人就算再笨14岁还学不会微积分吗

我从未怀疑过钱老，直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说，人在变，十四岁还能学不会微积分吗？钱老说，四岁入学，十八岁毕业，时间刚刚好，报效祖国。

我从未怀疑过钱老，直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说，人再笨，十四岁还能学不会微积分吗？钱老还说，四岁入学，十八岁毕业，时间刚刚好，报效祖国。

我从未怀疑过我的智商，直到听钱老那句，人再笨，十四岁还能学不会微积分吗？钱老果然还是不够全面，现在的年轻人起见吗，都得看三遍，六个数字的验证码得看四遍，他估计做梦都想不到人可以笨到什么程度。在钱老的认知里，再笨的人看完我写的工程控制论，也应该能朽错一个火箭了吧。天界功法在此，诸位道友为何不练？

我从未怀疑过钱老，直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说，人在辈，十四岁还能学不会微积分吗？钱老还说，四岁入学，十八岁毕业，时间刚刚好，报效祖国。

人再笨，十四岁还能学不会微积分吗？当时听到说这句话的时候，我第一感觉就是钱老把我开除人极了。所以为了不被钱老开除人极，今天简单讲一下不定积分的概念。不过在此之前，我们先来了解一个新的名词，那就是元函数的概念。那么什么是元函数呢？ 很简单，如果对于大 f x 和 f x， 其中大 f x 的 导函数等于 f x， 我 们就说大 f x 就是 f x 的 原函数。说大白话就是求导后的函数就叫导函数，而求导之前的就叫原函数，这很好理解吧。 打个比方，我们都知道 x 平方的导函数其实就是二 x， 所以 x 平方就是二 x 的 原函数。所以看到这里，大家应该都能知道原函数是怎么一回事吧。 与此同时，大家也能看到，不止 x 平方是二 x 的 原函数，其实有很多函数也可以是二 x 的 原函数。由此可见，一个函数的原函数并不是只有唯一一个，而是可以有很多个。 事实上，我们有一个定律可以描述这个事情，如果大 f x 是 f x 的 原函数，则大 f x 加 c 所表示的函数都可以是 f x 的 原函数。 那么这时候又多了两个问题，函数在什么样的情况下才存在原函数呢？并且这无数个原函数之间又存在怎样的一个关系呢？ 对于这两个问题，定例二和定例三可以做出对应的回答。定例二告诉我们，如果函数在区间内连续，则它在该区间内必然存在原函数。同时，定例三也告诉我们，函数的不同原函数之间其实就相差了一个常数。并且结合定例一和定例二， 我们可以发现，如果 f x 在 区间上连续，则它必然存在无数个元函数。有了这些基本概念之后，我们就可以看不定积分的定义了。如果 f x 存在元函数，那么它的无数个元函数统一称为它的不定积分。 通俗一点的说，不定积分其实表示的是所有求导后能等于 f x 的 函数，此时我们将符号记为这个，其中 f x 左边的那个撬棍就是不定积分的符号， 而 f x 就 称为背时函数，而 d x 中的 x 就 称为积分变量，而常数 c 就 称为积分常数。并且从这个定义也能看出，不定积分其实就是求导的逆运算。 举个例子，计算这个函数的不定积分，根据不定积分是求导的逆运算，我们只需要找到一个函数，使得这个函数求导后等于被积函数就行了。这里被积函数是 cosine x， 那 么哪个函数求导之后是 cosine x 呢？ 很明显是 since 吧，所以这个不定积分我们就算出来了。好吧，这里其实还有一个常数 c， 别忘记加上它，这样才是正确答案，大家平时做题的时候千万不要把常数 c 忘了。 再来个例子，求这个函数的不定积分。还是同样的思路，找到一个求导后等于被积函数的函数就行了， 很简单，对吧？再来一个例子，已知函数在每一点处的切线斜率都等于该点横坐标的两倍，并且 x 等于二处的函数值等于五。求出这个函数， 这题怎么做呢？首先我们知道函数任意一点处的切线斜率可以用这个表示吧，并且它等于该点横坐标的两倍，所以我们可以写出这个等式吧， 这样我们就得到了关于 f x 导函数的等式。那我们该怎么得到关于 f x 的 等式呢？很明显， f x 是 它导函数的原函数吧，所以我们可以求它导函数的不定积分，从而得到 f x 的 表达式。 最后我们再把这个式子带进去就行了。 最后算出来 f x 等于 x 平方加一。接着是积分表， 实际上就是基本出等函数的积分公式。因为实际求不定积分的时候，我们不可能总是靠猜原函数是什么，因此我们需要记住这些积分公式，从而帮助我们更快速地计算不定积分。 并且大家也不用觉得要记的公式很多，这些反过来其实就是出等函数的求导公式而已。 举个例子，求这个函数的不定积分。观察被积函数，我们可以把它转化成这种形式。很明显，这是个密函数的不定积分吧，直接带入公式就行了， 这样就算出来了。再来一个例子，计算这个积分，很明显被积函数是一吧，并且这个积分也可以直接带入这个积分公式吧，这样就算出来了。 接下来讲一下不定积分的性质。首先是性质一，一个函数积分后再求导，结果不变。同时一个函数积分后，再取微分，等于这个函数乘上 d x。 当然，这个证明也很好理解，按照不定积分的定义来就好了。 这样我们就得到了左边的式子，右边式子的证明原理也是一样的。 然后是性质二，函数的导函数的不定积分等于该函数自身再加上一个常数 c， 同时，当被积函数为一，且积分变量为函数本身，则结果也是该函数加上一个常数 c。 这个证明也很好理解，实际上就是将微分的定义带入一下就行了。 举个例子，现已知一个函数的定义，代入一下就行了。举个例子，现已知一吧， 这样 f x 就 算出来了。接下来是性质三和性质四，其中性质三告诉我们函数和差的积分等于函数积分的和差，而性质四告诉我们可以把积分中的常数音式提取到积分外面。 举个例子，求这个积分。很明显，这个可以用性质三和性质四将原式拆分成多个积分，是吧。 接着我们对各部分分别计算不定积分就行了。 化简一下，这样就算出来了。再来一个，求这个不定积分。同样的，先对式子变形一下， 然后这里可以列项吧。 性质三和性质四，将原式拆开，然后分别计算每个部分， 最后别忘了加上常数 c， 这样就计算完了。再来一个，求这个不定积分。同样的，先对式子进行变形，分子用二倍角公式展开， 然后列项， 然后计算每部分的不定积分， 这样就计算完了。 最后给几个题目，大家回去练一下吧，下期再见！

人再笨，十四岁还学不会被提分？当钱学森老先生说出这句话的时候，我当时啊感觉别人说我笨，就在羞辱笨。直到我拿到这套 八零买的全明星阵容编写的小学数学教材，我才恢复了一点点自信。网上都说八零教材如何如何好，却没有人展示过，今天我就来吃个螃蟹，个人观点，仅供娱乐哈，我们来看啊， 这是八零版一到四年级的学习内容，从十二十以内的加减法，到一百以内的加减法，再到二到五的表内乘除法，还有六到九的表内乘除法，接下来就是万以内的读读法和写法，由简到繁，循序渐进。值得注意的是，遇到难点的时候，比如这个余数的除法， 它就会给你一个提示，而就是这么一个简单而重要的提示，现在的数学书上 居然没有八零版教材，直到第八次的第二单元才结束了整本书部分的加减乘除。这八次的学习内容中，只穿插了四个知识点，但是在现在的数学教材里，足足穿插了四十八个知识点。 忽然有个疑问啊，如果我从幼儿园就开始学这套八零版的教材，那么现在我是不是就可以更早的把小学的这个课程给学完了呢？上个视频我最大的发现就是啊，小数和分数知识被拆的乱七八糟的。但是呢，在这套八零版教材中，他们都 对整整齐齐的放在高年级的知识上，直接可以一口气学完。很多网友质疑说这个统计图的问题，说低年级的小朋友理解不了这么抽象的图形图表。哎，那这个八零版的教材他解决的就很好，我们低年级不学了，一到六年级 一口气给他学完。到此我这套八零版的小学教材我就给大家解析完了。我们现在用的这套教材除了拆的有点乱之外，其他都是很优秀，特别是有两个 看明白没有的闪光点。说到小说来说，现在的教材要我们回答很多的问题，然后让我们去推导出这个答案，也就是想让我们明白这个答案的算理吧。 不是我们老师说的，数学是一门有深度广度的学科，你要去理解它的思维方式、方法以及原理。还有一个好处呢，就是让我们用自己已学的知识去 去破解一下这个新知识。我在网上查了一下，这个叫转化和规划。那肯定就有网友要问了，如果是你，你要选哪？他就裁呢？我也是个小大人了，小孩子才选择呢，我肯定都选啊。

我从未怀疑过钱老，直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说，人再笨，十四岁还能学不会危机分叉。钱老还说，四岁入伍，十八岁毕业，时间刚刚好，不可能。

我从未怀疑过钱老，直到我发现钱老也未怀疑过我。钱老曾说，人再笨，十四岁还能学不会微积分吗？钱老还说，四岁入学，十八岁毕业，时间刚刚好，报效祖国。

听说数学是我国人民最擅长的学科，那就给你们讲点微积分入门公式知识。在高等数学的体系中，微积分是实现时域到不频域转换的核心工具，同时它也是分析动态系统求解微分方程的必备方法。掌握它，你就能在面对航天、火箭、导弹等 复杂的动态系统时，免去直接求解微分方程中反复积分的繁琐，让你通过代数计算就能直接得出系统的全部行为。接下来我带你了解微积分方程公式。