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我从未怀疑过钱老,直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说,人在变,十四岁还能学不会微积分吗?钱老说,四岁入学,十八岁毕业,时间刚刚好,报效祖国。

我从未怀疑过钱老,直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说,人再笨,十四岁还能学不会微积分吗?钱老还说,四岁入学,十八岁毕业,时间刚刚好,报效祖国。

我从未怀疑过我的智商,直到听钱老那句,人再笨,十四岁还能学不会微积分吗?钱老果然还是不够全面,现在的年轻人起见吗,都得看三遍,六个数字的验证码得看四遍,他估计做梦都想不到人可以笨到什么程度。在钱老的认知里,再笨的人看完我写的工程控制论,也应该能朽错一个火箭了吧。天界功法在此,诸位道友为何不练?

我从未怀疑过钱老,直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说,人在辈,十四岁还能学不会微积分吗?钱老还说,四岁入学,十八岁毕业,时间刚刚好,报效祖国。

人再笨,十四岁还能学不会微积分吗?当时听到说这句话的时候,我第一感觉就是钱老把我开除人极了。所以为了不被钱老开除人极,今天简单讲一下不定积分的概念。不过在此之前,我们先来了解一个新的名词,那就是元函数的概念。那么什么是元函数呢? 很简单,如果对于大 f x 和 f x, 其中大 f x 的 导函数等于 f x, 我 们就说大 f x 就是 f x 的 原函数。说大白话就是求导后的函数就叫导函数,而求导之前的就叫原函数,这很好理解吧。 打个比方,我们都知道 x 平方的导函数其实就是二 x, 所以 x 平方就是二 x 的 原函数。所以看到这里,大家应该都能知道原函数是怎么一回事吧。 与此同时,大家也能看到,不止 x 平方是二 x 的 原函数,其实有很多函数也可以是二 x 的 原函数。由此可见,一个函数的原函数并不是只有唯一一个,而是可以有很多个。 事实上,我们有一个定律可以描述这个事情,如果大 f x 是 f x 的 原函数,则大 f x 加 c 所表示的函数都可以是 f x 的 原函数。 那么这时候又多了两个问题,函数在什么样的情况下才存在原函数呢?并且这无数个原函数之间又存在怎样的一个关系呢? 对于这两个问题,定例二和定例三可以做出对应的回答。定例二告诉我们,如果函数在区间内连续,则它在该区间内必然存在原函数。同时,定例三也告诉我们,函数的不同原函数之间其实就相差了一个常数。并且结合定例一和定例二, 我们可以发现,如果 f x 在 区间上连续,则它必然存在无数个元函数。有了这些基本概念之后,我们就可以看不定积分的定义了。如果 f x 存在元函数,那么它的无数个元函数统一称为它的不定积分。 通俗一点的说,不定积分其实表示的是所有求导后能等于 f x 的 函数,此时我们将符号记为这个,其中 f x 左边的那个撬棍就是不定积分的符号, 而 f x 就 称为背时函数,而 d x 中的 x 就 称为积分变量,而常数 c 就 称为积分常数。并且从这个定义也能看出,不定积分其实就是求导的逆运算。 举个例子,计算这个函数的不定积分,根据不定积分是求导的逆运算,我们只需要找到一个函数,使得这个函数求导后等于被积函数就行了。这里被积函数是 cosine x, 那 么哪个函数求导之后是 cosine x 呢? 很明显是 since 吧,所以这个不定积分我们就算出来了。好吧,这里其实还有一个常数 c, 别忘记加上它,这样才是正确答案,大家平时做题的时候千万不要把常数 c 忘了。 再来个例子,求这个函数的不定积分。还是同样的思路,找到一个求导后等于被积函数的函数就行了, 很简单,对吧?再来一个例子,已知函数在每一点处的切线斜率都等于该点横坐标的两倍,并且 x 等于二处的函数值等于五。求出这个函数, 这题怎么做呢?首先我们知道函数任意一点处的切线斜率可以用这个表示吧,并且它等于该点横坐标的两倍,所以我们可以写出这个等式吧, 这样我们就得到了关于 f x 导函数的等式。那我们该怎么得到关于 f x 的 等式呢?很明显, f x 是 它导函数的原函数吧,所以我们可以求它导函数的不定积分,从而得到 f x 的 表达式。 最后我们再把这个式子带进去就行了。 最后算出来 f x 等于 x 平方加一。接着是积分表, 实际上就是基本出等函数的积分公式。因为实际求不定积分的时候,我们不可能总是靠猜原函数是什么,因此我们需要记住这些积分公式,从而帮助我们更快速地计算不定积分。 并且大家也不用觉得要记的公式很多,这些反过来其实就是出等函数的求导公式而已。 举个例子,求这个函数的不定积分。观察被积函数,我们可以把它转化成这种形式。很明显,这是个密函数的不定积分吧,直接带入公式就行了, 这样就算出来了。再来一个例子,计算这个积分,很明显被积函数是一吧,并且这个积分也可以直接带入这个积分公式吧,这样就算出来了。 接下来讲一下不定积分的性质。首先是性质一,一个函数积分后再求导,结果不变。同时一个函数积分后,再取微分,等于这个函数乘上 d x。 当然,这个证明也很好理解,按照不定积分的定义来就好了。 这样我们就得到了左边的式子,右边式子的证明原理也是一样的。 然后是性质二,函数的导函数的不定积分等于该函数自身再加上一个常数 c, 同时,当被积函数为一,且积分变量为函数本身,则结果也是该函数加上一个常数 c。 这个证明也很好理解,实际上就是将微分的定义带入一下就行了。 举个例子,现已知一个函数的定义,代入一下就行了。举个例子,现已知一吧, 这样 f x 就 算出来了。接下来是性质三和性质四,其中性质三告诉我们函数和差的积分等于函数积分的和差,而性质四告诉我们可以把积分中的常数音式提取到积分外面。 举个例子,求这个积分。很明显,这个可以用性质三和性质四将原式拆分成多个积分,是吧。 接着我们对各部分分别计算不定积分就行了。 化简一下,这样就算出来了。再来一个,求这个不定积分。同样的,先对式子变形一下, 然后这里可以列项吧。 性质三和性质四,将原式拆开,然后分别计算每个部分, 最后别忘了加上常数 c, 这样就计算完了。再来一个,求这个不定积分。同样的,先对式子进行变形,分子用二倍角公式展开, 然后列项, 然后计算每部分的不定积分, 这样就计算完了。 最后给几个题目,大家回去练一下吧,下期再见!

人再笨,十四岁还学不会被提分?当钱学森老先生说出这句话的时候,我当时啊感觉别人说我笨,就在羞辱笨。直到我拿到这套 八零买的全明星阵容编写的小学数学教材,我才恢复了一点点自信。网上都说八零教材如何如何好,却没有人展示过,今天我就来吃个螃蟹,个人观点,仅供娱乐哈,我们来看啊, 这是八零版一到四年级的学习内容,从十二十以内的加减法,到一百以内的加减法,再到二到五的表内乘除法,还有六到九的表内乘除法,接下来就是万以内的读读法和写法,由简到繁,循序渐进。值得注意的是,遇到难点的时候,比如这个余数的除法, 它就会给你一个提示,而就是这么一个简单而重要的提示,现在的数学书上 居然没有八零版教材,直到第八次的第二单元才结束了整本书部分的加减乘除。这八次的学习内容中,只穿插了四个知识点,但是在现在的数学教材里,足足穿插了四十八个知识点。 忽然有个疑问啊,如果我从幼儿园就开始学这套八零版的教材,那么现在我是不是就可以更早的把小学的这个课程给学完了呢?上个视频我最大的发现就是啊,小数和分数知识被拆的乱七八糟的。但是呢,在这套八零版教材中,他们都 对整整齐齐的放在高年级的知识上,直接可以一口气学完。很多网友质疑说这个统计图的问题,说低年级的小朋友理解不了这么抽象的图形图表。哎,那这个八零版的教材他解决的就很好,我们低年级不学了,一到六年级 一口气给他学完。到此我这套八零版的小学教材我就给大家解析完了。我们现在用的这套教材除了拆的有点乱之外,其他都是很优秀,特别是有两个 看明白没有的闪光点。说到小说来说,现在的教材要我们回答很多的问题,然后让我们去推导出这个答案,也就是想让我们明白这个答案的算理吧。 不是我们老师说的,数学是一门有深度广度的学科,你要去理解它的思维方式、方法以及原理。还有一个好处呢,就是让我们用自己已学的知识去 去破解一下这个新知识。我在网上查了一下,这个叫转化和规划。那肯定就有网友要问了,如果是你,你要选哪?他就裁呢?我也是个小大人了,小孩子才选择呢,我肯定都选啊。



我从未怀疑过钱老,直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说,人再笨,十四岁还能学不会危机分叉。钱老还说,四岁入伍,十八岁毕业,时间刚刚好,不可能。

我从未怀疑过钱老,直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说,人再笨,十四岁还能学不会微积分吗?钱老还说,四岁入学,十八岁毕业,时间刚刚好,报效祖国。

听说数学是我国人民最擅长的学科,那就给你们讲点微积分入门公式知识。在高等数学的体系中,微积分是实现时域到不频域转换的核心工具,同时它也是分析动态系统求解微分方程的必备方法。掌握它,你就能在面对航天、火箭、导弹等 复杂的动态系统时,免去直接求解微分方程中反复积分的繁琐,让你通过代数计算就能直接得出系统的全部行为。接下来我带你了解微积分方程公式。