对称点通法适用条件

今天我用五十秒把用无刻度直尺做对称点的方法掰开了揉碎了，给大家讲的明明白白。第一步，先按上一个视频的方法，过点 c 做 ab 的 垂线，此处就不做讲解，大家可以自行观看操作方法， 此时就能得到过点 c 做的垂线对称点肯定在垂线上，接下就看如何取点。通过 b， c 所在直角三角形得知， b 在 c 的 右边一格上方二格的位置上找到 a 和 b 的 对应，右边一格上方二格位置的格点 连接，两个对应点就是 ab 的 平行线，平行线与垂线的交点就是 c 点的对称点。 c 撇， 这是什么原理呢？其实运用的就是平行线之间的距离处处相等，在对称轴另外一边也画了一条等距离的平行线，最后擦除多余的丝路线段，即可得到清晰的辅助线。

有同学跟我说对称点怎么求啊？来看清楚喽。点 p 二为三，关于这条中心对称好，把 x 等于二带入这条线上的，求出的 y 的值 就是对称点的重中标，把外的第三带入这条线方程求出来，这个值 就是对称点的横坐标。关注我中学收一级。

好，一分钟教会你一个单招数学秒题小技巧，今天我们要学习的是点与直线对称，让你求它的对称点啊，我们直接秒。好，我们来看口诀， 让 x 加长数，然后让外减长数啊，一定要看清楚，一个是 x 加，一个是外减，然后让他们的坐标互换位置。好，我们看题啊， 告诉你这个点，关于这条直线对称，让你求它的对称点哈。好，我们看这个，在这个题中，它的常数是不是四呀？对不对？好， x 加长数，那么二加四是不是六，然后外减长数，三减四是不是负一，然后坐标互换，一定要坐标，记住这个坐标互换，互换啊，那它的对称点就是负一和六，直接 a 选项秒啊，我们看第二个 点给你了，直线也给你，让你求它的对称点，在这个题中，它的长数是 负二，那么 x 加长数，一加负二是不一减二是负一，对不对？那么 y 减长数，五减负二，那就是五加二是七，然后坐标互换，也就是七负一，直接 c 选项秒啊。 好，我们看这个练习题告诉你的，它这个点是四三，并且关于这条直线对称， 让你求它的对称点，在这个题中，它的长数是三。好，老师就给大家提醒到这里啊，剩下的交给你，我们评论区见。好， 你学会了吗？关注我，每天分享更多单招数学秒提小技巧！

既有对称点，又有对称轴，四倍间距周期求，那今天咱们就来证明一下。好，我们首先来回顾一下，如果说一个函数 f x， 它是一个中心对称图形，而且它的对称中心是 ab 这个点，那么我们能够得到怎样的数量关系呢？ 第一个我们就可以得到 f x 加上一个 f， 二 a 减 x 等于几？二 b， 对 吧？我们还有一个式子叫做 f a 减 x 加上 f a 加 x， 它也等于二 b， 对 吧？ 但是仔细观察啊，你就会发现，这两个式子呀，其实是一回事。为什么这么说呢？因为你看啊，如果我把这个括号里面的 x 换成 a 减 x， 那 么这个括号里面的二 a 减 x 就 变成了 a 加 x， 大家自己算一算，看是不是？如果我把这个 x 换成 a 加 x， 那 么这个括号里面的二 a 减 x 就 变成了 a 减 x， 所以 这俩东西啊，只是换汤不换药，他只是换了一个马甲啊，里边那个人的肉身是没有变的啊，灵魂也没有变，只是看起来不太一样而已。 好，那么这是中心对称得出来的两个数量关系。同理，我们的轴对称图形，我们也有两个式子，如果说函数 f x 关于 x 等于 c 这条竖线轴对称， 那么我们也可以写出来两个式子，一个呢，就是 f x 等于 f 二 c 减 x， 另一个呢，就是 f c 减 x 等于 f c 加 x， 对 吧？ 同样道理的这个式三和这个式四啊，是一样道理的。所以啊，我们在根据这两个对称性的数量关系来往下进一步的探究，进一步的推导其他的结论的时候，我们只需要在一和二两个式子当中任选一个， 以及在三和四这两个式子当中任选一个就行了。所以我们一共有多少种探求的方式呢？哎，这个又回忆一下排列组合的知识，对不对啊？两种方法，两种方法，所以用乘法二乘以二等于四种，对吧？ 所以今天啊，我们不妨用第一种和第三种，于是第二和第四，我们就直接把它干掉啊，不用他了，让他们回去睡大觉就行了。好，那我们看一下怎么样子，用第一个和第三个式子来推导出来对我们有价值的结论。我们看 f x 等于 f 二 c 减 x。 好， 我们不妨直接把它写下来， f x 就 等于 f 二 c 减 x。 那 么既然你上来就用了第三个式子，那么接下来我们应该要想着用第一个式子了，你不能把人家忘了对不对？要雨露均沾吗？ f 二 c 减 x， 在 这里边没有他的影子呀，那怎么办？不要怕，因为这里边的 x 啊，它都是变量，它可以取任何一个数值，对不对？所以我们直接啊，把这里边啊，二 c 减 x， 把它当成一个整体，就当成一个 x， 那 不就完了吗？那于是呢，二 a 减 x 就 相当于二 a 减去这一坨，所以我们就有思路了，好，就等于继续写， 如果把这个整体看成一个 x， 那 么这个整体的 x 就 等于二 b 减，这个对不对？好，等于二 b 减去这个东西，那么这个东西等于多少呢？是用二 a 减 x， 而 x 是 整一坨，所以就用二 a 减去这一坨。哎，就是二 a 减去二 c 减 x， 等于二 b 减二 c 加 x， 对吧？好，那我们继续看， f 二 a 减二 c 加 x， 我 们又傻眼了，它等于多少呢？哎，这时候我们就要想了，我刚才用了第一个式子，那么接下来又该用第三个式子了吧？因为就俩式子，你就来回用呗，对吧？所以第三个式子， f 二 a 减二 c 加 x， 哎，你发现没有，这又有一个 f x， 哎，把这一坨看成是 x 不 就行了吗？那么这个地方，你就直接用二 c 减这一坨不就得了吗？哎，这个时候我们灵感又来了啊，就等于一个二 b 减去 f 多少？二 c 减去这一坨，二 c 减去 二 a 减二 c， 加上 x， 扩起来，扩起来啊，就等于多少？二 b 减去 f 二 c， 这有两个符号，所以变成四 c 了，对不对？ 减二 a， 四 c 减二 a， 然后呢？这是减，这是加，所以这是减 x， 哎，快起来。好，那么刚才用的是第三个式子，所以接下来又该用第一个式子了，等于多少？等于二 b 减去这一坨，那么这一坨又怎么样？我把这个整体看成是 x， 对 不对？所以又把它带到里边去，就等于二 b 减去这个 f 二 a 减去这一坨，对不对？四 c 减二 a 减 x， 二 b 减二 b， 就 等于零了，负负得正。 f 二 a 加二 a， 就是 四 a 减四 c， 负负得正，对吧？于是我们化解一下， 所以你看啊， f x 就 等于 f x 加上这个东西，而这个东西不就是什么 t 吗？那么由于这个 t 啊，它一定是一个正数，所以怎么样？如果 a 比 c 大， 那么 t 就 等于什么？ 四倍的 a 减 c， 对 不对？如果 a 比 c 小， 那么 t 就 等于什么？四倍的 c 减 a， 那不管是 a 大 还是 c 大， 我们总可以把气写成四倍的间距的形式，那怎么写呢？就把括号变成绝对值就行了，所以这就是所谓的既有对称点，又有对称轴。四倍间距周期求。好，最后给大家提个醒，刚才我们全部的推导过程啊， 只是在告诉你，四倍的间距是这个函数 f x 的 一个周期，咱可不敢说这个周期一定是 f x 的 最小正周期啊。好，那么除此之外呢，还有一个需要跟大家交代的，就是，假如说 a 和 c 是 相等的， 那么七等于四倍的零，那就是零，那七能是零吗？比如说一个函数周期，他周期是零，能说吗？你不能说他是零对不对？因为周期必须得是正数。好，所以说如果 a 等于 c， 也就是说他的对称中心和对称轴横坐标是一样的重合的， 那这种情况下又能够得出什么样的结论呢？那这个就留给大家做思考啊，如果你知道之后可以打在评论区，我是杜明老师，关注我，你真棒。

高考的实践是很珍贵的，高中数学我们一旦掌握了某些技巧，在高考的高考的时候省点时间，高效快捷那是很重要的。今天我们研究一个小技巧，以你额头对准的求法， 请问这样的一个点，求这个点关于直线 x 减 y 等于四对称的点的坐标，那么按照常规方法，我们知道对称点的连线一直垂直决定自己 以及终点，在直线上是可以解决的，但这个呢是费时间。我们首先第一个重要的结论点， p， m， n， 关于直线 l， 这个直线 x 加减 y 等于谁？ 就是与直线一三相线二四相平行平行或者重合的直线。他的对称点的求法是这样的， 带众求恒，带恒求众，一个有经验的老师，他一定是善于引导学生， 给学生共同来总结发掘我们的解析技巧的。带中求横，带横求中，那这个意思就是把这个一字点的坐标横坐标带进带入直线方程得中坐标， 那横坐标带进横得重坐标，也因此我们这个减的坐标是三一 x 等于三，带入直线 可以求得 y 等于负一， y 等于一，带入直线方程 k 值 x 等于五，所以呢，这个对称点的坐标就是五负一，那这个点在哪里呢？ 五负一，那不难发现，这个连线可以验证连线的学历，与之垂直， 让你写的写的自己等负一垂直满足终点也在这个直线上，大家从图像上可以直观的看出，进而这个对视点可以快速的解决。那么我们高中数学的有些呢，这个 有些结论用文字表达是比较好的，像这样的总结是比较经典的，期待对我们高二高三的同学有一定的帮助，谢谢大家。

在学习直线方程的过程中，我们一直遵循一个原则，就是把几何条件代数化，比如像点、直线这些几何元素，还有平行、垂直这些几何关系都可以用代数表示出来。 在这个视频里，我们要再接再利用代数手段研究一种新的几何关系，就是我们初中学过的对称 和对称有关的内容啊，有很多，这个视频我们先来研究最基础的一类，求一个点的对称点的坐标。 先来看一个具体的例子吧，已知点 a 二一和点 b， 关于点 c 三四对称，则点 b 的 坐标是多少？ 要确定点 b 的 坐标，就得把对称这个几何条件列成代数表达式。那你想想，对称应该怎么用代数表示呢？ 嗯，好像暂时也没有什么好方法。既然这种几何描述很难列式表示，那就要试着换一种几何描述方法，既能准确的描述 b 点的位置，又能找到对应的代数表示。 ab。 关于 c 点中心对称，那 abc 三个点就得在同一条直线上，并且 bc 还得跟 ac 相等。 哎，这不就说明 c 点其实是 ab 的 中点吗？中点这个几何描述，我们有中点公式这个现成的工具，这不就是我们要的代数表示吗？那我们来写写看。 a 点的坐标是二一，要求点 b 的 坐标， 那为了便于之后套公式，我们可以先给他设出来，不妨设为 m n。 那 你来回忆一下，根据钟点公式， c 点的坐标可以怎么表示呢？ 答案是 a， c 的 坐标是 ab 坐标和的一半。 通过 ab 的 坐标，我们写出了 c 点的坐标，别忘了 c 点的具体坐标已知是三四，因此让它们对应相等，就能列出一个方程组，解出来得到 m 等于四， n 等于七，所以点 b 的 坐标就是四七。 来回顾一下，如果遇到这种不容易用式的表示的几何描述，我们就拐个弯把它翻译成几何，意义相同，但是更方便列式的说法。 这可是解析几何中一个非常常用的方法。在遇到未知元素时，比如说这个点 b 的 坐标，我们可以先给他设出来，这点也特别重要。 再强调一遍，在题目中出现了未知点时，通常可以先设出它的坐标，方便我们列出代数表达式。 解决完点关于点对称的问题，下面我们再来看看如何求点。关于直线 l 一 y 等于负三 x 减四对称，问，点 b 的 坐标是多少？ 虽然问题从中心对称变成了轴对称，不过有一点没变，就是对称这个几何描述仍然没法直接用代数式来表示，所以第一步的想法一样，还是要换一种几何描述方式， 既能准确地确定点 b 的 位置，又能方便我们列出式子。回想一下初中所学的轴对称性质，你认为下面哪种描述能够确定点 b 的 位置呢？ 答案，选 c， 点 a 和点 b。 关于直线轴对称，那么线段 a b 就 被直线 l 一 垂直平分 a 选项只说了垂直 b 选项呢？只解释了平分，把它俩合在一起才能准确地描述 b 点的位置。 而垂直和中点这两个条件都已经有了现成的代数表示，给它们组合起来，就可以把轴对称这个条件转化成代数表达式了。 原理想明白了，我们来具体操作一下，已知 a 点的坐标是一三， b 点坐标未知。那按照刚才的思路，我们还是要把它先设成 mn， 方便后面列式。 接下来，我们就分别把垂直、终点这两个几何描述列成方程。先看第一个，垂直该怎么列方程呢？这个我们学过。直线 ab 的 斜率和直线 l 一 的斜率乘积为负一吗？ 直线 l 一 的斜率为负三，那 k、 a、 b 就 得是三分之一 ab 两点的坐标。已知根据斜率公式，斜率等于两点，纵坐标的差比上横坐标的差，就能得到一个方程， n 减三，比上 m 减一等于三分之一。 再看第二个条件，假设 ab 中点是 c， 根据中点公式， c 的 坐标就是二分之 m 加一，二分之 n 加三， c 点在直线 l 一 上。 因此， c 点的坐标要满足直线方程 y 等于负三， x 减四带进去二分之 n 加三等于负三，乘以二分之 m 加一，减去四。把这俩式子放在一起，就能得到一个方程组。 猛的一看，方程组里边有一大坨柿子，还挺复杂的。不过仔细看看，这个方程组还是可以化成二元一次方程组的嘛，只要细心计算，肯定能解出来。整理一下， 方程组是这样的，解出来 m 等于负五， n 等于一，那负五一就是点 b 的 坐标。 回顾一下轴对称这种几何条件，依然不好直接列式，我们还是给他换成了另外一种，既不改变原来的意义，又方便列式的几何描述。垂直加上平分，再根据它们列出方程组。 其实啊，这道题还有别的转化方法，比如说，先根据垂直条件列出 ab 的 直线方程，计算出他与 l 一 的交点 c， 再把问题转化成 ab， 关于 c 点对称。 不过这种转化计算量更大，并不是最快的方法，所以我们还是习惯把轴对称转化成垂直加平分来处理。 为了帮你熟悉这种操作，再用一道类似的题练练手。已知点 a 零四与点 b。 关于直线 l， y 等于二 x 减二对称，问点 b 的 坐标是多少？ 与前一题相同，还是给出 a 点坐标和 l 的 方程，让我们求对称点 b 的 坐标。那按照老样子把 b 设为 m、 n， 你 来想想，我们应该列出什么样的方程组呢？ 答案选 b a、 b。 关于直线 l 对 称这个说法，还是要转化成 a、 b 与直线 l 垂直和 a、 b 的 终点在直线 l 上这两句话， 再根据它们列出方程组。垂直意味着直线 a、 b 的 斜率与直线 l 的 斜率互为负倒数，那 k、 a、 b 就是 负二分之一， ab 的 终点在 l 上，也就是 ab 的 终点坐标。满足直线方程 y 等于二 x 减二。 利用 a、 b 坐标，我们分别计算出斜率 k、 a、 b 和终点坐标，正确代入就可以得到这个方程组。解方程组的过程就不啰嗦了，计算出来点 b 的 坐标就是五分之二十四，五分之八。 题目都做完了，我们最后来总结一下，在解析几何中，如果遇到了不方便直接转化为代数式的几何描述，比如说这里遇到了对称， 就要把它翻译成不改变几何意义，又能方便列式的另外一种几何描述，再根据后一种几何描述列出方程组解决问题 这个视频我们解决了关于点的对称问题，而关于直线的对称问题呢？就留给下个视频吧，拜拜。

欢迎来到地面站小课堂，今天要讲的是对称蝴蝶形，我们看一下上期的题型，先浏览一下题目给了什么条件。题目给了夹角条件，还有双筋纬度，但是没有告诉我们图形的航向，那么这个题我们该怎么做呢？先别急， 我们先来分析一下图形，图形边长一二等于三四等于一百米，图形所有内角均为六十度，这是什么意思呢？我们先把边长标上去， 一二和三四为一百米。我们来看一下图形一共有六个内角，题目说所有内角均为六十度，那我们把它的角度全部标上六十度，这时候我们可以看出左右两边三角形都是由三个内角为六十度的等边三角形构成，那么中心点到四个行点的距离都为一百米。 好了，边长和角度都知道了，那我们怎么算图形的横向呢？其实题目条件已经给出来了， 只不过隐藏在条件里面了，那到底是在哪个条件呢？我们来看一下题目条件给了 h 点和 e 点的经纬度， 这里我们不能直接看出来它和横向有什么关系，那要怎么做呢？这时候我们只能在软件上进行画图了。首先第一步先把 h 点位置确定好，这里我们直接把 h 点的经纬度输入进去，再把 h 点定位到图形中心，这时候在空白处生成一点， 然后在行点列表里修改一点的经纬度，这样我们就可以确定 h 到一的横向了，此时我们就得到 h 到一的横向为九十度了 啊，距离我们不用管，经纬度数对就行。好了，我们再看一下题目给的夹角条件，角 h 一 二等于四十五度，夹角朝向图形外侧，这个要怎么算横向呢？ 别急，我们先来找起非点的位置。题目给了角 h 一 二等于四十五度，我们需要在图形上把角度标出来，这时候我们就看了 h 点在一二左边可以形成四十五度加角， h 点在一二右边也可以形成四十五度加角，那 h 点到底在哪边呢？别忘了，题目要求加角朝向图形外侧，那这句话是什么意思呢？嗯，我们先来看一下什么是图形外侧，什么是图形内侧。 图形航线封闭起来的区域叫做内侧，这里我们用蓝色区域表示，那么航线以外的没有标注颜色的区域都是图形的外侧，那么这就很明显了，右边的夹角朝向图形内侧， 左边的夹角朝向图形外侧，所以我们就可以直接排除 h 点在一二右边这个位置了。好了， h 点的位置已经确定了，那这个四十五度夹角有什么用呢？刚才我们已经在软件上画出 h 到一的横向为九十度，那么图形的横向怎么求呢？ 我们已经知道 h 到一的横向为九十度，那么一到 h 的 横向就是九十度，加上一百八十度就等于两百七十度。关键步骤来了，我们用一到 h 的 横向两百七十度向右旋转四十五度，此时一到二的横向就等于一到 h 横向两百七十度，加上四十五度，就等于三百一十五度。 这下你终于知道图形的横向应该怎么来了吧？ oh， my god！ 好了，这下我们就可以把剩余航线的横向求出来了，刚才我们已经分析，图形的内角都是六十度，那么这个外角是等于一百二十度，二到三的横向就等于一到二的横向三百一十五度，加上外角一百二十度就等于四百三十五度。这个时候就需要注意了， 要是算出来的横向角度大于三百六十度，所以四百三十五度减去三百六十度就等于七十五度， 那么二到三的横向就为七十五度。然后我们看一下，三到四的横向和一到二的横向相同，在这里我们就不用再算横向了，直接照抄就行。 四到一的横向我们就用三百一十五度减去这个外角一百二十度，就等于一百九十五度。到这里图形所有横向都找出来了， 我们把边长标上去，现在就可以开始画图了。前面我们已经把 h 到一的航线画出来了，这里我们就不用再重新画了。图形航向我们已经分析出来，现在直接抄进去就行。 一到二为三百一十五度一百米，二到三为七十五度两百米，三到四为三百一十五度一百米，四到一为一百九十五度两百米，这样图形就画好了。 最后我们把其他参数修改一下，题目要求起飞高度是航线飞行高度的一半，航线高度为一百五十米，那么起飞高度就是一百五十的一半，也就是七十五米，我们直接按要求修改就行。水平速度为十四点四千米每小时， 垂直速度为十点八千米每小时，软件上的只能输入米每秒，那这个速度我们要怎么换算呢？这里我们可以用软件自带的换算工具进行换算，我们打开左边这个速度换算工具，题目给的水平速度是十四点四千米每小时， 垂直速度为十点八千米每小时，我们直接把数据输入进去，就可以转换成单位为米每秒的速度了。 那么十四点四千米每小时转换就得四米每秒，十点八千米每小时转换就得三米每秒。当然我们也可以用电脑自带的计算器进行换算，十四点四除以三点六就等于四，十点八除以三点六就等于三，至于为什么要除以三点六， 这个小学数学速度单位换算就已经学过了啊，这里我们不再进行探讨了，我们只要记住除以三点六就可以了。好了，那么水平速度就是四米每秒，垂直速度就是三米每秒，转弯方式为定点转弯，悬停时间为三秒。 旁线闭合，我们已经手动闭合了，这里就不再自动闭合了。循环模式，我们看一下，题目要求执行五次，那循环这里我们应该填多少次呢？ 这里就要求我们熟悉自己使用的地面站软件的循环逻辑了。凌动地面站执行五次，那么飞机就绕着图形航线飞行五圈， 循环次数我们不能写五次，因为飞机飞的第一圈不属于循环次数。那为什么呢？这里如果我们选择不循环，那么飞机也会执行一圈，所以执行次数不等于循环次数。 执行五次，那么循环次数就只能写四次哦。华科尔地面站除外，这里我们就不再探讨。如果题目给的是循环五圈，那么循环次数我们就可以直接写五次，到这里你应该知道循环和执行的区别了吧， 所以在这里执行五次，那么循环就写四次。题目要求任务完成后原地悬停，因为图形航线是闭合的，飞机执行完所有航线任务后会飞回到一点， 此时一点和五点就是重合的题目航线的最后一个航点是五点，所以执行完任务后，飞机就会在五点进行悬停。这里结束行为我们就选就地悬停，悬停点就选择五点。当然如果题目要求执行完任务后返航，那么结束行为就选返航，返航点就选起飞点， 这里我们知道就行了。好了，到这里题目所有参数我们都修改好了，最后我们还要看一下题目，给了一个注是本套考提起非典和返航点在同一位置 写在飞机图标上，这句话是什么意思呢？这里灵动地面站画图的时候没有这个飞机图标，这个我们可以直接忽略，像汉昆林克地面站这种有飞机图标的，画完图之后检查一下飞机图标是否在同一位置，这里就不再探讨了。平时我们做题要多注意一些细节， 这样考试的时候我们才不会疏忽题目给的条件。好了，自己回去多加练习吧。最后别忘了关注主播，解锁更多知识点。

图像若对称，莫须问基，偶。若有对称点，平移可为基。若有对称轴，平移可为偶。既有对称点，又有对称轴，那么四倍间距周其求。 所以接下来呢，咱们就跟大家来好好的聊一聊这个函数图像的一些个性质。我们经常说呀，要竖形结合，实际上为什么要这样做呢？呃，有很多原因啊，今天我聊一点大家没有听过的原因。因为人的大脑是分成两个部分的， 左脑擅长逻辑推理以及文字的语言的表达和书写，而右脑擅长的是图形的处理。 所以当我们看到一个函数图像的时候，我们再去分析这个图像以及这个图像上面的点满足什么样的条件的时候，我们在本能的使用我们的右脑， 如果你长期使用右脑而不使用左脑，那么你这个人就会得一种病。反过来，如果一个人长期的只使用左脑， 看到一些文字处理的倍快，但是长时间的不动用他的右脑，那么这个人病的会更重。所以我们再去学数学的时候，实际上是在进行一种形式的养生。 所以接下来我要跟大家说，如果我现在告诉你一个函数图像是关于某一个点中心对称的，它是这样的一个图形，比如说我随便画一下子，这是一个平面直角坐标系，那么这个是 y， 这个是 x， 那 么这个图形呢？它是长这样的， 比如说，那么这个时候我告诉你这个图像呢，关于这个点，这个点坐标叫 ab 中心对称。 那么这个时候这个函数的解析是满足什么样子的等量关系，或者说我们根据右脑所识别出来的这样一个形状的图形，能够在左脑当中建立怎样的等量关系，或者建立怎样的方程，那么这个是我这节课需要跟大家交代清楚的。 好，那我们看一下啊，既然说我们知道 y 等于 f x， 它的曲线长这模样，我们不妨就把它写出来， 好， y 等于 f x， 好， 那么这个时候呢，我们看我随便在这个曲线上面找一点，比如说这个点在这个位置好，那么这个点它的坐标是多少呢？你不知道是多少，所以你就暂且把它设为多少，设为 x， 对吧？好，那么这个点的横坐标是 x， 那 它的纵坐标是多少呢？很显然就是 f x， 因为这个曲线就是 y 等于 f x， 对 吧？所以 f x， 那么这个时候他关于这个点的对称点坐标又是多少呢？这个 ab 点就是这两个点的什么点？哎，中点对吧？所以中点他满足什么样的关系式呢？横坐标应该用什么？二 a 减去一个什么 x， 而纵坐标呢？我们可以用一个二 b 减去 f x， 对 吧？二 b 减去 f x， 这就是我们所谓的这个未知点的坐标，它跟它有什么关系呢？就在这上面吧，对不对？所以就是 f 二 a 减 x， 这就是它们的一个关系式，我们把它做一个一项处理， f x 加上一个 f， 二 a 减 x 等于二 b。 好， 我们得到了这样一个具有对称之美的方程式，我们的左脑当中一定要给他留一席之地， 你一定要把这个结论给他记住。那么当我们在试卷上看到这样一个式子的时候，本能的想到了这样的图形，实际上就是有建立左脑和右脑的一个勾连。好，除了这个式子之外，我们还可以得出来一个式子，而这个式子有两种得出来的途径。 好，第一种方式就是我把这个 x 给它换成一个别的变量，比如说我让 x 变成 a 减 x， 那 这个时候这里边的 x 也变成 a 减 x， 你 就得到了什么东西呢？得到了 fa 减 x， 加上一个 f， 二 a 减 a 减 x， 把括号去掉，就变成加 x 了，对不对？所以就是 f a 加 x 等于多少二 b， 哎，你看这个是不是更美啊？ a 加 x， a 减 x， 好， 实际上我们不止可以通过这种途径得到这样一个具有对称之美的方程式，我们还可以通过另一种途径来得到它。好，那么这个中心对称点是 ab， 这个时候我们不在这去设这个所谓的 x f x 的 形式了，我们把从 ab 这个中心点往这边移动的距离 看作是一个 x， 所以 这个时候这个点它的坐标就变成了什么呢？就变成了 a 减 x， 逗号 f 多少 a 减 x。 而这边呢？跟它对称的就变成什么 a 加 x。 因为你往这边走 x， 你要想跟它中心对称，你必须往那边也得走 x， 所以 这边是 a 加 x， 逗号 f 多少 a 加 x， 好， 那么这两个式子满足什么样的关系？这个点是这两个点的什么中点？所以它的纵坐标加在一块就等于二倍的 b， 是 不是就这个呀？ f a 减 x， 加上 f a 加 x 等于二 b， 是 不是就这个？所以通过这两种形式，我们都可以殊途同归地得到同一个解析式，所以这两个解析式 都是我们需要在左脑当中为他建立一席之地的两个关系式。我们必须要牢记，我们不论什么时候，只要看到这两种形式的式子，我们就立马要想到这个图像一定是关于某个点中心对称的，而这个点的坐标就是 a b。 所以经过这样的左右脑的开发，我们在学数学的过程当中，你会产生浓厚的兴趣，而且你相信我在随着你不断这样练习，不断这样去驯化自己的大脑的同时，你其他科目的学习也会越来越好。我是杜明老师，关注我，你真棒。

好，我们来讲一道对称点的万能公式啊，一个点关了一条直线对称，那么就得到这样子的一个公式，那么这个公式呢，非常好用啊，当然也很好记，你没发现后面这个东东啊，跟我们点到这些的距离公式有点像，对不对？然后 去掉的绝对值啊，去掉的更好。好，我们来看倒立题啊，点 a 三杯酒，关掉这条直线，他的对称点是等多少呢？来直接代替公式啊，就不用我们连接方程组之类的啊，来，这个就是谁？ x 零就是三， a 是水， h a 前面的系数对不对？他是一啊，然后这个呢， a 一乘 s 零就是相当于把这个点带入这条直线方程，对不对？那就是三啊，加二十七减十。 好， a 是多少？ a 是一， b 呢？ b 是三，三的平方就等于九，好，同理，后面这个也是，是不是把它中多标啊？ y 零等于九，带你去。 好，这个就是六啊，这个呢，还是一样的啊，三，二十七减十， ok， 这是一啊，这是九，好，化解一下马上就算出来了啊，对称点就是负一配 釜山， ok， 那么第二小题是不是也是一样的呢？那同样呢，带路的公式，马上就得到他的对称点，关注我是不是收益？

坐标系一考就错，象限距离，对重点，一套规律直接解绕。今天我们要开始进入我们的第八讲平面直角坐标系以及函数的基础。 那么我们首先在讲题之前，先来讲讲关于平面直角坐标系的一些基础知识。那首先我们得必须知道什么叫做平面直角坐标系，那么它其实呢，是由两条竖轴互相垂直所构成的。那我们可以画一下图出来。 好，既然是竖轴，所以它就必须要有竖轴的三要素，首先是圆点，其次呢是我们的单位长度，所以这里我们可以给它标一下。 好，其中横着这条，我们把它叫做横轴或者叫 x 轴，所以你写的时候就在旁边标的 x 就 可以了。竖着这条轴呢，我们把它叫做纵轴或者叫 y 轴。 好，那么这两条竖轴呢？啊，它是互相垂直，它把它把我们的这部分分成四块，对不对？四块它对你都是有名称的，那比如说我们这一部分呢，它叫做第一象限， 接下来呢，我们往来往后来数，就是按照逆时针的方向，那再过来这一块呢，叫做第二象限， 往下来呢叫做第三象限。 好，在这里呢叫做第四象限。 那其中这每一个象限是包不包括这些点落在了这个轴或者 y 轴上面的啊？比如说你这个点落在这里了，那它属于哪一个象限？到底属于第一象限还是第二象限呢？它都不属于啊，它不属于这四个象限里面的啊。 好，这是第一个概念，我们必须知道每个象限不要记错了，它是逆时针方向的啊。好，接下来呢，每个象限的点的坐标有什么特点呢？我们现在呢，如果有一个 p 点 好，那么这里呢，我们过这个点 p 分 别来做 x 轴、 y 轴的垂线，我们先来做一下它到 y 轴的垂线出来。好，大家仔细看一下我们这里啊，好，过点 p 来做一下 y 轴这一段。 同理呢，我们过点 p 来做一下它到 x 轴的距离。这一段。 好，现在呢，我们过了 p 点来做 y 轴的垂线。做出来之后呢，我们这里不要不要当长度啊，就好表示，一就是一，就是二，就是三。四。 好，左边是负一，负二，负三，负四。好，往上走是一二三，往这走是负一，负二，负三。 好，我们过点 p 来做了 y 轴的垂线，那么我们发现这一段的长度它有多少呢？它其实就是我们的二，对吧？那这个二呢，即往下走，看两个单位长度，所以这个二，我们把它叫做 p 点的横坐标。 那我们过点 p 来做一下 x 轴的垂线，那么这里呢，这段长度呢？是多长呢？哎，其实是三个单位长度，对吧？所以这个三，我们把它叫做 p 点的重度标，因此呢， p 点的坐标，我们可以把它记为二多少三。好，现在以此类推，我们再画一个流苏膜，在这里 q 点呢。好，我们同样过点 p 来做一下它 x 轴的到 y， 先做一下它 y 轴的垂线。好，再做一下它到 x 的 垂线。好，大家能否写出 q 点的坐标出来呢？ 好，我们先看看 q 点到 y 轴的垂线，所以总共这里有多少单位呢？一二三四个单位对横坐标就是四，纵坐标呢？呃，是 q 点到 x 轴的距离，所以这段长度应该是一，所以是四到一。 好，接下来呢，往下走，如果这个 p 点它在其他的象限，比如说我们跑到第二象限来了啊，比如说这里， 好，那么等一下呢？同样我们要这样做法啊，来，先过点 p 来做一下 y 轴的垂线， 好，再做一下它到垂直垂线，好，那么点 p 点到 y 轴的垂线，虽然它的距离是两个单位啊，但是我们写的不是它的距离来做它的坐标啊，我们看的是它对应下来的这个是多少，这能是负二，对吧？ 好，这个是负二，所以 p 点的横轴我们就知道负二，重度标呢，你过点 p 来做一下 y 轴，那么这段长度呢？它依旧是一，对，不对啊，我们只看了是它对应的是谁，对应的是一，所以它就是一。 好，同理呢，这个 p 点如果跑到第三项线来了啊，比如说我们跑到下面来了，好，我这里标一下，在这里， 好，那 p 点的坐标怎么表示呢？那么这个点坐标你看一下啊。好，首先它到 y 轴的距离， 它的 y 轴的距离对应的是这个数是负 e， 这横轴标是负 e， 那 重度标呢？好，这个点到 x 轴的距离，好，这个对应的是多少呢？这个距离对应的是括号，所以呢是负一，逗号，括号。好，第四象限一样，比如说我们在这里， 好，那么这个点同理，我们对应写出来应该是 e， 逗号 b， 因此我们到这里的，我们就要注意一下啊，如果你这个点在第一象限， 那么你的横坐标跟你的纵坐标都应该是正的，所以这里代表是正，正来表示，如果你在第二项线， 好，我们的横坐标就应该是负的，我们的纵坐标应该是正的。好，如果你在第三项线， 那我们的两个都应该是负的，所以应该是负负。好，如果你在第四项线， 那应该横坐标就应该是正的，正坐标是负的。好，这个是每个象限点的坐标，一定要会能够判断啊。 好，因此呢，我们可以来先看一些基础的题目啊，来看下第一题，他说这个点在地图象限，你看很明显，横坐标是正，重坐标是负，所以看到哪一个呢？ 应该在这里，横中边是正，中边是负，所以应该是在第四象限。好，那么点 b 呢？负二代号零，大家注意一下啊，负，二代号零在哪里呢？ 哎，这时候我们就不得说到一些点，它比较特殊啊，有些点它会落在这些轴上面，对吧？如果比如说这个点落在了 这里，那么它的坐标怎么表示呢？好，大家看一下，这个点的坐标，我们怎么表示呢？好，我们先看一下横坐标，就说我要 横坐标，先做一下 y 轴的垂线，所以这个对应的是三，这横坐标应该是三，那重坐标呢？你要做的是这个点到 x 的 距离，那么只是应该是零，对不对？对应的是零，所以应该是三，正，好，零，那如果这个点落在了这里呢？ 好，同理呢，那么它这个坐标是零的，是零多少？这里是四，这是五，所以又是零。都好， 因此呢，大家要注意一下，如果我们的点在 x 轴上面，它的坐标上有特点啊，比如说你在 x 轴上面，那么你哪个这个坐标一定是零啊，你的坐标一定是零，对不对？好，横坐标就不清楚，坐标一定是零。好，如果我在 y 轴上面呢， 刚好反过来我的横，我这个横坐标肯定是零，但是我的重坐标呢？不清楚。好，现在我们看一下，给的这个 b 点，负二的话，零，很明显，它这个点应该在 x 轴上面。 好，接下来呢，我们看一下这个问题，点到坐标轴的距离，同样，我们这里呢，需要画一个竖轴来帮助大家理解一下。 好，首先呢，我们需要把给出的这个点给它标出来，一个是负三，逗号四，那大家可以看一下，它在第几象限呢？它是第二象限，对吧？横坐标是负的，中坐标是正的，所以我们可以给它标出来啊，负三逗号四， 负三逗号四。 好，我们给它标出来，假设它在这里。 好，这个对应的是负三，这个对应的是四。好，那我问一下大家，它到 x 轴的距离，这个是谁？ 这个点到 x 轴的距离，是不是你过这个点就要来做 x 轴上垂线了？好，你这段做出来实际上是什么呢？是不是这个的长度啊？这个长度实际上是谁？ p 点它的纵度标对不对？ 好，所以大家注意一下啊，这个点如果它到 x 轴的距离怎么表示啊？ 好，那么大家通过刚才的写法，如果这 p 点到 x 的 距离是这段，那这个点是 p 的 中标，所以很多同学可能就会写 a， 那 它不就等于 b 吗？ 如果你这样写法的注下是错的啊，为什么呢？因为如果这个点它跑到下面的三或者四上面去了，于是我 p 点跑到这里来了。 好，现在呢，我来做 a 轴的垂线。好，假设我做出来之后，假设这个 p 点它是负三。都。好， 那等一下呢，你的距离就会变成负二，对吧？那距离它是不可能是负的，因此我们为了保证它的距离和正点，我们一定要加个绝对值，点，应该是绝对值 b 啊。 好，所以呢，他说这个点的 a 轴距离，那我们就是绝对值 b， 这个 b 指的是谁呢？纵度不要说啊，所以应该是绝对值四，最后我们再来去掉绝对值，那么绝对值的绝对值肯定是四啊，绝对值去掉绝对值肯定就四，所以这里距离应该是四。 好，那么到 y 轴的距离呢？这 p 点到 y 轴的距离，咱们是不是要做出这一段？好，大家仔细看啊，那这一段呢，实际上呢，它 p 点的横坐标是负三，但是我们说的是距离，因此呢，同样的道理，我们要注意一下啊，我这时候要写的应该是到 y 轴的距离， 同样它应该等于绝对值 a， 好， 所以这个 a 是 负三，所以你写的应该是绝对值的负三，最后我们再去掉绝对值，应该等于三， 也就是说距离的话，你是不可能写出负的东西出来的。好，接下来呢，这个点到原点的距离，那么到原点的距离整到 a 部分呢？好，我们可以把它画起来，其实就是这个点跟 o 点连接起来了，那这一段我们怎么去求解呢？其实也不难。 好，大家看到这里呢，构成一个直角三角形，你看这个是多少呢？这个是四，好，然后这一段的长度呢，是等于三，对不对？因此我们马上想到，我们学习过了勾股定力三四，所以斜边肯定注意，因此这里到边的距离就是。 好，这是第二道题，接下来我们来看一下我们的第三道题啊。好，第三道题呢，大家要注意一个问题，我们要来讲另外一个东西，就是关于这个对称的问题啊。好，同样画一个坐标轴出来。 好，现在比如说有一个点，有个点是在这里。 好，这个 p 点，它的坐标是一逗号一。好，咱们把它标出来啊，这是负一，这是负二，这是负三。好，往上走是一二三，往下走是负一负二三。 好，如果问你这个点好，这个 p 点，它关于 x 轴对称， 它对称后，那个点到哪里去了呢？那应该很容易画，哎，对称下来，那不就在这里吗？ p 撇嘛，对不对？好，这个 p 撇大家写一下，能写出来的坐标应该能写出来，横坐标是一中坐标呢，不再是一了，到下面来相反一。 好，大家有没有发现我们关于 a 轴对称之后呢？这个 x 它是没有变化的，对不对？变化的是谁？ y 啊，是这个一跟负一变成相反数了，是不是？好，那么我们来看一下，因此呢，我们可以总结一个规律出来啊，这里呢，其实如果这个 p 点是 a 的 话， b 的 话， 好，这个 p 点如果是 a， 多号 b， 那 它关于 x 轴对称之后，它这个 p 撇，它的横坐标 a 是 不变的，变成谁呢？重坐标，重坐标变成谁呢？相反数。 好，因此呢，我们看到第一个空啊，这个点关于 x 轴对称，那么我们刚才说关于 x 轴对称，它的横坐标是不变的，在这里横坐标肯定不变，那重坐标呢？要变成它的相反数，应该是负二，那如果我们这个点关于 y 轴对称过来呢，大家也很容易画出来，就在这里吗？ 好，它的坐标能写出来吗？横坐标是负一，重坐标是一，大家发现变化在哪里？哎，它的横坐标变了，但是它的重坐标是没有变化的啊。好，所以我们又可以总结出来了啊，它关于 y 轴对称， 好，这个点的坐标是多少呢？好，这个 y 是 没变化的，变化是谁呢？横坐标会变成负 a， 因此其实大家可以可以总结一句话，叫做关于谁对称谁不变。 好，大家注意下，你看，关于刚才关于 x 轴对称，那么这个 x 就 肯定不会变，现在关于 y 轴对称，这个 y 肯定就不会变， 就这意思。好，所以这里呢，我们要填的应该是关于 y 轴的话，那么我这个 y 轴没有变化了，这变化是谁呢？横轴不要垂直变成相反数，那么中轴不要不变。好，那么这里关于原点对称什么意思呢？好，这个 p 点我们在这里一到一，那原点对称到哪里来了呢？到这里来了。 好，那么这个点大家看一下，它的坐标是多少呢？没发现横纵坐标都发生了变化，对吧？它都跟原来是相反的，因此我们可以再去画关于原点对称， 那么记住，两个只要都改变好，变成什么样子呢？当然是变成它们的相反数，因此这个第三个空，它说这个点关于圆点对称，你就全部把它改了，都改成它的相反数，那么原本是 four， 现在是二，原本是五，现在变成五。 好，接下来呢，我们来看一下我们的第四道题，同样我们可以画一个坐标轴出来啊。 好，大家看一下， a 点的坐标是二到三，所以我们可以把它标出来，就是二，好，三在上面，所以这个点在这里， b 点的话呢，它的纵坐标是三，大家注意下，纵坐标是三，说明这个点在哪里呢？好，我们可以 画一条直线出来，这条直线呢，他的纵坐标都等上，所以 b 的 话呢，其实就在这条直线上面啊，在自己动啊，所以我们可以标出来，那么他告诉我们 a b 等于四，那么 b 点是在左边还是在 a 等于右边呢？不清楚，都有可能，对吧？所以我们可以看一下，如果他在左边的话， 比如说在这里，那他现在告诉我们这一段的长度是四，那么我们知道上面这段已经是二了，说明你左边这段应该也是二，对不对？所以是二的话，因为这个点，大家注意一下他在第二项线，对吧？所以这时候呢，我们这个 b 点的坐标啊， 它的横坐标就应该是谁呢？负二重坐标呢，应该 a 点是零，所以是三因子，其实我们就可以得到 x 等于二嘛，但是我们这个点呢，也有可能在 a 点的右边呢？ 好， a 点的右边，那这一段如果等于四的话，那前面还有一段等于二，所以这个整个的长度就应该是六，所以呢，我们就给到 b 点的横坐标，应该是等于六，重坐标呢，应该等于三 好，所以两个点应该是六，等号三，因此呢，我们可以得到 x， 它就应该等于六 好。所以这里大家可以得到什么呢？只要我们的纵坐标一样，那其实我们就会在同一条，在一条平行 x o 的 直线上面，对不对？好，那如果呢，它是横坐标一样呢？ 比如说一个 a 点，它是二多少？三， b 点呢，它是二多少？ x。 好， 大家注意一下，那么 b 点的横就会跟它一样。那么现在呢，我们可以通过 put 线出来， 也就是说 b 点应该在这条线上面动啊，在哪里呢？不清楚，但是呢，这个只要这个点在这个线上，它的横坐标就是一样，就是二，对不对？因此我们可以总结一些规律出来，就是说，如果你的点在平行于 x 轴的直线上。 好，平行 x 轴是不是上面这个红色，那这些点它的什么坐标一样呢？好，它每个点的重坐标一样， 它是相等的。好，当然呢，如果你是平行于 y 轴的直线上呢？ 那么你要对应的应该是谁呢？ y 轴是不是？是不是？我们刚画了黑色这条，它所点的横坐标都一样吧，所以我们指的是每个点的横坐标， 它应该是相等的。 好，这是我们第四道题，接下来我们看一下我们最后一道题啊，好，他说这个点在第二项线，让我们求 m 的 取的范围，那我们就要知道第二项线的点有什么特点呢？好，横坐标一定要小于零， 不能等于零啊，我们的象限没有包括那个这个落在坐标轴上的点。好，同理，我们的重坐标要干嘛呢？第二项是大于零啊，好，因此解一下这个不等式啊。第一个解到了 m 小 于一， 第二个解到 m 大 于零，因此要解一下这个不等式指数，它的解集，这应该是零小于 m 小 于一，因此我们 m 的 取得范围就是零小于 m 小 于一。 好，那么这个视频呢，我们主要给大家讲了关于平面直角坐标系的一些知识点啊，其实这个内容相对还是多了一点啊，所以希望大家好好去消化一下啊。 这种呢，多在我们的基础题上面考察要多一点好，所以大家必须要掌握。那么这个视频我们就给大家讲解到这里，下个视频再见。