数学课时练反比例六下手写

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

六下最难第四单元比例突破，从基础到拔尖练透，稳定年级前三。这是数学第四单元专项一，比例的小题狂练专项二，解比例解方程专项三，正比例与反比例的小题狂练。专项四，正反比例关系的判断专项五，正反比例意义与图像的应用专项六，比例尺与生活实际应用问题 专项七，比例尺做图，图像的放大与缩小做图专项八，比例的综合应用基础版专项九，比例的综合应用进阶版专项十，学科素养情景主题探求，有完整档可打印。

这里再来看第二个内容，反比例。首先我们来看两个表格， 表格当中记录的是长方形相邻两边的变化关系，那么表一是记录的面积为二十四平方厘米的相邻两边的边长，表二呢，是周长为二十四厘米的相邻两边的边长。 咱们先来把表一和表二填完整，既然表一是记录的面积为二十四平方厘米，所以长乘宽肯定等于二十四，那当 x 等于六的时候， y 是 四， x 等于八的时候呢？ y 等于三， x 等于十二的时候， y 等于一。 表二记录的是周长为二十四厘米。我们来推理一下，当 x 等于五的时候，你算好了吗？ 对应的 y 应该是七， x 等于六的时候呢？ y 等于六， x 等于七的时候， y 等于四。 填好了表格，咱们来看一看你在表格中有什么发现呢？来听一听下面同学的发现吧。 我发现表一中的 x 在 逐渐增加，而 y 随着 x 的 增加逐渐减小，表二中的 x 也是逐渐增加，而 y 呢，也随着 x 的 增加逐渐减小。 那是不是可以说明表一和表二中长方形相连，两边之间的变化规律相同呢？ 是不是仅仅就凭现在发现的这一点点规律就能贸然的下结论呢？显然不能操之过急。再来听一听同学们进一步的发现， 虽然看上去这两个表中的 x 都在增加， y 都在减小，但是仔细观察会发现，表音记录的是面积为二十四平方厘米的长方形的长与 宽，所以会有一乘二十四等于二乘十二等于三乘八等于一，直到二十四乘一，相邻两边的积都是二十四。 我同意你对于表一中的进一步发现，而且我还发现在表二中并不是这样了。周长是二十四厘米的长方形中，一乘十一等于十一，二乘十等于二十。 相邻两边的积不相等，但相邻两边的和相等，一加十一等于二加十，直到八加四和都是十二。 快看一看，经过进一步的观察，果然 x 与 y 它们的变化规律并不完全相同啊！电视机前的同学们，你们是不是也能这样深入地来观察数据中的变化规律了？ 咱们来试一试看。这样的一组数据，记录的是王叔叔要出去游玩的时候，选择不同的交通工具所对应的速度与时间的情况， 观察一下你从表中发现了什么？相信通过刚才的判断，我们应该有了一些自己观察的方法了，来听一听吧。 不同的交通工具行驶的速度不同，所用的时间也随着速度的变化而变化。比如，速度从十千米每小时变化到六十千米每小时，所用的时间就由十二小时变化到了两小时。 速度乘六，而相应的时间就除以六。再比如，速度从十千米每小时变化到八十千米每小时，所用的时间就由十二小时变化到了一点五小时。 速度乘八，而相应的时间就除以八。这位同学呢，是横向从左向右观察表格中数据变化的规律的。那还可以怎么观察呢？ 我是从右向左观察的。速度从八十千米每小时变化到十千米每小时，所用的时间就由一点五小时变化到了十二小时。 速度除以八，而相应的时间就成八。再比如，速度从六十千米每小时变化到了十千米每小时， 所用的时间就由两小时变化到了十二小时。速度除以六，而相应的时间就成六。 这两位同学从不同的观察方向都发现了变化中的规律，那么在这些变化中究竟有没有不变的呢？你是否发现了下一位同学有更重要的发现？ 我发现时间的变化与速度的变化相关联，速度乘几，时间就随着除一几，速度除一几，时间就随着乘几。同时我还发现， 十乘十二等于一百二十六，十乘二等于一百二十八，十乘一点五也等于一百二十。速度与相对应的时间的积都是一百二十，也就是路程都是一百二十千米。 好了，把这几位同学的发现我们来小节一下，也就是说，当速度变化的时候，时间也随着变化。不仅如此，速度与时间的积也就是路程一定。 那这个时候啊，我们就可以说速度和时间是成反比例关系的。怎么样？同学们，你是否已经发现成反比例关系的这两个量具备什么样的条件呢？ 那我们赶快看一看刚才的表一和表二，我们发现了两个表中 x 与 y 它们的规律并不完全相同，那在这里边是否有正有反比例关系呢？ 观察表一发现，相邻两边中，不仅当 x 发生变化时，所对应着的 y 也随着变化，而且一乘二十四等于，二乘十二等于三乘八等等， 直到二十四乘一，相邻两边的积都是二十四，积一定，我们就可以说相邻两边成反比例。而表二中，虽然当 x 发生变化时，锁定之 y 也随着变化， 但只是相邻两边的和相等，相邻两边的积却不相等，所以不成反比例关系。 你和这位同学想的一样吗？显然，他已经抓住了成反比例关系的两个量，必须要具备一个重要的前提。 那如果同学们你也发现了这个前提，相信判断反比例关系一定又快又准确了。咱们来再试一个，比如买苹果的总前数一定， 那苹果的单价与数量是不是成反比例关系呢？请仔细想一想。 接下来的几位同学啊，他给出来的不仅有自己的结论，也有自己相应的判断过程，请大家仔细观察。第一位同学是这样想的， 你能看明白他的想法吗？我们来听一听。 从这个表格中可以看出，这位同学先假设总价为六十元，而单价与数量的乘积就等于总价，乘积不变都等于六十。这个判断过程是利用两种相关联的量的乘积是否一定？所以我同意这个判断过程， 你是否也是这样想的？那么第二位同学他也给出了自己的判断过程， 他也认为成反比例。不过呢，是因为苹果的单价高了，自然数量就会少，那如果苹果的单价低了呢？数量就多了？这样的依据我们来听一听，有道理吗？你觉得 这位同学仅仅根据单价和数量的变化是相反的，就判断他们是反比例关系不够严谨。这就像刚才研究长方形周长都是二十四厘米的那个问题，长增加，宽就会随着减少，也是变化相反，但指长与宽的和不变。 长与宽并不是反比例关系，所以这个判断结论虽然是对的，但判断的依据不够充分。 是啊，同学们，我们在分析问题的时候，不是一味的只追求结论，而是更要关注它的推导过程。就像刚才这位同学所说，虽然结论对了，但是依据显然不充分啊。 那究竟判断成不成反比例，它的依据该又是什么呢？我们把刚才的几个例子一起来对比一下，看看同学们是不是有发现了。 也就是说，首先得是两种相关联的量，一总量变化，另一总量呢，也随着变化，比如速度和时间。长方形的长与宽还有单价和数量不仅相关联，而且它们乘积还有一定。 有了这样的前提，我们才能判定它们是成反比例关系的。怎么样理解反比例关系了吗？ 那我们再来看一个这样的问题，相信同学们就能准确做出判断了。比如已读的页数和剩下的页数是这样的情况， 那么已读页数如果是四页口算一下，剩的就是多少了，七十六页，已读五页的时候呢，剩的是七十五页， 显然这又是一个核一定，那已读的页数与剩下的页数显然不成反比例。同样是看书的问题，如果给我们平均每天看的页数和看完的天数 口算一下，这本书一共有十乘十二，一百二十页。咱们来先把表格填出， 一天看十五页，就是八天看完。那一天看二十页呢？六天看完，每天三十页，四天看完，每天四十页，三天看完。 这次同样是看书的情况，平均每天看的页数与所需天数成不成反比例啊？ 相信同学们可以快速判断了。从平均每天看的页数和看完书所需天数这两个量中，可以看出平均每天看的页数变化，看完书所需天数也随着变化。 而且平均每天看的页数与看完书所需天数的积，也就是书的总页数一定都是一百二十页，所以它们成反比例。是的， 判断准了。咱们最后再来看一下反比例关系的图像，会不会也像上节课我们研究的正比例关系那样是一条直线呢？ 我们把数据调整一下，便于记录。请看横轴上记录看的天数，纵轴上记录每天所看的页数。 秒点有三、四十、八、十五、二十四、五、四十三、六十二和一百二十一。如果连接起来这些点请看。 哎呀，显然和正比例关系的图像已经完全不同了，同学们也可以课后去看一看。数学书的五十页也记录了一幅反比例关系的图像。 好了，那么认识了反比例的意义以及它的图像特征，你也试着举一个反比例的例子或提出关于反比例的数学问题吧。

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

同学们大家好，我是慧慧老师。上节课呀，我们学习了反比例试一试这一课，那么今天这节课，我们就一起来做一下术后的练习题。先看第一小题，电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是记录的每人打字所用的时间， 让我们把上表补充完整，然后回答下列问题。那么同学们在做本题之前，我们先划一个重点啊，是不是？电脑兴趣小组练习打同一份稿件，那么打同一份稿件，这份稿件它的字数是一定的， 这一点同学们一定要知道啊，因为是打同一份稿件嘛，所以这一份稿件它的字数都是一定的。 那么我们来看一下小敏呢，他打字所用的时间是三十分钟，他一分钟打八十个字，那么我们通过小敏的数据，是不是可以求出这个稿件的总字数呀？用三十乘八十等于两千四百个字。 好，知道了总字数之后，通过总字数来填剩下的表。那么小风呢，一共打字用了四十分钟，他每分钟打多少字呢？用两千四除以四十等于六十分钟。 小英呢，他打字用了六十分钟，用总字数除以六十等于四十。 小强打字用了八十分钟，用总字数除以八十等于三十。好，那么表格补充完整了，我们来看一下问题，不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没有变？ 是不是就是总字数没有变呐？对不对？因为我们看，不论是打字所用时间，还是每分钟打字的速度都是变化的，所以在这个表格当中，唯一不变的就是同一份稿件的总字数。 第二题，打字的速度和所用的时间成什么关系？我们来看一下， 打字所用的时间越长，每分钟打的字数就越少，那么我们就知道了，打字所用时间和打字的速度是两个相关点的量，然后这两个量的乘积啊，都是两千四百，对不对？因为他们都打这一份稿件， 所以他们的乘积都是两千四百，所以那么打字速度和所用时间呢，就成反比例。 再看第三题，李老师打这份稿件用了二十四分钟，你知道他平均每分钟打多少字吗？ 这份稿件一共有多少个字呀？刚才我们求了一共有两千四百个字，这两千四百个字他用了二十四分钟，打完，想求一分钟打多少字，就用两千四除以二十四等于一百个字。 那么这样本道题我们就做出来了本题的一个最重要的解析，关键就是在打同一份稿件，通过同一份稿件，我们一定要知道稿件的字数是一定的。再看第三题，判断下面个体中的两个量是否成反比例，并说明理由。 好，第一题，行驶的路程已定好，路程已定了，那么在这里我们就可以知道路程呢，等于速度乘时间 再往后看。但是问题啊，说的不是速度和时间，他说的是车轮的周长与车轮所需要转动的圈数。 那么同学们，其实车轮的周长就相当于速度，车轮所需要转的圈数就相当于时间，那么车轮的周长乘车轮需要转动的圈数就等于路程， 那么路程呢，就是一定，所以我们说周长与车轮所需要转动的圈数乘反比例。因为本题就让我们判断是否乘反比例。那么第一个，乘反比例 好。第二个，一个人跑步的速度和他的体重。我们来想一下，其实一个人跑步的速度和他的体重没有必然的联系， 所以说他们呢，并不是相关联的两个量，所以就不是成正比例。第三个，平行四边形的面积一定，平行四边形的面积呢，就等于底面积乘高，那么面积一定乘反比例。 第四个，笑笑，从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程好，本道题啊，其实就是和上节课的第二道例题一样，已读的页数和剩下的页数。我们来看一下， 他是步行到学校，已走的路程和剩下的路程，已走的路程加上剩下的路程就等于加到学校的总路程，对不对？虽然说总路程是一定的， 但是这个总路程我们怎么求的？是用加法去求的。我们说想判断是否成反比例，必须是乘积一定对不对？积一定。本道题是和一定，那么已走路程和剩下路程成反比例吗？ 不成反比例，同学们一定要认真的去审题啊！好，第四题，截止二零零二年年底，我国碳民可直接利用的煤炭储量为两千两百九十八点八六亿吨。然后这些数据如下表，问我们年均开采量 与可开采年数之间是否成反比例？想看是否成反比例，我们先来看一下是否成相关联的两个量啊， 年均开采量越多，可开采的年数呢就越少，所以成反比例。然后我们再来看一下他们的乘积是否是一样的，那么经过计算啊，他们的乘积都是一样的， 都是开采这些煤矿，对不对？所以他们的成绩啊，都是一定的，那么既然说他们的成绩是一定的，那么都成反比例。 好，我们再来看一下第五题，如图是两个互相捏合的齿轮，它们在同一时间内转动，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题啊，大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转的更快， 哪个齿轮转动的圈数最多，好在同一时间内转动，那么我们来看一下，是不是周长越小的它转动的就越快呀，对不对？那么所以说转动快的就是小齿轮， 因为小齿轮转动的快，所以它转动的圈数呢也就多，所以第一小题都是小齿轮。 我们再来看一下第二题，转过的总尺数一定是好，总尺数一定是。每个齿轮的尺数和转过的圈数是什么关系？ 总尺数怎么求？是不是每个齿轮的尺数乘转过的圈数？那么既然尺数和转过的圈数相乘等于总尺数，而总尺数又是一定的，所以每个齿轮的尺数和转过的圈数啊，是乘反比例的。 第三题，大齿轮呢，有四十个齿，小齿轮有二十四个齿，如果大齿轮每分钟转动九十圈，小齿轮每分钟转动多少圈？那么同学们，我们来看一下 问题，就说了，在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的， 那么我们是不是就可以通过大齿轮的这两个条件，先求一下总尺数对不对？用四十乘九十等于三千六百尺，这是总尺数。然后又告诉我们了小齿轮有二十四个尺， 再问我们小齿轮每分钟转动多少圈，我们就用总尺再除以小齿轮的尺数，那么商啊， 就是他一共能转多少圈？好，那么到这里啊，本节课的内容呢，我们就学习完了，下节课呢，我们就要一起来学习一下数学好玩这一单元了，同学们，再见。

各位老师好，欢迎收！各位老师好，欢迎收看柚子老师人教版小学数学说课分享频道，资料获取请看我主页介绍哦，喜欢就收藏关注我吧，万一有需要的时候可以找我哦！ 今天我收课的内容是第八课实笔和比例二。我将结合课间的设计思路，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重点难点、教法学法教学过程、版书设计 和教学反思等方面展开说明。笔和比例二是人教版六年级下册第六单元数与代数领域的内容， 它聚焦正比例、反比例意义及比例，应用比例尺，图形放大与缩小是比和比例知识的生化拓展，为解决实际问题及初中函数学习搭建桥梁，助力学生构建完整知识体系，提升数学应用能力。教材围绕正反比例意义， 通过实力对比呈现其特征。比例应用含盖比例尺图上距离与实际距离关系，图形放大缩小，形状不变，大小改变规律。以生活与数学问题为在内，引导学生理解运用知识，培养数学思维与实践能力。

同学们好，欢迎大家来到同上一堂课的数学课堂，在这段时间里，我们重点学习了有关正比例和反比例的内容， 大家对于变化的量以及两个变化的量之间的关系可能在理解上还不是很到位。这节课我们就来梳理一下这个单元，希望能对大家的学习有所帮助。 下面我们来观察一种生活现象， 在这个大家几乎天天可以看到的生活现象当中，你找到变化的量了吗？ 杯子里的水在不断增加，所以水的体积是一个变化的量，而杯子上面的空余的部分也在不断减少，所以可以说空余的部分的体积也是一个变化的量。 杯子当中水的体积在发生变化，杯子上方的空余部分的体积也就随之发生变化，这就说明这两个变化的量是紧密相关的。 水的高度也是一个变化的量，因为倒水时水面在不断上升，而且随着水面高度越来越高，水的体积也越来越大， 所以水的高度和水的体积这两种变化的量也是有关系的。下面我们就聚焦一下水的高度和水的体积这两个有关系的变化的量。 我们用表格记录下变化过程当中的一些数据， 然后请大家思考这样三个问题，水面高度和体积是如何变化的？这两个变化的量有什么关系？如果将这种关系用图来表示，图像是怎样的？ 是不是已经有了一些初步的想法？下面我们来听一听其他同学的分享。 水面高度增加，水的体积也会增加，水面高度减少，水的体积就会减少。 这位同学的描述可以让我们感受到水的高度和水的体积是两种变化的量，而且这两种变化的量是紧密相关的，一个量发生变化，另一个量就随之发生变化。 但是关于他们的变化规律并没有解释出来，我们再来听一听其他同学的想法。 我想表达的是，如果水的高度扩大两倍，水的体积也会扩大两倍。如果水的高度扩大三倍，水的体积也会扩大三倍，他们扩大的倍数是相同的。 我们也可以从缩小的角度来看，如果水的高度变成原来的二分之一，水的体积也会变成原来的二分之一。如果水的高度变成原来的三分之一，水的体积也会变成原来的三分之一。 这两位同学的描述就可以让我们清晰地感受到水的体积是怎么随着高度的变化而变化的了。 这样的变化规律会让你联想到学过的哪些知识呢？ 我想到了比的基本性质，比的前项和后项同时乘以一个不为零的数，比之不变。 正是因为水的高度和水的体积有这样的变化规律，从而才确保了这两个变化的量，它们的比值是固定不变的。 当比值一定的时候，我们就说水的高度与水的体积这两个变化的量成正比例， 如果我们用字母 h 来表示高度，用 v 来表示体积，你能用一个式子来表示这两个变化的量之间的关系吗？ 这四种表达式你会选择哪一种呢？ 首先，我不会选择第一种，因为这个式子并没有体现出笔直，一定给人的感觉像是三种变化的量，剩下的三种都可以表达出水的高度和水的体积之间的关系，但高和体积的笔直没有实际意义， 所以如果让我选的话，我也不会选第二种，我会从三和四里面挑一种。下面我们就来聚焦一下第三种和第四种表达。 在我们判断体积和高这两个变化的量是否成正比例的时候，第三种表达可以让我们更清楚地看到比值一定。 而要表达体积和高这两个变化的量之间的关系的时候，老师推荐大家采用第四种表达方式， 画图列表写关于事都可以表达正比例关系。前两个问题的解决，让我们对表和事有了进一步的认识，下面我们来看一看有关图的问题。 因为水面高度和水的体积成正比例关系，所以所画的图像是一条过零点的直线， 不知道大家在学习的过程当中思考过这个问题没有，为什么正比例的图像会是一条直线呢？ 在学习的过程当中，我们一定要善于问为什么，因为这可以让我们的思考走向深入。这个问题呢？我们可以用我们学过的知识进行解释，我们来看， 在我们描点的时候，实际上会形成一个长方形，我们将这个长方形的长和宽同时扩大到原来的二倍， 这是不是就是我们学过的将长方形按二比一的比放大，而按比放大能保证长宽比是不变的，也就是形状不变。 所以这个长方形在放大以后，它的对角线的长度虽然会变成原来的二倍，但对角线的位置没有发生变化，所以零零点和这两个已知点，它们是在同一条直线上的， 只要长宽扩大相同的倍数，长和宽的比值就不会发生变化，那么长方形对角线的位置就不会改变，所以这些点肯定都在同一条直线上。 我们再来换一个角度， 这条线的倾斜角度是由我们描点时所画的这两条线来决定的，也可以认为是由这个直角三角形的两条直角边来决定的。我们来看 这像不像我们在学习笔的时候所接触到的斜坡问题？把斜坡变长变高，怎么才能保证斜坡倾斜的角度不变呢？ 只要两条直角边的比值不变，斜坡的倾斜角度就不会变。 所以在比值一定的情况下，这些点必定是在同一条直线上， 这两个角度我们都可以从中感受到两个变化的量。比值一定的这个特点也就决定了正比例的图像是一条直线。 深入理解正比例之后，对于判断两个变化的量成不成正比例关系，其实也就很简单了，我们首先要看是否是两个变化的量， 其次要看这两个变化的量是否有关，是不是一个变化的量发生变化，另一个量也随之发生了变化。最后要看的是这两个变化的量是否比值一定。 前两条是我们判断的重要前提，如果两个量连这两条都没有满足的话，它必定不会成正比离关系。最后一条是我们判断的关键所在， 这样的话，我们就把正比例的内容，从意义、表达方式以及判断方法这三个角度进行了梳理，这样的三个角度同样可以适用于反比例的梳理当中。 在梳理反比例的时候，我们可以先举一个两个变化的量乘反比例关系的例子， 然后针对这个例子，就像我们刚刚对正比例梳理的时候那样，从不同的角度对这个例子展开充分的分析。最后我们可以利用思维导图来呈现梳理的结果。 下面我们就来听一听一个小组他们的梳理分享。 我们小组举的例子是有关速度和时间的，我们假设 a、 b 两地的距离是一千二百公里，当速度是六十公里每小时的时候，时间就是二十小时。 而当速度是八十公里每小时的时候，时间就变成了十五小时。当速度是一百公里每小时的时候，时间变成了十二小时。而当速度为一百二十公里每小时的时候，时间就又缩短了，变成了十小时。 当速度达到两百公里每小时的时候，时间仅仅用六个小时就可以到了，速度越快，所用的时间越短。 在我们举的这个例子中，速度和时间是两种变化的量，速度发生变化，时间也随之发生变化，但它们的乘积始终都是一千二百，所以速度和时间这两种变化的量成反比例关系。 我们发现，当速度乘二，时间相应的就要除以二。速度乘一点二五，时间相应的就要除以一点二五。 速度乘几，时间相应的就要除以几。正因为速度和时间一个乘几，另一个就除以几，所以他们的成绩才不会改变。 我们把速度用字母 v 表示，时间用 t 表示，它们之间的关系可以表示成 v， t 等于一千两百或者是第二个式子，根据老师刚才说的，第一式子可以帮助我们判断两种变量是否成反比例。 在表达两种变量之间的关系时，我们会推荐第二个式子。我们小组也尝试着像正比例那样画一画图，把这些点都描出来， 我们觉得这些点应该连成一条折线，但书上画的反比例图是一条曲线，我们不太清楚为什么是曲线而不是折线呢？ 这个小组结合所举的例子，对反比例的内容进行了比较充分的讨论，相信通过这样的梳理，大家对于正比例和反比例有什么联系和区别也就更清楚了。 判断两个变化的量是否成反比例，它的重要前提与正比例是相同的，不同的是我们要看两个变化的量是否积一定， 只有这两个变化的量积一定的时候，这两个变化的量才会成反比例。 正比例和反比例的内容在中学阶段会进行更为深入的学习，所以大家关于反比例的图像的这个困惑，我们就留待同学们升入中学以后再解决了。 现在呢，我们只要简单的了解就好，这样我们就把整个单元的内容都梳理完了。

同学们好，今天我们一起来学习人教版数学六年级下册第四单元比例，正比例与反比例的第二课时反比例。同学们，下面我们先来复习一下我们上节课学习的正比例， 在下面成正比例的两种量，后面画勾拼，四边形的底是一定的，它的面积和高。 我们知道什么是正比例，两种相关联的量，一种量变化，另外一种量也变化，而且他们相对应的比值是一定的。 那我们看平行四边形的面积和高，他们的比值就是面积比高等于底，底是一定的，所以他是正比例关系。第二题， 订阅英语报的分数与应付的总前数分数与总前数，他们的比值，总前数比上分数就是英语报的单价，也是一定的。 第三题，小明的体重和他的身高，这个是不一定的，这个不是正比例。首先他们是不是相关联的量？体重变化，身高就变化吗？身高变化，体重就变化吗？不一定， 有一段时间哎，小孩吃的比较多，所以他体重就增加比较快。但他一定会长高吗？不一定。他长高了，体重一定会增加吗？不一定。 身高增加了，有可能他会变得瘦了，体重还是不变的，这个都是有可能的，所以他不是相关联的量，所以他不是正比例。第四题，一个加速一定和与另外 一个加数，我们正比例是比值，那么和和另外一个加数的比值是一定的吗？不一定，虽然他们是两个相关联的量，也就是一个变化，另外一个也变化，但是他们的比值不是一定的，所以第四个也不是。 第五题，汽车行驶的速度一定行驶的路程和时间，路程比时间等于速度，而且这个速度是一定的，所以它是正比例。 好，下面我们这节课来学习反比例。先来看把相同体的水倒入底面积不同的杯子里， 你看这里有很粗的杯子，这里有很细的杯子，那么杯子底面积与水的高度的变化情况如下，表底面积不同，水的高度也不同，你看底面积发生变化， 水的高度也变化，这是两个相关联的量，一个变化，另外一个也变化，那么他们之间是怎么变化的呢？我们一起来看一看。首先我们来观察一下上表中有哪两种量。看表头， 一个是杯子底面积，一个是水的高度，所以表中有杯子的底面积与水的高度这两种量。水的高度是怎样随着杯子底面的大小变化而变化了呢？我们看 水的高度是越来越低，杯子底面积越来越大，通过笔我们发现，当杯子底面积变大的时候，那水的高度反而变小了， 那对应的杯子的底面积与水的高度的乘积 分别是多少呢？我们看一下，十乘三十，十五乘二、十，二、十乘十五，三十乘十，六、十乘五，我们发现他们的机都是一样的。 对的，杯子的底面积与水的高度的乘积分别都是三百， 那也就是说，从上表可以看出，水的高度和杯子底面积是两个相关联的量，因为一个变化，一个也变化了。水的高度是随着杯子底面积的变大而变小的， 而且水的高度与杯子的底面积的乘积总是一定的，都是等于三百，其实这个三百啊，就是倒入杯子的水的体积，因为我们知道圆柱的体积是底面一层高啊， 所以我们可以用式子来表示他们的关系。底面积乘高度就等于体积，这个体积是一定的。 当两种相关联的量，一种量变化，另外一种量也随着变化。如果这两种量中的相对应的两个数的乘积是一定的， 那么这两种量叫做反比例的量，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系就叫做反比例关系。 其实这个我们应该跟正比例关系对应着记，正比例关系也是两个相关的量，一个变化，另外一个也变化，那么正比例关系呢？是两个数的笔直一定， 那么反比例呢？是两种量相对应的两个数的乘积一定，一个是比值，一个是乘积，比值一定，那么就是正比例关系。乘积一定，那么就是反比例关系。我们可以这样对应着记，这样就记起来比较简单一点。 如果用字母来表示的话，如果用字母 x 和 y 来表示两种相关联的量，用 k 来表示他们的基，这个基肯定也是一定的，那么反比例关系就可以用 x 乘 y 等于 k 这样的一个式子来表示， 那正比例关系是 y 比 x 等于 k， 所以对应着记会记得比较深刻一点。我们来看，在这个实验中， 杯子的高度和底面积成反比例的量，那么高度和底面积就成反比例关系。 其实你在记得出反，我们可以记着一个大，一个变大，一个就会变小，一个增多，另一个减少，反着来这个就是反比例关系，这样记会更深刻。那么你能举出生活中成反比例关系的例子吗？ 想想有没有两种相关联的量对应的，相对应的两个数的成绩一定 对了。比如说总价一定，那么单价和数量就成反比例关系。 比如说十块钱买苹果，那苹果越贵，你买的苹果就比较少，如果这个苹果越便宜， 那你买的苹果就比较多，这就是总价一定。单价与数量乘法 mba 关系。还有长方形的面积一定的时候，那么它的长和宽也是乘法 mba 关系。 因为我们知道长方形的面积是长乘宽嘛，那面积一定长大，宽就小，长小宽就大，就是这样。 好，来看一道，做一做。这道题目在我们课本第四十八页，请同学们按下暂停键，在课本上写一写。 想好了吗？我们一起来看表中的哪两个量，看表头每天运的质量，运货的天数。那他们是不是相关联的量，那就看他们是不是一个变，另外一个也跟着变， 一个变化，另外一个也跟着变化。是的，表中有每天运的吨数和运货的天数两种量，他们是相关联的量。 第二问，写出几组，这两种量相对应的两个数的几并比较几的大小，所以说这个几表示什么？我们先写几组出来， 三百乘一，一百五十乘二，一百乘三，七十五乘四，六十乘五，五十乘六。这个答案是不为一的，写出几个就可以了，你会发现他们的基都是三百，那这个基表是什么呢？你看运过的天数，每天运的质量， 那他们的基就表示对你所运的货物的总质量。这就是 第三问，那么运货的天数与每天运的吨数成反比例关系吗？为什么？首先知道什么是反比例？两种相关联的量？对，第一位已经说了 第二问，那么两两种数相对应的两个数的基与底对，第二问也印证，所以它是不是乘法律？是的， 他是成反比例关系。因为每天运的吨数变化，运货的天数也随着变化，一个变化另外一个变化呀，而且他们的基一定，所以他们是成反比例关系。 好，下面来做一道难度大一点的。如果 m 比六分之五等于九比 n， 那么 m 与 n 乘反比例呢？为什么？ 我们先来看是不是 m 变化， n 也变化，你看 m 变， n 也变，因为 n 不变的话，那这个等式就不成立了。再来看 m 乘 n 的积是不是一定的？ 是的， m 乘 n 等于二分之十五，它的积是一定的，所以 m n 乘反比例。 好了，下面我们一起来总结一下我们这节课。我们这节课学习了反比例。什么是反比例？两种相关联的量，一种量变化，另外一种量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系就叫做反比例关系，还是和课中数的一 一样。反比例和正比例我们对应着记，这样就比较容易了。如果用字母来表示反比例的两个量的话，那我们就是 x 乘 y 等于 k， 这个 k 是一定的， 那么现在我们就来对比着记一下正比例和反比例。上节课我们学习了正比例，这节课我们学习了反比例，我们看他们相同点是什么？ 对的，都是两种相过来的量，一种变化，另外一种也变化。不管是正比例、反比例，都要具备这个条件。不相同的点是什么？ 对于正比例来讲，一种量扩大，另外一种量也要随着扩大。如果一种量缩小，另外一种量也要随着缩小，而且他们相对应的两个数的比值是一定的，这就是正比例。 反比例呢？反着来呀，一种量扩大，你另外另外一种量就会缩小。如果一种量缩小，那么你另外一种量就会扩大，就是反着来，那么相对的两个数的乘积是一定的，一个是比值，一个是乘积。 好了，以上就是我们这节课的内容，课下时间请同学们找些题目做一做，如果你喜欢这节课，欢迎同学们评论转发，拜拜！

感谢各位家长以前的练习册呀，试卷啊，我都不用操心的。这个学期，突然之间我儿子说要自己买练习册，然后这个英语的他选择了学练优。 采访一下，为什么要选择学练优？因为他每一页就是一个课时，然后他还有两个套卷子，就可以让我们每个单元写一套。哦，那就是说你们每个课时上完了之后，你就做这一个练习卷是不是？对，是 写到哪个课时就写到哪个课时，然后每一单元就在写这个卷子上。对，他还送了这个知识书里，这里面还给你们整理出来一些重点的知识点、难点，还有一些记忆的妙招。哇，那你选的这一个是真的不错哈，考试前就读一下它就可以了。

活动二，用六十元购买笔记本购买笔记本的单价和数量如下表，想一想，结合图表，你能发现些什么呢？请把你的发现写在悬案上。话筒给他，我发现他的单价越 单价越高的时候，本数就越少，也就是他的数量是根据单价变化而变化，而且单价乘这个数量他的，呃，很好，他的总价是一定的。那我们能具体说一说吗？ 一乘六十是六十，六十，二乘三十是六十，三乘二十，它都是六十。我们可以发现，单价乘以数量的积一定随着单价增加，数量再减小，也就是说，数量随着单价的变化而 变化。同学们生活中还有这样的情境吗？请你想一想，给下列表格填上表头和恰当的数据，好可以和同桌小生讨论讨论。这位女同学， 在他的表格中，他是每每每袋一共有多少袋和他的数量产生一个关系，每每每 它的数，每袋的有多少袋，就根据每袋的千克数，就根据它的数量来变化。而它的每袋的千克数乘它的数量，它们的一共的核是一定的。什么是一定的？它们一共的七是一定的，七是一定的。好，很好， 它的袋数和每袋的它的每袋的质量随着袋数的变化而变化，其中每袋的质量与袋数的积是一定的。 这里面用到的数量关系式是什么呀？数量关系式是什么？每袋的质量乘以袋数等于来，你来。这位女同学，每袋的质量乘袋数是等于每所有这个大米的质量。好，很好， 请坐比较刚刚三个表的信息，他们有什么共同特征呢？请你来想一想后面的女同学，他们中每列两个数的积都一样，就是代表他们的总数都一样，两个量的积一定还有吗？ 没有就请坐。同学发现和他不一样吗？来，这位男同学就是这几个表，他们都是根据总量进行变化的， 你觉得他们的鸡是一定的，他的变化怎么变呢？变化就是把他们所有的都列出来，慢慢的一点一点变， 一点一点变，一个量变另一个量，一个量变小，另一个量变大，一个量变大，另一个量变就变小小，也就是说一个量变化，另一个量也随之变化。好，请坐。 我们看长和宽，单价和数量，每袋的袋鼠和袋鼠他们是什么样？两个量他有没有把长和单价放在一起？ 没有，长和宽是两个相关的量，我们说相关点的量，一个量变化，另一个量也随之变化。当两个量的积总是一定时，我们把这两个量叫做成反比的量，他们间的关系叫做反比例关系， 这也是我们今天要学习的反比例的意义。同学们想一想，除了单价和数量，还有哪些乘反比例的量呢？请你仿照上面描述他们之间的关系， 可以同桌之间先小声的互相说一说啊，你们可以前后说一下。 好，请同学来，有同学跟我们想说一说的。好，后面那个男同学对你好，话筒给他，你不用戴眼镜的。这个 我认为应该是总共的一个量，每天消耗的和总共用完用光的时间 成反比，两种是相连的量，每天消耗的增多，变化时间也会随之变化，所以他们的所以 当当变化，一个量变化和时间的基是一定的，也值， 他每日消耗的和时间就成反比例关系，时间和消耗的量是反比例，是成反比例的量。很好，请坐。他说的非常好，有没有想要再尝试一下吗？来，这位女同学，你来。好。 时间和速度是两种相关联的量，时间变化，速度也随着变化，当时间和速度的基是一定的时候，也就是他们的路程是一定的时候。时间和速度成反比例关系。时间和速度是 乘反比例的量。很好，请坐。如果我们用 x， y 来表示两种相关点的量，它们的积用 k 表示，那么反比例关系可以用什么样的式子来表示呢？来，这位女同学， 我们可以用 x 乘 y 等于 k， 也或者用 k 除以 x 等于 y。 哦， x 乘 y 等于 k， 那 么这个 k 有 什么要求呢？这个 k， 它的要求是它们的乘起来的是积， 看是他们两个人乘起来七，而且是一定的，一定的。好，那你刚才还说了什么呀？或者就把它反过来，用 k 乘 y 等于 x， k 什么？ k 除以外等于 x 哦， k 除外等于 x， 它变成个除法的形式。好， a， 你说我认为时间还有速度，还有路程也是时间和速度程是两种相关的量，时间就用 v 代用 v 代替， 时间就用 t 代替，速度就用 x 就 用 v 代替，那个路程就用 s 代替。我们就可以列 v 乘 x 等于 v 乘什么？ v 乘 t 等于 s， 那 这是我们的数量关系式。那如何表示反比例呢？ 反比例关系呢？还可以表示就是 s 除以。不是你刚才说 v， v 乘以 t 等于 s， 这是我们学过的数量关系式。那怎么样才能表示反比例之间的关系呢？你们会不会想在它的基础上进行补充呢？来，你来。他说是 v 乘 t 的 等于 s， 那 么我们可以进而变成 v 加一的合成 y 减，不是 t 减一的差，相乘的结果也是也是 s， 之后就以此类推，前面的减一，后面的就加一，前面的减二，后面的就加二，就这样一直推下去。好，你刚说完，那个女同学立马就有想法了，你说呢？ 包括这个 x 乘 y 是 等于 k， 他 们的条件都是这个 k， 还有他说的 s， 他 们都是一定的。哦，很好，他们数量是 很好， s 乘以 t， v 乘以 t 等于 s， 是 我们的数量关系式，要来表示反比的关系的话，这个 s 要是一定的好，很好。 对于两个乘反比的量，我们刚刚从关系式的角度可以刻画它，从表格的角度也可以刻画它，我们还可以从什么角度刻画它呢？来，这个同学， 呃，我们可以从图形，比如说他的长是四，宽是三，可以代表一个数，代表一个乘数， 你们认识吗？你们大家认识，但是他们什么？横轴就是竖轴，那竖轴我们学过哪些知识和他们相关呢？哎，最后面那位女同学， 我感觉以前的条形统计图好像也是根据横轴和竖轴来的啊。条形统计图，那么统计图有什么用呢？ 还是这位女同学，统计图就可以让这个数据表现的更清楚，让人一目了然。要具体的数据，我们还可以知道不同数据之间的 他们的差距，他们的变化是很好。朋友，想到了条形统计图，好，请坐，还有吗？来，这位男同学，你说还有 x 轴和 y 轴，可以让人从电脑的计算机上清楚的找到每一个点的位置，很好，我们在四下的时候去学过 确定位置，通过什么来确定的 x、 y 竖对或者坐标。这里我们如果把竖轴的横轴看作是长，纵轴看作是宽，刚刚我们剪出了六张长方形纸片， 我想把它摆在这个图形里面，你认为应该怎么摆呢？我们先从一张 十二乘一的长方形纸片，有没有想要上来摆一下的？来，这个女同学，对，你先别下去，你怎么想要这样摆，你怎么不往上推一推呢？ 因为他说他的宽是一，所以我们就把这个竖轴就往下摆，应该是摆到一的位置，他的长是十二，那就是摆到长是数据是十二的地方。体会 那横轴上对应的十二，竖轴上对应的一会让你想到什么来，你说就用十二乘一就得十二，它的面积是十二平方厘米。很好，这同学，你也想到十二乘一正好是长方形的面积啊，还有吗？ 我发现通过横轴和竖轴，横轴表示他的长，竖轴表示他的宽，所以十二乘一在这个竖轴上的话，我们还可以把这个点的坐标表出来，是多少呀？是， 我想来说一下这个点的坐标，横轴是十二，纵轴是一十二。好，来， 下面这张一乘十二的长方形纸条，你认为应该怎么摆呢？你为什么要这么摆？你怎么不把它往这边推推或者往上面推推呢？因为它是一乘十二，那么我们就应该把它这底下放在一的地方，上面放在十二的地方， 这样放就能，我们一看就能直接看出来，这边是一，这边是十二，这边是一，这边十二我们可以得到吗？同样我们就可以准确的看出来的这个图形的面积，这个图形的面，好好好，请坐，那这个点的坐标我们能不能知道啊？一， 十二，好，刚才呢，我们剪了六张长方形纸片，现在还有四张，还是需要同学上来摆一摆，那么你给加下，接下来上来摆长方形纸片，同学提个建议呢，你认为他怎么摆？ 今天给大家提个建议来。这位大同学，我觉得他要在该不能像竖竖轴一样长方形摆摆的，往摆的就是二和十三那个位置， 他是一和十二，要摆摆对位置不要一，他就在那个位置，你不要变动，能够继续把他的描述继续再描述的更加清晰一点。好，这个男同学把，因为他 刚刚摆上去的第一个长方形，他是宽一，长十二，那么 他是长十二，那么就要对应到横轴上面的十二顶头要顶到十二宽一，也就是他这一排都是在 竖轴上面零到一之间的，很好，也就是说我们长要对应着我们的横轴，紧贴着胖，要紧贴着我们的竖轴，竖轴并且都要和我们底下左下角相相连，很好。下面呢，请同学们将六张长方形纸片贴在我们的悬案上，学案的反面， 我们这个长方形纸片啊，后面是不干胶，大家可以贴下来，请小组四人合作共同完成一个图像，每人贴一到两张长方形。

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第四单元的第四课时，叫做反比例， 我们前面的课堂当中呢，已经讲过了正比例，那听这个名字啊，相信同学们应该就能感觉到，反比例和正比例肯定存在着某些关系。好，那我们来通过下面这道例题，了解一下到底什么是反比例。 uxy 表示长方形相邻的两条边的边长，那其实说白了就是一条长和一条宽。表一呢，是面积为二十四平方厘米的长方形相邻两边边长的变化关系。而 表二则是周长为二十四厘米的长方形，相宜两边边长的变化关系。现在呢，让我们把这个表格填写完整，并且说说能够发现什么好。填表格这个事情 比较简单，我们先来看一下表一，表一呢，是面积为二十四平方厘米的长方形得到的一组数据，那我们来看一下，刚开始呢， x 等于一，那对应的 y 是二十四，这 其实就相当于是用了一个长方形的面积公式，对吧？长乘宽等于面积。好，那第二组数据也是一样的，那接下来这两个就不用多说了，我们把面积公式倒过来用，那用二十四除以三，得到这个应该是八，那二十四除以四呢，得到这个是六。 哎，那接下来后面这个几个数据我们怎么来填呢？一般来说啊，我们习惯是按顺序填，但是在这里面呢，你会发现，如果按顺序填，最后求出来的另外一个结果不太好算，对吧？ 有分数有小数。好，所以啊，在这里面我们挑一些能整除的数据填进去。好，那下一个呢？我选一个六，那接下来这条边不用多说了，那 其实就是四。好，再接下来呢，填一个八，好，这条边是三，继续下去，这个是十二，这个呢是二，最后我只填一个二十四，那么这条边对应的是一。 好，接下来呢，我们再来看表二，那表二呢，则是周长为二十四厘米的长方形，那我们来看一下，这里相当于是长加宽的和乘以二，对吗？ 那所以后面的数据和上面一样，依然是把这个公式倒过来，那么上来先用收藏除以二等于多少呢？等于十二，这个十二求拆是什么呀？这个十二求拆其实就是长加宽的和好，那么我们把这个十二带进去， 分别减去 x， 那求出 x 就是 y 了，对吧？十二减三等于九，十二减四呢等于八，再减下这几个数据，好，我挨着填，分别让 x 等于五六七 八。好，那么求出来的外，十二减五等于七，十二减六呢？等于六。好，这个是五，这个是四。那这两个表格呢，我们就填完了，很简单，但是重点还是在后面， 我们来看一看，这两个表格里面啊，这个 xoy 他们之间的变化规律到底是什么？然后呢，这个变化规律是否相同？好，那首先呢，我们来看一下， 对于第一个表格来说，好，最简单的 x 呢，从左到右依次是增大的，那外呢？从左到右依次是减小的好，比如说呢，我们先上来先看表二，表二里面的 x 呢，每次是增加的一，接下来呢，这个外，每次呢，反过来 是减少了一，但是呢，回到表一里面，很明显就没有这样的规律和特点了，对吗？好，所以二者的规律啊，本质上还是不一样的，那我们再分析一下， 还有什么样的规律和特点呢？哎，其实结合刚才我们说的这个公式啊，你就能发现了，表一呢，相当于是 x 乘以外，这个乘积是一定的，对吗？然后呢，对于表二来说，则是 x 加外合一定 到，这是不是有点和我们之前所讲的正比例的一个定义有点接近了，对吗？好，那接下来呢，我们再来看一下第二道例题， 王叔叔要去游长城，不同的交通工具的速度和行驶的时间如下表，你能从表中发现什么？我们来看一下， 一共是三种不同的交通工具，分别是自行车、大巴车和小轿车。速度呢，也是由慢到快，时间反过来由长到短。好，那么可以看到自行车的时速呢，是每小时十千米，用了十二个小时好，大巴车是六十用了两个小时，小轿车 八十，用了一点五个小时。首先从这里面啊，我们能够求出来对应的路程，对吗？速度成时间，这个都是我们之前很熟悉的一个公式了，你没发现求完之后，其实路程是一样的。对，因为他的出发点和目的地是相同的，对吧，只不过是乘坐的交通工具不同， 而且呢，这个数字和我们刚才说的一样，从小到大。然后呢，下面从大到小二者的成绩是一定的。好，那其实说到这啊，就已经把我们今天反比例的一个定义说出来了，那以这道题为例呢，就是速度和时间这样两个相关年代量， 一个变化的同时，另外一个随着变化，而且他们的成绩一定，那么这样两样就叫做反比例的样好。当然呢，我们还是简单的说，老师呢，把它归纳成这样三个字， 积一定就可以了。两个相关年的量，只要他们的成绩是一定的，那么这两样就是反比一的样。同时呢，记住这样一个性质，就是你变大的时候我要变小，你变小的时候我要变大，所以结合这两点来看，是不是和正比一怎么样？正好是相反的，正比一呢，是伤一定 你大我大，你小我小，对吧？所以正反比例这两个定义啊，同学们最好把它结合到一块联系着去记好。那说完了这个定义，那接下来我们再来看一下下面这道例题， 买苹果的总钱数一定苹果的单价与数量是否成反比例，你是怎么想的？那这里面这个总钱数是不是就相当于是总 价了，对吗？后面呢，又提到了单价和数量，那其实对应的我们就能联系到一个数量关系，就是总价等于单价乘以数量， 找一找单价和数量之间的关系。那我们直接套刚才所学的反比例的定义，你就能看到了，他俩现在是不是相乘得到的是总价，而总价在这道题里面又是一定的，所以就变成了一个积一定的情况， 那记忆定自然二者就是凡比例了，对吧？好，所以这道题呢，我们就解决了，因为发现判断的思路和我们之间学的正比例是完全一样的。好了，这几道例题说完了，我们再来看一看下面这道题。 其次呢，读一本书，已读的页数与剩下的页数情况如下表现在问已读的页数与剩下的页数是否成反比例？那 首先啊，我们可以把这个表格填一下，刚开始呢，读了一页剩七十九页，接下来呢，读两页的时候剩七十八页，读三页的时候剩七十七页。其实啊，通过前面这三组数据，我们已经能够得到一个调 见了，什么条件呢？这本书一共是八十页，对吗？把已读的和剩下的加起来就可以了，而这个其实在这道题当中是固定不变的。那接下来下面这个呢？好，下面这个呢，我们就可以填一下，应该是七十六页。 好，后面的数据啊，你就可以自己填了，比如说呢，我填一个五，那对应的剩七十五页，那么这二者之间是否成反比例啊？那我们可以把它乘一下，乘一下你就会发现他们的成绩都不一样，对吧？那实际上这两者之间有什么关系呢？就是我们刚才说的，你把它俩加起来 都等于这本书的总页数，也就是说他们的和其实在这道题当中是固定不变的，那和一定肯定是不满足我们对于反比例的定义了，对吗？好，所以这个不是反比例。那今 现在呢，我们就来看看今天的课后练习题。首先呢，第一题，电脑仙女小组练习打同一份稿件，下表记录的是每人打字所用的时间。好，一共有四名同学上来呢。第一问，让我们先把这个表格补充完整好，我们来看一下，根据小敏 他每分钟的打字速度和所用时间，我们首先能求出来什么呢？对了，我们能求出来这篇稿件一共有多少个字，对吧？好，用三十乘以八十，我们求出来，这里面一共有两千四百个字， 而在这道题当中，这两千四百个字相当于是一个不变样，对吧？因为稿件都是一样的呀。好，那么换小风打的时候呢，他还是两千四百字，而他打字所用时间是四十分钟，那么求他的速度，我们用两千四百 除以四十是不是就可以了？等于六十？好，那换成小英的时候，两千四百除以六十等于四十。最后是小强，他打的最慢，两千四百除以八十等于三十。 好，那接下来我们来看一看。第一问，不同的人在打同一份稿件的过程当中，哪个样是没有变的？这个我们刚才已经说过了，打字的总量是不变的。第二问，打字的速度和所用的时间有什么关系？这个不用多说了吧？我们很明显能看到这两者相乘怎么样？ 得到的都是那两千四百个字，所以相当于是鸡一定，那么这两个样就是反比例的样。 好，那么第三问，李老师打这篇稿件呢，用了二十四分钟，你知道他平均每分钟打多少字吗？那结果我们在第一位里面算出来的两千四百个字，直接除以对应的李老师所用的时间，这个时候就算 看出来了，对吧？所以我们只需要一个简单的除法算式，两千四百除以二十四。哎，你会发现李老师的速度比他们都要快的多，对吗？每分钟能打一百个字， 好，那这一问我们就算出来了。好，那接下来呢，我们再来看一下第二题，判断下面个题中两辆是否成反比例，并且说明理由。首先呢，第一小题，行驶的路程一定车轮的周长和车轮需要滚动的圈数。 哎，那看到这，其实我们之前在圆的周长的计算当中已经见过类似这样的题目了。我们知道这个周长 和滚动的圈数，还有这个行驶的路程之间有什么关系呢？举个简单的例子，比如说呢，这个车轮的周长啊是一米，那么他往前滚动一圈，是不是整个带动的车就往前走了一米啊？ 对吧？那结合这样一个关系，我们就得到了，这个周长乘以圈数不就等于行驶的总路程吗？所以根据反比例的基本定义，我们就知道了，他乘他等于他，而这个鸡是一定的，那么二者就是反比例的样。好，那接下第二个，一个人跑步的速度和他的体重， 这个我相信看完题，大本同学都能想明白，这两者是不是没有直接的关系啊，对吧？当然大部分可能体重重一些的跑的慢一些，体重轻一些的跑的快一些，但是并不绝对，对吗？更谈不上他俩的成绩一定了。好，所以这个呢，根本就不成比例。好，那接下来第三个， 平行四边形的面积一定他的底和高。来这里面我们就要找一找平行四边形的面积和底还要高之间有什么关系了，那是不是自然而然就联想到平行四边形的面积公式了？ 那这里面面积等于什么呢？面积等于底乘以高，老师这一次用字母来表示。好，那我们明显能看到底乘以高成绩是一定的，所以呢，二者就是反比例的关系。 好，第四个，笑笑，从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程好，这个是不是有点类似于我们刚才前面例题里面讲过什么呀？看书的那个意思，对吗？ 这三者之间什么关系啊？从家步行到学校，那么这两个地点之间的这个距离是不是相当于总路程？好，那已走的和剩下的，他加他应该等于总路程，那变成什么了？变成和一定了， 我们前面说了，和一应的话，不成比例，对吗？好，所以呢，这几个我们就判断完了。接下来呢，我们来看今天的最后一道题，稍微有点难度。第三题，如 图呢，是两个相互捏合的齿轮，他们在同一时间转动时，大齿轮和小齿轮转过的总尺数是相同的，这个是什么意思啊？我们可以看一下，这样齿轮呢，紧紧咬合在一块，他转一个齿，那是不是带动了另外一个齿轮，也要转一个齿啊？对吧？他转十个，带动他转十个， 他转五十个，带动他也转五十个，所以是这样的一个意思。好，那接下来呢，现在让我们回答下面几个问题。首先，第一个，大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时， 哪一个齿轮转的更快？哪个齿轮转的圈数更多？好，那实际上在这里面呢，这两个问题是一个问题，转的快，他转的圈数就多，对吧？转的圈数多呢，自然看起来就更快一些。好， 那这个题怎么来解决？还要联系到我们刚才说的这样一个条件，那在这里面呢，我们举一个例子，比如说这个大 齿轮的尺数呢？一圈一共四十个尺。好，这个小齿轮呢，一圈有二十个尺。好，当然具体有多少个，同学们可以自己仔细数一下。 然后呢，现在呢，我让他们都转动二十个尺，那这个时候你能发现啊，小尺的一圈二十个，那转二十个意味什么呢？他转了一圈，对吗？ 但是放到大齿轮上，他一圈有四十个尺，你转动二十个尺意味着什么呀？我才转半圈，那这样看起来，是不是他转的圈数就比大齿轮要 多，速度看起来好像就更快一些，对吧？但如果单看转动几个尺，其实二者是一模一样的好，那明。 另外这个，那这道题其实就做出来了。我们知道，由于小齿轮的尺数比较少，大齿轮的尺数比较多，所以呢，转动相同的尺数的时候，他转的圈数就要比他多，小齿轮看起来就比大 齿轮转的快一些。好，那接下来第二位，转动的总尺数一定的时候，每个齿轮的尺数和转动的圈数有什么样的关系？那还是我们刚才说的，一共有二十个尺， 转二十个尺，那他就转一圈，好吧，转四十个尺呢，他就转两圈，那从中同学们能够看出来什么样的关系呢？哎，很简单，就是 每个齿轮的尺数呀，乘以转过的圈数，是不是就等于他一共转了多少个尺啊？对吧？好，那么这两者之间是什么关系，不用多说了吧，他乘他等于他，而他呢，又是一定的，所以又是我们前面说的既一定的关系，也就是说二者之间 是反比例的关系。 第三位，大齿轮呢，有四十个尺，小齿轮有二十四个尺，如果大齿轮每分钟呢， 转九十圈，小齿轮每分钟转多少圈？那这个其实就承接着刚刚我们做完的第二问，我们现在说了，他们的乘积是一定的呀，所以呢，我可以先把这个乘积算出来。好，大齿轮四十个尺，那他转九十圈的时候，相当于一共转了三千六百个尺。 而这三千六百的尺呢，放到小齿轮上能转多少圈呢？用三千六百除以二十四是不是就可以了？结果等于一百五十圈。 好，那这一问呢，我们就算出来了。答，每分钟转一百五十圈。好，那这道题呢，我们就算完了。相对来说，反比一和正比一存在着很多相似的地方，所以呢，二者呢？同学们？

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师。今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第四单元呢，第四课时叫做反比， 我们上一节课呢，刚刚学过正比例，可能上一节课在学习的时候啊，有的同学就已经想到了有正比例，那会不会也有反比例呢？哎，还真的有，那我们来看一下反比例到底是什么样子的。好，我们来看一下这道题， 把相同体积的水啊倒入底面及不同的杯子。好，那么一共是这样几个形状不同的杯子，我们可以看到，有的呢是瘦高的，有的呢是矮胖的，但是 这些水呢，倒进去之后会有什么不同呢？哎，首先这个水位的高低很明显是有区别的，对吗？那接下来呢，我们现在把这个杯子底面甲和水的高度的变化情况做成一个表格。好，我们可以看到。那么观察像表， 回答下面这几个问题。第一个，表中有哪两种量？那这个简单直接看表格的最左边这两页就可以了。杯子底面积和水的高度对吧，一共有这样一个变化的量，那接下来呢，水的高度是怎样随着杯子的底面积的大小变化而变化的？好， 我们还是依次从左到右来看一下。那杯子底面积呢，从左到右依次在增加，而这个水的高度从左到右是在减小的，所以呢，随着底面积的增大，高度变低。好，这个其实也不难于解。 那接下来第三问，相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？来，那我们就需要算一下了，以第一组数据为例，那就是三十乘以十等于三百。第二组呢，十五乘以二， 二十等于三百，再接下来二十乘以十五，那算出来这些结果肯定和他是一样的，对吧？包括这个三十乘以十也是和他是一样的，最后呢，六十乘以五 还是三百，那到这你就会发现了，这几个成绩啊，算出来都一模一样。好，那到这呢，其实就已经把我们今天的反比例呢讲出来了，那我们来看一下反比例的具体定义是什么呢？ 两种相关颜的量，一种样变化，另外一种样呢也随着变化，如果这两种样当中相对应的两个数的成绩一定。哎，说到关键点了，在这里参照我们之前所学的正比啊，正比一说的什么笔直，一定对吗？到时变成 成绩定了，是不是正好反过来了？好，那么这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系呢，就叫做反比例关系。好， 依然是把它三个字概括一下，哪三个字呢？就是这三个字记一定，同时呢，我们还要再加上后面这两句话， 你大我小，你小我大。好，这个什么意思啊？就是其中一个样变大的时候，另外一个样呢，要随之变小，然后呢，你变小，我要反过来变大。好，这就是所谓的反比例了。 依然呢，可以用字母的形式来表示。我们来看一下 x y 呢，代表这两个相关炎的样，他们的成绩已经，所以啊，我把它盛在一块，求出来的这个 k 只要是一个固定不变的值，那么 x y 就是正比的关系。 好的，介绍完了反比的定义，接下来呢，我们再来看一下反比的图像，这个其实只需要做一个简单的了解就可以了，我们呢，把刚才那道题目当中的数据啊，直接标到这个图上，依然是用竖对的方式。好，这个简单的，老师直接把他画出来了。 接下来呢，你会发现这节点啊，如果直接连的话，是连不出来一条直线的，对吧？因为我们上节课说了，正比例的图像画出来就是一条笔直笔直的直线，那这个怎么？哎呀，这个呀，我们用曲线的方式来沿一下，好，从上往下 类似这样的形式。好连出来呢，是这样一段曲线，这个是反比的图像，反比的图像在小学只做了解，初中呢，我们会系统的去学习好，所以这个图大家有一个印象就可以了。好，那么接下来我们就来看一看今天的几道课后练习题。 首先第一题，判断下面个体当中的两种样是否成反比例关系，并且说明也有这个呢，在正比例的题目当中，我们也见过，对吗？好，在这里面怎么判断反比例呢？依然是从定义入手，看看二者的成绩是否是一定的。以第一题为例， 煤的数量是一定的，使用的天数与每天的平均用煤量之间是什么关系？好，那我们上来呢，就只需要百分之二十，怎么样， 诚意一下，看一看能得到什么？那这里面很明显了，平均每天用多少枚乘以使用的天数，得到的不就是没的总量吗？对吗？所以在这里面，当总量一定的时候，二者的成绩就是一定的，所以他呀，就是反必有关系。 好，那现在第二个呢，全班的人数一定按照各组人数相等的要求分组，组数和每组的人数，那么这三个样之间有什么关系啊？我们来看一下。 首先呢，这就相当于是平均分了，所以呢，组数乘以每组的人数，其实就相当于是总人数了，对吧？而这个总人数又是一定的，那不还是乘积一定的意思吗？所以这两种 者就是反比例的关系。好在接下来第三个，圆柱的体积已经底面积和高。哎，那这个呢，涉及到体积、底面积和高这三个量了，那我们自然而然就想到圆柱的体积公式， 体积公式是什么呢？底面积乘以高，那现在它呀，相乘体积一定，那又是成绩一定的形式，所以这两者呀，也是反比与关系。 那第四题呢，我们再来看一下一块菜地上种的黄瓜和西红柿的面积。哎，这两者之间又有什么关系呢？首先啊，这里面有一个隐藏条件，什么条件？一块菜地，那 说明这个菜地的大小是固定不变的，对吗？也就是总面积是相等的。那接下来呢，黄瓜和西红柿的面积，他俩加起来是不是应该等于这块菜地的总面积啊？那就变成了求和的过程了，和 可以一定什么都不是，对吧？所以这个题不满足反比的关系。那接下来第五个，书的总测数，一定按各包测数相等的规定包装，那么包数和每包的测数， 这其实本质上还是一个平均分，那我们可以看到，包数乘以每包的册数，那就相当于是书的总量，那这个总量呢，又是一定的，所以成绩一定，二者还是反第一 好。所以这里面一共五个题目，四个呢，都是反比例关系，只有第四个不是反比例，因为他是求和的一个过程。好，那接下来呢，我们再来看一下第二题， 下一秒钟 x、 o、 y 两个样成反比例关系，请把表格填写完整，那这个和做正比例的题目是一样的，既然是反比， 我们就先把他们这个不变的乘机求出来，那么根据第一组数据二和五，我们就得到 x 乘外， 他这个成绩啊，就是十，前后应该都是一致的，那么我们就可以把后面这几组数据怎么样带入这个关系，直接算下就可以了。好，那么以这组数据为例，我现在把 x 等于五分之一带进去，那求外怎么求啊？ 相当于是已知一个因数和乘机求另外一个因数，我们用十除以 x 就可以了，十除以五分之一，不用多说了，相当于十乘以五，结果是五十。 好，那在接下来呢，这组数据，这组数据呢，我们就需要把外等营养一带进去，那还是直接反过来除以外，等于 x 十除以零点一，结果应该是一百好，再往下这一组 四十。哎，这个呢，老师介绍另外一个方法，我们呢依然可以利用前面我们说的你大我小，你想我大的关系来做，那这个怎么来解决呢？我们来看一下，先对比 x 是怎么变的。注意了，和正比一样，我们不能看它变多变少，而是要看扩大或者缩小了几倍 好，那么二到四十呢，是扩大了二十倍，那接下来呢，这个外应该怎么变呢？哎，千万不要把外也扩到二十倍了，那个是正比例关系，反比呢，是你变大的时候啊，我反过来变小，所以呢，这个外我要缩小二十倍。 五除以二十等于多少呢？等于零点二五。哎，这个方法是不是也能算出来，对吗？好，当然你还可以带进去再验算一下，四十乘以零点二五就是十，没有问题。好，那最后一个 等于六分之五，那我们还是老老实实的直接带入这个关系。当外等于五的时候，求 x 十除以六分之五，结果等于十二。好，那这道题就算出来了，那么依然是两种方法，根据题目当中的数字啊，灵活去选择。那今天我们来看一下。今天的最后一道题，是一道思考题， 有 x、 y、 z 三个相关键的样，并且有这样一个关系， x 乘 y 等于 z， 那么现在呢？当 z 一定的时候， x o y 成什么比例关系？ 第一问比较简单，他俩相乘成绩现在都一定了，那不就是我们今天刚刚讲的反比一关系吗？对吗？好，接下来第二问， 当 x 一定的时候， z 和 y 成什么比例关系？我们来看一下。现在当 x 一定了，那我是不是要把这个式子做一个变形啊？怎么变？我们要写成 x 等 等于多少多少这样的形式。好，那所以呢，我把这个式子做一个变形，已知的是 x 乘以 y 等于 z， 那现在等号的这一边，我只想留一个 x， 那两边是不是可以同时出一个 y 啊？那当然，你也可以直接利用因数和机之间的关系，用它除以外，也能求出来 x。 好，所以我们得到 这样一个关系，那接下来呢，现在 x 是一定的，那么就可以看出来，胎眼呢，就变成了笔直一定的形式了。那笔直一定是什么关系啊？我们上节课刚刚讲过的正比关系。 好，那接下来第三个，当外一定的时候，那和第二位是不是一样的套路，对吗？我们还是要简单做一个变形，看一看外等于什么好，那这里面呢，依然是因素和积极之间的关系，我们用基除以 x 等于 y。 好，那 那么 z 和 x 这样的关系就很明确了，它是固定不变的，又是商业一定，所以呢，商业一定是正比关系。好， 那这道题呢，我们就送完了。好，所以总的来说啊，我们这两节课讲的这个正比和反比，同学们可以放在一块对比的去记忆，因为二者呢，有很多相似的地方，对吗？还有一些地方呢，是互相有联系的。好，那这节课呢，我们就先讲到这里，同学们，我们下一节课再见。

同学们喜欢听故事吗？喜欢！下面老师就给同学们讲一个财主和帽子的故事。和帽子有一个贪婪的财主拿了一匹上好的布料，准备做一顶帽子。到了财洞店， 他觉得这样好的布料做一顶帽子就不浪费了，于是问裁缝。裁缝。裁缝看了看裁缝一眼说，哎，裁缝心想，那裁缝肯定是从中占了些什么便宜，于是又问，那我做三顶帽子吗？ 裁缝依然爽快的说，行。这时裁缝哥哥也有货了，一步长，哎呦， 那我做四米可以吗？行，皇上仍然很快乐的。经过一番教育后，太后最后问，那我想做十顶帽子可以吗？先放十米的衣服， 然后打乱着，才主慢慢说，可以的，这时才放你在心里，这可不要，可我只做一顶帽子，那就便宜。瞧这不让我说十顶了吧，我还算聪明，嘿嘿。 过了几天，财主到台上取帽子，结果一看，顿时傻了眼，只见帽子小的只能赖在手指头上了。 创业的你知道是什么原因吗？为了解决这个问题，今天我们就来学习反比例。同学们来谈第一个问题，换银钱。 老师，这里有一张一百元的人民币，想把它换成银钱，可以，怎么换呢？好，你来说可以换成面值是一元的一百张。很好。还有呢， 你来说还可以换成面值是五十元的两张，你来说还可以换面值是二十元的五张，你来说还可以换面值是五元的二十张。正如同学们所说的，我们可以换成面值是 一元的一百张，一百张还可以换成面值是五元的二十张。还可以。怎么？你来说还可以换面值十元的十张，这有吗？你来说，还可以换，面值是二十元的五张， 二十元的五张。好，你来说，他可以画五十元的两张。请同学们观察上表，回答下列问题。 同学们呢，先自己默读题目，然后小组进行讨论，并完成手中的问题倒学。单看小组的表现，非常棒。通过刚才的泰军活动，我们发现， 在换零前问题中有面值和张数两种变化的量，并且面值和张数的乘积相等且等于多少呢？ 一百，那乘积一百是什么呢？好，你来说。乘积一百是总前数，我，那之间有怎样的关系呢？好，你来说。 面值乘张数等于总前数。总前数已定，请坐下面我们来看一个科学小实验，桌子上你有几个杯子？ 五个，你来读。把相同体积的水倒入底面积不同的杯子，猜一猜将会有怎样的结果呢？好，你来说，请坐。谁来帮忙呢？ 你来说，杯子的底面积越小，水的水位线越高。杯子的底面积越大，水位线越低。 也就是说，杯子的底面积越大，水的高度就越低。杯子的底面积越小，水的高度就越高。这仅仅是大家的猜想，是否正确还需要我们进一步来进行验证， 一起来看。通过实验，大家发现我们刚才的猜想是对的，对的，正确的。请同学歪插上表，回答下列问题。第一个好，你来说， 表中有杯子的底面积和水的高度两种变量，非常棒，记错。第二个好，你来说。 一行一行的看。我发现杯子的底面积增加，水的高度下降，杯子的底面积减少，水的高度增加，同意吗？同意，很好，请做第三个问题， 再一面一面的看，你又发现了什么？好，你来说。一列一列的看，我发现了杯子的底面积和水的高度的。趁机一定 能不能具体说一说？十乘三十等于三百十五乘二十等于三百二十乘十五等于三百三十乘十等于三百六十乘五等于三百。大家 同意他的说法吗？同意，现在请同学们来想一想，这里的乘积三百实际上就是水加体积， 杯子中水的体积。你真厉害，请坐。那他们之间又有怎样的关系呢？好，你来说。杯子的底面积乘水的高度等于水的体积。水的体积一定太棒了，请坐。 杯子的什么底面积什么呢？水的高度就等于 水的体积。水的体积一亿。现在听同学们来回复我们刚才研究的两个问题，一个是换油田问题，一个是科学小实验。想一想， 这两个例子你有什么共同的课题呢？和你的同桌一起说一说。好，下面老师请个同学来说说你的发现。我发现势利，我发现两个例子中都有两种相关联的变量和一种不变的量。 具体说一说，在换零钱问题中，面值和张数是两种相关联的变量，总钱数是不变的量。在科学小实验中，杯子的底面积和水的高度是两种相关联的变量，杯子种水的体积是不变的量。 你真聪明，请坐。还有吗？好，你来说，我发现这两个例子中，两种两种变量的乘积都是一定的。 能不能具体说一说？在换零钱问题中，面值乘张数等于总前数，总前数已定。在科学小实验问题中，杯子的底面积乘水的高度等于水的体积，水的体积已定断极了，请坐。 那你有没有不同的发现呢？好，你来说。我发现在这两个例子中，两种变量的变化方向相反，一种量增加，另一种量减少。像这样 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化，并且这两种量相对应的两个数的乘积不变， 这样的两种量，我们就叫做长反比例的量，他们的关系就叫做反比例关系。这就是我们半节课要研究的反比例的意义，请同学们大声的自豪的读出你们的发现吧！ 像这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也同，相对应的两个，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 如果用 x 和 y 表示两种相关联的变量，用 k 表示它们的乘积， 那反比例关系可以写成什么呢？好，你来说。 x， y 等于 k， k 很好，请做。 下面呢，听同学们来思考这样一个问题，反比例的量必须具备哪些条件呢？好，你来说。两种量必须是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 你真厉害，请坐！还有吗？啊，你来说。漏粮农药的趁机已意，很好，请坐。现在听同学们来回顾我们前面讲过的馋唾和帽子的故事，老师把声音特别洪亮的同学把它读出来，好，你来读。 小裁缝用做一顶帽子的布给馋主做了十顶帽子，为什么每顶帽子却只有手指头那么大？ 好，请坐好，谁来回答啊？您说。因为做帽子的总布料一定做的帽子越多，每顶帽子的用布料就越少，帽子就越小，他说的真是太完美了，你能说出他们之间的关系吗？好，你说 帽子的底数称每顶帽子的用布料等于总布料，总布料一定同意吗？同意，请坐！ 同学们真棒！既然自己考究出了百比例的意义以及派定方法 检验同学们学习成果的时刻又到了，同学们，你们有信心吗？有，先看第一关，根据下面每组表中的两种量，你想到了哪种量？ 本要求第三种量，并把表格填写完整。第一个，买同一种铅笔购买的数量和总价如下表，请同学们拿出你手中的学习卡填一填，做完的同学请举手！好手，放下， 下面我们请戴洪涛同学给我们来说说他的做法。第八同学呢，认真听讲，如果你们同意他的说法，就拍手鼓励，如果不同意，请举手！鼓掌！开始吧！ 根据表中的数量和总价，我想到了单价，单价等于总价除以数量。 四除以一等于十二除以三等于二，十四除以六等于三，十二除以八等于四。好，请坐！今天我们来看第二个问题， 你来读，用同样的钱买同样的笔，笔下单价与数量有如下表，请同学们完成学习卡上的第二小题。开始做完的同学呢，请举手！好手，放下， 下面我们有请大萌同学给我们来说说它的做法。根据表中的单价和数量，我想到了总价， 总价等于单价乘数量，二乘三十等于三乘二十等于四乘十五等于五乘十二等于六十。比较厉害，请多。下面我们来看第二关。判断我先做好，你来读题， 判断下表中哪两个变量成什么比例，并说明理由。好，请坐我们手势进行判断。如果你觉得他们成正比例，就做这样的手势。如果你们觉得他们成反比例，就做这样的手势，听清楚了吗？