5阶麦克劳林展开公式

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

同学们，上个视频我们学习了什么是胎的公式，现在我们来研究一下胎的公式，它最常考的两种鱼像和它的麦克劳林展开式，这里只看其中的两种。第一种菲亚诺鱼像，那它就应该等于 这个。还有一种鱼像是拉格朗日鱼像， 我们要对他进一步的去求 n 加一接导和求 n 加一次方，这不 或中间不再取 x 等于 x 零，而是要取到 x 与 x 零之间的一个数克赛。对的克赛，我们认为介于 x 与 x 零之间的。什么叫麦克劳林展开式呢？就是不再取 x 等于 x 零，而是令 x 等于零。那麦克劳林展开式 fx 就应该等于 f 零加一的接成分之 f 零的一接到成 x 加 二的接乘乘 f 零的二接到乘 x 的二次方位置加， 加到。加到什么呢？加到 n 接成分至 f 零的 n 接到成 x 到三字方加一下， 当然前提是在零处他的 n 街道要存在。我们来看这里与麦克劳林有关的拉格朗日鱼像就是应该等于 这里的可赛就介于了零与 x 之间 n 加一的接成分之 f c x 的 n 加一接导成 x 的 n 加一次方。注意这里的 ct 是大于零小于一的。

同学们，我们接着来看上海 x 的带佩亚诺鱼像的麦克劳林展开式是什么样子的。我们先来计算一下 f 零 f 零三零等于零，然后他的一阶倒 fx 一撇等于扣三 xfx 四四阶倒等于三 x， 我发现又转回去了，所以说它的导数是四个易循环的 fx 等于 sanx。 展开成麦克劳林公示以后就是 f 零是零，加 f 零一撇扣赛零是一，继续加 f 零，两撇又是零，继续加。按揭导就是负的扣赛零就是负。一点三的接 阶层分之一 x 的三次方， f 零的四阶倒又是零，这里又变成正的了。加五的阶层分之一 x 的五次方的减 七的阶层分之一 x 的起四方，那加九的阶层分之一 x 的九字。最后就是负一的 n 减一次方， x 二 n 减一次方，比上二 n 减一的啊，接成 加一个比 x 的二人减一更高阶的无穷小。

同学们，今天我们来看一下常见的一些函数，他们带比亚诺鱼像的麦克劳林展开式是什么样子的？这些要求同学们一定要背过。先看第一个， f x 等于 e x 方，我们先来计算一下 f 零， f 零等于一个零四方，它是等于一，那这个函数它的一阶倒一直到 n 阶倒都是它本身。所以说 fx 的一阶倒等于 fx 的二街道一直等于 fx 的 n 街道都是 e 的， x 放 f 零一街道也就等于 f， 零的二街道也就等于 f 零的 n 街道都是等于一的。带入麦克劳林同事，以后，那 fx 等于 x n 字方，加上比 xn 字方更高阶的啊，一个无穷小，你学会了吗？

泰勒公式计算极限需要展开到多少阶？很多同学在复习极限的时候都会出现这个问题，用泰勒公式展开到多少阶算极限呢？咱们今天就彻底用几个题目搞定他。 这是今天要讲课内容的目录。第一，预备知识，告诉同学们要掌握这一节的内容需要掌握哪些预备知识，提前先准备好。第二，重点开始讲解泰勒公式展开接触是怎么确定的。第三，还有最粗暴的方法，一个一个来说，先说预备知识， 预备知识那提前先学好。首先呢，用泰勒公式计算机械，咱们得知道一些简单的泰勒公式吧，尤其是含有佩亚诺鱼象的麦克劳林公式，这些是最为常见的。当然泰勒公式有很多很多呀，可以认为有无穷多个， 我列举出来的这几个呢，只是非常常见的，同学们不单要会这几个，建议同学们还要多背几个泰勒公式，比方说 assign 的呀， 还有 arctantent 呀，还有 tantent 的。嗯，你最好你可以考虑把 cotantent 也能写出来，但类似的你可以把它都写出来。 所以这些呢，建议同学们也要多储备储备，以防万一。那这些我没有写，因为这个涉及到其他类型的泰勒公式展开的内容不在咱们今天讲解的范围当中，所以今天咱们重点讲解泰勒公式怎么确定展开几阶的。 之后呢，还会给同学们单独录制一期泰勒功是怎么展开的细节告诉同学们，给你一个函数，比方说 ah， 看真的 sign x 怎么展。 这个呢，同学们也可以自己先学好，进一步的再往下。第二个需要掌握的预备知识是高阶无穷小的运算，因为这里边会涉及到高阶无穷小 下列式子当中啊，出现 o 一星均表示一星的高阶无成效，这个也是咱们常见的表示形式，来看看吧。第一个， x 区间于零的时候， ox 比 x 的极限等于零，这个非常常见，而且这个有公式的意思， 还需要保持形式的一致性。也就是说，如果我们把这个星号写成方块也是可以的， 但只要这里边这个方框区均于零的时候呢？方框不能等于零就可以了，所以你可以把 x 换成方框，你甭管它是 x x 方还是三 x， 哎，满足，所以这个可以当做一个公式来记忆。第二一个， o x m 次方加减， o x 的 n 次方等于 o x p 次方，其中 p 也等于 m n 当中的较小者，这个是啥意思？这加减怎么就等于 p 次密了吗？ p 还是 m n 当中较小的那一个，这实际上就是所谓的低阶吸收高阶。举例子， o x 加上 o x 的平方等于 o x， 它可以放到这里边去， 但你高阶的吗？高阶比这 ox， 那说明你的级别更低，更快、更小，所以你就放到 ox 里边了，所以这就所谓的低阶吸收高阶。进一步的再往下后面罗列的这几个呢，是乘法以及乘方的，看这两个相乘 次密呢就会相加，这两个相乘次密也会相加。如果 x m 次密的高阶无穷小，再摁次密，那就是 x 的 m 乘 n 次，那这跟咱们中小学算的那个运算法则是类似的，就这几个得额外记住。另外还有一个除法的除法，这里要注意 o x m 次密除以一个 x n 次密等于 o m 减 n 次密， 这里要求 m 要大于等于 n 啊，要不然的话，这就不能这么写了，而且注意这个除法只有他同学们可以思考一下 这个式子对吗？ 但是你可以思考思考，那告诉同学们这式子是错误的，所以这也没有总结它， 所以这些高阶无中小的运算呢，非常有帮助。不要小看这些高阶无中小的运算，在二零一三年，同学们可以查找一下真题，就考察了高阶无中小的运用。 哎，我记得那一年是数三考的，感兴趣你可以看看，就真题就考过，判断下列哪个是正确，哪个是错误的那种题。好，这是基本的知识。进一步的再往下咱们来看重点内容，泰勒共是展开的接数怎么确定的？ 泰勒公式应该展开到多少阶呢？很多同学都听说过，应该展开到分子分母同阶展开多了呀， 浪费感情，不节能减排，不环保。展开少了呢，精度不够，计算一定会出错，所以你得展开到刚刚好，刚刚好就知道分子分母展开到铜接，而且这里面这个铜接需要注意，展开成泰勒公式，并且化解之后呢？铜接指的是最第一次密的，密数相同 哎，你也可以理解成他们展开造分子分母都有 o x 的 p 词密都有，这个也是可以的。说，那什么意思？这句话是啥意思？罗列几种情况给同学们详细的讲解一下。 具体来说呢，有下面这几种情况，咱们咱们一个一个来分析啊。看第一种情况，分母已经知道是 x 的 p 次密了，那么分子也应该展开到 x 的 p 次密， 那这个时候可以列成两个极限分别计算，而第二个极限咱们刚才研究过，第二个极限为零，而第一个极限刚好就等于 a， 所以这么去计算，所以这个是已知分母展开到 xp 四米了，那么分子也展开到 xp 四米了，没毛病。 或者有的时候，它分子没有 x p 次密，那你就展开到 x p 加一次密，比方说这个意思吧，分子有个 saa， 哎，但是分母呢，有个 x 平方，对吧？你这个 x x 没有平方向啊，那你就展开到三次方 也是可以的，你要觉得三次方太多，你就展开到平方向，也可以再展开到依次方向，展开到 x 可以了，因为 x 后， 你就可以直接写成他，因为下一项就是三次方，这也是可以的。那这种情况呢，稍微有一点点少见，但要知道，因为有的他的故事展开呀，他是隔一项的，不是连着的。再来看第二个，第二个跟第一个其实是一样的，只不过分子分母颠倒了一下， 所以呢，展开的次密呢，也都是类似的，但是有一个小小的细节不一样，这个可以直接算出来极限，而这个算极限的时候呢，需要分的分母同时除以一个 x p 次密， 哎，需要这样一个小小的操作，而这种操作啊，在计算极限过程当中啊，偶尔会用到，而且有的时候如果真用到了，效果会非常明显，当你对一个极限无法处理的时候，你用他做，哎呦，有的时候真的是能化腐朽为神奇。 来看看这个吧，你把它一除，这变成 b 了，这变成他了，然后这个是一，那这个 b 呢？和他极限就是 b 来出现这样的一种情况，而且这里面有个条件，如果这个 b 要等于零了，那我们可以认 这个极限呢，直接就等于无穷就行了。哎，偶尔会有情况， b 等于零，但这种情况就是分母的次密更高么？更高阶无用角，那就直接等于无穷，这也是可以的，而且 a 呢，也有可能会等于零， 这是额外的一些情况。另外再看第三种情况，第三种情况呢，可能是计算太乐公式当中，同学们最不熟悉的也就是分子分母，并没有直接告诉我们到底展开到了多少次密，需要我们自己分类，需要我们自己分析， 我们就需要这样的去操作，那到底怎么分析啊？你怎么就知道展开到这呢？哎，这就需要用到后面给同学们的一个补充的说明了。 说在 f x 或者是 g x 当中，就是咱们刚才那第三种情况吗？如果有加减法哎，那么我们应该展开到不为零的最低次密这种情况，哎，所以这个我们需要注意一下，也就是说举一个 例子啊，比方说 x 减 c y x， 这是一个加减法吧，那我们如果展开成泰勒公式，展开到哪儿呢？ 哎，展开到这就行了，为什么呢？因为这俩打开之后， x 约掉了，但是出现了一个六分之一 x 的立方， 所以他俩一展开之后，展开到最低的那个不为零的那一项就可以了，他后面的后面都不用写。说，老师，那我还能写出来 x 五字密吗？写出来实际上也多余， 所以你展开到这就可以了，除非呀，他又这么写了，转 x， 然后再加上一个 x， 减去一个六分之一 x 立方，然后 再减去一个三一 x， 除非他这么写，你要这么写的话，那六分之一 x 立方还和这个六分之一 x 立方会约掉，那你这个时候这个三一就应该展开到五次密，所以这就是所谓的展开到系数不为零的最低次密， 这就是加减法做遵循的规定。当然这个规定呢，在很多其他的参考书当中也列举了，所以这个如果你要是看其他的参考书啊，也会看到，但是并不是每一本参考书都这么写，所以给同学们做一个补充， 好进一步的再往下。建议在同学们计算极限过程当中啊，用泰勒公式计算的时候，把高阶位用小写出来， 确保呢，展开的接触是正确的，不偏不倚的，否则呢，容易出错误。后面会有一个易错题告诉同学们，如果你不写这个呢，你算错了，可能还不知道这个，一会咱们通过例题来说明，咱们来看一看相关的例题吧。例一，计算这个极限， 他这个极限还是比较直白的，你一看就知道分母给了 x 四次密了，所以我们只需要把分子展开到 x 四次密出来 o x 四次方就可以了， 这太简单了，展开吧，这就是接下来背泰勒公式，然后泰勒公式往里面套就行了。这两个式子我不过多解释了啊，直接套公式就完了。现在把这两个公式呢化解一下，带入到原题当中去，带吧， 代入道中，化减化减，最后的结果出来，负的十二分之一，这个不用再多讲了，这个太简单，这个只要你稍微知道一点泰勒公式，咱们计算极限这题就会看。第二题， 当 x 区均零的时候，这一堆一减去三个口，再相乘和 a， x n 次密是等价无穷小，求 n 与 a 的值。这是某年真题，再就真题原体说，那这 原因， x n 次密是等价无穷小。哦，那我们知道了啊，可以列出来这种式子，你看，这不是等价无穷小的定义吗？但是这个式子呢，跟之前那个题不一样，他好像没告诉我们这个 x 的 n 次密，这个 n 究竟等于几，不像上一个题似的直接知道。哦，那个分母是几次密，三次密，四次密还是五次密？这个不知道 说，那怎么办呢？那我们展开到多少阶呢？哎，别着急，咱们仔细看看分子分母，不知道咱们就处理不了了。不处理不了分母了，我们先处理分子，分子当中 请看是不是一个我们之前所说过的加减法的形式。那么这种加减法怎么处理？哎，只需要展开到最低次密不为零的那一项就可以了。那咱们展开吧，那展开到多少阶呢？实际上告诉你们展开到平方向就行了，因为都是口才嘛，第一项是常数，第二项就是平方向。那咱们接着 展开展开展开展开。这个你把 x， 把二 x， 把三 x 呢当做整体往里边带入，展开到平方向，然后进一步的带入计算，这是口塞印，这是口塞印，二 x， 这是口塞印。三 x 带入之后就会发现，展开到最低次密不为零的那一项，其实就是这呢。 哎，这就是这，有同学有感觉说，老师，我哪知道展开到平方向就能出来呀。那我要不知道我展开到四次方向呢？如果你真不知道的话，你也可以多展开两项，展开到四次方向， 打开到四字方，你再再加一个呗，这个再加一个呗。最后这块每一个都是 ox 四字方呗，这个也是四字方，这个也是四字方。但实际上你算完了之后，你会发现最低次米还是七 x 平方，你后面加了一堆三字方。四字方没有用， 只要找最低次密就可以了。哎，所以当你实在不知道的时候，你就展开到四字方。四字方之后呢，就是多算点呗，然后你就 出来他了。那真正在考场上应该怎么选择？那我上来就展开到四字方吗？不到考场上的时候这么干。先展开到平方 就展开到这，你看能不能算出来这个不为零的最低次密，如果能，那咱们就不用展开到四次密了，如果不能，咱们再乖乖的展开到四次密。这，这是一个小的技巧，你别上来就展开到四次密，那你亏了。现在上来就展开到四次密，相当于默认。嗯，我就不管他平方向能不能行，我就展开到四次密。那其实是有点不太好， 你要展开到平方向，兴许他真展开到平方向就行了，你就赚了时间了。所以这个到这了，到这了之后，我 a 和 n 就出来了， n 就是自然是二了，七就是 a 了，他不是说等价有同小就完了，所以这题就结束了。 那说能说难吗？不难哎。所以当不知道分母展开到多少次密的时候，直接干分子进入，我们来看这个题目。第三 说这例三一，看题目啊，说这太简单了，分子已经到三次方了，分母已经到三次方了，那分子呢？分子咱们都展开到三次方就行了呗。有同学想到，哦，明白了， loin， 三次方，一的二分之一 x 展开到三次方。 哎，可以这么想，但实际上这个题呢，有一项可以少展开一项，你看这这个 e 这块前面是不是有个 x， 如果我们这个 e 的二分之 x 就展开到 ox 平方这一项， 那由于前面乘以了个 x， 根据咱们高阶无中小的运算法则，是不是前面由于乘了个 x， 这个 o x 方就会变成 o x 立方呢？ 对吧？哎，正因为这个道理，所以啊，我们这一项 e 的私密这一项根本不需要展开到 o x 三次方，你展开到三次方就多余了，展开到平方就行。所以 这个就是刚才咱们所叙述的展开到平方向。那咱们展开吗？简单 low 完，直接展开到三次方， e 的次密展开到平方前面乘以了个 x， 自然你每个都乘以 x， 又出来 os 三次方了，从而进一步的往下 把分子整个都凑出来，这个是 l n 的，这是 x 乘以 e 的那部分，然后再加上一个高阶无中小，别忘了减一个二 x， 在这呢，你会发现 x x 减二 x 依次项没有了， 哎，然后你会发现二次象好像也没有了，那没关系啊，剩个三次象，所以我们展开到最低不为零，次密就是三次象，那肯定是三次象，因为这分母是三次象吗？ 那接下来你直接算就行了，直接最后结果就是二十四分之十一搞定了。那这题需要注意一个小小的细节，跟之前不一样了。哎，前面乘以了一个 x， 我们可以少展开一下，好进一步的。咱们再往下看题 题，看这个题目第四题。那这个第四题怎么又比前面那些题目进化了呢？这个题的进化就在于啊，分子和分母好像都不确定是 x 几次密，或者说一眼不太方便能看出来， 对吧？你不像刚才那几个提示的分子和分母都知道哦， x 三的往外，这个 x 四的方，那这个是什么呀？看不出来。那看不出来，我们就得先确定一个吧，我们先确定分子还是分母，我们可以考虑先确定分母。为什么呢？你要确定分子，是不是你得把这两项都处理一下子，你才能出来分子啊， 对吧？那分母呢？你只需要处理这一项，因为这项不用展开呀，所以分母只需要处理一项。简单一点，咱们先处理分母， 分母儿出题吧， low in 一减 x， 用负 x 替换 low in 一加 x 里面所有的 x 会得到这一堆，然后呢， 两边同时加 x， 加 x， 你会发现了哦，又出来这一堆，注意啊，我一开始为什么展开到五次密室，我也不知道展开到哪有用，但展开完了再加 x 就发现了哦，展开到不为零的那个最最低次密就是负的二分之一 x 平方，所以我就要这一项，后面那些全都写到高阶无穷小当中， 那就这么干，那我就明白了哦，中括号这一项啊，就写成他就完了。 哎，那前面再乘一个平方，那你就都变成四字方，这有个四字方，这个 ox 四字方，所以我们就确定了。哦，分母啊，展开到了 ox 四字方， 那咱们分子也展开到四字方法，展开到四字方，那不就信手拈来吗？这你展呗，展呗，那展完之后，你这个区括号化减化减，然后这时候就可以分子分布带入了，带入化减这个过程不带 细讲了，同学们你要想自己算一算，可以自己算，最后结果等于六分之一，哎，所以你看这个题啊，当我们不确定分子分母展开到多少阶的时候呢？我们可以先选择一个分子或者是分母先确定出来，然后另外一个呢？救着他。哎，我判断出来五个分母是四字方的，你的分子你随着我，你也到四字方 这么去判断，而且你看这里面加减法怎么判断的呀？就展开到座椅第一次面那个不为零的那一项就可以了， 这就是例次。再来看例五，例五这个题目，要说这个极限存在，求里边常数 abc 的值，哎，并求这个极限等于多少？他只说这个极限存在，没说等于几啊，可能等于零啊，可能等于一个非零常数啊， 真的，我一看这力五，感觉好像，哎，这不回去了吗？你前面那个力四，最起码分子分母还没告诉展开到多少级，还复杂一点， 这个例五已经告诉我们分母是四次方了，那我们直接展开到四次方不就行了吗？那真的，这题有什么难的？要注意，这个题不是那么太一样，这题属于易错题， 还记得之前给同学们讲过吗？计算这种极限的时候，用泰勒公式的时候最好要写出来，这种高阶部中小如果不写呢，就容易出错误，指的就是这个题，这个题是一个易错题。 易错题在哪呢？有题这么想说，哎，这里有一个平方，我这个 e x 原本要展开到四字方，是不是因为有了这个平方，我就可以把 e 的 x 展开到平方向呢？哎，我只展开到这呢， 那我他俩一乘，是不是就出来 o x 四次方了？哎，有同学就这么想的，但是我告诉你，这么想，错误了， 错在哪呢？哎，你可以先自己暂定，先想一想。当然，这个错误的方法呢，我先不讲，我先讲正确的方法，讲完正确的方法再来说这个方法哪错了， 我们先展开到四字方。规定啊，就是展开到四字方得出来。 os， 四字方，那展开吧，展开完了之后就带入啊，注意做好心理准备。势子有点大，赌博都画中国号了。 写成这个狮子，然后再撑开。撑开的时候需要注意一些细节啊，同学们，撑开的时候呢，只要比四字方高的，都放到这里边，不用写出来。比如这一项， 他俩要乘完之后啊，原本应该等于六分之 c， 呃， x 的五次密，五次密已经比四次密高了，所以直接放到这里边，这一项根本就不用出现。能理解这个意思吧，全都放到这一堆小喽啰里边，这一帮小弟里边，放到这里边 就行。所以我们展开之后啊，其实很多项不用写，反倒没有特别复杂，我们来看一看吧。 当然不是特别复杂，也挺复杂的，这一行都快写不下了，展开之后等于他对感兴趣，你可以算一算，初中生也能算明白啊。接下来咱们合并同类项，合并同类项指的就是一次项和一次项，合并二次项，二次项合并常数项和常数项，合并三次项，四次项也类似合并，合并完了之后，我们会得到这个结果， 同学们请看，这就是合并完了之后，带着 a、 b、 c 最后的那个式子看已知条件，他说这个极限是存在的。 同学们思考一下，那你必须得要求这些系数，怎么办呢？是不是这个得等于零呢？这个得等于零呢？这个也得等于零呢？为什么呀？因为这是一次密、二次密、三次密，如果你有一个不等于零，那你除以四次， 这就会趋近于无穷了。所以一次密、二次密、三次密的系数必须都等于零。而至于这个四次密的系数呢？那你随意，你想等于零就等于零，不等于零也没事，反正最后我们算完之后，极限的结果就等于四次密的系数，这个能理解吧， 反正前面的系数都等于零了，都等于零了之后呢？这就构造出来一个关于 a、 b、 c 的方程。解这个方程，我们就得到 a、 b、 c 的值，得到 a、 b、 c 的值，这个极限的值也就出来了。所以这个思路很清晰啊，进一步再做吧。那要求这个极限是存在的，那么咱们就满足这个方程， 这是一个方程组解呢，我也省略了，告诉同学们解出来的结果， a、 b、 c， 然后接下来把它带入到咱们刚才算的那个四字方的系数当中，最后得出来七十二分之一，这个题就做完了。这是一个正 确的过程， e 的 x 需要展开到 ox 四次方，我们再来看看常见错误说。有同学认为呀，就像我刚才所说的，前面有一个，这个不有出来平方了吗？那我展开到平方行不行呢？展开到平方呢？一定要注意，他就不行了。 我们先来看看这个正确的过程，我们就着这个正确的过程，我们给他改写一下，改写成这个错误的方法， 也就是说，如果我们要把这一部分全都写成 o x 平方，同学们，你想象一下会出来什么状况？哎，这个不要了，那咱们乘乘 乘，乘完这三个，你看看会等于什么？ o x 平方乘以一，是不是还是 o x 平方？ o x 平方乘以 b x， 是不是得到一个 b o x 三次方，对吧？然后这是变成了 c 乘以一个 o x 的四次方，所以这个 o x 平方乘以这三个之后会得到这三个。 同学们，千万不要忘记高阶无穷小的运算，为什么之前给同学们补充高阶无穷小的运算，为什么那是先决条件，或者说是那是预备知识呢？你看看这三个，这三个如果加一块的话，根据低阶吸收，高阶是不是只能得到他呀？你等不出来 ox 四字方吗？ 对吧？那你想想，如果分子当中一直有他，你甭管会出来什么别的东西，总之这个极限当中啊， 分母 x 四次密是确定的，分子有个 o x 平方，你别的你再加减，什么玩意？你这个式子怎么处理？ 你好像永远处理不了，哪怕你就是把这些这一部分的极限算出来，精确算出来，你这一部分也算不出来呀。 哎，这个展开的不够精细，比 x 平方高阶的物种小，那比上一个 x 四的房，那等于什么？有可能等于一个零，有可能等于费零，常说还可能等于无胸大的，这都有可能，所以这部分算不出来，所以这样子做是错误的。 前面同学们千万不要以为有 c x 平方我们就可以少展开两项，不行，我们得看乘以的。这前面这一堆最低次密，最低次密其实是一， 他跟乘以个 x 是不一样的，所以这是细节，这个是从高阶无穷小来理解的，而且理解这个错误的方法还可以。从另一个角度，同学们，我们想象一下，如果这一部分都不写的话，还是写成 ox 平方，那同学们，我们就想是不是 这一项就丢了，那当然这一项也丢了，那同学们你想想，那这个六分之一 x 立方和这个 b x 乘完之后得到的六分之 b x 四字方，是不是自然也就丢了？他根本就没有这一项，那自然也就没有这一项了。 而分母是 x 四字方。分子，你怎么能丢掉 x 四字方呢？你丢掉了，这不就丢掉一个系数吗？丢掉系数自然就影响他的精确度啊。那同样这个和他相乘也丢了， 对吧？所以这些都丢了，而且六分之一 x 立方丢了之后呢，还会丢一个三次方的，他俩相差会得三次方也丢了，所以我们丢了一个三次方和两个四次方的， 所以肯定精度不够，丢东西了呀。所以从这个角度来讲，也认为展开到 x 平方是错误的。但实际上同学们告诉你一个细节，如果你就展开到 x 平方，假如说你这个高阶无用脚不写，那也就没有这一项， 那你最后算的时候， abc 也能算出来，最后的极限值也能算出来，而且算出来之后呢，还挺像正确答案的啊。我记得有一个什么四分之一什么之类的，特别能迷惑人，所以不信的话，你把这个例物给你周围的考研同学做一做。很多同学就因为有个 cx 平方，他一的 x 就展开到平方向了，然后就错了，然后你把咱们这个过程告诉他，哎，你展开错了， 所以这是一个常见的错误。在最后这个阶段呢，给同学们多说了点，因为易错呀，千万不能光记录正确的做法，还得知道错为什么错了，这才算学到家。好，这个题说完了，进行一步，再往下第三个部分， 上面的方法呢？有没有感觉到还是太麻烦？哎呦，展开的通阶我得找加减。展开到最第一次不为零的那个词密还是有点复杂，有没有更粗暴更直白的？ 有，遇到极限体，直接无脑展开到 x 无词密，哎，你不用想什么题都展开到无词密，为什么呢？因为这招可以解决百分之九十九的题目，我试验过，不光我，别的同学也试验过，你可以去试试，确实没问题，仅限于考研数学范围啊。考研数学一二三没问题的，你去做吧。 当然这个方法也有 bug， 说展开到五次密，哎呦，那次密高，计算量大呀，这就没办法了，你记不？你不想记那么多的原理，你还想计算量小，这好事怎么都能落你头上呢？ 那这不太可能，所以咱们考研数学不光是考研数学，整个数学其实就是一个按下葫芦起来瓢的问题。数学思维的简单与否和计算量的简单与否，往往你得选择一个，你觉得计算量复杂了，你想找一个计算量简单的，那这个思维程度就得深，他就不 不好想。如果你想思维轻松一点，好想一点，那可能计算量就比较大，很难有两个同时达到完美的。鱼和熊掌不可兼得。所以你可以看看你到底是可以舍弃哪一个，做一个选择，就这个也是有的，那你直接展开就可以了，这是最粗暴的方法。 最后呢，给同学们辅助了几个练习，这几个练习呢，其中第三个题目啊，有一定的难度，我会单独在录制一个视频讲解这个题。我给出了这个题的好几种方法，其中一种是泰勒公式，另外还有几个别的方法， 希望同学们多多关注我。后面这是答案，做完了之后呢？对对答案，看自己对不对。好，这节课咱们就讲解到这里，喜欢我视频的同学可以关注我的 b 站，心仪学长。

麦克劳力展开始也不是直接上来就开始展，我们先要就是画画减按分母不动弹， 把这个分子进有利化，就去乘他们的和好，就变成了单点 x， 减去三点 x， 好，这里变成了这个根号下一加三点 x， 然后再去加上根号下一加三点 x。 啊，就这个好，你会发现 此时此刻 x 需要零的时候，后来的这里呢？波浪线的部分是不是需要二非零一式的可以先提取两倍的 x 乘以，若一加 x， 再减去 x 的平方，当你 x 减去上一 x， 是不是？然后我们再把这里的这个分子分母，你说老师我此时此刻在进行麦克劳林，这样的话要轻松的多来，先把分子麦克劳林，那你说老师长得多少像合适的这分子分母都没有体现好，那我们就遵循第二个原则，最 低尺米好。什么最低尺米的？好听吗？他两个展展展看啊， x 加上三分之两个三十方，先不展了，你说老师后面还带个尾巴，没关系，这个尾巴统一写在后面，只要写一个就可以了。 减去把三元 x 来，再给它打开，是不是 x 减去六分之一 x 三次方，后面呢？加上这个小 ox 的三次，然后呢？是两倍的，没问题吧？因为呢，只是个，你看这个系数是不是不相同呢？你看啊，前面这个 x 的是消掉，但是你看呢？ 三挨个三次方，前面是三分之一来挨个这个，后面的挨个三次方，是一个减六分之一。当你不要认为你说老师两个小矮个三次方一减不就为零了吗？那不是这样的啊，你要知道他是个集合量集合，减集合，他还是个集合啊。好， 我们这个里面的 x， 那就乘以它括号，把落一加 x， 展开 x 减去二分之一 x 的平方，是不是刚才用公式嘛，对不对啊？这里还需要攒吗？我不需要攒的，你说老师这里平， 我应该还往后面攒一个三次方，攒一个三次方你就攒多了。为什么呢？你三次方前面还一个 x， 那是变成 x 方，那不合适，再减去 x 平方。那你可以攒啊，攒的更高阶的话，他就立马就去向零了。高阶的部分是不用看的啊。就说就说，你 x 四次是不是肯定是比 x 三次方要高阶？高阶那一部分我们不看，加上小 o x 三次，最后整理一下 极限 x 去向于零，上面变什么呢？二分之一 x 的三次，再去加小 o x 的三次，下面呢是这个负的 x 的三次，再去加小 o x 的三次，结果是不是要等于负二分之一啊？

遇事不绝，泰勒展只有多长展多长？很多同学说想听一下泰勒公式，我们高中阶段所用到的泰勒公式其实是它的一种特殊形式，麦克劳林展开式，他说的是任何一个函数 fx 都能写成 fx 的 n 街道的关系式。 我们今天看看他用来取近四值的方法。首先常用函数一的 x 的麦克劳林展开式是这个样子， lowyyx 加一的麦克劳林展开式是这样。注意看这两个式子，如果 x 接近于零 x 的三次方这一项就已经非常小，所以可以把 e 的 x 近四的看成一，加 x 加二分之一倍的 x 平方。 同样的道理，捞引 x 加一也可以近四的看成 x， 减去二分之一 x 平方。注意，这样取近四值都有一个前提条件，就是 x 接近于零。在这里我们一般认为 x 的绝对值不超过零点一就可以。那么这道题小 a， a 等于零点一倍的一，等零点一次把 x 换成零点一，最终约等于零点一一零五。小 b 是九分之一，它约等于零点一一一一。小 c 是副的 lone 零点九。需要取 x 等于副的零点一， 最终小 c 约等于零点一零五。然后就能直接得到答案。其实这样取的进四值结果是非常精确的，赶快自己用计算器验证一下吧。

同学们，我们来看一下这个函数他的麦克劳林展开式是什么样子的？先来计算一下 f 零，然后我们来对他进行求导， fx 的一阶倒 等于一直算到 fx 的四阶倒， fx 等于 f， 零就是零，然后 f 零一撇除以一的阶层乘 x 就是 x 减二分之一 x 的平方加 三分之一乘 x 的三次方，点四分之一乘 x 的四次方，这样最后加起来就应该等于负一的 n 减一次方，乘 n 分之一位的 x 的 n 次方，再加上一个比 x 的 n 次方更高阶的无穷小，你学会了吗？

学习很苦，坚持很酷，同学们好，今天给大家讲一下泰勒公式和麦克劳林公式。一直有同学来问我这两个公式，那么今天呢，我就浅讲一下， 其实这两个公式是在我们高数当中上大学才会学到的，那对于这一块的知识而言，是否超纲了呢？其实我们也可以说他超纲，也可以说他不超纲，因为这个泰勒公式啊，他在我们数学的第一册的倒数第三页提到了这个 泰勒公式，所以如果说我们把这个稍微掌握一下，在做小题的时候是非常好用的，下面我们一起看一下什么是泰勒公式和麦克劳林公式。 他指的是给定一个函数 f x， 我们可以给他展成如下这种类型，可写成 f x 零加 f e p x 零倍 x 减 x 零加 加上二的阶层分支二阶的倒数 x 零 x 减 x 零方，一直到 n 的阶层分之 f x 零的 n 阶，倒 x 减 x 零的 n 次方，再加上这个叫做无穷小，就是 x 减 x 零的 n 次方的无穷小。这个意思 好，那对于麦克劳龄公式，它指的是在太了公式展开式的基础上，令 x 零等于零这个特殊值而得到的展开式形式。 呃，那对于我们通常做题过程中来说呢，用的比较多的可能就是麦克劳林公式了。那通常我们在高中，我们高中数学当中，其实这里边也都是有所体现的，比如说我们来看，它对于 f x 等于呃 f x 零加 f e p x 零倍的 x g x 零而言。好，我假设这一块哈 f x 约等于 f x 零，加上 f 一撇 x 零倍的 x g x 零。 后边我们就可以呃近似的考虑，他随着展开越来越大的话可以忽略掉，所以我们是可以考虑约等于他以后，这个我把它写成 y 等于 y 零加 f 一撇 x 零倍的 x 减 x 零。 好了，请大家来看一下这个形式其实是什么？我把 f 一撇 x 零放在左边，它就可变成 y 减 y 零除以 x j x 零是不是就是对于我们切线的旋律，所以在高中中有所应用过？再来看一下麦克劳林公式，这里我把这个形 是给他写一下，我们来举个例子，举个 e x， 好，请大家看，如果我是 e x， 他就等于 f 零加上 f 一撇零， x 加上二分之 f 一撇零啊，这是直接乘 x 的平方等等等 一直下去。现在我把 e x 进行求导一下，大家发现还是 e x 代入进来， e x 是不是就等于一加上零代进去就是 x， 这个再即求二阶导 二节求导，大家发现是不是仍然是 e x， 所以这一块是加上二分之 x 平方等等等，再往后加下去，请大家看，在 这个地方我是不是可以看出是 e x， 由于后边都为正的情形，这个是平方，再往后都是正的，那我在这 e x 请看是不是大于等于一加 x， 当 x 大于等于零的时候， 那这个形式 e x 大于等于一加 x， 是不就我们所说到的切线放缩，所以这一块儿在我们呃呃高中函数当中也都是有所体现的。 行，所以说呢，我们说泰勒公式和麦克劳令公式离我们高中阶段的知识啊，也蛮相近啊，没有本质的区别。 好说的这么多呢，我们就来看一下我们高中阶段利用麦克劳林公式展开的这四种函数，这四种在做题过程中是非常常用的，那它展开形式当中呢？通常我们都会最多 应用最多应用到他的前三项的形式。好，那现在我们来看一下高考题，二零二二年新高考一卷 已知 a 等于零点一的 e 的零点一， b 等于九分之一， c 等于负的捞于零点九。让我们比较 a、 b、 c 的大小关系，这道题是非常难的，现在来看，如果我会应用泰勒公式，应用麦克劳林公式把它展开的话呢？那现在这道题是不是就会很轻松突破哈？ 来，请看 a， 如果等于零点一的 e 的零点一，我就可以把 e 的零点一次方按照这个展开，请看它就可写成 一加零点一，再加上二分之零点一的平方行，通过计算，大家可以算出约等于零点一一 零五。接下来 login 负的零点九，请看一下负的零点九。咱们看到 loin 的时候，要想着一般来说是 loin e 加 x 的展开形式啊，所以这里它可写成 括号，放上去变成九分之十，也就是说可以写成 lonely 的一加九分之一。好了，下面我们就应用一下刚才的呃太老公式，它就可写成 呃九分之一，减去二分之一乘以九分之一的平方，再加上三分之一乘以九分之一的三次方，他就约等于零点 零点一零五九。好，再来看我们九分之一，大家知道他， 他是一个好算的分数，他约等于零点一一一一，这时候这四个的约数值我们就能啊一目了然，知道他们之间的大小关系，所以最后我们发现 b 是最大的，然后是 a， 在最小的就是 c 了。 好，那这道题就是高考题的一个具体应用，如果呢？有兴趣的同学能够把这个泰勒公式，他的展开式理解掌握一下，做小题，特别这种比较大小的时候就会非常好用。 当然在做大体的时候也是可以应用的，如果你能知道它的展开形式长这样子，那么接下来 你如果有这样的心里边有一个式子，比如说我 e x 大于等于一加 x 加二分之以 x 平方，对吧？那这时候你可以通过证明得出它来，然后在大题中来应用也是可以的。好了，那这一个我们就讲到这，你听懂了吗？

这道题呢，我们刚刚讲解了如何使用构造函数来求解，其实呢它不是最优的解法，这个最优解法呢，我们用麦克劳林公式啊，我们对 e 的 x 方进行麦克劳林展开，然后呢把它的 近视值找到啊，我们这取三节就可以了，然后 b 呢，我们直接算出来， c 呢，我们也也用麦克劳林展开，也是取到三节，我们就把 a、 b、 c 的近四值全部算出来，可以直接选择 c， 这种方法就非常简单。