丹德林双球在2019b版教材哪里

啊，大家好，那我们接下来讲的问题是丹德林双球模型，丹德林呢是一个比利时的数学家，那么这个双球模型啊，指的是什么呢？双球模型常见的有两个类型， 第一种情况是把两个球啊放在一个圆柱当中，那么这两个球他正好跟圆柱是类切的， 然后两个球之间的话是相泥的，也就两个球啊，并没有接触。然后这个时候有一个洁面，这个洁面啊是与两个球正好都是相切的， 然后切点的话即为 f 一和 f 二，那么这时候我们有如下的结论，也就是这个斜面他肯定是斜的，那这个斜面啊，与这个圆柱的那个结痕交线，他是一个椭圆，而与那个两 个球的焦点前面与两个球的切点 f 一 f 二正好是这个椭圆的两个焦点，两个焦点，那么这是先给他结论，等会我们再来证明。 然后第二个模型的话，是把一大一小两个球啊放在一个圆锥当中，同样的这两个球也是像你的，然后这两个球跟整个圆锥啊都是内切的，内切的，然后这时候也有一个斜着的平面与两个球正好相切， 然后这个斜着的平面和圆锥的交线啊，正好也是一个椭圆，而这个斜的平面与两个 求的焦点正好是这个椭圆的焦点。 fbf， 好，那接下来我们分别来证明一下，然后证明完之后啊，我们来求一下这个椭圆里面的 abc。 我们现在看第一个图形， 在第一个图形当中啊，我们设这个椭圆轨迹上面的任意一个动点为 p 点为 p 点。那我们首先看这个上面这个球和这个平面的交点啊，我们记为 f 一，记为 f 一， 然后对于这个 p 点而言啊，对于这个 p 点而言，它是在求的外面，然后 p f 一和 p k 一， pf 一和 pk 一，应该都是这个球的切线，都是这个球的切线，然后相当于由球外面一点 p， 像这个球赢了两条切线，一个是 pk 一，一个是 pf 一，那根据切线长项的 pf 一肯定是等于 pk 一的， 那同样的道理，那在于对于底下这个球而言，过 p 点我们 可以做 p k 二和 p f 二，那 p f 二是这个球的底下这个球的切线，那 p k 二也是底下这个球的切线，所以我们也有 p f 二等于 p k 二，所以这样的话，我们可以得到 p f 一加 p f 二，应该等 pk 一加 pk 二，那 pk 一加 pk 二的话，应该正好是这个圆柱的母线的一部分，也就正好等于 k 一 k 二，那 k 一 k 二的长度是不是确定的呢？那我们可以找一下这两个球的球星， 那我们记上面这个球的球星为 o 一，然后底下这个球的球星为 o 二 o 二，那这样的话，我们发现那 o 一 o 二之间的距离应该正好等于 k 一 k 二之间的距离，因为这个 o 一 e o r k 二 k 一应该正好能构成一个矩形，所以这样的话我们就能得到它应该是一个 椭圆，然后在这个椭圆当中，它的 a、 b、 c 怎么去求呢？我们把这个模型啊进行平面化，看右边那个图，右边那个图， 那刚才那个 k k 二啊，他说对应的是那个二 a， 所以这样的话，在我们这个平面图形当中，那个 k k 二是等于 o 一 o 二的，所以这样的话我们可以得到，对于这个图样而言，他的 a， 也就是说长轴的一半等于二分之一倍的 o 一 o 二， 这是 a， 然后它的 b b 等于什么呢？我们在这个图形当中来看啊，然后因为这个 f 一和 f 二啊，它正好是它的焦距，然后 f f 二和 o u r 较于 o 点，这个 o 点肯定正好平分 o u r 和 o f 一 o f 二的。所以大家看这个三角形， 这个角三角形正好对应着我们的什么 a b、 c， 是不是这个 o o e 应该是 a， 然后这个 o f e 呢？是小 c， 那这样的话，那 o e f e 就是我们的什么 小臂，根据勾固定就可以得到，是不是？所以这样的话，我们的小臂就等于什么？就等于这个球的半径啊，也就是说他等于这个圆柱，这个圆柱底面圆的半径。好，那么这是双球问题的第一个圆柱里面的模型还是比较好理解的。 第二个是在圆锥里面的。好，那同样的，对于这个那个圆锥截面上面抹一点 m， 然后他和这个上面这个小球的切线啊， 为 f 二，那这样的话 m f 二就等于 m q 点， m q 点，然后那个 m f 一的话，它应该等于 m p， 所以这样的话我们也能得到 m f 一 加 mf 二，应该是等于 pq， 同样的这个 pq 应该是我们这个圆锥母线的一部分，那跟刚才一样，我们把这个模型啊平面化，看右边那个图，那 pq 我在母线上已经标出来了，那这个 pq 啊，他应该是等于 oed， 那证明我过 o 一点，做了一个 o e d， 平行于这个母线 p q， 那这样的话，在这个直角三角形 o 一 o 二 d 当中，那么我们有什么呢？有 o 一 o 二的平方，它应该是等于 o e d 的平方，加上一个 d o 的平方，那么这个 oed 啊，就是我们刚才的 oa， 然后 dor 的话，应该是等于大球的半径减去小球的半径，也就是 r 减 r 一。所以根据这个购物定理啊，我们可以得到什么呢？ r a 括号的平方，他应该是加上一个 r 二，减去一个 r 一括号的平方，等于 o e r 的平方，那么根据这个式子，你就可以求出他的 a， 那有的题目当中啊，他给的并不是这个半径和 o u r， 他给的是什么呢？给的是这个圆锥的锥角，那我们把这个等腰三角形，这个顶角啊，成为圆锥的锥角，那如果这个锥角是二 c 塔，那我们这个小角，也就是 c 塔， 也就是 c， 那同样呢，还有第二个表达是那二 a， 它可以写成 r 二，减去 r 一，除以一个参径的 c， 那么这 可以通过直角三角形的正切函数可以得到。好，那么这是解决了 a 的问题，然后看 c 的问题， c 的话是 f e f 二，那这个 f e f 二，它并不在一个三角形当中，是不是？所以这样的话，我们可以做一个辅助线，怎么做呢？我们过 o 一，做一个平行于 o 一 o 二的线， 然后这边的话是延长 o r f 一，这样的话较于 h 点，这是一个直角，那这样呢，我们发现 o e h 应该是等于 f 一 f 二， 可以吧？然后这个 o e h 啊，它在一个直角三角形 o e h o 二这个直角三角形当中，那么这个直角三角形当中啊，我们又有勾股定型，是不是也就是 o e o 二的平方，它可以写成 o e h 的平方，加上一个 h o 二的平方，那根据这个式子我们可以 什么呢？二 c 括号的平方，加上一个括号 r 一加 r 括号的平方，等于 o 一 o 二的平方。那么根据题目给的一些线段长度啊，这样呢，你可以把 c 求过来，然后 a 知道了， c 知道了，那自然就可以求出 b。 当然有的时候啊，他也是给的条件啊，是含有角的一个条件，那可能会给我们什么角呢？他给这个平面，也就是 ff 二，他这个平面啊，和这个圆锥的 旋转轴之呢，加角，我们记为阿尔法，阿尔法，那这样的话，那刚才这个三角形 h 那角 h o e o 二这个角啊， 也就是阿尔法，那这样的话我们就能得到什么呢？得到二 c 等于 r 一加 r 二除以一个碳定的阿尔法。好，那这四个公式的话，正好给大家提供了两种 计算方式，那第一种是固定你的方式计算 r a 和 r c， 那第二种是通过角度，根据真切值来求这个 r a 和 r c。 好，那么以上是那个单的零双球模型的一些结论，那接下来我们利用这些结论啊，来看一些题目。 第一个，第一个是圆珠的类型啊，圆珠的模型，那这里面说在一个高为二十，然后底面半径为四的圆珠里面放两个球，然后这样的话，一个平面跟这两个球都相切，然后那个洁面的话是一个椭圆面， 然后他问的是椭圆的什么呢？短轴长，是不是短轴长？就是谁啊？就是 b， 那根据我们刚才的结论，这个 b 啊是正好等于 r 的 r， 也就是圆锥的什么？这个圆柱的底面半径，底面半径是不是 四减半就是四，所以这个椭圆的短轴产是二 b， 所以大家选 d， 也就是八。 第二个，第二个是一个圆锥的模型，它这里面讲了一个求 o 一和求 o 二的半径啊，分别是一和三，然后 o 一 o 二之间的距离为八，然后切点分别是 e 和 f， 所以这个 e 和 f 啊，相当于我们这个椭圆的焦点了。 然后这里面写的是什么？左边的长轴长，那这里面给的是长度，并不是角度，所以我们用我们刚才讲的那个第一个公式，也就是说这里面的二 a 跨的平方加上一个 r， 二减去 r 一跨的平方等于 oer 平方。那接下来单数数字进行计算，拿二 a 跨的平方加上 r 减二二一，这里有两个半径，分别是一和三，所以平完之后呢是四 o a o 二等于八，所以平完之后六十四，所以这样的话我们 可以解除二，也等到二倍根号十五，这里面求的是长周长，那不用除以二啊，就是二倍根号十五。好了，那不知道大家有没有听明白？欢迎大家在评论区进行交流。

用一个平面去截一个圆柱，得到的接口曲线会是什么图形吗？当平面与圆柱的旋转轴垂直的时候，接口曲线是一个圆。 当平面与圆珠的旋转轴承一定角度时，接口曲线是椭圆。 你知道怎么证明此时的接口曲线是椭圆吗？下面的方法来自数学家丹德林的奇思妙想。 首先，在圆柱内部平面的两侧分别放入一个球体，这两个球体与截面和圆柱的侧面都是相切的关系， 与洁面的切点分别是点 f 一和点 f 二。在接口曲线上任意取一个点 p， 做出过点 p 的圆柱的母线 ma 点亮 n 分别在两个球体与圆 柱的切线至上。直线 m n 与两个球体都是相切关系。由于上方的球体与洁面切余点 f 一，而且点 p 在洁面内，所以 pf 一也与上方的球体是相切关系。 这时我们发现 pm 和 pfe 都和上方球体相结，就有 pm 等于 pfe 这个关系成立。 按照同样的道理可以得到 pn 等于 p f r， 所以 p f e 加 p f 二等于 p n 加 p n 等于 m a， 而 m n 的长度是一个定值， p f 一加 p f 二就是一个定值， 所以点屁所在的接口曲线就是一个椭圆。

各位亲爱的老师们，同学们大家好。呃，丹德林双球其实是非常著名的一个模型 啊，我们每次上各种关爱课，或者说啊，特别是上一些有分量关爱课，比如说广州市这个市关爱课啊，这个这位老师所上的这个市关爱课中，最后一个案例呢，就是这个单德林双球， 并且他在这里介绍了这个椭圆的发展历史啊，就是古希腊人啊，从萧建的木椭圆洁面发现了椭圆形，然后阿波罗尼斯呢。啊，这是非常著名的数学家啊，就听说节线定义， 并且得到了椭圆的重要性质，椭圆上到的点到两个定点距离之和为定值，但是当时证明非常复杂，然后这个诺贝塔十七世纪 时候得出了椭圆的轨迹定义，要单德林啊，这个单翻译的这个字，弹啊弹德林构造了双球模型，非常巧妙的证明了椭圆上点到两个定点距离之和为定值，统一了两个定义，非常漂亮啊，这个图啊，这位老师画图呢，他是用的是一个什么呢？ 他应该是一个平面中模拟这个图形，那么这时狙击壁的作用就是体现了，就是画这个可以画的很生动，而且啊不需要在平面中模拟，更加重要的是他可以达到这样的效果，他可以观察，你看一下，所以说 p 一点的移动 啊，这两个 pf， 一个 pf 是是把大小会发生变化，但他们加起来却是一个什么，却是个定值，所以这个非常准确了。当德天双球模型有两个，一个是圆柱形， 圆柱，它主要就是圆柱内的洁面，上方放右啊，直接放两个哈，一个啊，半径位与圆柱底面半径相同，球就确保这个球呢跟这个圆柱是相切是吧？好， 这样切点就会有一，一个是 f， 一个是 f 二啊，平面相是这个就是他跟这个球跟啊，球跟这个平面会有个结，会有个洁面，一个结分别为 f 一 f 二，就是两个刚好相切点。那根据相切的定义呢 啊，这个 p 点呢，因为这个他既他既跟球相切，也跟这个圆柱相契啊，所以他到这个 p f 一就等于 ph， 同理的，这里的 p f 二呢，就等于 于 pq， 而当两个原位固定的时候啊，这个 q 和 h 的距离啊，他是固定的是吧，所以加起来是为定场，所以这个证明非常的精巧啊。啊，这个是啊，这个从明明啊，这个是阿鲁啊， ok， 好，跟着这里是阿龙是吧？好，那我们可以把它更加的显眼， 这个是，这个也是一个镶嵌的切点啊，所以这个当 p 在移动的时候呢，你会发现这个长度啊， q l 是大小不变的，所以这个非常形象生动的证明出了这个啊这椭圆的定义， 所以这个当年的双球模式非常的漂亮啊，应该很有开创性啊。另外一个是圆锥，圆锥上的 道理上也是一样的，就是在一个圆锥间呢，放有两个当然是大小不同的球了，这两个球本身他可以不相切啊，但是这两个球都必须要跟扇形相切啊， 然后有个洁面，这洁面呢，同时跟大小两个球相切，所以 jgb 非常厉害，做做做，这个非常简单是吧？好，我们把这个最后这个洁面所得到的是，就是一个椭圆，为什么是个椭圆呢？ 好道理也是一样的，各大道理啊，就是因由香气定义啊， p f 一就得 p 二， p f 二呢就得 pq， 而本身 pq 呢是一个定场，当你要求固定的时候，是吧，所以这时候所得的就是一个椭圆 啊，观察数据可以发现啊，虽然这个 p f 一和 pf 大小方的变化， 但是这个他们加起来却为一个定值啊，那么我们可以改变这个圆锥的大小，可以改变这个洁面的， 洁面的位置，无论怎么样都符合这个椭圆的定义，所以最近逼非常厉害，这也就是我们手工在课堂上手工廊画的时候呢，我们利用这个软件啊， 大概三两分钟就要画出来，对我们老师，对我们同学学习而言啊，应该是非常生动的，展现出了我们华业的当时数学文化， 也让我们更加佩服啊，这古代数学家能想出个模型，并且临近一个验证是非常不容易的。好了，那么这个微课我们讲到这里，感谢大家收看，具体制作过程我们下期讲解好。

嗨，大家好，今天我们来看一看，一个单单得零双球得到椭圆，用 george bra 制作的非常神奇的效果。好，那么先看为课本，课本上啊，无论是选修啊，这老教材选修一杠一和选修二杠一都有啊， 这个是一个探究已发现的内容，就是啊，书本上举了一个例子， 这例子呢，是啊，就是许多人从以前是从几个角度出发，对这个问题进行过研究。下面是数学家班德林给出的 啊，这是个非常天才的做法，非常厉害的做法。很可惜啊，有些老师或者是同学没有意识，数目三呢，是把它放在一个探究里面，所以呢，很多老师根本都没讲，学生也没有学 啊，从实际上理解呢，他身上就是这样， a 点是椭圆，上印一点 f 啊，一分别是两个交点，然后再根据镶嵌的意思啊，这两个球呢，是非常重要的，两个非常重要性，就是啊，他同时啊，这两个球分别以这个圆锥镶嵌， 根据相切的定义呢，这个 a f 就等于 a b a e 啊， a e 就等于 a c 啊，假设两个球的位置固定，则这个 a b 加 a c 就是个定长，除了保证的 a， 一加 f 是个定长，这就满足椭圆的定义。 所以啊，当然这个也行啊，等下我们用抓子波来做这个， ok， 好了，利用这个方法，利用这个定义呢，我们啊，我做了一个抓子波啊，当然也参考了一些啊， 杨磊老师啊，还有以前啊，朱老，朱安强老师等等的做法，包括何为老师，然后这些老师所做呢，最简单呢，就是我们这个杨老师所做的方法啊，非常之简单自然。那么最后效果是这样的，就是两个球呢 啊，其实这个完全可以最终就达到这个效果，就是 m f 一加 a f 二就等于 g h 的长， 如果球固定，则 gh 固定，因此他就保证这轨迹是一个椭圆，是吧？嗯，好，这是非常漂亮做法。那么把球显示之后呢啊，再把这个圆锥显示，就是这个效果 啊，大家也可以放大，也可以缩小啊，就是这个圆锥与这个球这一啊，这无论转到哪里啊，只要球的位置固定，则这个 gh 长固定， 则他就是一个满足椭圆的定义是吧，当然我们可以通通过上下平移上下平移这个球啊，球的位置改变了，则结局位置改变，这椭圆形状也发生了改变 啊，因为奥 a 已经改变了是吧？啊，包括我们可以把球啊放上，放上半下都可以是吧？哎，放到下面就不行了吗？看到没有 啊啊，放到上面呢，如果两个球相交也不行，这两个球必须盖好，相离相离，同时还得跟这个啊，还要确保跟这个圆锥是相切的， 这样就满足了椭圆的定义好啊，这个平面呢，其实就是啊，我们在做椭圆的时候呢，这平面是个辅助平面，这辅助平面是用来做这个相交曲啊，利用这个平面以啊利用相交路径的指令来来取得这个 火源，并不是用轨迹来做的好，那么这辅助源呢，其实就是啊，其实就是这个也是用相交路径所做的，这两个辅助源其实确保了这个 g n 加 n h 是个定制。 好，那么这个内容先解说到这里，明天我们就讲讲这个案例怎么制作啊？只要四步就可以了，非常简单，非常自然神奇的抓，这波软件为我们教学提供了非常大的便利，谢谢大家。

大家好，我是专讲压轴题的鲁天下，今天我们来看一下杭州二目的填空压轴题，一个单得零双球啊，给到这个场景的话是非常诡异的，他讲的是机场为旅客提供圆锥形纸杯， 为什么会启动圆锥形而不是圆柱形的纸杯呢？难道是为了方便使用起来不方便吗？对，这个很很反人性啊，好，该纸杯的母线长是十二啊，所以这个地方是十二， 这也是十二，那开口指尖就这一坨吗？为八厘米。旅客使用纸杯喝水的时候，当水面与纸杯内壁形成的椭圆经过 母线终点时啊，比如这个有个面，这个水面去结这个圆锥吧，他结出一个椭圆来，对吧，而刚好平齐的时候还经过这个终点，所以 这就是六吗？这是六吗？这个题告诉的，那他的嘴就在这个地方是吧？这个是很科学的啊，刚喝到水，对，可以好啊，圆 追曲线的。这个椭圆的离心力是多少啊？这个题还是出的可以，是吧，如果换成圆柱的话，其实也可以出题的啊，只是圆柱稍微简单一点 好了吗？我们会发语了，球这个玩意其实用于用一个面去截圆锥形成椭圆，这些曲圆锥曲线的时候，我们就可以考虑单个零双球，因为这个双球非常好，就在于他所有的离心率都可以表示成这个截面 啊，结的这个角度啊，这个角度叫做什么呢？就是结面与轴线的角度和轴线与母线的角度，就是一个线线角和 线线角分支这个线面角啊，余选 就是他的离心率啊，这是结论，我们给他证明过啊，就是前面给他讲过单的领双球啊，可以看一下。好，这个就是我们的一个讲解啊，这个会发在课程里边啊，可以看看 讲解啊，就这个地方就是他的结论啊，怎么来的也给他证明过啊？证明的过程是在这个地方，他这道题其实也考察的是这个位置，就这个位置啊，之前广州一模也考过这个玩意，是吧？有很多考试都有啊，看到没？这个东西 就他的证明过程啊，这个课件的话，大家需要啊，我们老规矩，点赞破百啊，就发在评论区第一条有解析的。好吧， 好，我们知道这个结论，马上来做一波，是不是就简单了？首先这个括在阿尔法是特别好求的，因为他就刚好是这个把，它这个三角形嘛，对吧？这三角形这个是十二，这下边是四嘛，所以就刚好等于十二分之括的话就是这个 这个轴线，是吧？就根号下十二的平方减掉四的平方吗？就等于这是多少？是三分之二倍，根号二，对吧？然后再一个扩散别，他扩散别他的话肯定就要根据这个几个关系了，对吧？ 就是这个地方不一定你要把这个两个球都画出来，是不是因为他就是这种造型啊？那得出的话就是算这个杯，他的话，我们是不是要加辅助线？哎，这个杯他他同这里的话，是不是你就要算这条线，但这条线不好算，我们这儿给他做个垂线才用得到终点嘛， 这垂线下来讲，这这里就是六吗？这也是六吗？对不对？然后的话我们看长度，所以这个红色的这条线是不是就是这条轴线的一半吗这条轴线刚好是 呃八倍根号二嘛所以这条边就四倍根号二他是不是根号二啊那下边这是不是也也有一比一的关系这个也是他的终点所以这个长度是二嘛这个二嘛这个是四嘛。 对所以这个长度其实是可以求到的对吧这个所谓的也叫长轴吗对吧这个可以算的其实就他的扩散这个这个值是多少就应该是四倍根号二 除一个根号下四倍根号二的平方有所以他就是一个很简单的几个关系知道的话这道题几分钟就做出来了 然后加上六的平方。对所以就更换一下。三十六加上三十二六十八是吧。六十八四倍根号二啊就这个字这刚好等于多少二倍根号十七吗？对二倍根号十七。 好然后四倍根号二这就是这约个二吗就是十七分之。嗯。二倍根号下 三十四吗三十四对看一下有没有问题。所以这个离心率是不是就是科呗除以科 r 发的嘞就是十七分之三倍根号三十四 哦二倍哈除以它乘以它的倒数是二倍刚好二分之三对不对？而底调刚好十七二底调是吧就十 七分之二三倍刚好十七啊对吧。咱这道题也可以其实把他的长轴算出来也可以去算他的短轴也去做一个洁面也是可以做出来的啊得用几何法纯几何法不用结论去做也能做出来对吧。 好大家需要单独的双球的这个课件的啊可以直接一波三连对吧点个赞吧是吧。啊 goodbye。