职高数学拓展模块一人教版和角公式

同学们好，这一节课我们学习四点四点二，二面角， 同学们都有见过笔记本吧，老师在上大学的时候，笔记本是必备用品，写论文啊，还有其他的东西都要用到。现在的同学们是比较多用手机和平板， 那么我们在打开笔记本计算机时，笔记本是不是有两个面，一个是屏幕，一个是键盘所在的面，那么 显示屏的开合程度会不同，那么键盘与屏幕所在的两个平面的相对位置就会不同。那么就像我们下边这幅图所示，我们在将显示屏打到不同的位置的时候 后，他的框就是虚线，这个时候那么我们怎么样来描述这种不同呢？ 我们观察可以知道，显示屏的开合程度实际上是可以用角度来描述 平面面的，一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都成为 都称为半平面，就像刚刚我们的笔记本中间那一条是 直线，就是二面角的人，那么我们的显示屏是一个半平面，键盘所在的平面也是一个半平面，那么从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角， 那么这条直线称为二面角的人，这两个半平面称为二面角的面啊，这些是一个，这些都是一些基本的概念，也比较好理解，那么根据二面角的不同摆放位置，常常把二面角画成图， 下面就一二三四四幅图，一二三，嗯，是比较同的。第四幅图是比较特殊的， 前面双幅图我们都是有两个平面，一个是阿法，一个贝塔，他们的交线，那么所形成的也叫人是 l。 那么右边第四幅图的话比较特殊，实际上你可以把三角形 a、 b、 d 所在的平面当做平面，阿法三角形 b、 c、 d 所在的平面当做贝塔， b、 d 当做 l。 那么 当二面角的人为 l， 两个面分别为 alphabet 时，我们是记住把这个人放在中间，平面分在两边，记住 alpha、 l、 alt 白塔中间是两个杠号。 那么第四幅图的我们就是把那么删掉这个平面，那么点点 a 放，我们还是一样把中间的人放在中间 b、 d。 那么不一样的是，这边是一个三角形所在的平面，那么我们把这个三角形的顶点 a 写在前面，另外一个点点 c 写在后面。 那么如左下图所示，在二面角 alpha l 北塔尔的 l 上取一点 o， 分别在 在两个面内做垂直于垂直于人人耳牢的射线， o a、 o、 b 也是 o a 垂直于耳牢， o， b 也是垂直于耳牢。 那 o、 a、 o、 v 所形成的最小正角，称为这个二面角的平面角，也就是角 a、 o、 b。 我们可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小。 那么左边这幅图我们刚刚有说平面角 a、 o、 b 的大小就是二面角 f、 l 白塔的大小 也是这个角。规定当 二面角的两个半平面重合时，二面角为菱角。当二面角的两个半平面构成一个面时， 那么二面角称为平角。就像我们的书本打开的时候，你将它放平了，那么它是一个平角，也就是一百八十度的。于是我们得到二面角的取值范围是零倒拍， 那么左右两边都是可以取到等号的，那么都是 b 区间。当二面角的平面角为直角时，称为直二面角，就是两个二面角，其实两个平面就垂直， 我们看立山后面角，阿法劳贝塔是锐角，其面 打法内一点 a 到人 l 的距离为二，也就是我们这边 a、 b 等于二到面的距离为 l， 求这个二面角的大小，那么你过点 a 做平面北塔的 垂线，那么交于平面北塔一点 c， 那么我们可以看。根据题意可知道， a、 c 是垂直于 b、 c 的， 那么我们要求的角实际上就是角 a、 b、 c。 我们 a、 c 是等于一，那么我们初中学的话是比较快的， 对边比上斜边等于二分之一，或者说对边是斜边的一半，那么这个角是三十度，也就是六分之派。 好，前面这边说了一大堆 啊，那么就是角 a、 b、 c 是二面角的一个平面角， 就是我们啊，老是垂直于 a、 b， 老是垂直于 b、 c， 那么叫 a c a b c 就是平面 f、 l、 b。 它的一个平面角 a、 b 等于二， a、 c 等于二，那么三角形 a、 c、 b 是直角三角形。那么刚刚我们说三十度所对的边等于斜边的一半，那么这个角就是六十度，也就是三十度，也就是六分之拍， 那么因此二面角的大小就是 d 分之派。例次求证，如果一个平面杆码垂直于二面角 alpha l 白， 它的人 l、 o 为垂足，且与两半平面的交线分别为 o、 a、 o、 b， 如图所示，那么叫 a o、 o， b 是二面角 f、 l。 北塔的平面交。 我们证明，因为阿法和伽马是相交的，他们交线是黄色的，这一条 a o， 伽马和 a 呃， beta 和平面 beta 的相交是 o b 这条直线，那 o a 和 o b 是不是都在平面伽马上？ 我们又因为矮劳平面嘎法是垂直于这个人矮劳的，也就 意思是说 l 是垂直于伽马的，因此我们 o a、 o b 是在伽马上， l 是垂直于这个平面的，那么我们可以得到 l 是垂直于 o a， 同时 l 也是垂直于 o b 的，那么我们得到的这个角 a、 o b 就是我们要求的二面角的平面角。 立式中，垂直于人耳牢的平面与二面角阿法罗北塔的交线 o a、 o b 构成了二面角的平面角 a、 o b。 这又为我们提供了一种寻求二面角平面角的方法，就是你找一个平面 同时垂直于这两个平面，用这个平面去切，那么切到他们所的胶线所形成的角就是二面胶。 他们交线一个是 a o， 一个是 o b， 那么角 a、 o b 就是。 我们已经知道了两条直线所形成的角和直线与平面所成的角的定义。那么两个平面所成的角怎样定义呢？ 在两个相交平面形成的四个二面角中，至少有一个不大于二分之派，这个面角称为两个相交平面所成的角。 于是两个橡胶平面所乘的角的范围是 零到二分之派，因为相交，那么它不能重合，也就取不到零，那么它最多可以垂直。那么二分之派 可以取到的，我们看。例如如图所示，在正方体 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d。 中，平面 a、 b、 e、 c、 d。 以平面 a、 b、 c、 d 所形成的角 a、 b、 e、 c、 d， 嗯，就是这个这个平面以 a、 b、 c d， a、 b、 c、 d 就是我们这个底面， 那其实我们 a、 d 是垂直于 a、 b 的， a、 d 也是垂直于 a、 a 的，我们 a、 d 是垂直于后这个后面的这个背面的这个平面，也就是 a、 d、 j。 一背面 a a、 b、 e、 b， 那么 a、 b 是背面这平面上的那条直线，显然 a、 d 也是垂直于 a、 b、 e 的，那么我们 a、 d 垂直于 a、 b e， a、 d 又垂直于 a、 b， 那么角 底下这个角，这个角 b、 a、 b 就是我们形成的角要求的角，那么它是正方形，我们角 b、 b、 a 是直角， 它正方形的话， b、 b、 e 是等于 a、 b、 e 的，那么这个角就是四分之派了。 因为正方体是各 个面都是正方形，所以 ad 垂直于 aaad 也是垂直于 ab 的，那么我们他们两个是，而且 aea 和 ab 是相交的，那么他我们垂直于两条相交的直线，就我们 ad 可以是垂直于这个平面， 那我们垂直于背面，呃， a、 b、 e 也是在这个背面上的，那么我们可以得到 a、 d 垂直于 a、 b、 e。 刚刚我们知道 a、 d 是垂直于 a、 b 的， 那么我们 a、 d 是这这个我们对角线这个面跟底面的棱， 那么这个人垂直于 a、 b 又垂直于 a、 b， 那么角 b、 a、 b 就是我们所写 b a、 b 就是我们要求的平面胶，这个二面胶的平面胶，那么显然它 四等于四分之拍的，因为这个角是直角，那那两条边相等。我们看课本的练习， 已知二面角 up l 白塔 c 在平面 up 上， d 在平面白塔上， a、 c 垂直于 a b， a、 d 垂直于 a、 b。 同学们大概的把图画一下， 表示上面是 up， 下面是 beta， 这是 a， 这是 b c 在 r 上减 a、 c 垂直于 a、 b， 那么这边是垂直的，这边点 c， 那 a、 d 垂直于 a、 b。 那显然 我们 cad， 这是我们要求的。 oppo 加老师这边画的不太好，他就能自己画一下。 第二题，已知正方体 a、 b、 c、 d、 a、 b、 c、 d 是找出二面角 a、 b、 d 与二面角 a、 b、 d、 c 的一个平面角，并分析二者之间的大小的关系，我们大概画一下， 那么我们其实可以先把 b、 d 连接起来， a、 c 连接起来，它们的胶线是 o， 那么连接 a、 o、 a、 e、 o。 我们可以知道 b、 d 是垂直于 a、 c 的，同时也 可以证明得到 b、 d 也是垂直于 a、 o、 e 的 a、 e、 o 的，那么实际上叫 a、 o、 a、 e 就是我们平面 a、 b、 d、 a 的一个平面角。同样的话，我们角 c、 o、 a 是我们平面 a、 b、 d、 c 的一个平面角，那么他们两个什么？一个这个角是一个上面 a、 o 角 a、 a、 o、 a、 e 是锐角角， c、 o、 a 是 钝角，而且他们是相加，是等于派的，也就是互补。我们第三判断下列说法正确的是。第一小题，两个相交平面所乘的角的取值范围是零到二分之派，而二面角的取值范围是零到派，这就是我们刚刚课本上的内容。 两个相加平面所乘的角的范围是这个二面角的范围是零到 pa， 这是正确的。 第二题，在正方体 a、 b、 c、 d、 a、 b、 c、 d 中角 d、 a、 a、 b 是二面角的平面角，都是错的。我们画出来的话，实际上要角 d 一、 a、 e、 b 才是。第三题，分别在二面角的两个平面内取一条直线，是 两条直线相交，则相交直线所形成的角，这个是错的，我们是要垂直于人的两条直线所形成的角才是。第四题，已知等腰三角形 a、 b、 c 的腰长为五， 底边长为八厘米，沿着线沿着底边上的高 a、 d 对折，折后 b、 c 等于四根号儿球后面角 b、 a、 d、 c 的大小，我们一个等腰三角形， 你对折 这个是高 b， 着实后我们记这一点是 还是 c， 或者写 c 撇也行。你从这边其实对折走到这边， 那么我们腰长是五厘米，那么这边是五，这边是五，底边是八十，那么我们 d、 b、 d 和 d、 c 都是等于四厘米， b、 d 等于四厘米， b、 d 是等于四厘米， 那么折合 b、 c 等于四根号二，那么这边这边是四，这边是四根号二， 实际上是。这两条我们实际上就可以知道了。我们脚 我们 a、 d 是垂直于 b、 d 的，同时 a、 d 是垂直于 我们折后的 c 撇折在 c、 d 的，那么角 b、 d、 c 就是我们要所求的角，那么我们可以算出，实际上我们两这个等腰三角形 b、 d、 c 形成之后，这两边是四，这个是四跟二， 那么这个角实际上就是九十度，这两边是四十五度，因为它是等腰直角三角形，那么这个二面角也是角 b、 d、 c， 那么它是等于分之派。我们看第五题，在长方体 a、 b、 c、 d、 a、 b、 e、 c、 d 中， a、 b 等于二三， b、 c 等于一， a、 a、 e 等于一。求二面角 b、 e、 c、 d、 a 的大小，那这个也是要画图，我们画 我们 a、 b 是等于根号三， b、 c 等于 a、 a、 一等于一， 那求 b、 e、 c、 d、 a。 实际上我们连接起来 角 b、 c、 c 就是五二五门所求的角，它是等于四分之派的。 第五题，我国水利建设力啊，这个都不用看。如图所示，某坝水坝水库大坝高八十五米，斜坡以水面形成四十五度，角 又高八十五，那么这个角是垂直的，形成的角四十五度，这个四十五度， 这个角四十五度，那么这个这个斜坡长多少？就是八十五乘以根号二，八十五，根号二米。那今天的课就讲到这边，同学们拜拜。

同学们好，前两节课我们学习了两角和与差的正弦公式，两角和与差的余弦公式，那么这一节课我们开始学习六点一点三两角和与差的正切公式。 那么我们知道阿法加贝塔或者阿法减贝塔的正弦余弦都可以用阿法贝塔的正弦语余弦表示，那么 我们是否也以同样的方法用可以用 alpha 和 beta 的正切来表示 tender upper 加 beta， 或者说表示 tender upper 减 beta 呢？那么就是我们这一节课主要学习的内容。那么在我们基础模块的同学们还记得我们学习了两个 基本关系的公式是什么？第一个是什么？ sign up 的平方加 cosine up 的平方等于一，另外一个呢是 contain up 等于 signing up 除以 cosine up。 当然 cosine up 作为分母不能等于零， 那么我们将这个 alpha 换成 alpha 加倍的的话，我们可以得到贪整 alpha 加贝塔等于什么？等于 sine alpha 加贝塔除以 persime 贝塔，意思是将 alpha 全部换成 alpha 加贝塔。 那么我们是不是前两节课学了正弦的两角和公式，那么正弦 e 名同加减，这边是加的，中间这边是加的，那么余弦的呢？中间是余弦同名加减 e， 这边加的时候反而这边是减的啊，这边是符号值，这边要注意的。 那么正弦的是域名的，那么是有三人和口三音是交叉成的，那么与弦的呢？是同名的，那么是口三音乘口三音，三音乘以三音的，那么我们当口三个法乘以口三贝塔不等零时，我们将这边这边左右两边 将这个上下两边同时除以一个 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔，那么这一个 sign up 除以 cosine 乘以 cosine 贝塔除以 cosine alpha 乘以贝塔。那么 cosine bate 跟 cosinbita 约掉就等于 sign up 除以 cosine alpha， sign up 除以 cosil alp 等于什么？是不是等于 tenth alp？ 那我们同样的，这边 cosil alp 乘以 sat in 被它，除以 cosil alp 乘 cosil in 被它，我们将 cosil alp 约定 要的话等于 sunbat 除以 cosinbat， sunbat 除以 cosinbat。 什么？等于吞整贝塔，那么这边 cosine alpha， cosinbata， 这边除以 cosine up 就是等于一。那么 one 三引 a 法和乘以三引贝塔除以口三 a 法除以口三 a 法口三贝塔的话，我们是不是相当于 这边除以 cosine 阿法，再 cosine 被它 cosine 阿法除以 cosine 阿法，这边是等于吞震阿法， 那么 same 贝塔除以 cosine 贝塔呢？是等于吞整贝塔，那么我们就可以化减得到吞整二法加贝塔等于吞整二法加吞整贝塔减去一减吞整二法乘以吞整贝塔。 那么我们是不是一样的可以将 beta 换成替换成复 beta， 复 beta 的话我们就得到 tendon up 加复贝塔是不是等于减 beta， 那么我们是不是 tendon 复贝塔是等于什么？是等于负的吞整贝塔，那么加上吞整复贝塔就是等于减去吞整贝塔啊，这个是怎么来的？就吞 这个，你将贝塔换成负贝塔，就等于吞整负贝塔，等于负的吞整贝塔，也就是等于减吞整贝塔， 那么这边一加上，这边一减去藤枕阿法乘以藤枕贝塔，藤枕贝塔是 数字，等于负腾等于它负，负得正，那么这边变成正的，那这样的话，我们得到两角和与差的正切公式， 那么我们发现什么这边是加的时候，上面是加，下面是减，这边是加相乘，减的时呢？上面是减，下面是加，我们就可以正弦的是，好，我们说这是正切的 正切，上同下相仿， 就是它的符号。上面是这个是加的时候，上面是加的，下面的是这边加的时候这边是减的，那么减的时候这边减的，那上面分子是减的，分母呢？变成加的，那当然其中 alphabet 的曲子，因此分式有意义。 好，我们还是通过练习，同学们吞整十五度，我们一般是用什么？可以用六十度减气 四十五度或者四十五度减去三十度，对不对？我们就将刚刚的公式带进去啊。这边我们课本上用的是 tint 四十五度减三十，那么就是等于先的是 tint 四十五度， 再减去吞整三十度乘以一，这边减的上面应该是减，下面是加，那吞整四十五度等于多少？吞整四十五度是等于一，吞整三十度是三分之二三，那么下面是一加上一 等等四十五度乘以等等三十度也是一乘以三分之二三，我们上面同时上下同时乘以一个三， 那么上面就得等于三减根号三。 这边三乘一等于三，三乘以三分之根号三等于根号三，那么减是根号三。那么这一步我们是不是可以分子分母同时乘以一个三减根号三，那么三减根号三乘以一个三减根号三 分母呢？三加根号三乘以三减根号三。 是我们知道 a 加 b 乘以 a 减 b 等于什么？是等于 a 的平方减 b 的平方， 那么这位 a 加根号三乘以 a 减根号三是不是等于三的平方？减去根号三的平方，那么等于多少？ 那分母是等于多少？分母是不是等于三的平方就是九根号 三的平方是减三，那么三减六上面呢？是不是根号是都是三减根号三，也就是三减根号三的平方，那么我们完全平方展开等于三的平方减去两倍的乘以三乘以根号三，再减去根号三的平方，那等于三，那么等于 六分之三的平方是九九减三的话是等于六，这边减去六根号三十二。哦，这边是应该是加，加的话，这边应该是十二 十二减去六根号三，那么同时除以这边分母除以六的话，这边等于二，那么六根号三除以六的话等于根号三，那么我们就得到等于二减根号三。好， 我们再看力八，求下列各式的值，我们这个 tention alpha 加贝塔 是不是 tendon alpha 加贝塔等于 tendon alpha 加 tendon 贝塔除以一节 tendon alpha 乘以 tendon 贝塔。 那么我们是不是反过来吞整阿法加吞整贝塔乘除以一减吞整阿法乘以吞整贝塔的话，会等于吞整阿法加贝塔。好，同学们要有这个思回， 这就相当于刚刚公示的从右边推到左边了。那么我们可以看到第一题是不是吞整二十五加三十五度，那么它实际上就是等于吞整二十五度，加上吞整三十度三十五度。好，看到这个要反过来求，我们不但要把 他在阿法家被他展开，也要给他反过来推到，那么二十五加三十五度等于六十度，他在六十度是我们特殊叫的三角函居入值，也就是根号三。那么我们第一小题就讲完了，我们看一下第二小题，第二小题的话是这上面是 加的，下面是减的，其实我们是不是有个角的正确值很特殊呃，吞整四十五度，它等于多少？是等于一，我们就可以看成 turn 十五度，这边乘了个一，也就是弹音四十五度，那么我们一加 turn 一的话是不是等于 turn 的四十五度，那么我们可以这个一加 turn 十五度的话，可以下 成摊整四十五度，加上摊整十五度，这边一减摊整十五度的话，是可以写一减摊整四十五度乘以摊整十五度，因为摊整四十五度是不是等于一个数乘以一是不是还是不等于原来这个数他不变，那么我们这个就是转化成我们熟悉的就是 正切的两角和，那么就是等于 content 四十五度，加上十五度等于 content 六十度等于根号三。 好，第二题是比较灵活的，等一下我们习练习题也有一题类似的， 我们再看列九，已知吞整 alpha 等于五分之二，求吞整四分之八害加 alpha， 我们就是把这个当做 alpha， 这个当做贝塔，直接直接展开就行了，他告诉我们吞整 alpha 的话就是直接带进去，因为吞整四分 分支派的话我们是很熟悉的，那么加的话这边是加号，这边是加号，这边是减号，这个符号一定要注意。那么吞着四分之派是等于一，这边吞着二法告诉了我们是等五分之二，那么等于一加五分之二， 然后分母呢？一减去摊成四分之派，四分之派是一，一乘五分之二，那么我们上下可以同时乘一个五的话，五加二除以，这边除以就是乘五的话，五减二，那么五加二是等于七，五减二是等于三，那么就等于三分之七。 我们再看一下课本的练习题，第一题求下列各式的值吞整七十五度，那么这个第一题的第一小题是不是比较好算？就是等于吞整 四十五度加 加三十度，那等于 content 四十五度加 content 三十度除以一减 content 四十五乘等于三十度，那么我们直线 content 四十五度时，等号一加上 content 三十度是三分之根号三， 那么这边一减去一乘以上面这个三分子分母同时乘一个三的话，那么上面是三加根号三，分母的话是三减根号三。你在分子分母同时乘一个三加根号三， 那下面分母是等于三的平方，减去根号三的平方就九减三，那么分母是等于六分子呢？三加根号三的平方就等于三的平方。加上二乘以 三根号三，再加一个根号三的平方加三，那么等于 六分之 十，二加六根号三，那么是十二除以六的话等于二 加上六根号三除以六的话等于根号三，那么整个值是等于。第一小题是等于二加根号三，我们之前有一题是等于二减根号三，那么第二题的话，我们看一下一百零五度等于多少？ 一百零五度是不是等于我们将手四十五度加六十度，那么一样的，我们给他我们用蓝色的吧，那么是第二小题， 吞整一百零五度就是吞整六十度加上四十五度或者四十五度加六十度都一样的，那么吞整六十度是等于根号沙。吞整四十五度是一 除以一减去它跟等等六十度乘以等等四十五度，那么等于根号三乘以一， 那么就是等于一减根号三分之，那么分子分母同时乘以一减一加根号三，那么就等于一的平方。减去根号三的平方， 那就等于十，根号三的平方就等于三了，那么分子就是根号三加一的平方，那么等于根号三的平方是等于三。加上两倍的根号三，再加上一的平方，一的平方是等于一，那么等于负。分母是负二，上面是四加 二根号三，再化解一下，等于负二减根号三。啊。我们再看一下第三小题，第三小题的话是是我们倒过来的，将公式倒过来算， 那我们看一下，吞整十五度加上吞整三十五度，上面是加的，是不是？我们的公式是十五，这边加的是同号的，上同下相仿， 那么就是等于第三小题。其实就是等于吞整十五度加上三十度等于吞整四十五度， 吞的是五十五度，是很为熟悉的单一。那其实第四小题，那第四小题我们 根号三等于多少？是不？我们熟悉的是根号，我们 ctrl 六十度等于根号三，那么根号三我们可以写成 ctrl 六十度， 那么就写成第四小题。等于吞整六十度减去吞整十五度，除以一减吞整六十度乘以吞 整十五度，那么它等于什么？是不是等于摊子六十度减十五度 哇？等于吞整四十五度，吞整四十五度是等于一。那么我们把第第一题的第四小题也做完了，同学们看一下第二题第二题是不是感觉有点复杂，实际上是也不会，对不对？就是我们把公式带进去比较。 那吞整 x 加 y 是不是等于吞整 x 加上吞整 y 除以一减。吞整 x 乘以吞整 y 啊？等。吞整 x 是等于二加上 y， 吞整 y 是等于三 除以一减二乘以三，一减二乘以三，也就一减六，那么分母式等于负五，分子式等于五，然后五除以负五的话等于负一。 那么我们看一下 twenty x 减 twenty y 呢？是不是减的？是，上面是减的，下面是加的。嗯， 吞整 x 减 y， 输入等于吞整 x 减去吞整 y 除以，下面的是加的加。吞整 x 乘以吞整 y， 那么吞整 x 等于多少？等于二。吞整 y 是等于三，二减三除以 一加二乘以三，二乘三等于。 上面是二减分子是等等 x 减等等 y， 对吧？二减三分母是一加上等等 x 乘以等等 y 的话就二乘三，一加六是等于七， 二减三的话等于负一，那实际上就是等于负的七分之一。 我们再看一下最后一题的证明题，我们证明的时候，同学们习惯了，是不是从左边正到右边，那么我们实际上是不是可以 可以从右边往左边？那么我们将这个展开是不是相当于这个是阿法式等于四分之快，贝塔式等于 cta， 那么我们就等着阿法加贝塔啊，我们记得我们等着阿法加贝塔， 这等于什么？上同下相仿，对不对？这等于 twenty alpha 加吞整贝塔除以一减吞整二法乘以吞整贝塔。 那么我们这边等等 f r 就是这边是四分之派和 shit， 那么我们将那个替换掉，我们擦掉 右边这边是不是等于 吞整四分之派加上吞整 set 除以一减吞整四分之派乘以吞整 set 吞整四分之派是不是我们熟悉的等于一，那么这个等于一，加上吞整 set 除以 e 减 c n set， 这个等于什么？是不是刚好等于我们左边？那么我们这题就得正了。那么我们整个六点一合角公式就是 就涉及到政弦公式，余弦公式正确，公式正确，正弦老式。那么我们一起回顾下，正弦易名， 它是上映成可上映的铜加件 e 弦的呢是 e 弦同名加减 e， 正确呢？是上同下相反 啊。那么这一节课我们就讲到这里边，感谢同学们的聆听，同学们，拜拜！

同学们好，今天我们开始学习拓展模块，拓展模块的话，他不是所有的事都要都会考的，那比如像福建的话， 我们学考的话就是考第第这边冲冲药条件的这一张，还有平面限量，还有序列，那么你其他的章节都不要去看，所以同学们要注意 啊，结合自己省份的，你要去问你们的老师，或者说去你们当地教育厅的那官网去查看考纲，哪个是要考的，哪一个是不考的，就不会花太多时间浪费在不考的地方， 那么我们直接开始学习充分条件和必要条件。 左边这个是一个小事业里面，这边一个电池，这边线连着这边一个灯泡，这边一个开关啊，比较简单的，我们小学或者初中都有做过， 那么开灯和关的是生活中常见的现象。那么像我们左边这个电路，所有在所有延续键完好的前提下， 当这边就是这边线是正常的，这边电池是有电的，灯泡也是不是坏的啊，开关也是好的情况下，我们如果开关 ab 盒， 开关 ab 和的话，就相当于这边金属，这边跟这边的金属连接在一起，那么这个灯比是不是会亮，是一定会亮。那么在我们数学的语言中怎么描述呢？ 能判断真假的陈述记称为命题。就我们写作文的时候经常会说命题作文，那个命题是给你一个题目，给定了题目，你按这个题目去写，但我们数学中你是首先他是一个陈述记，不是说语文记， 那么他能判，而且能判断真假叫命题。如果 判断为真的命题，那么就是真命题，判断为假的就是假命题，那这个很你理解了命题，那么真假是就是很好判断的。一般的对于行如如果批那么 q 的命题， 如果的东西是假设的，假设的话，你就是他的前提条件吗？比如说很多同学说，如果我有了一百万，那么我不读了， 那么是是如果是条件，那么 q， q 是什么？是他的结论。你如果的是假设的是条件，那么 q 是命题的结论，简称结论。那么你搞清了条件和结论，那么我们就还要接着学习什么是 冲压条件，充分条件，当开关 ab 盒时灯必亮。因此，如果，那这次是不是真是真的？陈述陈述句， 且这个命题是真命题，即我们这边开关闭合了，那么灯闭这边是一定亮的，那个结论是真命题。 一般的如若命题如果 p， 那么 q 是真命题， 即由 p 可以推出 q， 则称 p 是 q 的充分条件啊，就是我们涉及到的比较重要的一个概念，你 p 能推出 q， 那么而且是真命， p 能推出去， q 在前面呢，这个是你要说 p 四 q 的成本条件， 你这边前推后前面的， 而且是厚的葱 分条件，等一下我们会学到必要条件，如命题如果 p， 那么 q 是假命题。 刚刚我们可以推出的时候是用这个符号，我因为他是真命题，如果推不出的话就是假命题，就是推不出，推不出的话就中间再加个斜杠， 即由 p 不能推出 q， 则称 p 不是 q 的充分条件。符号的话，记这个你刚刚的就加个斜杠。 那么我们这 p 为开关， ab 和 q 为灯必亮。因为如果 p， 那么 q， 如果开关 ab 和， 那么灯一定会亮，他是真命题，所以开关 ab 盒是灯，他可以闭合，可以推出灯 b 亮，他是他的充分条件。 我们还是通过例题。例一，指出下列命题的条件 p 和 q。 结论 q， 并判断 p 是否为 q 的充分条件。如果你 p 要是 q 的条件，那么 p 就是要可以推出 q 的，对不对？我们这题要审题要认真，你要指出的话，你一定是要先把它写出来，哪个是 p， 哪个是 q， 哪个是条件 p， 哪个是结论 q， 再去判断是否冲锋条件。第一小题，如果 x 是整数， 那么 x 是有理数，整数的话一定能可以推出是有理数，对的，对不对？因为我们有理数是整数和分数的统称，你整数是其他其中的一部分，那肯定是可以推出它的。那么我们就可以说 当 x 是整数时， x 一定是有理数，所以指命题是真命题，真命题的话，就 p 可以退出 q， 所以是充分条件。我们再看第二小题，如果 a 等于，那么 a 乘以 b 等于零， 这刚刚这边，如果的这边就都是条件 p 吗？那么就是他的结论 q， 假设的这是 p， 这边都是 q， 你要给他写出来， 而且这边是应该是条件批结论 q 啊，老师这边就不 再继续写了。那么 a 等于零的时候，是可以推出 a 乘 b 等于它是真命题，真命题的话，那它是它的重要条件，那么 pa 可以退出 q， 因为当 a 等零时，一定有 a 乘 b 的零一直是真命题，真命题的话就是充分条件，他是可以退出的。我们再看第三小题， 第一下线的角度是锐角，是不是不对？我们在学三角函数的时候，中边相当的角，假如你这边是一个角，阿法是可以，他相当的阿法加二 k 拍， 其实是 k 城与二派，他多撞了 n 圈。无论你顺时针还是逆时针，他们的中边相同，他有无数个。即第一向线角是推不出 是锐角的，你第一项件很角，不一定都是锐角，你锐角是可以推出第一项线，但是第一项线不能推出，他是锐角， 那么你 p 是推不出 q 的，即他不是他的充分条件。 p 不是 q 的充分条件 还是我们刚刚的这个电路 这边一个问问道，如果灯比亮，那么是否一定需要 开关 ab 和呢？我们灯 b 要亮，他就电源这边所有都要联通，那么 a 是不是一定要闭合？即如果灯 b 亮，那么 可以反过来开光， a 已经是闭合的。 将命题如果 p， 那么 q 中的条件 p 和结论 q 互换之前，这个 p 是条件， 这个 q 是结论。反过来，我们把 q 当做条件， p 当做结论，他们的是互换了。 那么这个命题称我原命题的逆命题，就把它逆转过来互换了。命题如果开关 ab 和，那么灯必量的逆命题，你 是不是把这个两个互换就变成把这个灯闭亮放在前面，开关 ab 盒放到后面，及及他的另一面。提示如果灯闭亮，那么开关 ab 盒。好 的，另命题还是比较简单的，你就用两个相互换一下位置。一般的，若命题如果 p， 那么 q 的另命题如果 q， 那么 p 是真命题，则称 p 是 q 的必要条件。 记住我们刚刚学充分条件的事是什么？我们 p 能推出 q， p 一是 q 的充分条件进门，我们反过来， q 是难 推出 p 的，那么 p 是 q 的必要条件 啊。在公务员和事业单位的考试中，也经常出现这个充要条件的充分必要条件的判断，那么我们 可以也可以刚刚我们说前推后，就前面是后面的充分条件，后推前，前面是后面 的必要条件。或者说你箭头指向哪一个，哪一个就是必必要条件， 他就是另外一个的必要条件。 我们这边是不是箭头是指向 p 的，那么 p 是 q 的必要条件， 那么我们这边指向 q 是，那么 q 是必要条件， q 是 p 的必要条件， p 是 q 的充分条件。 如若命题箭头指向哪， 这边指向屁屁就是必要条件，这边指向这边，这个是必要条件，这个是另外一个的必要条件。 若命题如果 p， 那么 q 的另命题如果 q， 那么 p 是假命题，那就是他不是他的必要条件。记住， q 推不出 p， 即 p 不是 q 的第二条件。 我们看如果刚刚的这个电路命题如果灯比亮，那么开关 ab 和这个是真命题是对的。所以开关 ab 和是灯比亮的必要条件。 即如果灯 b 要亮，一定需要开关 ab 格， 那么你这个是在开关 ab 和是在箭头后箭头指向的，那么这个就是他的必要条件。我们看第二判断下列条件中的命题中的条件 p 是否为结论， q 的必要条件。 你要是他的必要条件的话，那么就是 q 是可以推出 p 的，我们那这边是 p， 这边是 q 条件 p。 结论， q 如果 x 加 y 为偶数，那么 xy 都是偶数， one xy 都是偶数的时候，那么 x 加 y 是偶， 所以我们这个是可以推出这个，后面这个 q 是可以推出 p 的，那么他是 p 就是 q 的， p 就是 q 的必要条件。 我们再看看这个，这个皮是阿法等于六分之派，那么三营阿法等于二分之一，我们三营阿法等于二分之一，可以一定推出阿法等于六分之派吗？我们也可以能是第一线，刚刚我们讲到第一象限的叫它有 n 个厉害，而且第二象限也有可能，因为我们正弦的是 一权杖，二正形，正形三下，结果这边跟这边都有一个二分之一，而且他们中边相同的角有 n 个，假如是这样， 这个价，这个价，还有他们中美相同的价有嗯，六无数个，那么这个就不是， 就是你刚刚这边这个推不出，那么他就不是了，那么批 就不是 q 的必要条件。 我们再看第三小题，如果 a 等于 b， 那么 a 的绝对是等于 b， 我们是要看 p 是否为 q 的， p 二是 q 的，那么就是 q 可以推出 p， 这个 很重要。箭头指向的这个是另外一个的必要条件，那么你这个是 b， 这是 q， 我们 a 绝对绝对是 aa 的绝对值，等于一的绝对值， 可以推出 a 等 b 吧，那么也可能 a 等负 b， 对不对？我们的可以是可以推出 a 等正负 b 的，那么这个是推不出的，推不出的那就不是必要条件。 这边他的另密底 啊，老师这边都没有给他，直接我们直接就 pq 写出来，这个是 p， 这是 q， 不去管他匿名题是什么，就你只要看后面的能不能推出，他 推得出 q， 能推出批，那么批就是 q 的必要条件。 q 推不出批，那么就不是必要条件。 看每个同学的习惯，你也可以按课本这样的，你先看他把他的立命题写出来，命题题，立命题是假命题的时候就不是立命题，是真命题的时候， 那就是比较条件，看同学们的自己的做题习惯。 那么我们看课本第四页的练习， 指出下列命题的条件 p 和结论 q， 并判断 p 是否为 q 的充分条件。 p 要是 q 的从 条件就是这样， p 能推出 q， 那么 p 就是 q 的充分条件。如果说 q 能推出 p， 那么 p 是 q 的必要条件。就这两个其实很好记， 镜头指向哪一个，哪个就是另外一个的必要条件。前推后，那么前面是后面的充分条件。可能同学有点绕晕了，我们先看第一个，如果的是条假设的东西是条件，条件批， 那么的后面的跟的这个是条件，这个是结论，结论是结论 q x 大于二，那么 x 的绝对者也是也是大于二的，这个是正确的，正确的就是是充分条件。 阿法去三亚法大领，那么二法是第一项先讲，那么他同时就同号吗？当这边都是正的，三亚法国三亚法都是正的，或者都是布的时候，也可以，对不对？ 我们正弦函数的，他是上下结构，余弦的是左右结构， 第一向线的时候，他是真的，当是不是在第三都是第三向线角的时候，他负负的时候也是大于零的， 那么这个是推不出这个的，那他这就是他是假命题，假命题的话，他就不是他的充分条件， 就不是充分条件。第三小题，如果指数行数 y 等于 x 的底数， a 大一，那么这个指数行数在二十分正行数，这个就是我们的 指数行数的性质了。正好 a 大一的时候是正行数， a 大零小一的时候是减行数，那么他就是他的冲调条件，就是充分条件，那么这个是真命题。对的，那么就是 p 可以推出 q， 如果的这边是条件 p， 那么的这个后面是结论 q。 我们看第四个，两个全等，三角形的面积相等，这两个是三角形全等，那么它的面积是不是底层很高？除以二， 那么肯定是相等的，那么 p 是可以推出 q 的，那么 p 就是 q 的充分条件，那么他是正确的。我们再看第二题，指出下列命题的条件 p 和结论 q， 并判断是否必要条件。 第二条件，刚刚是 p 推出 q， p 四 q 的充， 反过来 q 可以推出 p， 那么 p 是 q 的必要条件， 那么这回是条件 p 这个字。结论 q， 我们就看 q 能不能推出 p 就是判断必要 条件。如果 a 大 a b， a 大 a， b 能否推出 p？ a 大 a b 的话，我们用不等式的加法法则，那么是 a 同时加一个一， a 加一大于 b 加一，那么 a 加二是不是比 a 加一还更大， 那么他是成对的，是真命题，那么他是可以推出来 q 可以推出 p， 那么 p 是 q 的必要条件。 如果一只长袖 y f x 等于 k， x 加 b， 再二上是真行数，那么 k 大于零， 我们这样推是充分条件是对的，那么 k 大于零的时候，这个也是对的，这是条件 p， 这个是结论 q， q 是可以推出 p 的， 那么他是必要条件。我们再看第三题，这个是条件 p， 这是结论 q， 那火山二法等于二分之一，能推出二法等于六十度吗？他是不是有二法等于六十度，只是他其中的一个，他其实有 n 个 我们中边相同的角上角函数的时候，那么 q 是推推不出 p 的，那么他不是必要条件。 我们再看第四小题，如果直线 y 等于 kx 加 b 经过第二、第三、第四象限，那么 k 小于零，这个是条件 p， 这是结论 q， 我们 k 小于零的时候，能推出他 是经过第二、第三项线的吗？好，我们假设贴小零这个协力是这样的， 但可不可能。如果说 b 等于零的时候， b 等于零的时候是不是经过原点，那么他是不是没有经过这场象限？或者说 b 大零的时候，他的绝技是在上面，那么 第三下线也是没有经过的，所以 q 推不出 p， 那么 p 不是 q 的必要条件。 那么我们今天 这边的练习就讲到这边，同学们就记住一个充分条件，一个必要条件。充分条件呢？是不是我们前推后 p 可以推出 q， 前面是后面的 p 是 q 的充分条件。我们后拖鞋 q 可以推出 p， 这边箭头指向的这一个 p 是 q 的必要条件。这两个一个箭头是指向 p 的时候，前面前推后，前面是充分条件。你后推前的话，这个箭头所指的是是必要条件。 箭头镯子的 p 是 q 的必要条件。 那么 我们也做一个小节，这节写了学习的充分条件和必要条件。充分条件是原命题，是真的时候及 p 是可以推出 q 的时候 是真的真命题，那么他是充分条件。必要条件的话，另命题的增加。另命题你之前是批，如果批，那么 q 他的命。命题是如果 q， 那么 p， 如果这个命题是真的，那就是必要条件。如果是假的，那 不是 前推后，前面是后面的充分条件，后推前猫，前面是后面的必要条件。 好，同学们还是要通过自己理解，多做一点题，其实就很快就理解了。那么这一节课就讲到这边，感谢同学们的聆听。同学们，拜拜。

同学们好，这一节课我们开始学习六点四解三角形， 那么在三角形 abc 中，我们常用角 a、 小 b， 角 c 表示这三个角，那么我们角 a， 这个大写的 a 所对应的这条边 bc， 我们用小写的字母 a， 就是这不大 a 对应的是小 a， 这边大 b 对应的小 b， 这边大 c 对应的小 c。 那么根据已知条件求三角形的边和角的过程，我们称为解三角形。那么在实践中我们经常要碰到用解三角形的 问题，那么正弦和一弦定理就是我们经常要用到的工具。我们学习六点四点一三角形面积工， 是啊，这个就是一个花，要建一个花谱，这个花谱就用围墙 n 的两边，两边分别长度是一个四米，一个六米， 有的就是这边四米，这边是六米，那么这个夹角是六十度，要求我们这个面积。我们小学或者初中的时候学，我们要求三角形的面积是不是底，这边是一个底边，是不是要把高求出来，我们做个辅助线，那么这个垂直呢？是高， 那么这个锤子的话，这个九十度，这个角六十度，那么这个角是多少？是三十度， 那么我们三十度所对着边等于斜边的一半，那么这一条边是不是等于啊？那么我们这个高等于多少？我们可以用勾股定理或用正弦勾股定理的话，是等于 根号这边斜边的平方，四的平方减去这一条边的平方减去二的平方，四的平方的话十六，二的平方是四十六，减四的话等于十二， 十二怎么算是根号？二的平方四乘以三，那二的平方再开根号就把二开出来了，那么就等于二根号三， 或者说我们用高除以，就是假设是 h 除以这边是是等于这对边比上斜边，就是等于上沿六十度， 那么我们高 h 是不是等于四乘以三于六十度，上于六十度是二分之根号三约掉剩二等于二根号三，那么我们把它高求出来了。我们 三角形的面积二分之一底乘以高六乘以二根号三， 那么二二约掉等于六跟二三，我们就把它的平方，我们就把这个面积求出来了，这是其中的一种方法。那我们看课本 翻到二十八页，那么我们用三角形 a、 b、 c 表示所见的花谱，其中 b 四等于四， c 等于六，那么以三角形 a、 b、 c 的顶点 a 为坐标原点 静力如图的直角做平面，直角这部西，那么我们因为 a 点是圆点，那么他的坐标是零零，那点 b 这边的坐标的话就是 c 零，因为他的长度，我们 a、 b 的长度 a、 b 就是 c， c 是等于六，等于 c 零，那么设点 c 的坐标 x 零 y 零过点 c 做 a b 边上的高 c、 d 垂直于 a、 b， 且那么我们是不是我们是在第一象限的，那么 y 零是正的，那么我们 y 零的值，它的正坐标就是等于这个高，等于 c、 d， 那么我们有三角形三角函数的定义，可以得到上一 a 就是这个角。我们正弦是什么？对边比斜边，对边是这条，斜边是这一条对边，我们就是 c、 d， 这个三角形 c、 d 的话，是不是我们也就是等于五二零，那么斜边的话就是等于 b。 同样的 cosine 的话是移弦，移弦的话零边比上斜 边，也就是 a d a d 的话，我们就等于它的横坐标 x 零比上斜边等于 b， 那么我们扩散 a 等于 x 零乘以 b， 那么我们左右两边同时乘以一个 b 的话，那么 x 零等于 b 和 sine a， 那么 sine a 呢？等 y 零除以 b 的话，我们左右两边同时乘一个 b 的话，我们可以都有 y 零等于 b， sine a， 那么我们 x 零和 y 零是不是可以表示成它的边跟它的正形或异形的关系？那么 b 等于 cosine， 它的横坐标等于 b x 零， x 零的话等于 b。 口三 a， 这边是 y y 零， y 零的话等于 b 三 a， 那么我们把 c 的坐标转换出来了，那么我们三角形的面积公式是，二分之一 底乘以高有 a b 二分之一 a， b 乘以 c d a b 是什么？ a， b 就是我们刚刚好的，是就等于 c， 那么 y 零呢？ y 零是我们这边刚刚算的，等于 b 三零 a， 那么我们把这个括号去掉，等于二分之一 b c 三零 a 好，那么我们这个三角形的面积我们就算出来了。同理，我们可以得到 s 三角形 a b， c 等于二分之 a c 三引 b 等于二分之一 a b 三引 c。 同学们会发现什么？ 这边是一个是 b c， 如果这个是边是 b c 的话，那另外的角积就是 a， 这个是 a c 的话，它是不是 b 没有，那么它对应的角是 b， 那么这边是 a b 的话没有 边， c 的话，这边就是上一个是 c， 那么也就是说，三角形的面积等于它的任意两边 及其夹角的正形乘积的一半，用二分之一 a b sine c， 二分之一 a c sign b， 还有二分之一 b c sign a 啊，这是这个又是边，这是他的家教，这是他的一半。 好，我们才通过例题在三角形 a， b， c 中告诉我们角 c， 呃， a b， 我们 a b 还有它的夹角都告诉了我们，我们直接带入刚刚的面积公式等于二分之一 a b 上引 c a 四四 b 四六，那么这边根约掉乘二，这边二分上引六十度是二分之根号三啊，那么我们在这边约掉也行，这边是四，这边除以二，除以二约掉，那么直接等于六根号三， 那么是不是它的面积是六根号三平方米啊？那我们跟我们前面算的是一样的，就我们用最严实的方法，就底层很高，那么我们学习了公式之后，我们就管它三七二十一，带进公式就行了，就很快算出来了。 我们看例二已知在三角形 a b c 中告诉了我们 a， 告诉了我们 c， 还告诉了我面积，是不是这边 a， c 都告诉了我们面积，也 也告诉了我们等于四，要我们求角 b， 那么是不可以这个公式带进去。等于二分之一 a 的话等于四， c 的话二根号二乘以上引 b 等于四，那么这边 二分之一跟二约掉，那么的四根号二， b 上引 b 等于四，四约掉的话，这边根号二等上引 b 等于一，那么也就是上左边，左右两边同时除以根号二，那么上引 b 等于二分之根号二。 那么我们在基础模块学习的话，我们最熟悉的是在第一象限的时候，哪个角是等于他的正弦值等于二分之二，是不是四十五度就是我们上一四十五度就是等于二分之二的， 那我们知道我们正弦是不是在 u 下线都是正的，你这边一个它的正弦，我们以单位圆的焦点画一个圆，这边是四十五度的话，是不是还有一个值？我们其实单位圆中，我们这边三，它的正弦值是等于 y 发展于三音 f， 因为我们三引二法是等于 y 除以二，二等于一的话等于 y 除以一等于 y， 那么我们上一按法就是等于这个 y 的值，你这边等于二分之根号二的话，你是不是可以对称过来？这边有一个加这边它的 y 值是相等的。好， 那么对称的话，这个角跟这个角是是相等，这个角也是四十五度，那么整个是一百八十度，那么另外一个角就是一百八十 度，减去四十五度等于一百三十五度啊，我们就是这个角四十五度是同学们知道一百三十五度怎么来的呢？就是因为我们正弦在第一第二象形都是正的，那么这边一个 我们正弦就是等于它的 y 值。以单位的焦点，那么这边是不是还有个 y 值也是等于二分之根号啊？他们是对称的，那么这个角也四十五度，用派减去一百八十度减四十五度，或者派减去四分之派等于四分之三派也可以。 我们开始做一下课本二十七页的练习。第一个根据下列条件求上引求 s 三角形 a、 b、 c 的面积。这边告诉了我们，好，这边漏掉了，应该是 b， 还有个等于五， c 等于这个， a 等于这个，那我们直接带进去公式， s 等于二分之一， b， c 三 a 等于二分之一，五乘以八乘以上瘾一百三十五度。是不是刚刚说了是二分之根号二等于上瘾四十五度嘛？ 那么这边五八四十五乘八四十四十的话，这边除以二除以二，这边除以四等于十，等于十根号二。那我们再看第二小题， 第二小题的话是告诉了我们 a、 c 和 b 这是一样的，等于等于二分之一， a、 c 三， b 等于二分之一， a 的话是二， c 的话是根号三 角。 b 三十度上眼， b 的话上眼上眼三十度是等于二分之一，那么这边约约掉约掉，那么就等于二分之根号三。这个代公式的话还是比较简单的。那我们再看第二题， 告诉了我们 b、 c 告诉了我们面积求这个，那么我们这二分之一 b、 c 三 a 等于 s 嘛？等于二， b， c 是多少？ b 是八，也就是二分之一乘以八乘以 a， 三分之根号三，再乘以三， a 等于二，那么二分之一跟八约掉，剩四四的话，这边左右两边再同时除以二，这边等于二，那么就是我们三分之二根号三。 三 a 等于一，那么我们三 a 等于多少？是不是等于 这边左右两边乘四，除以一个三分之二根号三等于一，除一，三分之二根号三， 那么等于 上下同时乘以个根号三的话，上面是等于根号三，这边乘以根号三的话，是等于根号三。乘以根号三等于三，三根三约掉，那么等于二分之根号三。上一 a 等于二分之根号三。我们在第一象限的是多少度？ 是不是六十度上影六十度，同样的另外一个是不是跟他对称？我们当位用，这边是 y 的，那这个角也是， 这个角是六十度，那么这个就是六十度，那么整个这边这个角度就是这是六十度。再一个角 a 是等于 六十度或者一百八十度减六十度，也就是一百二十度啊，一定正弦，因为是在第一，第二象限是有两个角，你求去 一个六十一个角，那么另外一个角就是等一百八十度减这个角，我们先需要算第一象限的角。好，我们再看第三题。 在三角形 a、 b、 c 中， a 等于三根号二， b 等于二根号三和三 a c， 我们公式中是不是等于 二分之一？ a b， sine c， 那么这边告诉我们口算 c 怎么求？是不是我们想到我们基础文化学习的 sine c 的平方加 cosine c 的平方是等于一，那么 sine cosine c 等于三分之一。我们大家记进去，那么 sine c 的平方加上三分之一的平方就是九分之一，等于一，那么我们三 n c 的平方等于九分之八。好，这个开出来，那么我们上一 c， 因为是 我们这边三角形中的角，是不是这零到一百八的，那么它上演 c 是大于零的第二象限的，这角都是正的，那么等于正的三分之二根号三就是两边它，呃呃，三分之二根号二。呃，不好意思， 这边是三分之二根号啊，这个同学们应该会开开出来吧。这边是分五十三分之一，这边是八四等于二，乘以二乘以二，只有二的平方乘以二，那么二可以提出来，留个二在里面， 那么我们带回去上一 c 求出来了二分之一， a 是三根号二， b 是二根号三，再乘以三分之二根号三， 那么这个三跟这个三约掉，这个二跟这个二约掉，那根号三乘以根号三，四等于三， 这边有个根号二，这根号三乘以三就是根号三乘以根号三是等于三，三乘以二十六，那么就是等于六根号二，那 s 就是等于 六根号二。 那我们再看一下第四题，第四题要先把这个平行四边形画出来，然后他告诉了我们什么呢？ 在平行四行边形 a、 b、 c、 d 中， a 告诉了我，好，我们画一个平行四边形， 用手画的不够标准，有点丑，同学们将就一下， 那么告诉我们， a、 b 等于十， a、 d 等于二十角， a 等于六十度。 要我们求平行四边形 a、 b、 c、 d 的面积。 其实如果说对数字比较敏感的同学会发现这边是六十度，这边十，这边二十，那么我们这边是如果是垂直的话，这边是三十度，三十度所对的边等于斜边的一半，那么我们这边 d、 b 就可以求出来了。 等于二十乘以三，六十度，那么等于十根号三， 那么面积就是我们平行四边形的面积是等于底边乘以高，就是十乘以十根号三 等于一百根号三，就 a、 b 乘以 b、 d， 这是我 我们之前学习的，那么我们是不是我们其实还可以什么？求这个面积的时候，如果我们没有那么敏感，我们是不是用刚刚的公式，我们先求出 s。 三角形 a、 b、 d 的面积是等于二分之一， a、 b 乘以 a、 d， 再乘以它的角角三引 a， 三引六十度，那么等于二分之一 a、 b 四十， a、 d 是二十，再乘以二分之一跟号三 number 这边一个二分之一乘二十， 我们的一，这边是一百一百的五十根号三，那么我们整个平行四边形的面积是不是这边这个三角形 b、 c、 d 和 d， a、 b 是全等三角形，那么它的 s 平行四边形是等于两倍的 s。 三角形 a、 b、 d， 那么这五十根号三，再乘以二，也是等于一百根号三。我们三角形的面积公式，其实我们在这里可以我们小学或者初中的时候推下来，就是根据我们平行四边形 或者再给他画成矩形推倒来的。那么我们这节课的内容讲到这边，同学们拜拜。

同学们好，这节课我们开始学习四点三点三，直线以平面所乘的角， 那么左下角这幅图是一个斜拉索桥，我国也是斜拉索桥最多的国家，那么如图所示，斜拉索 a c 所在的直线 与桥面所在的平面相交，但是他们并不垂直，我们垂直的话，他桥面是这一段，是一个平面，那么实际上只有这位 a b， 这个是与他垂直的 那么不同。斜拉锁相对于墙面的倾斜程度是不一样的，有很多斜拉的锁，那么他的倾斜程度不一样，那要怎么描述出来呢？ 如果直线与平面相交，但不垂直，就称直线，是平面的斜线在我们这幅图中就是 a p 或者直线 m 是 斜线，斜线以平面的焦点称为斜读，那么点 p 这一点 p 就是斜读， 经过斜线上不是斜读的一点，斜线上又不是斜读。除了这点之外的另外一点，这边假设是就点 a 做平面 垂线，我们上节课的内容可以知道，你是一个点过做一个平面的垂线是直，尤且仅有一条直线，那么我们做出来就是直线 ab 直线 ab 是垂直于平面阿法的 连接。垂足与斜足的直线称为斜线。在这个平面的摄影，垂足，我们刚刚说点劈是垂足，斜足垂足的话是点劈， 斜轴的话刚刚是斜线。你那个平面的焦点是点 p， 那么摄影的话就是 b p 线段 d p。 我们初中有个也有学过摄影定理， 就是你照着这个，你往上射的话，往平压阀这个照射的话就是垂直下来，那么垂直下来的话，它影子是不是这样？ d p 这一段 如图，就右边这幅图所示，直线 m 是平压法的斜线， 那么斜线是不在平面，而法内的变 p 为斜度，也就是说斜线与平面的交点，那么 a 属于 m， 又点 a 在直线 m 上，且 a b 垂直于 a， 法非足为 b， 这 b p 是斜线 m 在平面 f 内的。摄影啊，摄影要搞懂， 你在阿法的收平均收银，那么你这个直线做下的垂线，垂线就垂足与斜足之间， 这边是垂直，斜足连接起来的，这个是摄影。显然，直线 a、 b 与摄影 b、 p 所呈的 set 反应呢？斜线相对于平面的倾斜程度，也就是这个角 set 你的倾斜程度，你脚越大，它倾斜程度越大。 一般的平面的一条斜线，以它在该平面上的是所成的角，称为斜。这条斜线与这个平面所成的角， 我们就把斜线与平面，直线与平面的角画成 平面类的眼， 两条线的夹角斜塔，这样的话就更好计算了。我们规定，当直线在平面内或直线与平面平行时，它与平面所呈的角是零度。 这个一个平面，那么你上面一条线跟他自己这边是重合的，那么他的所乘的角是零。 当直线与平面垂直时，比如说 a、 b 这条线，那么它所乘的角是多少？就是九十度二分之派。于是直线与平面的角的范围是零到二分之派，两边都可以取到。 那么我们看第七，如图所示，正方体 a b c d a b c d。 人长为 a， 就是它的这边 十二条轮长格式等于 a， 找出 b， c， e 在底面 a b， c、 d 上的缩音， b， c， e 是这一条， 里面是 a b， c、 d。 那么我们刚刚跟 leader 摄影的话，你这边 c、 b 是斜线，那么 b 是 这边斜线与平面的交点是斜轴 点 c。 实际上你这边 c、 c 是垂直于底下这个平面， 那么点 c 是垂直，那么连接 协主与垂足就是摄影，那么我们 b、 c 就是 b、 c 在平面 a、 b、 c、 d 上的摄影， 我们就是找出这个是斜点 b 式斜读点 c 是垂读，连接垂直和斜读，就是我们要找的摄影。第二，求 b、 c 与底面 b、 c 与底面 a、 b、 c 所乘角的大小， 那么你所乘的角就是它等于就是要我们求 c、 b、 c 这个角，那么显然这边是正方体，那么 b、 c 是等于 c、 c 一的这个角是角 b、 c、 c 一是垂直，那么它是等 边直角三角形，等腰直角三角形，那么这个角和这个角都是等于四十五度，也是等于四分之派，那么 b、 c 与底面 a、 b、 c、 d 所乘的角就是四分之派。 我们看第三小题，求 b、 d、 e 里面 a、 b、 c、 d 所乘的角的正切值，正切是什么？对边 比上零边， 那么我们 b、 d、 e 比 a、 b、 c、 d、 b、 d、 e 是这条 底底面 a、 b、 c、 d。 那么你是做它的垂线，那么垂直是 d， 那么斜足是 b， 那么摄影是这一条，那么它所所存的角，也就是角 d、 e、 b、 d。 你要求它的正确值要对边比斜边就是 d、 e、 d 这一段，以下这一段，那么我们讲它的冷场，告诉我们是 a， 那么我们可以把 b、 b 写出来，它是根号二 a， 那么 a、 b 根号二 a， 那么我们看一下啊， b、 d 是 刚刚是 b， d 是 d， d 在平面 a、 b、 c、 d 上是，前面这边不多说了，且 d、 d 垂直于底面 a、 a、 b、 c、 d， 那么 d、 d 是等于 a、 b、 d 这边底下是 等腰直角三角形，那么这边是等于它的根号二倍，等于根号二 a， 那么我们要求的是叫 d、 e、 b、 d 的正切值，也就是 d、 e、 d 比上 b、 d， b、 d 是等于 a， b、 d 是根号二， a、 a 比上根号二 a 别约掉分子分布同时成更好啊。 二分之根号二，那么即 b、 b 与平面 a、 b、 c、 d 所乘的角的正确指示。二分之根号二。 我们看力吧。中国已二零一五年实现了无电地区人口全部用上电的目标。如图所示，为防止电线杆倾斜，工作人员用一根 钢丝做牵拉绳，受周围环境影响，牵拉绳接地点 a 到电缸与地面焦点 c 的距离二点五米也是 这边，这边是垂直，这边是一根牵拉绳，那么 c、 a 是这一段是等于二点五。 牵拉绳与水平地面所乘的角是六十度，那么这个角是六十度，那么求牵拉绳与电线杆连接点低处点到点 b 到点 c 的距离，那么就是其实就是这一段高， 那么我们是 b， c 是直接，就是这个角是直角三角形 b、 c 垂直 a、 c， 那么 a、 c 是在 a、 b、 e 上的摄影， 这个角角是六十度，也是 b， a、 c 等于六十度，那么在直角三角形 a、 b、 c 中， a、 c 是等于二点五，那么我们 b、 c 是等于 a、 c， 所以称的角 b、 a、 c 或者有的是 a。 同学不知道是什么，你这 的喷子角 b、 a、 c 就等于 对边比平边乘 b、 c 比上 b、 a， 那么你 b、 c 是不是等于这边左右两边同时乘以 c a 或者 a、 c 也行， c 和 a c 是十，要是长度是相等的，等于二点五，那么 或者这边直接移过去 b c 就是等于 a c 乘以摊证角 b a c， 那么就等于二点五。乘摊证六十度，摊证六十度 就等于根号上，那么整个就等于二分之五根号上。嗯，我们看课本一百三十一页的练习， 那么第一题的话我们就不再讲了，我们看第二题第一小题，直线 l 与平面 f 平行，直线 m 在平面 f 内。 yeah 实现 m 是我们这个跨线 m， 这边是一条直线 l， 老是平行 m， 哈喽，而且是平行于平面按法 c c m 在平面按法内，那么用图画出来了符号表示的话， 就是这个平行 m， m 是在直线，在平面 f 是二。 第二笔 d， m 在直线 l 上写在平面 data 内， l 不在 平面北塔内。好，这个平面是 r 号 啊，这个平面角，这是 bat m 在直线耳道上 写在平面白塔内，那么其实假设这边一条斜线，这边这个是直线，看到这个点是你平面的焦点是三米 d， m 是 d m 就是在直线耳道上 写在平面贝塔内，然后不在平面贝塔内，然后是这边斜穿穿过的一个， 那么用并用符号表示出来符号的话，我们第二题 m 在直线 l 上就是 m 是元素，是属于直线 l， 且在平面 f 内，那么 m 同时 m 属于 北塔。好了，不在平面北塔内。 不是阿郎，我不包含你，你给他。 第三小题直线 a b 与平面盖法增加一点 a 直线 b， c 垂直 b， c 绕垂直垂直线 随便画一个吧， 这边是点 a， 假设这边是垂直的，垂直是 c， 我这边相抓的这一点是 c， 这个是 b， 这平面是干嘛？ 那么直线 a b 与平面概化相加于点 a， 也就 a b 加加嘛，等于对直线 b c 垂直于平面。挂法， vc 飞打马飞机平面打马且垂直 vc 啊 b c 将 应该放等于 c， 我们再看第三星题，在长方体 a b c d a e b c d 找出对角线 a c e a c e 是 这条在六个面上的摄影，我们先看在底面上的摄影， 在顶面上的摄影的话，它的斜度是这一条，它的垂度是这条，那么就是在底面的摄影是 a c 啊，在侧面的摄影的话，你 这侧面的摄影的话，你斜斜读式 c e 全局无外这个平面的 nars b， 那么它的摄影师 b c e 那在后面的这个摄影实际上是，嗯，这个垂直垂直，垂直 就是确定 缺点是 b， 缺点是 c， 那么是 b c e。 好，同学们在后面去找另外三个面的。 我们来看第四题。已知 a b 叫港码加平面 a 法等于 a 线段 a b 是它在平面上摄影的两倍。求出线 a b 与平面 a 法组成的角的大小， 这是 r， 这边是一条线， 嗯，水线 is a， 你有点不明， 就是，嗯， 这边 c d 是 c， 那么所乘角的大小这个角 我们假设这个角是 c 叉嘛，那么我们有喷阵 c 叉 就等于 b c 比上 c c， 或者说我们 signing the signing， 它所存的角，我们上映这个生意 ct 三十度，这边比上这边是等于一比二，就是这边对边等于斜边等于半，那么这个角是实际上是三十度，那么这个角是六十度， 或者说我们 design 直接看等于 a c 以上 a b 等于 二分之一，那么这个 c 塔是内角，那么等于 c 塔等于六十度，那十度 c 塔撇也是 c 塔撇是等于三十度， 这个角是直角，那么所以这个角是 best， 或者说是他们一看， 我们看第五，在长方这正方体 a、 b、 c、 d、 a、 b、 c、 d 中， 求 a、 d 与平面 a、 b、 c、 d 所呈角的大小。 a、 b、 e 侧面这边 a、 b、 e 与平面 a、 b、 c、 d， 那它在这个平面的垂度是低，斜度是低，那么这个角， 嗯，使用鼠标线，嗯嗯嗯。 那么我们 a、 d 是等于 d、 e、 d 的，那么这个角 d、 e、 d 是等于什么啊？就直接是等于四分之派， 这是等腰直角三角形。第二题， a、 c、 e 底平面 b、 c、 d、 e 就侧面这个组成角的正切值，那么实际上你 c、 b 是垂直于 a、 b 的，那么其实就是角球的角 这个的正确值，那么它的正确值是实际上就是等于 a、 b 比对边比上零，边比上 b、 c 一，我们假设他的人是 a， 那么 b、 c 一是等于很好，二， 那么等于同时 a 约掉，跟麦吉有点像，等于二分之。然后啊， 好，我们这节课做个小节。我们直线与位置的关系，那么直线与平面有三种关系，一种是在平面上，一个是与平面相交，在平面上是有无数个交点，那么以 直线与平面相加的话，就是一个焦点，如果直线与平面平行的话，没有焦点，那么我们直线与平面平行，而有他的定义 判定，还有一些性质定律，你就是在平面二二环内，你可以找到一条直线与我们平面外一条直线与平面那一条直线直接平行， 平直线以平面垂直，垂直的话我们就是说直线要垂直于这个平面内相交的两条直线。 好，后面有这个可以隐身出一些细节。那直线以平面所成的角就是我们刚刚这一节讲的课的内容，你就是要搞清楚什么是摄影，什么是 斜斜线摄影，那么而且他真的角是哪一个？这是摄影斜线所形成的夹角，他是零到二分之派的。 那么这节的课的内容讲到这边，同学们拜拜。

同学们好，这一节课我们学习六点一点二两角和与差的正弦公式，那么我们上一节课学习的是两角和与差的语弦公式，同学们还记得口诀吗？是 余弦同名加简易。 why cosine alpha 加贝塔 等于同名的话，它 cosine 阿法乘以 cosine 贝塔 加减一，这边加的话，这边是应该是减的，减去 sine alpha 乘以 sine 备胎或者是 cosine 的话，就是等于 c c s s s 这边是不是 cosine， cosine 的这边 s s 三影的三影，有的同学这样记也行， 那么 cosin alpha 减背它的话，这边中间就会变成加啊，那么我们看一下正显公式的呢？ 那么我们挣钱的是不是也可以用这样的类似的方法来表示呢？就是我们这节课主要讲的的酒吧学习的内容。 那么有三角函数的诱导公式可知，三元 x 等于 cosine 二十分派减 x， 这个是怎么来的？我们诱导公式有一句口诀， 即变而不变，符号看象限，那么我们先看这边口算二分之八减一是二分之八减一，是不是相当于 以二分之派乘以一减 x， 一是基数，基数一三五，这样是基数，二四六是偶数的基变变的话，可三也就是要变成三。 符号看象线，我们把 x 当成锐角，那么三 x 第一象限的是正的，那么我们 x 锐角的话， often 排减 x 也是锐角，那么它也是在第一象限，那么第一象限的话，我们 它的一圈值也是正的，那么它两个都是正的，那么我们就不要加负号了， 或者说我们把这个画出来，就把 x 当成锐角，这边是直角，那么这一个角是不是二分之派减 x， 我们这个上 x 是不是等于它的对边？对边是这一条边比上斜边这一条边，那么括 s i 二分之 pa 减 x， 这个角就是这个角， 我们口算就是遗传式的零边比上斜边也是这一条边比上这条斜边，那么它的值是相等的，也是可以这样理解，也行好把这个擦掉， 那么我们上一 x 等于口三二十拍减 x， 那么就清楚了。那么我们把这边的 x 都用阿法加贝塔替换掉，那么这就等于三阿法加贝塔等于括三二分之快减 x 就变成减去阿法加贝塔，减去阿法加贝的话，把这里面的这个小括号去掉的话，等于二分之 派减 alpha 减 beta， 我们又可以将这边结合起来，就变成 cosine 二十 pan 减 alpha， 再减一个 beta， 这个是不是我们上节课学习了一些的两角和叉公式？那么 cosine 是 c 等于 c c s 嘛？等 cosine cosine 成 cosine 再删一成三。嗯，这边减的话变成加减 e， 减了变成加的，那么我们就用加的，那么我们就 cosine 的二分之 pa 减 a 法乘以 cosine 的 beta， 这边是减的，那么加上 signing 的 of 分之 pa 减 alpha 乘以 signing 备胎。那么我们知道刚刚这边一线公司的 cosine opens pa 减 alpha 等于多少，是不是等于 signing alpha， 那么这边三一二分之二减 a 法呢？其实一样的可以等于 cosine alpha， 那么我们就可以得到 sanine alpha 加贝塔乘以三 in alpha 乘以 cosine 贝塔，加上 cosine alpha 乘以 sanin 贝塔。 那么推导的过程有些同学觉得很麻烦，那你可以不要掌握，直接记住这个公式就行了，那么上一页呢是 译名，也就是它是三引乘以口三引的，我们口三引的是口三引乘口三引再加减三引乘以三引的， 所以我们正弦的有一句口诀是正弦一鸣同加键，这边加这边还是加一鸣的话，这边是三音，这个跟三音的结合的 啊。那么我们得到这个公司号之后，我们是不是贝塔可以也用不贝塔替换掉，替换掉的话把贝塔这边换成福贝塔，那么这边口三福贝塔，这边三贝 富贝塔，那我们就得到三引二法加上负的贝塔等于三引二法乘以 cosine 富贝塔，加上 cosine 法乘以三引富贝塔。那我们知道一切函数是什么？偶函数，也就是 cosine， 或者我们诱导公式， cosine 负贝塔等于 cosine 贝塔。 你用右打公式的时候，是不是你把 beta 当成锐角，那么复 beta 在第几象限？第四象限，第四象限的一选指是正的，那么 beta 是锐角，第一象限的也是正的，那我们看上一副 beta， 我们正弦函数是 几函数，那么三与负贝塔等于负的三与贝塔。或者说你用诱导公式的话，记住负贝塔，是不是我们把贝塔当成锐角，负贝塔是不是第四象限？第四象限的一弦是负的， 那么上一倍他是正的，你要使他满足平台，那么你这边就是加一个负号，当你就记住这上一 富贝塔等于负的上瘾贝塔，那么我们可以得到上瘾阿法减贝塔，这边是减的，这边也是减的，那么这边是上瘾成可上瘾的，这边可上瘾成上瘾的， 或者或者你可以继承 s c c s， 那你记住一名同号也行。于是我们 得到两角和与差的正弦公式，或者我们刚刚口诀，正弦一名同加减 一米四，这边三眼和三眼的混在一起，同加减的话，这边是加的，这边也是加的，这边是减的，这边时候也是减的， 或者呢，你记 s c s c s， 我们一选的是 c c s s， 你是 cosine， cosine shininsinin， 这边 shinin cosinin， cosininsinin 啊，当然每个人的记得方法不一样，适合自己的人才是最好的。好，那我们看例题，例式求 sinin 十五度，我们想怎么样才会得到十五度，那么是不是两，你可以用四十五度减去三十度，或者六十五度减四十度，他们答得到的答案实际上是一样的，那我们看这边是用六十度减去四十五度， 那速度是不是六十度减四十度，那么用我们刚刚展开公式，这边减的中间也是负的，那么上一呢？是一名的，那么我们就三一乘三，一减去三，一乘以三，这 s c c s， 那么上一六十度，二分之二，三 四十五度和上音四十五度都是二分之根号二，那么这边括三六十度的话是等于二分之一，那么这样相乘分母都是四，这边根号三乘以根号二是等于根号六， 后面是一乘根号二的话等于根号二，那么我们整个等于四分之根号六减根号二， 我们看例如已知三人 alpha 等于十三分之五， cosine beta 等于负五分之四，并且 alpha beta 都是第二项线角，那么它是第二项线角的话，我们可以知道，那么我们等一下肯定是要求 cosine alpha 的， cosine alpha 那么是第二项线呢？是小于零的， 那么这边高速路口 sanin 贝塔，我们要求 sanin 贝塔， sanin 贝塔第二，第一个第二项线的是都是正的，那么大于零，求 sanin f 加贝塔的值，那么我们就将 sanin f 贝塔展开， 那么我们只判断了正负是不是我们要求他的值，那么我们是不是可以用基本关系设 三 a r 的平方加 cosine r 的平方等于一，那么我们知道了三 a 法要求 cosine a 法，那么我们的 cosine 是不是 三引口算，按法是等于根号正负，根号一减三引二法的平方，但因为这边我们三引二法是小于零的，所以我们这边是用负号的 负责根号一减三引二发的平方，三引二发等于多少？十三分之五，那么三引二发的平方就是一百六十九分之二十五，你一减七， 一百六十五，九分之二十五等于一百六十九分之一百二十二，一百二十二，一百一，一百四十四，那一百六十九是十三的平方，一百四十四十二的平方，那么我们得到 cosme 等于负的是三分之十二， 同样的话， sine 被它的话，等它 sine 被它是正的，那么这边就是正的根号一减 cosine 二号的平方， cosine 被它的平方也是刚刚的我们的基本公式， sine 被它的平方加上 cosine 被它的平方等于一， 就得到这个口算贝塔是不是？我们这边是负五的五分之四一减负五的分之四的平方，那负分之二十一平方等于二十五分之十六，一是等于二十五分之二十五，二十五减十六等于九，那么开出来是等于开个根号是 二十五分之九，开根号是五分之三，我们这样就把我们公司要用到的那这一选都求出来了， 那么我们再看一下，给把公式带进去就行了。那么上一阿法乘以上一阿法加贝塔，那么等于上一阿法乘以口算，贝塔加上口三三音，贝塔这边上一阿法是在这边是三分之五， 科三贝塔是负，五分之四是我们这边的科三，阿法呢？科三阿法，我们这边刚刚等于负的是三分之二，这边三因贝塔呢？五分之三，我带进去通风一下等于六十五分，负的六十五分之五十六。 我们再看下六六六的话，这边 ppt 有错，这边应该是加课本上的，也是加， 那我们看第一小题，是不是这边上一 的是就是我们展开的，我们倒回去，这边 s c c s 这边加的我们还是加等于多少？是不等于上映的八十度加十度 上瘾，八十度乘以十三就是上瘾九十度上瘾九十度多少是不等于我们当委员，我们上瘾我们一点 p x， y 与单位元的交点是不是可以写成 p 等于括 sine up， sine up， 那么这边 up 是等于九十度的时候，就是这个焦点，这个焦点我们看是不是零一，它的 y 值是一，那么这上面九十度就是一啊，这是我们基础模块学习的内容。我们再看第二小题， 二分之根号三乘以三引十五度，加上二分之一乘以 cosine 十五度。哎，好像有同学就开始疑问了，这个一个三，一个 cosine 跟我们公司不一样，那么我们是不是把二分子根号三是可以转化成 cosine 多少？ 我上映十五度还是上映十度？我们把二分之根号三看成是扩散等于扩散三十度，那么二分之一是 二分之一时也可以看上瘾三十度，我们把这个转化成这两个值，转化成具体的一个一弦值，一个正弦值，那么这边就是我们熟悉的 s c， c s 就是上瘾乘以口上瘾加上口上瘾乘以上瘾，那么这个等于多少？是不是这样 三引十五加三十度，十五三十三引四十五度，那么就是等于二分之根号二，这是同学做多了，这有敏锐性，看到二分之根号三，要么二分之根号三的话就是三引六十度，或者说三引三十度，看到 二分之一的话，我们就是要三以上十度或者括三六十度，就是要有个敏感性，或者说你麻烦一点把这边二分之根号三都都转换成正弦，这边一弦的话等于负的 啊，那这边不再讲，把题目复杂化好，我们看一下练习上一百零五度，我们看一百零五度是哪个特许角的相加两个的和是等于上 六十度加四十五度，那么等于多少？三，六十度乘以 c 转一口三，四十五度，加上，这边加的也是加的，加上 cosine 六十度乘以 sine 四十五度，那么嗯，擦掉。 三引六十五，三引六十度的话是二分之根号三，可三引四十五度四等于二分之根号二， 这边加的话也中间还是加，加上 cosine 六十度是 cosine 六十度是二分之一， cosine 四十五度四乘以二分之根号二，那么我们分母都是等于四，这边根号三乘以根号二，四根号六，根号二乘以六的话加根号二， 那么我们第一小题就做完了，就是这边就是其实没什么技巧，就把公式带进去就行了，你多做几题，其实都一样的套路。 那我们再看这边第二题的第一小题，这边是三一层括三一加上括三一层三一，那么直接等于三一 五度加二十五度上瘾等于上瘾三十度上瘾三十度等于 一二分之一，那么我们看一下第二小题，这边是三音的乘以口，三音的减七，口三音乘以三音，那么就是直接等于三 七十度减七十度，也就上瘾六十度，上瘾六十度的话等于二分之根号三。我们第二小题也做完了，我们再看一下第三小题，第三小题是感觉这比较麻烦一点，其实跟我们讲的刚刚的 第六的题目是实际上一样的，我们看到二分子跟浩浩想到多少，是不是科三四十五度， 这个就扣三二一四十五度，这个就是三二一四十五度， 相当于我们扩散四十五度的话，我们就是其实也就是扩散四分之派，那么就相当于三十二分之派 乘以 cosine 四分之派减去 括 sign 十二分之派乘以 sign 四分之派，这边四十六等于多少？ sign 十二分之派减去四分之派 么？十二分之派减去四分之派。通风一下，十二分之派减去十二分之三派，那等于 十二分之三的话，四分之派是十二分之二等于负的十二分之二，负的十二分之五的话等于三负六分之派，那么负三负六分之派数等于负，我们诱导公式 或者说他是记忆函数，那么等于上一负的上一六分之派，上六分之派就三十度，那么等于负的二分之一，那么我们第三题这边也是搞定，我们再看一下第四小题，第四小题是不是一样的套路？ 我们把二分之一看成多少？二分之一是不是有三二分之一的话可以是三三十度或者口三六十度，那么我们这边用口三六十度的来算吗？那么第四小题 就是 sine 十五度乘以 cosine 六十度， 这边减去的还是减去？减去一个二分之根，这边 cosine 十五度乘以二分之根号三的话 shine 六十度，那么我们这个第四小题就等于三十五度，减去一个六十度， 那么等于多少？是不是等于三负四十五度？ 负四十五度的话等于负的三四十五度，那么等于多少？等于负的二分之根号二。我们把第四小题也解完了，那么就今天还剩下我们的练习的第三题，第三题其实也不难，我们就是把这些 他还告诉了我们，阿法贝塔是第一象限的叫，那我们一起来看一下，那么上一他都是第三象限，第三象限他的正弦一弦都是负的嘛，都是小于零的， 我们第三象限是不是只有正确是正的，那么阿法贝塔都是负的，那么为三压法等于这个，那么括三压法是等于负的根号一减三压法的平方一减去负三分之二的平 平方，负三分之二的平方呢？九分之四，九分之四，一减九分之四的话等于九分之五，那再开个根号的话，等于好写在这边了，等于负的九三分之根号五， 那么我们这边告诉我们口三贝塔，我们是不是三印贝塔也可以写出来 是等于负的根号一，减去负四分之三的平方， 四分之三的平方，负四分之三的平方等于十六分之九，一减去十六分之九，等于十六分之 七，那么我们 这边 sun in 贝塔就等于负的四分之根号七，这个数比较没有那么整，它是有根号的， 那么我们继续就把公式展开了。 must 上一 f 加贝塔，图画是我们公式展开等于 sign alpha cosine 贝塔，加上 cosine alpha signing 贝塔，那么我们把这些上一阿法是负三分之二，可上一贝塔是负四分之三， 加的话，这边是加 cosine up， 这边是 cosine up， 是负的三分之根号五，等下也有一个负的，那么我们负负得正，那么这就是等于三分之根号五， 乘以四分之根号七，那么这边三是十二，这也是负负的，这那么等于十二分之二乘以三等于六，加上这边根号五乘以根号七，等于根号三十五。 那么我们同样的上一 up 减背塔，其实只是 这边中间呢变一个符号，那么这就等于十二分之六，这边加根号三十五，减去变成减去根号三十五。那么今天的课就讲到这边，感谢同学们的聆听。

同学们好，这一节课我们开始学习六点五三角计算的运用，那么这一节是比较难的，我们全面学习了两角和叉公式， 还有被角公式、正弦定理、遗传定理、三角形的面积的计算，还有减三角形。那么这一节课就是要把我们前面学习的这么多公式都运用到实际的问题情况中，解决实际的问题是比较难的， 我们看情境语问题一，为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径为十米，圆形角为三分之派的空地上修建一个矩形，那么我们这边的关键就是一个半径 十厘米，一个圆形叫三个形态，而且这个是矩形，它要使得这个面积最大，并求出这个面最大面积，那么我们把它大概的草图画出来，那么根据我们刚刚知道它告诉我们的有哪些， 那就是他的半径这边啊是等于十的，这个角是六十度，其实这边也是半径，这边也是半径，但这个是虚线， 那么它我们要求这个面积，面积是这个矩形的面积是这个矩形，矩形的面积等于长乘以宽，那么长的话就是我们 b c 这一段，宽的话就是 c d 这 一段，那我们 b c 是怎么求？ b c 这一段是不等于整个 o c 减去 o b， 那么 c d 的话比较好算，就是 c d 直接可以，或者说等于 a b 也行。 那我们一看我们具体的解决步骤，那么我们假设圆形角为 o， 那么矩形为 a b c d， 如左图所示，连接 o d， 就用虚线连接，那么角 c o d 即为 sata， 就这个角 c o d 为 c 塔，那么在 it 三角形 c、 o d 中，也就是我们这有角 c 塔所在的这个三角直角三角形中，那么我们 三引射塔等于什么？对边比上斜边一个 c d 比上 o d， 那么我们 c d 就等于 o d 乘以三引射塔，那么 o o d 这边我们刚刚知道 o d 半径等于十等于十，那么我们 c d 就等于十三引塞塔，或者快的同学直接我们 cd 就是等于 r 乘以三引塞塔，那么啊四等于十，那么直接十三引塞塔。同样的 o c， 我们口三引塞塔 是等于零边，比上斜边，零边就是 o c， 斜边的话 o d， 那么 o d 就是等于十，那么 o c 就等于十，乘以口算 in c， 它，那么我们在三角形 a t 三角形 a、 o b 呢？ a、 o b 中，我们这个角角 a、 o a、 o b 是等于六十度，那么我们吞的六十度就吞的 set， 吞的阿法是等于对边 等等 up， 对边比上零边就等于 a b 比上 o b 等于 ten 的三分之派， ten 的三分之派。我们特殊角的三角函数值是等于根号三，那么 a b 比上 o b 等于根号三，那么我们 o、 b 是不是等于 a、 b 除以根号三，除以根号三分子分母同时乘以个根号三，那么等于三分之根号三 a、 b， 那么我 a、 b 是不是等于 c、 d， 那么我们就等于上面这根号 c d c d 的话，我们怎么求？我们在下面这个三角形中 c d 是不是刚刚我们也知道是等于十上一 c， 它，那么我们就可以把 o b 求出来 o b 是等于多少？三分之十？三分之十，根号 三上一些它，那么我们知道了 o 算出了 o b， 那么我们 b c 是不是等于就 o c 减 o b， o c 的话，刚刚我们是等于十 call 三 in c 塔在这边， o b 我们这边算出来，那么 b c 是等于 o c 减 c b， 那么等于十 call 三 in c 塔减三分之十根号三，三 in c 塔就等于这个，那么我们 c d 呢？ c d 是不是等于十三音色塔？那么我们 b c 乘以 c d， 就把它这个我们要求的矩形的面积表示出来了 啊，那么就等 b c 乘以 c d， 那么这一部分乘以这边，那么会化减得到这个这边化减的过程运用到了比较多个公式，那么 我们这边先前面这部分十口三音 sit 乘以十三人 sit 是等于一百 sine sit 乘以口 sine sit， 那么我们 sine 二 sit 等于什么？是等于两倍的 sine sit 乘以口三 inset， 那么一百三 inset 乘以口在十四以上，就是等于五十三引二 set 啊，那么我们这一步划掉上一个 shit 是怎么来的？当然我们还有一个什么，这边有一个是什么？ shine shit 乘以 shine set， 我们三分之十根号三，乘以十的话等于三分之一百根号三，那我们先不管，那我们 shine set 的平方等于什么？ 我们使学习二被角的时候勾三二 c 大等于一减 二三 set 的平方，那我们算 set 的平方是不是等于一减可三二 set 除以二， 那我们把上一 sat 的平方变表示成 cosine 而 set， 那么按课本三十七页的话，我们就可以得到，那么前面这边是等于， 好，我们看一下课本三十七页四等于五十四 signing a set up， 加上三分之五十 根号三 q 三二 c 三 啊，我后面还是要减去一个长数作为这个扣上，减一，那么我们减一，这边解开来，长开来我们先不管，因为是长数，那我们这边有五十 三元二 c 塔，还有三分之五十根号三 cosine 二 c 塔这边就我们会想到和差公式，那么这边有一定的技巧性， 我们按我们看，我们课本上的就是给他提取一个三分之根号上，那么我们等于 三分之一百根号三乘以二分之根号三三引二 set 加上二分之一 cosine 两倍的 set， 那这个我们是什么？是我们熟悉的，我们这个换个位置，我们二分之根号三是等于什么？ cosine 六十度或者是 cosine 口算的话是应该是口算三十度，那么是口算六分之派，那么二分之一跟这个换一下位置的话，那口算是 c 塔乘以口算二， c 塔乘以二三，那么我们多少等于二分一，那么三因以六分之派， 那么我们这边就是可以给它整成三 a set 加六分之派， 那么这个就是以二自己的敏感性，还有个队友和差的，我们前面也做了很多练习啊，这边就不再具体展开了，那么我们再到这一步， 最终我们化解成这个形式，这个形式的话它什么时候取得最大值？是我们把这个整个当做一，是我们 senseta， 或者我们把 aceta 加六分之派当做一个 up， 我们这些函数的图像是什么 经过原点，当它我们就里面 a c 塔加六分之八，就等于当做一个 up， 我们整个 up 等于什么？ 等于二分之派的时候，这边起到最大值，当然他是周期的，这边再加一个，我们是二分 派要等一，这个整个值要等一，那么它这个就 aceta 是等于二分之派加二 k 派的时候取得最大值，那么这边你将这边六分之派移到右边 的话，是等于二分之派，减六分之派等于三分之派加二 k pi 二 set， 那么同时再除以一个左右两边同时取二个，我们就可以得到 set 等于 k pi 加上六分之派， 那么 k a set 是属于什么？因为我们这个整个这个上行的是六十度，那么你这个 set 只可能在零到上零到六十度范围之内，也就是零到三分之八之内，那么 我们可以得到当 k 等于零的时候， c 它等于一分之判，那么我们综上所述，那角 c o d 等于三十是五十，可以使得画它的面积，对对大大面积是这个，那这一题是我们情境与问题中这边最难的一一题了， 就是我们要运绕公式再用个和插画机，这还涉及到我们正行函数的图像的性质，他什么时候取得最大值，就是二分之派加二 k 派 啊？这题是比较难一点的，那我们再看我们情景有问题了，那么不管这边就是他给了我们一个这个电压跟时间的函数， 它要求开始的电压开始的时候是不是等于 t 等于零的时候， 那么我们 t 就是取 t 等于零的时候。看这个公式， u 等于二百根号，三分之二 pa 上演六分之派，直线一百派， t 加六分之派， 二百二十根号上三引这个，那么 t 单零的时候就直接这边二派派， t 的这边零，那么直接这边三引六分之派， 剩六分之快就只是等于二分之一，二分之一乘以前面这个长数二百二十根号三，那么就等于一百一十根号三。第一题是很简单的，你就刚开始的时候，也就是 t 等于零的时候，这个是比较好理解的。我们再看第二小题，电压值从 重复出现一次的间隔时间，你重复出现其实就是我们的一个周期，对不对？ 这个要理解，重复出现一次，就像刚刚我们正弦的，他重复出现这个跟这个重复出现的话，实际上就是一个周期 啊。电压重复又是间隔 t， 我们周期是怎么求？ t 是不是等于二派除以欧米伽，我们这边适中欧米伽是等于十二 等于一百派，那么二派除以一百派，派跟派约掉，这个同时约除以一个二，等于五十分之一，也就是零点零二秒，那么这一空也是比较简单的。那我们再看第三个问题，三个小题 问电压在最大值时，电压的最大值和第一次达到最大时的 这个时刻，那么我们什么时候起到最大值？就是这个时候等于一的时候起到最大值， 那，那最大的只是你就这边整个这边等于一，那么这边你这边上面的就是等于一， 那么这边肯定不是六分之派，是一百派 t 加六分之派，那我这边不管这二百二十三根号比，那么这个是理解的。那么什么时候起的最大值？又是我们刚刚的，他是正弦的，就是他你把这个里面的整个 当做一个角阿法，那么我们上一阿法的最大值是二分之派，最小值是负二分之派或者二分之三派，这是我们要很熟练的，到这个的时候，那么我们一我们要出现第一次达到最大值的时候，那也就是 k 等于零的时候， k 等于零，我们那么就等于 一百派， t 加六十六派等于是派，那么我们这么一项过来等于三分之派，这一百派再除以三三百，那么派派约掉，我们就等于三百百分之一。那这一题的话，其实没什么难度，就是比较简单了，我们再看 我们课本三十八页的情景问题上，这题来说，其实难度也还好，它如图所示，在合案两边选定两点， a、 b 这个点，这个点 啊，对啊，这边选个 c 角， c、 a、 b 这边是四十五度角， c、 b、 a 等于七十五度，那我们是不是三角形的内角和等于一百八十度，那么 c、 a、 b 加 c、 b， a 四十五度加七十五度，等一百一十度，那么我们另外一个角这个角那写呢？ 一百八减去这边是应该是一百二，是不好意思啊，这边是五加七十五度，应该是一百二十度，那么一百八减去一百二十度，那这个角 a、 c、 b 就是等于六十度， 那还告诉了我们， a、 b 就是这一段的长度是一百二十，我们这个角知道，这个角知道，这个角也知道， 那么我们是不是可以用正行定理求这个条边或者这条边，那么我们这个角是四十五度啊，四十五度，那这个对这个边是比较好算的，那我们看一下， 因为角 c、 a、 b 等于四十五度， c、 b、 a 等于，那么这个我们刚刚也角 a、 c、 b 等于六十度，那么正弦定 里我们 a、 b 比上三引 a、 c、 b 等于这个 b， c 比上三引 a、 c、 b， 那么我们可以得到 b、 c 是等于你把三 b、 c 是的话是等于左边这个再乘以一个上引角 a、 c、 b， 那么 a、 b 是告诉了我们等一百二上引 c、 a、 b 的话是十五度 a、 c、 b 的话六十度，那么这边 就一百二乘以，这边是上面四十五度是二分之根号二，上面六十度是二分之根号三， 那么二跟二约掉，那么根号二除以根号三，那么分子分母同时乘以一个根号三，根号二乘以根号三，根号三乘根号三，那么上面就是变成根号六，下面 面就是三，那么就三分之根号六，那么整个那么三再跟一百二约掉，等于四十根号六啊。这一步是比较简单的，又就运用了一个我们正弦定理，把我们刚刚的两条边带进去， 其实就是这个角，这个角跟这个边和这个角跟这个边，这个角四十度，这个角六十度，这边告诉了我们，我们把这条边求出来，这个是相对来说比较简单的 啊。那么在 r、 t 三角形中，角 c、 d、 b 中，我们 上引角 c、 b、 d 等于 c、 d 比上 b、 c， 那么所以我们 c、 d 是等于 b、 c 乘以上引角 c、 b、 d、 b、 c 的话等于多少？ b、 c 是我们刚刚算的，这边四十根号六带过来，那么上瘾七十五度，我们是不是之前学习了？七十五度等于多少？四十五度加三十度，那么你就展开，那等于上瘾四十五度 乘以口三一三十度，我们这显得是符号，这显示一名，这同加减 就上印四十五度，乘以口上印三十度，这边是加的，中间也是加的，加上口上印四十五度，乘以上印三十度，那么这边我们课本上也有 老师，这边就不再展开了，这边是三 x 度，就是二分之根号二，括上一三十度是二分之一，那么括三十四度也是二分之根号二，上一三十度的话等于二分之一。 这边口算上是不是应该二分之根号三，那么这边分母的是等于四。这边根号二乘以根号三，等于根号六，那么这边分母也是二乘二等于四，根号二乘以一，一的话等于根号二，那么我们就是等于四分之根号二，乘根号六。然后这边 大军区四十根号六乘以四分之，根号六乘一，根号根号二，根号六，乘根号六等于六， 那这边四根石约掉，那么我们这边 根号六乘根号二，可以提一个根号二出来，等于提个二出来，等于二根号三，那么我们可以得到等于化减下，就等于二十根号三加三，二十乘以根号三加三。这题是比较简单的，用了个正弦定理，再用了一个我们正弦的 喝茶， 我们再看情景问题四，这题是我们四道例题中应该是最简单的，我们直接就用一弦定理带进去就行了。 它让我们求 d、 e 这个洞，隧道的这个洞，它告诉了我们 a、 d 的长度，告诉 b、 e， 我们是不是把整个 a、 b 求出来，再减去这 a、 d 和 b、 e 就求出来了。 c， a 告诉了我们不败， c， b 告诉了我们巴巴 a、 c、 b 告诉我们这个角夹角，他们两个的夹角六十度，那求这个我们是不是等于直接就是 a、 b 的平方， 等于这两个的平方，我们一千一千公式带进去 a、 b 的平方等于 a、 c 的平方加 b， c 平方减去它两倍的乘积，再乘以它们的加角，这边是减号， 那么直接带进去这边 av 的平方可以算出来等于四十九万，四十九万，那么他这边是平方，我们开出来是正的这个七百七百，再减去那两段等于二百八，这个就只要用我们的余弦定律就可以解决了。那这题是比较简单的啊，同学们再看一下课本 是十一月的练习六点五，练习六点五的话是比较简单了，比我们课本上的立体相对来说是简单简单多了。 那么一开始它是七十五度，后面变成三十度，他问 body 延长了多少米？ body 延长的就是实际上就是这一段， c b 对不对？他之之前是只有这一段，后面到了一段，那么延长的就是这一段， 那么这边是七十五度，这边三十度，是不是我们这个角是等于多少？七十五度减去这个三十度，好的，这个角等于四十五度， 这是我们初中的知识，这个角是等于这个角加这个角，其实这个直角跟这个角互补，等于一百八十度，那么这个角加这个角就等于这个七十五度，那我们这个角 等于四十五度。算出来了，他也告诉了我们 a、 b 等于多少？ a b 就这一段是等于十米， 那么我们要求求这个，嗯，这个角所对的边就是 c b， 那 sine is 那 c c、 b 比上 sine， 这条边跟这个角相应四十度等于什么？ 就等我们这个角对这个边，这个这条，这个边是多少？ a b 是等于十， 这个角是三，以三十度，那么我们 c、 b 就等于多少。 速度等于这边三点四五度乘过去，后来十乘以，这边底下三点三十度是二分之一，这边三点四十度是二分之。根号二，越大越掉，然后就是等于十根号二。第一小题是很简单， 我们再看第二题，第二题也比我们的立体简单了，如图所示，要把截面半径为啊的原木锯成横截面为矩形的方木， 问题型的长和框为多少时，其面积最大，最大面积是多少？其实我们用拆的话，就是它里面结的是正方形的时候最大，那我们看， 但我们拆的话就是只能用在选择的填空题。我们这个大题的话，我们看一下我们题连接 a c， 假设这个角是角， c a、 b 这个角是 set， 它要面积的话，是不是长乘以宽？ 好，就 a、 b 乘以 b， c， a、 b 等于什么？这个是它的半径为二，那么这一点 a、 c 等于多少？ a， c 是等于二二，那我们 c、 b 等于多少？ c、 b 是不是 就等于二二三以下它， 那么我们这边 c、 b 表示出来，那么 a、 b 是不是等于三？ a、 b 是等于 二二乘以扩散一些它， 我们的二二口三 a、 c 塔怎么来的？这边 a、 c 等于二二，这边比上这边就是口三， a、 c 塔 就零边比上斜边是余弦，对边比上斜边是正弦，那么我们就得到这个，那我们面积是指的呢？什么？ a、 b 乘以 b c， 那么就二二三因塞达除以二二括三因塞达是等于四二的平方。 三 a c 它乘以口三 a c， 它，那这个什么我们是可以用二倍角，那么我们等于二二平的平，这边提弄一个二过来，这边这边拿出一个二，嗯，二二平方乘以三 a， 二 set 什么时候？其实就是这样子，我们把二 ct 当做一个整体嘛，当做阿法是不是二分之派的时候，因为我们这个角在里面的话，就在这个矩形里面也是零到九十度嘛，那我们二阿法是等于这个是多少？二分之派的时候， 那么这是二 set 等于二分之派，那么 set 等于四分之派，你是这个是四十五度，这个四十五度， 那其实这边等于三角形，那么这边其实就是正方形，那最大面积多少？最大的面积就是二二的平方，对不对？这个角是四十五度的时候， 那么这一节我们就三角形的地方面积问题，交流电测量，那这个 不重要，主要是我们就对公式怎么具体的运用，那我们这一张结的内容 就学到这边，我们课本上就是主要是和，我们就把和角公式、二倍角公式、正弦函数的图像和性质还解，三角形及三角形里面涉及三角形的面积公式 s 等于二分之 ab， 三 inset， 还有另外两个在正弦定理是边笔上角的正弦， a 比上上映 a 等于 b 比上上映 b 等于 c 比上上映 c。 预选定理的话， 就是一条边的两个平，一条边的平方都比如说 c 的平方等于 a 的平方加 b 的平方减去他们两倍，再乘以他们的加价，等于弦值啊。那我们这一节课就讲到这边，感谢同学们的聆听，同学们，拜拜。

同学们好，上一节课我们学习了向量的减法，那么这一节课我们学习向量的速成运算，那么什么是速成运算呢？顾名思义， 速成就是你项量以时速相乘或者以数字相乘。 那么我们上一节课讲到向量的减法， a 向量减去 b 向量，它是等于什么？我们转化成加的向量的加法，是的话是等于向 a 向量加上 b 的相反向量。假如我们 这边一个 b 项链是这样，这是 b 项链，那么 b 的相反项量，他是大小模相等，也是模大小相等，方向相反，你们往这边往东，那边这边往西，那么我们一个项链 可以 b 项量，这边有相反项量，这边是相当于前面成了一个负一，对不对？那么同学们，有的同学就会想，哎，你可不可以前面乘一个 两倍或者说二分之一，那么假如我们刚刚还是以这个 b 限量，假如长度是这样，那么二 b 限量呢？我们可以理解为他长度是他的两倍，方向还是一样的，那二分之一呢？这个的一半啊，那么差不多就是这样啊，这个 就是我们这节课要讲的项量的速成运算，那么这边就是二分之一 b 项量，这个是二 b 项量，那么负二 b 的话，你就把这个方向相反，那么 的长度是他两倍方，方向是相反的啊。 那么我们看课本，同学们课本放到第二十八页， 在零四年奥运会上，刘翔以十二点九一秒的成绩获得男子一百一十米郎比赛冠军。同学们有可能很多还没有出出生或者刚出生，那老师那个时候是真的很轰， 成为第一个获得竞赛直到项目冠军的亚洲人男子一百 一十米跨廊，他从第一廊到第九廊，每两廊相隔的间隔是相等的，都是九点一十米，那么我们记第一廊到第二廊的位为 s 一，就会我们涂这边，这边是 s 一， 那第一栏到第三栏的位移为 s 二，就这一段 s 二，那么我们是不是可以看到 s 二，他的方向是相同的， 那么它的长，它的长度是它两倍，也就是它的膜等于它的两倍。这样其实我们就可以写成你把 s 二当做一个项链或者一个卫衣，是等于两倍的 s 一，它的方向是相同的，模式等于两倍的， 如果 s 八的话，刚好等于八八倍的 s 一， 容易看出位于 s e、 s， r 的方向相同，它们的模板就 它的就膜就是它的大小，大小的话就是长度，这个我们刚刚有讲，因此位于 s 二是位于 s 一与 s 一的和两个 s 一及 s 二等于 s 一加 s 一，那么我们就将它写成二 s 一。类似的，我们还可以得到 s 三等于三倍的 s 一， s 八等于八 s 一。 一般的时速 lambda 与向量 a 的乘积仍是一个向量，这句话很重要，同学们可能不太在意，这边实数是 lambda， 这么项量，我们项量的速成就是一个时数乘以一个项量，它的结果一定仍然是一个项量。很多同学把这个最基础的东西会忘掉， 因为到这边 landa 相比等等的时候零项量，很多同学会直接写个零，记住 landa a 项量我们这边是印刷的 hate 就是这样写，然后我们写的时候是这样，这边是实数，这边是项量，那么 landa a 项量的膜为那么么哒 a 项量的这边价格相结对值符号等于，这边是结对值，这个是膜符号看上去都是一样的，但这项量的叫膜，我们实数的叫绝对值， 这个是很好理解。那么当 lambda 大龄时，是 a 的方向， 那么呢？ a 的方向与 a 的方向相同，像我们刚刚是不是 b 一的向量二， b 的向量还有二分之一 b 一的向量，它的方向是相同的。 找那么那么大大于零时，那小于零的时候，我们负臂的时候是刚好相反方向，或者负二臂的时候也是相反的，那么他的方向是 number 小于零是相反的，这个也比较好理解。当 number 等于零时，因为 number 一项量等于零项量，所以其方向是任意的。 number 等于零的时候，我们 lunda a 限量的膜，是不是刚刚这边等于 lunda 的绝对值乘以黑的膜，那么它绝对值，它是零，那么是等于零，乘以 yet 膜，那么还是等于零， 那么我们整个浪漫的 a 项量，它的膜，我们零项量的概念是什么？膜为零的项量 是零项量，那么我们这个 nana a 的模式等于零，那么这个 nana a 项量是，其实它就是零项量。 千万记住，刚刚这边实数不能乱打，以限量相乘，他仍然是一个向量，这个一定要记住，那么你这边就不不能是等于零，是等于零向量好，这边很多同学会错的，那么求一个数，那么 以向量 a 的乘法称印算，称为竖，以向量的乘法印算，也简称竖乘印算，这个就很好理解了。 那么我们根据这个定义可以当 number 大龄时，项量 number a 项量可以看作有项量 a 身长或缩短， number b 得到。我们开始举例子指的时候， b 项量的有你 两 b 项量，你两倍的 b 项量就是生产两倍。你这边方向一样 二分之一的 b 的时候，你就把它它的一半方向是相同的，但长度只有它的一半，那么浪大小也就是方向相反了，你可以伸长或缩短，那么 被得到，这是这就是像限量速成的几何意义。 那么我们可以用易容易验证对任意项量 a 项量 b 项量，而任意时速那么大和 mill 项量的速成运算满足下月法则， 这个是其实跟我们实数的成实数的运算法则一样，满足分配率和结合率，结合率，那么 这 luna meal 乘以 a 销量，那么可以把它 luna 提出来或者 meal 提出来都行，或者 luna 的 meal 你都可以。这个相乘的话直接可以把括号除掉 去掉，这个相乘的话也是可以把括号去掉，这个就像我们实数的乘法相同，只是这边是一个向量数成最终的结果都是一个向量，那么实数相乘的最后都是一个实数。 我们可以看出向量那么大， a 向量与向量 a 平行， 反之，若有一个向量 b 向量以向量 a 向量平行，则向量 b a 的关系如下。那么我们当假如 b 向量是零向量时，我们 b b 向量的模是不是等于零，那么 b 是不是等于零？ 乘 a 项量，它，因为它们它零项量的话，它的模式是等于零的， 这个膜乘以零是不是等于零的好？ b c 这个当 b 等于零下面的时候是满足的， 就这个拉曼达变成零了。当 b 限量， b 与 b 与 a 方向相同时， 我们就是他有伸缩，那么打背，那么他的长度跟他的，他的膜跟他的膜相组就等于一个 那么大左右。 b 项量等于那么大 a 项量。我们 b 注意 a 等于那么大，那么 b 是不是等于那么大？ a， 那么我们给它转换成是不是 给它膜去掉，因为它是正的，那么方这个给它的膜去掉的话，是不是等于那么的很像呀？ 同样的，当 b a 方向相仿时，相仿时，那么它是不是等于它实际上是相除的话，是有个负的，它方向是相仿的，这模相除是还就是它伸缩的倍数，这边负的是指示，表示一个方向，这边是正的，相当于是方向相同， 这边是负的，这方向相反，那么我们同样的还是有 b 等于 n 大 a 向量，因此当 a 不等于 a 项量不等于零项量时， a 平行于 b， a 项量不平行于 b 项量等于存在时，数 number 使得 b 项量等于 number， 就是这两个等价的。 a 项量是不等于零项量时， a 向量平行， b 向量 等价， e b 项量等于 landa a 项量。 我们如果 a 向量是零向量时， 实际上零限量时与任何限量都平行，这个就不用管，那我们也不等零的时候，我们说的平行是不是有就是相反，方向相反， 还有方向相同，我们平行也可以说 或者贡献，这是我们之前学的内容， 那么我们就可以把两个项链平行转化成一个，这个式子是不是很简单了， 就一个项链，这边等于 lamada 杯的黑项链，我们判断它是否贡献，就直接可以用它的关系来表。我们看例物， 我们看第一写的这个是不是很简单，直接乘进去负二乘以四，负二乘以四的话等于负八。第二题，你将它展开， 那么二乘进去乘进去，那么二 a 减，那么就二 a， 而我们这边就等二， a 向量加上二 b 向量，这边是乘客来减三 a 向量负负的人加三， b 向量减五， a 向量 a 向量的排在一起，其实跟我们实数的都很像， 那么 a 项量的排在起二 a 减三， a 减五， a 二减三减五等于多少？ 等于负六， b 的话二加三等于五，这个是比较简单的，我们下面一题也是一样，把 a 的 你先全部给他展开，展开之后 a 限量的写在一起， b 限量的写在 c 限量的在一起，在前面化解一下 就做出来了，这是比较简单的，我们再看第六，如图所示， ov 平行四边形 a、 b、 c、 d 两条对角线的交点， a、 b 向量等于 a 向量， ad 向量等于 b 向量。适用 限量 a、 b 表示 a、 o、 o b， a、 o 是哪一段？ a、 o 这一段 a、 o、 o 的话是不是等于二分之一的 a、 c。 我们平行四边形法则直接就出来了， 那么 o、 b 向量也是等于二分之一 d、 b。 那么 a、 c 向量的人说多少？是不是刚刚它的对角线就等于 a 向量加 b 向量， a、 c 向量是等于 a b、 e 向量 d b d、 b 向量的话，我们用是不是等于 d b 向量？或者你用是不是等于 a、 b 减 a d？ 或者说 d、 b 向量是这边到这边，那么你用加法的话，是不是等于 这个 d a 加 a b， d a 的话等于负 b 这边首尾相连，指向尾，手指向尾，那么或者你用直接字母 前面相同，后面指向这边，等于这个减，这个也就是 a 项量减 b 项量，两种都行，看同学们自己喜欢。 那么你二分之一 a， c 向量是不是等于二分之一？ a 加 b， 这个 a 就这边等于这个也行，你直接写成再乘开，等于这个也行。同样的这个边等于二分之一 d， b， d， b 的话，我们刚刚说算出来等于 a 限量减 b 限量等于这个再乘开来等于这个 数。乘其实还是比较简单的，就跟我们实数的乘法其实有点像。一般的若限量 c 限量等于 那么大， a 项量加上 mill 乘以 b 项量，则称项量。 c 可以由项量 a、 b 线性表示，这边两个项量两个时时数 c 项量可以用这个量表示，就是这个可以线性表示。 列六中。我们这边 a o 是不是等于这个？这有一个项链，这边一个项链，这边一个项链，这个可 可以用它，这个是相当浪漫的。这个 mill， 那么这个项量是跟它就是 a o 项量是由 a、 b 项量的线性表示。 那我们看课本的习题，同学们课本翻到第三十一页， 这个是很简单直接，快了的话直接乘开来是 a 项链减五 b 项链， 这个乘其实也很快，等于二分之一， a 项量二分之一乘以二，等于加 b 项量减去五， a 减减等加等正负负的正加 b 项量， a 的跟 a 的写在一起， b 的跟 b 的一写在二分之一减五等于二分之二分之一减七十嘛，负二分之九一项量 加上 b 加 b 等于二， b 项量就等于负。或者你直接写二 b 项量减去二分之九 a 项量也行。我们看这个 more 等于 负二 a 向量加上六， b 向量加上二， c 向量加上三， a 向量加上六， b 向量减三 c 向量， a 的写在一起， 负二 a 加上 a 是不是等于 a 项量， b 的写在一起六 b 加六 b 等于十二 b， c 的二十一减上 c 等于减去 c 项链。那么这个很简单， 根据已。第二题，根据已知条件是用向量 a 向量表示 b 向量， a 向量表示 b， 那 b 等于是一，是不是等于二乘以二一， 那么 a 四等于二一项量，你把它等于二乘以 a 项量， b 等于负三，一是不是等于负三乘以一项量， b 项量等于 a 项量等于负三 a 项量， 这三一是不是等于负六乘以二负二分之一一项量，这负六乘以负二分之一等于三吗？ 那么等于负六乘以 a 限量，那么等于负六 a 限量。好，这个位置 不用写了，我们再看第三题。图所示向量 a， b 不空线画出有向线段 o a， 使得 o a 等于 a 向量加二 b， a 限量加二 b。 这个同学们自己画或者也行， 或者这边二 b 的话，你这边这么长，你给它移到这边。哦，大的两倍。嗯，老师画的不值。好，老师大概画一下。那么你用平行四边形法则 这边起始点相同的，是不是平行四边是发着他的对角线？ 那我就直接做出来了。我们第四题如图所示，平行四边形 a、 b、 c、 d 的两条对角线交于点 m， a， b 向量等于 a 向量， a， d 向量等于 a 向量，是用向量 a、 b 向量分别表示 m a 项链 m c 项链 m d 项链 m a 项链。 那么我们 m a 项量是不是等于二分之一的 c， a 向量等于二分之一的负 a， c 向量等于负二分之一 a， c， a， c 向量的话是平行四边形法则 a， c， a， c 向量是不是等于 a 项链加 b 项链，那么这个等于负二分之一 a 项量减去二分之一 b 项链，我们再看 m， c， m， c 项链 m， c 是不是等于二分之一 a， c 向量。二分之一向量这边刚刚写出来，那么直接二分之一 a 向量， a， c 这边平行四边形法则写出来的等于二分之一 b 向量，我们再看 m、 d 向量这一段 你看那这个有好几种方法了，那么你可以直接是， 嗯，用等于二分之一的，这个好，我们 写一下吧。 m、 d 向量是不是等于二分之一的 b， d 向量，那么等于 a， d 向量减 a， b 向量 或者 b d 向量，你不会的话，不会老是这样直接写，因为这边前面相同，后面中减，减值，向背减，这样写没有老师这么快的话，你 d， b 向量，我们在三角形啊，这个 大概画一下 a， b， d， 你是 b， d 我们三角形法则的话，是不是应该是 d， a 加上 a， b 首尾相连，首指相连等于 b a 相量加上 a， b 相量 b， a 这边是首尾相连，连了 b a。 哦，这边不是，这边是 d a， d， a 限量加 a， b 限量。那么等 b， d 方向搞错了，这边是求的是 m d， m， d 是 b m m b， d 这边是没错的。好， b、 d 项链的话，我们三角形法则的话， 应该是这边 b、 d 限量。重新画过一个图吧。 a、 b、 d， 那么 我们求的是 b、 d 限量，我们要它指向这边，那么是不是等于 b a 加上 a、 d， 这边中间首位相连，这边再相 b， a 相量等于说是不是等于负的 a， b， 嗯，负 a 相量 a、 d 的话，就等于 b 项量加 b 项量，那么这边等于二分之一。 for a 向量加 b 向量，那么等于二分之一 b 向量减二分之一 a 向量也行。 第五题，还是化减。我们这边一看到限量的减法，你有两种相方法，第一种就是直接向首相同减，指向被减，这直接就等于 h 限量， 或者你实在不会，你就用加法。 o、 c 向量加上减 o， a 是不是加上 a o， 那么 a， o， c 加 a， o 是不是等于 a， o 向量加 o， c 向量，这边是不是首位相连的？然后等于 a、 c 向量，两个都行，那么这边等于 a、 c 限量 a、 c 限量，再加一 个 a， c 项链加二 a、 c， 二是等于三 a、 c。 我们再看这个两倍的 a， b 项量减去两倍的 a、 b 项量。我们可以提起一个两倍，那等于两倍的 a、 b 项量 减去 a、 d 向量，等于这边是有相同的相减的，这样用 o 减直向被减就等于两倍的 d， b。 不会的，就老老实实用加法换成加法去算 两倍的 d， b， 那么加上 d、 b 向量，那么就是等于三倍的 d、 b， 我们再看这个，这边是不是有个 b d， 这边有个 d、 b， 它们是不是相加在 等于零限量，那么我们再看 a、 b 向量，再减个 b a 向量是不是等于 a、 b 向量减 b， a 是不是等于相当加上 a， b 是不是等于两倍的 a b 这边 b d 跟 d b 相加，实际上它是等于零。相量这边就不再写了，你同学们也可以看到这边一个 b， 这边一个 d， 这边再加上这边 比，就像你们向左跑十米，再往右跑十米，是不是底下了，在还是在原点？那么你不能写等于零，其实是零向量。 我们再看第六题，已知项链 i g 分为 x、 o、 y 轴上的单位，项链 是判断下来方向是否贡献，我们看是否贡献是不是，看他能不能等，等他的多少倍。这个一看 a 向量 b 向量，他都是 a 的，那么这啊，你就 a b 方式， a b 是不是等于让打 b 向量？这边是不是 a， 是不是等于他的负六倍， 所以是空线，这个也是一个 i 一个 z， 肯定是不空线了。 你 b 你再写 b 项量，你 number b 项量等于负根号二 round z， 你 j 怎么都变不出来 i 吧，他们两个是垂直的，所以不是。我们再看这个 b 项量是指 这个，那么 a 项链 现在是不是等于？ 或者我说我们把 b 向量是不是等于提取一个负号负的两倍的 i 加上 i 向量，加上二分之一的 j 向量，这个等于什么？这个就是等于 a 向量，就等于负 a 向量。 好，我们这节课是学习了速成，速成还是比较简单的，还是要主要是前面的加法减法运算。要熟悉加法运算的话，两个三角形 法则收位相连首是相位或者平行四边形法则，它的 起点是以或者十点是相同的啊，做个平行四边形。 嗯，注意他的对角线。减法的话，你可以转转换成 三角形加法， a 减 b 向量等于 a 向量，加上不 b 向量不 b 的话，就是他相同方向只是相反而已。或者说比如说 oa 向量减去 ob 向量直接首相同，从减值向边减等于 bab 值向 a， 那么将来的速成就刚刚讲的就很简单了，就跟实数的其实差不多了。那这边就不再讲我们这一节的课，课的内容就差不多，讲到这边 同学们还是要多做题，多理解，做题的时候一定是要先把我们学的内容学清楚之后 再去做题，你先你思考的东西才会转化成你自己的东西。这边老师一直都有在强调，你做题前先把知识点回顾，回顾了再做，做了再总结，这样你才会不断的进步。那么今天的课就讲到这边，同学们拜拜。