2023新高考I卷概率大题

我们来看一下二零二三年新高考数学全国一卷倒数第二道大题，概率压轴题的讲解。 好，这道题题目当中有一条非常重要的条件，如果他命中了，那么下一次他继续投篮，如果没有命中，那么换为对方 有两个人，甲和乙，对吧？甲每次命中的概率是零点六，乙每次命中的概率是零点八，那么第一次是甲或者乙，碳的概率是相等的，是零点五啊。那么我们来看一下第一问 好。现在说的是第二次投篮是乙的概率。好，第二次投篮是乙的概率，那么第一次有可能是甲，有可能是乙。如果第一次是甲，概率是 bm 乘乙，甲没有投 头重，零点四，才轮到第二次是乙了，或者第一次是乙，乘以第一次一头重了，那么第二次也是乙。 好，算一下零点二，再加上零点四，答案是零点六，这是第一问，非要去解答。接下来看一下第二问。第二问难度很大，因为这个题很新，很多同学没有见过，所以没有思路。第二次是假，我们假设这个概率是 pm， 我们一起来算一下， p i 加一 好，下一次还是假，那么最是是假，并且他投中了，下次还是假。但如果这一次 不是甲，是乙一，并且乙呢？没有投中，乘以零点二，那么下一次仍然是甲。好，我们把这个呢给他化解一下，他等于零点四倍的 p， 再加上一个零点二，对吧？我发现了，下一次是假的概率和上一次是假的概率是有关联的，那么这一次呢，会影响到下一次。这一代像什么？有点像数列里边的地推公式。 好，他是这么来做的，如果你这个能联想到数列，那么这道题你就能做出来了，那么他是一个什么样的数列呢？ 他等于零点四倍的，他乍一看像一个等比，但是因为后背加了一项，所以不是等比， 那么他是等比的一种变形。怎么才能让他是等比呢？好，我给他做一个很等变形，给他加上一个小 m， 等于零点四倍的 p i， 再加上一个小 m， 先 有一个等比的形状，然后呢再做横等变形。好，那本来原来是有一个零点二的，这个零点二肯定要加上，如果把括号去到这边，多加了一个零点四 m， 所以要减去一个零点四 m， 你等号的左边加了 e m， 等号的右边也要加 e m， 那么现在这就是一个很冷变形，这个值是不变的。好，如果他想成为一个等比数列，那我只要绕后边这个尾巴等于零，是不是就可以了？ 好，让谁等于零，我们再来把它画一下，绕后边的这个尾巴等于零，那么他就变成了一个等比数列。 好，我如果让这个尾巴等于零，那么零点二减去一个零点四 m， 加上一个 m， 他等于零点六 m， 加上零点二，让他等于零 m 是等于一个负的 三分之一的。好，那么我们就解出来了，当 m 等于负三分之一的时候，那么我们就得到了一个等比数列， 把 m 等于负三分之一给他带进来，我们就得到 p i 加一，减去一个三分之一，输的于零点四倍的 p i 减三分之一。 好，这是一个公比，是零点四的等比数列。我们来算一下这个等比数列的第一项，他的手相 首项就是 p 一，减去一个三分之一， p 一呢，就是第一次假头，用它的概率，题目告诉我们就是零点五 减去一个三分之一，二分之一减三分之一。啊，六分之一。好，接下来我们就可以把这个等比数列的通向公式写出来， p i 减去三分之一，等于首项乘以公比， 以五分之二的 n 减一次方，所以我直接得到 p i 等于六分之一倍的五分之二的 n 减一次方，加上一个三分之一。好，那么这道题难度最大的第二问我们就做完了啊，接下来我们来分析一下第三问。 第三问前面这一大堆，如果两点分布了，然后呢？后边这句话是在给你解释两点分布，然后这半句呢，是告诉两点分布，他的期望怎么来算好，从这给他解开后半段呢？让我们来求一下第二问的这个期望， 为什么要说前面啰里八嗦的说怎么大一堆呢？是想告诉你，我们第二文算出来的这个概率，他就是一个两点分布，然后你 你用题目给的这个式子去求期望就可以了，这是出题人的意思啊，是不是两眼分布简单分析一下就可以了，看一下这个第三问 好。第三问，我们算的这个事件啊，他的概率呢？如果那一次是假头，我们假设这个事件是一，那么他的概率呢？是不是 p i？ 好，如果不是假头，我们假设这个事件是零，那么是不是乙头呀？乙头的概率不就是一减 p i 吗？ 啊，这呢就是典型的什么两点分布，那么既然是两点分布，现在我要求他的期望，他的期望就可以用这个公式来计算，这个公式其实就是一个求和公式。啊。好，我们来看一下，接下来我要算一下意外，也就是期望，根据题目 给的公式，他等于从一到 n， 然后 p i。 好，我们把第二问算的这个结果给他往过来一带，这是我们第二问的结果，对吧？好，那他的与啥呀？一，一到 n， 然后呢？六分之一， 五分之二的恩解，一四方加上一个三分之一。好，这是一个求和公式，我们来求一下和。 好，从一到 n 加起来，每一次都加一个三分之一，所以一共加了一个三分之 n， 随之中结果一定有一个加三分之 n。 前面六分之一是系数，不用管，六分之一乘以。 好，那么这是一个啥呀？这是一个等比数列，也就是一乘以五分之二的 n 减一次方，这是等比数列的手相，这是等比数列的工笔。那么他求和 就是一减去公比分之 a 一，这是一乘以一减去五分之二的 n 次方， 这是等比数列的求和公式。我们简单的把这个来化减一下，就得到了我最多的答案，十八分之五乘以一减去五分之二的 n 次方，加上一个三分之 n。

这道二零二三年的概率大题，让很多同学都交了白卷，他真的有那么难吗？我们一起看一看。说甲乙两人投篮，哎，说每次由其中一个人投篮，也就是说一次只能一个人来投，就这么个意思， 规则如下，那若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮。什么意思啊？ 就是如果说这是指甲来投，甲如果投中了，哎，那下次还是甲，对吧？如果甲没有投中，那对不起，那就只能换为乙来投，那同样对于乙来说也是类似的啊。我就不太赘述了， 说无论之前投篮情况如何，假，每次投篮的命中率均为零点六，乙每次投篮的命中率均为零点八啊。由超 勾千来决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率个为零点五啊。然后接下来第一小问让我们求第二次投篮的人是乙的概率。 解决这道题的关键就在于分类讨论，而且就在于他给了一个条件，就是这里我刚才给大家解释的， 若未若命中，则此人继续投篮，若未命中，则化为对方投篮。什么意思？就是说下一次投篮，哎，到底是谁来投，取决于这一次，或者取决于上一次是谁来投和他到底投没投中。 那具体来说，对于第一小问来说，第二次投篮的人是乙的概率取决于第一次投篮，哎，人到底是乙，还到底是甲，不就这个意思吗？不就是一个分类情况讨论吗？ 好，我这里写一下啊，大家注意思路啊，我就给大家分一下思路就好了。第一次第二次来， 那么甲是第一次投篮的人是甲，这第一种情况吧。啊？第一次投篮的人如果是甲的话，那么什么情况下，第二次投篮是乙，就是甲第一次投，但对不起，甲没有命中吗？ 甲没有命中，那第二次不就换为乙来投了吗？哎，就这么个逻辑吗？好，第二种情况就说上来，第一次就是乙来投，那么什么情况下，第二次投篮的人还是乙？是不是第一次乙来投，乙还命中了？ 哎，那么第二次还是一，是不是只有这两种情况了，对吧？所以这种情况下，这两种情况决定了第二次突然的是一，对吧？好，所以说，第一小问，这个概率 p 等于多少呀？ 第一种情况，第一种情况呢，首先你得确定啊，第一次投篮是假呀，而他告诉我们来说，第一次投篮的时候是甲乙的概率，各位，零点五二分之一啊，对吧？所以如果第一次是假的话，二分之一， 然后呢？而且要保证假没有命中，所以呢，乘以注意，他命中的概率是五分之三啊， 这个，所以呢，相当于乘以一个一减去五分之三，没有任何问题吧？好，加上第二种情况，第二种情况上来之后，第一次就是乙，所以呢，概率是二分之一，对吧？然后呢，再乘以 是以来红，但也要把它给命中了，所以呢，乘以这个以命中的概率是零点八，也是五分之四吗？啊，我建议大家还用分数来表示，不容易出错，所以呢，乘以个五分之四不就可以了，没问题吧？所以大家整理一下不就可以了吗？不就是二分之一乘以 以五分之二，加上二分之一乘以五分之四，所以等于十分之六啊，也是一月份是等于五分之三吧。哎，第一小问不就说对了吗？哎，来，接下来看第二小问。 第二小问说 di 次投篮的人是假的概率，注意， di 次投篮，那肯定是和 i 有关了，对吧？因为我们刚才已经分析到了，那肯定 di 次投篮的人是假的概率取决于 di 减一次投篮的人到底是假还到底是乙。 这就是第一小问对第二小问的歧视呀。所以呢，那我就来分析一下了，没问题吧还是？哎，你看了吗？一样的逻辑， d i 减一次和 d i 次没问题吧？好， d i 减一次，同样，如果是减 的话啊，那么所以说第二次还是假，那必须假的话，得去命中了，没有问题吧？所以呢，第 i 次还是假，这是第一种情况。 第二种情况，如果 d i 减一次是乙，那什么情况下才 d i s 是甲，是不是就是 d i 减一次是乙？但对不起乙啊，这次比较太乙呢，没有命中啊，那当然 d i s 就化为甲了 哇，是不是反过来吗？和第一脚吗？对吧？那 ok 啊，那么假设，假设什么呢？我就是 d i 减一次啊，如果是假的概率呢？为 p i 减一没有问题吧，而 d i 次是假的概率呢？ i v p i 大家来看一下， d i 四为假的概率是不是等于第一种情况？第一种情况啊，就是说 d i 减一的是假，那么就是 p i 减一乘以乘以多少？ 加必须得命中命中的概率是多少？五分之三吗？就这么简单加上第二种情况。第二种情况呢，是 di 减一次是乙啊，注意， d i 减一次，要么是甲，要么是乙，也就说它是一个浮动两点分布嘛，对吧？也就是说 d i 减一次是乙的概率，是不就是 e 减去 p i 减一啊？ 因为 d i 减一是几？是乙，不就相当于是 d i 减一，是不是加吗？对吧？是一样的逻辑，所以就是一减就偏 i 减一，然后再乘以多少，但是乙呢？还不能命中， 你命中的概率是五分之四，哎，那就乘上个一减去五分之四嘛，不就这样吗？啊，大家整理一下，算出来是不是就等于多少呀？等于五分之二，对吧？ pi 减一加上五分之一啊，大家去算一算，没有任何问题。 那么问题来了啊，这时候就问起来了，大家来看一下啊，我再给大家写下来吧，也就是 p i 呀，相当于此时是等于五分之二， p i 减一加上五分之一，这是个啥？同学看一看。 如果你之前看过小焦老师的视频，很容易反映出来，什么呀，这其实就是一个什么呀，可以构造出等比数列的一个形式呀，所以我们就用小焦老师之前告诉大家的万能 解题方法。哎，我们就设 p i 加 namit 等于五分之二， p i 减一加 namit， 你把那么的求出来，那么 p i 加那么的，是不是他就是因为以公比为五分之二的等比数列呀，对不对？所以说大家看一下很容易减哈，你移过来相当于五分之三倍的那么的等于五分之一。口做负的五分之三，那么的等于五分之一，那么的是等于负的三分之一。 好，也就相当于是告诉你这个 p i 减去三分之一， 它是以 p 一减三分之一为首项，对吧？公比 q 等于五分之二的一个什， 怎么样？哎，等比数列呀，对吧？所以这道题你这个一定要反应过来，对吧？所以说这个 p i 减三分之一，我们利用等比数列的这个数列拖延公式， 是不就等于 a 一乘以 q 的什么 n 减一的方法，所以这个 p 一减三分之一，然后呢，乘以这个 q 的 n 减一，五分之二的什么呀？这个 i 减一吧，大家已经知道了哈，这个第一次是假的，概率是多少啊？ 二分之一吗？对吧？所以 p 一减去三分之一是等于多少？不就等于六分之一吗？因为它是等于六分之一乘以五分之二的什么 i 减一次方，所以 p i 由 d r 是假的，概率是不 就等于六分之一乘以五分之二的 i 减一次方，然后呢，再加上一个三分之一呀， 对吧？咱这就是第二道题的正确答案，你看，其实很简单，很符合逻辑吗？对吧？你知道这个，跟着小老师把这个逻辑理清楚了，第二小问很容易，那么第三小问很多同学没算出来，纯属就在于没好好审题。你看第三小问啊，貌似比较复杂，其实比较简单了， 说告诉你已知，若随机变量 x i 服从二点分布啊，且 p x i 等于一等于一减， p x i 等于零，等于 q i 啊， i 等于一到 n， 则 e 啊。这个框里面的 c 个码 i 等于一到 n x i 的累加，等于 c 个码 i 等于 一到 n q i 的累加。记前 n 次，也就是说从第一次到第 n 次投篮，假投篮的次数为 y， 让我们求以 y 注意， 人家让你说的是假投篮的次数，不是说假投篮命中的次数，对吧？很多人都看为假投篮命中的次数就蒙在那里了，一定要注意身体。 哎，那么这位大家来分析一下哈，他告诉我们这个公式肯定是我们要用的，对吧？你不管说哎，他对还是不对啊，你就先不要管他，你先分析一下这个 e y 到底等于多少啊，因为我们第二位已经求出来了， 这个 di 四投篮的人是假的概率我们已经知道了，对吧？好，那么这里啊，第三条，我给大家列个表，我给你画画个表。好吧，那很多同学比较喜欢看 表吗？那我这里大家注意哈，我就给大家讲解思路，好吧，哎，十一考试的时候，你最好用文字来表示出来。来，大家来看一下这个 x 一吧啊，假设这个 x i 呢，就是说 d i 出来是假的概率 x 一啊，比如说第一次出来 s 一等于一嘛？是假的概率是不是是等于个 p 一啊，没有问题吧？ 好，那么 x 二等于一的概率是不是等于 p 二呀？没问题吧？ x 三呢，是等于 p 三吗？对吧？等等等等等等等等啊等等，对吧？然后呢，一直到 x a 是不是就是一个 p n 呀？ 啊，注意，都是 x n 等于一哈的概率。所以说大家看一下这个假投篮的次数 y 他是不就等于 x 一加 x 二加 x 三，一直累加到 x n 是 不是就等于 c 个吗？ i 等于一到 n x i 的累加，有任何问题吗？没有任何问题，对吧？他让你求 e y 呀， 大家来看一下 e y 等于多少？ e y 不就是 e c 个吗？ i 等于一到 n x i 吗？注意，他告诉你了，好像哎，等于多少了， 就等于 c 个嘛， i 等于一到 n， 什么 q i 的累加，也就我们这个 q y 就是我们 p r 呗，对吧？也就相当于是等于 c 个嘛， i 等于 e 到 a， p i 的累加， 有问题吗？没有任何问题，也就说这道题转化，为什么让我们求第二小，我们求出来这个 pii 这个数列它的一个什么钱恩相和，就这么个意思，对吧？那怎么办？来看 看一下，分析一下呗。这个 pi 它是由两部分组成啊，后面这个三分之一累加累加 a 项就三分之一，不用管它呀。那么前面这一小部分，六分之一乘以五分之二 n 减二减一次方，我们是不是可以用等比数列了？什么呀？ 哎，一个累加公式没有任何问题，对不对？所以说 c 个嘛， i 等于一到 n， i 到 p i 累加， 他就等于 p 一加 p 二加 p 三，一直里加加到 pa 吗？不就等于分两部分，现在前面这一部分，前面这一部分大家，大家，大家应该是没有问题吧， 对吧？那就相当于是六分之一吗？乘以一减去五分之二，乘以多少？哎，一减去 五分之二的什么呀？ n 次方吗？对吧？相当于说六分之一，你先不用管它啊，乘以一减 q 分之 a， 一乘以一减 q 的，是吧？这个 n 减一次方嘛？啊，一减 an 一次方嘛，没有任何问题，对吧？好，那么后面那一项呢？三分之一李佳音项，那不就是三分之 n 吗？也没有任何问题。 那大家注意，这个应该大家是没有任何问题吧，这是最简单的哈，最简单的我觉得啊，分两部分进行求解啊，大家应该都比较擅长， ok， 也就相当于整理一下，是不是等于分母的话是五分之三呀？五分之三倒过来三分之五，乘以六分之一，是十八分之五啊，然后呢， 乘以一减去五分之二的 n 次方，没有任何问题吧？然后呢，再加上三分之 n 呀，对不对？ 哎，这个是不是就是这道题的正确答案呀？你看这道题完美的将概率和数列结合在一起，其实很多同学就在那想半天，想这个公式是怎么来的，有必要吗？根本就没有任何必要 对吧？你只需要把 y， 哎，他到底等等于一个四字，等于这个 c， 哥们， i 等于一到 n x i 累加，直接利用他的公式，就相当于 x i 等于一的时候那个 p i 的累加，哎，这道题直接就转化到数列累加公式，对吧，就这种就是这么简单， 所以这道题大家一定要学会分析，也给我们以后老师的教学，包括以后对于学生的辅导啊，也是起到了很好的指导作用。本期的分享到此结束，关注小娇，我们下期视频再见！

二零二三年数学真题，新高考二卷的十九题就是这道概率统计的题。 呃，这道题呢是这样的啊，他是主要是说我们在测量一个疾病是否是阳性的时候，那么这个他有个指标啊，这个指标怎么来看啊？怎么用我们高中学的知识来分析这种问题？说他这个是一个 应用题，单据统计在历年这这些年的考试里面呢，变得越来越重要，而且呢与生活息息相关。好，首先我们来看一下这道题， 某研究小组经过研究发现，某种疾病的犯病者与未犯病者的某项医学指标有明显的差异，经过大量调查 得到如下的，犯病者和未犯病者该指标的频率分布脂肪图。频率分布脂肪图呢？这个是常考的，看到这个呢，我们是一点都不陌生，但是今年的考试考的有点新意啊， 他们可以看到这个重轴呢是频率和主距，横轴是主距啊，横轴是主距，那所以说我们要算这个频率的话呢，就是用这个重轴乘以这个主距，也就是这个面积，就可以把每一个的频率给他算出来，用频率我们就可以拿来代替这个概率 啊。这种题我们首先可以是把每组频率给他求出来啊，啊，这个组句是五五除以零五乘以零点零二，零点零一，把这个给他写在这里啊，这个五乘以零点零二，零点零六，这个五乘以零点 点三四，那就是零点一七啊，这个是零点一八， 这是零点二，这个是零点二，这个是零点一八啊，把它每一组的频率给它算出来，这一组呢零点三八，这个五一乘过去就是零点一九， 这个是零点二，零点二，这个是零点一八，这个是零点啊，零点一七，这个是。呃，零点零五 啊，这个五乘零点零点零一。好，我们把这个标上来啊，这个范冰者呢，就是我们给一个呃数据啊，那我们可以发 某一个指，如果犯病的话，他这个指标就特别的高，呃，一百零五到一百一十一，或者说这个以上的这个比较高，就是没有犯病的人呢，他的这个指标相对就比较低。那这个指标是什么呢？就是他后面要测的这个东西， 那么就以某一个值来把犯病的和没有犯病的把它区分开。好，我们接着看题， 他说呢，利用该指标制定一个检测标准，需要确定零界值为 c 啊，就是这个 c 指大于 c 的人判定为阳性，那就这个 c 以上的大于 c， 这个就是一个阳性的判定， 小于或者等于 c 的 c， 人为阴线就小于等于 c， 而这里呢我们就为阴 音性好。现在呢就有两种情况了啊，第一种情况就是检测标准的落种率 啊。第二种情况呢，这个叫做物种率，把这两个概念弄清楚，物种率它是指犯病者判定为阳性的概率， 好，就犯病者判定为阴性的概念。假设这个人已经犯病了，但是呢，呃，我判定他为阴性就是落枕了。比如说啊，我 c 就确定等于一百啊，假设 c 等于一百 啊，那这个几段 c 呢？它没有说是多少，我们说假设 c c 一百，那这时候这个人犯病了，对吧？他犯病了，但是呢，这一段九十五到一百，这个这个人呢，他 这一段的话，它显得也是犯病的，但是呢，它因为它低于一百，所以说它就把它判定为阴性。这个时候啊，这个 p c 我们从这个表上就可以读得出来，就是九十五到一百，这个是零点零一， 那如果 c 等于一百的话啊，我们我们把它这个写在上面吧，举这个例子来理解啊，如果 c 等于一百，那这时候我们就可以算出来， p c 就是零点零一，就这一段啊，这段它小一百，它是判定为阴性， 那么他本身是犯病的，那这时候呢，物质率就是没有犯病的人啊，为阳性，你看这些都是没有犯病的，但是呢，如果你 c 定为一百， 这一部分人他是阴性，但是你也把它判定为阳性了，这是 q c 呢？我们可以读得出来也是零点零啊。假设 c 是一百的话，这样读数据，那这里面的主要就是要理解啊，这个 p c 和 q c 怎么算出来的啊？就这么一个意思， 假设数据在组内均匀分布，就每段都是均匀的，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。那么第一题，当落枕率 pc 等于百分之零点五的时候，求零，介指 c 和无证率 qc。 好，这时我们把 pc 转化一下， pc 百分之零点五就是零点零零五啊，零点零点五大概在什么位置呢？这是零点零一，零点零点五就是他的一半 要塞在这个地方啊，塞在他的正中间，零点零一的一半就是零点零零五啊，就这一段就是零点零零五。 好，那如果这这这段是零点零点五的话，那么总共这一段是五，这里占一半，是不是占二点五啊？所以这个 c 值就很容易求出来，就是九十五加上啊五的一半 啊，那这个是二点五，就是九十七点五。好，那这个 word 的 q c 等于多少呢？那你就把这个九十七点五标上来，这里就是九十七点五。 那九十七点五这边这一段啊，就这个本来他是没有犯病的，但是有这一部分人呢，他是超过了九十七点五的，就要把他当成犯病人，把他判定为阳性，这个就是误诊率。 q c 呢，就等于啊，这里是一半，是零点零五，乘以二分之一，就是这一段，然后再加上零点零一 这一部分呢，就是没有犯病，也把它判定为阳性，因为它的数据超过了九十七点五这个值啊，这个就是二分之一，那这个就是零点零二五， 加上零点零一，这零点零三五啊，这个也等于百分之三点五 啊。所以第一题就很好做啊， c 等于九十七点五， q c 等于百分之三点五。那第一位我们就做出来了啊，这道题比较难的就是 第二问啊，第二问是这样的啊，色函数 fc 等于 pc 加上 qc 啊， c 属于九十五到一百零五。求 fc 的解题是 fc 在区间九十五到一百零五的最小值。 好了，我们这道题呢，就是你要分别把 p c 和 q c 单独求，求完了之后再把它加起来算这个 f c 就可以了。好，下面我们来看这个图啊，怎么来算这个 f c 和 q c？ 好，首先呢，我们可以发现啊，它是这样的啊，就是说这个 c 值是九十五到一百零五，那我要求这个呃， p c 就是，就是这个呃漏总率和这个 q c 无总率，那怎么算？ c 在九十五到一百和一百到一百零五，它是完全不一样的。好，那我们就得分段来算啊，它第一个 p c 啊，我们就在这里写啊，用红色的来 p c 等于分两段啊，一个是 c 属于九十五到 一百的，还有个 c 属于这个是结束到一百，这个是一百到一百零五的，它是不一样的啊。那如果说 c 就在这个位置，好，那我们这时候要算它的物整率，就算算算这一段这小 剩下的这一段是多少啊？那么设为这个 p c， 我们这时候呢列一个公式啊， c 属于 九十五到一百的时候啊。第一种情况，好，我们假设这段就是 pc 算这个纸，因为它是均匀的，他必须是按照成比例的那个意思来做啊，按照成比例的意思来做。好了，我们就可以发现啊，先把他的这个这整一段是零点一啊，他粘的这个是多少呢？粘的这一段就是 pc， 就是 pc 除以零点零一啊，就是这一段占整个这一段的比值，那他就应该等于多少呢？呃，这个是 c 值， c 减去九十五就是这一段啊， c 减去 九十五除以这整个这段就是五啊，这样我们就可以把 p c 给它解出来啊。所以 p c 呢， 他就等于啊，把这个乘过来啊，乘过来啊，那个乘过来的话，这个零点五分之零点零一，五分之零点零一的话就是零点零零二。 c 二 c 啊，这个是五分之九十五的话是十九，那就是减去 零点一九啊，这是第一个范围。第二个，如果说 c 属于 一百到一百零五，那如果写在这来了之后，那我主要是把这一段也要把它 n 比例求出来啊，好，把这个写进， 就是零点零点二 c 减去零点一九，这是第一段他的表达式啊。第二段如果在这里的话，那好，那我们还是算这个 pc， 这个 pc 减去零点零一，就是这一段了啊，就是 pc 减去零点零一除以这整个一段是零点零六， 好，就等于这道这里是 c， 要说 c 减一百，就是这一段 c 减一百除以整个五， ok， 好，这时候我们把 p c 给它算出来， p c， 那就把零点零六乘过来啊，那就是零点零六除以五，零点零六除以五是多少呢 啊？那就是零点一二，好，零点一二 c， 好，那零点一二乘一百呢？那就是减去零点一二乘一百呢，就是零点零一二一百乘一点二， 好，把这个零点零一加过来，加上零点零一，好，所以说这个 p c 呢， 就等于零点一二 c， 零点零一二 c， 啊，零点零一二 c， 对，擦一下， 零点零一二 c， 零点零一二 c， 这个再减去一点一九， 一点一九， ok， 好，而这个我们写在这里，零点一一二 c 减去一点一九，好，这个我们就把呃这个 low 总率给它算出来了，我们下面呢再来算 w 总率， q c 等于，你要分两段，一个是 c， e 属于九十五到一百，一个是 c， e 属于 一百到一百零五，因为它每一段它算法不一样啊。首先我们看到这个，这个时候啊，这个时候第一种情况， c 属于九十五到一百的时候，那这时我们就 word 率是哪一部分呢？就这一段啊，这一段。好，那我们就先用这个 q c 减去零点零一啊，那就是这一段了啊，除以整个这一整段的零点零五 啊，那它就应该等于什么呢？啊？因为这个是 c 值嘛，那这个 c 值是这么多，那这个是一百一百，减去 c 就是这一段了。 哎，除以整个它的主句是五啊，也就这一段，它是成比 力的。好，同样的，我们把这个 q c 给它解出来，所以 q c 啊，把零点零五呢，这里一约了啊，这个五一约了，剩个一，这个剩个零点零一，零点零一乘过去就是一减去零点零 e c 再加上零点零一，那这个就等于负的零点零一 c 加上一点零一 啊。第二种情况就是 c 如果说属于一百到一百零五 啊，一百的一百零五，检测在这个位置这个位置，那么这个就是这，这右半边就是 q c 了啊， q c 啊，除以整个这段是零点零一，就等于一百零五，减去 c 就这一段除以五。 好，那所以说这个 q c 就把它解出来啊，呃，这个零点零一除过来啊，这个五分之一百零五就是二十一，二十一乘以零点零一就是零点二一。 然后呢？呃，这个零点零一除以五就是零点零零二，减去零点零零二 c 减去零点零零二 c， 好，把它抄上来，这个上面就是负的零点零一 c 加上一点零一， 这个就是负的零点零零二 c 加上零点二一啊，这个 p c， q c 把它算出来了之后，那 f c 我们就可以了啊， f c 我们就把它加起来就可以了啊， 好，我们把 f c 给它写下来啊，这时我们把 f c 就等于 p c 加上 q c。 好，我们这时候就把它算一算， 这是负零点零零二， c 减去零点零一 c， 那就是负的零点零零 八 c， 然后呢？负的零点一九，一点零一，一点零一减去零点一九。好，那就是零点， 这个一减去九就是二，然后九减于八，零点八二加零点八二，这个就是 c 属于九十五到一百。 好，这两个也加起来啊。 f c 加上 q c， 零点零一二 c 加上减去零点零零二 c， 那就是零点。 呃，一二，这是零点零点二， 零点零一岁， 再减去 一点一九，减去零点二一，那是八 零点九八。好，这个 c 是属于一百到一百零五。 好，那我们把这个写下来吧啊，我们把它裸下来 啊，这是这个表达式啊，这表达式我们求出来了之后，这种就是 f c 的解析式， 就是这样子的啊，那这时候呢，我们就可以发现啊，这个分段函数，他前面这个是负零点零零八 c 他是个减函数，后面啊，这个是一个一次函数，他是个真函数 啊，这样一个函数，所以说对于这个函数来说呢，它的最小值就在这个点，所以说 x 刚好等于一百四。 f c 它取了一个最小字，那就等于，那这个一百呀，它是取第一个也行，取第二个也行啊，比如一百取，取在上一个啊，取在上一个就是， 那这就是多少呢啊？负的零点八加上零点八二，哎，这个就等于 零点零二啊，如果取后面一个也行啊，呃，取后面一个就是一百了，就是，那就一减去零点九八，也是等于零点零二啊，所以说 fc 的一个 最小值等于零点零二。嗯，最后这个题呢，我们就做成了求 f c 等于负的零点零零八 c， 加上零点八二， c 属于九十五到一百， 或者说是零点零一 c 减去零点九八 c 属于一百到一百零五 f c 的一个最小值呢？零点零二。 那这道题就做完了，第二题呢？它是，呃，比较难理解的啊，尤其是求这个函数 f c 的解析式的时候，你要分段求， 而且分段球在里面呢，他这个计算量会比较大，要比较细心才能够把它做对。好，这道题就到这里，谢谢大家。

大家好，我们继续来拆解二零二三年新高考一卷的多项选择题，我们一起看下。这道题有一组样本数据， x 一、 x 二一直到 x 六，其中的 x 一是这个数据当中的最小值， x 六是最大值。给定四个选项，那么这个题读完之后，我们知道他考察的就是我们数据统计当中的几个基本概念，第一个是平均数，第二个我们说的中位数，第三个是标准差， 第四个极差，就是考察数据统计当中这几个基本量的计算问题。同学们如果手中有解题王的话，你翻开解题王的二百二十页，我们当中有统计数据当中的三数，统计当中的二叉。我们就来看第一个，也就是 a 选项平均数，它是小学我们学到的 个概念，就是一组数据当中 x 二、 x 三、 x x 五的平均数等于 x 一、 x 二、 x 六的平均数。题目条件当中说 x 一是最小值， x 六是最大值，那么这个随便举一组例子就好了。 我们说这个数据二二三三，加上一个一六，这样一组数据的话，那么很显然这一组数据 x r、 x 三、 x 五，它的平均数是二点五，那么加上一个最小值，一个最大值，这六个数的平均值就到了二点八三，显然它的平均数不可能相等， 那 a 选项就排除。再看 b 选项，考察的是中位数的概念，中位数就是一组数据，从大到小，从小到大排成一个变量数列，那么这个数列当中位居于中间位置的那个数，就是他的中位数。如果这组数列是一个单 单数，那么其实就是中间那一位，如果是双数，就是中间两位相加起来除以二就好了。我们还拿这个数字举例子，二二三三这个数，他的中位数其实就是二加三，再除以二 二点五，那么我们加上一个最小值，加上一个最大值，他的中位数是不变的，还是中间这两个数相加除以二，所以 b 选项是正确的，就是这个数据是相等的。 第三项考察的是标准，查一项是前面这两个平均数和中位数，我们说他考察的是数据统计当中的集中趋势。 标准差和极差考察的是离中数据，一个是集中趋势，一个是离中趋势，就是一个偏离程度。那么标准差就是说这一组数据和它的平均值之间的波动。 x 二、 x 三、 x x 五的标准差不小于后面这六个数的标准差。显然我们加上一个最小值和一个最大值之后，他的标准差应该要大于前面的四个数的标准差。就这两个数对这一组平均值的偏离程度肯定更大，因为他一个最小，一个最大，所以他的波动性更大， 也就是说它的离散程度也是我们的离冬趋势更大。显然 c 选项不对，再看 d 选项极差，极差就是一组数据当中最大值，减去最小值 就是这组数据的极差，那么显然 x 一是最小值， x 六是最大值，那么这组数的极差显然不会大于后面这个数的极差。那么考察的这四个概念相对来说比较基本。同学们如果是说对这个四个概念清楚的话，那么这道题显然也是 送分题，小学概念、初中概念，后面是高中学到的两个概念，因为以往说过我们所有学过的知识都有可能拿来考察，就是高考不设范围。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

这道恶灵恶善新高考一准的概率大题，又一次涉及到马尔克夫模型。所谓马尔克夫模型，简单来说就是后一步事件，这与前一步有关。第一问十分简单，又是一道送分题。 这里我是 aiv， 第二次投篮的是假 pi， 等于拍第二问。根据提示，我们可以得到如下条件，概率，这就表明后一步事件只与前一步有关。 句子，我们可以利用全概率公式得到数列派的地推公式， 用通常的构造法构造出等 比数列。这样的套路我之前早就讲过。第三问则更加简单，基本上就是数列求和，没什么好说的。 像这样的马尔可夫模型，同学们练习的多了，做起来自然得心应手，所以可以说本题并不算太难。

哈喽哈喽，各位同学，本期视频我们继续给大家分析一下二零二三年的新高阶一卷这套真题，本期要分享的是第二十一题，概率概率。这道题考完之后啊，其实反馈是比较两极分化的，有的同学比较简，觉得比较简单，但是另外一部分同学觉得比较难，那我们一起来看一下这道题到底难不难。 甲乙两人投篮啊，每次由其中的一个人投篮，规则如下，若命中，则此人继续投，若没有命中，则换为对方投。 无论之前的投篮情况如何，假，每次投篮的命中率是零点六，乙每次投篮的命中率是零点八。 好，由抽签确定第一次图来的人选。第一次图来的人是甲或者乙的概率个为零点五。首先你看第一问，第一问问的是求第二次图来的人是乙的概率。好了，第二次图来的人是乙的概率。第一问就 非常简单，有几种情况分成情况去考讨论就可以了。第二次图来是的人是已经已经确定了，对吧？但是他有两种情况。为什么说有两种情况呢？因为第一次图来的人是不确定的， 所以第二种有两种情况，第一种情况是第一次投奶的人是假，但是第二次是乙，对不对？这第一种情况，第二种情况是第一次投奶的人本身就是乙，然后第二次依然是乙，就这两种情况，对吧？好了，首先你看这两种情况，算完概率加起来就可以了。 第一种情况，第一次图来的人是甲，概率是多少？第一次图来的人是甲或者乙的概率。题目已经告诉我们了，都是零点五，对不对？都是零点五，所以第一次图来的人是甲的，概率是零点五。当然第一次图来的人是乙的，根据乙是零点五，先写上好了，看第一种情况，第一次图来的是甲，但是第 第二次换成了乙，为什么会换？题目乙告诉我们呢？为什么会换？因为甲没有命中，未命中则换成对方投篮，所以 第一次甲虽然投了，但是没有命中，甲没有命中的概率是多少？是零点四吗？对不对？乘以上个零点四。好，这就是第一种情况。那第二种情况，第一次投篮的是乙，但是第二次依然是乙，为什么第二次乙还有投篮的权力呢？因为他第一次投中了，对吧？题目告诉我们， 如果第一次命中了，那第二次依然是此人继续偷懒。所以第一次已命中了，命中的概率是多少？已命中的概率是零点八， 对不对？这就是第一问，然后把他们加起来就可以了，这就是第一问，对吧？第一问好，现在我们来看第二问。第二问就已经难倒了一部分同学了。如果你之前已经看了参考答案，或者你已经听过这道题，那你知道这道题 考的本知识概率。哦。本质？什么本质？数列数列当中的求通向。 好，狩猎。求通向有几种类型？有九种类型，但是第九种类型构造狩猎，我们又可以把它分成是七种小类型。 好，如果你有我们的讲义，你可以把讲义翻到一百四十九页。一百四十九页讲的就是这道题会用到的数列球通向的构造数列当中的第二种类型，一百四十九页，你可以看一下。 好，那我们来看一下。其实这道题阻碍最大的什么？最大的是有同学他，他想不到跟狩猎构造，呃，跟狩猎联系到一起好了。怎么联系呢？得看第一问吗？对不对？因为第二问和第一问，你会发现问的方式和题目其实是几乎是一样的。第二次第二问问的是求第 第二次图栏的人是假的概率方案。第一，现在我们假设 p i 是什么？ p i 就是第二次图栏的人是假的概率。你想一下， 你能不能表示出来？不好，直接表示啊，对不对？你能不能直接表示啊？不好直接表示，你想了半天也没表示出来。为什么你没有利用好第一问？第一问，人家问的是第二，第二次图来的人是乙的概率，他不管是问甲还是问乙，有影响吗？没有影响吗？我们在求第一问 的时候，第二次投篮的人是乙的概率根据什么球的跟谁有关系？我就问第二次投篮的人是乙的概率跟谁有关系？跟第一次投篮的人是谁谁有关系，对不对？是不是我们分成两种，第一种情况是第一次投篮的人是 甲，第二种情况是第一次投篮的人是乙，这两种对不对？所以第二次投篮的人 是乙的概率跟第一次图栏的人是谁有关系？那么你想一下，那么你现在想一下，那么你现在想一下，第二次图栏的人是假的概率跟第几次有关系啊？跟第二减一次有关系， 对不对？跟跟，跟他上一次有关系，跟他上一次有关系。好，现在我们来看一下啊，如果是上一次的话，那我上一次，你现现现在看， p i 表示的是第二次投篮的人是假的概率，对不对？我重新写一下， p i 表示的是第二次图栏的人是假的概率。那 p i 减一表示的什么？ p i 减一表示的是第二减一次图栏的人是假的概率。 好，你想一下，第二减一次甲在投篮对不对？甲在投篮，然后第二次还是甲在投篮，说明什么？说明甲投中了。第二减一次的时候，甲投中了，甲投中的概率是多少？是零点六，对不对？所以这乘个零点六。但是第二减一次一定是甲在投吗？ 一定是甲在头吗？不一定，还有可能是谁在头？各位同学，还有可能是乙在头。好，那么第二减一次乙在头的概率是多少？甲在头的概率是 p i 减一，乙在头的概率只能是一减。上个 p i 减一 对不对？第二减一次，要么是甲在头，要么是乙在头，没有其他人了，对不对？没有其他人了。所以第二减一次图来的概率就是一减成个撇，二减一好，那么第二减一次是乙在头，但是为什么到第二次了 又变成假这图了？因为我们要求的是 d i c。 假的概率嘛，对不对？为什么又变成假了？因为乙没有图中吗？ d i 减减一次对不对？乙没有图中的概率是多少？是零点二，对不对？然后它俩加起来就等于 p i， 所以你看我们在这得到了谁啊？ p i 和 p i 减一的关系好，现在我们可以把它化减，这样是 p i， 然后等于什么呀？等于零点六倍的，然后这样减上一个零点二，所以这样变成了零点四倍的 p i 减一， 然后再加上一个零点二。好，现在我们就化解完了，化解完之后，哦，这个就非常清楚，对不对？这个就非常清楚，是一个根据狩猎构造狩猎去求，对不对？根据构造狩猎去求通向吧。好，那在狩猎里面我们经常遇到的就 a n 减 a n 等于什么呢？等于，嗯，零点四倍的，我们 用数列来表示啊， an 减一，对吧？ an 减一，然后再加上一个零点二，好，怎么处理呢？怎么处理？构造一个数列出来，你看一下这 pi 怎么构造？ pi 加上一个 m， 对不对？加上一个 m， 然后等于什么呢？肯定是要构造等底吗？因为 ipi 减一前面有一个系数，所以零点四倍的 括号里面是 p i 减一，把谁构造成等比数列？把 pi 加上 m， 把这个东西构造成一个等比数列，然后再加上一个 m， 对不对？加上一个 m， 好，接下来就干嘛？接下来就求 m 的值是多少？ m 的值是多少？ 怎么求？你把它化解，你看你把它展开之后是零点四 m， 这边是零点四 m， 然后呢？再减上一个 m 应该等于谁啊？等于这样的长数等于零点二，对不对？所以 m 能不能求出来， m 就求出来，这是负的 零点六， m 等于零点二，推出 m 等于多少？ m 就等于负的三分之一，对吧？负的三分之一好， m 等于负三分之一，所以我们就得到了代进去就是 p i， 然后减上一个三分之一，就等于什么呢？等于零点四倍的括号里面是 p i 减一， p i 减一，减上一个三分之一， 所以我们就得到了一个等比数列，这个数列谁呀？ p i 减上三分之一，他是一个等比数列。好，现在做到这，各位同学，问题来了，问题来了，如果你直接按照这个写，写到最后就是按现现在写到这个地方，然后根据参考答案写，写到最后可能是会扣分的。扣分？为什么会扣？你会发现 答案上是怎么写的？如果你看过答案，你会发现所有的答案都是这样写的，是 p i 加一。 p i 加一等于什么呢？等于零点六倍的 p i， 然后然后再你看一下，加上一个零点二倍的括号，里面是一减上个 p i， 对吧？很多学生在看参考答案的时候，这一步其实没有理解，对吧？基础弱一点的同学没有理解，为什么呢？现在我给你解释完之后，你根据这个是不是就可以理解了？因为他跟上一次投篮的人有关系，对吧？所以其实这个地方他是找 pi 和 pi 加一的关系。为什么参考答案会这么写呢？各位同学， 这个问题留给你，是狩猎里面的问题，如果你这样写可不可以没有问题？但如果是这样写的话，你最后还要多加一个步骤，就你按照你找到 p i 和 p i 减一的关系， 你找到 p i 和 p i 解决的关系，这样的 i 你想一下是不是有范围限制？ i 一定是要大于等于二的 对不对？二一定是要大于等于二的，这个时候第一次是不是你还得去验证一下？你这算出来了，你算出来的 pi， 你根据这个可以算出 pi， 但是你算出来的 pi 跟谁有关系啊？ 跟第一次是没有关系的，所以你还要还要去验证第一次，只要这样出现 i 减一，那么 i 一定是大于等于二的，因为 i 表示的什么？表示的是次数没有定零次吗？ i 等于一的时候，这样就出现了定 第零次了，对吧？这是数列里面的，对吧？这是数列里面，数列里面是没有第零项的，所以参考答案是这样写的，对吧？参考答案是找到了 p p i 和 i 加一次之间的关系。好，那他具体怎么找到的？是不是跟前面关系是一样的？因为这一次投篮的概率跟上一次投篮的人有关系，明白了吗？好，这就是概率的 前两问，下期我们继续给大家分享第三问，然后尤其是构造数列这个地方，这个地方不知道怎么处理的，那就是基础真的是比较薄弱的，对吧？可以翻我们的讲义，翻到第一百四十九页看一下，我们有详细的解题步骤。好，那我们下期再见。

二十一题是概率问题，有甲乙两个人投篮，每次由其中一人投，规则是若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮。 而且无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率都是零点六，乙呢是零点八，抽签决定第一次投篮的人选， 第一次投甲乙的概率个为零点五。第一问求的是第二次投篮的人是乙的概率，那么按照提议，如果第二次投篮的人是乙，有两种可能， 第一种可能，第一次是假头，并且假没有命中，那么第二次就换为一头了。第二种可能 呢，是第一次就是已投，并且已命中了，那么第二次已继续投篮，我们可以记所要求的这个为事件 a， 那么由提议 pa 就等于第一种情况，第一次假投概率是零点五， 并且甲没有命中，那就乘以一减零点六，这样的话，甲没有命中，第二次就是乙来偷懒了。由于这种情况我们是分两步考虑的，所以中间用乘法。 另外一种情况就是第一次已来投篮，并且呢已命中了，那就零点五，乘以已命中的概率零点八。然后这两种情况呢，是分了类，所以中间用加号连 连接，分类相加，分部相乘，计算出来结果等于零点六。第一问满分是三分，如果结果对，有步骤，有这个式子就得三分，如果结果错，这个式子有得两分， 只有这个结果，没有过程得一分。只设了事件，后面都不对，不得分，后面全对，而没有设事件不扣分。另外有的同学可能会用全概率公式，结合这个条件概率来去写这道题的步骤也是可以的，其实本质上跟我们这么写是一样的。