18年数二真题条件极值

大家好，我是你家隔壁徐老师，二元函数条件极致问题什么意思呢？二元函数与二元方程相结合，连力所形成了一条空间曲线，研究此空间曲线的最值问题，也就是此二元函数在此条件下的最值问题， 也就是二元函数的条件机制问题。第一种方法，转化为无条件问题，若由此条件可以得出 y 等于 yx 或者 x 等于 xy， 将其带入，这种可以去掉一个变量，也就转化为了一元函数的最值问题。如何来求一元函数的最值问题呢？ 就是看注点不可倒点以及端点的函数值，比较这些你所得到的值也就得出来了最值。此方法实际上也就是将此空间曲线投 在侧面上，因为你要求最直研究的是此空间曲线的高度，将其投影在哪些侧面上，可以投影在三视图中的两侧面，投影一个就可以， 因为你只需要看高度，这两个侧面的投影全反映了此空间曲线的高度，所以只需要投影一次。第一种投影，将 y 等于 yx 带进，这种去掉了 y， 也就是将空间曲线投影在了 xoz 面上，投影的方程也就转化为了 z 等于 k x。 方法二，同理，去掉了 x， 也就投影在了 y o z 面上，投影的方程也就转化为了 z 等于 l y。 再对此一元函数求注点不可倒点，端点的函数值再进行对比就 ok 了，求完最值，若想求最值点，你也可以顺藤摸瓜的求出来了。

x 三次方减 x， y 加上 y 的三次方，等于一看看什么图， 零零点，这个点叫 x y， 请问这个距离是不叫膜长这个向量的膜，这不根号下 x 方加外，所以呢，我们的目标就是平面上一个点到原点的距离叫 x 方加外方开根号，这是目标函数，我们这边是不是有约束条件？约束条件是我的点， 哎，你不能说在平面上任意一点了，哎，我的点必须干嘛？哎，必须得在我的这条曲线上啊，我点得在这上面，所以呢，约束条件是这个函数，那根据有目标有约束，我们就利用我们的条件极值的方法，这个方法叫拉格朗，是乘数法啊，给大家介绍一下并且讲解。 那这种方法呢啊，有三个步骤，第一个步骤就是先把拉格朗日的函数给写出来， l， x， y 和 number， 为什么这个里面有三个位？ 因为我的目标函数里你会发现只有两个自变量，并且约束条件只有一个，哎，你有几个约束条件，就会有几个很奇怪的字母啊，假设我还有俩约束条件，那我再来一个约束条件，那你就可能再写一个 number 一和 number， 那假设我这里面是个空间的，那他，他还有个日方， 对吧？那你这个地方还会加一个字，我们来看这个函数怎么去构造，构造就是我们把目标函数给他往这一写，然后再加上一个约束条件，但是在这我们稍微注意一下，就是如果我们把这个目标函数带根号的这个 x， y， x 方外方啊，再加上这一坨 写上来，你会发现在计算的时候你求导不太方便，那所以不妨我们再把目标设的时候呢，我们稍微呢取个巧，我给他设个地方，那设地方是不是你就直接把根号去掉了？哎，我求出来的是不是会求出一个点 出来，点完带进去，是不是再开根号就可以得到答案？能理解我的这个操作吗？啊，所以这样会简单一点来，目标函数 x 方加外方， 再加上 number 的约束条件。第二步，我们现在呢，你就把这个函数给我当成一个三元函数，现在三元函数我要求三元函数的一个级值，你想想，假设如果你是二元函数，他级值怎么办？ 先把必要条件求一遍，再求充分，对不对？就是你给他求个偏导，求个偏导，哎，另乘零，找到可疑点，然后用充分判断， 现在是三元函数，三元函数求极值，一样，你需要干嘛呢？需要给我求必要条件，先把这个点，这个人还有这个人偏倒数都求一遍，求完令成零，给我找到所有可 一点，这一步是完全一样的，我们下面是不是解这个，一个解这个方程，把可疑点找到，咱也不知道有几个可疑点，对不对？咱得求。哎，解这个方程其实是我们最痛苦的地方，我们的方法大概的几类呢？都给你稍微写一写啊，就是你的方法呢。 第一步啊，你可以直接令 x 等于 y， 或者说呢， x 等于负 y， 你令完之后你带进去这个条件里， 你去看看与已知条件是否矛盾，不矛盾，那他就是一个解。第二种就是我不想靠经验，我就想算，那怎么算呢？你就观察，你发现这两个人是不是有一个对称性的感觉， 是不是？哎，所以呢，你就可以用第一个式子跟第二个式子做文章，就是我可以用一式和二式做 x， 或一是和二是做商约去，那么的再去解，那我一会都给你用一下啊，哎，这种方法，然后呢，约去，那么的你就会得到 x y 的等式，然后再带到第三式子里，哎，就可以了。来，第三种方法， 就是我们直接把这个参数 number 到另乘零，那比如说，我们先看一下第一种方法，哎，我们就直接另 x 等于 y， 你看啊，如果另 x 等于 y， 这个我跟你说啊，解题过程不要写在试卷上，这是你草稿上自己操作的啊。所以呢，咱们就试一下，如果把 x 等于 y 这么一写， 我们直接带入第三个式子里，你会发现这两个人是一样的啊，这个等式就变成了两倍的 x， 三次方再减去 x 方，再减去一等于零，你能看出这答案吗？是不是取一，你看是不是二 二减一，减一得零？哦，我能够观察得到， x 等于一是一个解。那这时候有同学会问了，哎，老师，他是个一元三次方程， 那理论上来讲，它最多应该有三个时根，你只找到了 x 等于一的一个根，那它还有别的根，那怎么办啊？有没有别的根呢？咱不知道，因为有可能是 副根，共和副根，对不对？所以我们这个地方可以操作一下，你记不记得你学过一个叫不多项式的除法，我们给它因式分解一下，我们找到了有一根是 x 等于一，那是否意味着我如果除以一个 x 减一，你除以它是不是商二 x 方，然后你把这个二 x 方乘以它往这一放，叫二 x 三次减，二 x 平方做叉啊，零减去负的是不是相当于加上， 那也就是剩个这 x 方，我们这边呢，不能丢这个次数啊。所以呢，把它，你想想他除他，你这个地方是不是得伤一个 xx 乘下来是不是 x 方 减去 x， 然后呢？还剩个减一，哎，你看刚好就变成啥了？刚好是整除，意味着我们的这个式子可以被你分解成，那他显然他得零。 x 等于一，这是一个减，那他有没有可能等于零呢？那我们在实数域啊，你看看啊，他，你判一下灯塔，灯塔是不等于 b 方减四 ac， 这不显然小于零，它没有十根，对吧？所以呢，它等于零这件事情我们就不考虑了好不好？所以呢， x 等于一，是它唯一的一个减，那既然 x 等于一，是它唯一的一个减，一个减，那 x 等于一，满足这个式呢？满足啊，满足吗？满足，那所以就可以得。 哎，就推得幺幺，为什么一个可一点好？有同学说，老师，你这个令这个东西有根据吗？那没有根据，你怎么敢令呢？那我确实没什么根据，这就是经验之谈啊。那如果你要想要根据，那我给你来一个第二步， 你想算的就算一下。哎，我们说我们可以用这两个式子，我们现在不搞这个了，假设这个题你没算过，好吧，咱咱咱，咱忘了，咱现在用第二种方法能不能算出来他的根呢？或者说还会不会有别的根呢？来试试看。 那就是让这两个式子做叉或者做商。哎，你观察这两个式子做什么会比较方便一点，我们就做个商，做商的话，你得要求这个零，你得稍微一个项啊，你看着啊，我们先一个项， 是不是这叫一式，这叫二式，你跟上啊，我把一式稍微变个形来，注意细节。如果我要想做商，就是让这两个式子相 比，是不是这样比一下相等？但是如果你比的话，我们得考虑一件事情，就这个 number 是不能是零的，就是你不能是零，这个 number 才能当分母，所以你就要判断一下 弱看好了，你仔细听我的思路啊，弱， number 如果等于零，如果 number 等于零，你跟我看有没有矛盾啊？带进来你会发现，因为有 number， 所以这项是零，因为有 number， 所以这项是零，所以就会导致 x 是零， y 是零， x 是零， y 是零，有没有关系？ 那有同学看条件告诉我哦。 x y x 是零， y 是零。可以啊，没问题啊，但你别着急，你还没有往三上去带呢。如果你往三上去带，如果 x 是零， y 是零， 你就会发现这个式子不成立，所以 number 不能是零。哎，矛盾，顾 number 不得了，而 number 不是零， 你就可以把他俩比一下了，对不对？来，一除以二就会得到 x b y 等于，那么约掉叫 y 减三，比上 x 减三， y 操作一下，交叉相乘即相等，是吧？哎，你就会得到。而我们把这个等式给他， 把它写成零，看看能不能写成音式的情况。来解一下 xy 的关系，看看大家这个初中的音式分解水平怎么样。首先最简单的看到这个没 x 方减外，方这个音式分解不就写成 x 加 y， 然后呢， x 减外，那这个的话是不是有公音式？ 三？肯定是，你看是不是有三 x y 是规定式，对吧？这有个三 xy， 这也有三 xy， 哎。你提个三 xy 出来，那是不是三 xy？ 是不是还剩一个叫 x 减 y？ 哎，又来关键式，是不是叫 x 加上 y 加上三 xy， 把一式跟二式这么一比，得到了这样的一个关系，那让他得零，那是否意味着要么你是零，要么你是零，那他如果是零，那不就是回到了我们第一种情况， x 等于 y 吗？这就是我为什么另 x 等于 y， 对吧？惊艳着他，哎，有这个解是吧？ 有周解，那这个人能得零吗？那这个人得不了零，对吧？这个人为啥得不了零？你因为 x y 都是正的， x y 都是正的，那你想得零的话，那必须得是 x 零， y 是零，那 x 是零， y 是零，不满足第三个条件，所以他没有，所以还是能得到 x 等于 y， 那所以还是那个解。幺幺是那个根。好了，你连立一二式子，得到这个，那说明什么？说明我们在解这个方程的时候，一一就是唯一的根，那一一是唯一的根，那你就把这个根算出来，哎，所以我们求一下，哎。 good。 第 一，幺幺等于根号。怎么还有同学在问，经验法会扣分吗？我都说了，这个计算过程不要写在试卷上，这是你草稿纸，我们的步骤你看到没，紫色的是写在试卷上的，这个绿色的这是给你写的，写给你看的， 我带紫色怎么写？第三步，解之，得 x 等于 y 等于一，那所以就有了，哎。所以 d 幺幺等于根号二，这是一个解啊，你有没有发现一个问题，我求这个方程，求完了以后，好家伙，就这么一个解。 这题目不是这样的，题目让我们求的叫最长距离跟最短距离，那怎么就求出一个结来，是不是没求完呢？感觉这个事没完，你知道吗？为什么？因为你别忘了题目还有个边界， x 在 x 大于等于外带。等于就是什么意思？就是我画一个图给你看，就这个图我也不知道长什么样， 就随便写啊。假设这个图长这个样子，你告诉我，我是有一个约束条件，要求我的点得在这条曲线上，但是我的曲线还有个约束，就是我得在第一象限内，那这个点找到了，哎，找到了一个点，这个距离叫根号二，对不对？ 那我是不是还要再讨论一下这个边界上的点？你得把边界上的点，这这这不大于零吗？大于零，那我得看看边界上的点， 明白我的意思，所以你必须得判断一下边界点，能懂吗？那边界叫 d 零幺和 d 幺零，不就俩点吗？那 d 零幺 d 幺零是不？根号下零，这不是俩都是一吗？就根号下一的平方加零和根号下零的平方加一不都等于一？你把所有的值都求出来，最大的那个叫最大值，最小那个叫最小值，会不会固啊？最长 距离根号二，哎，就等距离一就行了好不好？边界就是 x 取零对吧？那 y 不是一吗？ y 取零，那 x 不是一吗？那不就只有这两个点，只不知道大家为什么边界是一零零一是吧？ 我这样吧，我给你们画一下行不行？这个 x 三次方减去 x， y 加 y 次方等于一。来来来， x 三次方减 x， y 加上 y 的三次方等于一。看看什么图， 你看到没？那你说这个图它过远点吗？那它最大最大值不就是那个？对，那个，那个，那个根号，你看这多多多形象啊。这不根号二吗？你看是吧？最大值最小值，那不就是一吗？就一定要把图给你画出来你才能明白，满意了吧？满意了，我们过了。

这个题目我们在二零一五年也做过一个类似的，是吧？先别着急选，先把题目读明白。函数在复乘中求内连续，这个点很关键。连续啊，没说可等，对吧？其导函数图像。导函数图像，这叫什么？叫一街导的图像，如右图所示。请问你 abcd 几个机制点，几个拐点来看？好， 我记得有一天的直播给大家讲了，问了大家一个问题来问你们，请问什么叫注点？回答我，当时你们都回答我了，注点叫一阶倒为零的点，那也叫注点，对吧？ 那么我又问了你们个问问题，请问什么叫拐点？然后有个同学回答，拐点叫什么？二街道为零点，对吗？那你就完蛋了，那你就完蛋了啊，你发现啊，注点跟拐点他不是一个哎，对立的事情。那什么事情对立的呢？其实你可以这么理解，你看， 我问问大家，什么叫极致点？你看这里，如果你极致点会拐点吗？我先问你，什么叫极致点？极致点，如果函数没说可倒，那么极致点在哪里？去找是不是在注点？去找注点是不是有可能是极致点， 对吧？是不是有可能不是。举的反例是啥？举的反例是 y 等于 s， 三次方一接到等于零的点，他不是几指点对不对？那是不是还有可能在不可导演去找 举的例子是谁？举的例子是 y 等于 x， 绝对值，对吧？这可都可以取得极致点啊，但要求是啥呢？关键你得判 f 一撇左右的一号，对吧？ 你左右得一号我才能确定。你注点的话也得是左右一号，对吧？不可导点，你左边右边导函数的大小也是，也得是一正一负哎才行。那拐点呢？拐点？拐点怎么去找？你二街道为零的 点是可以去找的，他是可疑点，对吧？二街道为零的点去找，还有呢，这二街不可导的点你也要找啊，在这个地方去找拐点，而拐点说白了他是谁？他叫凹凸性改变的点啊，所以依然要求你什么二街道左右的一号，所以关键还是得干嘛左右一号 好了，当你知道这些东西内容的话，我们这些就好判了，是不是？我们先判一下极致点，那极致点我们说了找什么点啊？因为你是连续的啊，可不是说可导的啊，所以我们必须要找注点和不可导点，注点就要找一级到为零点，不可导点的话，那就导航是不存在的点，对不对？那首先来看，如果我给你放大这个地方，给你写了一个 x 一二三四五， 那你告诉我你的极致点有可能会在哪里出现啊？这叫一阶倒数图像啊，看好，所以是不是一阶倒数为零的点是要讨论的？一阶倒数为零点，一阶倒数为零的点是不要讨论一下，不可导点是不要讨论一下，所以一共四个点都让你讨论一下，对不对？那这四 点你讨论一下，你会发现我左右一号的点是不是只有这个点和这个点？一街道左右一号的点只有这两个点，你看这两个 x 二左右都是小于零的，而 x 五左右都是大于零的，够怎么样？我们的几个点只有几个？只有两个，一个是 x 一，一个是 x 三，对吧？所以呢，我们的 有两个，那就排除谁啊？排除我们的 cd 选项，那紧接着现在我们就看谁啊？再看拐链， 拐点是二街道左右一号的点，对吧？那么我们是要从哪些点找呢？要找二街道为零的点和二街不可到点。那请问什么叫二街道为零的点？那二街道为零的点不就是一街道斜率 是平行的吗？你懂啥意思吗？是不是这个点？这个点是不是二级到为零的点？这个点是不是二级到为零的点？这个点是不是二 街道不可导点，能理解吗？啊？所以呢，我们要找拐点，是不是就就只判一下 x 二 x 四跟 x 五， 是吧？而且呢，人家要求我们这个人得左右一号，说明什么？说明我二街道左右一号是不是可以推出一街道单调性变化，对吧？那么这样的话我们就来看 x 二 f 四 x 五， 请问 x 二左边单调减，右边单调增，他是吗？他是 x 左边单调增，右边单调减是吗？是 x 五左边单调减，右边单调增是吗？是，所以二四五都是顾怎么样？我们选择的是 b 选项。

说函数在有界必区域上啊，区域上连续在地内二阶连续撇可偏倒来告诉我， 学了这么久了，对于这些概念的了解有多少？我听我讲过，我问大家，这个偏倒数、连续可微，偏倒数存在方向，倒数存在， 连续极限存在，他们之间的关系是什么？他们关系什么？是不是叫做来这个关系啊？叫偏倒数连续是最高级，对吧？偏倒连续是可以推可微的，可微是可以推啥？在二元函数以上，三元函数就二元函数及以上，可微是能推偏倒数存在的， 可微还能推啥？还能推连续，可微还能推啥？还能推方向，倒数存在，你们数二不考是吧？所以看到这个字，看到这个东西不会别紧张啊。 而我们的连续可以推啥？连续可以推极限存在？对，你要把这些逻辑搞清楚。为什么我要说这些？我问问大家一个问题，既然知道题是一个最大值、最小值、极值的问题，那你们知不知道在一元函数中的一些概念的区分？我问你们，如果一个 函数在某一个区域内取得即值，那个取得的即值点是不是一定是注点？这个问题能不能搞清楚？就你们知不知道什么叫注点？拐点即值点能分清楚吗？ 注点叫一阶倒数为零的点达到好，而拐点呢？拐点是不是二阶倒数为零点？拐点是不是二阶倒数为零的点？拐点是不是二阶倒数为零的点？是还不是？不是啊？不是。拐点的意义必须是在这个点左右，他得是凹凸性 改变的那个点，懂了吧？叫凹凸进改变的点才叫拐点，而极致点呢？这个时候得分情况讨论，我们得判断一下如果是可导函数和一般函数的关系对不对？极致点放在这 来，若是可导函数，可导函数可导的 fx， 那集之点必定是他的注点，能懂吗？啊？如果是可导的话对吧？那如果一般来说呢？一般函数，呃，或者说可击函数吧。咱讲可击，你们知道什么叫可击吗？哎，可击我跟你们讲过没？ 连续函数必可集对吧？在区间内有界且有有线的间断点，他也可集。记得我跟你们说的定积分的存在性定理的吗？前几前几天讲直播的时候讲过对吧？你看都跟过的朋友都知道啊。所以像这种函数他是不是 不一定机制点就是注点？是不是还有一种情况？还有一种什么情况？你就说举个例子来外等于啥？ x 绝对值，他是不是有一个不可导点？那不可导点是不是有可能是极致点，对吧？可导函数他的极致点必是注点，但是呢，普通函数比如说可击函数，对吧？像这种他就属于这样， 他的不可导点是他的极致点，对吧？所以呢，可接函数极致点不一定是主点。先把这个忙给你们扫清啊，你把一阶倒搞清楚了，你才能去上二你，你把一元函数极致搞清楚才能上二元，对吧？ 对，连续函数啊，或者有见且有有限的阶段点，得有，有见，陈坤知道吧？得有，有见在必去见内。然后的话呢，我们再来问个问题，哎，一阶倒数为零的点，请问一定是几 离职点吗？一阶倒为零的点一定为即止点吗？不一定，举反例， y 等于 x 三次方，他的倒数为零的点是零， x 等于零，但是他那个图像他是这个样子的， 他不是机制点，对不对啊？举反例大家知道啊，所以这里面的谁是谁？谁又不是谁，搞清楚好不好？搞清楚，那么这个知识点呢？给大家铺垫到这，那给他扔到后面去，我们一会再说。下面来说二结啊，说二元函数几值，二元函数几值？来，我问问大家，现在二元函数了啊，我们二元函数一定要研究什么事情？如果说这个函数 uxy 对吧？ uxy 他呢？会有两种情况，一种呢是在边界上去的机制，另外一种呢，是在内部区的机制，对吧？ 那么取得机制，我们一般讲在边界上，一般来说这叫什么机制？这叫条件 机制，你得用拉格朗人乘数法去做。咱们昨天还做过一道题，内部的话就叫无条件机制，你得用充分必要条件去做。所以提到充分必要条件给我想哪些题？呃，有一年的第五题，哪一年？二零一一是吧？二零一一，又是二零一第五题，我看看我记得对不对？ 看到没？二零一第五题我是不是给你们介绍了，这个取极值的必要条件是一接到数等于零啊？充分条件是 ac 减 b 方带领有小于零，不是等于零，判出来对不对？你们是不是把这个 abc 分别是谁？你看我都跟你说完了是吧？所以这个地方是不是得截个图啊？好， 那么再来看二零一四的啊，那那个过程，那个什么充分标题就不写了，我就给你们写了。那么我们现在来看这个题目怎么去看？他题目还给我们什么条件？他说二阶连续可偏倒，说明什么？说明我在这个区域内一定是偏倒数 存在的，一定是可危的。那你既然可危，就不会存在间点。也就是说如果在地内取极值的话，对比一元函数，他那个极值点一定是住点，能懂吗？一定是住点，所以来看好在地内啊。假设， 假设，假设我的这个集值在内部取得，是吧？假设在内部 取得即值，那会怎么样呢？那么这个最值一定是注点，对不对？这个已经跟你们说完了，则最值一定是注点。我为什么要判他一定是注点呢？ 因为我待会得用必要充分条件是吧？记不记得当时我怎么说的，你需要在地内 这个函数先让他们一街道得零，求得可疑点，然后再去判那些可疑点是否是极值。所以你必须得先告诉我的是，如果你在内部取得极值，那我内部的那些取得极值的可疑点，他们都是重点， 对不对？他得是注点啊。所以你来告诉我来，现在我的所有的任给的啊，这个 x 零外零，任给的 x 零外零 带到我们的充分条件里去判，就是用我们的 ac 减 b 方去判，对不对？如果大于零怎么样？ a 大于零是小即小值， a 小于零是几大值？若 ac 减 b 方怎么样？小于零怎么样就不是即值？没有没有即值 啊，等于零就怎么样失效。那么我们来看题目给的条件是，这个玩意他不得零，请问这个人他是谁？ 他先对 x 带对外求导，他是不是我们的币？他是不是告诉我们币不是零，对吧？那请问币不是零，不管他是正的还是负的， b 方是不是一定大于零？ 同意吗？再来看他是不是告诉我这个人叫 a， 这个人叫 c， 那 a 如果加上 c 等于零的话，是不是告诉我 a 是等于负 c 的呢？那如果 a 等于负 c， 那他俩一乘，无论 ac 是正负，他俩一乘一定小于零，能懂吗？所以怎么样呢？ a 加上 c 是不是等于零？推，我们的 a 等于负 c， 他可以推啥？ a 乘以 c， 对吧？一定是 a 乘以 c。 写吧，负得一方。好吧，这么写小于零。好了，你告诉我 b 方大于零， ac 又小于零，那你说 ac 减 b 方，他怎么样？是不是一定小于零啊？一定小于零是不是一定没即止啊？没有即止。 好家伙，我没有集直。那没集直的话，就是说我在内部，你任何取的点是重点都没集直，说明我在内部无法取得集直，所以排除选项， 你在内部能取得极值的不要在内部取得什么最大值不要在内部取得，不要。所以只能选。哎，算了。

下面我讲到二零一八考研数学一、数学二、数学三都出现一个大题，这道题是这样的，将长为两米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形， 那么下面我要求是这三个图形面积之和是否存在最小值，如果存在的话，我们求出这个最小值，那么我们考虑一下这个问题。 这个问题首先考虑下，就比如说假设这三个图形是圆，正方形和正三角形，那么圆我们是不是最关键的因素是什么？是半径，那么我们知道圆的半径是 r 的话， 那么这个圆的面积是不是派耳平方，而这个圆的周长是二派耳。那么对于正 方形来讲，正方形我们非常关心的是什么？非常关心的是不是边长。我们设正方形的边长为 a， 那么这个正方形他的周长是四 a， 而这个正方形的面积是 a 的平方。那么对于三角形来讲，这个正三角形，我们我们若设这个正三角形，他的边长是 b， 那么他的周长是不是三 b， 而他的面积对不对？他的面积你看我们 过这个顶点做底边的一个垂线，对吧？那么这个面积是不是我们很容易就能得出来？他事实来讲是多少呢？是不是 二分之 b 乘以什么？乘以二分之刚好在比 是四分之个号赛比方，对吧？那么首先我们考虑一下目标函数，我们是找到的，因为这道题很明显是求什么？求三元函数的一个机制， 其中变量是什么？ r a 和 b。 那么我们考虑下我们目标是不是要找面积的一个最小值，也就是找这个派 r 的平方加上 a 方加上四分之，刚好三 b 方这个函数的一个最小值， 他这个函数 s 是不是关于 r a 和 b 的一个三元函数，而这个 r、 a、 b 他满足什么？他满足约束条件， 他是不是具有硬条件，就说什么他的周长是不是为二，因此他满足条件是二。派 r 加上四， a 加上三 b 等于二。那么我们如果说把这些分析明白了， 那这个问题就是抓成什么问题的，有条件及时，有条件及时，我们一下来就能想到 找什么使用拉格老日潮数法，那么我们下面就使用拉格老日潮数法来对这道题进行一个求解。 那么拉个老指乘数法，我们是不是要构造一个函数 l？ 首先左边是不是 r a、 b， 也就说他是一个三元函数，因此是不是要有三个变量？然后下面是不是我们还要引入一个喇叭的？ 为什么要引入一个喇叭呢？因为我们这里面只满足一个约束条件，因此也要只需要引入一个喇叭的就可以了。那么它等于什么？是不是等于 s 的最小 加上喇嘛的倍的？我们这个预数条件是不是要写成 g？ 关于 r ab 的一个三元函数等于零，这样用写时我们是不是要写成这样种形式？因此 我们在写的时候是不是要对这个右边这个二挪到左边去，变成喇叭的背的二派 r 加四， a 加三， b 减二变成这么样组形式。 而此时我们知道 l 对 r 求撇倒是等于零的， l 对 a 求撇倒等于零， l 对 b 求撇道等于零，那么 l 对 r 求撇道等于零， l 对 r 求撇道等于零的话， 我们看一下 l 对 r 的一个编导处是什么，是不是等于二配 r 加上二配萝卜的？而 l 对 a 球撇倒，对 a 球撇倒，是不是等于二倍的 a 加上四倍的老婆，我看一下四倍的老婆对不对？ 而如果说我们对地球片的话，是等于二分之刚好三倍的 b 加少，什么？加少三倍的老婆的对不对？那么这里面我们 是不是可以可以加 r ab 都使用含有喇叭的表达式进行一个计算，对吧？都可以表示成含有喇叭的表达式，那么 r 这里面是不是等于负喇叭的 a 等于负二倍的喇叭的 b， 这里面等于 看一下 b 这里面是不是等于负的二倍？根号三老的。那么我们还满足什么条件？我们还满足 r a b， 他满足二倍， r 加四， a 加三， b 减二等于零， 那么我们不妨看一下最终我们目标是什么？是不是要求 s 的一个最小值，为什么我们要看看目标呢？因为这里面可以简化计算，那么 s 最小值是派 r 平方加少什么？加少 a 的平方加上四分之刚好三倍的 b 的平方， 那么我们将 r、 ab 都替换成还有喇叭的表示，这面我们得到什么？是不是得到喇叭的披风，我们是都可以踢出来， 第一项变成了派，第二项变成了四，第三项变成了什么？塞贝格号三，他是不是谁要 s 最小值是这个， 而如果说我们把这个喇叭的求出来了，是不是就可以了？那么我们恰好这里边二派 r 加上四， a 加三， b 减二等于零，我们这个 r， a 和 b 他们都满足这个约束条件，因此我们将 r 等于负喇叭的， a 等于负二倍喇叭的和 b 等于负二倍，高二三喇叭的，我们将这些东西代替这个表。阿诗， 哎，下面奇迹就发生了，奇迹是如何发生的呢？我们得到什么？负二，派喇叭的减去八倍的，喇叭的减去六倍的根号，三喇叭的减二等于零，那么这里面喇叭的等于什么？ 喇叭的是不是等于负的？派加长四加上三倍的刚好三分之一？ 那我不要忘了，这 s 最小时他是不是正好包含这个东西？前面是喇叭的平方，依次我们 s 最小时是不是其实就求出来了，其实就等于派加四加上三倍的刚好三分之一， 是不是就解答的，虽说我们在解这道题的时候就说不要闭门造车，而是什么，而是首先我们要结合下，首先认准最终的一个目标， 然后再看看他是不是满足已经条件，能不能进行一个，达到一个简化计算的一个效果。