古埃及人得到直角的方法

跟着课本学数学，结熟发现勾定理。 嗨，我是小梨，古埃及人利用结绳测量，不仅发明了分数，竟然还发现了勾股定理，制作出了直角，真是不可思议，我们一起来看看吧！ 古埃及最著名的建筑就是金字塔，在几十年的时间内建成如此宏伟的建筑，能够不出差错，还要得益于古埃及人在测量上的聪明才智。画出直角很可能是古埃及人在建造金字塔时 要解决的最大难题，因为金字塔的地基是正方形，四个角必须是严格的直角，不管是哪一个角，有微小的偏差，都会使整个建筑物走形。 古埃及人其实也是在结绳中发现了制作直角的方法，他们在绳子上打相等，间隔的十三个结， 就可以得到十二条线段，每段线段长度都相等，然后按照图示的样子，正好可以制造出一个直角。 一条边为三段绳子，另一条边为四段绳子，斜边正好是五段绳子，这样直角就做出来了。你也拿一段绳子试一试吧！ 真金不怕火，来炼判断题，埃及金字塔的底面是三角形的， 多少段绳子可以恰好围成一个图式中的直角三角形？ 恭喜你完成本节课的学习了！

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来看勾股定理的一个逆定理，好，你们知道古埃及人用什么办法得到直角的吗？ 啊，相传呢，他们呢用十三个相等的结分成了三段，四段，五段这样的三边， 以这样的三边为边长定成了一个三角形，这样的一个三角形呢，其中有一个角就是直角， 那么你知道其中的奥秘吗？那咱们来这节课就来探究，看一看为什么会是这个样子。如果真的以三四五 为边组成的三角形是一个直角三角形，那么里面的原因又是为什么呢？那咱们来探究 下面呢有三组数，分别呢是五十二，十三，七，二十四，二十五，八十五，十七，三角形的三条边的边长给咱们来，下面咱们拿着一个量角器，量一量这样的组成的一个角是不是都是直角呢？ 好，灯过测量怎么发现这个角，嗯，是直角，七，二十四，二十五，这个也是直角，这个呢也是角发现，哎，还真的是直角三角形呀， 那么满足什么样的规律才是直角三角形呢？他们的三条边有什么样的规规律呢？ 咱们可以知道，五的平方加十二的平方等于是一百六十九，十三，平方呢也是一百六十九，所以五的平方加十二的平方等于十三的平方， 七的平方加二十四的平方，通过计算呢，等于是六百二十五，二十五的平方也是六百二十五，那所以七的平方加二十四的平方等于二十五的平方，同样的可以计算出来，八的平方加十五的平方等于十七平。也就是说 三角形的三条边之间，如果两条边的平方加起来等于第三条边的平方的话， 那么这个三角形就是一个直角三角形了。这是咱们从这几个例子中概括出来的一个结论， a 方加 b 方等于 c 方，那么它就是一个直角三角形。那咱们来看，国际人用的三四五，也是满足 a 方加 b 方等于 c 方，所以它也是一个直角三角形。至于为什么会是这样呢？ 咱们通过测量呀，猜想呀，这个结论就一定成立了吗？ 所以为了严谨起见，咱们呢从一般意义上，用一般的方法，再把它给证明出来，看一看是否成立。好，那咱们来看如图， 三角形 a、 b、 c， 他的三条边呢？满足了 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方，让咱们证明三角形 a、 b、 c 是一个直 角三角形，那么咱们来看一看怎么样去正好想正角 c 是直角， 想正角 c 是直角，那咱们可以通过正全等。如果三角形 abc 和另外一个三角形全等的话，那么咱们呢，可以说角 c 等于另外一个角，就是一个直角。那咱们来看构造一个直角三角形， 这个直角三角形有什么样的特征呢？好使角 c 的度数等于角， c 撇的度等于九十度，然后 a 撇 c 撇的长度是 b， b 撇 c 撇的长度是等于 a。 咱们构造一个这样的三角形，那构造完这样的一个三角形之后，咱们来看， 你看上一节课咱们学的在直角三角形之中，斜边的平方，那就等于两直角边的平方之和，所以 c 方等于 a 方加 b 方。 而在第一个三角形里边，已知条件 c 方等于 a 方加 b 方，那所以 a、 b 和 a 撇 b 撇，它们俩的长呢，是相等的。 好，所以 a、 b 等于 a 撇 b 撇，它们俩长相等，那所以这两三角形根据边边边全等全等以后，角 c 和角 c 撇就相等了，所以等于九十度。那这样 的话呢，咱们就证明出来了，如果在一个三角形之中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这三角形就是直角三角形，那这个结论呢，可以直接运用的，那这个就是咱们所讲的勾股定理的逆定理。 咱们再来看一看勾股定理逆定理的内容，如果三角形的三条边满足 a 方加 b 方等于 c 方， 那么这个三角形就是直角三角形。好，这是勾股定理的逆定理。如果三角形 a、 b、 c 满足 a 方加 b 方等于 c 方， 那么这个三角形是直角三角形，那这个勾股定的逆定里用来干啥的呢？用来判定一个三角形是不是直角 三角形，所以呢，它也是直角三角形的一个判定定理，如何判定呢？知道三角形的三角边，如果较小的两边的平方和加起来等于较长的边的平方，那么这个三角形就是一个直角三角形。 好，那咱们来看一看以 a、 b、 c 为编成的三角形是不是直角三角形，如果是哪一个角是直角，那对于这样的题呢，它是不是直角三角形，咱们就看 较短边的两边平方和加起来是不是等于较长边的平方，如果相等的话，他就是直角三角形，而且最长的那个边呢，所对的角就是直角，那在第一个题中，十五的平方加八的平方，那等于是二百八十九，而实际 的平方呢，也是等于二百八十九，那所以十五的平方加八的平方等于十七的平方，那说明较短的两边的平方和加起来确实等于较长的边的平方，那说明这个三角形是直角三角形，而且 c 是斜边，那角 c 就是直角啊，这是第一个。同样的，咱们可以验证第二个，十三的平方加十四的平方等于三百六十五，十五的平方等于二百二十五，那十三方加十四方不等于十五的平方，既然不等于十五的平方呢，说明他就不是直角三角形， 这是咱们利用勾股定理的逆定理判定三角形是不是直角三角形的方法。那咱们再来看一个如果呢，它的三条边满足 a 比上 b 比上 c， 是三 比四比五，他没有给出来具体的三条边的边长，但是给他一个比值关系，那咱们可不可以假设他的边长分别是三 x、 四 x、 五 x 呢？ 嗯，可以这样假设，假设他们的边长分别是三 x、 四 x、 五 x。 那么咱们来验证一下， a 的平方加 b 的平方九 k 方加四 k 方等于二十五 k 方，而 c 的平方也是二十五 k 方，说明 a 方加 b 方等于 c 方， 那所以三角形 a、 b、 c， 它确实是一个直角三角形，也就是说知道三边的比例关系的时候呢，咱们可以分别把这三边给它假设出来，然后再验证是否满足勾股定理的逆定理。 好第二个，在三角形 a、 b、 c 之中，满足 a 方加 b 方加 c 方 加五十等于六， a 加八， b 加十 c， 判断三角形 a、 b、 c 型，那这个题之中， a 方加 b 方加 c 方， 他们满足不满足 a 方加 b 方等于 c 方呢？不一定，他给的这个等量关系，咱们可以对他进行个变形， 把六 a、 八 b 和是非通过移项移到左边，移到左边之后呢，咱们再把这个五十给他进行拆解，拆成九加十，六加二十五，刚好 他他他。这三个是完全平方差，公式分别是 a 减三的平方， b 减四的平方， c 减五的平方，那说明 a 等于三， b 等于四， c 等于五， 所以符合勾股定理的逆定理，那么它就是一个直角三角形。 好，这是这样的一个题目， a、 二、在正方形 a、 b、 c、 d 之中，点 f 是 c、 d 的终点点， f 是 c、 d 的终点 点， e 是 bc 上的一个点，而且 ce 的长等于四分之一的 cbce 的长等于四分之一的 cb， 那么判断 af 和 efaf 和 ef 看起来它是垂直的，那么他们为什么会垂直呢？ 怎么样证明呢？那咱们来试一试 c、 e 等于四分之一的 c、 b， 那咱们可以假设 c、 e 是 x， 那 c、 b 就是四 x， 也就是说假设 a、 b、 c、 d 的边长是四 x， 那它是三 x， a， d 是四 x， f 是 c、 d 的终点呢？ f、 c 是二 x， d， f 呢？也是二 x。 想要判断 a、 f 和 e、 f 的位置关系，那咱们来看 f、 e 的平方就等于在直角三角形 f、 e、 c 之中， f、 e 的平方等于 f、 c 的平方加 c、 e 的平方，它是五 x 的平方， f、 a 的平方等于在直角三角形 f、 a、 d 之中， f、 a 的平方等于 f、 d 的平方，加上 d、 a 的平方，所以是四 f 方加十六 x 方，是等于二十 f 平方。那在直角三角形 a、 e、 b 之中， a、 e 的平方就等于 a、 b 方加 b e 方，所以呢，是九 x 平方加十二平方等于是二十五 x 的平方，那说明五 x 平方加二十 x 平方等于二十五 x 平方，也就是说 e、 f 的平方加 a、 f 的平方等于 a、 e 的平方。那所以三角形 a、 f、 e 是一个直角三角形 a、 f 垂直于 e、 f。 好，那咱们假设边长是四 a， 所以得到 e、 c、 b、 e、 c、 f、 d、 f， 进而求出来 a、 e 方，求出来 a、 f 方，还有求出来 e、 f 方，通过验证，所以 a、 e 方 等于 e、 f 方加 a 方，那说明它就是一个直角三角形。 好练习，能构成直角三角形呢？是能不能构成直角三角形，咱们就看较短的两边的平方加起来是不是等于较长的边的平方。二方加三方等于是十三、四的平方是十六，他们不相等。 三方加四方等于二十五、六的平方，是三十六，不相等。五方加十二方，五，二十五加一百四十四，一百六十九，十三平方一百六十九，相等 四方加六方，四，四十六、六六，三十六，十六加三十六，五十二、七七、四十九，它不相等。所以呢，能构成直角三角形呢，是选 c。 第二个，这个直角三角形的三条边分别是三、四和五，那么这个三角形最长边的高是多少？最长边的高就是五这条边上的高。 那咱们之前讲过，在直角三角形之中，两直角边的乘积等于斜边乘以斜边上的高，那三乘以四等于五，乘以高十二除以五等于二点四。 好，第三个，如果三角形 a、 b、 c 满足它乘，它等于零，两个数相乘等于零， 那么这两个数都有可能等于零。是 a 等于零或者 b 等于零，那所以 a 减 b 等于零， 或者后边等于零，那它是一个等腰三角形，或者它是一个直角的零，那所以三角形 a、 b、 c 是等腰三角形或者直角三角形。好，这是这样的一个，不要写成等腰直角呀，它是或者的关系不是，而且的关系。 好。咱们来看一个概念，勾股数。什么是勾股数呢？如果三角形三边长 a、 b、 c 满足 a 方，加比方等于 c 方，那么这个三角形呢？是直角三角形。满足 勾股定理的三个正整数叫做勾股数，他是正整数。好，这样的三个正整数称为是一组勾股数。勾股数是成组， 它是一组一组的，一组呢是三个，而且呢是正整数。比如说常见的个股数，像常见的三、四、五、六、八十，还有 五十、二十三，这些都是常见的个古数，那这些七、二十四、二十五、八十五、十七，这些也可以背下来。 好，常见的勾股数，那咱们来看三、四、五，每边都乘以二，是不是就变成了是六、八十、五、十二十三，每一条边都乘以二，是不是就变成了十二十四、二十六。 也就是说，如果一组数是勾股数的话，那么它的每条边再同时扩大 k 倍得到的数呢？还是勾股数？ 那如果都缩小 k 倍呢？如果缩小 k 倍得到的数都是整数的话，它也是勾股数。如果缩小 k 倍得到的数不是整数的话，它符合勾股定理，但不是勾股数。 好，勾股数三、四五、六八十呢？在这边 a 选项六八十， c 选项他不是正整数，所以不行。 d 选项 d 选项的话，他讲的是二十五、一百四十四、一百六十九，这三个数是不是勾股数？ 这三个数，因为二十五的平方加上一百四十四的平方不等于一百六十九的平方，所以这三个数不是公共数。 好，需要注意勾股数的定义是满足勾股定理的三 个正整数。那么咱们来看一看这两个命题。如果是一个直角三角形的两边分别是 a 和 b， 斜边是 c， 那么 a 方加 b 方等于 c 方，那咱们知道这是勾固定的内容。 那刚才咱们又讲了，如果呢，知道的是三角形的三条边，满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形是直角三角形。对于这两个命题而言，第一个命题他的提设是啊，直角三角形， 结论是 a 方加 b 方等于 c 方。第二个命题的提设是 a 方加 b 方等于 c 方，结论是直角三角形。好，那咱们可以看出来， 这两个命题的提示和结论是互换的，正好相反过来。好，第一个命题的提示 是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题史。那像这样的两个命题称为啥呢？称为是互逆命题。好，那咱们来看一看 提示和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫原命题的话，那另外一个命题叫做原命题的逆命题。比如说在这边，假如说咱们把命题一当做原命题的话，那命题二就是命题一的逆命题。 那如果咱们把命题二当做原命题的话，那命题一是命题二的逆命题好，这是互逆命题。那咱们知道命题呢？有真有假， 如果一个定理，他的逆命题通过论证发现他也是一个定理，那这时候咱们称它为互逆定理 好。要注意啊，一个定理，他的逆命题如果经过论证，他也是一个定理的话，咱们称道为互逆命，那如果他的逆命题经过论证发现是一个 假命题呢？那这时候他俩就没有关系了，只能说是互逆命题，而不能说互逆定理。既然是定理，肯定就是真。 好，那咱们来看一看这四个能不能说出来原命题的逆命题，看看逆命题是真命题还是假命题好。第一个，那咱们想说，原命题命题就是把条件和结 论给它反过来，那第一个呢，是内错角相等，两直线平行，那怎么着内错相等，两直线平行是一个真命题，所以呢，它成立。第二个， 把它反过来，就是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，那两个数的绝对值相等呢？他们相等吗？不一定吧，那三的绝对值与负三的绝对值也相等，但是他们就要互为相反数，那所以这个不成立。应该是啥呢？应该是如果两个数的绝对值相等，那么他们相等，或者是互为相反数。 第三，全等三角形的对应角相等，那就是说对应角相等的三角形是全等三角形，那成立吗？对应角相等，那假如说两个三角形一个小一个大，那他也不一定成立好，所以呢， 对应角相等。比如说在这里画一个小三角形，一个大三角形，这俩角相等，这俩角相等，最后这俩角也相等，那这俩三角形全等吗？不一定全等，所以这个呢，也是不成立的。 好。第四个，在角内部到角两边距离相点在角的角平分线上， 那在角角平面点到两边的距离相等，那这个呢，是属于角平面的性质，那个可以是可以证明出来的，它是成立的。 好看，本节课的一些练习题。第一个，个股数三四五六八十五、十二十三，那在这边有一组五十二十三。 第二，把直角三角形的三边扩大同样的倍数，那咱们讲三边满足勾股数，勾股数扩大相同的倍数的话，仍然是 属于个股数，仍然满足个股定理的逆定理，所以仍然是直角三角形。 好，第三个命题是减命题的，那么再看一看，角 c 减角 b 等于角 a， 那咱们知道角 a 加角 b， 加角 c 就等于一百八十度，这是三角形的内角和是一百八，因为在这里边的角 a 呢是角 c 减角 b， 这是角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度， 那这个负角 b 和正角 b 二倍的角 c 等于一百八，那所以角 c 等于九十度，那说明第一个是 是直角三角形。第二个， c 方等于 b 方加 a 方， c 方加 b 方等于 a 方，它是直角三角形，那对的角 c 等于， 那应该是较长边，所对的角是直角，应该是谁呢？应该是角 a 等于九十度，那第二个是错的。第三个， c 方减 a 方等于 b 方，那么 c 方就等于 a 方加 b 方，所以它是直角三角形 啊。第四个，五比二比三，那假设五 x、 二 x、 三 x 三个角加起来，十 x、 十 x 等于一百八十度，那所以 x 等于十八度， x 等于十八度，那所以它是五乘以十八、九十度，二乘以十八、三十六度，三乘以十八、 五十四度，那九十度是一个直角三角形，可以演示一个真命题，那假命题只有第一、第第二、 第二个，第二个是一个假命题。在一个三角形之中，三边长分别是十五、二十二、十五。问这个三角形最长边上的高，那十五的平方， 二百二十五，二十的平方是四百二十五的平方是六百二十五， 十五的平方加二十的平方等于二十五的平方，那说明他是一个直角三角形，这是十五、二十二、十五。所以根据直角边乘积，等于斜边乘以斜边的高，二十乘十五，三百三百除以十五等于 十二厘米，所以这个斜边上的高等于是十二。等腰三角形。两个底角相等，它的立 必定那两个角相等的三角形是等腰三角形。为啥不说俩底角相等的三角形？这样呢？因为你还没判断出来他是等腰三角形的时候，就不存在底角， 所以咱们把它说成是一般的角，也就是两个角相等的三角形是等腰三角形。 好，下一个题在三角形 a、 b、 c 之中，三边给咱们了判断它是不是直角三角形，如果是的的话，哪一条边所对角是直角，说明理由。 那它是不是直角三角形，咱们怎么样判断呢？咱们就分别判断 a、 b 的平方加 b、 c 平方和 a、 b 的平方， b、 c 的平方和 a、 c 的平方，它们平方和之间是否存在一定的关系。好，那咱们通过看 a、 b 的平方加 b 的平方呢？结果和 a c 的平方是相等的，那所以它是直角三 也行，而且 a c 所对的边是 a c 边是一个斜边， a c 边所对的角是一个直角。好，这是咱们这节课所学的一个主要的内容。咱们这几个呢，主要讲了勾股定理的逆定理， 要熟练的掌握它的内容，会判断一个三角形是否是直角三角形，而且更重要的是要啥呢？要会判断哪一个角是直角，另外常见的勾股数也要回倍。那咱们这节课就上到这里，想要跟我学习更多，那咱们下一节课再见。