高考韦达定理

大家好，今天我们专门来讲一讲一元三次方程跟于系数的关系，其实也就是关于三次方程的维达定理。那么封面上的话就可以看出来这个维达定理的内容啊， x 一 x 二 x 三，其实指的就是这样一个一元三次方程的三个根。记住，我说的是负数发明的三个根，可不是三个实根啊，有可能是负数的。 那好了， x e x r x n 加起来一定是等于负的 a 三分之 a 二，这个 a 三就是三次方的系数啊，这个 a 二呢，就是二次方的系数，前头是个负号的。那这个叫什么？ 叫这三个跟二次的全部组合加起来吗？你看 x 一乘 x， 这是二次的，太是二次的，太是二次的，这三者加起来呢，是等于 a 三分之 a 一的，其中这个 a 一就是依次项的这样一个系数了啊。当然看好了最后一个， 那么这个 a 零 a 零就是常数项了哈。 i x e x r x 三这三个根呢，乘起来是等于负的 a 三分之 a 零。那么为什么有这样一个结论，我们来说一下啊，教材上是有的， 旧的教材上没有，但是二零一九年新教材出来以后，人家教材上是有的，是现在可以正大光明用的。看了，由代数基本定理，我们是可以知道代数基本定理，我们知道内容就行了，他的证明需要涉及到高等数学的知识。任何一元 n 次复习数多项式。什么叫一元 n 次这个复习数多项式呢？我随便写一个吧。 记住啊，这个 a 不管是 a n 还是什么的，这个都是负数啊。来，那 n 减一次方，那继续往后写， n 减二次方，后边我就不详细写了啊。啊，平方啊，一次方，这个 a 二 a 一都是负数方面的系数啊，然后再 加上 a 零， a 零就是一个长数，这波这条长数呢，是负数完的一个长数，然后呢，这个就成为什么哦，他就成为一元 n 次负系数多项式啊，在负数级中可以分解为 n 个一次因式的乘积， 那其实也就是说它是可以分解成什么样子呢？比如说，当我们把这个 a n 提出来之后，它是可以分解成这样一个形式的啊，分解成 x 减 x 一， x 减 x 二， x 减 x 三， x 减 x， n 减一，然后 x 减 x。 哦，原来可以分成这种形式，其中不管 x 一， x 二， x 三还是这些，这个都是负数范围内的这样一个数字啊。 那好，现在他后来又说了这个结论，进而一元 n 次多项是方程，方程的话就是 f x 等于零呗。这个呢， 五号波浪线的这一部分啊，它其实圈 e 呢，就是一个一元字多项式的方程，它有 n 个复数根。确实啊，这 n 个复数根一看就知道， x 一 x 二， x 三， x 一直到 x n， 当然是有 n 个复数根了。 那么如果 x 一和 x 二相等，比如说都等于二，那么 x 等于二，就是一个二重根。清楚我的意思了吧？所以负根就是这个重根，是按重数来，记得一共有 n 个，这 n 个可能相等，也可能不相等。哈，好，原来这就是代数基本定理的内容，大家知道这个结论就行了。 现在我们根据这样一个定理，其实一元二次方程是最简单的呀。一元二次方程的话，根据系数关系。什么关系？有的人说，老师最简单不应该是一元一次方程，一元一次方程其实没有什么讨论的价值， ax 等于 b， 对吧？ a 不等于零的话，那这个 x 就等于 a 分之 b 了。这个确实没有什么可讨论价值的，咱们从 一元二次方程根据系数的关系开始讨论。这个初中我们就学过了，首先呢，他说了，十系数一元二次方程，我们要求 a 一 a 零， a 二，这三个系数呢，都是实数， 那么此时他在复数范围内肯定是有根的。有同学说了，老师判别是小于零时候，不是没有根，是没有实根，他是有复数根的啊。高中生是了解这一点的， 那么这两个根啊，两根之和哦，它是等于负的 a 分之 b， 那这个分母是谁？是哦，平方向的系数，那这个 a 一是什么？是一字项的系数，那 x 一乘 x 二，原始公式 a 分之 c， 哦，它这个 a 二就是 平方向的系数，这个 a 零就是常数项，清楚了吧？这个我们在初中其实就学过，稍微拓展一下，扩展到负数级范围就行。我们的重点来了，是一元三次方程的跟于系数的关系。你只 主要了解了一元三次方程根据系数关系的这样一个推导过程，当你了解了他的推导过程之后，不管是一元四次方程，一元五次方程，一元 n 次方程，你自己都可以推出来的啊。那我们来看一下一元三次方程跟于系数的关系。什么关系呢？哎，写清楚了， 首先告诉你啊，实习数什么意思？ a 三 a 二， a 一 a 零，这四个数字都是实数，这叫实习数一元三次方程。那么我们了解到啊，根据代数基本定律，他肯定是有三个负数根，这三个负数根呢，可以相当，也可以不相等，我们就写上 x 一、 x 二、 x 三，清楚了吧？ 怎么推出来的呢？在负数范围内，这三个根， x e、 x r、 x m。 根据代数基本定理，我们这样一个方程式一定可以转变成这样一个形式，对吧？当你转变成这个形式之后的话，有同学说，老师我不会了，嗯，你说跟最后这样一个结论 有什么关系？有什么关系？你展开不就行了吗？对不对？比如说，假如我们括号里头这三个括号写的是什么？根据多项式乘多项式的这样一个法则吗？都取得是 这样一个，负的 x 一，负的 x 二，我们应该带上负号啊，然后负的 x 三，那么就是 a 三，乘负的 x 一，负的 x 二，然后负的 x 三 等于几啊？其实就是展开之后的最后的那个长数项，因为在这样一个方程里头，我们不管 a 三， x e， x x 三，他都是什么长数的，是负数方向那个长数的，清楚了吧？也就是说你直接展开就可以，展开之后你稍微整理一下嘛，自己展开就变成这个样子了。 你看看，我们比较一下这两个方程原始的方程长这个样子，根据代数基本定理的话， 我们就把根体现出来了，你比较一下圈一和圈二，嗯，这个三次项没什么比较的，因为他完全一样。那你看平方向的系数得一样吧， 也就是说什么意思啊？也就是说这个负的 a 三乘 x 一加 x 二加 x 三，它必须是等于 a 二的， 那不就推出来了， x 一加 x 二加 x 三，他就是等于负的 a 三分之 a 二吗？这多简单呢，对不对？然后接下来你比较一下依次项 x 的依次方前头的这样一个系数，他俩得一样吧，是不是？然后你一比较呢？不与不知道，一比下地套就是这样一个结论， x 一 x 二， x 一乘 x 三， x 二乘 x 三，它最后算出来加起来就是等于 a 三分之 a 一。那最后看了长数项，带上负号啊，所以 x 一 x 二 x 三这三个根相乘，它的乘积是等于负的 a 三分之 a 零的。原来是这么个道理啊，其实也不难吧。那好了， 有什么用？我们直接来做一道高考原题。之前浙江高考的原题啊，这个题的话说的是已知这个函数，这是什么函数？三次的啊？关于 x 的三次函数，那么这个三次函数，二次函数在初中就研究了三次函数，没有研究，刚刚不研究过了吗？同志，你这么来理解 他，三个是不是都相等啊？那我是不是可以，嗯，让这个 f 负一等于 t 没问题吧？嗯，我让这个 f 负一等于 t 的话，会得出什么来呢？他会得出来这个啊， 负一的三次方加上 a 乘负一的平方，这个咱就多写一些你肯定自己写多了你自己都能总结出来的东西 t。 但是啊，咱们呢，怠速基本定律里头，我们还是习惯上等号右边写零，那我们把这个 t 移过来变成负 t 啊，是不是那同样的道理，我们这个 f 负二等于 t， 是不是可以写成这种形式啊？负二的三次方， 然后负二，然后 b 乘负二，加上 c 减 t 等于零，记住啊，不管是圈一还是圈二，你应该能清楚我的意思哈，那你再来写一个呗， f 负三，因为他这三个都相等，当然这个地方应该写 t 啊，写 t， 那既然他们都等于 t 的话，那就变成了负三的 三次方，是不是？然后再加上 a 倍的负三的平方，再加上 b 乘负三。那么接下来我要怎么说，我相信大家已经知道了，很多人已经猜出来了，其实他就是告诉你什么呢。哦，知道了，原来这个负一 一负二负三是某一个方程的三个不相等的根呀，是谁呀？ 我直接写吧，就是 x 的三次方，你看圈一吗？看圈二，看圈三，它的结构就是完全一样的，对吧？再加上 b x 的一次方，然后再加上长数项，这个长数项就是 c 假体啊，都是长数。哦，这么回事啊，那么接下来大家应该清楚我的意思了吧。 来，我们一开始就告诉你了，已知条件 t 的范围是在零到三之间的，所以最后一步怎么写，我用蓝色的笔来告诉大家哈，所以说，根据三个根， oxe 加 x 二，那我们来乘法吧，负一乘负二，再乘负三，这个是等于什么？ 那原始公式的话，大家刚不是刚刚选完一元三次方程的为他定理吗？他是等于分母，是谁啊？首先有个负号，分母的话，就是这个长数项啊，就是这个 x 三次方，前头这个系数一啊，所以就是负的一分之，那这个长数呢？ c 减 t 呗。哦，知道了， 负的 c 减 t 啊，那不就是说我们得出来六等于 c 减 t， 我们求的是 c 的范围，所以这个 c 就等于六加 t a， t 的范围是零到三之间，那加上六，所以它的范围不就是零到多少？嗯，零到三之间，你加上六，那就变成了六到九之间吧。左 k o b， 清楚了吗？ t 的方位是零到三，那加上六步就是六到九，所以这个题选 c， 你说有用没有用，我只是说为了方便大家理解。写的这么复杂，你如果 特别熟悉这样一个一元三次方程的伟大定理，你直接就可以写结果了，一分钟都不到。来，看，咱们再看一个自主招生的题目，这个好像更加明白，告诉你，我就是考的一元三次方程伟大定理了吧，三个不同的实数满足这样一个方程， 还用说吗？嗨，我告诉你啊，其实人家就是说 x 方减三 x， 咱让这三个相等的式子都等于什么？都都来个 t 呗，他都等于 t 呗，对吧？啊，我的建议还是都写成什么样子呢？都写成这个等于零的样子哈。 哦，清楚了吧，这个是 y 的三次方减三， y 减 t 等于零啊，那同样的呀， z 的三次方减三， z 等于 t， 你移过来之后不也是减 t 等于零吗？对吧？这三个其实就告诉我们，所以说不管是 x， y 还是 z， 它这 肯定是三个不同的实数，肯定是不同的实数跟了吧，是哪个方程？是这个 k 的三次方，这是关于 k 的一元三次方程啊， k 是未知数，减去三倍的 k， 再减去 t， t 就是长数项啊。等于零的 三个不相等的实数根啊。那么这三个根之间存在什么关系呢？那么接下来就简单了吧，刚才考察的是三根乘积第一道题，现在这道题的话，它是等于谁呢？等于分母的话不多说了哈。首先前头有个负号分母，就是 k 的三次方，三次方切除系数它就是一。 然后这个分子是谁？分子就是前头这个负三吗？清楚了吧？然后负的负三，那不就是三啊。所以第二题写三就行了。所以当你了解了 这样一个一元三次方程伟大定理，或者说根据系数关系之后，有些题真的可以一秒就解决出来的啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见！