指数函数比大小底数不同指数不同

高中数学最牛技巧，别人十分钟我只用一秒！ a 的 b 次方与 b 的 a 次方比，大小？底数都小于一时，底数大的大，底数都大于一时，底数大的反而小。咱就拿这道题来说，常规版 了解版底数都大于一，底数大反而小。哎，再来几道试试，底数小于一底数大的大，底数大于一底数大的小。你学会了吗？

只对数比较大小的问题是高考常见问题，今天我们以高考题为例来看一看如何解题。在高一阶段，此类题目的考察一般分为三个类型，那么在指数之中比较大小的时候呢？那么如果是遇到了底数相同，指数不同的时候，我们利用指数函数 y 等于 a 的 x 次方的单调性来进行大小比较。那么如果是底数不同，指数相同的时候呢？我们利用 y 等于 x 的 a 次方这个密函数的单调性来比较大小， 那么如果遇到了底数，指数均不相同，那么则需要中间指法来进行大小关系的判定。那么第二个，如果是在对数时钟比较大小的时候，如果你遇到了底数相同，帧数不同的时候，我们可以利用 y 等于 log a x， 也就是我们的对数函数来进行单调性的使用。然后下面第二点，如果遇到了底数不同，帧数相同的时候呢？那这里就要注 注意了，我们需要先利用换底公式换成同底，然后再进行单调性的一次使用。哎，比较大小对吧？因为我们知道的对数的运算法则里面，都是在同底对数的情况下去进行的， 所以想去比大小，也一定要化成同理的状态，才方便去比较大小。那么第三点，如果底数帧数均不相同，则需要采用中间指法来进行大小关系的判定。 然后下面呢，如果是三个或三个以上的数的大小比较，也比如我们将指数和对数放在了同一道题目里面去比较大小的时候，我们则可以根据零一等中间量对齐进行分类，然后再进行大小比较， 下面我们来看两个例题。第一题是二零二三在天津高考，我们来看一看在这个题目里面如何体现了我们前面做题的这些方法，对吧？来看这里给出了 a、 b、 c 三个数字，下面想比较 a、 b、 c 的大关， 那首先观察这三个数字应该是一个指数形式，对吧？然后下面根据右边给出的法则，我们知道指数是里面比较大小，如果遇到了像 a、 b 这种底数相同，指数不同的状态，我们需要用什么呢？ 用指数函数 y 等于一点零一的 x 次方去比较大小就可以了，对吧？那如果你遇到了 a 和 c 这两个底数不同，指数相同的指数是比大小的时候，我们需要怎么样呢？我们需要利用 y 等于 x 的零点五次方，也就是这样的一个密函数来比较大小就可以了，对吧？所以这个题完美的体现了我们右边对于指数是比较大小的 一个使用。然后下面再来看下面这个题，二零一一年的天津高考题，这个题里面给出了三个对数式，对吧？我们来看一看他是如何体现我们在对数式中比到大小 这种方法选择的。那么首先先观察 b 和 c， 他们的是底数相同，帧数不同，那所以如果想比较 b 和 c 的大小关系，我们直接使用 y 等于 log x 这样一个对数函数来比较大小即可，对吧？然后下面呢，如果想把 a 才有放进去一起参与比较的时候，就需要我们用到第二条了， 如果你的底数不同，帧数相同的时候，需要利用换底公式换成同底，再利用单调性进行比较，那所以题该里面这里的讲解析给出了一种利用换底公式的方法，我们这里还可以怎么去做呢？还可以把它统一化成一个底数的，对吧？因为二和四他们的关系是很明确的， 假如说我们拿 b 去举例，我可以做什么事情呢？我可以把 b 底下的这个四这个底数，把它换成二的平方，然后 三点二，然后下面可以怎么样？可以把这个二放到前面变成二分之一，然后二三点二，然后下面根据我们的运算法则，你可以把这里二分之一丢进里面 三点二的脑袋上就可以了，对吧？用类似的方法，你也可以将后面的 c 换成一个一样是底数为二的对数形式，然后下面 a、 b、 c 就可以自由的去比较大小就可以了，对吧？那下面能理解的这两种之后，我们再来看更复杂一点的题型， 如果将指对式混在一起之后，怎么样去比较大小？这也是二零二一年的天津高考题，那么假设 a 是这样的一个数字， bc 分别是这样的数字，下面需要去对 abc 的大小进行一次比较， 下面还是要记住右面我们给出了这里比较大小的一个准则，对吧？那这里也明确的指出了这里到底如何去比出大小。那首先呢，看到这个题目，我们先要 要想这个 b 字母的形式有点过于复杂了，所以我们能不能对其进行化解，应该是可以的，对吧？所以 b 等于 log 二分之一零点四，这个二分之一的底数可以把它写成 二的负一次方，然后帧数位置不变，然后下面这个负一可以丢到前面去变成负的 log 二 零点四，然后下面再把它进行进一步的运算，你可以得到 log 二二点五，也就是我们的一个 b 字母，对吧？那么画到这一步之后，你可以发现 a b 字母已经是一个同理的状态了， 所以如果想去比较 a b 的大小，我们应该使用对数函数 log 二 x 的单调性去做比较，对吧？那么你很明确可以知道 b 应该是要大于 a 的， log 二二点五一定是要大于 log 二零点三的，那所以 b 一定是 比 a 啊更大的，然后下面那如果 c 要想参与进去去比较大小的话，需要怎么呢？我们前面提到过了，如果你遇到了纸对式混合的时候，需要利用中间纸去比较大小的，对吧？因为 c 的这个大小 是没有办法利用单调性直接去和 a b 作比较的，那所以我们需要找中间值了，那我们就来看一看麦 c 这个值到底是一个什么样的感觉，对吧？那么零点四的零点三次方值呢？我们知道的， 我们把它写出来吧，零点四的零点三次方，一个一定是小于零点四的零次方，大于零点四的 一次方的，也就是说零点四的零点三次方应该是一个在哪里呢？在一个零点四到一之间的一个数字，知道这一点我们就足够用了，对吧？因为我们已经对他的范围，对他的中间值找出来了，一个是零点四，一个是一，然后下面的 a b 也可以用同样的方法去寻找一下的，对吧？那么 d 字母 log 二二点五，我们在上面直接去写就可以了，你知道的这个式子一定是一个大于一的数字，对吧？那下面还有个 a 字母 log 二零点三是个什么样的状态呢？ log 二零点三，你知道的，它一定是比 log 二一要 更小的，对吧？那么 log 二一是等于零的，所以你就知道了， a 是其中最小的，因为 a 是一个小于零的数字，然后呢， b 比 a 大，但是呢， b 是比一要更大的， c 则是小于一的，所以这里面的大小顺序就排出来了，对吧？ 这里的选项应该选择我们的这个 dog 选项， a 是最小的， c 是中间的， b 是那个最大的，然后我们再往后面去看，那么这也是二零幺一年的一个新高考二卷，那么前面那个题我们知道了，它里面的中间值应该是零和一，对吧？因为有的值比一大，有的值比一小，还有一个值是比零要 更小的。那么再来看这个题目，这个里面的中间值是谁呢？我们来看啊，这里面很明显你能感觉出来， a 和 b 应该是需要你去处理的项，而 c 已经没有可以处理的空间了，对吧？ c 就是一个明确的二分之一，就是一个明确的零点五， 所以做到这一步，你应该能隐约感觉出来，这个题目里面的中间值就应该是二分之一，那所以为了将 a 和 b 与二分之一进行比较大小，我们来想一想哈， 因为 a 的底数是五，那所以你知道的 log 五根号五应该是二分之一，对吧？我们先把它写下来， log 五根号五是等于二分之一的，因为根号五就是五的二分之一次方法，那所以想拿 a 和二分之一比大小，说白了就是 log 五二和 log 五根号五比大小，对吧？那也就是二和根号五比较大小，那么因为二是要小于根号五的，那所 所以 log 五二就会小于 log 五根号五，那所以你也就知道了 a 应当是怎么样的？ a 应该是要小于二分之一的，对吧？用同样的方法去做题，你知道的，如果按照 b 去做题目的话，那么八为底数， log 八二倍根号二，也就是根号八嘛，对吧？它应该是等于二分之一的，那下面我们知道了三和二倍根号二是谁大谁小？三应当是要大于二倍根号二的，对吧？因为三是根号九，二倍根号二是根号八，根号九大于根号八， 那所以 log 八三就会大于 log 八二倍根号二，那所以你也就知道了 b 应该是怎么样呢？是大于二分之一的，那所以这么明确的大小关系就被我们被判断出来了，对吧？然后呢，提到这里，那么我们有一些 数值，如果我们知道的话，也方便我们去做题啊，比如说你可以去想一想，对吧？去算一算根号二，去背下来根号二的约等于多少？根号三，根号五，这样的值约等于多少？知道了这些值的约等于多少之后，那么也方便我们去对大小进行一次判定。 然后我们再往后面看，又是一道天津高考题，已经知道了 a、 b、 c 这样的三个数字，下面想比较 a、 b、 c 的大好关系，那么这个题目的中间值呢？需要我们自行去寻找了，对吧？像前面那个题目一样，他提示其实还是很到位的，你一看到题就应该能感觉出来，二分之一是一个中间值，那么这个题呢？ 一样的，看完这里的 a b c， 我们知道了 b 应该是那个最好下手的项目，对吧？所以呢，首先第一步先对 b 进行化减， log 零点五厘米啊，并不是一个我们比较熟，喜欢比较熟悉的一个形态，那所以对 b 进行化减， b 等于 以零点五为底零点二的对数，把它画点一下，也就是 log 二分之一，五分之一也就等于什么呢？把这里面画点干净，应该是 log 以二为底五的对数，对吧？那么到这一刻为止，看到 a 和 b， 你想起了什么吗？对的，你应该要想到什么呢？要想到这是我们换你公式里面的一个经典推论，对吧？ a 和 b 也就是 log 五二乘以 log 二五，他们的成绩应该是一个什么？应该是一个定值，对吧？ log 五二乘以 log 二五是等于一的，然后下面你也知道的， b 等于 log 二五，一定是一个大于一的数字，那所以 a 就怎么样呢？ a 就一定是小于一的，对吧？那所以这里 a 小于一我们就找出来了，那所以到这个位置， a 和 b 的大小关系我们是明确知道了，对吧？由这两条 我可以很清晰的得到， b 应当是要大于 a 的，然后下面那 c 啊，想放在其中去比大小，那根据前面的准则我们知道的，如果你遇到了只对是混合的这么一个三个数字及以上的比大小问题，我们就需要干嘛呢？寻找中间值了，对吧？那下面我们先来看看零点五的零点二次方关于他我们能写出什么样的式子来办？ 那前面我们其实展示过一个类似的题目呢，对吧？零点四的零点三次方，那这里零点五的零点二次方也可以用同样的方法去写，我们知道的零点五的零点二次方一定是比零点五的零次方要更小的，那么他也会同时大于零点五的 一次方。我的同学会纠结这个式子是从哪里来的？这个应该是依着依托于 y 等于零点五的 x 次方这么一个指数函数的单调性来写出这样的一个式子来的。所以至此我们就知道了，零点五的零点二 四方应该是一个什么呢？应该是一个二分之一到一之间的一个数字，对吧？那所以你就很明确的知道了， c 应该是比一小比二分之一更大的，那下面 b 已经比一大了，那所以 b 肯定是大于 c 的，对吧？那下面你唯一需要处理的就是什么呢？ 就是 a 这一项到底是比二分之一大还是比二分之一小就可以了，对吧？那所以这个处理我们之前我们遇到过，在上一个题里面，我们其实做过类似的一件事情的，对吧？ log 五二， 我们就把它简写一下吧。 log 五二，你知道的 log 五二应当是小于 log 五根号五的，那么 log 五根号五应该是等于二分之一的， 所以你就知道了， a 应当是要小于二分之一的，那这样的话，你就能很明确的看出来这里一个大小关系了，对吧？ a 比二分之一要更小， c 是大于二分之一，小 为一，然后呢，最后 b 是大于一的，那所以这里最后的答案也就选出来了，应该选择我们这里的一个 a 选项。那么通过这几个例题，带大同学们梳理了一下只对大比较大小的常用思路。无论是哪种方法，在做题过程中总是离不开只对函数单调性的， 这也需要大家多加练习才能够熟练掌握。在最后呢，我们把这几个题目的具体答案再给大家展示一遍。

今天我们来讲指数函数的高频考点比较大小。我们先看这道题，通过观察可以发现 abc 三个数的密词都是分式。大家回忆一下，在初中，如果我们需要比较根号七和三的大小，我们会把二者同时平方，也就是说同时平方不改变两个数的大小关系， 前提是两个数都是正数。所以根据这个原理，只要密字是分数的，就要先同时跟字密，这里的恩就是所有分母的公倍数。 还是这道题目，通过观察我们可以发现 b 和 c 底数相同，所以可以把 b 和 c 看成是以五分之二为底的指数函数的值。因为底数小于一，所以以五分之二为底的指数函数是单调递减的，而单调递减就意味着自变量 量和应变量是有相反的大小关系，所以五分之三大于五分之二，那么 f 五分之三就小于 f 五分之二。而 a 和 c 底数不同，密次相同，所以可以把 a 和 c 当成于 五分之二为密次的密函数的值。当密次大于零时，密函数都是单调低增的，那么利用密函数的单调性，我们就可以得到 a 和 c 的大小关系，所以方法就是 从底的利用指数函数的单调性比较大小。同密的利用密函数的单调性比较大小，但很多同学对于密函数的性质并不熟悉， 所以第三种方法我们就单纯的利用指数函数的单调性来比较大小。那么就需要了解不同底的指数函数的图像在同一坐标系内的位置关系。我们在一个直角坐标系内 画出两条单增的指数函数，两条单减的指数函数从上到下分别设为以 abcd 为 d， 所以当 x 等于一的时候，我们就会得到一个 abcd 的大小关系，这个大小关系就是在第一项线内底数大的指数函数图像靠上， 所以我们可以把 abc 看作是以五分之二为底和五分之三为底的两个指数函数。那么根据刚才的结论，我们就可以在同一个坐标系内画出两个函数的图像，然后再根据横坐标所在位置就可以得到 abc 的大小关系下课。

这道竞赛题呢，非常的难，百分之九十五以上的同学应该不会，我们一块来看一下，现在我们要比较这个负二的二百三十四次方与五的一百次方的大小。 第一步呢，我们应该先定符号，虽然这是一个负二，但是因为它是个偶次方，所以实际上它就是我们的二的二百三十四次方， 这边呢是五的一百次方不变。那现在呢，我们通常比较这种东西的大小，要么就把底数变成一样，要么就把指数变成一样，对吧？但底数二和五互相之间是没有关系的，所以没有办法变成一样，那就只能是把指 变成一样了。指数如果要变成一样，我们得看一下二百三十四和一百的关系，其实呢，他们应该只有一个公因数是二，我们在这可以把这个东西变成一个二的一百一十七次方 括号的平方，这个呢，可以把它变成一个五的五十次方括号的平方。但是有没有发现，这样变的话，虽然我们的指数最终都变成了一个二次方，但这个底数依然没有办法来比较大小， 对吧？所以第一个尝试失败了，那么第二个呢，我们要再去观察这个二百三十四和一百，会发现这个二百三十四呢，他能被九整出，而且他除以九之后，正好等于二十六 啊，那我这个一百呢，其实是四乘以二十五的，有没有发现二十六和二十五是比较接近的，对吧？那我们再这样来进行一个操作，我可以把它变成二的九次方的 二十六次方，这个地方可以把它变成一个五的四次方的二十五次方，好的，那二的九次方， 他是等于五百一十二的，所以这个东西是五百一十二的二十六次方，这个五的四次方应该是等于六百二十五的，所以他是一个六百二十五的二十五次方。有没有发现依然失败？因为我们这边的这个底数比这边的底数小， 而我们这边的指数比这边的指数大，结果一个小一个大，依然是没有办法来比较他们两个的大小的。如果是我们能够啊，这边的底数比这边底数小，这边的指数也比这边指数小，那就比完了。但是很遗憾这个操作又失败了， 那说明什么呢？我们还需要继续来进行变形，我们可以把这个二的二百三十四次方，先去变成一个二的七次方的三十三次方，因为七乘三十三是等于二百三十一的，我们在这二 二百三十四是不是还有个三次方，那乘上一个二的三次方，好，这是我们的这一部分，然后这一部分呢？我可以把它变成五的三次方，括号的三十三次方，然后再乘上一个五， 因为我们这个地方是不是九十九次方，再来个一次方就是我们的一百次方了。这时候大家再看一下，我们二的七次方应该是等于一个一百二十八的，所以他是一百二十八的三十三次方，乘上一个八， 而我们五的三次方呢，是等于一百二十五的，那就是一百二十五的三十三次方，再乘上一个五。这时候有没有发现解决了我们刚刚的那个问题啊？我们这个底数一百二十八比这边一百二十五要大，指数三十三次方，三十三次方是一样的，所以第一部分已经比他， 他的第一部分要大了，而我们的第二部分这个八比我们这个五是不是也要大啊？所以这边的两部分都比他大，那最终的成绩是不是就比这边要大？所以我们最终呢？在这应该是填一个大于号。