勾股定理只能用于直角三角形吗

还有人不知道勾股定律的吗？勾股定律入门篇，超易懂的学科攻略！本期是勾股定律章节的第一课，我们将简单的介绍勾股定律和它的证明方法，以及如何利用勾股定律把长度为五厘数的线段 为之后进一步掌握勾股定律的应用打下基础。勾股定律说的是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说，如果直角三角形两直角边长分别为 a 和 b， 斜边长为 c， 那么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。那这个定律为什么称为勾股定律呢？在中国古代，我们称直角三角形为勾股形，直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，因此这个定律称为勾股定律。 在了解了勾股定律之后，如果已知直角三角形中任意两边长，我们就能求出第三条边的长度。比如，已知直角三角形中两边长分别为三和四，要求第三边的长度，那么由勾股定律可得 c 等于根号 a 平方加 b 平方，也就等于五 等等等等。由于这里已知条件中并未说明哪一条边为斜边，因此这里 c 也有可能是直角边，所以当 c 为直角边时，由勾股定律可得 c 等于根号 b 平方减 a 平方等于根号七。 我们再来看另一种情况，若当已知的是直角三角形中的一边长以及任意两边之间的数量关系时，我们同样可以通过勾股定律求出另外两边的长度。这里由于边长为正数，所以将 a 等于负，根号五舍去得到 a 等于根号五， b 等于二，根号五。 目前已知的勾股定律证明方法大约有五百种，通过对图形进行切割、拼接，再结合它们之间的面积关系，我们就可以对勾股定律进行证明。 比如赵爽弦图就是利用图形的切割与拼接证明勾股定律的一个范例。我们用四个全等的直角三角形拼成一个正方形， 若这四个直角三角形的三边长分别为 a、 b、 c， 那 么由它们的面积可知，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间这个小正方形的面积， 这里小正方形的边长恰好为 b 减 a。 将这个等式化简后，就能推导出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 那同样的，加菲尔德总统拼图与比达格拉斯拼图也利用了各图形之间面积存在的等量关系来对勾股定律进行证明。 我们将两个全等的直角三角形拼在一起，并连接他们的顶点，这样我们就得到了一个直角梯形，这个梯形的面积是等于这三个直角三角形的面积和。 接着把它们的面积分别用 abc 表示出来，再将相同的部分消去，化简后，就能推导出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 接下来我们再看一个利用不同的拼图方式进行证明的范例。首先同样令直角三角形的三边长为 abc， 接着我们可以像这样将它们拼成一个边长为 a 加 b 的 正方形。 又或者像这样先把它们两两拼成一个长方形，再将这个图形补齐，同样拼成一个边长为 a 加 b 的 大正方形。 那在图形一中，大正方形的面积可以表示为中间这个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积。 在图形二中，大正方形的面积可以表示为两个小正方形的面积和再加上四个直角三角形的面积。由这两个大正方形的面积相等，我们将这两式连立，即可证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 最后我们再介绍一个经典的证明方法，刘辉的青珠出入图，它是一个通过红蓝两色的正方形，经过分割拼合，构造出以弦为边长的正方形来证明勾股定律的方法， 红，假设红色正方形面积为 a 平方，蓝色正方形面积为 b 平方，新正方形的面积为 c 平方。那根据出入相补的原理，我们可以把红蓝两正方形中与新正方形不重合的部分都平移至新正方形中， 这样新正方形的面积就等于原来红蓝两个正方形的面积和即 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 好呢，了解了这几种证明方法，我们来尝试一下对勾股定律进行证明。通过上述几种勾股定律证明方式，我们不难看出，要证明勾股定律，我们可以通过将一个图形的面积用不同的方式来表示，建立出现段之间的等量关系。 那这道题已知，图形中只有两个直角三角形和一个不规则四边形，显然，我们是无法通过它们之间的面积关系来构建线段 abc 之间的等量关系。 那我们看在直角三角形 a、 c， e 中， a、 c 是 等于 c e 的。 所以如果我们延长 bc， 再过点 e 做 e， d 垂直 bc， 将 bc 延长线于 d 点，就能以 c、 e 为斜边构造出一个直角三角形。这样这个图形就回到了我们上面介绍过的加菲尔德总统拼图的形式， 利用梯形 a、 b、 d、 e 的 面积等于三个直角三角形的面积和即可进行证明。那这里在进行证明时，我们依旧会先利用到三角形全等得出边的相等关系， 再利用面积之间的关系证明出结论。 在学习了勾股定律之后，利用勾股定律，我们就能做出长度为根号 n 的 线段。它的做法如下， 先画一个两只角边长均为一的直角三角形，由勾股定律可知，他的斜边长为根号二。 接着以根号二为直角边，一为另一直角边做直角三角形，这样这个直角三角形的斜边长就是根号三。以此类推，我们就能画出长度为根号四、根号五、根号六这样长度为五厘数的线段。 那利用类似的方法，我们也可以在数轴上找出表示五里数的点。首先我们在数轴上找到一的对应点，过该点做垂线，画出两只角边长均为一的直角三角形，得出它的斜边长为根号二。 接着用圆规结局的方式找出根号二在数轴上的对应点，再构造两只角边长分别为根号二和一的直角三角形，即可找出根号三在数轴上的对应点。以此类推，我们可以找出根号 n 在 数轴上的对应点。 那是不是在数轴上找出表示五位数的点，就一定要经过如此繁复的步骤呢？我们看这道题，要在数轴上找出表示根号十三的点， 不能让我画十六对直角三角形吧，当然是不用的，遇到这类问题，我们首先要考虑的就是将被开方数进行拆分，尝试将它拆分成两个完全平方数之和，这样我们就能通过一个直角三角形找出所求点。 这里十三可以拆成四加九，也就是二平方加三平方记。我们可以通过构造一个两只角边长分别为二和三的直角三角形，通过截取它的斜边长根号十三来找出表示根号十三的点。 首先我们在数轴上找出表示三的点 a， 过点 a 做直线 l 垂直于数轴，之后在直线 l 上截取点 b 是 ab 等于二。最后以 o 为圆心， o， b 长为半径作弧弧与数轴正半轴的交点 c， 即所求点。 好了，勾股定律的入门篇就介绍到这里，你学会了吗？拜拜！

会啊，三十二下午把家长给我叫过来。好孩子们，我们一起来看一下这道题目。这道题目问，贪镜的十五度等于多少？会不会做班长呢？ 课代表也都不会，全班都不会。好，那我们一起来看一下弹力的十五度。首先第一个，你想一想，十五度如果扣二倍是多少度？三十度特不特殊？特殊，所以此时我们这样的题目可以用竖形结合，借助一个 两个都是十五度，此时你要找他的什么角？外角，所以外面的角等于多少度？ 三十度是不是特殊的？那特殊的你要放在什么三角形中？直角三角形，所以此时就放在了这样一个直角三角形中。 好，那接下来我们一起来看一下。我们都知道，三十度这个三角形的话，三十度所对的直角边就等于斜边的一半，所以这是一个 a， 这就是两个 a， 那 这个就是根号几 a？ 根号三 a， 没问题吧？那这个是两个 a， 那 这个边呢？等腰三角形，所以这个边关键点哈，这个边是多少？二， 哎，非常好，二 a， 所以 接下来你想一想，如果你想找到贪近的十五度，应该把它放在哪一个三角形中？哪一个直角三角形？郭阳，你站起来说哪个三角形 a 非常好，没有问题哈，这个状态还可以，可以放在这样一个直角三角形这边，所以直角边 之比就是残疾的速度，所以其中一个直角边是 a， 另外一个直角边是两个 a 和根号三 a 合在一起，就是二加根号三 a， 都有 a， 我 们可不可以去掉？ 对，都有 a 的 情况下，我们就可以把 a 去掉，所以它就是二加根号三分之一。但这个式子需要整理一下分母里面能不能有根号？ 不能，所以此时分子分母我们应该同时乘上二减根号三，那分子乘上二减根号三，就是二减根号三，那分母乘上二减根号三应该是二的平方，减根号三的平方就是 你是不是？所以最后的结果不就出来了？二减根号三学会了吗？会了，多总结多思考，你的数学一定。

这节课咱们一起来学习一下第二十章关于勾股定律的内容。首先，直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久。我国古代我们把直角三角形的短的直角边叫做勾，长的直角边呢叫做股，斜边叫做弦。 根据我国数学典籍周笔算经中记载啊，在公元前十一世纪的时候，人们就知道勾为三，股为四，那么弦就为五，也就是咱们所说的勾三股四弦五。后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系， 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这个就叫做勾股定律。本章我们将来探索并且证明勾股定律还有它的逆定律，并运用这两个定理解决有关问题，来加深对直角三角形的认识。首先我们来看第二十章第一节勾股定律及其应用。 直角三角形呢，是一种特殊的三角形，它的三个角满足于一个角是直角，另外两个角互余啊，互余就是两个角和为九十度嘛。对于直角三角形的三条边，他们有什么特殊关系呢？咱们这节课就来学习一下啊。 先从周比算经中看一下，商高构造了一个勾股弦分别为三、四、五的直角三角形， 并指出两举共长二十又五一指分别以勾股为边的正方形的面积之和，恰巧等于以弦为边的正方形的面积之和。咱们就用这个图来表示啊，记得 勾是这条边的长度，也就是在直角三角短的一条直角边，这个称作勾 五，就是直角三角形中较长的那条直角边，也就是这条直角边，斜是这条直角边，咱们一起来看看啊！ 这个三角形的勾所对应的长度是三，所对应的正方形的面积是不是变成成边长三的平方呀？五呢，它的长度是四，所对应的正方形的面积是不是是四的平方， 而弦是五，他所对应的正方形的面积是五的平方。那咱们试试啊，三的平方三三得九呀， 四的平方四四十六啊，是不是等于五五二十五，我们发现没有问题，是的， 所以说我们就得出了，从边的角度看，这个直角三角形的三边满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么其他的直角三角形的三边是否也满足上述数量关系呢？如果都满足，那么我们是不是就可以得到勾股定律了呢？ 一起来看一看探求中的内容。在这个图中啊，每个小方格的面积均为一，图中正方形 a 一、 b 一、 c 一 的面积之间有什么关系？ a 二 b 二 c 二呢？ a 三 b 三 c 三呢？咱们一起来看看啊！ a 一 这个三角形的面积是一 b， 这个三角形的面积是不是二的平方啊？也就是四， 因为它的边长是二嘛。 c 一 这个正方形，它的面积是多少呢？我们可以发现， c 一 这个正方形的面积很难求，因为我们不知道它的边长是多少，因为它并不是整数，所以说我们用割补法，在这个正方形之中啊， 减去四个小的三角形就好了。这个正方形是边长为三的正方形，那么也就是 三的平方减去一共是四个这样的小三角形，我换个颜色，减去四个这样的小三角形， 也就是减去四，乘以一个小三角形的面积是底是二，乘高是一，再乘以二分之一就可以了啊。然后咱们来算一下啊，三的平方是九，减去这个二乘一得二，二再乘二分之一，那不就得一了吗？ 一乘四，那就得四，九减四等于五。然后我们就会发现，哎，刚好 a 一 的面积是一， b 一 的面积是四，一加四刚好等于 c 一 的面积五啊。 接下来我们来看看第二个图，寻找 a 二、 b 二、 c 二这三个正方形之间的关系。 a 二，这个正方形的边长是二，所以说是二，二得四，它的面积是四。 b 二这个正方形呢，它的边长是三，三三得九，三的平方嘛，是九。那 c 二呢？我们还是运用割补法来求这个大正方形。大正方形的面积是 边长乘边长，它的边长是五五的平方，减去四个小三角形的面积，我们看这个小三角形啊，它的底是三， 再乘以高是二，再乘以二分之一。简单算一下，五的平方是二十五，减去这个二乘二分之一，它等于一，就不用看了啊，三四十二，二十五，减去十二等于十三呢。 哎，我们刚好可以发现， a 二的四加上 b 二的九，刚好等于 c 二的十三，好像也满足于我们刚才得到的那个关系。接下来我们再来看一下 a 三 b 三 c 三啊。 a 三，它是边长为三的正方形，三的平方等于九，这是它的面积。 b 三这个正方形呢，是边长为五的正方形，五的平方吗？五五二十五。 c 三呢，它是由这个大的正方形 数一数，它的边长是多少？一二三四五六七八，它的边长是多少？一二三四五六七八，减去四个小三角形的面积。 以这个小三角形面积来看啊，它的底是三，高是多少？一二三四五，高是五，再乘以二分之一就行了啊。八的平方八八六十四，减去 四乘二分之一等于二二五，一十十。再乘三等于三十等于 六十四，减三十等于三十四，而九加二十五也刚好等于三十四。 所以说我们这三个都算完了，那我们可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之合，等于以斜边为边的正方形的面积之合。那么我们就可以猜想了， 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c， 那 么 a 方加 b 方等于 c 方， 是不是就可以做了呀？因为我们刚才也发现啊，这个所对应的正方形的面积之和，正方形的面积之和，所有正方形面积是不是就是它所对应的三角形的那条边的平方呀？ 所以说这么就得到了啊， a 方加 b 方等于 c 方。接下来我们来看看如何去证明这个猜想。 说了证明这个猜想的方法有很多，看一看我国古代数学家赵爽的正法。这个图案是赵爽在注解周比算经时给出的，人们称他为赵爽弦图。 赵爽根据这个图指出四个全等的直角三角形，也就是我们红色的部分，这上面写的珠十啊， 可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形。赵爽利用弦图来证明这个猜想的基本思路是这个样子的，我们来看一下啊。 首先来看第一个图，把边长分别为 ab 的 两个正方形连到一起，也就是说这个红色的部分是边长为 b 的 正方形连到一起， 它的面积是 a 方加 b 方。同时呢，这两个正方形啊，我们还可以分割成四个全等的直角三角形，就是这样，这是一个全等三角形，两个全等三角形， 三个全等三角形。将全等三角形进行移动， 移动到了图中，我们像二图这样进行移动位置，最后移动成一个三图。这样的方式 在第三幅图之中啊，我们发现它此时边长就为 c 了，它的面积在这个图之中啊，它的面积是不是一个正方形的面积，也就是边长乘边长，一条边是 c， 所以 说它的面积是 c 方， 而这个 c 方和我们这个图之中的面积是相等的，因为它都是四个全等三角形和一个黄色的小正方形组成的， 这样就可以得出来它们的面积相等了。而这个 c 正是我们平分四个全等三角形中的那条直线，这个直线和 ab 刚好就组成了一个直角三角形。通过照上弦图，我们就得到了一种证明 勾股定律的思路，它呢，就证明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称作勾股定律。赵爽呢，通过对图形的分割拼接，巧妙的利用面积关系证明了 勾股定律，这种方法是我国数学家常用的初入相补法。赵爽，弦图体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲。 而二零零二年在北京召开的国际数学家大会上，就是以这个图来设计的啊，而在这里又有一句话，在西方，人们称勾股定律为毕达格拉斯定律。因为啊，在西方， 毕达格拉斯总结整理了关于直角三角形三边的关系，也就是说 a 方加 b 方等于 c 方，这个关系在西方是由毕达格拉斯发现的啊。 我们来看一下探究，根据照手弦图，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定律吗？ 我们来看一下利益，根据所给条件，分别求两个直角三角形中未知边的长。首先我们看啊，第一个图中，它是一个直角三角形，在直角三角形 abc 中啊，根据勾股定律，两条直角边的平方和等于斜边的平方。斜边是 ab， a、 b 的 平方，等于 a、 c 的 平方加 b， c 的 平方， a、 b 是 斜边， a、 c 和 b、 c 都是直角边， 那么 a、 c 的 长度告诉我们了是八的平方， b、 c 的 长度告诉我们了是六的平方，八八六十四加上六的平方六六三十六等于一百， 而此时一百是 ab 的 平方，也就是斜边的平方。我们要求斜边，就运用到了我们上一段学的内容，开根号， 那么 ab 就 等于根号一百，根号一百，一百是十的平方吗？两个十相乘等于一百，那就等于十了，所以说 ab 等于十。而在第二题中，在三角形 d、 e、 f 之中，根据勾股定律， 斜边是 df 的 平方，等于两条直角边的平方和 d、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方。 而这道题中要求我们求的是 d e， 因为我们 d e 不知道啊，那么我们就需要对这个式子进行处理，我们把 e、 f 减过来就行了，这样等式的左边就只剩下 df， 这样等式的左边就只剩下 d、 e 的 平方了。 d、 e 的 平方等于 d， f 方减去 ef 方， d、 f 是 多少呢？是十七的平方，减去 ef 方， ef 方就是十五的平方啊。 此时就涉及到我们计算的内容了，千万不要真正的去算十七乘十七等于多少，十五乘十五等于多少，你应该去想一想我们之前所学过的减变计算，这是一个平方差公式啊，十七减十五乘以十七加十五， 十七减十五等于二十七加十五等于三十二等于六十四。然后呢，我们再进行开根号，第一就等于根号六十四，六十四是八的平方呀，所以说第一长度为八， 这是我们在计算的时候的一些小技巧啊。接下来我们来看一下这一块所对应的练习题。 已知直角三角形两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c。 现在说了 a 等于六， c 等于十。我们先把勾股定律列出来， c 方等于 a 方加上 b 方，此时我们要求求 b， 那 么 b 方呢？就这样来求等式的两边同时减去 a 方， 右面减去 a 方，是不是只剩下一个 b 方了？左面呢？减去 a 方，那就是 c 方减 a 方，然后代入计算， c 方是十的平方，减去 a 方是六的平方，十的平方是一百六的平方是三十六，最后等于六十四，那么 b 就 等于根号下六十四，六十四是八平方啊， b 等于八。 第二题，我们还是先把勾股定律写上， c 方等于 a 方加上 b 方，要求我们求 c， 那 刚好直接带进去就行了。 a 方是五的平方，也就是二十五， b 方是十二的平方啊，五的平方是二十五，加上十二的平方是一百四十四， 那就是一百六十九，而 c 呢，就等于根号下一百六十九等于十三。 第三题，还是先把勾股定律列出来啊， a 方、 c 方等于 a 方，加上 b 方，要求我们求 a 方， 要求我们求 a。 那 么对这个式子中，我们就得求 a 方，等式两面同时减去 b 方，这样的话，等式的右边就只剩下 a 方了，而左边呢， c 方减 b 方， c 方是多少呀？ 是二十五的平方， b 方呢，是十五的平方还是利用平方差公式？二十五减十五乘以二十五加上十五，二十五减十五等于十二，十五加十五等于四十， 乘上四十等于四百啊！然后再开根号嘛， a 等于根号下四百，四百是二十的平方，所以说 a 等于二十。 这是我们练习题的第一题，接下来我们来看第二题啊，如图，在这个图中啊，所有的三角形都是直角，三角形， 四边形都是正方形，已知正方形 a、 b、 c、 d 的 边长分别为十、二、十六、九、十二。我们依次来标一下啊， a， 它的边长是十二， b 呢是十六， c 是 九， d 是 十二。求最大正方形 e 的 面积，那咱们可得慢慢求了啊， 如果想求这个正方形 e 的 面积，也就是说我们得求这条边的面积，要求这条边的面积，我又需要这条边的面积，这两条边的面积怎么求啊？那我肯定需要这两条边的面积，那么我们来进行计算啊！我们先把边长都表示出来， 设 a、 b、 c、 d 的 边长为小 a、 小 b、 小 c、 小 d 啊，然后我们表示出来啊， 这条边长怎么表示啊？是不是这两条直角边的平方和呀？因为这是一个直角三角形嘛， 那么我们就表示一下吧， a 方加上 b 方就可以得到这条边的平方和了，而这条边我画红色，这条边的平方和和我画圆圈的平方和是一样的啊， 而这条边的平方和我应该怎么算呢？我应该拿这条边来算，因为这个紫色的图形是个正方形嘛。这条边的平方和怎么算呢？是不是就是 c 方加上地方了呀？也就是这两 条边的平方和这条边的平方和。这两条边在这个三角形中都是直角边，所以说两个， 所以说这两条边的平方和相加是不是就等于易这个正方形的面积了， 因为得到的是易这个正方形的边长的平方，而边长的平方刚好就是面积，所以说我们只需要算出这个式子得多少就行了啊。 说了 a 所对应的边长是十二，那就带十二的平方加上 b 呢？ b 是 十六加上十六的平方，再加上 c 所对应的是九九的平方，再加上 d 所对应的是十二的平方。然后我们简单计算， 十二的平方是一百四十四，十六的平方是二百五十六，九的平方是八十一，还有一个十二的平方是一百四十四，然后把它都加起来等于六百二十五，所以说这个最大正方形 e 的 面积就是六百二十五了啊。 接下来我们来看一下第三题，在平面直角坐标系中有两个点，一个点是 b， 求这两点之间的距离。 我们可以发现啊， a b 这两个点和我们 x 轴、 y 轴刚好组成了一个直角三角形，我们是不是就可以通过直角三角形中的勾股定律来求 a、 b 两点之间的距离呀？ 我们可以看一看，在直角三角形 a、 o b 之中，两条直角边分别是 o a 和 o b。 o a 的 长度我们可以看出来， o a 的 长度不就是五吗？ o b 的 长度呢？是多少？是四呀？这都标好了。 然后我们再列出勾股定律， o a 的 平方加上 o b 的 平方，是不是就等于 ab 的 平方呀？ 那 ab 的 平方是不是就等于 o a 方？ o a 方是五的平方加上 o b 方是四的平方，五的平方是二十五，四的平方是十六，加一块是多少呢？是四十一，那么 ab 这两点的距离就是根号四十一啊。 好，所以说这道题得数是根号四十一，就按了勾股定律以及它的证明，我们来看一看它的应用。 勾股定律啊，有广泛的应用，我们要用它解决两个问题，像例二之中一个门框的尺寸如图所示，一块长三米，宽二点二米的博物馆，是否能从门框内通过？为什么呢？可以看出啊， 这个门框他的长是一米，宽是两米，所以说我们这个长为三米，宽为二点二米的长方形木板，长宽都比这个门框要大， 所以说木板横着或者竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能不能通过了。咱们就需要看看在这个门框中，他的对角线 a c 的 长度是木板能斜着通过的最大长度。 这样我们只要求出 a c 来，再和这个木板的宽进行比较就可以了，因为我们可以把木板横着过吗？接下来我们来看一下怎么做啊。第一步，连接 a、 c， 这样我们就创建出了一个直角三角形 abc， 根据勾股定律， ac 是 斜边呢，等于两条直角边的平方和等于 ab 方，加上 bc 方， ab 长度是一， bc 长度为二一的平方加二的平方，那就是五，而 ac 的 长度就是根号五。在这里说了，约等于二点二四， 而二点二四是大于木板的宽二点二的。所以说啊，木板能够从门框内横着通过。接下来我们来看例三啊，在这幅图纸中啊，一架长为二点五米的梯子斜着靠在竖直的墙上， 此时呢，梯子一边的顶端位于墙面的点 a 处，底端位于点 b 处，这是 a， 点 b 呢，到墙面的距离 b o 长度为零点七。如果说将梯子的底端沿 o、 b 向外进行移动， 移多少呢？移零点八米，也就是说这个 b、 d 的 长度应该是零点八米啊，那么梯子的顶端会不会也往下滑，那么梯子的顶端会不会也往下滑零点八米，也就是问我这个 a、 c 是 零点八米吗？ 怎么去算呢？我们可以发现啊，在第一个 o、 b a 这个三角形中啊， 是一个直角三角形，我们可以算出它的斜边长 o a， 而在 o dc 这个直角三角形中，我们也可以通过勾股定律来求出 o、 c 的 长度，两个一减不就可以了吗？ 看我们解题中说的，当梯子底端沿 ob 向外移动零点八米时，我们就设梯子的底端由点 b 移动到点 d。 顶端呢？由点 c 下滑到点 a， 由此可以看出啊， a、 c 的 长度就是 o a 减去 o c， 也就说是 o b a 这个三角形的长， 也就是说是 o b a 这个三角形的较长的直角边减去 o d、 c 这个直角，三角形中的 o、 c 这个直角边。接下来我们就来算这两个直角边呗。 我们先来算在三角形 aob 之中啊，根据勾股定律， oa 是 不是等于它的斜边的平方和减去我们已知的一条直角边的平方和，因为我们要求的是一条直角边嘛，就拿斜边剪直角边就可以了。 a、 b 长度告诉我们了是二点五，因为 a、 b 长度不就是这个梯子长度吗？梯子的长度是无限的，二点五的平方减去这个 o、 b 的 长度告诉我们了是零点七，二点五的平方减去零点七的平方已经算出来了，等于五点七六， 而五点七六开根号啊，就是二点四了啊，这是我们 o a 的 长度。接下来我们在三角形 o、 c、 d 之中啊，去找 o c 的 长度， o c 的 长度是不是也得拿 o o c 的 长度，是不是也得拿 c、 d 这条斜边减去 o d 这条直角边啊？ c d 是 c d 这条边是梯子的长度是不变的啊。二点五的平方减去 o， 是 不是我们最开始的 ob 的 零点七加上往外移的零点八呀，也就是二点五的平方减去一点五的平方还是老样子啊，这个可以解面计算 运用平方差公式啊，乘以二点五加上一点五，那就是一。乘以二点五加一点五，那就是四啊，得数是四是这么算的， 而 oc 呢，就是开根号四，开根号等于二，这样子的话，我们就可以算出来啊， a、 c 等于 o， a 减去 oc， 也就是所对应的二点四，减去二等于零点四， 这样我们就可以得出一个结论，当梯子底端向外移动零点八米时，梯子的顶端并不是下滑零点八，而是下滑零点四啊， 可能和我们平时的生活常识略微有些反直觉啊。来，我们来看关于勾股定律的应用的练习题。 首先来看第一个啊， ab 是 池塘边上的两点， c 呢，是与 b a 方向成直角的方向上的一点，测出 bc 的 长度是六十， ac 的 长度是二十，让我们求 ab 两点间的距离。那简单的勾股定律啊， 在直角三角形 a、 b、 c 之中啊，我们要求 a、 b， a、 b 的 平方是不是就等于斜边的平方减去一条直角边的平方，斜边是 b、 c 的 平方，减去 a、 c 的 平方。 bc 是 多长呢？是六十的平方啊，减去 a、 c 的 平方是二十的平方啊，还是平方差公式啊，六十减二十乘以六十加上二十，六十减二十是四十，六十加二十是八十，等于 三千二百，这里啊，我们不用加单位啊。而最后我们要求 ab 的 长度的时候，这个时候要加单位的啊，等于根号下三千二百 去根号呗。哎，三千二百，那是不是就是三十二乘一百啊，这样一百就可以出来了，三十二呢，我又可以分成十六乘二，开根号十六可以出来个四，因为十六是四的平方嘛，一百可以出来个十，四乘十是四十，应该等于四十倍根号二， 他说了结果要求我们取整数，我们根号二之前让大家背过了，根号二的长度是一点四一四，所以说我们就需要计算一点四一四乘四十等于多少，是等于五十六点五六的。 然后呢，也由于我们要保留整数，四舍五入五得入啊，也就是约等于五十七，此时我们得加大位了，是米，因为他说了有大位。 后面再写一个好，这道题就完成了。接下来我们来看第二题啊，如图，用激光测距仪啊测一栋楼的高度， 位于地面上的点 a 处啊的激光测距仪，先将激光射向楼底。位于地面上点 a 处的激光测距仪，先将激光射向楼底楼底端的点 b， 也就是说这条边呗，显示 ab 的 长度是二十三点一米，再将激光射向楼顶端的点 c， 测出 a， c 的 长度是三十一点九米，那这条边是三十一点九，显示出楼高是二十二米，就是 bc 的 长度呗。那简单呢，在直角三角形 abc 之中啊，最后不显出楼高是二十二吗？ bc 的 平方是不是等于 bc 是 直角边，等于 ac 这个斜边的平方，减去 ab 这个直角边的平方呀？ ac 是 三十一点九的平方，减去 ab 二十三点一的平方，这个可能比较难算一点啊，大家不要着急，慢慢来算。三十一点九的平方 等于幺零幺七点六一，减去二十三点一的平方等于五百三十三点六一减完之后等于多少呢？等于四百八十四，刚好四百八十四开个号就是二十二了， 单位是米啊。说出其中的数学道理，其实就是用勾股定底来进行解析啊。接下来我们来看一下第三题，电视机的屏幕尺寸呢，是指屏幕对角线的长度，通常以英寸为单位。说了一英寸等于二点五四厘米。 王芳测得自家电视机屏幕宽为七十一厘米，高为四十厘米。我们画一个电视机大致画的啊，宽为七十一厘米，高为四十厘米。求这个屏幕尺寸是多少啊？注意，他可是英寸，你一会还得给他换算单位， 我们要求求他的这个对角线嘛，对角线的话就是两条直角边的平方和等于斜边的平方和就是七十一的平方，加上对角线是斜边。利用勾股定律，斜边的平方和就等于两条直角边的平方和 一条直角边是七十一的平方，加上另一条直角边是四十的平方。简单计算啊，七十一的平方是五零四幺四十的平方是一千六百， 加一块等于六六四幺。注意，此时我们算的是斜边的平方，那么我们还得给他开根号，根号下六六四幺，而我们就要估算根号下六六四幺的值了。我们可以算一下， 八十一的平方大概是六五六幺，八十二的平方大概是六七二四，这个六六四幺啊，更加接近于六五六幺，所以说我们就得考虑一下八十一点五的平方大概是多少了， 那大概是六百，算完之后是六千六百四十二点二五，而六千六百四十二点二五非常接近六六四幺，所以说我们就可以估算它约等于的是 八十一点五厘米，这是我们估算啊。接下来我们来换算单位一英寸等于二点五四厘米，那么我们要算这个屏幕尺寸是多少英寸呢？是不是八十一点五里面有几个二点五四就可以了？ 算完之后约等于三十二点零九啊，然后单位是英寸， 结果呢，取整数。所以说这个电视机的屏幕尺寸大概是三十二英寸啊。接下来我们来看一下思考内容啊。在八年级上册中，我们曾通过探讨得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 也就是说是 h l 嘛。学完勾股定律之后，能不能证明这以下结论呢？学习了勾股定律之后，能证明这一结论吗？我们接下来来看一下证明啊。在这个图中啊，我们找出了两个直角三角形， 角 c 和角 c 撇都等于九十度， ab 等于 a 撇 b 撇这条边啊，斜边直角边嘛， ac 等于 a 撇 c 撇，这又一条边要求求整这两个三角形是全等的。在这两个三角形中啊，我们都发现啊，是直角三角形 反求 bc 和 b 撇 c 的 长度，怎么求啊？是不是在这个两个三角形中，分别用斜边的平方和减去一条直角边的平方和，再开根号就行了， 这里列出式子。而我们已知 ab 和 a 撇 b 撇是相等的， ac 和 a 撇 c 撇也是相等的，那么我们就可以得出来， bc 和 b 撇 c 撇也相等了，就可以退出全等了。利用边边边的三条边都相等了啊， 接下来我们来进行探求题啊。我们知道，任何一个实数都可以用竖轴上的一个点来表示，能在竖轴上画出表示根号十三的点吗？我们想画出表示根号十三的点，就得想能不能画出长为根号十三的线段， 我们知道长为根号二的线段是两条直角边长分别为一的直角三角形的斜边。长为根号十三的线段。能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 其实是可以的，我们发现两条直角边长分别为二、三的直角三角形，因为二的平方是四，三的平方是九，刚好加一块就是十三。所以说呢，依照如下的方法，就可以在竖轴上表示出十三的点。 在这个图纸中啊， o 为竖轴原点，首先在竖轴上找出表示三的点 a 啊，先找出一条边，这条边长是三，再通过点 a 做垂线， 再通过点 a 做直线，垂直于 o a， 在 l 上取一个点 b， 要求让 ab 长度为二， 一个二，一个三，那我们直接以 o 为圆心， o b 长为半径进行做弧， 其实我们就可以知道 o b 的 长度是多少。 o b 长度在 o a b 这个直角三角形中，它的长度就已经是根号十三了，因为二的平方加三的平方再开根号就是根号十三了。但是我们最后不得在竖轴上表示吗？那么我怎么把这个 o b 的 长度移到竖轴上呢？ 利用画圆的方式，因为定义就是圆上任意一个点到圆心的距离长度都相等，而我们知道，如果以 o b 为半径，那长度相等的长， 那这个圆，那如果我们以 o b 为半径画圆，那么这个圆中任意一个点距离圆心 o 的 距离都是根号十三。好做弧，画圆弧与正半轴的交点 c， 也就是根号十三了啊，这条边是根号十三。 搞定类似的，利用勾股定律，还可以画出根号二，根号三，根号五这些线段。像这个图中也是一样的啊， 就是不停的找直角三角形像根号二，是不是这条边为一，这条边为一，就可以出这条边是根号二了， 而根号三怎么求呢啊？这条边为一，这条边刚才求了是根号二，根号二的平方 加上一的平方，是不是就是三了？三再开根号不就根号三的平方吗？以此类推啊，就可以在竖轴上画出根号一，根号二，根号三，根号四等等点啊，在这个图中也可以得到应用。来我们来看一下练习题的第一题， 在竖轴上画出表示根号十七的点。首先我们来想想根号十七可以怎么画，根号十七是斜边的，是不是一加上十六就可以了，等于十七，而一是 几的平方，一的平方，十六是四的平方，这样才可以等于根号十七的平方。所以说我们要先找一个竖轴，先找到圆点， o 也是零点二， 一条边长为四啊，在这里举个例子啊，是四在四上做垂线，找出一条长为一的线啊，这条边长为一， 然后呢，这条线就是根号十七了，然后呢，以 o 为圆心，这条边的长度为半径，画弧哎，与圆上的交点，与这个竖轴上的交点就是根号十七，是这样来表示的啊。 接下来我们来看一下第二题，如图，等边三角形， abc 的 边长为六，求 ad 的 长度， 因为这是一个等边三角形嘛，所以说等边三角形三线合一啊， b、 d 的 长度就为三呢，而 ab 这条边长是六，要求求 ad， 直接在 abd 这个三角形中求就可以了啊，我们在这里写一下过程啊， 因为等边三角形 a、 b、 c， 所以 说呀， ab 平分 bc， 所以 说 b、 d 等于二分之一， bc 等于三，这是 b、 d 的 长度。然后呢， 在直角三角形 a、 b、 d 之中啊， a、 d 的 平方是不是就等于 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方？ 因为 a、 d 是 斜边，因为 a、 d 是 直角边， ab 长度是六六的平方，减去 b、 d 的 平方是三的平方。六六三十六减三三得九，等于二十七啊。 a、 d 呢，就等于根号二十七，二十七可以写成三乘九啊，九可以出来一个三三倍根号三啊。 接下来看第二题，求等边三角形 abc 的 长度。 s 三角形 abc 就 等于二分之一，底是 bc， 再乘以高是 ad， 二分之一乘以 bc， bc 长度有了十六， ad 长度呢，是三倍根号三呢， 算一下就行了啊，二和六约出来等于三，三三得九，九倍根号三。这是我们第二题啊， 接下来我们来看第三题啊。如图， a、 d 是 三角形 abc 的 边， bc 上的高， 分别以线段 a、 b、 a、 c、 b、 d、 c、 d 向外做正方形，正方形的面积分别为 s 一、 s 二、 s 三、 s 四。咱们得先写出关于 s 一、 s 二、 s 三、 s 四的等式，这个难度会略微大一点啊，咱们仔细来思考啊。 那么我们要写出 s 一、 s 二、 s 三、 s 四的等式，就需要找到这 s 一、 s 二、 s 三、 s 四它们的中间量作为连接点，而 s 一、 s 三的连接点就是 a、 d 啊。在三角形 a、 b、 d 之中啊，我们可以这样写啊， 由勾股定律，在三角形 a、 b、 d 之中啊， a、 d 的 平方是不是等于斜边的平方，也就是 a、 b 的 平方 s 一 减去 b、 d 的 平方 s 三呢？而再换一个三角形，也就是 a d c 这个三角形中 a、 d 的 平方是不是也等于斜边是 a、 c， 也就是 s 二减去一条直角边 s 四，然后我们直接画个等就行了呀， a 地方和 a 地方相等，所以说 s 一 减去 s 三，是不是就等于 s 二减去 s 四了呀？这样我们就找到它们的等式了，好完成了这一块的练习。

从咱们接触勾股定律开始，一直到孩子参加中考，他哪怕纯被动做题，就是只做学校布置的任务，他至少要做三百道勾股定律的题。但是这三百道勾股定律无一例外，一共 就四大题型。比如说今天咱们这道题，就是四大题型中的老四，叫做多个直角三角形，列公共边，平方相等，一起来看吧。说，我在直角三角形 a、 c、 b 中啊，那显然这个角等于 九十度了吧。然后接下来这三边越给越奇特，他给了这边得二，这边得四倍根号二，这边得二倍根号五。但是这三角形是直角三角形吗？ 不是连购物定理都用不上，对吗？哦，紧接着让我们求 a、 c 的 场，毕老师说了，基本功扎实，它就是购物定理。四大题型中的老四，叫多个执照三型，列公共边， 平方相等。请问大家第一个问题，我这个题里面有几个直角三角形？我是不是这块有一个小黄啊？角 c 是 九十度哎，我这块是不是还有个大的紫色三角形，同样角 c 的 九十度，请问这两个直角三角形公共边是谁？ 公共边就是 a、 c 吧。 ok， 那 这道题做完了，为什么呢？在小三角形中， a、 c 作为直角边，它的平方就等于斜边的平方，减去另外一个直角边的平方，也就是 a、 d 方减 d、 c 方， 没毛病吧？啊，那在大的直角三角形中呢？它又是直角边啊，这个直角边的平方就等于斜边 a、 b 的 平方，减去另外一个直角边 b、 c 的 平方。那既然左边 a、 c 方咱们都相等呢？那显然右边怎么样也相等，这就叫列公共边平方相等啊。所以 a d 方减 d， c 方不就等于 a b 方减 b c 方吗？是不是 a d 咱知道不啊？ a d 知道，它不就是二倍根号五吗？ 啊？ dc 咱知道不啊？不知道，不知道的怎么办？设未知数呗，设它是 x 呗，于是乎它就是 x 方。又来， ab， 咱知道不？ ab 知道四倍根号二吗？ 是这个道理吧。好，再来 bc 知道不？ bc， 哎，左边这小段得二，右边这段本来不知道的，但是现在设完 x 了吧，所以它就是 x 加二。哦，接下来呢，是不是就要把括号展开一算就行了？但是李老师说，细节才是决定成败的关键因素，一旦把它展开，第一个算的慢，第二个容易出错，是吧？那怎么算才能又快又准呢？太简单了， 把这个整体从右边挪到左边来，它不就是 x 加二的平方减去 x 方吗？对吗？哦，不，含 x 的 就在右边给我待着可以吧？把它顺便也挪过来。于是乎，平方减平方。什么公式？ 平方差共是两个加和 x 加 x 得二， x 再加二，两项作差， x 减 x 就 没了，就剩个二了，对吧？右边呢？四倍杠二平方，那就是二乘十六 三十二，对吗？啊？二倍杠五的平方，那就是四乘五，对吗？四五二十三，十二减二十，还剩 十二啊，十二，遇见这二，再约一下，还剩六六，跟这个二再约一下，前边是不是就剩 x 加一了？没问题吧？啊？右边六约掉二，那还剩三。 x 加一得三， x 等于 二，这获得二。那这回勾股定律，第一个题型已知两边，求第三边，对吗？啊，所以这条边就得几，就等于四呗。勾股定律一算就能算出来，毕老师说清楚了吗？

勾股定律，这呢有一类必考的题型就是勾股数，那么这棵树呢，有一个很重要的结论，掌握这个结论的话，选择填空里边碰到这类题目可以直接出答案， 那今天的视频呢，老师就教下大家这个结论怎么来证明。来，咱们看题说，如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 并且已知 s 一 等于四， s 二等于九， s 三等于八， s 四等于十，那么求 s 等于多少？好，同学们，那我们来观察一下这个图形啊，你看它的最下面是一个正方形，对吧？ 这个正方形呢，你就可以看成是一棵树的树根，那么它可以向上无限的再去叠加正方形。 好，那么叠加的这些正方形，它是不是可以看成是树枝，所以这个图呢，就称为毕达格拉斯树，又称勾股树。 那么勾股数呢，有一个很重要的结论，就是勾股数上每一层的正方形面积之和，等于它下面一层的正方形面积之和。好，你看，如果我把这记作 s 五， 这个呢是 s 六，那么就是 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，这是最上面的一层，那么它下面的这一层呢，就是 s 五加 s 六， 那么它的下面一层是 s， 所以 它等于 s。 好， 那这个结论是怎么证明的呢？咱们来看一下，你看 s 一 等于四，也就是说这个小正方形它的面积是四，那么面积是四的话，那它的边长就是二，对吧？ 好，他又说 s 二等于九，也就是说这个正方形它的面积是九，那么它的边长 就是三。好，那如果这个正方形，这个正方形的边长，如果我用 一个小 a 来表示，好，那你现在来看一下， s 五是这个正方形的面积，它等于谁？它是不是等于边长的平方，也就是 a 的 平方？ 好了，那你来看这是一个什么三角形？是个直角三角形，对吧？那么根据勾股定律， a 方是不是等于二的平方？加三的平方也就是四加九， 对吧？那四加九不就是 s 一 加 s 二吗？ 好了，那我们继续再看啊，那么 s 三等于八，也就是说这个正方形的面积是八，那它的边长呢？ 它的边长就是根号八，对吧？那在这呢，为了方便大家理解这个根号八呢，我就不化简了。好，那么你再看 s 四啊，它的面积是十呢，边长就是根号十，对吧？ 好，那么这个正方形的边长，我用个 b 来表示，那么 s 六，它是这个正方形的面积，面积等谁等？边长的平方也就是 b 的 平方，那么这也是一个直角三角形，对吧？ 根据勾股定律，那 b 方是不是等于根号八的平方，加上一个根号十的平方，是不是就等于八加十？ 那八加十是多少？不就是 s 三加 s 四吗？所以我就证出来， s 一 加 s 二加 s 三加 s 四 等于 s 五加 s 六，那同样的方法，我还可以证明， s 五加 s 六就等于 s， 你 看这个结论是不是就证出来了？ 所以 s 等于四加九加八加十，就是三十一。那今天的勾股数大家听懂了吗？听懂的话，那我这里呢，还给大家整理了各版本的其中押题试卷，有需要的家长给孩子打印出来，拿去练习。

好，同学们，好啊，当你们看到黑板上这几组数字的时候，就要知道我今天讲什么东西，这是什么勾股数，对不对？那我今天咱们就讲勾股定律， 勾股定律中怎么去求勾股数？那么咱们看三四五、五，十二，十三七二十四，二十五，这是一个整数的勾股数， 整数个数，这是经常考到的，要记住啊，要记住，当碰到三四五的时候，要 敏捷的去感觉到它是一个直角三角形，当直角三角形中有三有四有五的时候，或者有六有八有十的时候，要敏捷的去感到三角形啊，直角三角形，在直角三角形当中，一个边是六，一个边是八，很快的想出另外一边是十啊，啊， 这都一些简单的一些勾股，求勾股，求边长的一些一些一些数字，那么咱们来一个复杂一点的这个东西你们老师不一定能讲到啊，这是编十一，呃， 这边是十一，这边是二十二，怎么修？这是一个直角求，这个边怎么修？十一的方加上二十二的方根号线啊， 等你这样去求的时候，别人的题目早就算出来了啊，别人答案早就算出来了，怎么去求？十一和二十二有什么关系？是不是？十一都是十一的倍数，那么他去掉十一是不是一？他去掉十一是二， 然后一的方加上二的方，根号下等于根号五，那他就是根号五，再乘一个十一，快不快？是不是比你那样算要快一点啊？咱们再来看 三四五，那么我给他加上一个根号三， 给他加上一个根号三，给他加上一个根号三，照样成立呀。啊，别说给根号三了，我给根号十一，我给根号十一，给根号十一都可以，都可以啊， 同样道理，同样道理，五十二十三也是一样的。大家要知道，当你们去求证值 求这种勾股定力求，呃，勾股，勾股定力求边长的时候，要知道直角边和斜边知道两个直角边去求斜边知道，斜边去求直角边的时候，看他们有没有共因数，有没有共因数啊？ 四十二，四十九，他们的公式是什么？是个六，他是六乘七，他是七乘七， 那么他们都是七的倍数。先把七拿出来，六六六，三十六，加上七七四十九， 等于根号下八十五，对不对？那么他就等于七倍的根号下八十五。是不是给你算什么？四十二的平方加上四十九的平方， 根号下怎么算？算不来的啊？算不来的。一定要记住找他们的公因子， 他的公因数，他的公因数他的公因数。去掉一个公因数，然后再计算，再去计算另一边的长，然后同时再乘以他的公因数，再乘回来就行了，好不好？一定要去减去计算，而且计算的要快。好好加油。

今天我们讲的内容要围绕这个直角三角形展开，直角三角形呢，我们通过它我们可以联想到什么，就是我们的勾股定力，勾股定勾股定力，就是 a 方加 b 方等于 c 方，就是 这个直角三角形三条边的这个关系。有的人就会问了，我们怎么去证明这个购物定律呢？我们来看一下，我们可以去回忆一下这个 b、 d 格拉斯的这个 b、 d 格拉斯数 三个正方形呢，它的边上分别为 a、 b 和 c。 布达哥是怎么证明的呢？他就是把这个 a 和 b 都给挪进这个正方形，他怎么挪的呢？我们来看一下。首先呢， 先做一条这个垂线，做一条这个垂线，他这有两个直角好，然后呢，我们把这个 a 可以 挪到哪？ a， 因为他这里有一 对这个平行线，我们设他为 a， 一 条平行线为 ab， 一 条平行线为 cd， 这个 ab 平行于 c、 d， 这话没得说，因为它是正方形，正方形呢，它每条边长它都是平行的，所以呢 ab 它是平行的。 ab 平行之后呢，我们可以把这个 s 正方形 a、 b， c， e， 我 们设这个为 e， a， b， c， e 呢，就等于什么呢？我们给他挪一下，挪到这 就是就等于 s 三角形 a、 b、 d， 这样是等量代换，等量代换，然后呢挪着呢，我们可以构造全等，构造一个 它，这为 b， 然后这里为 e， 然后这里为 f， 这里为哎，这里为 f， 然后呢我们就可以找这个 s 三角形，在 s 三角形 a、 b、 d 和 s 三角形 b、 e、 f 中，这个 b、 f 等于 b d， a， e 等于 b e， ab 等于 b e， 然后呢角 e， b， f 等于角 ab， 所以呢，这正方形就可以挪进这平面，然后大正方形就可以挪进这片空白区域，所以呢， a 方加 b 方等于 c 方证明完成。

曙光何为勾股定律？勾股定律是古希腊一个著名的数学家毕达格拉斯发现的一个定律， 是说在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 a 方加 b 方等于 c 方。这是为何画一个边长分别为 a、 b 的 小三角形和一个边长为 b 减 a 的 小正方形， c 的 平方等于四乘二分之一 ab 加 b 减 a 的 平方，也就等于 a 方加 b 方。 b 先生大才啊，敢问主公，这位 b 先生是何许人眼？这希腊又在何处？他早死了七百多年了，这希腊也早晚是我的囊中之物。哦， 那主公若是在一个三角形中已知 a 方加 b 方等于 c 方，那是否可以判定这个三角形是一个直角三角形？ 哈哈哈，文弱不愧是王佐之才。你说的没错，在一个三角形中，若是 a 方加 b 方等于 c 方，那确实可以判定这个三角形是一个直角三角形，这就是勾股定律的逆定律。

停勾股定力计算题，别再傻傻硬算平方开根号了，太费时间！很多同学做勾股题，先算平方再相加，最后开根号三十秒算完还容易算错，填空选择根本没必要。今天教你速记勾股数，不用演算，直接秒出答案！ 记住这四组高频勾股数考试直接套用，不用硬算，一三四五是最基础的必考，三平方加四平方等于五平方，二五十二十三是高频考点，五平方加十二平方等于十三平方，三六八十是三四五的倍数，好记！四七二十四二十五最易错考点，重点记 刚才那道题，三和四对应，三四五斜边直接是五，秒杀口诀记牢！勾股数记四组，三百四十五，五万一千两百一十三六千八百一十七万两千四百二十五背会这四组勾股填空直接秒！听懂的点赞收藏赶紧背！关注我，七天不学冷启动，每天一个避坑秒杀技巧，基础稳拿分！

习老师，嗯，八下马上期中考试了，我们给学生总结一下八下期中考试的坑点吧，我们自己选题的时候也给学生会埋坑的一些题。 ok， 第一个我要说的是勾股定力，勾股定力是初中最重要的定力，没有之一。 他不会把几何条件翻译成方程，知道是直角三角形，不知道哪条边是斜边，列不出正确的勾股式。其实这时候要分类讨论。第二个折叠问题，知道有全等和垂直，设了未知数之后又找不到等量关系了。 第三种，遇到什么两直角边相差三，斜边比直角边长二这类文字直接就蒙了，列错方程。 第二个坑点就是四边形，嗯，就是孩子不会构造全等。平行四边形里给了中点呀，角平分线呀，垂线他不知道连哪条对角线构造全等，不会识别旋转式的全等。 还有的问题就是，嗯，面积呢？孩子只会套面积公式，嗯，平行四边形的高，他不在图形内部的时候，找不到 对角三角形的时候哈，是的是的啊，不会用等面积法求线段的长，也不知道任意的四边形。对角线垂直时，面积就等于对角线乘积的一半 正形，嗯，还有呢，这个动点的问题当然是更难了，看到动点就放弃了啊，他不会用路程等于速度乘以时间表示线段的长度， 他列出了还有绝对值的方程的时候，他也不会解，所以在四边形中尤其要注意的就是分类讨论。 ok。

中考数学解答题在写过程的时候用到勾股定律，记得要写在 r t 三角形中，然后再用勾股定律，要不然会扣分的哦！

来能独自搞定这道勾股定律题的同学，八下的数学一定在一百二十分以上。来看下这道题， 一副直角三角板，按如图位置摆放一副直角三角板，那就是三十、六十、九十和一个等腰直角三角形 a、 b 大 在同一条线上， e、 f 与 a 大 平行，别忘记了，然后这两个角是直角 角 c 等于四十五度，养成好习惯标一下。那么你标到角 c 为四十五度的时候，那你得把另外一个四十五也标出来嘛，是不是？各位养成好习惯嘛，多标总是有好处的嘛，角 e 等于六十， 顺手就把这个小角等于三十度标记一下，对吧？而且这个 e、 f 与 a 大 在平行平行，你总要去得一些同位角内错角相等或同旁内角互补嘛。那比如说这个三十度是不是可以转到这个下方来，对吧？比如这个六十度是不是可以转到旁边来， 对吧？那么你在用铅笔思考的时候，你多把这些角度标记在图形当中嘛，总没有坏处嘛。各位是不是习惯养好是解决几何题的最基本的一个点？ ok， 他 说答一等于二倍根号二， 这个答 e 呀，是在这个三十、六十、九十的直角三角形当中。那接下来我就可以根据这个答一等于二倍根号二来开始进行线段的计算了。 那在开始线段计算之前啊，我要先带着大家一起来回顾一下有两个特殊的直角三角形的三边关系。回顾一下，第一个就是那个一副三角板，第一个是我们的等腰直角三角形啊 啊，比如说啊，等腰直角三角形，那么它的三边比值就应该是一比一，根号二是不是来第二一个， 第二个特殊的直角三角形就是三十、六十、九十啊？那这里面他们的三边关系应该是短，直角边占一份，斜边占两份，那么长直角边是不是占根号三份？ 就是我们常见的一比二比根号三，对吧？首先这两个特殊的直角三角形三边的关系大家要熟悉， 因为在这个题目当中会能够进行快速的计算线段长度。 ok， 来大 e 为二倍根号二来看三十度所对直角边就是大 e， 说明大 e 占一份，那所以说我的斜边 e f 占两份就是四倍根号二， 对吧？然后呢， f 大 是不是占根号三份？谁的根号三份？是不是大 e 的 根号三分？那也就是二倍根号二乘以根号三，即二倍根号六。 好了，那么习惯好的小伙伴的话，应该也能处理到玉米这一步。 ok， 接下来让我们求什么？求 b d 的 长度在这啊，求 b、 d 的 长度， 那 b、 d 应该咋求呢？ b d 这么短的一个线段，好了，很多同学可能会这样来做，来，玉米带着你们试错一下，这也不简单啊，玉米这里有个三十度啊，你不是说过吗？遇到三十六十或四十五度，就要想到构造直角三角形，没有错，来做垂线， 来做个垂线过后有用吗？各位，你做的垂线虽然把这个三十度给包含进来了，但是你的 b h h 知道线段长吗？不知道啊，对不对？所以说你的思路是对的，但是会发现辅助线不对 你的思路，你的什么思路是对的？就是要把这些特殊的角度放在直角三角当中不至于，不就是有特殊的三边关系吗？对吧？来，我们再观察一下，这个三十度旁边有一个边是不是叫 f 大， 这个 f 大 的长度二倍根号六是不确定的， 是不是？那所以说这个题我要去把这个三十度给放进来的话，应该是过 f 点做一个垂线吧， 是不是？各位来试一下，这个时候我们就可以让这个条件给火起来了。来，三十度垂直直角边 f h 是 不是斜边 f 大 的一半？ 哎，所以说 f h 等于根号六，那所以说你的 h 大 点多少呢？ h 大 是不是应该占它的根号三份？ 占谁的根号三份？是不是占根号六的根号三份是不是等于根号十八啊？也就是化简等于三倍根号二啊？那么要求 b d， 很 明显的就是要求我的线段叫 h b， 而 h b， 看出来了吗？各位看，就是因为你的好习惯标了个四十五度，所以说你的 f h b 是 不是也是个等腰直角三角形？所以说这个边是不等于根号六啊？所以说你的 b 大 是不是应该等于三倍根号二，减去根号六， 各位，是不是？所以说很多时候是由于我们的做题好习惯，是因为我们把题目当中的有效信息全部标记在图形当中，才有了一些思路，才有了一些切入点，是不？各位， 哎，你别说，这道题其实还是小有难度的，各位很考验我们的能力。好吧，这道题就这样子被搞定了。

这是一个直角三角形，我们都知道它的两个锐角互余，那么直角三角形三条边有什么关系？那我们就不得不提到 勾股定律的表达式，想必大家都不陌生吧， a 平方加 b 平方等于 c 平方，没错，就是这个，那你知道这个表达式是什么意思吗？ 现在应该好理解了吧？没错，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。通过勾股定律我们能得出这些结论，三十度角的直角三角形三边比为一，比二比根三等腰。直角三角形三边比为一，比一比根二。如果我就在这放一个三角形， 你该怎么判定这个三角形是直角三角形？这个我知道，把勾股定律反过来不就行了吗？你说的对，我们要用勾股定律逆定律，如果一个三角形两边平方和等于第三边平方，那么这个三角形就是直角三角形。像图中三、四、五这种能组成直角三角形的整数， 我们称之为一组勾股数。常见的勾股数有，三、四、五六、八十五、十二、十三七、二十四、二十五、八十五、十七。就这些了，应该没落下什么吧。

这是一道直角三角形勾股定律题，很多同学遇到复杂一点的数可能就不会了，咱们只需记住一口诀，基数的平方找连续。我左面这个三角形是个基数， 十亿，十亿的平方是一百二十一，基数的平方找连续。那可以把它分成两个连续的数是不是六十和六十一？那么短的这个边肯定是六十，长的这条边就是六十一了， 偶数的半方加减一，那么这个数是不是八是一个偶数呀？偶数的一半是不是四四的平方就等于十六？再加减一，用十六加上一等于十七，十六减一等于十五，那么短的这条边就是十五，长的这条边就是十七。咱们一定要记住这个口诀啊，这道题就做完了。

亲爱的同学们，大家晚上好，愉快的假期已经结束，那我们从今天开始，我们就要正常进入到我们的更新，所以希望大家能够坚持进行学习。 那今天的内容涉及到的是勾股定律中的专题五，我们这一部分题目中通常出现的是已知条件中可能没有告诉你直角三角形， 没有直角三角形，但是又想让你去借助勾股定律去求线段的长，所以通常需要我们通过辅助线的做法来构造直角三角形。 那首先第一题题目中告诉你，在三角形 abc 中， ab 等于我们的 bc， 这两条线段是相等的， abc 等于二倍的根号时， 且 a、 d 垂直于 bc， 所以 大家就知道这里面存在的有两个直角三角形。那首先在二 t 三角形 a、 b、 d 中， 以及在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中，我们可以发现这两个直角三角形有一条公共边，那就是 a、 d。 所以 我们直接可以利用 a、 d 的 平方，是不是就等于我们 a、 b 的 平方 减去 b、 d 的 平方？同样在下个过程中， a、 d 的 平方，它是不等于 a、 c 的 平方，减去 c、 d 的 平方， 那根据 a、 d 是 一条公共边，我们就可以得到 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方，是不是就等于 a、 c 方减去 c、 d 方？ 再观察题目中告诉你 a、 b 等于 b， c 等于十，所以 a、 b 我 们是不可以写成十的平方。再看 b、 d 和 c、 d， 它们俩之间是不再存在的， b、 d 加上 c、 d 等于 bc 等于十， 所以我们可以设 b、 d 为 x， 那 c、 d 是 不就是十减 x？ 因此我们能得到 i、 c 二倍的根号时， 再减去 c、 d， 那 是不是十减 x 的 平方，那根据这我们就可以得到一百减去 x 的 平方就等于四十，减去一百减去二十 x 的 平方。去括号之后 一项合并同类项，我们可以得到二十 x， 那 他是不是就正好等于我们的挪过去？一百挪过那就是一百，一百，二百，二百减四十，那就是一百六。所以 x 是 不就等于八， x 等于八，所以 b、 d 的 长就是 八，能接受吧。好，下一个这道题目中告诉你的是，三角形 a、 b、 c 中， ab 等于十三， c 等于十五， bc 等于十四。 求三角形 abc 的 周面积，那在这里面，如果不是出现在勾股定律这一部分中，也就是说他不要求大家非要用勾股定律的方法去做，那我建议大家这一道题用海伦公式。已知三角形的三条边如何去求三角形的面积？那话又会说回来，如果需要大家通过 做利用勾股定力去做的话，那就需要锐角。三角形没有直角吧，所以我们任意选其一顶点过 a 点做 bc 的 垂线，垂足为点 d， 那 这里垂线 a、 d 是 不将三角形 abc 分 成了两个直角三角形分别是 abd 和 acd， 那同样在二 t 三角形 a、 b、 d 中和在二 t 三角形 a、 c、 d 中，我们可以发现 a、 d 在 这里是不是也是公共边？所以我们就可以借助 a、 d 的 平方，那是不就等于 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方？同样 a、 d 的 平方是不是就等于 a、 c 的 平方减去 c、 d 的 平方？希望大家也可以发现，我们在这里 b、 d 加上 c、 d 是 不恰好就是我们的谁，不就是我们的 bc， 那我们可以假设我们 b、 d 的 长为 x， 那 c、 d 的 长是不是就是我们 bc 减 x， bc 的 长度是十四，可以吧？所以我们就可以得到 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方就等于 a、 c 的 平方 a、 b 题目中告诉你是十三的平方 b、 d， 我 们刚设 b、 d 为 x， 所以 设是不是就 x 平方 a、 c 十五 减去，那我们是不是得到的是十四减 x 的 差的平方？所以依据这个我们就可以得到一个关于 x 的 一个方程。 解出方程之后，我们求出 x 的 值，但是需要大家注意，我们在这里要求的是三角形 a、 b、 c 的 面积，所以求出 b、 d 之后，要将 x 带进去，求出 a、 d 的 长，那求出 a、 d 的 长底和高 bc 底高 a、 d 是 不就能求面积？ 好，下一题，这道题目出现了直角三角形，但是他说在直角三角形 a、 b、 abc 中，角 c 等于九十度， d 为它上面的任意点，且 a、 b、 d 这个角特殊，它是三十度， a、 b 的 长度是五， b、 d 的 长度是二倍的根号三。然后想让你去求 a、 d 的 长和 c、 d 的 长，那需要大家注意的是，这里面出现了有一个角， a、 b、 d 等于三十度，那三十度是一个特殊角， 以后大家如果遇见是六十度的角也是如此，所以我们的做法就是过点 d 做 ab 的 垂线，假设垂足为点 e， 那 大家就知道三角形 b、 d、 e 对 吧？在 r、 t 三角形 b、 d、 e 中，角 a、 b、 d， 也就是我们的角 e、 b、 d 是 不还等于三十度，所以我们就可以借助直角三角形中三十度所对应的直角边等于斜边的一半， 所以 d、 e 是 不是就等于二分之一的斜边？ b、 d 题目中告诉你， b、 d 的 长是二倍的根号三，所以我们就等于二分之一乘上二倍的根号三，也就是根号三，可以吧？ 那求出啊，我们 d、 e 的 长之后，那借助在二 t 三角形 b、 d、 e 中，由勾股定律可知，我们的 b、 e 是 不是就等于根号下 b、 d 的 平方减去 d、 e 的 平方 二倍，根号三的平方是十二，根号三的平方是三，十二减三九九的算术平方根是三，那 b、 e 是 三，所以 a、 e 是 不是就等于 ab 减 b、 e， 也就是五减三等于二， 那同理，在二 t 三角形 a、 d、 a、 d 此时是不是等于根号下我们 d、 e 的 平方加上 a、 e 的 平方？刚刚在做的过程中，我们已经求出来， d、 e 的 长度是根号三，那它的平方就是三。 a、 e 的 长度是二，它的平方是四，三加四，那就求得到 a、 d 是 不是等于根号起，在 二 t 三角形 b、 c、 d 中，我们是否可以得到 c、 d 的 平方？ 是不等于我们 b、 d 的 平方减去 bc 的 平方，可以吧， 那同样在二 t 三角形 abc 中，我们是不可以得到 bc 的 平方，是不等于 ab 的 平方减去 ac 的 平方。这里面是不是有一条公共边 bc， 所以我们就可以得到 b、 d 的 平方减去 c、 d 的 平方，就等于 a、 b 的 平方减去 a、 c 的 平方。 b、 d 题目中告诉你是二倍的根号三，那它的平方就是十二 c、 d、 x 的 平方 ab 五，那就是二十五 减去 a、 c。 大家可以看到 a、 c 是 不可以看作是 c、 d 加 a、 d， 所以 是不就可以写作是 x 加上根号七和的平方， 得到一个关于 x 的 一个方程来解方程我们可以看到，十二减去 x 的 平方，那就等于二十五减去 x 平方，加 二倍的根号七倍的 x， 再加上七化解。 十二减去 x 的 平方，等于二十五减去 x 平方，减去二倍根号七 x 减七，那么可以移项和平，同理项二倍的根号七 x， 那 是不就等于二十五 减七，减十二二倍的根号七 x 就 等于。所以 x 是 不是就等于六除以二倍的根号七，那最终结果就是七分之三倍的根号七， 那这个就是我们 c、 d 的 长。还行啊，题目确实稍微有点点难度，比大家平时做的练习可能要难一点， 所以还希望大家能够在课余时间的时候把这种题目拿出来再看看，独立的做一做。那我们接着来看下一题，我把上面的做题过程给擦了哈。接着我们再来看一下第四题，说的是在三角形 abc 中， ab 等于 ac 等于二，那三角形 abc 还是一个等腰三角形 a、 d 的 长是四，让去求 b、 d 乘 cd。 我 相信大家可以发现，在这里面是不是只有 线短长，但是却没有直角三角形，而且给了你一个等腰三角形，所以大家可以通过以等腰三角形为突破点，借助等腰三角形的性质，三线合一 过点 a 做 b、 d 的 垂线。那我们是否可以发现，在这里面 a、 e 是 不是将三角形 a、 b、 d 分 成了直角三角形 a、 d、 e 和直角三角形 a、 b、 e？ 所以 首先在二 t 三角形 a、 b、 e 中，以及在二 t 三角形 a、 d、 e 中，我们是不是可以得到这里面 a、 e 是 不是一条公共边？所以我们可以得到 a、 e 的 平方，那是不是就等于我们 a、 b 的 平方 减去 b、 e 的 平方？而下面中 a、 e 的 平方，它是不等于我们 a、 d 的 平方 减去 d、 e 的 平方。因子根据 a、 e 公共边相等，所以我们得到 a、 b 的 平方减去 b、 e 的 平方，就等于 a、 d 的 平方减去 d、 e 的 平。放 在这里面，需要对这个等式稍微进行一下变形，因为这里面大会发现 b、 e 和 d e， 你可以看到 b、 e 加上 d， e 是 不恰好是 b、 d？ 所以 我们首先来换一点点，由这个中，我们利用等式的性质，我们是不可以得到 a、 b 的 平方减去 a、 d 的 平方，是不就等于 b、 e 的 平方减去 d、 e 的 平方？ 而后面中平方减平方平方差 ab 题目中告诉你等于二， ab 题目中是不告诉你等于四。 那为了方便大家进行计算，你也可以同时取负，或者同时给它再翻过来。也就是说拿 a、 d 减 a、 b， 因为 a、 d 它是一条 长边，是不是就等于 d、 e 减去我们的 b、 e？ 接着题目中告诉你 a、 d 是 四，那 a、 d 的 平方就是十六， a、 b 是 二，它的平方就是四，而后面平方减平方平方差，它是不可以看作是等上 d、 e 减去 b、 e， 可以吧？十六减四十二，而 d e 加 b e， 那 是不就是 b、 d， 对 吧？再乘上我们的 d、 e 减 b e， 大家知道有等腰三角形， abc 是 等腰三角形的三线合一，我们 b、 e 的 长是不是就等于 c、 e 的 长？所以 d、 e 减去 b、 e 是 不是就相当于 d e 减去 c e 也就是 cd？ 那 写到这大家就知道了， b d 乘上 cd 也就是 十二还可以吧。好，那么今天的这里的最后一题啊，如果大家感兴趣的同学的话，你可以翻一下我们的课后练习题的答案。这道题我们在这里就不说了，因为他必须要用到了我们以后所要九年级下册所要学习到的内容，相似三角形 或者是九年级下册我们所学习到的锐角三角函数的相关内容，仅仅通过我们目前所学习到的知识点，这道题是解不出来的， 所以大家可以翻一下课后练习题，就是课后答案，如果你能理解的话，你就理解，如果你理解不了，我们就不再进行赘述了。好吧，那我们今天这节课就上到这里了，拜拜！