夹逼定理和泰勒公式

大家好，今天我们来讲高等数学的夹币定理，这个名字啊，起的非常合适，中间夹着无限必进，就叫夹币定理了。其实这个夹币定理的话，分成两类，一类是数列的夹币定理，另一类是函数的夹币定理。今天我们讲第一类数列的加币定理，来看吧，定义是什么呢？人家是这么说的啊，定理当然之后学完就可以直接用了。 电梯本身是这么说的，假设有三个数列，对吧？三个数列中间因为夹着，所以至少得有三个啊，然后一个是 xy z 码三个数列， 然后如果存在正整数恩零，当这个下标恩大于这个规定的这个正整数恩零的时候呢？ 你注意啊，一定得保证什么？一定得保证这个 xnx 是在谁中间夹着的？是在 y 和 z 这两个数列之间夹着的。那如果说你左边和右边这两个 数列的极限都是，当 n 趋近于什么，取景于无穷的时候，左边这个极限呢？取景为确定的数字 a， 右边这个呢，也取景于确定的数字 a， 那么中间夹着的这个 x 肯定也取景于数列 a 了，那具体表示的话，人家就这么表示。你看， 当 n 区均无穷的时候， y 和 z 这两个数列都是确定的，这样一个极限都是收敛于 a 的，那么我们就可以说中间夹着的 x 也肯定收敛于 a， 这个是直观上很容易理解的，你夹着他们，因为这个 y 和 z 是夹着中间这个数列的， 那你上线和下线都趋近于确定的谁啊？我们可以画一个，你看这个呢，我们可以理解为 z， 这个没问题啊，他逐渐接近于那个确定的数字 a， 然后一直可以接近下去，那下边的话是谁呢？下边的话是这个 y 吧，那我呢， 再用这个蓝线来表示一下这个 x， 无论说当，只要当 n， 当这个下标 n 足够大的时候，中间这个 x， n 都是在中间，都是在中间夹着，他肯定更加取景 a 了，就这样一个意思， 那直观理解很好理解。那证明的话怎么去证呢？数学系的同学一定得掌握证明的方法，其他同学的话，你看懂了就行了，会用就可以啊。 来看这证明方法是这样说的啊，首先啊，你极限去进行 a， 我们之前是讲过数列极限的定义的，对不对？用的是什么？用 exclond 定义，或者说 epcolond 定义是函数极限啊， exclonn 定义呢？这个指的是数列极限， 那么既然这个 y 和 z 极限是 a 的话，那其实就是说，无论说，对于所有的正数 excel 来说啊，无论这个正数多么小，那肯定存在正 整数恩，当然这个恩的话，我们让他大于等于这个定义里头这个恩零，记住，一定得大于，等于不能小于啊。当 这个下标 n 足够大的时候，肯定是啊，这个竖着上外恩和谁的距离和确定的这个小 a 的距离肯定是小 exlon 的，包括这个 zn 也是这个呢，其实就是数列的定义，数列极限的定义之前我们讲过，你一定得看一下，如果不懂的话，去掉绝对好。里头啊， 就这个 y n 呢，他必须在 a 减 epcolon 和 a 加 epcolon 之间，然后这个 zn 也必须是啊， a 减 epcolon 和 a 加 epcon 之间，你外和 z 什么关系啊？外和 z 中间是夹着谁的？ 中间是加着这个 x 的，所以说，既然这个 y 和 z 都在这个 a 减 ex 融合 a 加 ex 之间的话，那我们这个 x 肯定也是在什么之间的，在这个 a 减 e 和 a 加 excel 之间的。现在你看我画横线的这一部分，对于所有的你看好了，同学们啊，对于所有的大于零的 excel， 无论这个 excel 多么小， 总存在这样的正正说恩，使得当这个下标小恩大于这个正正说恩的时候呢，总有，你看，总有他跟 a 的距离在书桌上是小于一不松的，这个不就是书列极限的定义吗？所以就正出来了， 这个呢，数学系的同学一定得掌握。那好，讲完了，证明以后我们练一道题啊，练的话主要是讲这个定理怎么去用。看好了， 这个定理怎么去用呢？看例题，让你求证的是这样一个数列啊，他的极限啊，求，极限是等于多少？这个极限等于多少？怎么求呢？第一步，先大胆猜想呗，猜的话我肯定就猜二分之一了。有人来说，老师你是知道答案，所以你猜 二分之一，呵呵，我不知道答案，我也知道是他是才二分之一，知道为什么吗？原因很简单，大家看。 哎，每一个分母他都是几次的呀？每一个分母都是关于恩的二次的，其实就主要是这个恩二次在起作用，然后每一个分子的话，分子你不要管他，分子相比于什么，相比于这个二次来说是忽略不计的。但是 有多少个呀，有多少项啊，有 n 项，这个就不能忽略不计了啊。所以呢，从一一直加到 n， 他的话其实很好挣，他的话求出来应该是 恩方，然后二分之一恩方加恩吗？等差数点求和这个很容易，这样最后一笔的话求极限就是二分之一了。当恩确定于正无穷的时候。那既然是这样，我猜出来是二分之一，那怎么去正呢？哎，关键在于放松吗？ 怎么放缩？我们先记啊。让我们求的这样一个数列呢，是 xn 先放还是先缩呀。先缩小一点点吧，就是先写这个外按，外按好说， 你说同学们看好了啊，每一个他相当于几个分式加起来啊？这个 x 相当于 n 个分式加起来，对吧？ n 个分式加起来的话，你说你是改变这个分母好呢还是这个题处理这个分子好呢？我认为 处理什么好处理分母好。为什么你改变分母好呢？因为如果你把分都改成一样的形式，同分就直接就可以同分了，对不对？就很简单了。那所以说你看，我要把它缩小， 你看我所有的，哎，我第一个分母变大，哎，第二个分母再变大，所有的分母都变成恩方加恩。所有的分母除了最后一项开外啊，所有的分母是不是变大？分母变大是不是整体就要缩小了？哎呦，原来是 这个意思，所有的分母都放大了那么一丢丢都变成了恩方加恩。所以说分母放大整体就要缩小了啊。写了个小于号没问题。那缩完了还要怎么还要放大吧。好，这一步呢，是缩 是不是还得放大呀？那怎么样放大呢？哎，一样的。还是对分母进行处理吗？这个 x 针怎么放大？所有的分母都变小，第一个分母不变， 所有的分母都变成恩方加一，恩方加一，所有的分母都变成恩方加一。那既然所有的分母啊，除了第一项开外，所有的分母都变小，分母变小不就是整体变大的意思吗？你看，所有的分母，我们都变成了恩方加一了， 那继续处理呗。实际上我写到这很多同学就知道了，老师，我只需要求一下这个 y n， 他的极限是二分之一，再求一下这个 z n， 他的极限也是 二分之一。所以说根据假币定理，假币准则，中间 xn 的极限也是二分之一。那接下来你就求呗，剩下就很简单了啊， 先求谁？先求万恩呗，万恩好说，你分我都一样，我就直接通分吗？分子为什么改成这个形式？哎呀，分子就是一加二加三加四，一直加到 n 等差数列，求和二分之一，首相加尾相乘像数吗？这样的话，你看画圈这个部分就直接消掉，他其实就是二分之一啊，这么简单， 那这个 z n 呢？ z n 其实也一样， z n 的话，分母啊，分母，分母是恩方加一了，这个分子的话，处理以后不能直接削，但是 我们上节课讲过，这个二恩方加上二恩，恩方加上恩，当恩趋近于无穷的时候，主要是谁在起作用啊？主要是最高次项的系数在起作用，我们直接 直接写这个二分之一就行了，对不对？那好，所以现在我们就确定了呀，不仅说无论对于任何一项啊，这个恩对于这个小恩来说，都是外恩小于 x， 恩小于 z， 恩。那既然 做左边，就是说这个 y n 的极限是二分之一， y n 的极限也是二分之一，那中间我们就直接下结论嘛，中间根据假币定理，假币准则就直接说出来 xn， 他的极限就是二分之一。 原来呀，他这个家的定力这么好用，那既然这么好用，你总得自己练一道题吧。我们再讲一道例题啊，关键在于怎么去放松 好这个极限。这个极限怎么求呢？同学们，你要让我猜的话，我直接就猜出来他肯定是五。为什么是五呢？其实一样的，跟那个多项式比，多项式最高子弹组啊， 作用一样，他这个里头也是植物的 n 次方赞助作用的。他如果让你求的是你看 根号下啊， n 次根号下五的 n 次方，那不就相当于五的 n 次方，这其实就是个常数吗？最后结果就是五，你直接写五就行了， 但是你标准过程总不能这样写，你得体现这样价位定理的过程吧。那就写呗，老老实实写，第一步怎么样？先猜，我们已经猜出来是五了，那接下来就要写这个过程了吧。过程是好的，写了啊，我们这样来写。 首先我们不妨啊，记什么记我们球的这个数列呢？就是 n 次根号下一加二 n， 再加上五 n， 我一会为了方便写，我改一下形式啊，你 n 次根号下不相当于一加二 n 加五 n 次方，分分之一次方吗？对吧？ n 次 好下，相当于 n n g 次方。那关键是放缩，先放还是先缩呢？那就先缩呗，就是说先把它缩小啊，你缩小的话不是说随便缩小的，还得跟他有关系。缩小的话，这个外恩怎么缩小呢？ 好说，同学们，我们每一项都把它改成什么样子？你想啊，既然我的 n 次方起主要作用，我，我前两天我就把它省略掉了，那不就小了吗？ 所以说他就变成了什么？就变成了 n 次。跟号下前头不写了，零加零我就不写了啊，直接来个五的 n 次方，等于五的 n 次方，怎么样？再来个 n 分之，那其实不就是五吗？ 所以说我们明显感觉到这个外恩是小于啊 xn 的，其实这个外恩就是一个常数，就是五。这个我就不多说了啊，继续看下一个放大，缩 了以后得放大。怎么样去放大啊？五的 n 次方在起作用吧。那我首先把前两项一和二的 n 次方都写上五的 n 次方，也就是说我这个字眼我要放大了。放大的话怎么放大？五的 n 次方，再加五的 n 次方，再加前两项我都写成五的 n 次方，注意是 n 次方向下。 那整理之后的话，里头不就变成了三倍的五的 n 次方吗？对吧？ n 分之一次方，但是要处理， 处理成什么形式？我展开写了啊，三的 n 减一次方，再乘五的 n 次方，然后 n 减一次方，这个处理之后，实际上相当于他直接乘五了，这个没问题， 我们显然可以得到什么？显然可以得到 y n 小于 x， 这个数列小于 z n。 哎呦，中间夹准则夹臂定理不就出来了吗？看了啊，因为什么呀？因为你这个 y 的极限， 我们先求这个 y 的极限。 y 的极限他其实就是五，他就是一个长数嘛，他当然永远是五了。不管了啊，我们求哪个呢？继续来求一下这个 z 啊。继续来求一下这个 z， 当 n 区进行无穷的时候，这个 z、 n、 c、 n 相当于多少？我们仔细观察一下这个形式嘛。当 n 区进行无穷的时候，我们看这一部分啊， 三又 n 分之一次方 n 去年无穷的时候，画圈这一部分是不是就是零次方？三的零次方其实相当于是一的，对不对？就是说这一部分是一，然后再乘长数，像五一乘五，最后不还是五。哎呦，我知道了， 你看同学们，我们求回正了，被他缩小以后，他的极限是五，比他放大以后的数列呢？极限也是五。然后接下来根据甲笔定理不就求出来了吗？所以说中间这样一个数列，就是我们求的这样一个数列，他的极限是多少？他的极限直接写五就行了。 那现在你应该懂夹币定理，夹币准则了吧。那所以说留一道作业题，你自己来做这道作业题 怎么办？就是呢，是变分母还是变分子？你自己来了啊。然后最后这个极限等于几呢？过程我不说了，极限我一看我就曾能猜出来他是一的。你自己去放松吧，分享课堂知识，感受数学之美。我是张帆老师，下节课再见。

关于求极限，前面我们只学习了一种方法，那就是用定义来求，运用这种方法推出了一般函数的极限、极限的运算法则等等。 而今天我们要学习的是另一种方法，用加 b 定理求极限，掌握了它，我们才能计算更复杂的极限。 加 b 定理有着非常明确的几何意义，假如这里有上下两条曲线， h x 和 g x， 它们在 x 零点处的极限均为 l， 那么夹在它们中间的这条红色曲线 f x， 它在 x 零处的极限也为 l， 其完整定义如下，它的证明也比较简单，下面以 x 区域 x 零为例进行证明。直接使用极限的定义就可以完成了。 首先根据条件一，我们可以知道，在以 x 零为中心的某个区心灵域内，有 g x 小于等于 f x 小于等于 h x。 然后根据 g x、 h x 极限均为 l， 可以得到在以 x 零为中心的某个区心灵域内， g x 减 l 的绝对值小于 excellent， h x 减 l 的绝对值也小于 excellent。 此时在半径最小的这个区西林域内，有 g x 减 l 的绝对值小于 excellent， h x 减 l 的绝对值也小于 excellent。 把绝对值打开，就可以得到这两个式子。 再根据 f x 是在 g x 和 h x 之间这个条件，就可以得到下面这个不等式， 这样就得到了函数 f x 在 x 零处的极 线也为 l， 这样就完成了证明。这里由于求的是函数极限，因此也被称为嘉宾定理的函数版。 而用于求数列极限的版本称为加 b 定理的数列版，可以看到它和函数版的内容几乎没有区别，后面我们就把它们统称为加 b 定理。 搞清楚了什么是加 b 定理，下面我们就来看几道关于它的立体。 用加 b 定理求 c x 在零处的极限分析一下。题目要用加 b 定理来计算， 那么按照定义就是要找到两个函数， f x 和 g x， 满足以下两点，一、在极限位置附近，这里就是在零点附近， sci x 的函数值要在二者之间。 第二点是 f x 和 g x 在零点处的极限均相等。怎么找这两个函数呢？可以在图像上找灵感。首先做出 c x 在零点附近的图像， 从图像上可以猜测， six 在原点的极限可能为零，那它大概就应该小于一个正数，比如 x 大于 一个负数，比如负 x， 那是不是 f x， g x 就是负 x 和 x 呢？还是做出图像来验证一下。这里看起来 c x 在零点处的极限好像确实是可以靠它们加出来， 不过很快就发现这个想法是不对的。不对的地方就在于， 这两个函数在 x 等于零点处附近都是一会小于 six， 一会又大于 six。 另外一个也是一样的， 不满足上面的条件一，因此左边写的这个不等式在 x 等于零点附近是不成。 但如果我们将上面红色部分的曲线用 g x 表示， 下面这部分用 f x 来表示， 那他们就符合条件了。 也就是说要用加必定理求 c i x 在零点处的极限，其实就是要证明，在 x 等于零的某个区心灵域内， c i x 大于等于负的 x 的绝对值，小于等于正的 x 的绝对值。 而我们从图上可以看出，不论淋浴半径取多大， six 都是落在二者之间的。不仅如此， 我们还知道 cyx 在负二分之派时取得最小值，在正二分之派时取得最大值。因此我们可以选取二分之派为去心淋浴的半径。 这样只要完成了这个证明，就可以利用加 b 定理完成计算。 好的分析完了，下面开始证明。我们把证明分为两部分， 第一部分就是要证明在零到二分之 pi 这个区间上， six 大于等于负的 x 的绝对值，小于等于正的 x 的绝对值。 而第二部分就是要证明负二分之拍到零这个区间上， si x 也是大于等于负的 x 的绝对值，小于等于正的 x 的绝对值。 首先证明第一部分 做出一个半径唯一的单位源， 并在上面做出一段弧 a b， 令这段弧长为 x。 注意，这里 x 是大于零小于二分之派的。 根据弧长的定义，它所对应的圆心角 a o b， 其弧度值也就为 x。 然后过闭点做 o a 的垂线， b c 连接 a b。 由于这里是单位圆，因此 o b 等于一， b， c 等于 c x， 那么三角形 o， b， c 的面积就等于二分之 c x， 而扇形 o、 b， a， 它的面积等于二分之 x。 并且从左图我们可以看出，三角形 o、 b， a 的面积小于扇形 o b， a 的面积。 这样就可以得到在零到二分之派这段区间上， sine x 是大于零小于 x 的。 根据它，我们就很容易就能得出结论一，正确 结论一，证明完后，结论二就很好证明了。 由于 side x 是奇函数，那么就有负的 side x 等于 side 负 x。 然后结合结论一，就能推出负的 side x 大于负 x 的绝对值，小于 x 的绝对值 也就得到 sign 负 x 大于负 x 的绝对值小于 x 的绝对值， 这就是结论二。这样根据结论一结论二， 我们就证明出了。三 x 在以零为中心，半径为二分之派的去心淋浴内，其值大于负 x 的绝对值小于 x 的绝对值。 除此以外，负 x 的绝对值和 x 的绝对值在零点处的极限为零，那么根据加 b 定理，就能计算出 c x 在零点处的极限为零， 至此就完成了这道题。 用家必定理求 cosin x 在零处的极限。和前面求 six 的时候一样， 还是先来分析一下。求 sine x 的时候我们说过，就是要找到两个函数， f x 和 g x， 满足以下两点， 一，在极限位置附近，这里就是在零点附近， cosi x 的函数值要在二者之间。 第二点是 f x 和 g x 在零点处的极限均相等。前面我们是靠图像来求解的 six， 这次我们尝试用代数的方法来求解这道题。 首先看第一步，我们可以先找出 x 的一个合适的去心淋浴，和求 cy x 是一样，这里可以取半径为二分 分之 pad 取心领域，在这个取值范围内，我们知道余弦函数 cosi x， 它的取值范围是在零到一之间的。而根据背角公式，我们又知道 cosi x 由等于一减去两倍 sign 平方二分之 x。 根据前面求 si x 得出的这个结论，化减后可以得到 cosi x 最终大于。这个式子 整理后就是 cosi x 大于一减去二分之 x 平方，根据这两个不等式， 最终得到 cosin x， 再一减去二分之 x 平方于一之间。这样我们就找到了合适的 f x 与 g x。 接下来我们来看第二步两侧极限是否相等。这两个极限都很简单， 因为一减去二分之 x 平方的极限为一，且长数一的极限也为一，因此两侧极限相等条件成立，最终得出 cosin x 在零处的极限为一。 最后我们可以画出图像观察一下，可以看到 cosi x 的图像确实在一与一减二分之 x 平方之间， 且他们在原点处的极限均为零。 用加 b 定理，求 sine x 除以 x 在零处的极限。这道题的做法和前面的例题一样，第一步，找出一个范围，这一题 sine x 除以 x 的范围在 cosine x 于一之间。 这个式子是解题的关键，关于他是如何得出的，后面我们会详细讲，然后对不等式两边分别求极限，得到两端极限都为一， 这样就解出了。三 x 除以 x 在零处的极限为一。这就是这道题的完整过程。 其他的步骤都比较简单，关键就是要列出这个不等式， 要对这个式子进行证明。要用到我们高中时学习的一个结论，在零到二分之派这段区间上， si x 小于 x， 小于 tangent x。 下面我们先来证明这个结论。 做出一个半径唯一的单位源， 并在上面做出一段弧 a b， 令这段弧长为 x。 注意这里 x 是大于零小于二分之派的。 根据弧长的定义，它所对应的圆心角 a o b， 其弧度值也就为 x， 然后过 b 点做 o a 的垂线 b c， 然后过 a 点做 o a 的垂线， o b 的延长线与垂线交于点地连接 a， b。 由于这里是单位圆，因此 o， b 等于 o， a 等于一， b， c 等于 c， i， x， a， d 等于 tangent x。 那么三角形 o， b， c 的面积就等于二分之 c， i， x， 而扇形 o， b， a， 它的面积等于二分之 x， 三角形 o， d， a 的面积就等于二分之 tangent x。 并且从左图我们可以看出，三角形 o， b， a 的面积小于扇形 o， b， a 的面积小于三角形 o， d， a 的面积。 这样就可以得到在零到二分之派这段区间上， sine x 小于 x 小于 tangent x 的这样就推出了这个结论。 这个结论证明完后，我们要证明的这个条件就很简单了， 在零到二分之派这段区间上， si x 小于 x 小于 tangent x 的不等式，每一项同时除以 si x， 得到这个新的不等式， 新的不等式每一项取导数最终得到 cosine x 小于 sine x 除以 x 小于一，也就是在零到二分之派满足 cosine x 小于 sine x 除以 x 小于一。 我们可以画出图像观察一下，可以看到三个函数确实满足不等式关系，并且三个函数都是偶函数， 因此有在负二分之拍到零满足 cosi x 小于 si， x 除以 x 小于一， 这样我们就得出了这个范围。回到前面写出的解题过程，值得注意的是 这道题的答案三， x 除以 x 在零处的极限为一，它是一个很重要的极限，在后面解题中我们经常会用到它。下节课我们就来看几道例题，学习一下加 b 定理和这个重要极限的运用。 运用加 b 定理与重要的极限计算这几个式子的极限，下面一道一道的开始看。先来看第一题，这是一道很基础的练习题， 以前我们用无穷小的乘法计算过这道题，这次我们用加 b 定理来进行计算。由于负一小于等于三， x 小于等于一， 我们可以将不等式每一项除以 x。 根据 x 大于零和小于零可以得到两个不等式。写出来是这样的， 对于不等式，两端分别求极限，可以得到左右两边的极限都等于零， 因此所求极限的结果为零，这样我们就解除了这道题。下面我们来看第二题。第二题要计算的这个极限， 可以用重要的极限三， x 除以 x 在零点极限为一来进行计算。先将式子进行以下变形， tangent， x 除以 x 可以写成两个分， 可以对这两个分式分别求极限。分式求极限，可以对分子分母分别求极限。观察这个式子，可以看到 左边这是重要的极限等于一，右边这个极限也等于一， 因此最终结果等于一乘上一，也就是一。这样就解出了第二题的答案。下面我们来看第三题。 第三题要计算的这个极限，也可以用重要的极限三， x 除以 x 在零点极限为一来进行计算。先将式子进行以下变形，分子分母 同时呈上一家 cosine， x 得到这个式子，分子可以写成 same 平方， x 同样可以将这个式子写成两个分式的乘积， 然后对每个成绩分别求极限。对于这两个极限，左边是重要的极限的平方等于一，右边这个极限等于二分之一， 因此最终结果等于二分之一。这样就解出了第三题的答案。下面我们来看最后一题。 第四题的这个极限，我们用加必定理来解决它。 这道题题目里有不太常见的符号，在求解这道题之前，我们先来了解一下这个符号是什么意思。这是向上驱正符号， 它的意思很简单，我们来看两个例子就知道了。先来看第一个，一点一向上取整， 我们就将小数部分省去，整数部分加一，最终结果为二。同样的一点九，向上取整也等于二， 而整数向上取整等于自己。例如二向上取整等于二，这就是这个符号的意义了。了解了这个 个，我们可以开始来解这道例题了。由于 x 分之一小于等于 x 分之一，向上取整小于一，加上 x 分之一， 我们可以将不等式每一项乘上 x， 由于这里的 x 都大于零，因此可以得到这个式子。 对于不等式两端分别求极限，可以得到左右两边的极限都等于一， 因此所求极限的结果为一。这样我们就解除了这道题。这节课我们学习了加 b 定理和重要的极限。 下节课开始，我们来学习复合函数的极限。以上是本期视频的全部内容，欢迎一键三连。

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。