八年级下册第四章一次函数的思维导图

大家好，今天我们来讲解一下这个初中数学的一个学习方法，也就是要建立这个思维导图。很多同学呢，在数学的一个学习过程当中， 只顾着刷题，没有进行过总结。所以说我们今天就重点说一下这个思维导图应该如何来建立。首先第一点，这个思维导图他应该包括两个方面， 第一个方面，也就是这个知识点的一个总结。然后第二个方面，也就是简题技巧，或者说简题方法的一个总结。特别是在初中阶段，这个几何题很多， 他涉及到的这些如何做辅助线，那你这些如果不进行总结的话，你在考场上你是想不出来他应该如何做辅助线的。比如说我们平时总结的时候这简题方法，比如说你看到这个终点，那应该想到有有些长的一些做辅助线的一些方法，比如说背长中线法呀，或者说这个呃 三线火呀这些。那我们平时在做题的时候就可以把它进行一个总结。好，我们今天呢就主要讲解一下这个知识点如何总结。我们以这个依次函数为例，因为这个依次函数呢是我们在初中阶段第一次接受这个函数，所以说可能很多同学呢对这一章的一个学习，他有一点模糊。 好，我们先来看一下。首先这个依次函数我们在课本上第一讲，他是首先介绍一下这个函数的概念，所以说我们先把这个函数先把它写在这里。 那我们学习这个函数的目的是什么呢？因为这个函数他研究的是一个变量，也就是说我们处在的是一个变化的世界，变化的世界，而我们要对这个世界进行研究，那就需要建立一个模型。好，这个模型呢，当然有很多，而我们现在初步 学的呢，就是以这个函数，这个模型。好。然后所以说我们可以先这样给他做出来。好，做出来以后，那首先这个函数我们学习一个知识点。首先第一步应该要了解他的是什么了，了解他的一个定义，或者说他的一个概念。 好，那你那你做思维导图的时候，做到这一步，也就是定义和概念的时候，那你就可以在头脑当中回想一下自己能不能够回忆起来，如果说不能回忆起来，那这个时候你就需要翻书来看一下了。 好，然后函数的定义和概念学完以后，那我们第二步就是说函数，从书本上来说，他给出了哪些表示方法， 写到这个表示方法的时候，也要自己回忆一下，看能不能回忆起来。好，我们查含 速长的一个表表示方法呢，他就是以下三种，第一个就是列表法，然后第二个是减息法， 第三个是图像法。也就是说通过这三种方式，他都可以来表示我们的一个函数。好，函数过了以后，那就是我们这一张的一个内容了，就是依次函数。 那同样的，我们在学习一个新的知识点的时候，首先还是要先了解一下他的一个定义和概念。 好，一字函数的定义，它是什么？也就是说一般形式为 y 等于这个 k， x 加 b， 然后 k 或 b 都是常速，并且 k 不等于零。好， 这个时候我们就称之为他为一次函数，当特别的时候，也就是当这个 b 等于零的时候，那他就是一个正比量函数，也就是正比量函数。他应该是一种特殊的一次函数，他也是属于这个一次函数里面的内容。 了解完这个定义以后，那第二步这个依次函数很重要的一点就是要了解他的一个图像。然后第三个还有就是这个他性质 好。那这个性质是怎么得来的呢？他是通过这个图像进行过推导出来的。也就是说，比如说这个，我们知道当 k 大于零的时候，他的一个图像的一个方向应该是在这样的一个方向。 那同理，那如果说这个 b 大于零的时候，我们知道 b， 它相当于是有歪轴的焦点，所以说 k 大于零， b 大于零，那 他的一个图像大致就应该是这样的。所以说他，我们就可以知道他经过了哪些象限，也就是一二三象限。那你通过这个图像可以推导出这个性质。反过来，那你通过这个性质，那你也可以大概推导出这个图像。所以说他们是一个互相推导的一个关系。 好，这个是第二点。然后我们通过这个函数会进一步干什么？进一步会再认识一下这个方程， 通过函数对方程的进一步认识，也就是再认识。而我们在书本上呢，这 这几张涉涉及到的内容主要就是什么呢？这个函数与一元一次方程，还有一元一次不等式或二元一次方程组。比如说这个二元一次方程组，我们在之前的学习当中，主要是通过消元来减这个二元一次方程组， 那我们学了函数以后，还可以通过函数的图像来找他们的焦点，把这一个二元一次方程组剪出来。好，这一个方程呢，那我们也可以通过这个图像来进行一个表示。好。然后这个方程和图像那就是涉及到我们的一些具体的应用呢， 那应用包括哪些方面呢？我们在平时做题的时候就可以进行一个总结。首先比如说我们平时在做题的时候，经常会遇到这个依次函数与这个几何问题进行一个结合， 比如说于我们的四边形，然后还有三角形这些结合。然后还有什么呢？一些应用题，这应用题相当于就是与我们的这个实际问题结合，实际问题相结合。那这样的话我们来看一下实际问题结合。那我们我们再通过函数对这个实 问题进行一个方案的一个选择，也就是选择一个最佳方案，最佳方案，那这个最佳方案实际上就是我们刚才提到的我们解释这个变化事件，或者说我们在这个方案当中选择最好的一点。好 好大概啦，这个就是我们依次函数这一章的一个思维导图。所以说我们在平时学习的时候呢，就是要通过建立思维导图来回忆这些知识点，比如说他的概念呀，还有定义呀，还有这些图像啊性质，我们在做的时候就要在头脑当中进行一个回忆， 如果说回忆不出来的时候，那那我就需要我们再一次翻书。同时我们在做的时候，我们不仅是回忆书本上的概念，比如说这个回忆概念的时候，那我们也要想一下这个概念他一般会涉及到哪些题型。比如说他有可能给你画出 图，一个图，问你这一个图形他是不是函数，那我们就要根据这个概念来进行理解。当然他也有些是写出的这种减息式，比如说他写一个 y 的绝对值等于 x， 那问你是不是这个函数，那我们同样要根据这个函数的一个概念进行一个判断。 所以说我们在回忆的时候，不仅是回忆这个书本上具体的这个概念或者定义，同时我们还要回忆他这个知识点涉及到的哪些题型。

大家好，我们今天来讲解一下八年级下册第十九章一次函数的思维导图，这一张里面呢，他是这个整个八年级下册的重点内容哈，而且是难点内容。好，我们来看一下 第一个一次函数啊，他这个定义他是怎么样的呢？好，第一，第二个就是说我们学习一下函数啊，他是表示方法，他有列表法，有解释式法，还有图像法，有三种方法哈去表示，一般来说， 好，第二个一次函数，一次函数它有一种比较特别的，就是正比例函数啊，当它这一个 y 等于 k， s 加 b 中的 b， 它等于零的时候，就是正比例函数了， 他这个图像，他的一些特点，还有一次函数啊，形如 y 等于 k， 十加 b 这样子的函数哈，这个 b 等于零的时候，也就是刚才说的正比的函数， 那么它的图像，它的性质就是说这个 k 啊，它大于零的时候，那么这个 y 就随着 s 的增大而增大，但是这个 k 啊，它是小于零的时候，这 y 随着 s 的增大而减小。 这里要注意啊，特别的这里啊，他这个联系啊，就跟这个一元一次不等式，还有一元一次方程他的联系啊，啊，这个二元一次方程组，他们这个组合在一起，就是说他们两个啊，这个一次函数，他们的这个焦点啊，就是可组成二元一次方程组了。 好，第三个选择方案，这里是不是我们会选择一些最优的方案啊？他的步骤， 这是去分析实质问题中的这个建立这个函数它的模型哈，这个列出不等式或者方程，去求出这个 s 变化时候， y 的它的大小，结合实质去选择最佳方案，这里重点是一个思想，是怎么思想呢？转框的思想，还有就是比较这个函数值哈，解方程 在一个就是塑形结合思想，塑形结合思想，在我们这一个整个初中阶段呢，他都是比较重点的，而且是难点，但是却一些抽象的问题哈，他就是把这些变成具体化的啊。好，今天的这一个一次函数的讲解就到这里，谢谢大家。

大家晚上好，在直播的最后这个时间里呢，给大家小介绍我们今天讲解的内容，今天讲解的是第十九章一次函数，在这里我们会学到的有函数的定义，还有一次函数的他那个定义解释是还有我们的那个选择方案。 好，带着大家的话就是熟悉的一段我们这个书本的例题， 书本讲解完以后呢，就到我们示威导图的讲解。好，有我们这是函数的话，他那些定义的意义，意义，还有函数图像啊，他有个步骤列表，还有描点，还有连线， 还有我们的几个方法，有列表法，解释四法，还有我们的图上法，各个函数那些图上的他的 记忆图，还有我们的那个函数与一次一元，一次方程跟那个不等式的它的关系来解决。 四位导图讲解完毕以后呢，就到我们基础过关时时期的训练。好，在这里的话我们主要是 想想了一下选择题，这里的话有第七题的话，这个比较有意思，在这里的话我们要去跨这个图啊，然后就是根据这个含义的话，先把椅子的图上跨出来，然后再去找我们的那个条件。 还有第八题这里的话，他他会给一个数据的话，我们去找一下其实有四种的那个情况，这里我们这是挑选的话，其中只有图上只有一种是符合的。好，今天的讲解就到这里，感谢大家的收听。

大家好，今天的话我们来学习一下一字函数的图像，那么图像呢？在我们解题过程中呢，其实是至关重要的，如果说能够学会图像的话，那么解决很多的问题都是信手拈来。那么我们就今天来看到我们 第一个环节，在下列函数中， y 等于 x 的平方减三和 y 等于二 x， y 等于 x， 分之四与 y 等于二减五 x。 哪些是依次函数？我们知道 我们依次函数是 y 等于 k， x 加 b 的形式，然后 k 是不等于零的对吗？如果 b 等于零， 立否？ b 等于零，那么说 y 等于 k， x 就变成了依次 正比例函数，对不对？那首先我们来看到一次，你看首先他是二次不对，那么他是不是正比例函数呀？那么这个是不是应该是反比例函数？然后第四个的话是不是一次的函数呀？ 第一题是个二十，那第二个只有二，那么他说函数有哪些表示方法？是不是有图像法，列表法以及关系式法， 那么他们之间有什么联系呢？我们看三种方法是可以相互转换的。好，他说你能将关系式法转化为图像法吗？什么是图像法？那么一个问题对不对？ 那么现在我们来看到我们要画出下面正比例函数 y 等于 rx 的图像，那么这个图像我们应该怎么去描述呢？或者说他有没有一个流程可以参考？ 当然肯定是有一个作图的一个步骤。好。那么现在我们来看到第一个是干嘛呢？列表，列表怎么列呢？首先我们看到一个是 x， 一个是 y， 那么我们取这里的话一般是怎么样呢？取一个零点， 就是取圆圆点那个零啊，当 x 等于零的时候，然后 y 等于多少？你看然后是不是向两边取啊？ 好，最后我们得到这些点的话，我们要干嘛呢？是不是 变成列表法？那么现在我们叫描点。什么叫描点呢？就是以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。你看我们把直表坐标系描出来。好， 你看这描述了点呢？然后我们进行下一步是不是连线，把他们连起来。这就是我们画的图，并且要写上他的那个表达式。所以说我们可以归纳一下画函数图像的一般步骤是不是一是列表，二是描点，三是连线，对吗？ 那么现在我们来看到他说根据这个步骤画出 y 函数， y 等于负三 x 的图像。同学们可以在自己的那个草稿纸上尝试一下这个图像好吗？ 那么来看好，我们就可以很快速的得到 y 等于负三 x 图像。那么他们这个你看 y 等于二 x 和负三 x， 他们的图像是不一样的呀， 你看有什么特征对不对？一个是向上走，一个是向下走，对吗？ 我们可以得到 y 等于 k x， k 是长数，且 k 不等于零，是一条经过圆点的直线。你看经过的象线。 呃，当 k 大于零的时候，我们是不是可以经过一三项线？ k 小于零的时候，我们经过二四项线。那么这个的话是在我们以后做题中呢？是很普遍的。所以说我们一定要知道他为什么过一三，为什么过二四好吗？ 那么怎么画正比例图像最简单呢？为什么好？其实我们还有另外一种方法，叫两点做图法。由于 两点确定一条直线吗？画正比例函数的图像时，我们只需要秒点零零和一跟 k， 你看我把一跟带进去，是不是他 y 就等于 k 啊？他肯定过一跟 k 这个点，所以我们直接连线就可以了。 他说用你最简单的方法画出下列函数的图像，那么我们最简单的画是不是你看这个就很简单哈，是不是两点画图法呀？是不是直接画出来了，对吗？ 是不是就比较简单了，对不对？好。至于这两种方法呢？第一种我们是一定要掌握的，第一个是不是列表，第二个是瞄点，第三个是连线，有没有问题？ 那么现在我们来看到我们的立体环节，他说已知正比例函数图像 y 等于 m 加一乘以 x 的 m 的平方，他的函数过几上限对不对？ 那么我们知道他说正比例函数，正比例函数，那么我们知道他的指数肯定是一喽。首先我们 要干嘛呢？是不是第一要写解对吧？这第一步。然后是不是根据 m 的平方等于一，我们就可以推出 m 等于正负一，然后 m 等于正负一的话，前面的系数不能为零哦。所以说我们是不是 m 就等于多少啊，是不等于一了。所以说他是 y 等于二 x， 你看他这个 k 是大于零，我们知道 k 大于零的情况，他是不是一条爬坡的线呢？是经过一三向线，所以说他的图像是不是经过一三向线呢？ 然后我们可以看到哈，首先是不是 m 的平方等于一，而且 m 加一不等于零，这也是少了一个空好吧， 说 k 是要大于零的，然后我们可以得到过一三上线。那么第二题他说已知正比例，所以说你看正比例函数对不对？那我们 k 加一，首先我们就可以得到一个隐藏条件， k 不等于负一。然后他说落函数经过一三上线，一三上线的话，我们 k 加一是不是要大于零，那么 k 是不是要大于负一，对吧。好。所以说我们第一个空是不是可以得到 k 大于负一。 那么第二题若函数图像经过二次这个点，那么你既然经过这个点的话，那么你肯定会满足这个函数关系的事。所以说我们带路两倍的 k 加一是不是要等于四呀？那我们可以知道 k 加一就等于二，那么我们 k 是不是等于一，所以这个就比较简单了对吧。 所以说我们就是说如果你经函数图像经过这个点的话，那么他一定是会满足这个关系式的 好。那么现在我们看到编试啊，他说当 x 大于零时， y 与 x 的解析是是 y 等于二， x， 当 x 小于或等于零的时候， y x 的函数解析是他说这在同一大字尾。我们来看一下哈。哎，怎么没有图呢？那我们就来看一下喽，我们就直接自己画好吧， 我们刚刚是不是有学过两点画图法呀？那么首先我们看 x 大于零，好，那么就是这边他是，那么他一定会经过一二这个点。对， 这是一了，是二，所以 他肯定会经过这一个点对吧？他说当 x 小于零时， y 等于负， x 负的话，负一好负二。所以说他是不是也会经过这里啊，把他连起来就好了， 出一个这样的图像啊。就说虽然说这道题没有图像啊，但是我们需要自己能够把它给画出来，其实还是比较简单的。然后我们看到第三题，他说在同一只有 直角坐标系内画出正比例函数， y 等于 x， 然后 y 等于三， xy 等于负， x 和 y 等于负四 x 图像。这个图呢，就让同学们自己去 画喽，对不对？你看 y 等于 r x 对吧？好，这是 y 等于 r x 图，你看我们怎么去画他的？ 你看这个当 x 增大的时候， y 值也是增大的，有没有发现好，那么他说 y 是为 x 增大而增大。那么我们看到第二个图， y 等于负的。那么你看 他这里的话是不是 y 随着你看 x 是增大的，但是 y 是慢慢减小的，所以说是不是当 xk 小零， y 随着 x 增大而减小， 能明白吗？所以说我们就可以总总结出一个结论是什么呢？就是在正比例函数中有没有发现这个是前提， 如果没有这个前提，那么他一切的结论都是错误的。那么当 k 大于零时， y 随着 x 增大而增大，当 k 小于零时， y 随着 x 的增大而减小。 这个时候呢，我们就可以判断他们哪个值跟大呀？或者给你两个点判断他们的大小关系好。那么现在我们来看这个 正比例函数， y 等于 x 和 y 等于三， x 中随着 x 增大， y 的值都增大，其中哪一个增加的更快呢？你能说明其中的理由吗？ 对不对？这个题目呢，我们就当成一个课后作业，然后自己可以去画一下这个图，然后我们就可以看得出谁更大，然后就可以得出自己的规律了。 向我们看 k 的绝对词越大，直线就越陡，直线就越靠近歪走，相应的函数值上升或者下降的越快。我相信这样结论型的东西肯定是没有说自己总结出来的好嘛，所以说你同学们可以自己尝试一 下。好，我们来看到这里。当 k 相等时，图像是关于坐标走势对称的，有没有发现呢？那么两种颜色的就是同一条直线哈。 好。那么现在我们来看到这道题，他说呃，已知 k 大于零，对不对？他说两点， x 一小于。我们知道 k 大于零，是谁在 x 的增大而增大，那么 x 二更大。所以说我们就可以得到 y 一， y 一是不小于 y 二呀。那么第二题 证明函数 y 等于 k e x。 那么我们是刚刚有讲到，就是说他的 k 的绝对值越大的话，是不是升上升或者下降的越快呀。所以说我们是不是可以得到 k 一是大于 k 二。 那么第三题他说已知呃，这个过这个点对不对？然后且 m， 且 y 随着 x 增大而减小，那么我们可不可以得到一个。其实通过这一句话我们就要得出一个什么呢？是不是我们 m 是小于零的呀？那么他又经过这个点带路呗。 m 的平方等于四，然后 m 等于正负二，因为他 m 要小于零。所以说我们就可以推出 m 是不是等于负二。除了这道题是不是做出来了。好，我们来看到步骤哈。首先解 是不是 m 等于负二呀？其实这个还是比较简单的哈。然后我们看到这一题，他说下列图像 y 可能是函数 y 等于负 x。 首先我们来看第一个肯定不对，因为他远点都不过，那么 第二个的话是不是他的 k 是小于零的，然后他是随着 x 增大而减小，所以说我们是不是答案就可以出来了？第二个选项。那么第二题正比例函数 y 等于 k 减二 x， 当 x 增大时， y 随着 x 增大而增大，那么增大和增大说明 x k 减二是要大于零了。 所以说是不是 k 大于二啊，有没有问题？所以说我们这题的答案可以选择到三 c 选项。好，那么看到这个题，他说经过第几项线，过 什么点什么点，对不对？好，这题的话我们是不是可以知道他肯定 k 小于零嘛？首先我们知道 k 小于零，是不是经过二次上线了，然后经过零零这个点，然后经过一和负七， y 随着 x 增大额减小，对吗？ 让我们看到第一题，他说函数经过一三上线，一三上线的话，我们知道 k 是大于零的，所以说二 m 加四要大于零，那么 m 是不是大于负二？ 好，所以说第一题是把 m 大于负二，他说减小，那么反过来就是 m 小于负二。他说要经过这个点话，那么我们把把这个点带入了 rm 加四是不是乘以二等于十，然后我们就可以得到 rm 加四就等于五， m 是不等于二 c。 最终我们是不是可以得到 m 等于二分之一啊？那么来看到这个比 k 的值。呃，其实这里比 k 的值需要注意的一个就是说什么呢？ 呃，我们看 k 一跟 k 二。首先我们来看 k 一， k 二可以跟 k 二，谁下降的更快呀？是不是？我们可以知道 k 一的绝对只 是大于 k 二的绝对值对不对？然后他们是减减小的，所以说我们可以得到第一个是不是 k 二更大，这里比较关键哈，因为他绝对值大嘛，负数的绝对值大，所以说他的值反而小啊。第二个三跟四的话，那么他们就是四大于三咯。 用不等号我们去连接，他说一二三四就。那我们你看这个是正的，这个是负的，不就直接就可以连起来了对吧？这就比较简单哈。 好。那么现在我们看到第五第六题了。已知。嗯。耗油量是每千米一十五升，所使用的汽油是五元每升，写出汽油在行驶中，你看 所耗油费与行驶 x 之间的关系对不对？耗油费那么首先我们可以看怎么他说 x 对不对。 那么我们可以这样算呗，是不是一百的话我们就乘以十五，那么 x 除以一百乘以十五，然后再乘以五啊。那我们可以这里可以约下分对最后的结果的话是不是二十，这里是三，然后这里的话约个五是不是四， 然后就没，是不是等于四分之三 x 啊，对不对？ 好，现在我们来看到第二题啊。第二题他说在图像，然后行驶二百二十千米所需要的邮费。好，那么现在我们来看到这个图哈。他当他列出图之后就特别简单，我们带路嘛，是不是就比较简单了，当 x 等于二百二嘛。