设这个角是 r 发，那么这个弹进的 r 发是不是就应该等于的是二分之一？除以一 就应该等于二分之一，对不对？好了，那弹进的 r 发是二分之一，然后这个角是四十五度，我们要的是不是 bc 这条直线呢？它的这个所谓的斜率或者叫倾斜程度，对不对？那我们构造一个角，就是过 b 的， 这么做 垂直于什么？垂直于 y 轴这个位置，过 c 点，然后再垂直于刚才这条弧线，比如说在这个位置我们取一个点，叫什么叫 q。 ok， 好 来，那大家思考一个问题，那比如说我设这个角是贝特，对不对？看这个图，那是不是会有 r 加贝特加上四十五度应该等于九十度 对不对？那 r 加贝特应该等于多少？是不是就应该是四十五度？好了，那我们这里有弹进它 r， 它 r 应该等于二分之一， r 加贝特等于四十五度， 它是不是弹进的被它一定得等于三分之一，这就是我们说的叫什么？叫一二三四五模型对不对？好了，那大家能知道这个东西弹进的被它等于三分之一，那你来看是不是我整个这个 b c 它的斜率就应该是三分之一，如果 b c 的 斜率是三分之一的话， 那它要过零度负一这个点。所以 b c 的 解式是不就应该是 y 等于三分之一 x 减一，和刚才我们说八年级的 y 三分之一 x 减一和最终的结论。 好了， ok， 这就是八年级的一个解体思路。这是呢，九年级的一个解体思路。希望呢咱们同学都能把它学会，我们下个视频再见。拜拜。