数学图形动点问题解题技巧

动点和动角问题呢，是初一上学期各个版本里边最难的题型，其中动角呢，比动点还要更难一些，但是今天掌握了我说的这个方法，所有的动角问题都能解决了。来我们具体看一下，分如图，角 a o b 等于一个一百二十度，在这现在有个定角，然后射线 o c 从 o a 开始，绕着点 o 逆时针方向旋转，每分钟转二十度。那我们现在有一个 o c 是 从 a 这出发， 现在逆时针方向旋转，每分钟二十度。好，射线 o d 从 o b 出发，绕着点 o 逆时针方向旋转，旋转的速度为每分钟五度，它也在逆时针方向，只不过它转的速度呢，是每分钟五度，而且是从 o b 这出发的。那 那现在 o c 和 o d 同时旋转，设旋转的时间为 t 分 钟，并且给了个 t 的 范围在零到十五之间。当 t 为合值的时候，射线 o c 和我们的 o d 是 垂直的， o c 如果是垂直于 o d， 其实结论就是什么呢？是不就是我们的 c o d 这个角它等于九十度，也就是问当 t 为合值的时候，我们的角 c o d 等于九十度，这个我们该如何处理能更快呢？ 其实就是要把这个动角问题转化为动点问题，而且是要转化为数轴上的动点问题。剩下来的呢，就可以用我之前给大家讲的那个三步法来进行处理了。那我现在要把它转换成数轴上的动点， 我必须得有一个原点，我们谁是原点呢？我们让这个 o a 充当原点，也就是它代表的是零。 那我们的 o b， 因为你的 a o b 等于一百二十度，所以 o b 代表的是不是就是一百二十？这两个定下来的东西，我们先确定了，再去确定那俩动的，那这俩动的，比如说我们的 o c， 它应该怎么表示呢？它是不是用起始状态 加上它运动的这个距离？只不过这现在不是个距离，而是个角度了，那我们应该是个零加二十 t， 也就是我们的二十 t 了。好，然后我们这个 o d 也可以表示一下，它应该是我们的这个一百二十加五 t。 第一步已经把这两个动射线的位置表示出来了。 第二步呢，我们是不是要去表示这个角度？在动点问题里边是表示两个点尖的距离，那么在角里边是表示两个动射线的夹角。 c o d。 好， 现在的问题是，我们的 o c 一 开始是不是在 o d 的 后边儿？这其实是个追击问题啊，但是追着追着我们的 o c 有 可能要反超我们的 o d， 所以 它有可能是在它后边落后它九十度，也有可能是反超它九十度。 那如何来表示这样的一个式子呢？我们是不是可以借用绝对值？就像动点问题里边儿，不知道谁大谁小， 不知道谁在左谁在右的时候，我们加个绝对值就完了。所以你在这呢，可以拿我们的一百二十加上一个五 t， 然后减去一个二十 t， 再加个绝对值，就表示出我们 cod 的 度数了。 那现在题目是说要我们的 o c 垂直于 o d， 是 不是就是 cod 等于九十度，那这个绝对值方程等于九十度，有没有发现已经完事？剩下就是一个纯计算，我们在这是一百二十 减去一个十五 t 的 绝对值，它等于一个九十。你是不是变出俩方程，一个是我们的一百二十减十五 t， 它等于九十。还有一个是一百二十减十五 t， 它等于一个负九十，第一个解得我们 t 应该等于二， 第二个解得我们的 t 等于十四，然后你需要去验算一下，看看在不在我们的这个取值范围内。题目是不是给了一个零小于等于 t 小 于等于十五，我们在这 t 等于二， t 等于十四，都在这个范围内，所以这两个答案就都符合要求。 当 t 等于二的时候，其实呢是我们的 o c 还落后 o d 九十度，当 t 等于十四的时候，是我们的 o c 反超了 o d 九十度。它有两种情况，那么我刚刚说过动角问题，把它转换成动点， 再转换成竖轴上的动点，我们来处理就相对比较简单。首先要确定一个圆点，然后把这些定射线的位置表示出来，然后把这些动射线的位置表示出来，剩下来的呢，我们就是表示一些角度，然后呢再列方程就可以了。那么在这跟我们动点问题一样， 分不清谁大谁小，谁在前谁在后的时候，就加绝对值了。好的，这个方法同学们学会了吗？我们就讲到这里。

动点问题是初一期末考试的重难点，他呢，难不难呢？肯定是难啊，难在两点，第一个图特别难画，第二个就算你画完图以后啊，还有非常复杂的分类讨论， 但实际上呢，今天我教大家三个步骤啊，帮你去规避画图和复杂分类讨论的事，可以非常轻松的，逻辑也很清晰的把它给解决清楚。今天我们拿这个例题呢，是相对动点问题里边比较复杂 它的一个题型啊，我们来看一下具体我们怎么去套用这个三步法。那么我们看啊，首先呢，它是一个非常经典的给我们两个定点，一个负十五，一个正三。然后呢，告诉我们两个动点的这个运动速度，首先他说啊，点 p， 从 a 点出发，从 这点开始啊，每秒两个单位长度的速度。点 q， 从 b 点出发，每秒三个单位长度的速度，设时间为 t， 问你 t 等于多少的时候啊，距离是二十单位长度。其实这个题型呢，说法是一个很典型的动点问题， 但是这道题的难点在于它没有明确 p q 的 运动方向，那么没有明确运动方向怎么办呢啊，其实呢，我们就需要在列这样的一个动点时间坐标的时候，考虑一下它的加号和减号的事，但其实并不影响到我们这个三步法啊，我们来看一下，首先第一步啊，叫列出动 动点位置相关的时间坐标，这里边呢，不管你是什么题啊，你都不用管他怎么说的，你就套用下面的通式就可以了，在竖轴上动点问题，永远套用它的坐标等于起点位置。然后呢，加或者减 速度乘以时间，什么时候加什么时候减？向右运动是加，因为竖轴右边越来越大啊，向左运动是减竖轴左边越来越小，直接套用。所以我们可以快速的把 p 和 q 的 时间坐标先给它列出来。你看这个 p 呢，起点是负十五 向左向右不知道，但是我知道它的速度是二，所以呢，负五加二 t 或者负五减二 t， 就 这两种可能性啊，同样道理，列 q， q 的 起点是 三，速度是三倍，加上三 t 也可以是三减去三 t。 现在呢，我存在了啊，两种 p 和两种 q 的 动点位置时间坐标。这第一步我完成了，第二步，我们把它要问你的距离问题，给它画成绝对值。为什么这么做？因为这个可以规避你画图当中所带来的复杂的分类讨论的问题。 因为你画完图之后啊，由于你 p q 的 运动方向是不一样的，那么有的时候呢，可能会出现两个点相遇，然后再相背的问题，那么 p 和 q 的 前后关系就可能发生改变，这问题很大，很麻 麻烦。但是如果我们把它换成绝对值的问题，不管你是正号还是负号，不管谁大谁小，反正我用绝对值把它们两个的一个距离关系给它表示清楚就可以了。所以呢，人家问你 p q 距离等于二十的时候，那么实际上我们就列这样一个式就可以啊， p 和 q 的 坐标做差取绝对值，让它等于二十就行。 就这么简单的一个事啊，你管他 p 大 还是 q 大 无所谓，因为你不管谁大，你选完绝对值之后永远是个正号，也就永远代表距离，这叫绝对值的几何意义，这就第二步， 所以你看，现在我有四个坐标，每种有两个，那么我们进行稍微排列一下，比如说呢，我们 p 的 这个坐标，我们稍微简化写啊，这是一，这是二， q 的 话呢，这是三，这是四，那么我们列 p 减 q 绝对值的时候呢，其实你有四种组合啊，你可以是一减三，也可以是一减四，当然你也可以是二减三，也可能是二减四， 都不要忘了啊，我要整体加绝对值，然后呢，利用这四种可能性等于二十啊，就可以了。实际上这里边呢，我们得到了四个什么呀？绝对值方程好， 所以第三步，你求解时间的时候，你去解一个简单的绝对值方程是不是就行了呀？我们就拿第一种一减三的绝对值等于二十给大家举例啊，后边的计算都相同，大家自己代入就可以啊。一减三，你看，一是负十五加二 t， 三是三加三 t， 我 们来看一 负十五加二 t 减三，那么就是减三，再减三 t， 利用它的绝对值等于二十，那么我们直接化减，把它上边哎，合并，一下子啊，变成了负 t 减十八等于二十，再把它打开。第一种，负 t 减十八等于正二十，那么我们可以解出啊，这个 t 呢，它等于多少？负三十八，这可能吗？这 t 不 可能是负数啊，所以这个答案呢，给它舍掉。第二种负 t 减十八 等于负二，那么这个就比较简单啊，我们的 t 呢，显然就等于二，那么这种情况哎，实际上是符合我们的要求的啊，因为你的时间呢，永远是要正数， 因为它是运动的时间嘛，你肯定是从零开始不断的增加的。后边三个绝值方程，大家自己按照同样的思路去解就可以，所以我们可以看一下咱们最终总结呢，你看 是不是我利用三步法可以规避掉前面我们说画图和分类讨论的问题，需要画图吗？图根本我就没画，而且这道题你也很难画，运动方向是未知的。第二个，你讨论了 p q 前后关系大小关系的问题吗？也没有分类讨论对不对啊？我们这里边呢，只是简单的去列出了 四个时间坐标的式子，然后呢，做差求绝对值方程，就可以解决咱们全部的问题。你所有的动点问题都可以代用到三步法当中啊，没有任何的区别，无论是复杂的还是简单的。那么我给大家总结了很多关于动点问题的经典题型的训练啊，大家可以先关注我，然后呢在评论区发送，六六六就可以领取了。

看一个动点题目了啊，这个大概意思就是一个矩形，长是六，这个长是八，宽是六， 然后点 f 的 话，从 b 到 c 速度是二，也就是这长度是二。点 e 的 话，从 a 到 d 是 个动点，这速度是一，那么这个长度是 t， 然后，呃，把这个 e、 f 作为一个折痕，把这个 a、 e、 f、 b 给它折了一下， 折成了这样的一个图形，就是这样式的啊，问什么呢？问什么时候 b f c 等于九十度，就是 b b m c 啊？ b m c 这个角是九十度，这个时候咱们怎么思考啊？是不是折叠能折出这样一个九十度来的话，呃，咱们在哪学过啊？ 哎，是不是在这个折角的这个模型当中，折角的这个过程当中，哎，能能能学过。呃，什么时候能形成九十度呢？或者形成九十度的时候会形成什么呢？ 哎，咱们九十度的时候，咱们就考虑，哎，这个三角直角三角形斜边上的中线就等于斜边的一半， 哎，因为这个长度是 x， 这个长度是 x， 那 么这个长度也是 x 的 时候，它能三根弦上九十度，也就是说二 t 等于这个，这个长度肯定是二 t， 哈，等于八减二 t 的 时候 啊。那证明的话，这个怎么证明呢？那证明这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这个角是贝塔，这个角是贝塔，阿尔法加阿尔法加贝塔加贝塔是等于一百八，所以说阿尔法加贝塔等于九十啊，所以说这个题目这个地方是二 t 等于八减二 t 求出来就可以了。原理的话就是这个折从终点这个折叠一定出九十度。嗯， 而且这个有一个什么结论呢？从中点折叠，除除了出九十度之外，就是这条线和这条线一定是平行线， 因为因为折叠出垂直，就是这垂直，这角是九十的话，一定是平行线，哈，是这个地方好，第二问，问的是 o f d， 问 o f d 就是 我没连哈，没连就是连一下，连一下就好了啊。 o f d 的 面积是多少？呃，这个地方的话，这个我之前想过各种这个什么这个， 呃，用总面积减去第一块面积，减去第二块面积啊，什么各种方法。但是实际上这个题目当中的话，它没有必要怎么去处理就行，硬做就行。 哎，硬硬求就行了，干什么？咱们直接把 o d 求出来，然后把 f h 求出来。 o d 长度是几啊？咱们这个时候使用一下八的相似，在这个题目当中，咱们使用一下八的相似，求这个 o d 的 长度。这个这个地方可能不大好写啊。同学们来说啊，这个 d e 的 这个长度， d e 的 这个长度是不是八减去 t 吧， 这个长度是二 t， 那 么相似比就是多少啊？咱们先求一下这个相似比，呃， d e 比上 b f 等于啊， 对吧？相似比有了，那么 o d 的 长度是多少？所以说 o d 的 长度啊，一定是啊，就是八减 t 比上八减 t 加二 t 乘以十啊， 也就是说就简简单来说，如果举个例子啊，如果他家的比是一比二啊，对吧？那么 o d 的 长度一定是占一比上，一比上这一个一加二 啊，毕竟是三份三份，这个时候只是总共是有啊八加 t 份，然后它占了八减 t 份，对吧？总长度是十了，总长度是十，所以说 o d 的 长度有了之后，这个，那么求 f h 的 长度， 对吧？求 fh 的 长度，是不是我们再使用一下三角形的相似，或者使用三角函数就可以了？那么，呃，这个，这个 fh 的 长度一定是二 t 啊，乘以五分之三，对吧？因为这一个 而呃，这个怎么二 t 乘以五分之三呢？就是因为二 t 比上十，是不是等于 fh 比上六， 对吧？咱们使用三角函数，我们也知道这个 f h 等于二 t 乘以五分之三，所以说它的面积就等于二分之一啊，哎， o d 乘以 f h， o d 是 几啊？ o d 就是 这个 f h 是 几， f h 就是 二 t 乘以五分之三，哎，然后给它带进去求出来就可以了。有同学说，哇，我求出来它怎么是个分式的，而且这么奇怪哦，分式就分式了，我们又不需要这个，用它去解什么方程什么的，对吧？ 啊，所以说这种方法其实已经最直接的了，因为不管是用别的方法，就是用什么大减小啊什么的，还是逃不了，还是这个跑不了，要用这一个，这个三角形相似什么的啊，不如咱们直接用一下八字相似，强行的把它求出来 好。就是这一个，这个题最麻烦的是第三问，说 f m 如果说过 c d 的 终点，就是第三问，在这里 f m 如果说过 c d 的 终点，问啊，问此时的这个 t 等于几？我把这边擦掉，那这个题怎么做呢？ f m 过终点这一个问题的话，之前我想过各种的一些这个方法，就是想过什么什么几何法，想过什么其他方法，那么最直接的是什么？哎，还是四边形上？如果说有一个终点类型的问题，咱们怎么去处理啊？ 啊？咱们使用类背长中线就可以，类似于背长中线，这个，哎，给它过终点就是我给它延长 啊，给它延长，这不是个中点吗？咱们给它进行一个累背长中线给它延长是不是一定会产生全等啊？八字的全等啊，因为这是个中点呀，所以说这是八减二 t， 对吧？好，那么这个时候做完终点之后还有什么？因为本身它是折叠过来的呀，折叠出，折叠出相等吗？这个角阿尔法，角阿尔法是不是 平行平分出等腰这个角二法，这个角是不是也是角二法啊？这样的话是不是角二法？角二法，这是一个等腰三角形吧，他也就是说这个点 e 到这个点有没有什么？呃， m n p q 什么的，就 p 吧 啊，再往下再做一个，这是 q 啊，所以说 e p 的 长度是不是等于 p f 的 长度啊？我们只需要用 e p 的 长度， 哎，一 p 的 长度等于 p f 的 长度就可以了哈。那 p f 的 长度怎么求啊？勾股定律勾一下，勾股定律勾一下，这是八减二 t， 这是六，哎，它的这个长度用勾股定律用平方。勾股定律勾一下，它的平方也是平方一下，这样的话我们解一个一元二次方程， 解一个一元二次方程给它解出来就可以了啊。最后的话我是没解啊，这个我只是说说一说思路啊，然后如果说出现了终点咱们怎么处理 啊？呃， ok， 这个就是讲完了啊，咱们咱们再去复习一下这个思路，这一部分我们下期再见。

这个题我们所有的动点问题的解析思路，动点问题常用的两个公式我已摆在这了。这个地方咱在前面的时候讲过，一个是距离公式，一个是终点公式。距离公式这个地方我们要想求 ab 的 距离， 我们用小 a 减小 b 的 绝对值，或者是 b 减 a 的 绝对值。如果你知道 a 和 b 谁大谁小的话，我们用大的减小小的，大的减小的，也就说在竖轴上用右侧这个数减左侧那个数，对吧？ 然后再一个就是常用的钟点公式，钟点公式求 c 点的时候，它就等于二分之一， a 加 b， 这个 a 加 b 是 a 点和 b 点的坐标， 弄一下吧。啊， a 点和 b 点坐标求出来的是终点的那个坐标。这个地方是咱在学数轴的时候讲的啊，你把这两个公式记在你课本上，常用常考，只要考到这种题，它就会考到这两个公式。 你还记得咱在学中点的时候，是不是给大家拓展一下它的三等分点，四等分点啊？啊，中点是这一个点，把这条线段平均分成了两份，三等分点是给平均分成三份，对吧？那一条线段当中它的三等分点有几个？ 两个、两个、两个两个是不是可以在这也可以在这啊？啊，四等分点有三个，五等分点就有 四个。第一题，它如图一点， m 是 线段 ab 的 一个三等分点，满足 bm 等于二倍的 am， 是 它只要满足 bm 等于二倍的 am， 就 说明点 m。 这个点还需要我们像之前一样去分类讨论它的位置吗？ 不需要了，因为它已经确定它在哪个位置了，对吧？嗯，他说如果 ab 等于九厘米的话，问你 am 的 长度是多少？嗯， am 的 长度是不是就等于 ab 的 三分之一等于三厘米？嗯哟，这题好做哈，那你再来看看第二题，第二题呢？他把这个 a、 b 这条线段，哎，延长了，你说把它变成一条射线似的。已知 a、 b 的 长度是九点， c 从点 a 出发，点 d 从点 b 出发， 两点同时出发哈，都以每秒三分之二厘米的速度沿着射线 a、 b 的 方向运动，是不？说明是在同向运动？嗯， 在同向运动的速度也一样，方运动方向一样。他问，当 t 等于多少的时候， c 是 a、 d 的 三等分点，遇到动点问题，咱是不是遇到动点问题，就去用这个含 t 的 式子表示它们的位置，就是一个设 t 的 问题了哈，你看到这里边动点有谁？有 c 和 d， 我们可以把这个地方看成是一个竖轴哈， a 点当成圆点， ab 的 长度不是九吗？ b 点这个地方相当于在九那里，对吧？然后 c 点从 a 出发，也是说它从圆点出发，沿着射线 ab 的 方向运动，它是在往这个竖轴的正方向运动，对吧？往正方向运动，我们就用 加法，还记得不左减右加，那他从原点出发往右走，用加法一秒走三分之二厘米，他走了多少？走了 t， 比如说就是三分之二 t t， 我 们是不是就表示出了 c 点的位置啊？表示出 c 点位置之后，我们能不能写出 a c 的 长度？ a 是 原点， c 点从这走了之后，是不是 c 点走过？走了多远， a、 c 就 有多长啊？是不是三分之二 t 啊？那我们再来看 d 点 d 从哪里出发？从 b 出发，比如说从九这个位置出发，也是向右走，用啊加法， 它的这个运动的速度三分之二厘米每秒 t 秒走了三分之二 t， 对 吧？那我们再去看你此时 a、 d 的 长度是多长？ 九加上三分之二 t， 这里我们是不是已经表示出了 ac 和 ad 的 长度？然后他要求的是，当让我们求当 t 为和值的时候， c 是 ad 的 三等分点， c 是 ad 的 三等分点，有几种情况？ 三等分点是不是有两个呀？对吧？你不确定他是在前面那个还是在后边那个？我们就要去分类讨论的时候，第一种情况就是当 cd 的 长度等于二倍的 a c 的 时候，你长什么样？这个图这里是 a c 从 a 出发，移动到这，对吧？然后这里是 b b 从这走走到这，这是 c。 cd 的 长度等于二倍的 a c 的 时候，是不是长这样的时候？嗯， 对吧？比如说在这的时候吧，那你看此时 a、 c 的 长度跟 a、 d 的 长度有什么关系？是不是等于三分之一的 a d 啊？对吧？咱刚才是不是已经表示出 a c 和 a d 的 长度了？那也就是说三分之二 t 等于三分之一，乘上这个九加三分之二 t， 是 不是这样的？那我们能不能去解出 t 的 值啊？相当于解一个含 t 的 任意一次方程，你求出来 t 等于零，小数四分之二七， 这是第一种情况哈。然后第二种情况，第二种情况就是它是三等分点后边的那一个的时候，也就是说让 a、 d 的 长度等于二倍的 d c 的 时候，也就是说此时哈它长这个样，咱先确定 a、 b 的 长度哈， a、 c 的 长度等于二倍的 d， c 的 时候， 也就是说此时三倍的 a、 c 就 等于二倍的 a、 d， 但是后边有三等分点的时候，三等分点是不是有两个，一个在前面，一个在后边，这个是在前面的时候，这个在后边的时候吗？那这个时候我们列出 a、 c 和 a、 d 的 关系式之后，再把这个值往里一带，就是三倍的三乘上三分之二 t 等于二乘上九加三分之二 t， 然后去解这个 t 的 值， t 等于四分之二十七，或者是 t 等于二十七的时候， 满足点 c 是 线段 a、 d 的 三等分点。这个题我们所有的动点问题的答题思路，设 t， 然后去表示出动点的终点位置，这里是加上了一个距离的长度， 去写出 a、 c 和 a、 d 的 长度，根据它题干当中的要求，要求它是三等分点，然后我们进行分类讨论，当它是第一种情况的时候，表示出现段之间的数量关系，然后将值带入去求 t 的 值。 第二种情况也是找出它们之间的数量关系， a、 c 和 a、 d 的 值往里一带去求 t 的 值。这是我们解动点问题，所有的题都是这一个思路啊。

数轴动点问题啊，是咱们初一上学期期末考试的一个重点和难点，但实际上呢，你解决任何问题啊，都离不开这必会的三大公式，三大公式你明确了任何题目，直接带入就可以。那么首先我们先来看第一个公式啊，第一个公式，我们叫距离公式， 这个距离公式呢，实际上它脱胎于绝对值的几何意义，因为我们在解动点问题的时候呢，无论你是一个动点和一堆定点也好，还是两个动点之 之间的相对距离也好，我们都要去用点的坐标来去表示两个点之间的距离。那么好了，比如啊，我们现在在一个竖轴上面有一个点 a， 还有一个点 b， 那 么这个 b 呢？虽然我现在画在了 a 的 右侧，但实际上啊，我们也可以在 a 的 左 侧，左右侧，现在我是未知的，我任意有两个点， a 和 b， 无论你的 a 和 b 到底是正是负，是左是右，他们的相对关系是前是后，永远满足 a 和 b 之间的距离呢，等于 a 的 位置 和 b 的 位置做差的绝对值。为什么是这样的呢？原理很简单，假如 a 在 b 的 右侧，我们在做差的时候呢？哎，大家习惯性的用大的减 减小的，这就是我们的距离。那么相反，如果 b 在 a 的 右侧呢？哎，是不是我们用 b 减去 a， 大 的，减小的去表示距离？但是你实际上发现 a 减 b 和 b 减 a 啊，它们实际上是 互为相反数，如果你加上绝对值以后呢，这两个无论是谁大谁小，它们通通都可以相等，这就是我们两点间的距离公式，无论你是动点还是定点，都可以这么去表 啊，这是第一个距离公式，我们明确了。那么第二个呢，在题目当中，有些时候啊，会给我们这个终点这样的位置，所以我们不得不使用到一个终点公 式。终点公式呢，其实道理也非常的简单，我们还是通过几个点的表示呢，带大家去看啊，我们现在有一个点 a 假设在这啊，有一个点 b 假设在这，那么现在 ab 的 位置或者说坐标或者说数值，我们是已知的，那现在我想求一个点 p， 这个 p 是 a b 线段的终点，它的坐标是多少？这个其实我们直接用类似于平均数的思想去处理就可以了，那么实际上呢，我们先给他的公式啊，是二分之一 a 的 位置加上 b 的 位置，这就是我们的 p 的 位置，那么这样的一个公式啊， 所谓的终点公式到底是怎么推出来的？我们就以这样的一个关系来看就可以了。首先我们知道 a 的 位置和 b 的 位置之间，它有一个距离的差值，假设 b 在 a 的 右侧啊，我们是 b 减 a， 那 么由于 p 是 a 和 b 的 终点，那你看 p 是 不是比 a 要大了 一半的 a 和 b 的 长度，所以我们说 p 的 位置实际上是 a 的 位置加上一半的 b 减 a， 那 么也就是说 a 加上二分之一 b 减 a， 那 么我们简单把这个式子化简一下，你是不是就变成了二分之 b 加 a 啊，当然和二分之 a 加 b 是一样的，所以呢，推导很容易啊，那么实际上我们看这个式子，它就是两个端点坐标之合的一半，这就叫钟点公式。第三个呢，是我们的动点位置的表达， 为什么我们要把它单独拉出来，是因为我们在出题的时候呢，动点啊，他通常有这样的两个关键信息，第一个关键信息是起点，也就是说动点到底从哪里开始出发进行运动，这是第一个。第二个呢，我们要知道动点的速度，或者说呢，它的 时间，那么动点的位置就取决于它的起点以及速度和时间的乘积。那么怎么去写啊？假设我们现在有一个点 o， 这个 o 呢，是一个固定的一个位置，动点 q， 从 o 出发，向左或向右运动，速度是 v， 时间是 t， 那 假设我现在让它向右运动，现在我们想，如果说还没有开始运动的时候，比如说我时间是零，那么 q 点的位置是谁？ 是不是就是 o 点的位置，对吧？就这个数，如果它向右运动，那么你看，随着运动过程的进行啊，时间越来越长，它这个 q 啊，是不是要比 o 越来越大？因为竖轴往右数量是增加的，所以呢，它要加上，哎，运动的一个长度， 速度乘以时间是运动的长度，所以呢，如果向右进行，就是起点加上速度乘时间。好，相反，如果他向左运动呢，起点还是一样的，但是你会发现向左的话呢，越运动它的数越小，你比如说运动了这样的一个长度，那就是我原来这个点减去 运动的长度值啊，所以就是起点减去速度乘时间。所以总结一下，实际上就是动点位置等于起点，起点左减右加，速度度乘时间，这就是我们的动点位置公式。 所以呢，我们掌握了这三大数轴动点必会的核心公式，那么后面我们遇到的所有的数轴动点问题，其实直接套公式啊，都可以非常清晰且简单的把它解决了， 所以这些内容呢，其实你只要熟练掌握，多加训练，你也可以在考试当中非常轻松的拿到高分。我为大家总结了初一上必考的动点动脚问题核心训练题啊，大家可以先关注我，然后评论区发送六六六就可以领取了。

轴上的动点问题，基本上就是我们初一上学期最难的考点了，他为什么难呢？是因为他的变化非常的多，像我们常规的可能有这种相遇问题、追击问题，对吧？这几年还会考什么呢？比如说这个点，他遇到了某一个位置以后开始往回走，这个叫做挡板问题， 而且还可能会出现这个竖轴，它是一个折线，那么会进行上坡下坡，还会涉及到这种变速问题，所以呢，变化非常多，同学们遇到这种问题就相对来说比较棘手了，今天我们给大家讲其中的一个啊，它涉及到什么呢？我们一块来看一下。 如图，在竖轴上， a 点表示数 a， b 点表示数 b， c 点表示数 c， b 是 最小的正整数，那么最小的正整数它是不是应该是一 对吧？且 a、 c 满足绝对值加平方等于零。这个呢，又是一个常规考点啊，它只是为了告诉你 a、 c 是 多少，这是一个零零问题啊，绝对值加平方等于零，说明这两个东西都等于零， a 加三，如果等于零， a 是 不是就等于负三， c 减九等于零， c 是 不是就等于九？所以第一问是比较简单的，只是为了告诉你 a、 b、 c 它们三个代表的数分别是多少，我们重点来说一下。第二问，刚刚我们已经知道了， a 点这个地方是个负三， b 点这是个一， 然后 c 点这是一个九。他说若点 a、 b、 c 分 别以每秒两个一个单位长度的速度在数轴上同时向左 我运动，那我们这个 a 现在在往左运动，它的速度是每秒两个单位，建议都在这标一下方向和速度点， b 也在往左运动，它的速度呢是每秒一个单位。 c 点也在往左运动，它的速度是每秒 四个单位。假设 t 秒钟之后， a、 b、 c 三点中恰有一点为另外两个点所呈线段的中点。现在要求 t 的 值 依然还是要用到我们的三步法。我们第一步要干什么？我们要把这个动点在我们这个竖轴上的位置，要把它表示出来。比如说我们的 a 点，它是从负三出发往左运动， 那是不是应该是个负三减二 t， 然后我们的 b 点呢，应该是从一出发往左运动，那是不是就是一减 t， c 点呢？它是从九出发的，所以是个九减四 t。 这样呢，我们的第一步已经把 a、 b、 c 三个动点在竖轴上的位置表示出来了，都是用出发点减去它走过的路程，因为它们都在往左运动，是吧？那下边儿我们怎么办呢？这个地方说某一个时刻的时候， a、 b、 c 三点中恰有一点为另外两个点的中点， 你明白我们在这是需要分类讨论的吗？我们有可能 a 是 b、 c 的 终点，也有可能 b 是 a、 c 的 终点，还有可能 c 是 ab 的 终点。这时候很多同学就开始去画图了，要画出大概终点的情况，没有必要我们用终点公式 直接列方程问题就解决了。那我在这得跟大家说一下什么是钟点公式。如果我知道了数轴上两个点它代表的数，我要去求它的终点表示的数，方法呢，就是把这两个数一加，然后除以二。 简单的来说就是终点表示的数是他两个端点的平均数，比如说我们 a， 这现在如果是个 a， b， 这如果是个 b， 我 要求 ab 的 终点的这个表示的数是什么呢？它叫做二分之 a 加 b， 我 说了两个端点一加除以二，或者说是他们两个的平均数 都没有问题。如果你知道了这个终点公式，你就不需要再画图了，我们直接是不是上来邦邦邦就列方程就行了，对吧？ 比如说如果 c 是 我们的中点的时候，那我应该用 a， 也就是负三减二 t 加上一个 b， 那 就加一减 t， 然后除以二， 它是不是等于我们的九减四 t 了？这就是第一个方程。那如果是我们的这个 b 啊，充当中点的时候，你是不是应该是负三减二 t 加上九减四 t， 然后除以二，这次它是不是等于一减 t 的 啊？第三个就是我们的 a 充当终点，我这已经写不下去了啊，你是不是应该是一减 t 加上九减四 t 再除以二，他等于我们的负三减二 t 啊？我们的第三个方程也列出来了，剩下来的只需要把这三个方程解出来就行了。 那这个解方程呢，我就不多说了啊，有兴趣的同学，你可以自己把这个题目计算完毕。好吧，这个方程还是很好解的， 关键是我们要注意在这里边处理两个问题。第一个要把这些动点啊，在数轴上的位置表示出来，以及我们要学会使用这个钟点公式，钟点表示的数是两个端点的平均数，所以每次一加除以二就结束了。好的，那这道题呢，我们就讲到这里。

一个直角三角形 e 是 角平分线 b、 d 上的移动点， f 是 指角边 bc 上移动点。已知两只角边分别为三和四。求蓝色线段 c、 e 加 e、 f 的 最小值。思考三秒 看到角平分线。聪明如你一定想到对称，在 a、 b 上取一点 f 一 撇，使得 b、 f 等于 b， f 一 撇连接 e、 f 一 撇， 这两个三角形全等得到 e、 f 等于 e、 f 一 撇。问题转化为求这两段线段之和的最小值。显然，过点 c 做垂线 c、 h。 垂线段最短，最小值就是垂线 c、 h 的 长度。勾三股四选五， ab 等于五， 三角形 abc 的 面积等于，算出 c h 等于五分之十二，即最小值等于五分之十二。

学会这道题，期末考试多拿十分！这道题呢，是一个典型的线段动点问题啊，去求动点的速度。那么我们先来读题，这道题我们一看题干，你就知道他给的信息其实非常的多，所以对于同学们来讲呢，难度点之一啊，是在于题目是否能够翻译清楚。 好，现在有一个射线 o m， 上面有三点 a、 b、 c 啊，给你三长度， o， a 等于二十，好，二话不说，我们先给它标出来啊， a b 等于六十，好，也给它标出来，继续 b， c 等于十三个长度。现在是清楚的。好，开始动点了啊。首先 p 点，它从 o 来出发，从最左侧出发，那么当然最左侧的坐标呢，显示就是个零啊， 虽然没有竖轴，我们可以把它假装成一个竖轴啊，好，以一厘米每秒的速度向右来运动， p 的 速度是已知的。第二个点 q 从 c 点出发，从这个位置开始啊， 向左来运动，但是其实速度呢，暂时还没有给我们啊，而且我们其实在读题的过程当中，你打眼一瞅，你会发现，最后人家让你去求点 q 的 速度，所以这个未知是正常的。 继续说两点同时出发啊，当 p 在 线段 a b 上，且 pa 等于三 pb 的 时候，那么我们发现 p 在 右侧运动过程当中，肯定会到达 a b 中间的某一个位置，现在人家要求了，哎，我这个位置呢，是 p a 等于三倍的 p b， 那 么比如说我这是一个 p 撇儿，你发现没啊？那么左侧就是三份，右侧就是一份，总长度多少？ a b 等于六十， 所以现在左侧是四十五，哎，右侧是十五，好， p 点运动到了这个位置，我们现在是清晰的，那么其实不管他问什么，现在我们会发现一个很重要的事情， p 从起点出发，运动到这个 p 撇的位置，他总共走了多长？ 六十五的长度对不对？而且 p 的 速度是一，所以这么长的长度，速度已知时间其实就是已知的等于六十五秒。首先我们先明确这个事 继续来看，说在这个时间上啊，点 q 运动到的位置恰好是 ab 的 三等分点。好，那么我们说呢， ab 总长度啊，这是六十的长度，对吧？三等分点有几个？来告诉我， 有两个啊，有一个偏左一点，有一个偏右一点，对不对？好，那么偏左这个呢？哎， 左侧是二十，右侧是四十，偏右的这个呢？右侧是二十，左侧是四十，所以其实 q 这个三等分点你也不知道到底在哪，那么你看是不是有多种可能性，分类讨论一定要来了，对不对？那我们具体来计算一下，其实呢，我们运动的时间已经是知道了的， 那么我们要求速度，速度等于什么？等于路程除以时间。这个路程有两种可能性。第一种可能性呢，看先是这个十 啊，十，假设说呢，它这个三等点偏右啊，那么加多少？加到二十，对吧？总共是运动到了十加二十两部分的长度，所以就应该是，哎，速度之一，三十除以六十五， 再来速度之二，跑到左边这三等分点来了啊，除了最开始的 c b 十，以后呢，还要进一步运动四十，所以就变成了五十除以六十五，好，两个速度就已经清楚了。 所以啊，最后这道题给大家总结成一个思维导图的一个形式啊，我们发现我们首先目标是要求 q 的 速度，速度怎么求呢？用路程除以时间分别去把两个未知的量给求出，通过 p 点的运动去固定时间， 通过 q 点运动到的位置。两个三等分点对路程进行分类讨论，简单哎，解个数就可以结束了。所以这道题最终思维落地，你看，首先要设一个数轴的位置，其次进行三等分点分类讨论，你学会了吗？

动点问题是初中数学的重点和难点，你永远也干不过一个从初一就开始坚持练动点压轴题的孩子，因为他清楚的知道，要想数学次次不低于一百一十分，一定要重视动点问题。有了这套动点压轴题专项训练，家长再也不用到处找题给孩子做了。整理了考试常考的所有题型，每题都有详细的解析思路分析，每题都有录制视频讲解， 手把手教孩子突破洞点问题。如果你能让孩子每天做一道洞点问题，到了考试你就知道孩子有多优秀，适合想冲刺高分的孩子，趁寒假每天做一道，开学你就知道什么是数学开窍的感觉，七八九年级都有。

这道题太难了，就这种动脚问题，难倒了咱们百分之九十的同学。其实我们动脚问题解析是有技巧的，我们原模原样利用之前我教大家数轴上动点问题解析的三要素四部曲，就可以轻松求解这类动脚问题。 那有关于动角问题，这里常考的五大题型，我都给大家做了一个系统的总结，历年的真题都在这了，那么我们动角问题这里五个题型，每类题型都是有方法的，你把通用的技巧搞定了，那这种题目真的咱们是个个能拿满分的，并不难啊。 下面呢，老师就带着大家通过这道题，一起把我说的三要素四步法再来一起复习一下。这里告诉你，角 a o b 这个角呢，是一百二十度哦，它一百二十度。 现在说了，射线 o c 从 o a 开始绕点 o 逆时针旋转， o c 是 这么转过来的，速度为每分钟二十度，那 t 时间它就转动这么大的角度呗。 o d 呢，从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，它就这么转呗，速度为每分钟五度，那 t 时间不就转动这么大的角度吗？ 他说了两条射线同时旋转，旋转的时间在这个范围内， t 为和值时，两条射线重合。 那什么叫做两条射线重合呀？它像不像我们之前那个竖轴的动点问题？这是一个竖轴，这是点 p， 往这动二十 t， 这是点 q， 往这动五 t， 像不像竖轴上的一个锥级问题啊？ 他在角，这他不也是一个追集问题吗？把角拍平了就行呗。所以啊，我教大家用竖轴的思想来解决动角问题，特别容易看，在这我建立一个旋转竖轴，那么同样我把竖轴的圆点标出来，这就是正方向， 那对应 oc， 咱们就可以看作一个从圆点出发，向竖轴正方向运动的点了，我们把射线拍平了再去看，所以射线 oc 运动 t 时间之后的位置，我们就可以用零加二十 t 来表示。 同样啊，我们由于 o b 是 一百二十度，这是那个一百二十度的位置，那我们 o d 对 应这条射线，就是从一百二十度这个位置出发，向正方向运动，用加法运动了五 t 个单位长度， 射线运动 t 时间之后到达的位置咱们都表示出来了，接下来我们要研究两条射线重合，那怎么办呢？让它俩直接相等就可以了，所以我们就有二十 t 就 等于一百二十，再加上五 t， 那 在这啊，我们计算一下，就可以求出 t 等于八。第一个问咱们就很容易的解出来了，继续来看第二个，问问你 t 为何时 c、 o d 等于九十度来？ c、 o d 是 什么？ 是不是由动点 c 和动点 d 组成的这个夹角啊？它其实在竖轴上，不就是让你求这两条动点之间的距离 是九十吗？对不对？所以角的动态问题，我们就把它拍平了，看成点的问题，求角等于多少度，就是在求这两点间的距离呀， 所以对应我们已经把射线运动 t 时间之后的位置表示出来了，那对应这个角 c、 o d 就 可以用它俩求距离。怎么求？距离？已知大减小，未知察觉。对， 看看 o c 和 o d 谁在前谁在后啊？来，这是正方向对不对？刚开始的时候 c 在 后， d 在 前， 但是运动一会，由于 c 的 速度快，他是不是就把 d 给追上了，所以他俩的大小关系是不确定的。那我们要求他们俩之间的距离是不得加绝对值啊，是不是用一百二十加上五 t 再减去二十 t 的 绝对值表示啊？ 那不就是我们一百二十再减十五 t 的 绝对值吗？这就是角 c o、 d 的 度数，我们直接令它等于九十，就可以求出 t 的 值。了 解这个绝对值方程会吧，我们直接分类讨论，第一种，一百二十减十五 t 等于九十。 第二种，一百二十减十五 t 等于负的九十，代入求解，再利用对应的时间进行检验就可以了。那接下来的时工作啊教给大家了，请你来算一算时间 t 到底等于多少吧。

边长为二的正方形，沿 x 轴滚动点 a 轨迹为出的面积等于半圆面积加正方形面积加扇形面积。

各位，关于圆的问题啊，其实是非常好玩的啊，尤其是这个点啊，在圆上啊，转来转去的就非常的好玩，不信你看一下这道题啊， 说已知三角形， a、 b， c， a， b 等于三啊， a b 等于三，咱标注一下啊，这是个直角三角形对吧？ bc 等于四啊， bc 等于四，那这个肯定是五，是不是勾勾三股四选五，对吧？这肯定是五 圆， a 半径为一啊，这个圆半径是一啊，咱标注一下啊。 r 等于一，这个是一长度，这个是一，对吧？好， p 为圆上动点啊，这个 p 啊，在圆上动来动去的啊，不知道在哪，很烦人啊！ m 为 pc 的 终点， m 是 pc 的 终点啊， 求 bm 最小值 bm 最小，求这条线段最小值。为什么说最小值呀，也就说 m 是 不会动啊。各位，你想象一下，这个 p 跑到这的话，各位， m 可能跑这了，对不对？那 p 跑这呢？ m 可能跑这了，这个 m 跑来跑去不知道在哪呀？这个 m 的 运动轨迹到底怎样的？这个 p 运动轨迹是个圆， m 的 运动轨迹怎样的？会不会是个圆啊？不知道呀 啊，但是我们知道什么 m 是 终点啊，各位，看到终点一定要想到，切记啊，一定要想到，想到什么中卫线，什么中卫线啊？如果啊 m 是 终点，咱假设这个 b 啊，也是一个终点的话，这条线不就是中卫线了吗？ 对不对？但是这个 b 不是 重点，不是重点怎么办？各位，强行让它变成重点，你看把这个 bc 给它延长。四啊，四大概这么长吧啊，不太准啊，大概这么长啊，那这个 b 不 就是 r， 假设这是 d， 好 吧，那不就是 b 就是 cd 的 终点了吗？这条线是不是就是 r pd 的 中位线了呀？它是不是它的一半呀？各位， 也就说 p 啊，不管跑到哪，这个家伙永远是这个家伙的一半，对不对？那好，你求他的最小值，那我把他的最小值求出来，除上二不就行了吗？那他的最小值多少？这个 p 运动到哪哪时候最小 啊？这个 p b 运动到哪最小？各位观察一下，肯定是穿过圆心的时候 p 在 这的时候。各位，他是不是最小呀？最大的时候是不是 p 跑到这的时候这是最大的，对不对？所以是最小值，就是他，他怎么求呢？各位， 这个半径是一，对不对？这个半径是一，这个总长度多少？勾三股四选五，这个总长度是五，这半径是一，那最小值不就四吗？那最大值不就是六吗？对不对？所以说会了方法并不难啊，给大家推荐一套书啊， 这套书呢叫初中数学压轴题，里边有几何的，有一元二次函数的啊，全部都是中考常见的记性，难度非常大啊，但是会的方法很简单的，所以说这些难题一定要多练啊各位。

重点问题是这次初一上学期期末考试压轴题的必考内容，其中有一个问题呢，叫做双中点问题，那我们今天一块来看一下，已知 a、 b、 c 在 同一条直线上， d 为 a、 c 的 终点， e 为 bc 的 终点， 探求 d e 与 ab 的 数量关系。那么其实如果你这样把这个题读下来，应该是没有感觉的，原因是我们在这是不是没有配图？ 那如果我提醒了大家，在这我们没有图的话，你又意识到了什么呢？我们这个题是不是很有可能要进行分类讨论？那是因为我们的 a、 b、 c 在 同一直线上，但是它们的位置并不是很确定，大家基本上最先想到的应该是我们的第一种情况，也就是点 c 在 我们的线段 a、 b 上，那么此时呢？ d 为 a c 的 中点，我们可以得到这个点，它是等于这个点的。 e 为 b c 的 终点，可以得到这个圈，是等于这个圈的。现在研究我们这个 d、 e 和 ab 的 数量关系，你是不是可以得到我们的 d e 是 等于二分之一 ab 的？ 因为我们的 d、 e 是 一个点加一个圈，而我们的 ab 是 两个点加两个圈，所以我们在第一种情况下 得到的结论叫做 d e 等于二分之一的 ab。 那 我刚刚已经说了，我说我们第一种情况是点 c 在 线段 ab 上，那下面你还能想到什么呢？我们的点 c 是 不是还可以在 ab 的 延长线上？ 这就是我们的第二种情况了，我们这个 c 点现在在 ab 的 延长线上，那此时我们这个 d e 和 ab 又有什么样的关系呢？我们的 d、 e 依然是等于 二分之一的 a b， 简单的可以给大家推导一下，我们在这如果要求 d e 的 话，请注意 d 是 a c 的 终点， e 为 bc 的 终点，在这个里边都有一个相同的字母叫做 c， 所以 每次我们是去表示这个 d、 e 的 时候，都要从这个 相同的字母字出发，然后去进行表示。大概的意思呢，就是我们的 d e， 它应该是等于我们的 c d 减去我们的 c e 的。 因为 d e 有 很多表示方式，比如说它也可以等于 b d 加 b e， 但是这样不好算，好算的方法就是从相同的字母这出发去表示，然后我们的 c、 d 呢， 它是等于二分之一的 a c 的 中点，而我们的 c、 e 呢，是等于二分之一的 bc， 所以 在这就是个二分之一的 a c 减去一个二分之一的 bc， 我 提一个二分之一出来， 剩下的是不是就是我们的 a c 减去 b c， 你 的 a c 减 b c， 是 不是就是我们的 a b？ 所以 它依然等于我们的二分之一 a b， 这是我们的第二种情况。那第三种情况同学们应该也都明白了，我的 c 可以 在 a b 的 延长线上， 那我的 c 是 不是也可以在 b a 的 延长线上？这样三种情况都讨论完了，有可能在 a、 b 的 左边，有可能在 a、 b 之间，也有可能在 a、 b 的 右边。那对于这种情况，我们得出来的结论依然还是我们的 d e， 它等于二分之一的 a b。 证明的方法呢，跟我们刚刚第二种情况是一样的，就从 c 出发，像这样来表示一下。这个讲完了之后，大家有没有发现，我们本来是要分三种情况讨论的，但是得到的结论只有一个，就是我们的 d e 等于二分之一 a b。 那 么下次再碰到这种题的时候，我教大家一个小诀窍，它叫做去重留伴，你记住这个口诀呢，就不需要再弄得这么麻烦了。 什么叫做去重留半呢？我们在这刚刚提到了 d 为 a， c 的 终点， e 为 b， c 的 终点，这里边是不是有一个重复的字母， 去掉这个重复的字母就是我们把这个 c 给去掉，剩下来的是不是还有个 a， 有 个 b， 那 我们这两个终点之间的距离就等于 剩下的那两个点之间距离的一半，这个就叫做去重留半了。所以第一它等于二分之一的 a b， 无论我们的这个 c 点在什么地方，这个结论都是成立的。好的，那这个口诀大家记住了吗？这道题我们就讲到这里。

动点问题是初一期末考试当中的重点和难点，很多同学不会做，原因在于图特别难画，同时呢，分类讨论又非常的复杂，所有题型都是一样的，不管怎么样，永远要用到我的三步法，第一个就是先列时间坐标，第二个呢，还是你看求距离问题，画成绝对值，最后还是去解一个绝对值方程， 我们来看一下。首先呢，他说 p 从 a 出发，向右匀速运动，每秒两单位，所以第一步二话不说，我们先把动点位置的时间坐标列出来就可以了。这里边呢，有一个通式啊，动点位置的时间坐标永远等于好起点的这个数加或者减速度 乘以时间加是向右运动，因为左边小，这是由数轴的左右大小方向决定的。我们直接来写啊 p， 他 从 a 点出发，那么起点是负十五， 向右运动，每秒两个单位，加上二 t， 再来写 q q， 它是从 c 点出发， c 点是二十起点啊，向左运动，每秒三个单位，减去三 t， 这是我第一步，先把动点位置时间坐标先给他，二话不说给列完了。第二个， 首先让你去求出 p q 的 终点 m， 它到底是什么样的一个形式？那么这里边呢，有一个终点的位置公式，在竖轴上，我任意两个点， 中点的坐标呢，就等于这两个点的坐标相加除以二，实际上呢，就是平均数的意思，比如说我有一点一，一个点二，大家都知道一和二中间这个点呢，是一点五，所以就是一加二除以二，三除以二，就一点五，这就叫 中点位置。那么既然我们已经知道了 p 和 q 的 坐标，那直接代入呗，对吧？ m 等于什么呢？ p 加 q 除以二，那么我们这就是负十五加上二十这个 数，这部分呢就是正五，然后这边二 t 减三 t t 这部分呢，就是负 t 啊，就是减 t 整体除以二，结束了啊。这第一问基本上是白给分的重点公式，也是咱们动点问题当中啊，非常重要的一个公式。第二个问题说问你时间等于什么的时候呢？ p q 等于 b m 让你去求出两个线段或者叫两个距离的相等的情况，所以这要用到了咱们的三步法当中的第二步和第三步。第二步呢，是我们首先要把这个距离的问题，你看这边两个距离啊， p q 距离和 b m 距离啊， 把这两个距离先给画成绝对值，因为我们知道啊，这两个点是从 a c 出发，它要相向而行， 你肯定是要先相遇，然后再背离的，他们两个的前后大小关系会发生改变，那么你在画图的时候呢？有些人可能会觉得，哎，什么时候相遇，相遇完了以后，哎，大小关系怎么减怎么变 啊，这会非常的复杂，你要多算好几步。那么不妨呢，我们规避这样的一个前后关系，我们直接用两点坐标做差取绝对值来代表我们这样的一个 距离就可以了，所以这叫做两点距离公式。那么我们说 p q 的 距离啊，就等于 p 的 坐标减去 q 的 坐标 绝对值，你不用去管 p 在 前还是 q 在 前没有用，不管谁在前，你就列这样一个式就可以了。当然由于 p q 的 坐标我们全都是知道的对不对？所以我们直接把它代入，稍微求解一下，数这部分负十五减去二十 p 减 q， 对 吧？负三十五 时间，这部分二 t 减去负三 t， 相当于二 t 加三 t 加上五 t， 这也是我们 p q 的 距离，再来列出第二个 b 和 m 的 距离，那不也一样吗？对不对？哎，也是距离画成绝对值 b 的 点减去 m 的 点 去绝对值 b 点在哪？题中已经给你了， b 点是一个固定的点，是负五，再减去一个 m m， 我 们已经写出了是二分之五减上 t， 所以 减去二分之五加上二分之 t， 稍微化简一下，那么 这就是我们的二分之 t 减去二分之十五好去绝对值。那么最终呢，我们要求的是这个 p q 等于 b m， 也就是说呢，这两个绝对值的带有未知数 t 的 式子，我们要相等，所以进入到第三步，你看我们距离化成绝对值是不是已经结束了，列出两个式子了， 那么第三步呢？去解绝对值方程就可以了，直接代入负三十五加上五 t 等于二分之 t 减去二分之十五， 这块呢，相当于是两个绝对值里边都有未知数，那么我们怎么解呢？啊？同学们不要去乱拆绝对值了，这个相当于是绝对值方程问题的第三种，最复杂的一种啊，你如果拆的话，你会分四部分来讨论，但实际上呢，我们最终化解一下，就两种 们给大家一个通法，两个绝对值相等，比如说绝对值式子一等于绝对值式子二，那么它只有两种可能，第一种式子一等于式子二，第二种式子一等于负式子二。所以呢，你把这两个东西带入到上面的这个式子当中，把绝对值打开 就可以。所以第一个呢，就是负三十五加上五 t 等于二分之 t 减去二分之十五。第二个呢，负三十五加五 t 等于多少？负二分之 t 加上二分之十五，解两个方程就 当然最后呢，这个数啊，不太整啊，大家自己课下去用草稿纸演算一下，一个等于七点一啊，一个等于六点八七五。那么最终总结一下，你看这个题呢，它不仅涉及到了动点，还涉及到了终点公式，但不管是什么公式，你看是不是永远都是这三步。第一步，二话不说，我用动点位置的时间坐标把 把洞点的位置先给写出来。第二个，把距离问题化成绝对值问题，绝对值等于两点的坐标作差取绝对值。第三个，去解出绝对值方程，这个也有 通法，所以把复杂问题换成我们固定的跟说明书一样的三步解决方法，洞点问题就会变得特别简单啊，你也没有必要画图，也没有必要费力讨论，我给大家总结了洞点问题的核心题型的训练，大家可以先关注我，然后评论区发送六六六就可以领取了。

大家好，有思路就有出路。线段上的东点的计算往往有这一类题，当在某个条件的时候，某一个代数式的值是否存在，或者说是否发生变化，这个问题如何计算呢？ 我们开始下面的学习这张思维导图上东点钉子我们刘老师的问题，其中和差钉子乙为钉子，三等分点问题我们都已经学习过了， 下面我们学习的是存在性问题。举例说明，点 a、 点 b 在 数字上对应的数分别为 a 和 b， 且 ab 满足 a 减八的绝对值，加上 b 加六，括号的平方等于零。 一、求线段 ab 的 长。二、动点 pm 都是从点 a 处发， 分别以每秒六个和三个单位的速度沿梳轴向左边运动，同时动点 q， 从 b 点出发也是向左边运动，设运动时间为 t 秒，当 t 小 于七的时候， q p 加 q a 比上 q m， 它的值是否会发生变化？如果不变，求出它的值，如果变化，写出它的变化方位， 我们一起来探讨解题思路。题目给出了 a 和 b 对 应着点 a 和点 b， 然后给出了一个双零模型， 我们解这个模型就能够知道， a 等于八， b 等于负六，然后 ab 的 长很容易求得出来，就是十四。 第二问， p、 m、 q 这三个动点，它们运动的速度都已经给出来了，我们比较容易的求出这三个动点所对应的数， 然后再求出 q、 p、 k、 v 和 q m 这三条线段的值， 这样计算之后就能得出所要的结果。好，下面我们具体计算减，根据已知条件的双零模型，我们很容易计算出 a、 b 的 长 减，因为 a 减八，它的绝对值是等于零的，所以 a 就 等于八， b 加六，括号的平方也等于零，所以 b 等于负六，我们已经标识在这里了，那么线段 a、 b 的 长就等于八减负六就等于十四， a b 的 场就求出来了。第二问，涉及到东点和动线，我们先来求点点 p， 在 这里它是从点八出发的，然后向左运动，八减六 t， 点 m 是 八减三 t 点 q 是 从负六出发的，向左减四 t， 因为 t 小 于七，所以 我们知道 m 肯定会在 p 的 右边， p 呢，肯定是在 q 的 右边。这样计算 q p， 我们就等于 u 减左，八减六， t 减去括号的负五，六减四， t 化减， 十四减二 t， q v 等于八减去括号的负五六减四， t 化减之后十四 加上四 t， q m 等于八减三， t 减去括号的负六减四， t 就 化简之后是十四加 t， 所以 q p 加上 q， a 比上 q m 就 等于十四减二， t 加上十四加上四， t 比上十四加 t， 结果是二，这是一个定值。因此我们的结论是，这个代数式的值不会发生变化。 以上讲解完毕，小结，本例学习的是存在性的问题，充分利用了一点二线三方程的解法。在这里我们说动点有三个要素，起点、运动方向、速度。 例如 p 点，它的起点是八，它的方向是向左，它的运动速度是六个单位长度每秒。线段 q a， q p 和 q m。 代数式有一个是 q a 加上 q p， 除以 q m， 最后我们得到一个定值二，这就说明我们所求的结果是不随 t 的 变化而变化，这就是存在性的问题。以上方法您掌握了吗？