矩形思维导图八下判定跟定义

好，看下这个第六题，矩形 a、 b c 的 中有个垂直，那就是的 h 垂直 a， c 交 b， c 于点记 e 为 h 记上一点连接 b， e 延长交 a c p 就要 c 等于 f b 一 e， f 以及得 f， 三条线相等，那说明点一就是个终点啊。点一是终点，有终点，那我们就想着，这里是考察中立线， 还缺一条对角线，那么连接另外一条对角线 b 的， 把它规定为点 o， 点一是 b f 终点，那么就连接这两个终点，那很明显，这个 o g 就 为三角形 b f 的 中一线。 好，那么就设这个 o g， y x 好， 根据这一组信息，嗯，那这个得 f 就是 它的两倍啊，得 f 就是， 以及 e f 以及 b e 都是二 x 好， 这里 y x， 这里二 x， 得 f 也是二 x， 好， 这里有个点 p， 我 们就标了。嗯， 好，再看，那这里我们重点看一下这个位置，一 f 和的 f 相等，那就有一组相等的角。等腰啊，定为一和二好，那么就得到角一等于角二 好，就因为这个垂直，这个的 h 垂直 a c 好， 再定个角角三，这里角四 啊，沿着垂直呢，角一加角三等于九十等于九十好，知道角一等于角二，那么角三也就等于角四了。角三等于角四，注意，角四也等于这个角 fpc 啊， fpc， 那 说明我们就可以得到 pf 等于 fc 好， 再看 o h 平行得 c 中一线的特征吗？啊， o h 是 平行得 c 的 好，这里有个角，那就是五和六吧。五 啊，那就五和三。角五等于角三，角五也等于角四，角五等于角四，角五等于角四了，那这个得啊， o o 一 就等于一 p， o 一 等于一 p， 那 就等于 x， 那 这个 p f 等于 f c 呢？ p f 呢？也就是 x 了，所以这里是 x， 这里 x， 这里也是 x。 好， 这几条边我们表示出来看，用勾股关系，在 r t 三角形 b c f 中，这个 b c 呢？我们就可以用斜边 b f 方减去 f c 方， 嗯，四 x 十六 x 方减 x 方，根号十五 x。 好， 再看另外一个直角三角形 bc 的， 知道 bc 又有得 f 得 f 是 三 x 啊， bc 刚才算了，那就可以表示 b 得 斜边就是十五 x 方，加得 f 方九 x 方二十四，根号二十四，二倍根六 x。 那 么又有这样一个信息，已知 a c 是 对角线啊，等于 b 的 等于十二，那所以 我们的二倍根六 x 就 等于十二啊，一除五 x 就 等于根号六，及我们的 c f 也就等于根号六啊。连对角线，对角线连起来，中点勾中位线 啊，然后通过导角的关系啊，有直角，有等腰啊，导出来，然后相应的边用勾股来整出 cf 的 结果。

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型几何综合问题。那么这道题考察的是矩形和全等三角形综合。好，我们来看具体的条件。在矩形 a、 b、 c、 d 中， b、 d 是 矩形对角线， e 为 a， d 边上一点啊，连接 ec， 如图一角 d， c、 e 等于四十五度啊， bc 又等于 c e， c d 等于 e， 让我们求 b、 d 好。 第一问，非常的简单啊，考察的就是一个矩形的性质啊，那矩形有两个特殊的性质，看到矩形马上想到这两个特殊的性质，第一个是四个角，都是直角啊，第二个是对角线相等， 那么角 a， d， c 就是 九十度，所以三角形 d， c、 e 就是 个等腰直角三角形，那么 c、 d 等于 d， e 都是一啊，都是一。 好，那这样的话，我们就可以得到了利用勾股定律啊， c e 就 等于根号二。哎，接下来那么 b、 d 啊，也是利用勾股定律在 r g 三角形 b、 c、 d 中啊，那么 b、 d 就 等于根号下 c d 方加 bc 方，而 bc 又等于 c e 啊，所以就等于 c d 方加 c e 方，往里面带入就可以了，是根号三、接着来看第二问，如图二， c f 垂直 ec， c f 又等于 c d 好 呃，当 h 是 b f 中点时，证明 d e 是 二倍的 c h， 那 我们先把 d e 找出来， d e 好 和 c h 证明这个绿色的线段是这个红色的线段的二倍。那么乍一看可能无从下手。那这道题我们知道啊，肯定是需要去做辅助线的，但是辅助线从哪里去突破呢？那么题目中给的这个 h 是 b f 的 终点，这个终点就是我们要找的一个突破口。 好，那么看到中点，我们现在来梳理一下和中点相关的一些性质和辅助线。首先看到中点，我们第一反应是想到中线和中位线， 第二我们想到倍长中线这种辅助线，第三啊，可以去做平行啊，平行加中点，我们可以构造一个全等三角形，那么 第二种和第三种在一定程度上它是可以相互转化的啊，你去做背长中线去构造的全等三角形和做平行去构造的全等三角形，那么它的实质都是去构造一个八字形的全等，那么第三种方法是很多同学容易忽略掉的 啊，那么老师希望你经过这道题目的讲解，能够对背长中线的一个实质有一个更加充分的理解。好，那么这道题目呢，我们用第二种方法和第三种方法都可以，那么这两种方法老师都会一一的进行讲解。 好，我们先来看第一种方法去做倍长中线， c h 是 三角形 b c f 的 中线，那我们在 he 上截取 h p 啊，让 h p 等于 c h。 好， 此时我们再连接 b p， 那 老师就用实线了啊，好，那么此时是不是就构造了一个八字形全的啊？ c h 等于 p h 又有对顶角，对顶角又有 b h 等于 f h， 所以 利用 s a s 构造了一个八字形全等 啊，好，那么接下来我们要证明的是 d e 等于二倍的 c h。 好， 由于它全等，那么此时我们利用全等的性质是不是可以得到 p h 等于 c h， 那 么也就是说这个线段二倍的 c h 是 不是就转化成了 c p 哦，所以这个问题就转化成为了去证明 d e 等于 c p， 哦，转化成了这个问题，那么证明 d e 等于 c p， 我 们是不是只需要正它所在的两个三角形全等是不是就可以了？好，此时如果我们正出来啊，三角形 b、 p、 c 和三角形 c、 d 一 全等就可以啊。好，就整这两个三角形全等，我们现在来看条件啊， 好，由于刚刚我们正了一个八字形全等，所以第一个我们可以得到它的对应角相等，也就角 b、 p、 c 等于九十度。好，所以有一个九十度对应角好，再来， 那么这两个角是不是也相等？角 bce 和角 d， e、 c 也是相等的？好，还差一个，再看 还差一条边啊！由于题目中还有一个 c、 f 等于 cd， 这个我们还没有用到啊。 cf 等于 cd 好， 那 cf 是 不是又等于 b p 好？等间再换，所以 c、 d 就 等于 b p 好， 所以用 a、 a、 s 是 不是就整出来全等了？ 好，那么全等，所以问题就迎刃而解了。好，接着我们来看第三种方法去做平行。好，同学们，你来看啊， 如果这个题目我不不结，不结啊，那么我们可以去过点过点 b， 把这个擦掉，过点 b 向 c、 e 去做垂直。好，此时对顶角，对顶角，直角直角 b h 等于 h f a a s 是 不是八字全等？ 好，那么你来看这两个是不是就相互去转化了？你如果做倍长中线，也就是去截， 去截啊！ hp 等于 c h， 那 么此时我们也是整出来一个八字形全等。好，整出八字形全等之后，利用它的性质，那么这个角是不是也等于这个角也是九十度？因为它九十度，所以这两个是不就平行了？哎，所以由中线我去转化到的平行。 哎，那反过来呢？哦，如果我去做个平行，那么用 a a s 去证完全等哦，此时我们再利用全等的性质，是不是也能得到 p h 等于 c h？ 好， 那是不是又可以转化到了中线这条？呃，这个辅助线的做法，也就是说啊，倍长中线和做平行 啊，当然不一定是中线啊，也可以是背长线短啊，和做平行之间是可以相互转化的啊。好，那同学们这道题目听明白了吗？重点是这道题目 我们所学到的一个做题的方法啊。好，记得课下认真去总结。那么这节课就到这里，可以给老师点关注，我们下期再见。

这道题太难了，八下几何填空的最后一个压轴题，咱们很多同学都做不出答案，那像这种题目，他其实考察的就是我们菱形特殊图形的性质， 为什么你做不出来，一定是在其中有哪一步断层了，而在我们菱形证明的过程当中，全等三角形是一定 逃不开干系的。所以如果这种题目你卡壳了，一定是我们之前的全等轴对称有漏洞，抓紧时间去补啊！ 那有关于我们这一学期的四边形，结合着上一学期的全等出的这些综合题目，老师已经把常见的这十三大类题型都总结好了。 家长们，如果咱们的孩子经常做这种题，都没有思路，找不到入手的关键点，大题做不出辅助线，一定要打印出来，逐个题型，带孩子查漏补缺。尤其是上一学期，这我那个几何模型还有问题的， 一定要回去啊，系统的来进行学习，否则你往后学到圆，学到相似，学到初三，你的几何题没法做， 下面咱们就来一起看看这道题。菱形 a、 b、 c、 d 当中告诉你角 a 等于六十度， e 和 f 分 别在边上，而且告诉你 a、 e 这条边等于二，那 b、 f 这条边也等于二。 现在告诉你 d、 e、 f 的 周长为三倍，根号六，让你求 a、 d 的 长。由于这道题啊，有什么菱形 菱形四条边都相等，两条对角线互相平分，那我们知道啊，菱形的对角线咱们连上和这六十度肯定有关系，因为这是六十度菱形，对应四边都相等，所以这里形成的是一个什么， 是不是一个等边三角形啊，对不对？我往这一连，你会发现这是个等边三角形，这三条绿色的边都是相等的，对不对？ 而这一条小黄和一条小黄还是相等的，所以咱们就可以得到这里有一组全等三角形，这个三角形和这里的这个三角形，它俩是全等的。为什么呀？来绿的等于绿的，黄的等于黄的，而且这个角又都是六十度啊，对不对？ 两个三角形全等，就可以得到对应边相等，那我们这就有 d e， 这条边是不是和这里的 d f 这条边相等啊？合着这个是一个等腰三角形。 再继续看，由我们第一步，两个黄色的三角形全等，咱们是不是有两个黄色的三角形对应角相等，小点等于小点。 而由于我们菱形有一个角是六十度，必然这是一个等边，所以这里小点和小叉是六十度。 等量代换一下，这里小点和小叉就是六十度，所以这还不是一个普通的等腰，它是一个什么？等腰当中的黄金贵族等边三角形， 所以由它的周长是三倍，根号六，咱们就知道它的每一条边不都是多少啊，根号六吗？对不对？好了，现在想要求啥？ a d 的 长，不就是求菱形的边长吗？那怎么求 a d 啊？ 你看这有一个特殊角，可以用六十度，看见了没？那有六十度的角，咱们不妨就利用上这个六十度的角。我在这啊，做一个垂线 e h 垂直于 a d， 那这不就是一个三六九三角形吗？由三十度角所对的直角边是斜边的一半，这是二，那这不就是一吗？ 所以下面咱只需要求出 h d 的 长度，就可以求出 a d 的 长度， h d 的 长度怎么求啊？看这又是一个直角三角形，这条边是根号六， 这条边的长度是根号三，因为三六九三角形三边比是一比，根号三比二嘛，对不对？所以这是根号六，这是根号三，这条边的长度也能求出来。勾股定律，根号下根号六的平方减根号三的平方也就是根号三了， 所以最终求出来 a d 的 长度不就是一加根号三吗？所以这道题比较综合啊，凡是我们的几何模型，之前全等这还会有卡壳，会出现问题的，抓紧时间家长们可以带着孩子去学一下我之前的几何模型辅助线的专项，对孩子整个思维会有一个质的提升。

如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， e 为对角线， a、 c 上与 a、 c 不 重合的一个动点，过点 e 作 e f 垂直， a b 于点 f e g 垂直， b c 于点 g 连接 d e f g。 若 a b 等于三， b c 等于四， 则 f g 的 最小值等于多少？那首先这道题的话，它是一个 矩形里面的对角问题，根据我们已知的条件， e f 垂直， eg 也垂直， 它本来就是矩形，所以这个四边形 b g e、 f， 它是一个矩形。我们再看让我们求的 f、 g 的 最小值的话，在这个矩形里面刚好是矩形的对角线，那我们可以转化一下，把这个 f、 fg 转化成这个 b e。 我 们把 b、 e 连接起来以后，因为这个四边形它是矩形了，所以我们的矩形的对角线相等得到 b e 等于 f g， 那这时候我们的 b、 e 相当于是在 a、 c 上移动，那这时候我们在移动的过程中， 点 e 是 在 a、 c 上移动， 那相当于 b 点是一个定点，我们 e 点是一个动点，那这个在线段上移动，它的最小值。 所以肯定是当 b e 垂直 a、 c 时，我们的 b、 e 取最小值， 那这时候的话，最小值也是很好求的。这边是三，这边是四， 那 a、 c 肯定就是五，这边又垂直的话，运用直角、三角形等面积法，一下子就能求出来了。

哈喽，同学们，好久不见，甚似想念，我是你们的数学 master， 那 么今天我们来讲一讲关于矩形的相关性质。首先我们来观察一下，左边是平行四边形，右边是矩形，我如何把平行四边形变成矩形呢？ 哎，其实很简单，我直接手抓住顶点 d 向左去推，使角 b 形成一个直角，那么我们是不是就形成了右边的矩形啊？ 所以由此我们就可以理解成什么呢？矩形它是具备一切平行四边形的性质。我们还是分别从边角、对角线三个角度来看啊。关于边，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等， 这乍眼看是什么？是不是平行四边形的性质？没错啊，刚才已经讲了，矩形它就具备一切平行四边形的相关性质。 所以边上面还有没有一些特殊性呢？啊？已经没有了，非常充分，相当充分了啊，所以他既是平行四边形的性质，他也是矩形的性质。我们看到角对角相等，菱角互补， 这不就是平行四边形的性质吗？那他也是矩形的性质。那么矩形有没有一些特殊性是平行四边形不具备的？有，四个角都是直角，那我们怎么去证明呢？ 很简单，首先我给到角 b 是 等于九十度的，那既然对角相等，那我也就是角 d 是 等于九十度，菱角互补，那么角 b 的 菱角有谁呢？角 b 的 菱角有角 c， 所以 角 b 加角 c 是 等于一百八十度， 那么由此可以得出，角 c 是 等于九十度。那同理，角 b 加上角 a 也是等于一百八十度，那么角 a 它也等于九十度， 所以我们最后可以得出角 b， 它等于角 c 等于角 d 等于角 a， 它等于九十度，所以四个角都是直角。最后我们看到对角线、对角线互相平分，这是矩形和平四边形共同拥有的性质。 那么矩形的对角线有没有特殊性呢？有对角线相等，那我们如何去证明对角线相等呢？也就是说 a、 c 等于 b、 d， 如何去证明呢？首先我们来观察一下图像 a、 c 和 b、 d， 它分别处在三角形 abc 与三角形 d、 c、 b 当中，那么如何去证明这两个三角形全等呢？ 因为矩形它是一个特殊的平行四边形，首先它就满足 ab 等于 cd 这样一个条件。那么其次我们会知道角 b 等于角 c 等于九十度， 这个条件怎么来的呢？就是刚才我们证明过四个角都是直角哎，这就是矩形的角的特殊性。 那最后我们再发现 bc， 它是等于 bc 的， 因为 bc 是 两个三角形的公共边，所以我们就可以证明三角形 abc， 它是全等于三角形 dcb 的。 既然全等，我是不是就可以证明 a、 c 等于 db 了呀？ 所以对角线相等是矩形哎，它特有的一个性质。 好了，到这里，矩形的性质我们都已经讲解完成，我们做个总结。关于边，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等。关于角对角相等，菱角互补，四个角都是直角，对角线，对角线互相平分，对角线相等。 那如果还有同学没有听懂，可以在评论区告诉麦 sir， 麦 sir 将为你们一一作出解答。那么视频的最后，也祝同学们月月月好，月月月月能够破云涛，同学们再见！

好，有一道新定义啊，准矩形，准菱形。这道题其实比较难的，反而是在它第二文上了，第二文比较难啊，好，那么挨个来看一下啊。这个新定义指的是，首先第一个啊，有一组对角是直角的四边形，叫准矩形， 哎，什么意思？看懂了啊，你就只要一组对角九十度就可以了，是吧？哎，我不要求他剩下两个九十，那么第二个什么叫准菱形呢？我只要两组菱边分别对应相等，就叫准菱形，这个概念看懂了吧，是不是？好，那么继续来切入了啊，好，他还画了两个图。第一问，让你作图，第一个， 在图三中画出这个准矩形，我们先把它连起来来看啊，这个 a b 准矩形得需要对角是九十度，你会发现点 b 处是九十吗？它不是九十了，是不是只能让 a c 处是九十了， 对不对？那 a c 如果 a 是 九十的话，我就得需要画这样的垂直，如果 c 处是九十，我就得画这样的线，两条线的交点是不是正好在这个点上了， 这是不是就 d 的 位置了？听懂了啊，哎，让确保 a 和 c 处是九十就可以了，就是要体现一下你过这个点就行了， 听懂了吧，是不是？好，那么第二个想画准菱形，这么一连，哎， ab 跟 bc 它不等吧， 不等的话就自己自己得创造，也就是等会你找那个点得这样子大概率是不是？哎，所以我们大概找一下 ab 的 长度一般给的比较巧，是不是？所以大概率就在这个位置了， 这样能确保两个边呢，正好都是相等的。所以这个第一问相对来说还好化一点啊，还好化一点呢是不是好，所以这第一问啊主要是第二我们来好好来斟酌一下如果让我出卷子这个第二我就绝对不会考选择题。其实考选择题也行， 因为你填不对的话少一个多一个都不对，是不是啊？但是我会出证明题啊，我会把这题摘下来考一道证明题给大家啊。就第二问题出的蛮好的来看一下啊说呃下面正确的是第一个有一组对边平行的准矩形是不是矩形 那来看图我们就用图一图二来看了就省的自己在画图来。首先准矩形是不是对角是不是已经是九十了，那么他现在还告诉我，哎有一组对边平行，那让谁平行是不是都可以。假如说这条边和这条边平行了， 一旦平行我九十度直接瞬间是不是就上去了？那是不是三个九十是不是直接变矩形了。所以一号很好判断对不对啊。这个一号很正确啊，主要是二号和四号来看一下啊。二号有一组对边相等的准矩形是不是矩形 还是第一个图啊有一组对边相等。那假如说我就是 x 呗，咱俩是不是已经相等了是不是但是你也可以上下都可以啊，没什么区别啊。好，它是不是矩形呢？ 他俩都 x 了如果是矩形的话对边已经相等，如果他俩那如果是矩形的话他俩是不是也得相等才可以？是不是我要先正平行四边形才能正矩形啊对吧？你要满足矩形首先得满足平行四边形，那也就是告诉我如果我能证明他俩相等就好了 那他俩正边长相等是不是大概就是勾这个，这个全等了是不是？那你肯定是不得连这条线，怎么着？是不得连 b d， 哎，对，我们首先，哎，这是我分析出来我得连 b d 的。 那根据勾股定律，两个三角形斜边一样，有一条直角边还一样，所以他们这条边一定怎么着？是不一定相等， 听懂了吗？但是有些人我不想用勾，那你用全等也行啊，来，有两个直角三角形，它们直角边一样，它们的斜边是不是也一样？是不是 h 是 不是就全等了？听懂意思了啊，我不管你用勾股定力也好，或者用全等也好，你是不是都可以挣出来 c d 跟 ab 是 不是就相等了？对， 听懂了啊，那么既然对边相等了，哎，我首先是平行四边形，再加九十度，所以是不是直接变什么了，变矩形了？ 听懂了啊，所以在坐这儿的时候你就要悟明白了，原来我们是从全等去切入的了，而且我连的是 b d， 我 连的是 b d， 听懂了啊，哎，所以来第二个很正确， 用全等去乘的啊，来，三号有一组对边相等的准菱形，那你其实的时候他是不是首先告诉我的是这两组是不是相等，是不是？他还告诉对边相等，不就告诉 x 等于 y 了吗？这个三号不要太好判断是不是，哎，那四条边全一样了， 四号来看一下啊，有一组对边平行的准菱形，我们随便挑一组啊，假如说这一组和这组是平行了， 当他俩平行的时候，他是不是菱形的，有钢的经验可得，我觉得大概率是不是又要成全等了，是不是？而且我肯定是连 b d 更好，又不要破坏他等腰的感觉是不是？那但既然平行来，假如说我是 r 法，首先我也是 r 法了，我是等腰， 然后其次，我平一线，我平一线，我内错角直接就过过来了。看到了，那我也过过来了，我等腰。那你说我这俩三角形好不好整全等，我们是不是还共用了一个底边？完了之后，我们的底角是不是长得一模一样，对不对？所以这俩三角形直接就整全等了， x 就是 等于 y 了。 听懂了啊，是两次都是正的全等啊，都是正的全等哎，所以这个四号正确的要你考试，你可能也不敢选啊，这个题一二三四全都是对的， 一二三四全对哦，听懂了啊，哎，尤其这个二号四号，大家把它当大题去看待啊，懂了吧？哎，当大题去看待啊。好，来，接下来第三问， 咱思路有听清楚啊，能听懂的啊，原因就是你看我上来，我当然还是连对角线了，阿尔法一射等腰啊，这是等腰完了之后，平线，我阿尔法直接到这了，又是等腰，所以阿尔法又过来， 这俩三角形就可以正确的，因为他们底边是同一个，是不是？底边同一个，我是不是脚边，脚边角是不是？哎，就出来了啊，来看下一问啊。 第三问，如图所示，角 a b、 c 呢？九十度啊，向外做了一个准菱形啊，这个准菱形里边呢？哎，这一段等于它这一段呢，等于这段啊。那第一个，如果 a c e 等于这个角， 刚刚的经验所得是不是只要能正全等是不都可以，是不是？那你看他都提到了这两个角了，那明摆不就是想正这两侧两个三角形能不能全等是不就可以了？ 你顶角都一样，你还都是等腰啊？同学们，你这个角是不是全都对标起来了？完了之后，你是不是还有公共的这个边在的，是不是？所以你要真要写的话，你看你考试的时候啊，你这两个顶角是不是一样，你是不是能推出来这两个底角？是不是？这四个角是不是都一样？是不是完了之后要推到这些角上再去正确的，因为这样才可以角边角。 听懂了啊，可以用角边角去正全等就可以了，哎，去正全等就可以了啊。所以第一问，你只需要去正三角形这个 f、 a、 e， 是 不是？哎，全等于三角形 c、 a、 e 就 可以了啊， 好。第二个啊，在一的条件下连接 b、 d， 好， 我们来连接 b、 d 啊，好，如果 b、 d 的 长度呢？等于根号二， 哎，角 a、 c、 b 呢？等于十五，这边等于三十，直接写出这个四边形 a、 c、 e、 f， 因为在一的条件下，是不是已经是菱形了，是不是菱形面积求法，最快速的方法当然是对角线乘积的一半了， 是不是这样的，是不是？好，来看一下啊。那么这道题，这个根号二怎么用的？其实刚刚已经提示过的呀，我们早就讲过这个问题了，为什么呢？因为已经是菱形，就会呈现出有一个九十度，有一个九十度的话，两个九十度在一起，最重要的辅助线就是斜边的中线了，毋庸置疑， 对不对？好，所以我们需要把这个点给它连起来，那么连完之后呢？哎，这个三十呢？这不就是六十吗？这个十五作为外角，我们就是三十吗？是不是 正好两倍了？外，因为什么？因为它是等腰，哎，这个俩都是三十，你说这个角是不是六十？是不是两倍的？完了之后这十五，这是三十，我主要想正这里其实是九十度， 是不是？正好九十，对不对？那正好都九十了，完了之后还相等，你说这个三角形，他是对等腰，直角三角形啊，所以 这段场就是一，他也是一。然后呢？这个数据还这么特殊，有三十、六十、九十在，所以这段是不是也是一看到了，是不是？你这段是不是根号三了？ 这个都能挣出来吧？是不是？你看这个三角形够不够特殊？是不是一个非常标志的三十、六十、九十的三角形，完了之后这等于一，他都是一，完之后这也是一够，不具体算数，根号三，是不是？哎，全都有了啊？完了有了之后菱形的面积等于对角线乘积的一半， 哎，所以等于二倍根号三啊。这道题就出来了，也是比较综合的道新定义问题了啊。

下滑是大宝，听说你们最近学到这个矩形了，按多少时间成出去了啊？从一百一十六页给大家把这个矩形这块啊，你看多少人给大家写的，这什么思路啊？包括这个解析的过程啊，我今天一口气录到了一百二十四页，然后我发现啊，这块有一个这个完美矩形啊，这个阅读材料其实也挺有意思啊，你们愿意 多选习的，你们可以研究研究啊，然后咱们这块主要是啥呢？这个举行的这个判定啊，定礼，然后咱们可以从这个定义法，然后还有这个啥呢？还有这个判定定礼啊，两个然后以及，哎，咱们说还学了一个啥呢？就是说这个直角三角形，这个斜边的中线啊，他等于这个斜边的一半， 你就说这样式讲的这种细致法，你要是学不会，那真的是太说不过去了啊，都说能听懂，安度老师这种追求完美的人啊，你就说这小步骤给大家写的，我全都是一个个讲思路啊，根据啥全都给大家来写。 所以咱们这块啊，大家伙那个可以自己听一下啊，包括这个易错点啥的，做课本精讲啊，安度老师是认真的。

同志们好，今天我们来讲解一下八项二单元理解权力和义务的思维框架。那么八项二单元呢，其实是对第一单元的延伸跟实践落地。 在八下第一单元里面呢，我们讲过，宪法的基本原则之一是尊重保障人权。我也说过，人权的内容其实是很丰富的，其实第二单元，公民的基本权利就包含在人权的内容里面，换句话说呢，就是公民基本权利其实是人权在宪法上的具体化。 第一单元呢，我也讲过，宪法的核心价值是确认并保障公民权利的实现。那么第二单元就会告诉你公民基本权利有哪一些是生化第一单元的认识， 同时呢，第二单元下起认识第三单元，国家制度和第四单元，走进国家机构，为使学生理解国家制度和国家机构是如何保障公民权利，督促公民义务履行提供了什么认知的基础。 八项二单元呢，我们主要是从公民层面来展开的，分为两课。第三课呢，是从什么是什么的角度来表述公民有哪些基本权利，应该履行哪一些基本义务。 第四课呢，是依法行使权力和履行义务是从怎么做来展开的，所以呢，我们是从是什么和怎么做来理解这两课的关系。 那么第三课他先讲清楚了我们公民的基本权利有哪一些，以及我们公民的基本义务呢？有哪一些？那么这里面我们要了解什么是权力，什么是义务， 简单来理解呢，权力就是我们作为一个公民呢，我们在社会上会获得一些好处，当然这个权力是可以要也可以放弃的，那么什么叫义务呢？就是我们作为一个公民不得不去承担的一种责任， 然后呢，这里面既然是不得不承担责任呢，也就说明这个义务是必须履行的，如果你不履行，那么是违法行为，要承担一定的法律责任。 讲清楚了权力和义务到底是哪一些之后呢？我们就开始具体讲怎么做，也就是依法行使权力和履行义务。 首先呢，我们会讲清楚权力和义务是相统一的，从整体上来理解这对关系主要是两个问题，第一个是权力和义务的关系，第二个是如何正确处理权力和义务的关系。然后我们再具体来讲一下依法行使权力，那么也是两个问题， 第一个是如何依法行使权力，第二个是公民维护权力的方式。那么接下来就是我们在讲依法履行义务呢，也是大家要记住两个问题， 那么第一个呢就是为什么要履行法定义务，第二个呢就是我们说如何履行法定义务，所以第四课呢，我们可以简单理解，就是总分分的关系，那么这个就是我们第二单元的思维框架， 我在编排自己资料的时候是稍微有所调整的，我是先讲公民的基本权利有哪一些，如何依法行使权力，公民的基本义务有哪一些？如何履行 义务。最后呢是权力和义务的关系，以及如何处理权力和义务的关系。那么今天我们这个框架就讲到这里。

八下生物最难的思维导图，全部吃透，稳进班级前三！八下生物思维导图，第一单元生物和生物圈 第二单元生物体的结构层次第三单元生物圈中的绿色植物第四单元生物圈中的人 第五单元生物圈中的其他生物完整版分享！

这个视频咱来讲讲矩形的判定。在平行四边形中，有一个角是直角，肯定就是矩形了。除了平行四边形中有个直角，别的条件可以证明矩形吗？比如在平行四边形中，让两条对角线相等，那你说这个图形是个矩形，不 应该是，那就正正看呗。显然这组对边相等，这条是公共边，对角线又相等，那这两个三角形全等呀？是三角形 a、 b， c 全等于三角形 d， c， b 判定就是 s s， s， 那 显然这两个角就相等了，它俩又互补，那只能都是直角了。那这个四边形就是个矩形， 所以平行四边形中对角线相等的话，也是矩形。其实你也可以这样证，既然对角线相等且互相平分，那这四段就一样长，这四个就都是等腰三角形。这俩三角形全等，底角都是阿尔法。 这俩三角形也全等，底角都是 beta。 那 在这个平行四边形里，锐角不是阿尔法就是 beta， 你 知道这俩角互补，那一个阿尔法和一个 beta 就 得九十度呗。这就有直角了。 这个图只看一半的话，对了，就是斜边，中线是斜边一半，这三条线段相等，能推出这两个角相等，这两个角也相等，内角和是一百八，那他俩就是九十度。所以这个结论也能推出直角， 这四段一样可以推出矩形。我把这个判定稍微升级一下，在平行四边形中，只要看到他是个等腰三角形相等，这个图形就是矩形。 那么问题来了，已知平行四边形 a、 b、 c、 d 延长， dc 是 c， e 等于 dc， 也就是它是个平行四边形，这两段相等角 afc 等于两倍角 d， 也就是这个角是这个角的两倍，那如果角 d 是 阿尔法，这个角就是二阿尔法。 求证四边形 a、 b、 e、 c 是 个矩形，也就是这个四边形是个矩形。要正矩形，先看看它是不是平行四边形。在这个平行四边形中，这组对边平行且相等，而这两段又恰好相等， 那显然这两条边也是平行且相等的。是 a、 b 平行等于 c、 e。 有 了这俩平行且相等，那自然就有这个四边形是个平行四边形，这样你就证出了平行四边形 a、 b、 e、 c。 现在只要证它是个矩形就成了。 题目中还有个条件没用呢，就是这个角等于这个角的两倍，离得太远了，你看看还有谁是阿尔法。对了，对角相等，这个角也是阿尔法，而这个角是这个三角形的外角，那这个角也得是阿尔法， 这样这两条边就相等了。平行四边形，对角线互相平分，那这俩对角线就相等了呗。是 a、 e 等于 b、 c 平行四边形，对角线相等，这就正出来 a、 b、 e、 c 是 个矩形了。搞定 以上就是矩形的判定了，平行四边形中出现直角或者对角线相等，都能判定矩形。所以，在题目中，你要先想办法正平行四边形，再找条件判定矩形。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

好，我们继续来看坐标系中的综合题，与矩形相关的啊。首先第一题告诉的是，在平面直角坐标系中， a 点是在外轴的正半轴上， 将我们的 o a 这条线段绕着 o 点进行一个旋转，旋转至这个地方的 o b 的 位置，那在这样一个旋转的过程中， o a 和我们的 o b 应该是有一个相等的关系。 接着是过这里的 b 点去做的 ob 的 垂线 bc， 将我们的 x 轴的正半轴与点 c 点。 首先是如图一告诉的是 a 点的坐标是零六。好，那 a 点的坐标提供的是 o v 的 长度， o v 的 长度等于六，因为后续的都是一个几何的信息， 所以我们需要把点的坐标转换成对应的线段长度，那此时 ob 的 长度应该也是等于六的。 好，接着给的是角， aob 是 等于三十度的，那角 aob 所在的形就是一个等腰三角形，顶角是三十，那么底角都是七十五度。 另外一个就是 o 点的位置本身在坐标系的里面啊， o 点本身是有九十度的，所以这样的话，共顶点角的运算可以得到的是角 boc 的 度数应该是等于六十度的， 那这个六十度所在的形 b o c 这样一个三角形已知 ob， 那 么另外两边长也都是已知的。 好，接下来让我们直接写出 b 点的坐标，那点的坐标是要转换成对应的横平竖直的线段长度的。好，可以转换为横平的，也可以是往 x 轴或者是外轴做垂线，都是可行的啊。比如说这里面我们直接用三十度的话，那就直接往外轴做垂线 好，做完垂线之后，垂足假设为 h 的 话，那这样的话得到的就是横平竖直的 b 点的横坐标对应的是 b h 的 长度，那 o h 对 的就是 b 点的纵坐标对应的这个数据啊， 所以这个时候往斜里面放，就是 bo h 这样一个直角三角形，并且是一个三六九的直角三角形，斜边 o b 是 等于 o a 的，是等于六的，所以接下来解这个 bo h 这样一个直角三角形即可啊。 好，那这个地方我们就简单写一下他的一个分析过程啊。首先是借助我们的这个旋转，可以得到 o a 是 等于 o b 的，是等于六的。那接下来就是在我们的 r t 三角形 bo h 中， 利用三六九的直角三角形得到 bo h 等于 bo 的 一半，也就是三。另外勾股定律是可以得到 o h 的 长度，应该是等于三倍的根号三。 好，这种直接写答案的，直接用一比根号三比二直接得结果即可。好，从而就可以得到 b 点的横坐标应该是 b h 的 长度三纵坐标是三倍的根号三，因为是在第一象限啊，都是正的。好，接着第二小题，如图二。 好，第二小题给的信息是 b 点的坐标，横坐标是六，纵坐标是二倍的根号三点的坐标还是要转换成对应的横平竖直的线段长度。那如何得线段长度？做这个垂线好，往 x 轴或者是外轴做垂线都是可行的啊， 比如说往 x 轴做垂线，那这样的话， b e 的 长度就是 b 点的纵坐标二倍的根号三。然后呢， o e 的 长度对应的是 b 点的横坐标，也就是六， 那这个时候的 b e 和 o e 往型里面放直角三角形，勾股定律好，那就可以得到我们的 o b 的 长度，它应该是等于四倍的根号三的， 那得到它是四倍的根号三。注意观察此时的 b o e， 它就应该是一个三六九的直角三角形 啊，如果有需要，我们可以去分析里面的角度。大家这个结论注意一下啊，由角可以直接到边，但是反之由边是不能直接到角的，我们是需要进行证明的啊，也就是比如说取 ob 的 中点斜边中线，或者是把 b 一 倍长，都是可行的 啊。然后另外一个 ob 这条线段由提杆条件，它是由 o a 旋转来得到的，所以 o a 这条线段长度是四倍的根号三 好，接着给的是 c 点的坐标是八零，好，那提供的就是 o c 的 长度应该是等于八的，进而得到 o e 的 长度是等于二的 好。当然这个地方实际上这个条件是稍微有点多余的啊，因为本身这个地方的 b 点的位置，它是由体干条件提供的，有 b o c 啊， o b c 等于九十度，所以这个地方的九十度和一点处的九十度形成的是有三个直角三角形。 所以即使没有给这个地方的 c 点的坐标得 c e 的 长度，我们也可以直接勾股方程的四项把它求出来。假设 o e 啊，这个 c e 长为 x， 那 么 b c 的 平方就可以表示借助 b c 的 平方加上 o b 的 平方等于 o c 的 平方，也可以把 c e 求出来啊，也是可行的啊。 好，那这个地方啊，接下来就是根据我们的 c 一 等于二， b e 等于二倍，根号三，勾股定力，也可以把这里的 b、 c 求出来， b、 c 的 长度应该是等于四的 好，所以这个地方啊，首先是过 b 点去做垂线形成的两个直角三角形勾股定力啊，一个是 b、 e、 o 这样一个直角三角形勾股定力，可以得到 o b 的 长度四倍的根号三，进而也就等于 o a 啊。另外一个在 r、 t 三角形 b、 c、 e 中 好利用勾股定律是可以得到 b、 c 的 长度，应该是等于四的好。那接下来的话，是以 o、 b 和 o c 为边做了一个矩形 o、 b、 c、 d， 那 矩形带来的是两组对边，分别平行且相等。 接下来让我们求的是 a、 d 的 长度，那 a、 d 目前找型的话，应该是 a、 d、 o 这样一个三角形好，在这个三角形里面，已知 o、 a 是 以这个四倍的根号三。另外 o、 d、 o、 d 是 矩形的边，它和我们的 bc 相等，也就是等于四的， 那就相当于是已经具备了两边，加上这个要求的是第三边，所以这个时候它实际上就是一个减三角形 a、 o、 d 的 这样一个过程。那在已知两边的情况下，要求第三边，那就还需要知道一个角，特殊角 好，那这个特殊角是在 o、 c 点的位置，首先由这个平面直角坐标系提供的 a、 o、 c 是 九十度，那接下来就是这个地方的 c、 o、 d 这个角， 那 c、 o、 d 借助我们的矩形，它实际上和我们的 b、 c、 o 是 相等的，所以这个地方啊，往型里面放，可以找 b、 c、 e， 也可以找 o、 b、 c 都是三六九的直角三角形 啊，如何证的它是三六九？我们可以直接选 o、 b、 c 好， 那这个时候就是呃， b c 是 等于 o c 的 一半，也就是四和八，那就取 b c 的 中点，而啊取 o c 的 中点，而 o c 它刚好是我们的矩形的对角线，所以这个地方，我们直接用矩形的对角线来分析即可。 好，借助对角线的一个相等且互相平分，假设焦点为 f 点的话，那这个时候就可以得到 b f 等于 d， f 都是等于四的，而 bc 也是四，然后呢， c f 也是四，从而提供是有一个等边三角形的，那等边三角形，进而也就可以提供我们目标所需要的六十度 好，所以这个地方啊，就是借助我们的矩形的一个对角线啊，连接此时的 b、 d， 好， 那就可以得到的是 b、 d 好， 借助我们的矩形啊，是可以得到这里面的 b、 d 应该是等于 o c 的 等于八， 然后呢，再加上我们的对角线的一个互相平分，继续往后分析，是可以得到 o f 应该是等于 d， f 的 等于 o， d 应该都是等于四的好，进而也就可以提供三角形 o f d 为等边三角形 好，那等边三角形就可以提供特殊角度，我们所需要的 o 点处的角度，也就可以得到的是角 c， o d 应该是等于六十度的 好，那进而也就可以得到的是旁边的这个 d o 毛毛是三十度，因为这个地方是一百五十度，一百五十度是一个延长的三十度的这样一种想法好，那就直接用我们的 d o 毛毛的这个三十度，那就选择过地点去做垂线，形成三六九的直角三角形。 好，那接下来的问题，实际上啊，本质上就是解三角形 a、 o、 d 的 这样一个过程啊。好，那这个时候解的这个过程的话，首先是在我们的 r、 t 三角形 o、 d、 h 中， 利用三、六、九的直角三角形，可以得到 d h 的 长度等于二。然后呢， o、 h 的 长度勾股定律是二倍的根号三，那进而也就可以得到 a、 h 的 长度四倍的根号三加二倍的根号三，结果是六倍的根号三。 那接下来目标在求的 a、 d， a、 d 造型的话，应该是 a、 d、 h 这样一个直角三角形，两直角边长分别是二以及六倍的根号三。所以接下来直接得到我们的勾股定律，利用勾股定律得到对应的 a、 d 的 长度应该是四倍的根号七。 好，这是我们的第二小题。好，那接着第三小题啊，第三小题的话是如图三题，干条件仍然是成立的， o a 和我们的 o、 b 仍然是有一个旋转相等的这样一个关系。然后呢， bc 仍然是和我们的 o、 b 是 有一个垂直的位置关系。 接下来告诉 m 点， n 点、 q 点，这些点都是终点。好， m 点它是 ab 的 终点。我们依次来看一下啊，单独的每一个终点可以有什么样的一些想法？ m 点是 ab 的 中点， ab 角形的话是 abo， 那 在这样一个三角形中， oa 和 ob 相等，那此时是一个等腰三角形， ab 是 等腰三角形的底边，那这个中点如果要用的话，我们可以去想连接此时的 o、 m， 形成三线合一，这是一种想法 啊。另外 n 点它是 bc 的 中点， bc 找形是 bco 这样一个直角三角形，那在这个直角三角形中， n 点，它是斜边 oc 的 中点，所以这个中点如果要用的话，可以优先考虑连接此时的 bn， 形成斜边中线。 好，然后呢？接着 q 点也是中点，它是，嗯， ob 的 中点，是直角三角形的直角边的中点，暂时没有特殊用法。 另外竟然有三个中点，多个中点是像中微线的用法。哪些中点的连线能够形成中微线啊？目前它是连的 m n， m 点是 ab 的 中点， n 点是 oc 的 中点，而 ab 和 o， 呃， ab 和 oc 并不是同一个三角形的两条边，所以这个时候虽然说是中点连线段，但是暂时没有形成中微线 啊。另外一个，比如说 m q， m 点是 ab 的 中点， q 点是 ob 的 中点，所以 m q 是 能够形成是中微线的，它是平行且等于 o a 的 一半。另外一个，比如说 q n， 那 q n 的 话，它是我们的这个。呃， 一个是 ob 的 中点，一个是 oc 的 中点，那就可以得到 q n 是 平行且等于 bc 的 一半。所以如果有需要可以去连线形成中微线，包括这个 m q 的 话，它除的是 o a 的 一半，同时借助等量代换也是 ob 的 一半， 包括我们如果说想的是三线合一，那这个 q 点也可以理解为是 b o m 这个直角三角形斜边中点都是可行的啊。 好，然后呢？接着还有 p 点，它也是中点，是 m n 的 中点，那目前连的 p q， 但是 p q 暂时也不是中微线，一个是 ob 的 中点，一个是 m n 的 中点。 好，接着给的信息是 m p 的 长度等于五，那么 p n 的 长度也是五， p q 的 长度是等于三的。最后让我们求的是 oc 的 长度，那 oc 的 话求线段长度是首先找型， oc 找型是 oc， b 是 一个直角三角形， 那在直角三角形里面，如果要求线段长度，首先想到的是勾股定律，那勾股定律的话就需要得到 o b 方加上 b c 方，那目前 o b 和 o c 啊 b c 都是未知的。 但是接着我们刚刚的一个分析， o b 它实际上跟我们的 o a 是 有一个相等的关系，而本身题目条件里面是有大量的中点，大量的中点我们首先想到的是中位线的用法，那么 o a 这条线段它是可以平行折半转移至 q m 的 位置 啊，借助中微线平行折半转移到 qm 的 位置，而 qm 这条线段就跟我们的已知的五和三所在的形是能够产生联系的。 同理的话 bc bc 所在的 bco 这个三角形里面， q 点和 n 点分别是 ob 和 oc 的 中点，所以 bc 这条线段是可以平行折半转移至 q n 的 位置，也是可以跟我们的已知的五和三分别去产生联系 好，所以这样的话，辅助线的话就是连接此时的 m q 以及我们的 n q 好 连完之后在两个三角形中依次形成中微线啊，所以这个时候辅助线的话就是连接此时的 q m 以及 q n。 那接下来的话，首先在三角形 a b o 中啊，利用中微线是可以得到 q m 应该是等于二分之一的 o a 的， 进而也就等于二分之一的 o b， 而 o b 是 我们目标 oc 所在的直角三角形的边啊。另外一个就是我们的 q n， 那 就在三角形 o b c 中， 那 q n 这条线是可以作为中微线的，对应的第三边就是我们的 bc， 好， 那接下来原本要找 o b 方加上 o c 方，现在就转化为 q m 以及 q n， 好， 那这个时候所在的形就是 m n q 这个三角形，这个三角形里面的话，已知 m n 的 长度是十，然后呢， p 点是中点，得到两边都是五，另外一个它的中线 q m 的 长度是等于三的， 那因为我们目标是需要平方，也就是原本是 o b 方加 bc 方，现在就是 q m 方加上 q n 方， 那要得到平方就需要直角三角形，也就需要把 q m 和 q n 放在直角三角形里面。如何构成直角三角形，那就做垂线，过 q 点往 m n 去做垂线， 好，这个垂足假设为 h 的 话，那我们需要的是 q m 的 平方， 好，加上 q n 的 平方，而 q m 所在的形就是 q m h 这样一个直角三角形。利用直角三角形勾股定律来得到平方关系，所以它就应该是等于此时的 q h 的 平方，然后呢，加上 m h 的 平方， 那另外一个 q n 的 平方，一样的，利用勾股定律 q n h， 所以 它就应该等于 q h 的 平方，然后呢，加上 n h 的 平方， 好，那这个时候都有 q h 提供这个合并同类项，那就是两倍的 q h 的 平方，加上此时的 m h 的 平方，加上 n h 的 平方，那 m h 和我们的 n h。 注意啊，我们要的是平方加平方， 而这两条线段它目前是在位置上，是一种共线的关系。如果说垂直，我们可以想勾股，但它目前是共线的，所以接下来的话，它会涉及到一个共线运算，好共线的线段是能够进行一个共线运算的，这个在我们前面勾股里面实际上是有类似的这样的一种用法啊。 好，那这个时候的方法是不为一的。一个是这个地方啊，我们在这个 m n 这条线上有一些等量关系，首先有 p m 和我们的 n 啊，这个 p m 和 p n 是 相等的，那接下来就是用我们的这个等量的啊， p m 和 p n 这两条线段表示我们目标的 m h 以及 n h 想办法要跟我们的已知的边来产生联系，所以此时的这里面的这个 m h 这条线段，它可以用我们的有等量关系的 pm 减去 p h， 所以 它应该是等于 pm 减去 p h 的 平方 啊，同理的话，这个地方的 n h 的 平方啊， n h 的 话，它是可以用我们的 p n 加上 n p h。 好，那这个时候得到这样一个啊，就是我们的完全平方公式，那完全平方公式注意来观察此时的这个啊，隐藏的还有个信息啊，就是 pm 和 pm 是 相等的， 所以 pm 一 旦和这个地方的 pm 相等，我们就可以把它统一成一样的，比如说都写成 pm。 好， 那这个时候利用我们的完全平方公式，首平方尾平方中间是积的两倍， 那这个时候因为 pm 和 p n 相等，所以它们的这个二倍基是刚好互为相反数的，所以把这个括号去掉之后，实际上二倍基就直接合并掉了啊，那这个地方我们还是给大家去展示一下啊， pm 的 平方，然后呢减去两倍的 pm 乘以 p h 加上 p h 的 平方， 那后面的话就是 p n， 我 们等量代换成 pm， 然后加上两倍的 pm， 乘以 p h 加上 p h 的 平方，那这个时候前面是减二倍基，后面加二倍基，合并掉了。 好，接下来一样的啊，继续合并同类项，那就是两倍的 pm 的 平方，加上两倍的 p h 的 平方。 好，接下来平方就还是勾股，那此时 q h 的 平方。 q h 造型除了 q h m， q h n， 还有 q h p， 那 就可以得到 q h 的 平方，加上 p h 的 平方。好，这两条线段的平方之和应该是等于 呃 p p q 的 平方，而已知的是 p q 啊，那这里面是有两倍，所以它就应该是等于两倍的 p q 的 平方 啊，然后呢，再加上两倍的 pm 的 平方，而 p q 和 pm 的 长度都是已知的，所以代入数据啊，就是两倍的 p q 就是 三的平方， pm 的 话就是五的平方 啊。把这个式子运算一下啊，最后得到结果应该是等于六十八的啊，这是我们的 q m 的 平方和 q n 的 平方，而我们目标所需要的是 ob 方和我们的 oc 方。 好，那接下来的话就是这个呃，进而也就可以得到啊，我们目标所需要的 o c， 那 就是在 r t 三角形 b o c 中，好，利用勾股定律是可以得到 o c 的 平方，应该是等于 ob 的 平方加上 bc 的 平方， 而这个地方的 o b 的 话，它是这个呃，等于 o a 的， 进而也就等于 q m 的 两倍啊， q m 的 两倍，所以它应该是等于两倍的 q m 的 平方，两倍的 q m 啊，整体的平方。 然后呢，再加上两倍的这个 bc 的 话，就是加倍折半转移至 q n 的 位置，所以它等于两倍的 q n 整体的平方啊，把括号去掉，那就应该是四倍的 q m 的 平方加上 q n 的 平方 啊，把数据代入，也就是四乘以六十八，得到结果应该是等于二百七十二的啊。接下来开放的话，就是 o c 的 长度，呃，取正的话，最后得到 o c 的 长度，应该是等于四倍的根号十七的啊，这个地方的负值我们就直接舍掉了 啊，从而得到目标带球的这个 o c 的 长度就应该是等于四倍的根号十七。好，所以这个地方啊，它实际上就本质上啊，就是考那个中线定你的这样一个内容啊， 也就是在我们的三角形 q m n 这样的一个三角形中，呃， q p 是 中微啊，是三角形的一条中线，所以它实际上有的一个基本结论啊，就是此时的，呃，这个 q m 的 平方，加上此时的 q n 的 平方，应该是等于两倍的 q p 的 平方，然后呢，再加上两倍的 pm 的 平方，当然也是两倍的 p n 的 平方，也是可行的。

第一题，矩形翻折问题 求的是 m n 的 长，因为 m n 比较靠中间，需要借助辅助线。由翻折的特性可知，辅助线我们连接 ac。 在这里，首先根据勾股定律，在直角三角形 abc 中可以算出 ac 的 长为二倍根号五。又因为翻折的特征可以得到 m a 和 m c 是 相等的， 你的 m n 垂直平分线段 a c， 所以 b m 可以 用一个四减 ma 表示出来。在 a， b， m 直角三角形中，通过勾股定律可以算出 a m 的 长为二分之根号五。 又因为它的一个垂直平分的特征 a， f 跟 f c 相等，等于二分之一的 a， c， 得到答案为根号五。在直角三角形 a， f， m 中，通过勾股定律可以将我们的 m， f 算出来， 再通过一个八字形全等得到三角形 a， n， f 和 c， m， f 角角边全等，那么就可以得到 m， f 和 n， f 相等，都等于二分之根号五，所以 m n 等于根号五。 下一道题，矩形背景有角平分线还有一个中点。首先依然是看到我们有一个八字形全等 三角形 m， d， o 和三角形 n， b， o 全等八字形。通过角角边全等 就可以得到 m， d 和 b， n 相等，所以设 m d 为 x， 所以 d， n 也为 x， 从而表示出来 n， c 等于四角 x。 根据角平分线还有平行可以得到三角形 c， n， m 为等腰三角形， 从而你的 m， c 就 等于 c， n 等于四减 x。 在 r t 三角形 c， d， m 中，根据勾股定律可以列出关于 x 的 一个方程，从而把 x 解出来， b dm 得解。 下一道题，关于矩形的一个翻折问题，翻折问题我们需要将折叠后的图自己将原图补充完整。 根据翻折的特性可以得到 d、 a、 e 三角形和 d， a 撇 e 三角形是全等三角形， 所以 a、 e 和 a 撇 e 是 相等的。根据体干给的 bc 等于根号二，所以它也等于根号二。 又由我们在这里知道 a、 d 也是根号二。在直角三角形 a、 d、 e 中，可以通过勾股定律将 d、 e 得出 是二，又因为 d、 c、 f 向下翻折，所以得到 d， c 和 d、 e 相等就等于二。外围 a、 b、 c、 d 为矩形， a、 b 和 cd 相等就等于二。得答案 来。下一个题型给的背景是一个等腰三角形尺，放在一个矩形的图中，知道了我们的角 e、 f、 c 等于七十度，求的是角 a、 g、 e 的 一个度数。 在这里的话呢，知道 afc 等于七十度。矩形的特征，直角三角形，所以我们的角 fec 等于二十度， 这是九十度平角，所以得到角 b、 e、 g 等于七十度。我们平行线同旁内角互补，就可以得到 a、 g、 e 等于我们的一百一十度。 来，下一个题干，给出 a、 b、 c、 d 背景为矩形二倍角啊，在这里做一个简单的标记，题干告诉我们说角 a、 e、 d 等于二倍的角 c、 e、 d， 所以 我们标记的时候呢，小角画一条线，二倍的角画两条线。 又给出 g 是 一个 d、 f 的 中点直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们的 g、 d、 g、 a、 g、 f 都是相等的。 体干给出 b、 e 等于一， c、 d 等于三，求 d、 f 的 长。通过转换我们会发现，只要求出我的一条单线的长即可。矩形特征 c、 d 等于三，所以 ab 也等于三，勾股定律可以算出 a、 e 的 长为根号十。 那么在这里的话呢，根据刚才的推导可以知道三角形 a、 e、 g 在这里为等腰三角形，为什么呢？首先在这里我们内错角相等，都表示一条横线 等腰，一条横线相等，看我们的角 a、 g、 e 为外角，所以是两个小角加起来两个横线的标记，所以就可以得到 a、 g、 e 为等腰三角形。 那么我们的 a、 g 就是 根号十的 d， f 就是 二倍根号十的答案， 下一个动点问题，动点问题，我们关心的是动点从哪里出发，到哪里结束啊？在整个过程中去研究。根据题干，我们知道 我们的一个运动情况是点屁到达点 d 时停止运动，因为 a、 d 的 长在这里是十二，我们点屁的一个运动的速度在这里给的是 一厘米每秒，所以根据这个条件可以知道我们最长的一个运动时间为十二秒，所以 t 的 范围是零到十二秒。动点问题，先确定时间范围， 然后在这里的话呢， p 到达地点是停止运动， q 也不动了，运动时间为 t， 所以 我们会发现在这里 q 的 运动速度比较快，在这十二秒的过程中，从 c 到 b 单向所需的时间只需要三秒，所以十二秒他是在做一个不停的往返运动， 那么我们从 c 到 b 就是 一个时间节点，零到三秒，从 b 到三返回来是一个六秒，从 c 再去 b 是 一个九秒，从 b 再回 c 是 一个十二秒，所以我们在这里分为一、二、三、四四种情况。 题干要求 p、 q、 c、 d 所构成的四边形为矩形，我们已经知道，在这里啊，要想成为矩形，就需要满足我们的 d p 和我们的 c q 是 相等的， 因为 dp 和 c q 本来就是平行，如果相等以后，我们成为平行四边形，题干已经有一个直角，所以就成为矩形。 dp 和 c q 在 不同的时间段，它表示的式子是不一样的， 所以分别列出来对应的式子以后，解出来对应的时间，即为答案。 好来周长最小，也就是路径最短。问题结合在我们八上的一个将军引马题干中，给出矩形 a， b c， d， a b 在 这里的长是给出的， b， c 的 长也是给出的， e， f， g， h 是 不确定位置的点，只知道我们的 a e 和 c g 相等做标记， a e 等于 c g， 那 么对应的在这里 b f 和你的 d h 也是相等的，从而可以确定，根据矩形的特征，我们的 e b f 和我们的 g d h 两个三角形全等，可以得到我们的 e f 和我们的 g h 相等，同理可得对面的这两个三角形也是全等的， 那么就可以得到我的 e h 跟 g f 全等。所以中间这个四边形 e h， g f 一定是一个平行四边形，那么平行四边形的周长就可以表示为我们的 e f 加上 f g。 二倍的 e f 加上一个 f g 来表示要周长最小，即为这两条线段的和最小。我们来看一下 e f 跟 f g 这两个线段它的和。 因为 f， e g 三点都不确定，所以在这里的话呢，我会想到做对称，过点 e， 做我们的 e e b 和我们的 b e 撇是相等的啊，也就是过点 e 做 b c 的 一个对称点 e 撇，那么连接记 e 撇就可以得到我们此时的 e 撇， g 这条长就是对应的这个是最短的，那这个长怎么求呢？我们过点 g 做 ab 的 垂线，可以得到我们对应的 垂足，设为 k， 我 们会得到 g， k 的 长和 ad 的 长相等，就是我们的一个六。 又根据刚刚啊来看一下我们刚才得到的一个这条长 和下面这条长是相等的，所以我们就是将下面这条长进行一个转移，得到的 k 一 撇就一定是我们的最终的 a b 的 长是三，所以三六直角边就是多少呢？ 三倍根号五，所以最终答案就是六倍根号五。

第七题，这个题目很有意思，他跟我们之前讲过的一个结论叫垂美四边形，有没有同学有印象了？ 垂美四边形。什么是垂美四边形啊？叫对角线相互垂直的四边形，叫垂美四边形吗？垂美四边形有哪个解？哪些结论呢？第一个关于垂美四边形的面积是等于二分之一对角线的乘积，对角线的乘积。 第二个结论是什么？垂美四边形，对边的平方和相等。 我把这两个结论给大家复习一遍，因为可能时间过得有点久远了，垂美四边形的一些性质有一部分同学已经忘记了。首先第一个概念，垂美四边形的概念指的是对角线相互垂直这样的四边形，我们就叫做它垂美四边形吗？ 好，我随便画了一个四边形，哎，它的对角线相互垂直，只有这一个结论啊， a、 b、 c、 d？ 好， 那么在这个四边形当中，它的面积等于什么呢？哦，根据题目啊，比如它焦点交 o 的 话， s 四边形来证明一下 a、 b、 c、 d 的 面积，是不是可以把它转化成两个三角形，叫 s 三角形？ abd 加上 s 三角形 c、 b、 d 就 等于二分之一底底是谁？ b、 d 乘以高，高是 a、 o， 再加上二分之一 b、 d 是 底，高是谁？高是 c o。 提取一个二分之一 b、 d 里面是不是 a o 加 c o， a o 加 c o 不 就是 ac 吗？就等于二分之一 b、 d 乘以 ac， 是 不是就能得到第一个垂面四边形的面积等于二分之一对角线的乘积啊？第一个解决。 那么第二个结论，这是第一个结论，第二个结论叫对对边的平方和相等。什么意思？就是 ab 的 平方加上 cd 的 平方永远都等于 bc 的 平方加上 ad 的 平方，这个我们也可以证明的。根据勾股定律， ab 平方加上 cd 平方，是不是等于 o a 的 平方加上 ob 平方， 再加上 o c 平方再加上 o d 平方啊？哦，这因为是垂直吗？勾股定律， ab 平方不就它俩的平方和吗？ c、 d 平方不就它俩的平方和吗？好，那你再看一下我们另外一组对边 bc 的 平方加上 ad 的 平方，是不是 bc 平方等于什么？是不等于 ob 平方加 oc 平方啊？哦，就等于 ob 平方加上 oc 平方，再加上 ad 的 平方等于什么呢？根据直角三角形是不等于 o a 平方 加上 o d 平方。哎呀，同学们看一下，等号右边的一模一样，所以等号左边的一定相等，从而就能得到第二个结论，叫 a、 b 的 平方加上 c、 d 的 平方永远都等于 bc 平方，加上 a、 d 平方。 我希望所有同学都牢牢记住这个结论，就是如果一个四边形，它的对角线是相互垂直，那么这样的四边形一旦出现的时候，我们要知道这里面有两个非常重要的结论，第一个，它的面积可以用二分之一对角线的乘积来计算，推导方法在这。 第二个就是对边的平方和相等，也就是说，如果一个四边形，它的对角线相互垂直，则他们对边 ab 平方加 cd 平方，一定等于另外一组对边 bc 平方加 ad 平方。那么有了这样一个结论加持之下，下面我们看这个题目吧。 第一个，他说如图一个点 p 啊，是矩形对角线上的一个点 p， 点过点 p 呢？做对角线的垂线。哎，同学们想想，是不是这个跟我们之前学过的矩形中的十字架又扯上关系了？但是我们要知道，这个垂直的话，你看，如果垂直，请问啊， 在矩形固定的情况下，这个 e f 的 长度是不是固定的？同学们想一下这个问题，那肯定是固定的吧，这个好理解吧？ 好，所以 ef 它肯定是个固定的。接下来他问第一下，问四边形它的面积是不是钉直哦，这个四边形是不是对角线相互垂直的一个四边形啊？ 那它的面积是等于二分之一对角线的一半哦，根据矩形是固定的，所以它的对角线固定。而根据刚才我们 ef 是 垂直于 ac， 所以 ef 它也是固定的嘛。 ef 为什么是固定的？其实根据我们可以去计算的。 你想啊，我只要 e f 永远平行于 a c， 那 你看看，这是个平行，这条线跟这条线平行，这个跟这个也是平行，所以这个四边形永远是平行四边形。不管你屁运动到哪里的时候，那我们这条平垂直于他的线与这个上下两个焦点，一个叫 e， 一个叫 f 的 情况下， e f 的 长度是永远都不变的呀，它是固定不变的呀， 这个好理解吧。哎，为什么固定不变？其实很好理解，你只要证明这个四边形是平行四边形，所以这个 e f 跟这个 e f 相等，也就每一个 e f 它都是相等的吧。 好，所以第一个它是正确的，它的面积不变。当然只要矩形不变啊，因为题目很明确说了是矩形对角形上一个动点，所以这个矩形是已知的，只有 p 是 个动点嘛。好，紧接着第二个，他说 a c 加 c f， a e 加 c f 在 这， 那这两条线段怎么让它变成一条线呢？哦，通过平移，我把这条线平移到这上面来，可以不？哎？让它变成一条线，那此时此刻，我是不是就可以相当于过点 c 做一个垂直于 a c 的 一条线，交 a d 的 延长线于一点？那么此时此刻，根据题目，比如说这个点，我给他取个名字叫 g 点， 因为我这个是做了垂直，这也是垂直，所以根据题目，这条线跟这条线平行，垂直于同一直线，两直线平行，又因为矩形的一组队员本来就平行，所以这是个平行四边形嘛。所以我们瞬间就把我们的 c f 平移到 eg 这块了。所以第二个里面，第二个里面他说了什么？说了 a e 加上 e g 啊， a e 加 e g 不 就等于 a g 吗？ 哦，等于 a g， 那 根据题目，我们知道 a c 是 固定不变的，它的方向不变，长度也不变，那么过这个 c 点做一个垂直之后，这个 c g 是 不是永远等于 ef 啊？ 哦，只要这个矩形不变，因为 ef 也不变，所以直角三角形，两条直角边是固定的，所以它的斜边 a g 一定固定吗？ a g 固定，也就意味着 a e 加 cf 的 和是固定的，这第二个也是固定的， 那第三个对不对呢？第三个题目很明显，它是正不到的。这个地方我们经常做的是什么？要求我们的 c e 加 a f 的 最小值啊？ 回忆一下我们曾经做过的这个最小值啊，是怎么来做过，怎么样做的啊？它存在，既然存在最小值，它肯定不是个定值对不对？那么这个最小值怎么做的？你看一下，假如题目中求这个与这个的最小值，这边有一个定长的动线段，刚刚是不是说定长动线段？ 所以当题目中求最值问题时候，遇到了定长动线段 e f 是 不是固定长度，定定那个固定长度的动线段？我们的解析技巧就一句话，在之前的， 嗯，周周练或者说直播课上都有讲过的是什么是过定点做定长动线段的平行且相等的线段 来构造一个平行四边形吧。我用蓝色的笔给大家来构造一下，我们过定点 c， 做一个与 e f 平行且相等的线段，此时此刻我是不是就把我们的 c e 瞬间就转化为这个地方了？这个点我给它取个名字叫 m 点， c e 是 不是永远等于 f m？ 所以 当我们题目要求 a f 加 c e 的 最小值，是不是就转化成 a f 加 f m 的 最小值啊？那 f m 加，呃，这个两个最小值是不是三点共线的时候最小啊？ 能看懂吗？也就是说在这种情况下它是最小的。这个题目有印象吧，这其实是我们曾经做过的题目啊，所以既然它存在最值，那肯定它的值不可能是个固定值，那如果固定值就不存在最值呀， 所以第三个它肯定是不对的。那么对于第四个呢？第四个它说什么哦？ a e 平方加 c f 平方， a e 平方加 c f 平方，等于 a f 平方加上 c e 平方，那不就是我们垂面四边形的一个结论吗？对于我们这个题目而言，也是吧， a e 平方加 c f 平方。第四个我们可以证明一下， a e 平方加上 c e c f 的 平方，不就等于根据勾股定律， a e 的 平方等于什么？等于 pa 方加 p e 方，所以就是 pa 方加上 p e 方， 再加上 p f 方，再加上 p c 方。那么同样后面的 a f 的 平方加上 c e 平方，是不是立刻就能够看到是 pa 的 平方加上 p f 的 平方， 再加上 p e 的 平方，再加上 p c 的 平方。通过观察我们发现等号右边居然是一模一样的，只有顺序不同罢了，所以立刻我们就能得到哦，这个地方， a e 平方加上 c f 的 平方，他肯定是等于 a f 平方加上 c e 平方吗？ 那么立刻就能得到我想要的结论。第四个就是对的，所以这个题目正确答案就是一二四， 通过这道通过这道题目啊，我们要牢牢记住一点什么，第一个是关于垂美四边形中两大重要的结论，第二个就是在矩形当中啊，如果你发现有一条动线呢，是垂直于他的一个 指对角线的，那么注意这条动线段的长度是永远不变的。那么如果这题目中涉及到求最值问题，你要记住它的核心点就是过定点做定长，动线段的平行且相等的线段。把这句核心话写下来，过定点 做定长，就这个固定长度的动线段，这个线段是动的动线段的平行且相等的线段，平行且相等的线段。 这就是我们遇到求最值问题的处理技巧。当然他如果求的不是最值，而是定值问题的话，那这时候你就要看了这个定值，我能不能把它转化成同一条线段，其实也是要通过构造平行四边形来解决这个问题的吧？

好，我们继续来看几何证明与计算关于矩形的边和角的问题。首先第一题如图，在三角形 a、 b、 c 以及我们的三角形 a、 d、 e 中，满足的是角， b、 c、 a 是 等于九十度的，以及 d、 e， a 是 九十度。 好，这两个九十度往斜里面放的话，在位置上实际上是一组同位角，那同位角相等，得到两直线平行， bc 和 d、 e 是 有平行的位置关系好，因为后面已经说的 a、 c、 e 是 在一条线上，接着给的信息是 bc 和我们的 d、 e 是 相等的， 那就是平行且相等。平行且相等带来的是有特殊形，平行四边形，并且有直角，所以带来的实际上是一个矩形的清晰。好，所以我们这个地方啊，一边这个分析，一边写一下他的一个分析过程啊， 好，也就是首先是根据我们目前的题目信息，得到 b、 c 应该是平行且等于 d、 e， 然后呢，进而也就得到平行四边形，加上有角， a、 c、 b 是 直角。好，进而也就可以得到的是角， b、 c、 e 是 等于九十度的，那这样的话就可以得到的是有一个矩形啊。 好，这里的 b、 c、 e、 d 是 一个矩形， 那出现的矩形的话，重呃，矩形的重点的考点就是一个是它的四个直角，另外一个就是对角线的性质啊，有一个相等且互相平分 啊。接着啊，第一呃给的信息是 m 点和 n 点分别是 ab 和 c、 e 的 中点，那两个中点的话是向中点的中位线的用法， 那目前这两个中点的连线 m、 n 暂时不能形成中微线，一个是 ab 的 中点，一个是 c、 e 的 中点，而这两条线段暂时不在同一个三角形里面，我们只选的三角形的中微线好，所以这个时候现有的这个啊，直接是不能直接用的， 那接下来让我们求证的是 a d 等于两倍的 m n 好， 那这个地方要解决两倍的关系，又是跟中点有关的， 所以中点的所有的这种中点的相关的辅助线的用法都可以跟两倍来建立联系。比如说中点的倍长是有两倍的，等腰三角形三线合一，那也能够提供这个底边的两倍的这种关系， 包括比如说直角三角形斜边中线是由斜边中线等于斜边一半好，以及我们的这个中位线也是有两倍，那这个题目在做的时候，从目标的两条线段出发，一个是 a d a d， 找型的话，找特殊的型，也就是 a d e 好。在 a d e 这样一个直角三角形中，那直角三角形的主要的考点，一个是勾股，一个是斜边中线，那 a d 这条线段在这个直角三角形里面是充当斜边的 好，充当斜边，而且目前也没有给出边长或特殊角度的信息。所以此时的直角三角形考察斜边中线，也就是取 a d 的 中点啊，比如说 a d 的 中点为 p 点，那斜边中线等于斜边一半，得到 e p 这条线段应该是等于 a d 的 一半 好，那从而问题实际上就可以转化为去证明 m n 和我们的 pe 是 相等的即可。那接下来的话题目本身还有一个终点，就是，呃， m 点是终点 啊， m 点是终点， p 点也是终点，那此时的 pm 就 能够形成是中微线，是三角形，一个是 ab 的 终点 好，一个是 a、 d 的 中点，所以 mp 是 三角形 a、 b、 d 的 一条重围线，所以接下来就是重围线的这样一种想法。好，我们写一下这个部分的分析过程啊，首先是在直角三角形 a、 b、 d 中好，交代一下对应的辅助线啊， 好，那就是取 a、 d 中点、 p 点。然后是连线啊，连接此时的 pe 斜边中线，连接 pm 是 中位线，那首先是在 r、 t 三角形 a、 d、 e 中 啊，满足斜边中线等于斜边一半， pe 等于二分之一的 a、 d。 另外一个就是三角形 a、 b、 d 中满足的是有中位线，那 pm 这条线段应该是等于二分之一的 b、 d。 而这个地方的 b、 d 是 我们的矩形的边，那矩形的边它是有限制的，对边平行且相等，所以 b、 d 是 等于 c、 e 的， 所以 pm 的 话也等于二分之一的 c、 e。 而这个地方已知条件里面的 n 点，它是 c、 e 的 中点，也就得到的是 pm 和我们的 c、 n 以及 n、 e 是 相等的，那这里面考虑的就是和 n、 e 是 相等的， pm 和 n 一 数量上相等，位置上是有平行的，平行且相等带来的是特殊型平行四边形。好，所以这样的话就可以得到的是 pm， 应该是平行且等于 n 一 的 啊，一旦它俩平行且相等，带来的就是我们的特殊型平行四边形，利用平行四边形的性质解决对应的问题即可。好，所以接下来的话就是得到啊平行四边形。我们写一下啊， 好，也就得到这里面的四边形 m、 n、 e、 p 应该为平行四边形。 好，利用平行四边形的性质就可以得到我们目标所需要的 m n， 它应该是平行且等于 p e 好。 这里面只需要用数量关系，那我们就直接写数量关系好，进而也就等于二分之一的 a d 好， 从而也就可以得到目标带求的 a d， 它是等于两倍的 m n 的 好。所以这个地方因为本身是有直角三角形，在直角三角形的环境里面又有中点，所以它是斜边中线的用法，而目标带球的边 a d 又刚好是直角三角形的斜边，所以借助斜边中线得中点。然后呢，再结合已知的两个中点有中位线的这样一种用法， 好，这是一种想法啊，把 a 相当于是借助斜边中线得到 a d 的 一半好。另外一种想法的话，就是也可以实现把 m n 这条线段进行加倍， 因为 m 点和 n 点两个点都是中点，那既然两个点都是中点的话，那么 m n 这条线段我们应该是可以把它构造成中位线 好，那这个时候如何让它成为中微线？比如说我们固定 m 点，它是 ab 的 中点，那如何让 n 点成为中点，同时形成中微线啊？这个在我们前面中微线的构造的这种题目里面也出现的比较多，也就是把 a n 这条线进行一个倍长啊，比如说倍长这一点 q 点， 使得这个地方的 a n 和我们的 n q 是 有相等的关系，那这样的话， m n 就是 中微线连接次对应的第三边是 b q， 也就是可以得到在三角形 ab q 中， 然后呢，利用中微线是可以得到 m n 应该是平行且等于 d q 的 一半，那接下来问题就转化为去证明此时的 b q 和我们的 b d 是 相等的就可以啊， ad 相等即可。 那如何证明这样的两条边相等，正边相等，正边所在的形 a d 角形，还是找直角三角形，也就是 a d e， 那 另外一个 b q 角形也找直角三角形，就是 b c q。 好， 这两个直角三角形应该是有全等的关系。好，为什么全等啊？首先是都是直角三角形， 另外都有 bc 和我们的 d e 这组边是相等的。然后第三个条件是找边，因为我们刚刚提供的是中点，提供的是边，包括以及在这个 a q 这条线上还有一个一致的中点 n 点，它是 c e 的 中点。 所以这个时候进行共线的线段，进行一个共线运算，也就可以得到啊，此时的 a e 这条线段，它就应该是等于此时的 c q 啊，因为都是这个 a， 一个是 a n 加上 an e， 一个是 c q 加上 c n， 两组边分别有等量关系啊。所以接下来就去可以证明目标带球的 a d 所在的 a d e 这样一个三角形， 它应该是全等于 q b c 这个直角三角形好，判定方法应该是 s a s 好， 正得全等之后，就可以得到 a d 等于 q b， 进而借助中微线等于两倍的 m n 也是可行的。 好，所以一个是借助斜边中线实现得到斜边 a d 的 一半，另外一个就是借助把 m n 构造成中位线，得到第三边是 m n 的 两倍，实现 m n 的 加倍。 好，接着我们来看第二小题。好，第二小题给的是角， abc 是 等于四十五度的，那提供的是 abc， 这个三角形就是一个等腰直角三角形，那边之间就有数量关系，一比一比根号二 好。接着给的是 a、 d、 e 这个角是等于六十度的，那么它所在的形 a、 d、 e 是 一个三六九的直角三角形， 接着给的是 b、 d 的 长度是等于二的，那 b、 d 的 话往型里面放是矩形的边，那这样的话，我们的 c、 e 的 长度应该也是等于二的。 接下来要求 m、 n 的 长度。好，注意，刚刚因为已经有第一问了，那第一问的话，我们的 m n 它是等于这个跟 ad 是 有关系的， ad 等于 m n 的 两倍，所以要求 m n， 那 就把 m n 转化为求 ad 啊， ad 角形的话是 ade 直角三角形，在这个直角三角形里面，它是一个三六九的直角三角形，那 d、 e 和我们的 a、 e 之间就有一个根号三倍的关系， 另外一个 b、 d， 它和我们的 bc 是 有相等的关系，进而也就和 a、 c 是 相等的。所以这个时候啊，就是首先借助矩形 d、 e 是 等于 bc 的， 借助三六九啊，借助 a、 b、 c 等腰直角三角形，它是等于 a、 c 的。 好，那接下来的话，就是在这个三六九的直角三角形中，两者角边长是有关系的，并且还有一个相差为二的。这个信息好，所以接下来就是一个方程的想法，那我们就直接是令 d、 e 的 长度为 x， 那接下来就是在我们的 r t 三角形 a、 d、 e 中，利用直角三角形勾股定律啊，那首先是三十度，也就是角 d， a、 e 这个角度是等于三十度的啊，从而就可以得到 a、 d 的 长度应该是等于二 x 勾股定律，得到 a e 的 长度应该是等于根号三 x 的， 接下来就是在这个 a e 上进行共线运算好，从而得到啊。 b d 好， 它是等于 c e 的， 而 c e 的 话是等于 a e， 然后呢，是减去 a c 的， 把数据代入，也就得到二，应该是等于根号三倍的 x， 再减去 x， 得到的是关于 x 的 一元一次方程啊，合并啊，那就应该是根号三减一倍的 x 是 等于二的系数化，以 x 等于二除以根号三减一分母由你化化减之后，得到最后的 x 的 值，应该是等于根号三加一的。 好，我们目标带求的是 m n 的 长度， m n 的 话，借助第一问，它是等于 a d 的 一半，而 a d 的 长度是等于二 x 的 好，从而得到结果就是二分之一乘以二 x 啊，结果就应该是等于 x 的， 那 x 的 值已经求出来，是根号三加一的，也就得到目标带求的 m n 的 长度应该是等于根号三加一。 好，接着我们来看第二题。好，第二题首先告诉的是矩形 abcd 中满足 ab 的 长度是等于六的，然后 ad 的 长度是等于八的， e 点是 bc 边上的一个点，满足 ef 和我们的 ae 是 有一个垂直且相等的关系。 好，接下来如图一，这个 f 点如果刚好落在 d c 上的时候，那此时的 ab 角形就是 a b e 这样一个直角三角形，然后 ef 角形就找 ef c 这个直角三角形，那这两个直角三角形是可以证全等的 啊。因为一点处的直角跟我们的 b 点处的直角产生联系，可以互余倒角角 b a e 的 角一和我们的这个地方的角 a、 e、 b 是 互余的关系，而角 a、 e、 b 和我们的角二角 c、 e、 f 也是互余的关系，同角的与角是相等的。 好，那这个地方我们写一下分析过程。角一和我们的角二是相等的，因为都是等于九十度，减去角 a、 e、 b， 然后再加上有两个直角以及边相等，我们是可以正得三角形 a、 b、 e 好，它应该是全等于三角形。 ecf 的 判定方法的话，应该是 aas 好， 证得全等之后就可以得到啊。首先这个地方的已知的边 ab 好， 它就应该是等于 e c， 也就等于六。另外一个就是我们目标带求的 b、 e 的 长度。 好，那这个时候得到 e c 等于六的话，那 e、 c 的 话， b、 e 的 话直接共线运算即可啊。 好，这个地方的此时我们的 b、 e 的 长度，那就应该是等于 b、 c， 然后呢，减去 e、 c， 而 b c 的 话，借助我们的矩形，好，过程没有写那么完整啊。好，这个地方的 b、 c 借助矩形的边对边相等得到啊，它是等于八的， e、 c 是 刚刚求出来，等于六，从而得到 b、 e 的 长度应该是等于二的。好，接着第二小题， 第二小题给的是如图啊，题干条件仍然是成立的， a、 b、 c、 d 仍然是矩形，两条边长是六和八好，接着还是有 a、 e 和我们的 e、 f 是 有垂直且相等的关系。 好，那接下来的话就是如果说 d f 是 垂直于 e f 好， d f 一 旦和 e f 是 垂直的，那就跟我们的一点处的直角形成的是一组同旁内角，那同旁内角互补得到 d f 和我们的 a、 e 是 平行的， 因为此时这个 f 点处的这个直角暂时不在形里面，至少不在三角形里面啊，包括哪怕说我们连的这个 d e 能够形成直角三角形， 但是这个直角三角形里面，暂时他的这个呃边长都是未知的，包括你的这个斜边 d e 的 长度位置实际上也是在发生改变的，所以这个直角三角形暂时是没有直接用处的。 所以此时的 f 点处的直角和 e 点处的直角带来的是有平行的特殊信息，而本身我们的这个矩形也是有两组对边的平行且相等的关系。 好，那接下来让我们求的是 b e 比上 bc 好， bc 的 长度是确定的，等于 a d 等于八，所以实际上这个题目就是要求 b e 的 长度，而要求 b e 的 长度求线段长度，优先想到的是勾股， 那这个时候往心里面放就是 a b e 这个直角三角形，那要求 b e 转化为求 a e， 而 a e 和我们的 e f 是 有垂直且相等的关系啊。可能会有同学想能不能求 af， 但是 af 目前也不在直角三角形里面，暂时是求不了的啊。那借助如果说想到的是第一问，会想到这个构造三垂直，也就是过这个地方的 f 点去做垂线啊，那做完垂线之后，这种方法呃是可以做的啊，但是相对会比较复杂， 也就是这个地方啊，那就接下来是一种方程的想法，设 b 一 长为 x， 那 这样的话，我们的这个 e h 是 等于呃六的 e c 是 八减 x 共线运算可以得到 c h 的 长度，然后 f h 又是等于这个地方的 x， 那接下来的话就是要把它们都放在直角三角形里面，但是这个地方目前的这个全等的直角三角形暂时是不行的啊，因为这个本质和我们的 a、 b、 e 是 一样的，所以转移到 af 还需要把 af 也放在直角三角形里面， 所以需要把这个垂直继续延长到上面来，然后呢在上方再去建立勾股的方程好，所以这种方法相对会比较复杂啊，那另外一种想法啊，因为这个地方要求这个 a、 e 的 长度，它和 e、 f 是 垂直的， 而本身这个地方还有一个刚刚提到的特殊信息， df 和我们的 ae 是 平行的，那这个时候平行的话，本身还有 a、 d 和我们的 bc 平行，所以我们把这个平行补充完整，实际上是能够在这个图形中形成新的特殊的形。好，那这个时候直接延长相交， 延长相交之后就可以得到 d p 和我们的 a、 e 是 平行的，而本身 a、 d 和我们的 e、 p 也是平行的，所以带来的是有一个特殊型平行四边形好，所以这个地方啊，辅助键就是延长好，延长此时的 d、 f、 bc 交于点 p 啊，这个依据的话，就是因为有两组平行，所以这样的话就可以得到啊，就是此时的刚刚前面的一个分析啊， 也就是这个地方的 d、 f 也就 d p 是 平行于 a、 e 的 啊。另外一个就是 a、 d， 它应该是平行于 e p 的， 带来的是有一个平行四边形，也就是 a、 d、 p、 e 是 一个平行四边形，利用平行四边形的性质，对边的平行且相等，那我们目标待求的 a、 e 应该是平行且等于 d p 的 好，那进而也就得到啊，它实 际上和我们的 e 应该是平行且等于 d p 的 好，那进而也就得到啊，它实际上和我们的 e f 也是有一个相等的关系 啊，进而也就可以得到 a e 应该是等于 d p， 也就等于 e f 好， 那接下来如何去求它们的长度？ 那这个时候不是用勾股了，因为目前的直角三角形的边并不是未知的啊。那这个时候注意观察，此时的 a e 和我们的 e f 是 垂直的，包括和我们的 d p 是 垂直的， 相互垂直的。这两条线段可以跟图形的面积产生联系，也就是 a e p d 这样一个平行四边形的面积是等于底乘高的，而刚好底和高又都是相等的， 而这个平行四边形的面积又可以选择以 a d 为底，高就是平行线间的距离，也就是六。所以这个地方是借助两种不同的方式表示 a e p d 这个平行四边形的面积， 那这个面积是已知的，底和高又是相等的，那么底和高的长度就是可求的好。所以接下来的话，就是借助我们的平行四边形，也就是 a e p d 的 面积 好，它是等于 a d， 然后呢，乘以 a d 边上的高，也就是 ab 的 长度，然后呢，也等于呃， a e， 然后呢？乘以 e f 好，那接下来的话就是借助相关代入相关的数据啊， a d 是 八，然后呢？ ab 是 六， a e 和 e f 又都是相等的，我们要 a e 的 长度，那就直接都换成 a e 得到 a e 的 平方，而 a e 又是线段，所以开方之后啊，取正，那就应该是等于四倍的根号三的 好， a e 的 长度。一旦等于四倍的根号三，那接下来求 b e 的 话，就是在我们的 r t 三角形 a b e 中，好，利用勾股定律建立方程，可以得到对应的 b e 的 长度。好，这里面就可以得到啊，最后的 b e 的 长度应该是等于二倍的根号三的 好，那一旦它等于二倍的根号三，也就可以得到目标的 b e， 比上 bc 好， 也就是等于二倍的根号三，比上八 化简之后的结果就是四分之根号三好，所以这里面啊，是借助呃，垂直带来的，是有平行的位置关系，带来有特殊型平行四边形，借助面积求垂线段的长度啊，好，接着第三小题， 好，第三小题给的是 q 点，是 af 的 中点，那 af 往斜面放的话，是 af 一 这样一个等腰直角三角形， af 是 这个等腰直角三角形的底边。 所以如果说这个地方需要涉及到添加辅助线的话，优先考虑的是中点的三线合一的用法，也就是连接此时的 eq。 好，接下来让我们求 c q 的 一个最小值。好， c 点是一个确定的点， q 点是在动的，体干条件仍然是成立的，矩形的两条边长是六和八。 好，那接下来我们要研究的就是 q 点，那刚刚有分析过 q 点，那这个时候因为它是 af 的 中点这个地方， f 点的这个位置啊，暂时是这个。呃，如果有需要的话，实际上也是可以分析的，它是在一条定直线上的， f 点之所以会动，是因为 e 点在动， 那一点，这个在一条线上在动，所以 f 点应该也是在一条线上在动，这是一种想法啊，就可以找两个点，比如说把这个 f 点、 e 点放在 b 点的位置，找到 f 点的位置，然后呢确定 f 点的轨迹，进而确定它的这个终点的这个轨迹，这是一种想法啊， 好，另外一种想法的话，就是这个 q 点它比较特殊，是等腰直角三角形底边中点，所以这个点我们在分析的时候，优先考虑的是三线合一连接此时的 eq， 那 就可以得到在 q 点的位置是有相等啊，这个垂直且三条边是相等的， 那这个直角跟我们已知的矩形的直角来产生联系，就是 b 点处的直角。好，那这个时候形成的就是一个对角互补且邻边相等的这样一个四边形。 好，那这个时候的边相等是，呃，这个如果说对图形相对敏感的话，应该会注意到里面是有特殊信息的，当然如果说不记得的话，我们也可以去按照常规方法去分析啊， 这个地方是有对角互补提供，是有等角关系，那就在我们的这个 a 点的位置，角 d a b 和我们的角 d q e 啊，这个 q e c 是 相等的 好，外角是等于它的内对角，而刚好这个地方的 a q 又和我们的 eq 是 相等的，相当于具备的一边等加上一角等一边和一角，所以这样的话就是边角可以集中到形里面，得全等。好，那这个时候构造全等的方法是不为一的啊，第一个可以选择做双垂 好，做双垂构造两个直角三角形的全等，从而得到直角边是相等的好，当然这个地方那我们就画一下啊， 好，目的是为了把这组边和我们的这组相等的角放在相啊这个直角两个图形里面去。啊，那这个时候，比如说记作 m 点和 n 点，那此时就可以得到的是 q a m 这个三角形，它应该是全等于三角形 q e n 的 判定方法应该是 a a s。 好， 证得全等之后，是可以得到 q m 应该是等于 q n 的。 一旦 q m 和 q n 相等，也就得到 q 点到 ab 的 距离和 q 点到 bc 的 距离是相等的， 那到角两边距离相等的点是在角的平分线上，所以连接此时的 b q 是 能够得到 b q 是 角平分线，也就可以得到。啊， b q 应该是平分角 abc 的， 从而可以得到我们的 q 点，它就应该是在角 b 的 角平分线上在运动。那接下来什么时候 c q 是 最小的，那就是点到线的距离是最小的。啊，点到线的距离，那这个时候对应的就是它最小值所在的位置。 那此时的 c q 角形就是找 c q b 啊，因为是由角平分线四十五度，所以它是一个等腰直角三角形。 bc 的 长度是等于八的，从而可以得到 c q 的 最小值是八，除以根号二，也就等于四倍的根号二。好，这是一种想法。啊， 好，当然这个地方的做法是不为一的。呃，另外一种想法就是如何确定这个 q 点的轨迹是一条直线？呃，如果说轨迹是直线的话，可以借助我们的函数的这种想法。好，这种我们也补充说一下啊，就是从函数的这个角度来理解这样的一个信息， 那如果说这个点的横纵坐标它是满足一次函数关系，那就可以确定它是在一条直线上，所以这个地方我们有一种间隙的这种想法，也就是建一个合适的坐标系，比如说我们以这个地方的 b 点为坐标原点，建立一个平面直角坐标系。 好，那建立的平面直角坐标系之后，那这个 a 点， b 点， c 点和 d 点这些点就都是确定的点。那接下来的话， e 点是在 bc 边上的一个点，我们可以假设 e 点的坐标，比如说横坐标为 t， 那 纵坐标为零。接下来的话就是，呃，先去找这个 f 点 啊，如何来确定 f 点？那就过这个 f 点去做垂线构造等腰直角三角形的三垂直啊，因为 a 点是已知的， e 点是已知的，那么 f 点这个点就可以是已知的，可以表示啊，那借助全等， ab 等于 e， h 是 等于六的， 然后呢， f h 等于 b， e 是 等于 t 的。 好，那这样的话就可以得到 f 点的坐标，横坐标应该是 t 加六， 纵坐标是等于 t 的， 那 f 点出来之后， a 点又是已知的点， a 点坐标是零六，那这样的话就可以得到 a， f 的 中点 q 点的坐标，横坐标相加除以二，也就是二分之一， t 加三 啊，另外一个纵坐标相加除以二，那纵坐标的话就是，呃，也是二分之一， t 加上六， 要加上三，那这样的话，会发现 q 点的横纵坐标是相等的，从而就可以确定啊， q 点的这个运动轨迹应该是 y 等于 x， 也就是过圆点的一三。第一项线的角平分线的这样一条射线上，在运动后面啊，就是点到线的距离，求最值即可。

哈喽大家好，今天这条视频呢，专门拯救八下几何总眉思路的同学，不用死记硬背，就教你一件事，看到题干关键词，立刻联想到知识点。一看到终点，马上想中位线三角形中线。如果是等腰三角形呢，要立刻联想到三线合一。 二、看到平行条件反射内错角相等，同位角相等，同旁内角互补优先，要往平行四边形上靠。三、看到直角垂直，别犹豫，勾股定力直接用直角三角形，两锐角是互余的倒角非常常见。直角三角形，斜边中线等于斜边的一半。 四、看到三十度角，立刻反应出来三十度角所对的直角边是斜边的一半。特殊三角形，三边比例一比刚好，三比二配合平行或者是矩形中常能构造出等边三角形。 五、看到角平分线，马上要得到一角相等，点到两边距离相等，配合平行线大概率会出等腰三角形。六、看到对角线直接套性质 平行四边形互相平分，矩形相等且平分，菱形垂直平分还平分，内角正方形全能拉满。七、看到等腰等边三角形，要联想到边等角等三线合一，等边全是六十度。 最后总结一句话，做四边形几何题，要先抓关键词，看到什么就想什么，思路瞬间就来了，这条干货呢，建议点赞收藏，下次做题直接套用！