八年级下册数学几何装饰图案

好，我们来看到四边形的探索与发现，这里是用多边形来镶嵌平面，首先你要知道什么叫做镶嵌平面， 那在生活当中呢，你应该见过贴瓷砖，无论是贴地面还是贴墙面，对吧？它都会把整个面覆盖起来， 所以从数学的角度来看，就是用一些不重叠摆放的多边形把这个平面完全覆盖，那么这类问题就叫做平面镶嵌，知道吧？好，那么现在我们就来探讨一下多边形是否能够镶嵌平面， 那你不能说两块砖贴起来，对吧？你这两块砖贴起来，你中间露一个这么大的口子，那肯定是不行的，知道吧？好， 来，那么它用的是多边形里面的什么特征呢？这个跟多边形的这个角有关系，你看你分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形和正六边形的纸片。如果其中一种多边形镶嵌平面， 那么有哪几种正多边形可以镶嵌平面呢？你看在这里面，这个正方形它是可以镶嵌平面的，可以让 这些砖的连接严丝合缝。为什么他的每一个角都是九十度？你看一下 这个角是直角，这里是九十度，这个角是直角九十度，这个角是直角，九十度，九十度，四个九十度加起来会等于三百六十度，你看是不是正好就围起来了？你比如说这里来一个八十度，那中间不就漏了一个十度的缝隙吗？对不对？所以我们的目的就是要把 这个多边形的角拼起来，正好能够拼起，拼成三百六十度就可以了。那你看一下正三角形，正三角形呢？它的一个内角 是多少度？它的一个内角是六十度，对吧？三角形内角和是一百八十度，除以三就等于六十，而三百六十度 或是六十度乘上六，是可以等于三百六十度的，所以它是可以的，所以正三角形是可以的。而正方形就不用多说了，正方形它的一个内角 是等于九十度的，对不对？那几乘九十度会等于三百六十度啊？四乘九十度，所以我们需要四个九十度就可以得到三百六十度，你看它可以凑出一个三百六十度，所以正方形也是可以的。那正五边形呢？我们算一下 它的一个内角，我们算一下五边形，五减二乘上一百八十度，再除以五，它的一个内角等于一百零八度。你这个一百零八度无论乘以几，它都不会等于三百六十度，知道吗？你拿三百六十度去除 三百六十度去除以一百零八度，对吧？不能整除， 不能整除。也就是说你拿正五边形去拼出一个角来的话，你拼不出来，知道吗？你拼不出来，所以正五边形它就不行。再来看正六边形，正六边形它的一个内角 是多少？是六减二乘上一百八十度，再除以六， 它的内角一个内角是一百二十度的，而这个一百二十度乘上三，是会等于三百六十度的。所以正六边形，你拿三个正六边形出来，我大概画一下啊，我画的不是很标准，比如说拿三个正六边形，这样这样这样这样这样好， 他就可以正好拼起来。看到没有？这里每一个角都是一百二十度，他就可以拼出一个这个三百六十度，他就可以凑起来，所以正六边形也是可以的，知道吗？他这里说哪几种正多边形可以镶嵌平面，那么我们就说正三角形、 正方形以及正六边形， 这三种是可以的。第二个它说的是用两种正多边形也可以镶嵌平面。比如说这个图二， 它这里是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子。你看这里是三角形，这里是正方形，它围成一个角需要两个三角形，不对，是两个正方形以及三个三角形，看到没有？这里是九十度、九十度、 六十度、六十度、六十度、六九十度、九十度，两个九十度加起来等于一百八十度，三个六十度加起来也等于一百八十度，加起来等于三百六十度，凑出来了这个三百六十度，就可以说这个正三角形和正方形是可以镶嵌平面的，对不对？他说 你能发现其他的两种正多边形镶嵌平面的例子吗？那我们也写两种，不过这里写不下了，我们往下写啊，我把这个题目复制到这里来了，他这里你看用两种正多边形也可以镶嵌平面，镶嵌平面叫我们举几个例子出来。 正多边形的图不，不是很好画啊，咱们就直接按数据算好吧。我先说第一种，第一种是正三角形 和正六边形， 那么正三角形它的一个内角是六十度的，而正六边形它的一个内角 它是等于多少度？是等于一百二十度的，你可以自己算一下啊，一百二十度的， 那么我们这里就可以用什么，就可以用两个正三角形和两个正六边形凑出一个三百六十度，对吧？六十度乘上二，加上一百二十度乘上二，就会等于 三百六十度。啊，这个正六边形的话，我大概画一下啊，大概画一下，画的不是特别好，大家见谅啊。 可以看一下，这个角是一百二十度，这个角是一百二十度，这个角是六十度，这个角也是六十度，你看它就镶嵌成了一个三百六十度，所以正三角形和正六边形是可以的，对吧？好，我这里再说第二种情况。第二种的话，我们可以拿正方形 和正八边形。好，我给你算一下。首先这个正方形它的一个内角 是等于九十度的，这个都是常用的，对不对？正八边形一个内角，我再给大家算一下，等于八减二乘上一百八十度，对不对？再除以八，它的一个内角是多少？ 是一百三十五度。那九十度和一百三十五度呢？你可以拿一个九十度加上两个 一百三十五度，两个一百三十五度是二百七十度，二百七十度加九十度也会等于三百六十度。 好，这里我也稍微画一下两个正八边形，他的内角和内角是一百三十五度，这里也是一百三十五度，你看他是不是就留了一个九十度出来，我们再根据这个画一个正方形， 那正方形就在这里体现出来了，对不对？所以两个八边形，正八边形加一个正方形，就可以镶嵌出一个三百六十度来，对吧？好，其实还有很多啊，我们再说第三个啊，比如说正三角形 和什么呢？和正十二边形， 正三角形它的一个内角是等于六十度的正十二边形，正它的一个内角，我们算一下， 等于十二减二，乘上一百八十度，再除以十二，它的每个内角就等于一百五十度， 而一个六十度加上两个一百五十度，也会等于三百六十度，你看是不是也凑出来了，知道吧？这个图我就不画了。好吧，类似的只是说这个正十二边形太难画了啊，所以我就不画了。所以这里有三组，对吧？当然也有其他组合，看你能不能想得到。 第三个，他问，我们任意剪出一些形状和大小相同的三角形纸板，试着拼一拼他们能不能镶嵌平面？那如果可以的话，那么这个四边形行不行呢？哎，这里写不下，我们直接往下，我复制到下面来了，你看 能不能镶嵌成功，就是看他们几个角加在一起能不能凑出三百六十度来，对不对？好，我这里复制一个图， 我先把这个图复制出来，然后我们画画一个和这个图一一模一样大小的三角形，那完全重合， 那是不是一模一样大，对不对？好，我在这几个角上标上角一角二、角三，你记住这个三角形里面的，我标上啊，这个是角一角二、角三角一，加角二，加角三， 是等于一百八十度的，对不对？好，我现在把这个三角形拎出来，我复制几个呢？我复制六个，一个、两个、三个，四个， 五个，六个，够了，对不对？好，咱们现在就拼，咱们现在就拼，你把一个。好，我把这个角二拼过来，看好，咱们旋转它，把它旋转在同一边上， 它是一样大的，所以旋转过来，你让它重合 好，再把第二个图旋转拼过来， 这里可以直接过来拼，看到没有？好，这里角一、角二、角三，加起来它就是个平角了，你再把第三个图拼过来， 再把第四个图拼过来， 这好像可以不用动，再把最后一个图拼过来，这个就倒过来了， 看到没有？镶嵌成功了，这样的话它就镶嵌成功了。这里两个角一，两个角二，两个角三，对不对？ 两个角一加上角二加上角三，它会等于二乘一百八十度，等于三百六十度，所以它能不能镶嵌？能镶嵌三角形，可以，所以我们就说能， 对吧？好，那这个四边形呢？相同的操作，再来一遍啊，一样的，你现在把它描出来， 其它的原理就是凑三百六十度，而四边形的四个角， 四个内角加起来就三百六十度，对不对？我们同样的，在这里标上角四角五 角六、角七，好，这样这里也是角四角五角六、 角七，好，这个需要四个图，我们只需要复制三个，一个、两个，三个，好，我就复制三个，就复制三个，那我们就往上面这个图上靠，好，靠，这里，那相同的边 凑过来，对不对？好，再把这个凑过来， 你再把这个转一下，凑过来，看到没有？ 就正好可以。角四角五、角六、角七，加起来正好是三百六十度，对吧？好，这里是角四加角五 加角六加角七，等于三百六十度，所以你看这里的角四加角五加角六加角七，等于三百六十度，所以它也是可以镶嵌的，所以它能镶嵌就 ok 了。 最后他问我们，通过以上实验，你能发现用多边形镶嵌平面需要满足的条件吗？哪些实验呢？就这些，对吧？这个实验， 那这个图二这个实验以及图三这个实验，对吧？好，我们把这个规律总结一下，不就是凑三百六十度吗？对不对？咱们写一下， 判断一种多边形是否能镶嵌为平面，它的核心就是看它的内角的度数能否这个整除三百六十度。 第二个呢？就是多边形镶嵌平面的条件就是边长匹配，边缘对齐，顶点，这个顶点内角和三百六十度确保没有空隙，没有重叠就 ok 了。

大家好，我们这个视频来讲一下八年级下册七十五页的菱形的一个练习。 呃，一张三角形纸片，如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使角 a 是 菱形，一个内角 和点 a 相对的顶点在边 b 区上，并说明所得图形是菱形的理由，这个我们要 要从菱形的性质判定出手啊，那也就是说， 呃，点 a 的 顶点在 b、 c 上，说明，假如这里某个点和点 a 的 连线，这条线就是菱形的一条对角线，那根据 菱形的每条对角线平分一组对角，那么这个折痕呢，就是角 a 的 平分线 啊，所以我们我们就可以折第一次了啊，第一次是这样折的啊，然后得掉这条折痕，我们恢复看一下啊， 得到了这一条折痕就是角 a 的 平分线啊，因为呃，顶 d 也是另一个顶点啊，顶顶，顶 d 和顶 a 是 相对的顶点，那两个顶点连接，那这条线就是对角线， 菱形的每条对角线平分一组对角，这得呃一个顶点，另外还有两个顶点啊， 那两个顶点，那怎么办呢？我们又根据菱形 对角线是互相垂直的，而且互相平分啊，所以另一条对角线肯定是和 a、 d 互相垂直平分， 是吧？所以第二次折的时候，点点 a 肯定和点 d 是 重合的，而且从从那个 a、 d 的 中点，那也就是说相当做相当于做 a、 d 的 垂直平分线 啊，那就可以了啊，所以我们折第二次，应该是这样的，折第二次，对吧？那折痕就是 e、 f 了啊，我们把它恢复啊，恢复啊， 第第一次则是这样啊，然后呢，你看看，你看，点点 e 和点 f 是 重合的，点 b 呢？到 i、 c 上了啊， 对吧？第二次则，这样的啊， 所以这样一微负，我们就就马上就能能够看到 a、 d 和 e、 f 是 垂直且互相平分， 所以，所以就得到四边形 a、 e、 d、 f 是 菱形。 当然我们呃现在得了两条边，还有两条边，所以要还要折第三次，第三次就是，呃，这样折了，这一条折横是第一 啊，这第三次第四次折，应该是这样折的啊，这个第三第四折呢，是很容易的来恢复。 理由， 我们由折叠可以知道， o a 等于 o d， o， e 等于 o f， 所以 得四边形 a、 e、 d、 f 是 平行边形，理由是对角线相互平分的四边形是平行边形。 由折叠再知， a、 d 和 a、 d 和 e、 f 是 垂直的，所以得到平行四边形 a、 e、 d、 f 是 菱形。理由是对角线互相垂直的 平行四边形是菱形。我们从头再演演示一遍，第一次折，这样啊，第一次折 第二次折 第三次则， 第四次则 啊，就得到了啊，当然连续则也可以。你不回复那，那只能这样，第一次， 第二次， 第二次啊，第三次啊，这样可能很难看啊，可能有些看不懂啊 啊，回复啊， 所以我们折一次，恢复一次，可能看的比较清楚一点啊，再看一次啊，体会一下啊。折横 a、 d， 第二次折 折横 e、 f， 第三次折 折横 d， e， 第四次 折，折横啊， d、 f。 好 了，谢谢大家。

同学们好，上一期视频夏老师给大家留了一道天一试卷填空压轴题，不少同学都做出来了，还提到了刮豆模型。刮豆模型确实是动点问题里的必考题型，今天夏老师就用一分钟时间给大家讲透刮豆模型到底是什么，还不清楚的同学一定要听好了。 刮豆模型简单概括来说就是两点一加角，两点指的是东点，一加角指的是固定角。比如说 a、 p、 q， 这里的 p 和 q 都是动点，这 q 会随着 p 点的运动而运动，那我们就把 p 叫做主动点 q 叫做被动点，这里的角 a 是 一个固定角，不变，那当点 p 运动到这个位置的时候，点 q 大 概运动到这个位置。 那如何确定点 p 和点 q 的 运动轨迹？我们说如果点 p 的 运动轨迹是一条直线，那么点 q 的 运动轨迹也是一条直线。 因为刮豆模型的由来就是种瓜得瓜，种豆得豆，所以 p 点是怎么运动的，那 q 点也是相对应的，怎么运动？那接下来我们就通过一道例题来实践一下。 已知在这个矩形当中， a b 等于五， bc 等于五倍的根号。三点 p 是 b c 上的一个动点三角形， p， a q 是 等边三角形，求 d q 的 最小值。点的运动轨迹是一条直线， 那么 q 是 随着点 p 的 运动而运动的，因此我们把 p 叫做主动点， q 叫做被动点，那肯定是先要把 q 的 运动轨迹求出来的。 那怎么去求 q 的 运动轨迹？我们可以使 p 点的位置特殊化，可以让它和点 b、 点 c 重合，那么找到两个位置对应的，我们就可以得到两个 q 点的位置， 通过两点确定一条直线，我们就可以得到 q 的 运动轨迹，那我们想要让这个等边三角形画的更准确一些，要求同学们对数字有一定的敏感程度。这边提到了两条边五和五倍根号三， 那也就是一比根号三的关系。我们在一个特殊三角形，也就是三六九直角三角形中，我们会有三边比，是一比根号三比二。因此当我们去连接这个矩形的对角线的时候，那这里就出现了三六九直角三角形 abc 以及 adc。 那么这个角 b， a、 c 是 不是就是六十度啊？因此我们画的点 q， 它确切的位置应该是在 b、 d 和 a、 c 的 交点处， 这个位置就是点 q， 那 我们找到了第一个位置，那第二个位置呢？就是当 p 点和点 c 重合的时候，因为这个角 a、 c、 d 也是六十度，因此这个三角形我们画出来它应该正好是在 c、 d 的 延长线上， 并且我们知道 a、 d， c 是 九十度，那通过三线合一，我们可以知道 d 是 c d 的 中点啊，连接 a、 q 二，那得到了一个大的等边三角形 a、 q 二 c， 那 么我们把 q 一 和 q 二的轨迹连接起来， 就是这样的一条直线，要求 d q 的 最小值，那点到一条线上的最小值，很明显就是过点 b 做 q 一 q 二的垂线，垂线段最短，那我们就找到了这个 q 点的位置 d q 我 们怎么去求它的长度呢？我们 d 是 q 二 c 的 中点，由于这边我们做的是垂线，通过三线合一，我们知道这里也是垂直的，因此 d q 是 三角形 q 二 q e c 的 中位线，因此 d q 就 等于二分之一， c q 一 等于二点五。这个就是一道刮动模型的典型应用，同学们听懂了吗？

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

这是一道仅用五刻度的直尺进行作图的一道八年级作图题，很多同学不会做，那么现在作图题是近几年考试的热点。好，我们来看一下这道题。 在图一中的菱形 a、 b、 c、 d 的 边找一点 f 作线段， b、 f 等于底一， 那么说是在菱形的边上，他并没有说是在哪条边上，而且我们必须是用的是无刻度的智齿， 那么既然是用无刻度的支持，所以我们只能通过连线来找出相应的点，那么这里面用的知识点就比较多。首先我们先用一个全等法来找 b， f 等于 d、 e， 首先我们连接 i、 c， 这时候菱形 abc 的 对角线 i、 c 和 d、 e 有 一个交点，然后我连接 b 和这个点交点， 和 a、 d 相交于一点，这一点就是 f， 那 么这个 b， f 就是 等于 d、 e 的。 那么朋友们，为什么我们可以通过证明三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 b、 f 来说明 d、 e 和 b、 f 相同的，那证明的过程我就不再追溯了 啊。这是一个方法，另外一个方法就是我们可以构建平行四边形，就是在 cd 边上找一点 f， 在 cd 的 边上找一点 f， 这时候 beef 是 平行四边形，这时候 bf 就 等于 d、 e 了，这也是很多同学想采用的方法。 那么我们怎么找到 b、 f 和 d、 e 平行？好，我们的方法是，首先连接 i、 c， 再连接 b、 d， 那 这时候 i、 c 和 b、 d 有 一个交点 这点，那么我再连接 e 和这个交点 并延长，这时候它就会和 c、 d 有 一个交点 f， 这时候我们再连接 b、 f， 那 么 b、 f 就 等于 d。 一， 此时的 b、 f 也是等于 d 的， 我们同学们想一想，你可不可以证明这个 b f 是 等于 d 的 呢？ 那么我们可以证明 d b b e， d f 是 平行四边形， 怎么来证明它是平行四边形？特别客户想一想。这里面我就不讲了啊，就不讲了。好，第二问，在图二中的菱形 a b c d 的 边找点 f g， 使 b f 等于 b g， b f 等于 b g 等于 d e， 并作出等腰三角形 b f g。 那 么第二位恰好就是运用了我们刚刚讲的这两种方法，那么这个是 b f， 那 么我这种找的话就是 b g 了，所以我在连接这个点， 那么这个位置就是 g 的 位置。根据我们刚才讲的电路方法，我们知道 b g 是 等于 d e 的， b f 也等于 d e 的， 所以 b g 等于 b f， 那 么三角形 b f g 一定是一个等腰三角形。 那么这是八年级的一道特殊四边形当中用无刻度知识来进行作图的一个一道题比较好。好，这道题就分享到这里，朋友们再见！

今天我们再来看一道八年级的尺规作图题，那么现在新教材之后，七年级和八年级经常好考尺 规作图，不写做法，但要保留作图痕迹。如图，四边形 a、 b、 c、 d 在 边 a、 d 上求作一点 e 在 边 bc 上求作一点 f 在边 c、 d 上求作一点 g， 使四边形 e、 f、 c、 d 为菱形，让我们做的是菱形。那么这道题的尺规作图的依据就是运用菱形的对角线 三个性质，一、互相垂直。二、互相 平分。三、平分对角。 那么同门想一想，首先 e、 f、 c、 d、 e 点我们是要保留的啊， e 点是要保留的啊， c 点是要保留的， e 点在 a、 d 上， f 在 b、 c 上， 那么 g 点是在 c、 d 上。大概是这样一个图形啊，大概是这样一个 菱形啊，大概这样一个菱形的位置。那么我们首先怎么要考虑是怎么运用 c 点来找到 e 点？ 很显然，我们用的是对角线平分，没读对角。所以这道题的第一步先找到 e 点，那么是作角 c 的 角平分线， 那么脚碎的脚皮中线， 那么我们说脚碎的脚皮中线和 a、 d 的 交点就一定是一点的位置。因为菱形对角线平分，每一组对角有 c 点，我们可以很容易找到一点的位置。 那么我们再怎么去找 f 和 g 的 位置，那么 f 和 g 是 菱形的另外一条对角线，所以我们利用它们对角线垂直平分 这两个性质来做，所以那个 f、 g 肯定是要垂直平分 c、 e。 所以 第二步我们只要做出 c、 e 的 垂直平分线就可以了。 那么 c、 e 平面和 bc 的 交点就是 f 的 位置，和 cd 交点就是 g 的 位置，最后我们再连接 ef 和 eg， 那 么四边形 ef， c， g 就是 让我们做的菱形。 好这道事物做头题运用的就是菱形的对角线，它的三个性质来进行做头的，你学会了没有？好，这道题就讲到这里，同城再见。

提到最值问题，对于初二的学生来说是一个重难点，同样也是中考的高频考点，他之所以难，是需要在动态化途径中去找出相关的最大最小值问题， 而对于百分之九十的学生来说，他缺少解决最值的基本方法，那就是洞中找静，那么静的话就是不变量。 而梯子模型是洞中找镜最经典的基本模型。有这样一个梯子，靠在这样一个墙上，随着梯子 a、 b 的 不断滑动，这里面我需要找出里面所存在的不变量。 我们来观察梯子在滑动过程之中，那么梯子的长度 ab 呢，是不会发生改变的，所以第一个不变量就是 ab， 第二个就是三角形 a， o b 大 小虽然在变化，但是呢，它始终是一个直角三角形，它的形状是不发生变化的， 那么将两者进行结合，就很容易想到一个重要的定律，那就是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以呢，此时取 a b 的 中点，如果是 m 的 情况下，当我们去连接 o m， 所以 此时 o m 始终是等于二分之一倍的 ab， 既然 ab 不 发生变化，所以呢， o m 始终也是不变的，这就是我们动中角不变量所隐含的所有相关的点。 我们利用这样一个原理来解决上面这个问题，如图所示，角 m o n 等于九十度，这是一个直角矩形 abcd， 它的顶点 ab 分 别在 o、 m、 o、 n 上面， 当 b 点在边， o a 上运动过程之中，那比如说 b 往 o 靠近，那么 a 呢？就往上走， 然后呢，矩形 abcd， 它的形状始终保持不变，并且满足 ab 长度始终是等于十的， 那么 bc 始终是等于四的。在运动过程之中，点 d 到点 o 的 最大距离是多少？ 随着 ab 的 发生变化，那么整个矩形它的位置会发生变化，那么点 d 呢？也会出现运动，那么运动过程之中让求 o d 的 最大值是多少？ 那么整个运动过程之中， ab 的 长度始终是固定的三角形 a， o b 始终是一个直角三角形，所以第一想法，我要取斜边的中点， 这是个 m 的 情况下，那么此时 o m 始终是个定值，根据斜边的中线等于斜边的一半，它始终等于二分之一， ab 它是等于五的。 然后呢，再去连接 dm， 你 可以看到 dm 始终也是个定值，为什么？因为 dm 处在直角三角形 a， dm 之中，虽然你的位置发生改变，但你的形状没有发生改变，所以 dm 可以 用勾股定律求出， 它是等于根号下 ad 的 平方去加上 am 的 平方， ad 的 话，它是等于四的，所以是四的平方去加上 am 是 五，那就是五的平方，结果等于根号下四十一。 所以呢， o m 是 个定值， dm 也是个定值，让求的是 o d 的 最大值是多少，这里面是有三个点之间的关系， 那么很明显，两点之间线段最短，那么此时的 o d 它一定是小于 dm， 加上 o m 能不能等于？当然可以，等于，什么情况下等于？当三点共线的情况下，也就是 m 点处在 o d 和 ab 的 交点位置的时候，此时呢，会产生等于号的情况， 所以呢，就会得到 o d， 它是小于等于 o m 去加上 dm 的 情况，那么 o m 加 dm 是 一个定值，它是等于 五去加上根号下四十一，也就是说 o d 它是小于等于五加上根号四十一，那么就说明 o d 的 最大值就是五加根号四十一， 这就是我们 t 子模型相关的一个逻辑和原理，那么你需要通过 t 子模型的点去找到如何去做辅助线，如何去产生这样一个最大问题。

咱们初中数学几何辅助线比较难画的，肯定有旋转啊，这个礼拜八年级周末课，我们就要研究一下什么时候需要构造旋转怎么构造啊？那构造之后还有哪些细节要注意啊？那说到难画啊，有的小孩肯定是不知道什么时候该画，他不知道这个特征 啊，但实际上，呃，构造旋转啊，他也特别明显啊，就是看到这个共点等线啊。那什么叫共点等线啊，就是有两条一样的线段啊，比如说这个等边三角形啊， ab 等于 ac， 那 这个 a 点就是共点啊，所以这就是一个很明显的一个特征啊， 就这样的啊，但是啊，等边三角形，他这种情况有三组啊，那就是以 b 为攻点，还有以 c 为攻点啊，所以像这种这种图形，这种特征呢，咱们有六种画辅助线的方法啊，那究竟用哪种的话，还是在结合题目中的条件啊，咱们看一下，这个 a 点叫 a 点，咱们可以把这个，嗯， 这个右边这个 a 得 c 啊，绕着这个 a 点啊，然后转六十度啊，变到这个三角形啊，这个位置啊，然后也可以啊，把左边这个 a b 得啊，给它转六十度，转到这个位置啊，那你要是以这个 b 为共点的话，咱们可以把下面这个给它转到上面 啊，同样也可以把上面这个转到下面啊，那以 c 为共点的话，也是同理啊，所以这个辅助线啊，他的基本的画法咱们要掌握啊，那做题的时候，他往往会给你呃一个等边三角形，这样的话，这个辅助线的画法会少一点啊，或者是仅仅给你呃一组线段 相等，然后这个线段绕着某一个点转着多少度啊？这种特征啊，只要是共点等线，你别管它是什么形式的啊，咱们都可以去构造旋转啊。那这个辅助线咱们就能画了啊。那咱们这节课啊，除了要掌握这个基本的 这个画法之外啊，咱们还要通过几个咱们往年考过的真题去进一步巩固啊。嗯，我准备了三道题啊，那如果咱们这一刻把这三道题给他研究明白，我相信啊，咱们在考试啊，就不会一点失误都没有啊，加油。

八下数学最难的十六个几何模型全部吃透，稳进班级前三。八年级数学十六大几何模型汇总，一、中点模型背长中线背长一边构造、中位线构造三线合一构造，斜边中线二角平分线模型三、对称半角模型四、旋转半角模型五、自旋转模型六、手拉手模型 七、将军仪马集合对直模型八、基本相似模型九、一线三等角模型十、手拉手相似十一对角互补模型十二、角度相关模型十四角平分模型完整和分享。

要想成绩好，天天听我讲 半年级数学下册数学小册子的第十五页纸第三题，两个城镇 a、 b 与两条公路 o、 c、 o d 的 位置如图所示，其中 o c 是 东西走向的公路。 好，这里的图在这个 o c 东西左右啊， o d， o c 是 公路， a、 b 是 两个什么呢？两个城镇啊，这个在 o d 的 两边。 好，继续我们看图，现在电信部门需要在点 e 处修一个，这哪来的点 e 呢？修建一个信号发射塔， 要求发射塔到哪里呢？在角 c、 o d 的 内部，并且到城镇的距离相等，到 ab 的 距离相等，并且到公路的距离啊，也相等。那么点 e 应该写在哪里？请在图中用尺规作图，找出符合要求的点 e， 不 写做法，保留痕迹。 好，对于这里呢，我们未来都是这样的，不写做法，保留痕迹。现在对于这个图，刚才说到 ab 的 距离要相等，所以我们现在怎么做呢？我们现在把 ab 可连可不连，其实连起来哈，为了说明方便 啊，我们做 ab 的 垂直平分线。当然呢，题目上也说到角的平行线，我先把角的平行做出来，再来做中垂线啊。 角的边以点 o 为心，以任意长为半径作弧，再分别以这个两个角的 o 为心，以大二分之一两点的长度为半径作弧，对吧？这个加入一点好，现在我们看到过这里这个点，这里他们的加点和这里的这个点 做一条射线啊，这就是角平分线，那就是那个点 e 应该在这条线上。刚才我们说到 a、 b 的 距离相等，所以我们以点 a， 点 b 为圆心，以大于二分之 a、 b 的 长为半径做弧， 关键是这两弧的焦点要找出来中间，你说这个东西要不要做无所谓了，我们只是把这个两个两点确定一条直线 啊，这个是 ab 的 中垂线，好，慢一点画好啊，好了，他们的加点 e。 好， 这个图形它的字母痕迹，但是我的要求呢，还要写个结果点 e 啊，写在这里，既为所求，既为所作都可以，你就简单的写一下就行了。啊。好，我们看到第四题在刚才的做图题啊，有人 有的同学这个连圆规都没有，如果有的家长刷到我，你一定要叫孩子跟着我一起做啊，那你一定成绩，你那个这个又不要钱的，是吧，你那个在外面要听花许多钱，你看，跟着我讲，跟着我听多好。如图，在三角形 abc 中，角 c 九十度， 现在呢，第一步，取个作图作角 a， 什么 a， b， c， 哪讲呢？这角平分线加 a， c 与 d， 保留痕迹，不求做法，标明字母。你看好，那么这个做哪个角？ a， b， c， 那 我们就以点 b 为圆心，以任意长为半径啊，我稍微做短一点 好，那么加这个角的两边为两点，再分别以这两点为半径。好，这里呢？啊，慢一点 好，他现在呢，就加入一点。加到哪里来了？哦，刚才加到这里来了啊，刚才好像这个挡住了，对吧？啊， 加到这里对吧，看，你看见吗？啊，加这里。好，那么过这个地方和这里做一条。哎呦，这里注意问题啊，什么问题？ 就是三角形的角平分线呢，他是一条线段，角平分线是，是做这个角的平分线呢，他应该是射线，可是这又在三角形当中， 所以这又怎么办呢？对吧？本来角平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，可这题目又说做角平分线， 所以我觉得这么处理一下，咱们这地方虚线来表示，这地方实线来表示，那我觉得这个题目还是有点表述不太妥的啊。那么他加 a、 c 于 d 好， 点 d 在 这第一个横截图形写了，不写做法 啊，点 d 即为所求啊，比如说这条怎么的结一如图啊，点 d 即为所求 啊。第二个，在一的条件下，如果 b、 c 等于六， a、 c 等于八， 那么 ab 就 应该等于十，那么这样 ab 等于十，要求 d 到 ab 的 距离。好，这里我们做垂直。注意啊，现在做垂直是负的线啊， 做，比如做 d、 h 设置 a、 b， 那 么这地方你用高固定，你也可以利用那个面积也可以啊。过程呢，我就简单的提一遍，如果我们这个设 d 大 a、 b 的 距离为 x， 而假平方线呢？点大家在里面去建立下来，所以这个点 x， 这个点 x， 这个点六，这个点六，这个点四。呦，我们前面不是刚刚讲了吗？那就是四的平方加 x 的 平方， 嗯，四的平方加 x 平方就得，这个呢是八减 x， 因为这个等于 x， 这整个等于八，等于八减 x， 括号的平方一十六加 x 平方等于六十四减一十六， x 加 x 的 平方一十六， x 等于四十八， x 等于三。 刚才我们前面呢，求的也是三，这里求的也是三，对吧？这里怎么也还是三呢啊，这是一种方法，所以 d 的 a、 b 的 距离等于三，那我们也可以来利用面积， 对吧？如果面积 s 三角形 a、 b、 c 等于二分之 d， a、 c 乘以 b， c 等于二。分之 d 乘以这个什么呢？ b， c 乘以 x， 加上二分之 d 乘以 a， b 乘以 x。 有 这个方法跟前面讲的一样的， 跟这里讲的一样的，也等于三啊，这个也等于三我们就不多说了，记得点赞关注哦！

初中数学动画第一集生活中的立体图形生活中有很多立体图形，比如橡皮长方体、魔方正方体、篮球球体、漏斗、圆锥、笔筒圆柱等等等等。这个视频咱就来研究研究生活中的立体图形。 重点看一下棱柱。那什么是棱柱呢？像这种上下一般粗，有棱有角的就是棱柱。比如你最熟悉的正方体、长方体就是棱柱， 因为他的底面是四边形，所以也可以叫四棱柱。当然，如果底面是三角形，就叫做三棱柱。 还有这种底面是五边形，那就叫五棱柱。除此以外，还有六棱柱、七棱柱、八棱柱等等等等。总之，底面是几边形就叫几棱柱。刚才的这些棱柱都是直挺挺的往上，那如果我把他们推一下斜着，现在还是棱柱吗？ 你看，不管我把他们写到什么程度，仍然满足上下一般粗，所以还是棱柱。并且他们有一个新的名字，叫做斜棱柱。刚才那种直挺挺的，其实是直棱柱。 观察一下这两种棱柱侧面有啥不同？这个直着上去的直棱柱，侧面都是长方形，这些斜着的斜棱柱侧面都是平行四边形。 好了，再回顾一下棱柱的分类，按照边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。弄清楚了棱柱的分类，我以四棱柱为例来说说棱的概念。首先，相邻两个面的交线叫做棱，所以这些都是棱， 其中如果是侧面的交线，那就叫侧棱，像这些就都是侧棱。了解了棱和侧棱，咱来研究一下顶点棱和面的个数。先说顶点，上下各四个，一共有八个顶点。再说棱，上面四条，下面四条，中间四条，一共有十二条棱。 最后说面，上下两个面，中间四个面，一共六个面。同样的，你也可以数出五棱柱、六棱柱的顶点棱数和面数。 不过要是 n 棱柱呢？它的顶点棱数和面数各是多少？先看顶点上下都是 n 边形，都有 n 个顶点，所以顶点数就是二 n。 再说棱数上下都是 n 边形，棱数都是 n， 侧面呢，有几条棱？ 你看每个顶点往下都有一条棱，所以侧棱也是 n 条，那对于 n 棱柱，棱柱就是三 n 了。最后说面数，上下两个面，这是 n 边形，每条边往下是一个面，所以侧面是 n 个面，一共是 n 加二个面， 这就是 n 棱柱的顶点、棱柱和面柱的计算公式。好了，总结一下这个视频我就给你讲了什么是棱柱和面柱的计算公式。好了，总结一下这个视频，我就给你讲了什么是棱柱和面柱的计算公式。好了，总结一下这个视频我就给你讲了。一般粗有棱有角的就是棱柱， 按照边数，它可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。对于 n 棱柱，有二 n 个顶点，三 n 条棱和 n 加二个面。

师傅，这幅传世的双面绣阵法全乱了，正反面的图案完全对不上，神鸟们都快变成乱线团了。小满莫急，双面绣的最高境界藏在翻转半圈的衔机里， 只要让特定的图案精准的倒转一百八十度，正反便能浑然一体。 要让这幅百鸟朝凤，重现人间驱解开这三道翻转之谜，小满带着针线去寻找图案里的平衡法则吧！翻转半圈，这难不倒我们？屏幕前的朋友们，快拿起你们的工具，跟我一起穿针引线，修补这绝美的江南丝雨！ 哎，这两只喜鹊的绣法分毫不差，可偏偏有一只是彻底颠倒的，这要怎么才能让它们比翼双飞啊？ 若以这颗东珠为支点，让其中一只喜鹊绕着它在卷面上精准的倒转半个圈，你们想一想，转过之后，它能和另一只完美的重合吗？ 第二步，要把这颗花蕊缝在最中间，才能定住阵角，可是这袖布上连个墨线都没有，哪里才是最绝对的中心点？花开并蒂，必有轴心！ 如果这两朵牡丹是连线两端的极点，你们知道该把这颗绿宝石修在这条线的什么位置，才能彻底平分两段的美景吗？ 花开并蒂，必有轴心。记住这条铁律呈中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 最后一步是绣上中心主图，可是这绣帮一直在翻篇覆地的倒转图案，绣上去就全乱套了。 世间万物，有些纹理藏着极致的对称之美，你们找找看，在这些底稿中，到底哪一种图形，哪怕让他彻彻底底的颠倒过来，他的模样也和原来分毫不差， 原来有的图形自己转半圈竟然和没转一样。这就是以不变应万变。 如果把绣布变成方格纸，这些点的坐标怎么变？ 最后一针落定，这千丝万缕终于在旋转中织就了最完美的圆满。丝随心转，千针万线皆有法度，这便是流淌在江南水乡里的大美之魂。 无论岁月如何流转，中华文化里这根平衡对称的轴心永远熠熠生辉。

四边形的综合考察堪称初二下册考试当中的绝对拉分神器，这是一道正确率不到百分之五的初二下册半级填空压轴题，它的难点之处在于综合了四边形和对角互补模型的综合考察，难度系数 特别大。来，同学们，我们一起来分析一下哈。首先来，我们先来一起读下题，题目是这样做的，那告诉我们四边形 a、 b、 c、 d 呢？哎，它是一个菱形。然后呢，告诉我们的 e、 b、 f 和角 a 啊，这两个角相等都等于六十度。好，接下来告诉我们菱形的边长 a、 b 等于四。题目最后求的是三角形 d、 e、 f 的 面积的最大值应该等于多少。 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型、菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u， 整理成了初二四边形 经典一百题，练完四边形考试直接拿满分。需要的家长我来同学们，我们一起来分析下这道题哈。 这道题呢，主要考察我们四边形当中一个非常重要的结论啊，叫做我们的对角互补模型。来，同学们，我们一起来学习下这个模型哈。来看这个图，这个模型呢，是这样说的，首先告诉我们两个条件， 第一个是 b、 d 平分角 abc， 所以呢，角一和角二是相等的好。第二个条件，那就是角 b 这个角和角 e、 d、 f 这个角呢，它们俩相加等于一百八十度，哎，就是互补的对吧？那么这个时候呢，我们一定会得到一个条件啊，就是来我们的 e、 d 是等于 d、 f 的， 就是这两个边一定是相等的。好，我总结下哈。最后结论就是啊，角平分线 b、 d 上的任意一个点，选个点 d， 对 吧？然后过这个点 d 呢，向这个角的两边发射一个角， 这个角呢，和角 b 是 互补的，相加等于百八，那么这个时候呢，我们形成两边 d， e 和 d f 就 一定是相等的啊，下面呢，我们来证明一下子们， 怎么来证明这两个边是相等的呢？哎，我们最应该想到全等三角形，对吧？哎，全等三角形对应边是相等的，那如何去构造全等呢？很简单来，我可以过地点分别向这两个边 做什么？做垂线，你看，我就可以把这两个斜边包含在我们的两个直角三角形当中来，这个是 s， 这个是我们的气垫，对吧？来，这个时候呢，我们只要证明这个三角形跟这个三角形它是全等的不就可以了啊，来证明一下，首先做了垂线之后，有一直角是相等的，角 t 等于角， s 等于九十度。好，第二个， 这组边 d， t 等于 d s， 角分线上一点到角，两边距离应该是相等的，所以看做了垂线之后，我们就有一组角和一组边相等。好，接下来我们还需要找一个等量关系，怎么找呢？来，从这个互补的角去出发， 看一下。啊，我们这个角跟这个角是互补的，对吧？所以我把这个角设为 r 法，那么 e、 d、 f 就 应该是一百八减， r 法没问题吧。好，再来看，在这个四边形当中， b、 t、 b、 s、 d 来这个四边形当中，这两个角 都等于九十啊，也是互补的，相加等于多少？一百八，那么四边形，我们知道内角和等于三百六，对吧？好，它跟它互补，所以剩下的这个角 跟这个角，对吧？也是互补的，所以这个角为一百八减二法，那这个角呢，也是为一百八减二法，哎，这两个角是正好相等的，而且这两个相等的角呢，中间还有一个公共角，就是 e、 d s， 对 吧？好，所以呢，他们两个都减去公共角以后， 剩下的小角，角三和角四呢，也是相等的，所以两个角一组边相等，所以呢，这两个三角形一定是对应全等的，所以得到什么？哎，我们的 d e 和 d f 是 相等的，就出来了，没问题吧？好，这是我们的对角 互补模型，那么来这个模型好，我们总结下就三个条件，第一个角平分线，第二个 互补好，第三个边相等啊，对吧？这三个条件，其实呢，我们只要知道其中两个啊，任意知道其中两个，都可以推其余的一个。比如说，现在我只知道角分线和互补推边相等，好， 我可以反过来，比如说，我知道角一等于角二， d， e 等于 d f， 哎，我也可以推，这两个角是互补的，对吧？好，再比如说，我知道 d， e 等于 d f 边相等，好，这两个角互补的，我也可以反推小一等于小二，反正这三个条件，我们只要知道其中两个都可以推其余的一个，好，叫做之二 推一啊，任意知道两个推其中的另一个，好，这是我们的对角互补模型，大家听懂了吗？好，学了这个模型之后来我们看这道题，那就非常简单。好，什么？他说来四边写 a、 b、 c、 d 是 个菱形 啊，我们的 e、 b、 f， e、 b、 f 这个角等于六十度，好，角， a 呢，也是为六十度，那么它是菱形，所以这个角呢？为一百二十度。看到这里正好有一个互补的角，我们来找找哈，这里面当中有没有对角互补模型？首先我们已经找到一组 角是什么互补的，好，再来，因为这个 a、 b、 c、 d 是 吗？是菱形，菱形的对角线。同学们，菱形的对角线什么？它是平分对角的，所以我连接 d、 b， 哎，连接 d、 b 之后啊，干，哎，连接 d、 b 之后，那么所以这两个角是相等的角平分线了。好，角，平分线，再加一组角是互补的，那么所以这个时候呢，我们一定可以得到那个 b、 e 和 b、 f 这两个边是相等的，对吧？哎，这里面存在一个对角互补模型啊，证明呢，也非常好证明啊，我们怎么样做垂线就可以了，过 b 点来向我们的两边做一个垂线，我们就可以证明啊，很好证明。来做垂 线啊，这个是我们的 s 点，你看到啊，我这证明这两个三角形它是 全等的，不就可以了吗？很好证明啊。首先来，我们的 b、 t 等于 b、 s， 因为角分界上一点到角两边距离是相等的。好。再来，还有一组相等的九十度，好，还需要找一个角，哎，冲稳对角互补去出发。好吧，那这个是 一百二，那这个角是多少？六十。好，再来一个，这个角是六十，你看没有，哎。然后呢，在这个新的四边形当中，我们的四边形内角和等于三百六。好，这两个角是互补的，相加等于一百八，所以剩下的咱们这个角跟这个角 也是互补的，他为一百二，所以这个角呢，也是为六十，你看没有？哎，一样的，好，什么看他为六十，好，这个角呢，也是为六十，两个六十度中间有一个公共角，减去公共角，我们剩下的这个角一和这个角二自然就是相等的，所以呢， 三角形 t、 b、 f 和 s、 b、 e 就 一定是全等的，对吧？好，我们再来看哈，那么这个时候看，既然它们俩是全等的，那面积就应该是相等的，对吧？所以看什么这个四边形，我们瞄一下啊， 这个四边形虽然我们有两个动点， e 点和 f 点是动点，这个四边形呢，也在动，对吧？但是它的面积是一个定值，因为我可以把这个三角形 转移到这个三角形，把它旋转过来，因为面积相等吗？啊，补过来好，补过来之后呢，哎，我们就会发现，咱们这个四边形 d， e、 b、 f， 它是等于这个 四边形的面积，对吧？补过来，这个四边形又正好等于两个相等的直角三角形的面积，对吧？来，所以呢，我们就可以把这个三四边形它的面积是固定的，然后算出来，好来算。算。这个时候呢， s 四边形，我们的 d、 e、 b、 f， 它就等于 s 四边形，那个 d s， b t， 对 吧？ d s b t 好， d s b t 呢？又等于两个直角三角形的面积相加啊，我们去算算哈， s 三角形 d， s、 b 该怎么算呢？啊？题目告诉我们，这个菱形的边长 ab 等于四， 那么它是一个等边三角形，那所以这个呢，也是为四啊，也是为四。好，再来，这个角是六十度， 所以这个角呢，三十度，对吧？三十度对的边等于斜边一半，那么这个边就为界，这个边就为二啊，就为二。好，这个呢， b、 s 就 为界，为二倍根号 二倍根号三，一比根号三比二嘛。来，所以 d、 s、 b 的 面积得啊，等于二分之底乘以高，那就是二，乘以二倍根号三， 等于二倍根号三，那所以四边形面就出来了，我们的 d、 e、 d、 f， 对 吧？哎，就等于它的两倍等于四倍 根号三。 ok， 好， 接下来我们求什么呢？它是求 d、 e、 f 的 面积的最大值，那么你连接吗？ e、 f 啊，连接 e、 f 之后，同学们，你看，首先我们知道了这个四边形，它的面积是个定值啊，是定值。好，这个小三角形呢， 它是包含在这个固定的四边形当中，你看，没有。好，这个四边形呢，又是由这个三角形跟这个等边三角形构成的，那么你想它们两个之合是一个定值，我要求这个三角形 面积最大，那所以呢，我只要求 s 三角形 e、 b、 f 的 面积的最小值就可以了啊，这个最小， 那么这个三角形面积就应该是最大的，对吧？好，来，它的面积最小，怎么求呢？哎，我们知道它是一个等边三角形，等边三角形，你想面积要最小，我只要让这个边 b、 e 和 b、 f 最小不就可以了吗？那 b、 e 和 b f 什么时候最小呢？哎，垂直的时候，你看到它是斜边，它是斜边，当这两个斜边变成直角边，就必点到 我们的 dc 垂线的最短， b 点到我们那个到 a、 d 的 垂线段是不是最短？所以呢，当我们的斜边变成直角边， 这个等边三角形的边长就应该是最小的，那边长最小就应该等于 b s 啊， b s 正好是垂直的，等于二倍根号三，没问题吧？好，那么就出来了。哎，所以呢，我们知道等边三角形的面积等于到 四分之根号三倍边长的平方啊，这是我们等边三角形的面积的公式哈，没问题吧，四分之根号三倍边长平方，边长最小是等于二倍根号三，所以乘以二倍根号三的平方，那就出来了吗？等于几？等于四倍根号三， 再乘以十二点到三倍根号三，所以来这个面积最小，用它减去它剩下的 s， 三角形 d、 e、 f 的 面积就应该是最大，对吧？哎，等于四倍根号三固定的值减去三倍根号三，那么最大值就应该得到等于根号 三啊。知道四边形的综合考察你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

同学你好，很高兴为你讲解这道题目。已知 c 为射线 a， d 上一点角 d， a， p 等于角 p b c， p a 等于 p b。 我 们在图形上把相等的两个角以及相等的两条线段先标注出来。 第一小问证明 c p 平分角 d， c， b。 那 么我们可以根据角平分线的判定方法，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的角平分线上。 所以在第一小问当中，我们分别过点 p 做角 d， c、 b 两条边上的垂线，然后去证明这两条垂线段 pe 等于 p f 即可。 那么证明这两条垂线段相等的方式主要是利用题上的已知条件 来证明三角形 pe 全等于三角形 p f a。 从而根据全等三角形的对应边相等来完成的。下面我们就来完成第一小问 点证明，我们分别过点 p 做 p f 垂直 a， d 于点 f 做 pe， 垂直 bc 于点 e。 所以 我们由垂直的性质可以得到角 p f， a 等于角 p e， b 等于九十度。接下来我们结合题上给出的一组已知角以及一组边对应相等，就可以证明两个三角形全等。 在三角形 p f， a 和三角形 p b， e 中，提倡给出角 d a， p 等于角 p b c。 角 p f， a 等于角 p e， b 等于九十度。 p a 等于 p b， 我 们就可以由全等三角形的判定定理 a a， s。 得到三角形 p a， f 全等于三角形 p b， e。 然后再由全等三角形的对应边相等得到 p f 等于 p e。 又因为 p f 垂直 a d， p e 垂直 bc， 所以 我们可以由角平分线的判定定律 一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的角平分线上，从而得到 c p。 平分角 d c b。 至此，第一小问我们已经全部证明完成。 接下来我们来看第二小问。若 a p b 相交于点 m， 且角 a p b 等于二倍的角 c p a， 证明 b m 等于 ac 加 c m， 那么在这一小问当中，是出现了让我们证明一条线段等于另外两条线段之合的，所以我们可以通过截长补短的方式将两条线段转化成一条线段来解析。 我们可以在 a c 的 这条射线上截取 c m 片，使其等于 c m。 接下来我们只需要证明线段 a m 片等于线段 b m 即可。而证明这两条线段相等的方法 可以通过证明三角形 pm 片 a 全等于三角形 pm b 来完成。下面我们就来完成第二小题的证明过程。 首先，我们在射线 a d 上截取 cm 片等于 cm 连接 pm 片。 那么由刚刚的第一小问得 c p。 平分角 d c b。 所以 角 p c m 片是等于角 p c m 的， 所以在三角形 p c m 片和三角形 p c m 中， pc 是 公共边。角 p c m 片等于角 p c m 片等于 c m。 所以我们就可以由全等三角形判定定例中的 s a s 得到三角形 p c m 片全等于三角形 p c m。 然后再由全等三角形中的对应角相等得到角 c p m 片等于角 c p m。 又因为题上已经告知了我们角 a p b 等于二倍的角 c p a， 所以 我们通过角之间的等量关系转化就可以得到角 b p m 是 等于角 a p m。 撇的。 再加上题上一开始给出的条件里，角 d、 a、 p 等于角 p b、 c、 pa 等于 pb、 b。 在 三角形 pm 片 a 和三角形 pm b 当中，角 d、 a、 p 等于角 p b、 c、 pa 等于 pb， 角 a、 p、 m 片等于角 bpm。 我 们可以由全等三角形里 asa 的 判定定里得到三角形 pm 片 a 全等于三角形 pmb。 在根据全等三角形中对应边相等，从而得到 b m 等于线段 a m 片， 而线段 a c 又等于线段 ac 加上线段 c m 片，并且线段 c m 片是等于线段 c m 的， 所以最终我们就可以推导得出线段 b m 是 等于线段 ac 加上线段 c m 的。 这样第二小问的结论我们就已经证明完成了。下面我们来对这道题目进行一个总结。这道题目的第一小问，我们可以通过点 p 往角 dcb 的 两边上分别去做垂线段，利用角平分线的判定定律， 一个点到角两边的垂线段相等，那么这个点就在这个角的角平分线上，从而证明第一问的结论。 在第二小问当中，我们主要通过全等三角形中辅助线的做法，截长补短法来构建线段相等，从而证明三角形全等。 在得到全等三角形之后，我们再利用全等三角形的性质证明对应的线段是相等的，再根据题上线段之间的等量关系进行转化，从而进行求解。 以上就是本道题目的全部内容，同学们路虽远行则将至，加油哦！

在八年级下册刚学完直角三角形的时候啊，里面还有一个比较细节的几何模型，你们需要落实到位，就是一二三四五模型。很多老师在初三才讲这个东西，我认为没必要在八年级下册就可以提及了，甚至在七年级下册学完三角形的，全等学完一线三垂直模型就可以提及了。什么叫一二三四五模型呢？ 条件是如果一个直角三角形呢？条件是如果一个直角边零边之比是一比二。 如果再来一个直角三角形，他的小锐角为他的对边与他的长直角边，零边之比是一比三，这是条件。 那么阿尔法与贝塔两角之和就等于四十五度，这是结论，反之亦然。也就是说一比二、一比三和锐角之和四十五度，他们三个条件是可以之二求一的。好有同学说，为啥？凭啥？为何如此之巧？我们画一个方格来进行验证， 比如说我们画一个三乘二的长方形，里边每个小格都是正方形。来，我现在构造一个一比二的直角三角形，比如说是这个红色的，看，这是一，这是二，没问题吧？ 所以这个角是不是就是我上面那个条件里写的而法？因为而法他这个锐角对着的边是一，零着的边是一，零着的边是二，所以这是一比二，没错。然后我再造一个对边与零边之比是一比三的 直角三角形，这是不是就咱刚才上面条件说的北，它没错吧？因为这是一，这是三。 好，这是一比三。当我们把这些没用的线段都擦了以后，你会发现 a， 这时候 r 和 b 它拼成了同一个角，那凭啥它是四十五度呢？学过初一一线三垂直模型的同学都应该知道，当我连接 a 点与 b 点的时候， 来来来，各位你发现了什么？这个 c 点和 a 点的连线，它是一个一乘二的方格的对角线， ab 也是一个一乘二方格的对角线，那这时候不就是会形成一个一线三垂直模型下的直角三角形吗？ 再配合上 a、 c 的 长度等于 ab 的 长度，那 a、 c、 b 这个三角形是不是就是一个等腰直角三角形？所以 r 加 b， 它的度数自然等于四十五度呀？听懂了吗？小题可以把它当做一个结论去记，可以快速出结果。

矩形、菱形、正方形。五、矩形是特殊的平行四边形，除了拥有平行四边形的所有性质外，还具有自身特殊的性质。现在我们就边角、对角线三方面加以对比。 在矩形 a、 b、 c、 d 中，由于对角线平分且相等，所以 a、 o 等于 c、 o 等于 b、 o 等于 d， o 等于二分之一， a、 c 等于二分之一 b、 d。 现在我们只观察矩形的一半。显然三角形 a、 b、 c 为直角三角形。在二 t 三角形 a、 b、 c、 中， b、 o 是 斜边 a、 c 的 中线。由上面 b、 o 等于二分之一 a、 c。 可知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 现在我们利用矩形的性质证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 证明延长 b、 o 到点 d， 使 d、 o 等于 b、 o。 连接 a、 d、 c、 d。 因为 a、 o 等于 c、 o、 b、 o 等于 d、 o。 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 abc 等于九十度， 所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以 b、 d 等于 a、 c。 所以 b、 o 等于二分之一 b、 d 等于二分之一 a、 c。 已知在三角形 a、 b、 c。 中角 a、 c、 b 等于九十度， d 是 a、 b 的 中点 d、 e、 d、 f 分 别是三角形 b、 d、 c。 三角形 a、 d、 c 的 角平分线 求证四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形，因为角 a、 c、 d 等于九十度，所以三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。又因为 d 是 a、 d 的 中点，所以 c、 d 是 斜边上的中线， 所以 c、 d 等于 d， a 等于 d、 b。 这样三角形 a、 d、 c 是 等腰三角形 d、 f 是 它的角平分线。根据等腰三角形三线合一， d、 f 垂直于 a、 c。 同理可证角 d、 e、 c 也是直角，所以有三个直角的四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形。你们说的很好，证明过程， 现在我们进行拓展与延伸，请按暂停键仔细审题。 因为点 o 是 a、 c、 b、 d 的 中点，所以 o、 a 等于 o， c、 o、 b 等于 o， d 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 a、 e、 c 为直角， 所以三角形 a、 e、 c 是 直角三角形。角比一底为直角，则三角形比一底也是直角三角形。那么这两个直角三角形与平行四边形 a、 b、 c、 d 有 什么联系？ 这两个直角三角形的斜边 a、 b、 c、 d 的 两条对角线 要正。平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。只需要证明对角线 a、 c 与 b、 d 相等，能否找到这两个直角三角形之间的桥梁 连接？ e、 o、 e、 o 是 直角三角形 a、 e、 c。 斜边上的中线 e、 o 等于二分之一 a、 c、 e、 o 又是直角三角形 b、 e、 d。 斜边上的中线 e、 o。 等于二分之一 b、 d。 所以 a、 c 等于 b、 d。 从而对角线相等的平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。证明过程。

矩形、菱形、正方形。五、矩形是特殊的平行四边形，除了拥有平行四边形的所有性质外，还具有自身特殊的性质。现在我们就边角、对角线三方面加以对比。 在矩形 a、 b、 c、 d 中，由于对角线平分且相等，所以 a、 o 等于 c、 o 等于 b、 o 等于 d， o 等于二分之一， a、 c 等于二分之一 b、 d。 现在我们只观察矩形的一半。显然三角形 a、 b、 c 为直角三角形。在二 t 三角形 a、 b、 c、 中， b、 o 是 斜边 a、 c 的 中线。由上面 b、 o 等于二分之一 a、 c。 可知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 现在我们利用矩形的性质证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 证明延长 b、 o 到点 d， 使 d、 o 等于 b、 o。 连接 a、 d、 c、 d。 因为 a、 o 等于 c、 o、 b、 o 等于 d、 o。 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 abc 等于九十度， 所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以 b、 d 等于 a、 c。 所以 b、 o 等于二分之一 b、 d 等于二分之一 a、 c。 已知在三角形 a、 b、 c。 中角 a、 c、 b 等于九十度， d 是 a、 b 的 中点 d、 e、 d、 f 分 别是三角形 b、 d、 c。 三角形 a、 d、 c 的 角平分线 求证四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形，因为角 a、 c、 d 等于九十度，所以三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。又因为 d 是 a、 d 的 中点，所以 c、 d 是 斜边上的中线， 所以 c、 d 等于 d， a 等于 d、 b。 这样三角形 a、 d、 c 是 等腰三角形 d、 f 是 它的角平分线。根据等腰三角形三线合一， d、 f 垂直于 a、 c。 同理可证角 d、 e、 c 也是直角，所以有三个直角的四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形。你们说的很好，证明过程， 现在我们进行拓展与延伸，请按暂停键仔细审题。 因为点 o 是 a、 c、 b、 d 的 中点，所以 o、 a 等于 o， c、 o、 b 等于 o， d 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 a、 e、 c 为直角， 所以三角形 a、 e、 c 是 直角三角形。角比一底为直角，则三角形比一底也是直角三角形。那么这两个直角三角形与平行四边形 a、 b、 c、 d 有 什么联系？ 这两个直角三角形的斜边 a、 b、 c、 d 的 两条对角线 要正。平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。只需要证明对角线 a、 c 与 b、 d 相等，能否找到这两个直角三角形之间的桥梁 连接？ e、 o、 e、 o 是 直角三角形 a、 e、 c。 斜边上的中线 e、 o 等于二分之一 a、 c、 e、 o 又是直角三角形 b、 e、 d。 斜边上的中线 e、 o。 等于二分之一 b、 d。 所以 a、 c 等于 b、 d。 从而对角线相等的平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。证明过程。

平行四边形必考的一个模型是和角平分线相结合的这一类模型，为什么呢？因为角平分线加平行一定会出等腰三角形，而放在平行四边形里面，它有一个天然的优势，平行四边形的对边本来就相等，而这一类题也是我们考试的时候非常非常容易出的一道考点啊，考题 接下来呢，就以这道题为例，领着同学们把这种模型彻底的分析清楚，以后你再碰到这类题，一定可以分分钟的秒杀它。那如果关于这类模型同学们经常找不到，识别不清楚的话，一定要私信老师来领取 关于这类模型的一个专项练习来接下来看一下这道题啊。这个题里面也是给了一个 a b， c、 d 是 一个平行四边形，以及 b f 平分角 abc， 说明这个角和这个角度相等，这边呢， c e 平分这个角， b、 c、 d 这两个角相等，然后知道他是一知道 bc 等于五的情况，让我们找 ab 的 长度等于几。 其实这个里面只要你在平行四边形里面看见了角平分线，你立马去想角平分线的一个基本模型，那其实说到这同学们就来回忆回忆，角平分线里面一共有几个模型，角平分线。说到角平分线，我们一定能想到什么 角平分线，我们能想到它的第一个模型，就是角平分线最基本的那个性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，这是它的第一个性 质，这是它的第一个性质，这个一定要记牢啊，这第一个第二个就是我们今天要接触的这个角平分线加平行， 其中告诉我们 am 和 o b 是 平行，如果一旦出现平行呢？ b 是 平行的，一旦出现平行，这个图里面就会出现什么了？ 内错角？谁和谁角？ a m o 和下面的这个 b o m 它俩是不是一组内错角？内错角相等？所以在根据角平分线的性质里面，我一定能得到 o a 的 长度是不和 am 的 长度是一样的， o a 等于 am， 这是它的第二个角平分线加平行出等腰三角形，而这个模型就特别喜欢用在平行四边形里面，为什么？因为平行四边形有一个对边是平行的，对不对？好，那这个题里面你能不能在这个图形里面找到等腰三角形，找 角的角平分线加平行的那个基本模型呢？这个应该是 ok 的 啊，两个角相等，那同时是不是和上面这个 a f b 这个角度是不是也是相等的？那我们得到的第一个等腰三角形就来了，谁和谁相等？里面的 ab 和 af， 这是不是第一组等腰？除此之外，这里边是不是还有一个角平分线？那是不是会有另一组角平分线加平行的这个模型出另一个等腰三角形？谁和谁？ 这个里面我们能直接的得到 a b c， e 等于 d， e， c 这两个角也相等，所以谁也是个等腰三角形呀。 e c， 我 们就能得到其中 d， e 的 长度和这个 d c 的 长度，它俩是应该也是相等的。 那你会发现一个问题， f 和 d e 中间是不是重叠了一部分，中间重叠了一部分是一，那每一段的长度分别是几呢？也就很好求了啊。 f 还有这个 d、 e 的 长度，它俩相等，这是五，上面是一，重叠了一个一，那就是五 加一，然后取其中的一半就行了。这个题最终的结果是三，这就是角平分线加平行，用在平行四边形里面，就是这么个用法，一定会出一组内错角，然后跟这个角平分线，然后形成一个等腰三角形，直接去用这个结论直接出结果。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最直技巧！技巧一，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形做对称点 技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心技巧七，构造手拉手全等可分享！