正六边形中有几个等边三角形

那你现在这个做来吧。这这个不会啊，这个正六边形的，他是有六个短边三角形合成的，这个是平行的，这样连起来，这个三条线是平行的，再这样连起来， 这三列线是平行的，这是等边，三角形等边，三角形等边等边，所以这个六十度，这个六十度那大小就是一百二点， p、 q、 r 为正六边形边上任意的三点， p、 q 平行， e、 d、 e、 d 是 固定的，对不对？是，那就是这个图形了， 也有可能是这种，也有可能是这个，对不对？当 p q 等于多少的时候，三角形 p、 q、 i 的 面积最大，那 p q 在 这里呢？ 那 d p、 q 是 最大的，对不对？但是它高呢？高在这个上面就是就变小了，对不对？是因为这个面积啊，是底层高，除以 r， 那 r 不 可能在这里，对不对？那就在这个地方了，看到吧， 肯定在这个上面，在这里，在这里，在这里都无所谓，反正不可能在这个地方，也不可能在这个地方，对不对？那面积最大面积怎么求呢？面积是底，高就是这一段 r、 m， 那 底怎么表示呢？高又怎么表示呢？我们就想到一百二、一百二、一百二、一百二，边长是六，对不对？你把它连接起来，那就变成这样一个三角形， 这是一百二十度，这两段相等，那这个就是三十度，三十度，这个是六，这是六 a 一 多少？最好是要把它记下来的，这个图是他的根号三倍，这个就是六倍的根号三，万一你忘记了怎么办？你就填高 三十度，对边得斜边一半，这是三，那这个是他的几倍根号三倍的根号三，对不对？ 记得这个图，这是一个图。再还有这个图，九十度，三十度，这个三边是一比二比高三的，这是一，那这个就是二，那这个多少？ 高三，如果这是 a， 这个就是二 a， 这个呢？高三， a， 较长的直角边，是较短的直角边的高三倍。 还有这样一个图，是四十五度的斜边是直角边的，跟好几倍，跟好二倍，对，跟好二倍，这个是 a， 跟好二 a。 这三个图你帮我记好。中考试卷里面是必考的，这时候考一道题的，那我们就求得出来这个了，这个是六倍的高三，那你延长过来这个六倍的高三，那 这个呢？六倍。高三。再就是看这个底边怎么表示呢？我也做垂线大角是多少度？ 三十度吧，那就我就说这个是 a 了，那这个多少？高三， a 吧，那这个呢？高三， a 吧，这个呢？你再添高，这个呢？高三， a 吧，这是一个等腰梯形，这个是 a， 这个也是多少 a， 对 不对？那底是多少 q， 这个是六 六，这个多少 a， 这是 a a， 那 加六加 a， 这是底，对不对？高呢？高，是这一段，解这一段吧， 这个是多少？六？笔的根号三减，这个吧，减根号三 a， 好， 现在面积把它表示出来了，变形化减，提起公一是二来跟他约掉了，对不对？那就三加 a， 提起根号三来六减 a， 对 不对？你把这个画一下，把这个整开，三六一十八，三乘负 a 负三 a， a 乘六六 a 正 a 乘负 a， 负 a 的 平方，然后按照降密排列，负 a 的 平方负三 a 乘六 a 多少？三 a， 对 不对？小一次泡，这是个抛物线呢，看到吧，抛物线开口 向下，向下，那就是最高点，那就是最大值。所以什么时候最大值值得当？ a 等于负的顶点的横坐标，负二， a 是 负一吧？ a 是 二，是向系数， b 是 三负负的正等于二分之三的时候。 三角形 a 是 三角形，面积最大最大多少？他们也要求我们求，如果求的话，你把二分之二带到这里，就可以求出来了。 a 是 二分之三，那这个就是二分之三，这是一点五吧？一点五加一点五是三，这个中间是几啊？六，那就等于多少？九九， 对不对？现在有问题是吧？六。好，这道题呢，就面积的最大值，那么怎么办？你把面积首先把它表示出来， 看一看他是什么样子的。这一般的来说，代数里面最大值、最小值一般都是二十。恒收的几何里面有一个线段呢？最大值最小值往往是三点共线的。

此视频内容为根号三比例案例。 在根号三矩形基础上，可以建立正六边形，以根号三矩形中心为圆心进行旋转复制，使相邻矩形的边或顶点相互衔接，即可围合出正六边形。 根号三矩形长边与短边之比为根号三比一。根号三矩形旋转后为和，形成了三边相等的等边三角形，内角都为六十度。 在自然界中，正六边形的结构广泛存在，例如，雪花的晶体形状暗含了根号三的比例关系。 雪花之所以呈现六边形，是因为水分子在特定温度和湿度条件下凝结形成的冰晶结构，为六方精细。在物理学中，这种结构被称作密排结构，它占据了最小的体积和面积、能量最低且最稳定 密封建造的六边形巢房，其结构力学也与根号三矩形紧密联系，完美地实现了材料消耗最小化与空间利用率、结构强度最大化之间的平衡。 现在已经知道，由根号三矩形可以建立正六边形，旋转后也可以为合成等边三角形。 若以三角形底边两端点各为圆心旋转复制底边为九十度，则可以形成正方形，而旋转运动的轨迹即为由正方形推导等边三角形的画法。 过等边三角形顶点画水平线为合成的下部分矩形，形成了根号三比二的比例矩形。 有此图可以进行证明。设正方形边长为一，则等边三角形边长也等于一。过等边三角形顶点作垂线得直角，三角形底边长度为二分之一。根据勾股定律可得垂线长度等于二分之，根号三也等于矩形短边的长度。 中国古代建筑典籍营造法式中的看详部分记载，六棱镜八十有七，每面五十，其斜一百。这句口诀精准地概括了正六边形的三个关键尺寸，也是古人将理论几何转化为工程实践的绝佳范例。 正六边形构建的内切圆直径为八十份，外接圆直径为一百份。 他将正六边形这一复杂的几何形态简化为八十七、五十、一百这组简单的整数定额。 这使得六角形建筑的构建，如方柱、枣井等可以实现标准化预制，具备极高的施工可行性。

hello， 欢迎来到范老师的小课堂。今天我们说一说六上期末复习题，看黑板等边三角形里面有一个正六边形，让我们求这个正六边形和最大三角形的比，是不是？那我们看这个图， 能不能把这个大的三角形分割成小的三角形呢？你看把这个图分割一下， 那这样大的三角形就被我们分割成了九个小三角形，是不是？那阴影部分是不是刚好占了六个啊？所以六比九等于二比 三。所以这道题我们选择 b 选项，通过图形分割，这道题是不是一目了然。

今天我们来讲一道正六边形的几何体啊，生活里啊，古建筑中的龟背纹就是用正六边形拼接而成啊，自带对称美学，寓意长寿吉祥啊。 大自然中的这个蜂巢也是完美的正六边形结构，省材料又坚固。那正六边形，它既是轴对称图形，也是中心对称图形啊，自带很多隐藏的优势，在解决面积问题中特别好用。好，我们来看一下今天的这样一道题啊， 正六边形中， m 呢，是 ab 上的一点，已知三角形呢， a、 f、 m 的 面积是二啊，四边形呢， b、 c、 d、 m 的 面积呢？是十， 要求的是四边形 d、 e、 f、 m 的 面积啊，那要求的呢，是这个不规则四边形的面积啊，我们可以间接去求，利用正六边形的面积减去已知的这两块图形的面积是不就可以了 啊？那关键是什么？我们要求出正六边形的面积喽！好，来观察已知的这两个图形的面积啊，其中这个呢，是三角形规则图形的面积 啊，这个三角形的面积知道，那么以 a、 m 为底的三角形 a、 e、 m 的 面积是不是也能求呢？ 而 a、 d 长对角线是正六边形的对称轴，它将这个正六边形啊分成了两个完全一样的等腰梯形好， a、 dm 的 面积与 a、 f、 m 的 面积啊，它们是同底的 面积，是不是 a、 dm 的 高，是 a、 f、 m 高的两倍？那 a、 dm 知道 b、 c、 d、 m 的 面积又是已知的， 所以等腰梯形 a、 b、 c、 d 的 面积就求出来了，那么正六边形的面积就有了。那其余问题迎刃而解，所以我们来写一下答题过程啊， 解，连接一下长对角线 a、 d， 那 么 a、 d、 m 与 a、 f、 m 是 同底的面积比，就等于高之比。来看一下它们的高啊。 好， c、 f、 d、 e、 a、 b 三条线是平行的啊，两两平行，那么 c、 f 又是对称轴，所以三角形 a、 dm 的 高是三角形 a、 f、 m 高的两 倍，那么 a、 dm 的 面积是三角形 a、 f、 m 面积的两倍，所以 a、 dm 就 应该是四面积啊。 好，那 a、 d、 m 面积有了 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就有了？它等于 a、 d、 m 加上 b、 c、 d、 m， 好， 就等于十四啊！等腰梯形 a、 b、 c、 d 的 面积就等于十四，那么正六边形的面积就是 十四的两倍啊！二、十八，那么四边形 d、 d、 e、 f、 m 的 面积就等于正六边形的面积减去 a、 f、 m 的 面积减去 b、 c、 d、 m 的 面积就可以了。二、十八减二减十等于十六啊！ 这里要注意，我们用了运用到了对称啊，以及在这六边形里不同的顶点到同一边的这个高存在的一个倍数关系。还有求这个不规则图形的面积，我们用到了正南则反的思想啊。

抱抱，这个取边三角形看着好难算呀，我看它长得和等边三角形差不多，我们直接用边长乘三来算怎么样？ 当然不行了，虎虎，这里两点之间的曲线肯定比直线要长，但是弧线长度要怎么算呢？我们问问马老师吧。好的，抱抱虎虎，我们首先要找到这些弧线对应的圆和圆心，比如弧 a、 e 对 应的圆心就是 c 点 连接 a、 c 和 e c 后可以简单判断出角 a、 c、 e 是 六十度，这样弧 a、 e 的 长度就是圆周长的六分之一。我们要有半径才能得到圆的周长半径。 a、 c 可以 通过构造特殊三角形 abm 得到，它是三十、六十、九十特殊三角形。已知 ab 等于一， 那么 b m 等于二分之一， a m 等于二分之。根号三， a、 c 的 长度就是根号三。最后取边三角形的周长就是根号三乘二派，乘六分之一再乘三，结果是根号三派，你们学会了吗？哇，好神奇啊，弧线这样算就简单多了，谢谢马老师。

现在就跟我们的顺加逆点又联系上来了，所以我为什么一直说这个顺加逆点非常重要？这节课我们把这个方位角带入到这个正六边形，进一步加深大家对于这个角度计算的一个理解，并且会告诉大家一个快速画出正六边形的一个方法。首先在计算这个正六边形的角度之前， 我们大家要清楚这个正六边形它是由六个完全相同的等边三角形拼起来的，我们把这个对角相连，大家看这是六个完全相同的等边三角形。等边三角形我们之前说过每个角是六十度，对不对？ 所以我们正六边形每一个内角是不是都是一百二十度？ ok， 接下来我们计算这个正六边形的一个角度，首先一到二， 一到二，我们以一为坐标原点建立一个方位角，一到二是这样的一个方向，这个角是一百二十度，他被这条线一分为二，对不对？ 那这个角是不是六十度？我们顺加逆减正北的一个方向是不是零度？同样是三百六十度，那我们一到二顺加逆减逆时针减三百六十度，减去六十度是不是就是三百度？三百六十度减去六十度等于三百度。 二到三，二到三是正北的一个方向，是零度，对不对？三到四， 三到四，我们以三为坐标原点建立一个方位角。然后刚才我们说过，正六边形每一个内角都是一百二十度，对不对？这一个大角是一百二十度， 这是不是一个直角？那这个角是不是一百二十度减去九十度，也就是三十度？三十度，我们正东的一个方向是不是九十度？顺加逆减九十度，减三十度变成三到四，是不是六十度？也就是三到四是九十度，减三十度等于六十度。 四到五，我们以四为坐标原点建立一个方位角，然后它跟下面这个一是一样的，这个一百二十度被一分为二，每一个角是六十度， 我们这样的一个方向是不是正南的一个方向？一百八十度，一减一，时针减六十度变成四到五，所以四到五是不是一百八十度？减去六十度等于一百二十度？五到六，五到六是正南的一个方向，是一百八十度，对不对？ 六到七，我们以六为坐标原点建立一个方位角，然后这个六他跟这个三是一样的， 我们这一个大角是一百二十度，然后这个角是九十度，所以这个角是三十度，对不对？我们这个方向是不是二百七十度？顺加逆减逆时针减去三十度变成六到七，所以六到七是不是二百七减三十度等于二百四十度？ 现在我们正六边形的所有角度都计算出来了，当然这个正六边形不是每一条航线的角度我们都需要去计算，他有一个快速计算角度的一个方法，同样跟我们的顺加逆减这个结论是密不可分的。首先大家观察这个一到二，他是不是三百度， 二到三零度，他同样是不是也是三百六十度？然后三到四是六十度？到这里其实我们就已经能发现一个结论了， 三百到三百六是不是加六十度？零度到六十度是不是也是加六十度？六十度到一百二是不是也是加六十？一百二到一百八是不是也是加六十？一百八到二百四也是加六十， 现在就跟我们的顺加逆点又联系上来了，所以我为什么一直说这个顺加逆点非常重要？大家观察我们的一个图形序号，一二三四、五六，他是不是顺时针旋转的一个方向？顺加，也就是我们只需要算出一到二的一个角度， 剩余的角度二到三，我们就用一到二的角度加六十，三到四，我们就用二到三的角度加六十，我们依次加六十。然后现在我们以这个图形为例，我们做正六边形，我们首先观察这个图形去哈，他是顺时针还是逆时针，这个图形一二三四五六，他是不是一个逆时针的一个方向？ 那我们首先一到二的角度，我们需要去计算一下，一到二现在是正西的一个方向，是二百七十度，对不对？ 然后刚才我们讲的结论跟我们的顺加逆减，现在他是一个逆时针的一个角度。顺加逆减是不是用减一次减六十，就是接下来航线的一个角，二到三是不是就二百七，减六十，二百一， 三到四就是二百一十度，减六十度，然后剩下的角度都是一次减六十度，这就是我们的一个快速的一个方法。

宁波家长朋友啊，一看是不是艾老师画这个图很解压呀？哎，这种题啊，是期中考试的一个常客啊，哎，六边形，那么很多同学一看到经常面积，就想到那个又长又难的公式 啊，公式一旦记错了，这个题就是零分，那么怎么做呢？这个题我们看韩老师现在开始切披萨啊，我们把这个正六边形看成一个披萨，现在把它切成大小完全相等的六块，也就是说把它分成六个等边 三角形，是不是我们只要求出其中的一个，一块面积是不是乘以六就算出来了？好吧，那既然他给了半径是二，对吧？半径二， 那么边长肯定也是二，我们做他的一个垂直，对吧？我事先已经画出来了啊，做他的一个高垂线，是不是因为他是等边三角形，他的高也是他的平分线，那所以说 a 也是 ab 的 平分线， 所以 ab 是 等于二，那么他的一半就等于一，是不是那么凹 b 也是半径也是等于二， 对吧？那么我们根据勾股定律就很快可以算出它的凹一就是它的高，是不是凹一就等于根号三了，对吧？ 好，那么我根据一个三角形面面积公式，二分之一，它的一个小三角形的面积二分之一，底乘高，底是一， 对吧？乘以一，再乘以它的高，根号三，二分之一底乘高底，错了啊，我们底是 ab 啊，底是应该是二啊。 好，那是不是就算出一个面积是根号三了，那乘以六，所以这个正六边形的面积是六倍的根号三。我们圆里面还有很多这种解析大招啊。关注安老师下期视频，我们继续死磕避考点！