求值域的方法分离常数法

首先这东西哈，我们叫分离常数，就形如什么类型？形如这个分子，这里，这里是干嘛？一个 a c 函数，这里是什么？一个 e c 函数，是不是？嗯，但是我不希望看到分子有 我的目标是什么？我的目标是什么？目标是是分子无 x 好不好？那么分离它？分离这个常数的方法是这样子的，注意听哈，分母是谁？ 分母是谁？就是这个 x 加一，那么请把分母抄一遍，然后把分母再抄一遍。 抄两遍可不可以为了横等变换，你看原本这个分子的 x 的系数是谁？是不是二？嗯，那这里会保， 保证去括号之后是二，前面要乘个谁哦，二是不是跟得上吗？那么这里去括号，这里是不是多了一个二？多一个二就要干嘛？是不是减一个二，然后这个三是不是原本就有的？嗯，跟不跟上，然后化减下这个四就变成了什么了？ 这里就变成了这个二 x 加一，然后你干嘛？是不是加一，除以 x 加一？好，把分子拆开， 就变成了二 x 加一，除以谁 x 加一，加上谁 x 加一，分是谁除一，这里有多少？这是二加上谁？ 你看分子，我们达到我们目标，没有分子，没有谁，是不是做到了？这个过程叫什么？分离常数？各位家长，谢谢。好，这边按个暂停，然后 做个笔记，然后重重做一遍，从这边等下我们举一反三。怎么回事哈，我们来看画完重新自己画一遍之后那个词语怎么求的。首先因为这个式子 这个地方一加这个一，除以 x 加一是不是不等于零的？是不是？所以呢，这个加满二呢，就会不等于谁？ 是不等于二，所以就是说这个值域是干嘛？是 y 不等于二。各位各位小学生好，画图，然后再交往。我们 其实刚刚总结下那个方法哈，就是分母抄一遍，分母再抄一遍，再把分子凑出来就可以了，是不是？好，我们看到一道例子看，看到一道例子啊，请大家把这个给我求个值，欲 把分母敲一遍，把分母再敲一遍试试。看 来时间到了哈，我们来看看。首先是分母超了个三 x 加一，这就是超了个三 x 加一，为了使得分子的这个系数为谁是不二，括号前面要乘以谁， 是不是三分之二？嗯，好，三分之二一乘进去，这里是不是多了个三分之二？嗯，多一个数在干嘛？减一个数，哦，这个减一原本是不是就有了那一化减数变成了这样子， 这里负三分之二跟减一是变成负三分之五，然后分子拆开就是变成了这样的，然后这里就变成了三分之二。个码减去三， x 加一分之谁三分之五，因为他不等于谁， 不等于零，对不对？所以这个不等于谁，是不是三分之二，理解了吗？嗯，好。然后星系的同学会发现，三分之二正好是 x 的系数跟 x 的系数，是不是？嗯，好，上一道题，这里他不等于谁，所以不等于二。最后答案是 y 不等于二，对不对？这里 x 是不是？是谁是不是一？这里谁是不是？谁 是不是啊？所以当我们用公式去推导的时候，就可以推出一个结论来，这个地方假如我把它改成 ax 加 bcx 加 d， 按照公式去推导之后呢，就会发现他就不直接不等于谁，是不是七分之 a？ 是不是？是分子跟分母？这个 x 的什么是不是系数，明白了吗？但是，呃，偷懒的情况下，你可以把这个结论记下来，以后做选择题，很快，但是我关键是要教会你这个分拆的技巧，因为等一下要画图，你不会分拆，你就不会画图，明白了吗？ 可以把这个结论记一记，以后做选择填空题的时候可以快很多。这个推导过程有兴趣可以记，没兴趣可以不记，直接记第一行跟最后一行就可以了，是不是？但是刚刚那个例子那些你一定要会分开， 那么接下来求职就已经解决了，是不是？尤其是有这个简便公式，是可以特别快，那接下来怎么样去画图呢？那我们回到前面来总结一下哈，分子分母都是依次函数的方法，叫分离系数法啊，分离长数法，说错了，打错 长数好，然后令分子 vx。 那么关键是这个图该怎么画出来呢？好，其实这个图呢，我们在初中就学过一个一个函数叫什么反比例函数，我们先做个回顾，好不好看，怎么画？比如说大家看到这个图没有？ 看到这个图了吗？这个是一个反比例函数 k 什么数？是不是正的过什么上限？是不是一三？是不是靠近 x 轴永不， x 轴跟 y 轴永不相交，是不是？是不是？好，那如果分母加个一呢？ 左加右减，是不是形成一个什么什么什么关系，是不是左右平移？所以怎么样平移呢？我们是不是在这里画条什么线，是不是虚线？相当于把这个歪轴是不是平移过来？ 是永远靠近永不，干嘛就香蕉。那么如果在这里 x 减二呢？是往右平两格，永远靠近，永不相加。如果在外面再加一个数呢？如果再加多一个数呢？ 是不是上下平移？是不是？所以分拆成这种目的的话，其实是为了方便 画图，然后刚刚这个地方我分拆成了什么？是不二加谁？ x 加一分之一，是不是？那我画图的时候呢？大家养成一个习惯，先分拆。如果我要画出这个图， 我该怎么办？我们首先是先画哪一个图片？画最基础的，谁就二十分之一，二十分之一过什么上限呢？ 是一三象限可以吗？好，永远靠近，永不相交。好，那么现在他加一呢？往左边平一格，加二呢？往上往上平两格。所以我们看怎么样去画这个虚线啊？我们尽量用尺子铅笔画好一点 啊，我们重新划走一次，用尺子跟铅笔尽量画工整一点。刚才说往左边拼多少格？ 这个是画条虚线。这是谁？是负一好往上两格呢？就这样子 可以吗？这里是不二跟不跟上？嗯，然后永远靠近，永不相交，是相相当于还是一相上线？这样子是不是类似于这样？可以理解吗？永远靠近，永不相交，可不可以理解？我现在这里看着有点相交哈，不要介意。 可以可以理解吗？明不明白？所以如果你不会分拆的话，你是画不出这个图来的。 听没听懂？那么画图是为了什么呢？等下会告诉你，大家先尝试着自己把这个图自己再画一遍，动手。你们为什么是往左哈左加右减？ 左边的左左加右减，左加右减的意思是指原本这个 x 发生了什么变化？ x 是不是换成了 x 加一 啊？上下下剪是指什么？是外面，在在外面的的上下下剪，下剪可以吗？上下下剪，哎呀，错失了可以吗？有问题。那画这图什么用呢？很快就知道了。 呃，我们学函数有个特点，就是这个计算很严谨，画图要非常好，那么很多题目都可以很轻松的做出来。呃，比方来说，我们来看这道题，一个一个同学的一个考试题目来的。 y 等于 x 加二分之三在零到五上的最大值跟什么最大值？就 x 属于零到五了 是不是？好，只要你把这个草图画出来就很直观的。这个图该怎么设计？其实其实就是哪哪个图 y 等于谁？是 x 分之三，这个是不是反比例函数？嗯，如果一三上线的把它变成谁，就变成了 y 等于谁。 x 加二分之谁是三，往往哪边平移，左加 右键往左边多个单位，两个单位把图画出来，然后去找那两个点，一秒试一下，把你们动作试下，造题。 好的差不多了哈，我们一起来。画完了，我们一起来，其实就是把左边这个虚线还是要画的哈，记得拼多少格是不两格，这里是负二对吧？啊，那个图像画出来的是不是这样子？可不可以？ 那他问什么是不是零到五的？什么 x 在哪里？是不是零到五的最大？这个最好是，这是零，这是干嘛？五可不可以零？所以这一段是不是单调地什么的是不是递减？那么也就是说当 x 为多少 为零的时候， y 是取的最大值， y 有多少，再进去是二分之三，明白吗？当 x 有多少为五的时候， y 是取的最小值多少 啊？我带进去多少就是七分之谁是不是三就两个结果自己加就可以了，明白了吗？记住，有图会让我们学数学的时候特别的安心，会特别的安心，所以你平，你平常学任何函数，第一件事情很关键的就是要学会干嘛？ 画图，画图可以让题目变得简单、直观，简单而且很直观，而且非常重要，明白吗？好，那我们逐渐把题目再变得再复杂一点，好不好？再复杂一点，呃，同学们来看这道题， 再告诉你， y 等于二， x 加二分之二， x 减一对不对？一算数，一算数，然后告诉你，这里有两问哈。第一问是告诉你 x 属于五到十，好，在这里都是求值欲的。 好，然后现在这里告诉你 x。 第二个问题，告诉你什么负三到负二并上，负二到哪里？到一，是不是也是求什么值欲，明白吗？那我们关键是要把它图画出来，要画了图，我们首先要把它进行一个分离，长竖能不理解？ 好，请完整的做一遍呢？给我检查一下，把图画好看点，尺子，铅笔，橡皮擦。嗯，这个分离常数应该很熟练呢， 就是分子跟分母干嘛就抄一遍，分母干嘛再抄一遍。加个括号好不好？前面要乘以多少就乘个二，就是，那么去括号是不是多了个四？是不是要减四？减四，再减，再减个谁？ 整个一可不可以？可不可以唱？就这里一变，变成什么了？就这里，这里会变，这里一拆开变成什么了？说，是不是二，干嘛？我写快点加上谁 x 加二分之谁是负，嗯？对不对？好，那么这个该怎么样去分拆它呢？我可不可以现在 先画了一个谁 f x 分是谁是负，然后再画了一个谁 x 加二分之谁，是不是往往往哪边平移？是往左边平移，然后呢？再往干嘛？ 再往上干嘛？两格，可不可以理解啊？这意思好，所以最终画出来的图是什么样子的？ k 次复数过什么象限，什么象限？是不是一二次象限，明白吗？来画曲线的时候到了， 这是负二好，往上平移两格，这里就是二好，已经分拆出来是二，加上 x 加二分之负五，是不是拿出 x 分之负五，然后往左平两格，再往上平移两格？我们是先画好了虚线，他们这里是负五和， 是过什么？是不二次降线，所以画出来的草图是不是应该是这样子的？可以吧？好，然后他要求第一问，是要求这个 x 属于哪个地方，是不是五到哪里十？这五到十，从这个图来看的话，他是 d 什么的， 是不是递增呢？可不可以递增的话，那么只要带这个 x 的两个端点去算 y 就可以了嘛？是不是？明白吧？当 x 为为五的时候，这个 y 是不是取得最小值？是不是？当这个 y 等于谁 是十的时候，他是不是取了这个？呃，这个，这个 x 等于十的时候， y 是不是取了什么值？就这样子告诉我，这个刚刚最小值是谁？谁？ 这个最小值是七分之九是吧？好，然后最大值呢？十二分之十九，十二分之十九。所以呢，第一问的结果， y 属于哪个范围？ 就是七分之九到哪里？十二分之十九，明不明白？可以理解吗？好，那我们看第二问，第二问的话他说 x 属于哪个地方？ 就是这个负三到哪里是负二，那负三大概是在这个位置， 可以吗？然后负二是不是这里？那么图像的话是不是往上走的？这一，这一小段是不是这一段？嗯，对不对？他是，他是一直靠近负二，是不是一直往上走？嗯嗯。有没有最大值？没有，没有，是不是有个最小值？嗯，最小值，谁是不是负三？ x 为这个负三的时候带进去歪了多少？ 是不是七？七跟不上？嗯，所以第一段是不 y 干嘛？是不是大于谁？是不是七？嗯，那还有一段负二在哪里？一，一大概在这个位置，然后是一，好不好？是不是？图像？是不是 这一段？是不是？他是不是一直往下走？是不是没有最小值？但这里是不是有个小小的一个大值？是不是？好，我们算一下当 x 为一的时候， y 有多少 站进去动作快点，三分之一，三分之一，三分之一。哈，那看这个图，他这里是不是一直往下走？ 是不是？所以歪干嘛？是不是小于谁？是不是三分之一？明白，没有。所以就合在一起是什么？就第二问，合在一起什么意思？父，无穷。

分离常数法秒分数之域，第一个一次项系数比三比一，所以 y 不等于三。第二个一次性系数比一比一，所以 y 不等于一。第三个一次项系数比负，一比二，所以 y 不等于负的二分之一。 那二次型的二次项系数比负，一比正一，那是负一，这是开区间长数项之比一比一，这是 b 区间。第二个二次项系数比一比一，是一个开区间 那么长竖向支笔三比一，是一个 b 区间。最后一个二次向细数笔一比一，这是一个开区间那么长竖向支笔负一比二，这是一个 b 区间。秒掉孩子们，分离长竖法怎么证明？评论区留给你！

分式函数求值域是其中期末的一个必考知识，也是其他模块的一个重要考察步骤。那么今天呢，这个视频就给大家讲一下分式函数如何求值域。好，我们上来看第一个题， 上边是二， s 加三，下边是 s 加一，中间是分式分数线，然后求外的取值范围。这题我们可以怎么去做呢？可以把上边去凑底下的倍数写成二， x 加二，然后再加一，把这个三拆开，那这样就可以写成 x 加一分之一，加上一个二， 这个我们可以认为是由 x 分之一向左平移一个单位，变成 x 加一分之一，再向上平移两个单位啊，变成这个东西。所以我们知道第一步来说的话，因为图像的左右平移并不会影响它最大值最小值变化，所以到这为止还是外部等于零 啊，然后它再向上平移两个单位，就会变成外部等于二。给大家画一下图像来说的话，你看 x 分之一是这个样子的，然后 x 加一分之一啊，是这个样子的 啊，然后向左拼一，我画的不太标准啊，但是再向上拼一两个单位，那就是这个样子，你会发现只有这条线，也就是二，这条线是取不到的，所以说它就是整体来说，它的答案是 white 等于二。 当然如果说你想更简单的做道题，比如说一秒就做出来，那你也可以记一个结论，就是当你遇到的式子是 y 等于 a， x 加 b， 比上 c， x 加 d 的时候，那它的值域就是 y 不等于 c 分之 a 啊，就是这个。所以第二个你看二， x 减一， x 加一， 这是二，这是一，所以说他的值于什么？外部等于二，当然得是符合这个形式，上下其次都是依次才可以这么去做， 大家明白吧？然后如果说上边比底下次数高了，我们该怎么去办？比如说我们来看这个题，上边是二次，底下是一次，那这个时候呢？如果上边比底下次数高了，我们就不要去凑底下的倍数了， 先去凑底的平方，比如先去凑 x 加一的平方，这就是 x 方加上二， x 加一，但是后边是三， x 加三，对不对？所以还差一个 x， 还差一个二，但这个二呢？可以换成加一。加一。为什么要这么做？ 就是我们要去凑底下的平方，底下的倍数啊，直到最后上边没有变量。比如说这可以写成 x 加一，加上一，再加上一个 x 加一分 之一，也就是你的这个位置，你的这个位置，他不要有变量，最后只剩长数，你就可以停止了啊。 比如说有的同学在这写到了什么呢？ x 加一，加上 x 加一分之， x 加二，他就不会做了，他觉得，哎，这没办法去求了呀，你要做的事，最后上面只剩下长数，那这样子的话，加上一个 x， 加一分之一，再加一。 如果，哎，看过前面视频的同学应该知道，这就可以用基本不等式了，因为他是大于等于二的。但是我们要注意一个点，基本不等式的使用条件是全正，但是这个时候他很显然他是可以取到负的， 对不对？它是可以取到负的，虽然，哎，它的定义是 x 不等于负一，我们可以不考虑为零的这个事，但是它是可以取到负值的，所以，哎，这是一个非常明显的对勾函数，对勾函数是涨 这个样子，因为形状像对勾，所以我们这么称呼他，他是关于圆点是对称的，那比如说这是二，这就是负二，所以说如果你是大于等于二的，那你就是小于等于负二的，两边各有一个范围。那最后外的答案就是什么呢？外大于等于三或外小于等于负一， 大家明白吧？也就是再加上个一，给他加一，给他加一就可以了，那最后答案就是这个东西啊，大家会做这个了吧？ 在这需要注意的点就是什么呢？一定要考虑两种情况，那如果说是上一下二的，如果说上边是一次，下边是二次，比如我把这个东西颠倒过来，那你不就没有办法去像这么去做的吗？ ok， 虽然他没有办法向上面这个题去做了，但是我们上面这个题都会做了，底下和上面互为倒数，我们把四变成三去做不就 ok 了吗？ 也就是把它变成外分之一去做，那你的外分之一的答案是不是有的呀？对不对？所以那你看。但是变成外分之一的时候，我们先考虑一个事情，就是外是否能为零，因为如果他变成分母的话，他是不能为零的，所以你看另， s 等于负一是， y 是等于零的，所以可以取到，可以取到这个，哎，那么，哎， x 不等于负一是， 那你是不是就是 y 分之一等于 x 加一分之 x 方加三， x 加三，那你是不是就相当于 y 分之一大于等于三，或 y 分之一小于等于负一。那你这个时候再去求 y 的范围是不就可以了？ y 的范围怎么求啊？你看取中间，这时候假设横着，这是 y， 这是 y 分之 一， ok， 他的作，他的图像就是这个样子的。那你看这是三，三对应的是多少？对应的外置，当外等于三分之一的时候，外分之一等于三，当外等于 负一的时候，对不对？然后，哎， y 分之一等于负一，所以说，那你看他取的是什么？哎，比三分之一，嗯，你看 y 分之一，比三还要大，然后比负一还要小， 也就是这个外分之一的范围。你看外，这个是外分之一的值，他是往上走的和这往下走的，那你对应的外值是不是取的是中间这一部分？中间这一部分啊？所以说，那我们就可以得到一个事，就是外是什么呢？小于等于 三分之一，对不对？大于零或者是 y 小于零，大 等于负一，对不对？所以说得到这个答案，最后两种情况是要干什么？是要取并级的，所以综上所述，综上 从上的话，那你就是 y 的范围就是什么 y 小于等于三分之一，大于等于负一 啊，我这还写错了，要注意主源啊，这别写成 x， 这是 y， 嗯， 就这么回事，大家明白了吧。所以说最后答案就是你也可以写成这样，负一到三分之一啊，区间的形式，集合或区间都 ok。 那么这个题如果说你感觉哎万分之一，那我能不能不变成万分之一呢？他其实原理不变的情况下，我们还可以换一种写法，就是他可以写成什么呢？上下同除以 x 加一，上面是一， 下边就是 x， 方加三， x 加三，比上 x 加一啊，你会发现原理是相同的，依然是通过求出它的取值范围，再求出一个整体的取值范围，大家明白了吧？

下面呢，我们来看一种求函数指域的方法，叫做分离长数法， 那么我们在高一函数的学习当中呢？呃，经常会遇到求函数值域的问题，那么其中有一类方法叫做分离长数法，这种方法主要适用于分式结构的函数， 那么下面呢，我们就具体的举两个例子来看一下如何使用这种方法。首先我们来看第一个， 第一个函数是 y 等于二， x 加三，比是 x 加一，其中 x 是有范围的， x 是大于等于一的，那么像这种分子分母都是一次函数的，我们可以使用 分离常数法，那什么叫做分离常数法？那就是我们把这个表达式当中分子当中的这个 x， 把它分离出来，把这个长数分出来，分离之后让分子不含有变量。 好，我们具体看一下怎么去操作。二， x 加三，比上 x 加一，那么怎么把这个分子当中的 x 给它分离出来，我们可以把分子凑成和分母一样的结构， 那下面是 x 加一，那上面呢，我把它，我们把它凑成跟 s 加一的倍数相关的，那就是二， x 应该是加二再加一。 好，那么我们把它拆开，拆开来写就二， s 加二，比上 s 加一就等于二，再加上一，比上 x 加一， 这样我们就把这个长数分离出来，分离之后分子就不含有变量 x， 然后我们再结合现在的这个函数的单调性来求对应函数的值域， 那么后面显然是一个反比例型的函数，那这里边我们要注意注意什么呢？ x 有范，这个 x 是大于等于一的， 那我们这里边可以根据 x 二点一，我们整体求出 x 加一的范围是大于等于二， s 加一大一点二，这个整体大一点二，那么再取倒数，他的范围应该是什么？ 我们把 s 加一看成整体，他是一个反比例型的函数，我们结合反比的函数图像看反比例函数，呃，我们假设 s 加一等于 t 的话，那就是梯分之一，这个梯是大于等于二的，我们看 二，在这那等于二的时候，对应的函数值是二分之一，那么大于等于二，他这函数值应该是二分之一，到哪呢？越来越小，接近于零，因此这个是 x 加一分之一， 他应该是在什么范围里呢？应该是在零到二分之一这个范围。然后我们再加一个二，前面就是二，加上一比 s 加一，这个范围就应该是 是二到二分之五，因此我们第一个题他的直域就是二到二分之五。 好，我们接着再来看一个题。第二题，第二题， y 等于三减 x， b 上二， x 减一，求他的指欲，呃，求他的指欲呢？我们仍然可以使用分离长竖法， 那么把分子凑成和分母一样的结构，分母是二， x 减一， 那么分子我们看把 x 拿前面来，负， x 跟下边乘倍数，那么这个应该是加一个多少呢？是不是应该加一个二分之一？由于原来 三，那后边再应该加一个二分之五。好，那么把前面这个整体和下边相除，我们得出来一个，有一个长数是负的二分之一，再加上后边是二分之五，比上二， x 减一。 好，那么求这个函数值域，这个函数前面是个长数，后边这个表达是不等于零，所以整个这个函数就是 y 不等于负二分之一，所以就是 y 不等于负二分之一，他的值欲 好，这就是利用分离常数法求函数之一。

话说求函数指月的方法中用的最多的是哪一个呢？哎，没错，分离常数法。什么分离常数法你都不会，赶紧把视频看完。所谓的分离常数就是通过拼凑变形，将分式函数写成只有分布有位置数，分子没有位置数，然后加上一个常数的形式。那具体怎么操作呢？比如这道题， fx 我们可以去进行拼凑，下边 x 加二，上边凑一个 x 加二。那当然我们加了一个是叫减四， 后面还有减一等于二，减去 x 加二分之五，就将 fx 分离，长了分子没有位置数，分母有位置数，然后加上一个长数的形式。接下来要求直率，就是砍瓜切菜，所以直率一到七分之九，你学会了没有？明天我们开始上难度。