多目标规划数学模型怎么运用

数知道第三十六集今天的节目多目标优化问题之前的节目中，我们所面对的优化问题绝大多数为单一目标最优化，比如在商旅路径 t s p 问题中获取总路程最短的路径， 在神经网络训练中根据损失函数最小化的目标得到模型最优权重参数组合等等。 而在现实中，我们面临的问题往往更加复杂，经常需要同时考虑不同的优化目标。这也正是本期节目的主题，多目标优化问题 我将通过一个自己曾负责的企业项目更清晰地阐述多目标优化理论。虽然进行了一定的简化脱命处理，但核心思想建模思路不会受 受到影响。假设你的企业为下述版图内的客户提供产品服务，在版图内，我们搭配了下列三个级别的供应链网络，全域中心、城市中心和街道中心。 以上每个级别都有着对应的客户响应时间和物流规则等。全域中心可以为版图内的所有客户提供服务，并为城市街道中心提供补货， 但其存在一个明显的短板，他的客户响应时间最长。 城市中心可以为其管辖街道内的客户提供服务，并为其管辖的街道中心提供补货。他的客户响应 时间叫全域中心，短，但长于街道中心。街道中心可以为其街道内的客户提供最快速的服务。 很显然，对客户来说，越快得到服务越满意。为了获得最大的客户满意度，我们当然可以让每个街道都备足充足的产品，以便能够以最快的速度响应客户， 但这也会带来一个问题，更大的库存成本。我们进一步假定 k 个街道每个街道的客户需求都是独立的， 且满足同样的正态分布。对于规划者来说，需要根据以下方面作出权衡， 将足以满足需求波动的充足库存 d 加 sigma 囤在街道中心，那么 k 个街道的总库存则需要 k 乘以 d 加上 k 乘以 sigma。 当街道的需求波动在汇总于对应城市中心时，此时需求满足新的政态分布， 总库存需求为 k 乘以 d 加上根号 k 乘以 c 个码，此时库存得到了优化。当然，这是以牺牲一定的用户满意度为代价的。 而在真实模型中，我们也考虑了运输成本变化的影响。由于运输距离更长，运输成本会更大。但在本例中，我们忽略运输成本这个 同理，当我们把库存继续集中在更高级别的痊愈中心时，库存成本会更低，但用户满意度的牺牲也会更大。 现在我们需要解决的最优化问题就包含了下面两个目标，一、减小库存成本。二、减小用户满意度损失。 而根据我们之前的分析，这两个目标本身就是矛盾的。假设你的两个策略能够实现下面两个不同的结果， a 策略能让库存减少五百万，但用户满意度损失百分之三。 b 策略 库存能够减少八百万，但用户满意度损失会达到百分之六。 a 策略的用户满意度损失更少，而 b 策略的库存优化更有效果。那么哪个更优呢？目前我们是无法判断的。当我们加入策略 c 库存减少了七百万，用户满意度损失百分之三。很显然， c、 u 与 a， 但策略 b 和策略 c 从数据上我们仍无法判断谁更优， 这最终取决于决策者根据业务要求而判定。那么我们能做的就是提供给决策者一个建议，策略集合。而 而集合中的解我们仅出，数据上已经无法进一步分辨谁更优。这些候选解我们称之为帕雷托最优姐，而他们的集合便是帕雷托最优姐级。 接下来，让我们用具象化的数据帮助大家更好地理解帕雷托最优的概念。 假设公司有十类产品，每类产品都可以匹配全域、城市、街道三类中的一种库存策略， 我们分别用一、二、三来表示，那么这十类产品的库存策略就可以是这样一串数字，可行策略的总数为三的十次方，五万九千 零四十九种。我们可以计算每一种策略带来的库存优化和用户满意度损失结果，并将其反映到三点图上。五万多种策略一一对应，可以生成五万多个数据点。 我们先沿着数据集合边界画一条线，在定位了之前， a、 b、 c 三个策略点， b、 c 位于边界或前沿线上， a 位于边界线内。我们可以在不改变用户满意度损失百分之三的条件下， 通过策略的调整将 a 点的五百万库存优化提升到 c 点的七百万，但此时已达边界，我们无法 维持该满意度的情况下继续优化库存推广开来。在边界或前沿线上的策略点，我们都无法在维持某一目标不恶化的情况下找到更优解， 那么我们便称这些边界线上的策略点为帕雷托罪有解，他们的集合就是帕雷托罪有解极。以决策者来说，他可以根据业务要求，在帕雷托罪有解极中选择实施策略。 今天的节目，我们从具体案例出发，简单介绍了多目标优化问题的核心思想，并且初步介绍了帕雷托优化的基本概念。在这之后，我们还有很多方面需要深入， 比如多目标优化的一般性解决方法有哪些？难道每次都需要穷举全部策略吗？比如采用启发类算法更有效地找到帕雷托边界。 如何在帕雷托边界上选择更有代表性的策略点呢？上述问题我都会在下期节目中继续深入展开，期待大家的一键三连，让我们下期节目再见！

嗯，好，我们，嗯，继续啊，我们第二部分的内容呢是整数规划啊，其实我们主要是讲讲解的呢，也是基于线性规划的整数规划，也就是我们不光要求变量呢，是要满足线线性的约束，还要要求变量的满足一些整数的约束。 我们现在来看一下整数规划他的定义啊，整数数学规划中的变量啊，部分或者是全部限成限制为整数的时候，就称为是整数规划， 称为是整数规划。如果在限行规划的模型中，变量限制为整数，则称为是整数限行规划。目前所流行的求解整数规划的方法往往只适用于求解整数限行规划，所以目前还没有一种方法呢， 能够求解一切的整数规划啊。整数规划实际上是一个比较难的内容。嗯，那我们目前，呃常用的啊，常用的方法基本上都是用来求解线性规划模型中含有整数的这样的一个形式，也就是整数线性规划。整数线性规划， 那我们介绍内容呢，也是基本上围绕着这个整数线的规划来介绍。 ok， 那么我们现在来看一下整数规划的分类， 如果不加特殊说明，一般我们啊指的都是整数线性规划。对于整数线性规划模型呢，大致可分为两类，一类是变量全都限制为整数，那这个时候我们就称为是完全的啊，或者是纯的整数规划，变量全线。这位整数是什么意思呢？比如说 我要求 x 我的，我的问题是这个变量呢，有 x 一、 x 二、 x 三这三个变量，那么如果这三个变量我都要求它是整数， 那这个时候我们就称作是纯的整数规划，或者是完全的整数规划。如果变量部分要求是整数，也就是对 x 一啊，我没有要求，嗯， x 一只要是任意一个实数就可以啊，是实数就可以，然后 x 二呢，我有要求 x 二必须是一个整数， 然后 x 三，是是是一个实数， 这是我对变量的要求。那这个时候我们看到决策变量里面既含有这种实数，又含 有这种整数，我们就称托称，它叫做混合的整数规划，因为这里面我们没有要求所有的变量都是整数， 那么基本上我们就可以分成这两类，一类是整数规划，纯的整数规划。另外一类呢，是混合的整数规划 啊。下面呢，我们看一下整数规划它的特点啊，我们需要大概了解一下它和线性规划有啥区别啊。首先第一个，原线性规划问题有最有解啊，当自变量限制为整数之后，那么整数规划的解可能会出现为下面的几种情况， 那现在我们考虑的就是线性规划问题啊，线性规划问题，但是呢，我补充了一个要求，要求呢，自变量必须是整数，那么这个的时候纠结会发生什么变化，那么会发生可能以下的三种 变化。第一种啊，如果原来现行规划问题的自由解，他已经是整数了，而且全都是整数，那么这个时候我将自变量在限制为整数之后，那我这个整数规划的自由解和原来现行规划问题的自由解他就是一致的， 这是当这种情况当然是最好，也就是我加不加这个，嗯，整数的这个限制，那么对于原来问优化问题，他是不影响的，是吧？对于原来的现行规划问题，最后解是不影响的。 第二种情况是，当我加了自变量为整数的这个限制之后，那么新的这个整数规划问题没有可行解。没有可行解指的是什么意思呢啊？也就是说他的可行性是一个空级，也就是满足要求的满足自变量为整数，而且呢又满 足相应的原来线性规划问题的线性约束这样的点，这样的点是找不到的，没有这样的满足原来线性规划问题的约束条件，并且自变量为整数的点，那么这种情况我们就叫他无可形解，这是第二种情况。 那第三种情况是啊，有可行解，也就是说我将自变量限制为整数之后，那么结合原来 优化问题，现行规划问题，他的他的这个可行欲，也就是满足约束条件的这这个 限制，那么这两者啊，做一个交集之后，我发现其实是有是有点的啊，也就是有是有，整数点是满足原来线性规划问题的约束，这个就叫做有可行线。但是呢，这个时候整数规划问题，他的最后只是变差 啊，比如说原来我要求的是一个极小化的问题，现行规划还是一个极小化的问题，但是呢，当我加上，当我加上这个整数约束之后，哦，加上这个自变量要求是整数之后，那么它的最优值， 最优值呢？啊，一定是比原来最优值变大了啊，因为我们考虑是一个极小化的问题，我加上一个限制，对，最对这个，嗯，约束条件加多了这个限制之后，那我得到的最优解，得到最优解的值， 这个指的是目标函数的值哈，他一定是变大了的，这种情况就是变差，那么这个就是整数规划结出现的几种情况。 另外呢，还有一个非常重要的一个特点就是，那就是整数规划的最后解，通常不能够按照实数啊，我去解相应的线性规划问题，我不考虑 这个整数约束，我直接解线性规划问题。解完线性规划问题之后，我可能得到的解是这样，一点几几，一点二三四，然后和五点六七八，然后我再对这个两个小数分别去整。 那这种情况我得到解，通常不是啊，将这个原来的约束条件加上整数约束之后，呃的对应的整数规划问题的最有解，也就是你的整数规划，你不可不可以简简单单把这个整数约束去掉 啊，我去解原来的线性规划问题，得得到解之后，我再去取整。哎，这这样你得到的解通常就不是最有解啊，不是通常就不是最有解。那么这个就是整数规划的特点以及呢，我们不能够啊用线性规划的办法去对待他， ok， 那么这个是他的常用的。嗯，解法啊，数指上的解法呢，有下面的几种方法，当然后面我们后续会主要介绍 metlab 里面的用来解整数规划的一些工具啊，但是我们现在需要了解一下他大概有哪些方法 啊？第一类呢，是分支定解法，它可以求纯的或者是混合的整数线性规划。第二个是搁平面，搁平面也可以求写纯或者是整数混合的整数线性规划。第三个是引媒局法，它可以求写零一整数规划， 这里的零一整数规划指的是变量的要求，变量呢，要么为零，要么为一啊，要么为零，要么为一，这种就叫做零一的整数规划。然后第四类呢是匈牙利法，他是专门求解指派问题的一种方法。 后面我们会介绍什么是指派问题？那这个指派问题呢，他也是零一规划的一个特殊的问题啊，指派问题他也属于零一规划问题。 第五个呢是蒙特卡罗方法，他可以求解各种类型的这个整数规划问题啊，也就是如果这个问题并不是线性整数规划问题，那你也可以用来用用蒙特卡罗来方法来求解。这个后面我们也会举例子来说明一下。 嗯，首先我们看 matlab 里面是怎么求解整数线性规划的啊？它有这样的一个命令，这个命令呢叫做 inter link prog， 也就是在前面我们讲线性规划问题的时候，我们用的那个命令叫做 lin prog， 我们前面如果加上 int， int 就是整数的前三个字母哈，加上 int 之后啊，这个这个命令就表示 是求解整数线性规划。那里面呢，我们看它里面需要输的命令，一个是 f， 还要输入的，一个是。呃，中间这个部分是我们不熟悉的哈， int c o n 后面还有一个矩阵 a 和一个相量 b， 那么他的这个命令是是是是如何使用的呢？ 那我下面这两个图呢，都是结资于 matlab 啊，帮助文件里面他的给出来的两个解释啊，所以这边的解释呢啊，都是英文的一些解释，那我们来解释一下，首先呢，他考虑的优化问题呢，仍然是这样的，目标函数是线性的哈，这个 f 是一个向量， 然后约束条件呢是 a x 小于等于 b 啊，这个就是仍然是一个不等式约束。不等式约束啊，有矩阵 a， 还有销量 b， 然后还有等式约束，有 矩阵 a q 和向量 b q， 同时呢还有变量的这个角色变量的范围有 l b 和 u b 这两个列项列项量。 然后我们其中嗯要求呢是 x， i 是整数啊，这个 x i 啊， i 指的是它的第几个指标啊？如果 x 是一个 n 尾的向量，那这里面我可能要求第一个变量是整数， 第一个分量是整数，其他的分量都是可以在实数的范围内取，所以这个时候我的 i 就需要指定了，对吧？我到底第第几个分量需要是整数呢？这个分量是需要指定的，那怎么指定呢？ 这个指定就是要告诉我们，把这个你，你第几个指标是整数啊？把它放到这个 int 啊， c， u， n 这个位置上，其中这个 i 啊，指的是这个，呃，是在这个指标 高级里面的，然后 ii n， t， c， n 是一个项量啊，这个项量指的就是第几个指标，第几个指标，比如说这个 in the c n 是一三啊，一三就表示第一个和第三个分量都是整数啊，其他的分量不做要求。 下面我们看这个更具体的例子哈，这个具体的例子里面，他就是把这个都包含进去了哈，这个里面 f， 然后 int c， o， n， a， b， 然后 a， q， b， q， l， b， u， b 都放进去了，相比现行规划，其实他就多了这一个，对吧？多了一个，我要指定一下到底哪哪几个分量是整数， okay， 然后其英语的都没有特别的变化，我们的使用方法其余并没有特别的变化。如果我们没有 没有等式约束的话，那这个位置同样也要变成空的，空的一个矩阵，空的矩阵。 如果如果问题没有下界的话，我们可以把对应的 l b i 设成是负的应付啊，对应的如果 d x i 它并没有下界， 我可以设成，嗯，它的下界是负的 in， 然后如果 x i 它是没有上解，我可以把这个 u b i 设成是 in 啊，这个等会我们也会再举例子说明一下。那么我们这个部分主要就是介绍这个函数 int lin prog。 下面呢，我们看一个具体的问题。这个问题呢就是，呃，指派问题啊，他的一个数学的例子啊，那这个例子里面呢，我们想 分配 n 个人去干 n 项工作，每个人呢？呃，只能干一项工作，每个工作呢也只能由一个人来干。那如果分配第挨个人去干，第接个工作的话，需要花费的时间呢？单位时间呢？是先接 问应如何分配工作才能使得工人花费的总时间最少啊？那这个问题呢，就是要问怎么样分配工作，那他分配工作呢？就是要，嗯， 分配工作这个东西，我们要另乘一个变量哈，怎么样去分配这个工作？到底哪个人去干哪哪个工作？所以呢，这个时候我们需要引入一个数学的量来刻画这个事情，刻画刻画这个事情，那我们引入的量呢？就是这个零一变量 xij x i 接它有两个小的下标哈，这两个小的下标指的是什么？第挨个人如果干第接个工作的话，我就给他另称是一。 如果 di 个人不干 dj 的工作的话，我就给他令称是零啊。我们总共有 n 个人，总共有 n 份工作，所以我们这里面的 ij 是一到 n， 一到 n， 所以说这个里面的变量一共有多少个呢？一共有 n 方个，对吧？ n 方个变量， n 方个都是零一变量。 那这个就是我们要解决的问题，我们把 x i j 啊解出来了，这个这个 n 乘 n 的矩阵，哈，这是一个 n 乘 n 的矩阵， 解出来了，那就清楚知道是哪个人应该干哪哪个工作。那下面呢，我们开始建立这个 他问题的数学模型，这个数学模型呢，我们首先看目标函数，目标函数是我们希望花费最少的时间，最少的时间，那第挨个人去干，第接个工作，然后每个花费的时间是 cig 啊， cig， 所以我们把总的时间算一下，总的时间呢就是 c i j 乘以 x i j， 这个就是我们花费的总时总的时间。 然后接下来我们要看的是啊，约束条件啊，要满足什么条件呢？前面告诉我们说每个人干且只干一项工作啊，每个人只能干一项工作，这一每一个工作也只能用一个人来做， 那么这个就是我们的约束条件啊，我们约束条件第一个，第一个呢就是啊，哎， 嗯，对，认给的一个 i 哈 i 从一一到 n， 然后我们把所有的接从一到 n 加起来是等于一的，这个表达的是什么意思呢？ 这个表达的意思是这个是啊，一份工作啊，一份工作至少有一个人来做，对吧？至少有一个人来做，因为这里面的 i 表达的是 这个表达的是第几个人，对吧？嗯，爱表达的是第几个人啊？这个表达是第第。每个人只能做一份工作，每个人。呃， 啊，这个表达的是每个工作只能由一个人做啊，每个工作只能由一个人来做，每个工作啊，有一个只有一个人来做。 然后下面这个，下面这一行呢，表达的是什么意思呢？下面这个是对认给的接，我把所有的 i、 n、 x、 i 接，从一到 n 求和是等于一的。这个表达的就是每个人只做一份工作， 一个人只能做一份工作，然后第一个是一个工作只能由一个人来做，这个就是啊，表，这个两个合起来表达的就是每个人干下只干一项工作的意思哈，也就是这两个等等式来表达的。 然后下面这个约束是这个引入的零一变量，他的天然的约束，这个约束呢就叫做零一的约束条件，零一的约束条。 那么合起来我们看这个问题的话，这个就是只拍问题的数据模型，目标函数呢，是关于 x 的线性的约束，然后约束条件呢，也是关于 x 的线性的约束，因为我们看这里面的变量都是加加减减， 这都是线性的约束条件。然后除此之外，我们还有一个特别的约束，就是这个零约束，这就是只拍问题的数学模型。 ok， 那么这是啊，一个抽象的模型，抽象的模型，下面我们来看具体的问题哈，具体的问题呢，我们来看啊，我们如果假设这个纸拍的矩阵是这样的一个矩阵啊，这个矩阵，这个矩阵是什么意思呢？这个矩阵就是前面的这个 c， 这个 c 也就是第二个人干第接项工作，他花费的时间，我们看到这个矩阵的大小一共是五乘五，对吧？ 那么这个就是五个人干五份工作啊，那么比如说第一个就是第一个人干第一份工作花费的时间，然后第二行就是第一个人干第二份工作花费的时间是八，第一个人干第三份工作花费的时间是二 啊，这个就是指派矩阵它所表达的含义，对应的这个位置其实就是这个 c 啊，因为我们这里面的 c 呢，是一个 n 成大小的矩阵， n 成大小的矩阵， 这个就叫做只拍矩阵， ok， 这个是直拍矩阵，那么我们看这个对应的 madlib 怎么样去解这个问题？怎么样用 intro prog 来解这个问题？首先我们来看我们编写的 madlib 程序，我们 需要把这个，嗯，问题呢变成一个，变成一个数学模型啊，这个数学模型。首先啊，我们需要把这个 目标函数，目标函数呢，现在是一个矩阵，对吧？是一个，呃，是一个矩阵，我们需要把它变成一个项链，因为 matlab 里面我只认识 f， 是吧？我只认识这个 f， 这个 f 呢是和 x 是一个向量，是一个内击的形式，我需要把这个对应的矩阵啊，对应的矩阵大吸大吸变成一个向量。 首先我们把这个大 c 输进去啊，输进去就是这样的一个格式，每输一行，我们后面有一个分号表达，就是换行了，那么这个就是这个五乘五的矩阵啊，五乘五的矩阵呢？我们把这个矩阵拉成一个向量， 放成一个括号啊，括号里面有一个冒号，这个表达的意思就是把这个五乘五的矩阵拉成一个 n 方程，呃，拉成一个二十五乘一的项量哈，我们这里面 n 时间就是五，也就是我要给他拉成一个项量，列项量，这个列项量的长度是二十五乘一。 然后下面呢，我们需要去呃，指定一下到底哪些个变量是整数，哪些个变量是整数，所以我们需要指定的是， 需要指定的是这里面的从一到 n 方啊，这些个变量是整数啊，一到二十五个变量都是整数。然后接下来呢，我们需要输入的是啊，对应的这个对应的这个等式约束，对吧？这个等式约束呢，现在是一个矩阵的 格式，矩阵的格式呢，我们需要把它变成拉成一个相量的格式，我们需要把它变成一个 ax 等于 b， 对吧？但是现在的问题呢，这边是一个大 x 啊，这个大 x 左边是一个什么？这个 x 啊，这个表达的这是一个大 x， 这个矩阵啊，这个 x 他。嗯，这个等式表达的含义是什么？表达的含义是 x 乘一一一啊，等于一一一啊，这个一一呢，都是 n n 乘一的一个向量，是吧？然后这一行表达的意思是什么？ x 的转至一一一等于一一一， 这是对应的这个线性的一个表达的格式，我们需要把这个约束条件，约束条件变成什么呢？变成一个 a， x 等于 b， 这里的 x 呢是一个项链，小的项链哈，小 x， 而左边这个大 x 呢是一个矩阵，这个 x 呢是 n 乘 n 的矩阵，而右边的这个呢，小 x 是个项量，我们需要啊，去找到这对应的这个 a 到底是什么，对吧？对应的 a 到底是什么？ 那么下面我直接就给出命令哈，这个 a 怎么来求呢？ a 就用下面的方法来求啊， a 用这样的一个格式，这个格式里面呢有一个 啊， k， r， o， n 啊，这个表示的是张亮机，张亮机，然后中间呢是一个单位矩阵， 单位矩阵右边呢是一个 onese 到 n， 这个表示是一行 n 列的一个向量，也就是他是一个行向量，所以这个表示就是一个单位矩阵和一个行向量，他的张量积。 然后下面呢我需要再罗一个啊，罗一罗列一个，因为这面出现了一个分号，我罗列另外一个，因为这个其实是什么意思呢？我们可以把这个看一下， 我们把这个写出来，然后看一下这个是什么意思，这个表达就是 i n 和一个，嗯， 和他的张亮机哈，我们写成一个数学的符号，这个张亮机呢，就是这样的一个圈，一个里面一个叉的这样的一个格式哈，这个其实就是左边他的一个等价的形式啊，左边是一关于矩阵的一个线性的约束，我要把它变成一个向量的一个线性的约束，那这个呢？我 我就不写原音了哈，这个其实他等下变过来呢，就是这样的， 等它的变过来就是这样的， ok， 那这里面的 e 啊，这里面的 e 就是这个 e， 呃， y s， e 到 n 就是一个行向量，行向量里面的每个分量都是 e， ok， 这是我们刚才的这个分量，然后下面呢 我们再看这个第二个啊，第二个呢是这样的啊，我们下面罗了这样的一个矩阵， 嗯，这个句对，然后其实就是对应的左边这个约束条件啊，左边这个约束条件呢，也就是 我们也给他写成一个张靓机的格式，也就是右边的这样的一个格式。我们把左边和右边对比一下，看一下，其实这个啊等价的写法就是他 左边的这个啊，等价的写法就是他，这样的话，我们就可以由一个矩阵的一个先行的约束变成了一个限量的等价的先行的约束。然后我们现在做的其实就是把对应的这个矩阵的部分输入到埋在 lab 里面，这个就是我们对应的这个 a 啊，我们对应的 a 就是这样的 i n 啊， e t， 然后是 e 和 i n 和这个单位阵的张靓机，这个就是这个矩阵 a， ok， 那么这个就是 a， 然后右边的这个是向量 b 啊，向量 b 我们就输进去了哈，这个就变成了一个呃， r n r n 的一个 r n r n 尾的一个列项量。然后下面呢我们需要输入 l b 和 u b， 超 b 和 u b。 那我们这个地方由于 x 呢是一个零一的约束条件，零一的约束条件它自动就限定了 x 的每个分量的范围是在零到一之间变化。所以呢，我们的变量的范围呢是从 zeros 啊，就是一个 n 方乘一的一个列向量，变成了一个 n 方乘一的一个列项量，然后上阶呢就是一个 n 方乘一的列项量，然后每个分量都是一。 ok， 那你注意到我们这个里面变量的范围啊，他是一个恩方的恩方乘一的一个列项量，列项量，而我们原来要求解的 x 呢？它是一个矩阵啊，求解， x 是一个矩阵， 所以我们最后通过 int lim pro 解完之后，你需要把它变成变回成一个 n 乘 n 的矩阵，这个变回呢，就用这样的一个 receive， 这样一个命令完成。它所达成的效果就是把一个列项量 电销量逐段给它切开，切拆，然后再重新徘徊成一个矩阵。嗯，徘徊成一个 n 乘 n 大小的矩阵， 然后我们看 interlin prog 里面的命令。我们我们把这里面的向量 c 目标函数中的向量 c 输进去，然后把我们告诉我们哪些的分量是整数啊？我们把 int c， o， n 放进去，他这个啊，从一到第二十五个量都是整数， 那么我们把这个放进去，然后同时呢，由于这个问题没有不等式约束，所以我们这个位置需要附上空的矩阵和空的香料。 ok， 然后后面呢，这个是敷上了，后面这个是敷上了什么？ a， b， 哦，这个位置可能又出现了啊，啊，又出现了这个小 a 啊，小 a 和小小 b， 小 a 和大 a， 实际上应该用一个哈，应该用一个 我，我们回头看一下，在这个命令里面哈，啊，在这个命令里面，我们先有先有不等式约束，对吧？先是不等式约束，然后再是等式约束。 由于在这个问题里面没有不等式约束，所以我们这个位置就约跳过了这个位置，就附上了个空的空的矩阵和空的项链。

同学们大家好，欢迎大家一起来学习运筹学，今天我们要学习的内容是线性规划与单纯刑法。一、我们主要讲一下线性规划模型， 包括我们如何去构建线性规划模型，以及如何用图解法去求解比较简单的线性规划模型。 最后我们认识一下什么是线性规划模型的标准型，以及我们如何去画标准型。我们先来通过一个例题来看一下什么叫做线性规划模型。例题， 某企业在计划期内计划生产甲乙两种产品，那么按照他一个公益资料规定呢，每件假产品所需要消耗 a 材料两公斤， b 材料一公斤。 每件乙产品所需要消耗 a 材料一公斤， b 材料一点五公斤。那么那又已知在计划期内可供提供的 a 材料只有四十公斤，可供提供的 b 材料只有三十公斤。 那么还已知每生产一件假产品可获利三百元，每生产一件乙产品可获利四百元。他问你要如何安排生产计划，使他一个总利润收入最大。我们来看一下表一中有什么信息 有甲乙两种产品，资源、材料、利润，哎，都有了。我们来看一下各个数据分别代表什么？这一块的数据是不是代表我们生产甲乙两种产品， 他们的材料消耗情况。我们再看右边的资源代表什么呢？是不是代表是我们 ab 两种材料的一个材料限额，或者称为资源限额。我们再看最后一行的利润，是不代表是我们每件产品的利润。 好，这个表一中的信息呢，其实就是作为我们信息规划模型问题中一般的形式啊，他都会以这种形式告诉你 相关的信息。我们再回到题目中来看问题，他问你要如何安排生产计划，哎，什么叫安排生产计划？其实就是问你要生产假产品多少件，要生产乙产品多少件，对吧？ 那要达到什么样的一个目标呢？目标是表示总利润收入最大，哎，这样就是我们的一个目标。 那么他问你要生产甲乙产品多少件？我们不知道，我们如何去求解，我们是不是就是要哎收未知数进行求解？ 好，那么我们就设生产甲乙产品的件数为 x， 就像假产品 x 一件，乙产品 x 二件。这样呢？在我们的线性规划模型里面，我们的 x 一 x 二就称为决策变量。 我们再来看目标函数，我们的目标是什么？要是总收入最大，哎，我们来看一下表一中，生产一件 假产品的利润是三百元，生产一件你产品的利润是四百元，那么我生产 x 一件假产品获利多少元？是不是应该是三百倍？ x 一， 生产 x 二线以产品应该多少元？是，应该是获率四百倍 x 二元，对吧？那么你们两者之和是不就是我生产两种产品所获得的总利润？ 哎，你要是总利润最大，是不是取到最大值就可以了？哎，这里我们用 z 来代表利润之和，那 z 求一个最大值，就是使总利润最大。 接着我们再来看约束条件，什么叫做约束条件呢？我们题干条件 中，他还有一个限制，我们原材料 a， 原材料 b 并不是可以无限额的提供，对不对？原材料 a 最多只有四十公斤，原材料 b 只有三十公斤。那么如何把这样的一个题干转化为我们的数学表达形式呢？ 我们先来看原材料 a 生产一件哪里，哪些产品所需要消耗原材料 a 啊？一件假产品需要耗两公斤原材料 a 一件乙产品消耗一公斤原材料 a， 对吧？这就是我们所有所有的消耗原材料 a 的， 那你生产 x 一件假产品，是不是就会消耗二 x 一公斤的原材料 a， 生产 x 二件拟产品，是不是就会消 耗 x 二公斤的原材料 a？ 那么你们两者之和是不就是，哎，消耗原材料 a 的合计， 那么你们消耗原材料 a 的总额肯定不能超过我提供的，你说你要小于等于四十，对吧？哎，这样呢，我们把原材料 a 的一个约束条件列出来了，同样对于原材料 b 一件假产品消耗原材料币 x 一一公斤，那你 x 一件假产品就会消耗 x 一公斤，一件乙产品消耗原材料 b 一点五公斤，那么 x 二件乙产品就会消耗一点五倍 x 二公斤。 你们两者之合就是消耗原材料 b 的合计，同样也不能超过原材料 b 的半总 鹅，三十公斤，也就说要小于等于三十，对吧？好，这样呢，我们把原材料的限额给他用 不等式表示出来了。同样对于我们的一个实际决策问题啊，我们还有一个要求，就是我们决策变量要非负，我们 x 一 x 二要大于等于零。 好，这样呢，我们有决策变量目标函数约束条件，就可以构建好我们的线性规划模型了。我们的线性规划模型的三要素，也就是决策变量、目标、函数和约束条件。 好，我们构建好模型之后，关键是不是还是要求解模型啊？我们先来看一下 如何用图解法来求解我们的线性规划模型 如何做呢？我们来看一下啊，我们的模型，我们的这个模型中啊，他有 x 一 x 二，我们的约束条件是不是也全部都是与 x 一 x 二相关的？ 那我能不能把 x 一作为横坐标，我把 x 二作为重坐标，我来画图进行求解啊，怎么做呢？我们来看啊， 我们先看约束条件我们的约束条件，我们先看第一个约束条件啊，二， x 一加 x 二小于等于四十，我能不能先看这个等式方程？我先看这个依次函数，二， x 一 加上 x 二等于四十。因为我的坐标是把 x 二作为中的目标， x 一作为横坐标，所以我又把它画成 一个 x 二关于 x 一的依次函数的形式，可以吧？哎，我给他写成这样的一个形式，我是不是就可以作图了？ 好，我在图中把 x 二等于负二百， x 一加上四十这条斜，哎，这条斜线给它表示出来， 哎，这就是我们的 r x 一加 x 二等于四十啊，好，但是我们的约束是什么？ r x 一加 x 二要小于等于四十，对不对？那这个时候应该 怎么样了？哎，我们这条直线这条斜线上代表是什么？二， x 一加 x 二等于四十，对不对？那小于等于四十应该在哪一块呢？ 应该在斜线的左边还是右边呢？对不对？嗯，这个时候怎么去分析啊？哎，我们能不能随便取个点给他带入，看是否满足不等式的条件，进而进行判断。比如说我就带入这个圆点零零， 当 x e 等于零的时候， x y 等于零的时候，它们两者之和， r x e 加 x 是不是也等于零？零是小于等于四十的吧。满足这个不等式，说明我零点是在你的范围内吧。哎，所以我是不是应该是 这条斜线的左侧，应该代表的是二 x 一加 x 等于四十，同样这条斜线也是在哎满足条件范围之内啊。 好，然后我们再同样的再看第二个约束， x 一加一点五倍， x 二小于等于三十，我们先把它看成一个等式方程， x 一加上一点五倍， x 二等于三十。 然后为了方便画图了，我又把它写成了一个 x 二，关于 x 一的函数，这里应该是 x 二应该等于 三分之二倍， x 一再加上二十，对吧？我把它写成这样的一个形式呢，我就可以方便作图。好，这样 我又把第二个约束的等式方程给他做出图了。同样我要找的是 x 一加一点五倍， x 小于等于三十个段，那在这条接线的左侧还是右穿呢？我们要来判断 一样的，我们还是可以把选原点啊。我把选原点带入 x 一等于零的时候， x 二等于零，他们 相加也等于零，小于等于三十。满足条件说明原点零零在你的哎范围之内。在满足约束的范围之内，说明是不是应该是在哎斜线的左侧， 代表我的不等式。好，当然我们这里还有一个 x 一 x 二大一等于零，所以我做的图也只 表示了第一上线啊，那我们做出了他们各个不等式的哎，一个范围，那我整个约束条件应该是怎么样的呢？是不是你整个约束要满足这同时满足这四个不等式， 是不是也就说你要找他们，哎，这个阴影部分的交集，你说，哎，你的公共部分，对吧？ 好，我们把公共部分表示出来，这个公共部分也说满足我们这四个约束条件的，我们给他 画出来的公共部分，我们给它称为叫做可行玉，就是满足我们约束条件的啊，我们就给它称为叫做可行玉。 好，我们把约数条件画好，我们找到了可行率，但是我们是不是还没有看我们的目标函数啊？哎，我们又要再来看目标函数呢？ 我们的目标函数，我同样的，我还是想在这个图中给他表述出来，哎，我还是把它写成 x 二。关于 x 一的函数，我来尝试一下啊， x 二等于负的四分之三倍 x 一加上四百分之 z， 对吧？好，那么这个函数我能不能在图中表示出来呢？ 我先，我能不能先找到 x 二等于负四分之三倍 x 一这条斜线，哎，也就说 斜率为负四分之三过圆点的斜线嘛，对吧？哎，那么其实我们 z 等于三百倍 x 一加四百倍 x 二， 这条线，它代表的是哎，一足平行线，对吧？因为你的 z 它是一个不定的值，它是我们，所以我们可以给它称为叫做哎 四百分，以四百分之 z 为参数，以负四分之三为斜率的一组平行线， 你说你要与它平行，因为我 x 一 x 二只能在这个可行域之内范围移动，所以我这个线是不是可以给它往上平移啊？那平移我 z 值应该在 在哪里呢？我们注意看，这个函数代表是 x 二等于负四分之三倍， x 一 再加上四百分之 z， 所以这个四百分之 z 是不是代表的是？哎，这条斜线与纵坐标的焦点， 哎，在原来的时候， z 是等于零的，我往上平移一点点，在这里的时候是不是 z 是在五到十之间大于零呢？哎，我看能不能再往上平移，我 z 是不是又变大了？ 当然我这个重坐标交点是四百分之 z 啊，四百分之 z 变大了， z 是不是也就变大了？好，我再一次往上平移，我能不能发现是不是平移到这里，我就不能再往上平移了，再往上平移我已经不在 可行域范围之内了，但是我们发现平移到这里的时候，是不是就可以使是四百分之 z 达到最大值，也就是我们 z 达到最大值了，对吧？ 好，其实我们把这一系列的线，我们给它称为叫做等，可以给它称为叫做等直线啊， 那么我们就可以找到使目标函数达到最大值的点。这条线有什么特点？是不是刚好经过了这个焦点？这个焦点 整好就是二， x 一加 x 二等于四十，与 x 一加一点五倍， x 二等于三十的焦点。我能不能通过这两个方程解出这个焦点的坐标，对吧？ 结束交点的坐标是不是就可以得到 x 一 x 二了？值了？哎，这样我们就可以得到我们的最优解了。我们把 x 一 x 二带入到我们的目标函数中去， x 一等于十五，那么就三百乘以十五加上四百倍 x 二，四百乘以十，这样算出来，我们的目标函数就是 z， 就应该等于八千五百。好， 这样呢，我们就通过图解法求得了我们例一中的最优解。我们 通过图解法，我们再来看一下我们线性规划模型的一些解的情况。先来看一个概念啊，我们刚刚讲了可行欲，我们再来看可行解。什么叫做可行 解呢？就是满足线性规划模型约束条件的解，我们给它称为叫做可行解。 那我们再看最优解，最优解是在可行解的基础之上，比如说你要先满足 我整个先进规划模型的约束条件，然后还要使我们的目标函数达到最值，哎，当然你目标函数是求最大值，就是要达到最大值，如果目标函数是求最小值，就要求达到取最小值的时候，那么你就得到最优减。 那么我们线性规划模型它的解一般有四种情况，我们还是用图解法分别来看一下这四种情况。第一个为 唯一最优解，哎，其实是不是我们刚例题一中的解啊？这是我们的一个哎，目标函数它的一个等直线 与我们的可阴影部分，代表我们的可行欲啊，与我们可行欲交点是交于这个点，这个时候我们取到唯一的最优解， 我们再来看第二个多重解，多重解什么意思啊？哎，就说我们这个等直线，他与我们可行域的某条边刚好重合的时候，取到最大值，取到最值， 当然我们这个图中表示是最大值了啊，也就是说我的 x 一 x 二在这段直线上，这段 这段线段上面取值的时候，可以使目标函数起到最大值，对吧？这个时候因为我 x e x 肯定有不止一组，我们就称为叫做多重结。好，我们再来看什么叫做无介解呢？ and 无界解，其实它代表就是我们的可行域，它是发闪的，它不像我们，哎，第一种情况，第二种情况，它是一个封闭的区域，这个可行域它是发闪的，不断的 one and 不断的往上扩。 那这个时候你这个等直线往上平移，是不是？你的可行率是发展的，那么你这个等直线是不是也可以一直往上平移？这个时候虽然你是有可行解的，对不对？你有可行率吗？有阴影部分 有可行解，但是你怎么都没办法使你的目标函数达到最大值，对吧？所以这个时候我们就称为叫做无借解。好，最后我们再来看无可行解， 无可形解又是什么意思呢？哎，你说你的约束条件，你在最开始画图的时候，你每一个约束条件画好之后，你发现这几个约束条件找不到 他们的交集，找不到一个公共部分，也就是他没有可行欲，这个时候我们就称为叫无可行解。 哎，这就是我们线性规划模型解的四种情况，那要如何去求得这求解我们的一般的线性规划模型呢？当然我们后面会讲到 用最哎普遍的方法就是我们的单纯刑法。那么在在讲单纯刑法之前呢，我们先要来看一下我们线性规划模型的一个形式， 就是我们首先要把现金规划模型画成标准型。我们在画标准型之前，我们先来看一下我们现金规划模型的一般形式，哎，就是我们把立体一中给他扩展到任意的 x， 我们就可以得到这样一个一般形式啊， 我们的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，那目标函数是由 c 介乘以 x 介之和来表示的，这里的 x 介当然是角色变量，那你的 c 介代表什么呢？哎，我们给它称为叫做 价值系数，在我们例题一中表示的话，就可以说是每件产品的利润，对吧？ 好，我们再来看约束条件，约束条件怎么组成的呢？由 ai 界乘以 x 界求和与 bi 之间的一个不等式，你可以是小于等于、大于等于等于，都可以 有这样一个不等式来组成的。那么我们的 ai 键代表什么呀？哎，我们给它称为叫工艺系数，就如我们立体一中每件产品消耗原材料的情况，对不对？ 好，我们再看 b i 呢？ b i 又代表什么？我们给它称为叫做资源限量，就如我们立体一中，哎，每件啊，每 哪种原材料的限额？这种原材料 a 只有四十公斤，原材料 b 只有三十公斤，对不对？哎，当然我们还有一个非负约束啊，决策变量非负约束，这是我们的一般型。我们再来看限期规划模型的标准型又是什么样的呢？ 我们一般可以写成两种形式啊，两种形式，我们来看一下这两种形式，它与我们的一般形有什么区别，有什么联系？现在看一下目标函数， 哎，我们有没有发现，这个时候目标函数只能是求最大值了，对吧？哎，说明我们第一个标准型的第一个要求是目标函数要求最大值，我们再看 约束条件呢？约束条件这里，哎，是不是发现只能取等号，哎，说明我们的约束条件多为等式方程。再看我们的，哎，同样决车变量还是要哎恢复的一个约束。 同时在这里面还有一个隐含的要求，就是我们的资源限量 bi 也都要求要大于等于零，资源限量也是我们常数项， bi 也要求非复才是我们的标准型。好， 当有了标准型的形式之后，但是在我们实际做题的过程中，可能很多模型构建好的模型他并不是标准型，那么如何把一般型转化为标准型呢？哎，我们来看 看一个立体，立体二，将下列线性规划模型化为标准型，我们来看一下啊。目标函数是求最小值，我们标准型是不是要求是求最大值啊？我们再看约束， 约束条件，哎，都是不等式，我们的标准型是不要求为取等号，而且我们又让长数上要求要大于零，你这里有一个负的，对吧？要求要大于等于零，这里有一个负数， 还有什么我们的，哎，决策变量是要大于等于零，你看它这里有一个 x 三无符号约束，什么意思啊？比如说你 x 三可以为正，可以为辅，也可以为零的意思，是不是也不满足我们的要求？哎，那我们如何来画呢？我们一步一步的来，我们先看这个 x 三无符号约束，哎，你 x 三没有符号约束，那我给你换了，我令 x 三一漂减去 x 三两漂等于 x 三，这个时候我 x 三一漂大于等于零， x 三两漂也大于等于零， 这样我就可以来表示你 x 三了，我们想一下能，能否表示呢？ 能不能满足？虽然说我 x 三一条大于等于零， x 三两条是大于等于零，但是你们两者之间的大小是没有比较的，对吧？你如果 x 三一条大于 x 三两条，那么你这个时候就大于零， 如果你等于，那就可以取等于哈。如果 x 三一条小于 x 三两条，那么你就是小于零，这个时候是满足，哎，能够代替 x 三的，对吧？说明你能够 代表 x 单无符号约数，但是这个时候我注意啊， x 单一条， x 单两条都是大于等于零的。好，我们再看第二个， 我们再来看我们的第一个约束，我们第一个约束他是小于等于号，这个时候我们要把它化成等号，对不对？哎，那么我们就在这个不等式的左边给他加入一个松弛变量，哎，我们称为，我们把这个松弛变量，我们给他命为 x 四， 注意这个松弛边呢，必须是非负的啊，也要大于等于零才可以。好， 注意，我们因为我们已经把 x 三用 x 三一条减去 x 三两条来代替了，所以我们在后面画的过程中， x 三都已经用 x 三 一条件 x 三两条来代替了。啊，这样呢，我们就把第一个约束条件给它化为了等式，我们再看第二个约束， 第二个约束他是不是应该是是大于等于，那我要怎么样才能换成等号？我左边给他减去一个值是不是就可以了？哎，我令这个不等式的左边给他减去一个剩余变量，其实或者也可以称为叫做松石变量啊， 这个时候，哎，同时这个剩余变量也要求大于等于零，这样呢，我再给你减去一个值，是不是就可以使你哎成为等式啦？ 啊？这样我们把第二个约束又化为等式，我们再看第三个约束，哎，我们发现第三个约束他一个是他是小于等于 不满足等号的要求，同时这里还有他右边的长数上还是一个负数，对不对？说明我们要做两个变化啊。我们先把他的哎左边不等式的左边给他加入一个松弛变量 x 六，我们给他化成等式， 画成等式之后，我再在这个等式的两边同时乘以一个负一，是不是可以使右边的长竖向为正呢？对吧？好，坐好这这样一个变化， 这样的话，我们是不是就把所有的约束条件给他调整呢？之后我们再来看我们的目标函数，目标函数是求最小值，那这个时候怎么办呢？我能不能哎立 z 漂等于负 z， 那当你的 z z 漂取得最大值的时候，负 z 取到最大值，你说你的 z 是不是取得最小值，对吧？这样呢，我们就把目标函数做一个转换， 注意你这一瓢等于负 z， 你后面哎都要取一个负哎，都取一个相反数啊。 同样的 x 三还是要用 x 三一漂减去 x 三两漂来代替。好，这样呢，我就可以把这个模型给它画成标准型了。 好，另外呢，在我们画标准形中，如果我们遇到某个约束，他是一个绝对值不等， 是我们应该怎么办呢？哎，其实我们就把这个绝对值不等式给他化为两个不等式，然后再按照我们上述步骤来进行一个画就可以了。比如说啊，我们有这样一个例子， 假如你的约束条件中有这样一个约束，哎，我们就可以根据绝对值不等式的一个性质，直接给他去掉绝对值，对吧？ 去掉绝对值是不是应该是，哎，右边是小于等于九，左边是大于等于负九，对吧？ 好，这样的话我们是不是可以给它拆成两个不等式？哎，前面作为一个不等式，然后再把后面又作为一个不等式，是不是给它拆成两个不等式啦？ 哎，我给它拆成两个不等式，然后是不是就是我们刚才所见的形式，我再分别去给它进行一个化解就可以了。好， 这样呢，就是我们如何将一般形式的先进规划模型化成标准型。好，以上呢，就是我们今天的所有内容，谢谢。

在商业世界里，每个企业都追求实现最大的利润，而线性规划是一种有效的工具，能够帮助企业家们达成这个目标。 通过数学模型的建立和最优解的求解，线性规划能够帮助企业家们找到一条最佳的经营路径。本文将为大家详细介绍线性规划的概念、应用以及解决方案。什么是线性规划？线性规划是一种优化问题， 通过数学模型的建立和最优解的求解，使得所求函数值最大或最小。线性规划模型由决策变量、约束条件和目标函数构成， 其中决策变量指企业在生产或者经营过程中需要决定的变量，如生产数量、销售价格等。约束条件是企业生产 和经营的各种限制条件，如生产资源、销售渠道等。目标函数是企业所追求的最大利润或最小成本。线性规划的应用有哪些？线性规划广泛应用于各个领域，如生产调度、货物运输、资源分配等。 例如，在生产调度中，企业需要考虑每个生产环节的生产能力、物料的供应量以及制造时间等限制条件。通过线性规划模型，企业可以得出最佳的生产计划， 实现最大的利润。线性规划的解决方案是什么？在解决线性规划问题时，可以采用单纯刑法、队友理论、内典法等算法。其中单纯刑法是一种常用的线性规划算法，通过不断交换约束条件 和目标函数中的变量寻找最优解。而队友理论则是一种用来求解线性规划问题的方法，通过对原问题进行转化，得到队友问题并求解那点法则是一种近年来较为流行的线性规划算法，通过求解线性规划问题的队友问题， 实现求解员问题的目的。总之，线性规划是一种有效的优化方法，可以帮助企业家们实现最大利润的目标。通过线性规划模型的建立和最优解的求解，企业可以找到一条最佳的经营路径。 不同的算法适用于不同的线性规划问题，企业家们可以根据实际情况选择适合自己的算法进行求解。

揭秘重塑你的知识体系，国赛在级，你真的都清楚了什么是数学建模？他是怎样将现实世界中的问题转化成精巧的数学模型， 从而揭示隐藏在背后的规律和解决方案呢？数学建模是什么？想象一下，当我们面对一个复杂的现实问题时， 数学建模就像是一面镜子，可以帮助我们将问题抽象成数学形式，从市场营销到环境保护，从医学诊断到交通规划，数学建模无所不能。他帮助我们用数学语言描述问题， 深入挖掘问题的本质，让我们能够更好地理解和解决问题。从现实到模型的变换，你有一个复杂的现实情境，比如城市交通拥堵，通过观察数据 收集和分析，我们可以创建一种模型，就像搭建一座微缩城市一样。在这个模型中，车辆、道路 信号灯成数学符号，交通流动变成了数学方程。通过解这些方程，我们能够预测交通流量，寻找最佳道路规划，甚至为交通系统优化提供建议。 掌握数学建模的力量数学建模不仅仅是应试的技能，更是一种培养逻辑思维、创造力和解决问题能力的方法。无论是在学术研究还是实际工作中，掌握数学建模能力都是锦上添花的加分项。他让我们从不同的角度审视问题， 拥有更广阔的视野，为世界的挑战寻找创新的解决方案。解锁数学建模门路 不管你是数学爱好者，还是刚刚接触数学剑魔，这个领域都充满着惊喜和机会。在未来的视频中，我将带你们逐步探索数学剑魔的奥妙，从基础入门到高级技巧，从实际案例到竞赛经验，全方位的助你学习数学剑魔。 如果你看到这，可以在评论区给出你想了解的内容及你的目标，点赞评论加订阅，我们下一期再见！

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今天跟大家来分享一下两到六岁的数学启蒙全规划，我把它总结成了三个步骤和三个关键点。先来说三个步骤，第一个步骤，总结知识点，确定启蒙目标。 这个知识点我帮大家已经总结好了，你们可以直接抄我的作业。步骤二，选好启蒙教具，启蒙教具往这四大方向去准备就可以了。数学启蒙相关的绘本、桌游练习册以及思维机数学启蒙必备的教具，我也给大家整理了一份，你们可以直接参考抄作业。步骤三，家长积极引导 家里现有的数学启蒙教具，轮流带小朋友去玩就可以了。在玩这些教具的过程中，小朋友是会反复接触到各种不同的数学知识点的，不知不觉，这些数学知识点都有了一个输入和启蒙的过程了。 接下来我再分享数学启蒙的三个关键点，这三个关键点会决定小朋友的数学启蒙的最终效果。关键点一，要在生活当中帮小朋友去反复渗 头数学。比如说你最近在带小朋友去学点数，那在日常生活当中，比如说今天去超市买了西红柿，你就可以问问他，我们今天总共买了几个西红柿。在楼下小区玩的时候捡树叶，你也可以规定他来捡三个树叶给你。比如说带着小朋友再去走楼梯的时候，可以带着小朋友一起来数一数走了几阶楼梯 在学什么知识点，那么就在日常生活当中多去提及这些数学语言。关键点二，动手操作，亲身体验必不可少。要帮助小朋友用绩效化的方式、图像化的方式去理解数学，比如说小朋友在学三加二等于几，就一定要让他拿积木摆一摆，三加二等于几。 比如小朋友在学空间方位里面和外面，你可以让小朋友躲到被子里面，然后跑到被子外面去感受一下空间的这个概念。第三，数学启蒙是不能跳跃式启蒙的，必须是环环相扣的，他和其他类的学科启蒙还不太一样。数学启蒙就像盖大楼一样，你必须把这个地基打的又好又稳，以后 这栋楼才能盖的又高又稳。所以啊，数学启蒙其实挺简单的，但是也是比较考验我们父母的需要，父母可以始终去保持培养小朋友数学思维的这种意识。但是数学启蒙还是非常重要的，学好数理化，走遍全天下。 所以坚持认真的对待数学启蒙这件事情，一定会收获一个反应能力强、逻辑思维能力强、语言表达能力强的小朋友。