sinx²和sin²x的区别

大家好，我是罗老师，三引 x 平方的导数是多少？三引 x 平方的导数是二倍三引 x， 乘口三引 x。 好，我们来讲解一下这道题。 售 y 等于 cyenx 平方，那这个函数呢？他就是一个符合函数求导，而对于符合函数，我们要求导呢，需要用到的方法叫做换元法，所以我这里可以令 u 等于三引 x， 那么 y 就等于 u 的平方，所以 u 的导数就等于三引 x 的导数，也就等于了扣三引 x， 二 而外的导数也就等于 you， 平方的导数等于二倍的 you， 但是这里的 you 呢，我们要用这个三眼 x 来 代替，也就是二倍三引 x， 所以最终三引 x 啊，平方的导数呢，他就等于了二倍三引 x， 成口三引 x， 这就是他的推倒过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

大家好，我是罗老师。三引平方 x 的导数等于什么？三引平方 x 的导数等于三引二 x。 好，咱们来讲解下这道题。咱们设 y 等于 cying 平方 x， 那这就是一个符合函数，然后咱们令 u 等于 cyunx， 那么 y 呢？就等于了 yu 的平方， 所以 u 的导数就等于 stying x 的导数也就等于了 cosidex， 而 y 的导数也就为 u， 平方的导数也就等于了二 u， 而这个 u 它又等于三 e x， 所以就为二倍三 e x， 所以三引平 平方 x 的导数也就等于了二倍三引 x， 乘以扣三引 x， 而这个呢，就是咱们的二倍角公式，所以也就为三引二 x。 有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

大家好，我是罗老师，三应平方 x 加上扣三应平方 x 等于什么？三应平方 x 加上扣三应平方 x 等于一。 好，我们来讲解下这道题。假设这里有一个直角三角形，设 acb， 那么角 b 所对应的边呢，称为小 b， 角 a 所对应边称为小 a， 那么角 c 对应的边就称为小 c， 我们假设这里的角 c 呢，就为九十度， 然后我们假设这里的角 b 呢，就是 x， 那这个时候根据正弦的定义，我们就知道三引 x 呢，就等于对边 b 比上这里的小 c， 然后口三引 x 就等于零边 a 比上斜边小 到 c， 所以这里的 ci 平方 x 也就等于 c 的平方，分之 b 的平方，那 co c 的平方 x 也就等于 c 平方，分之 a 平方。 所以腮影平方 x 加上口腮影平方 x 也就等于了 c 的平方，分着 a 平方加上 b 平方。 而在直角三角形当中，我们有一个勾股定理，也就是 a 平方加上 b 平方等于 c 平方，所以这里就为 c 平方，分之 c 平方也就等于一。有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

三引 x 的导数是什么？三引 x 的导数是扣三引 x。 那咱们可以瘦 fx 等于三引 x， 根据岛数的定义，咱们知道 fx 零一瓶等于黎明，德塔 x 接近于零的时候， fx 零，加上德塔 x， 减去 fx 零，再除以德塔 x。 因为 fx 等于三眼 x， 所以我们直接带进去就能够得到 simon x 零加 dotaxe， 也就是 ceonx 零乘以 cosayneoutyxo， 加上 cocyonuxe 零乘以 ceonyondairtaxo， 再减去 sonyounecoxoxo， 然后再除以 德尔泰 x。 因为德尔泰 x 接近于零的时候，这个扣三英，德尔泰 x 就等于一，所以这个地方就变成了三英 x 零，然后他俩直接约掉， 那么结果就变为了黎明。德尔塔 x 接近于零的时候，德尔塔 x 分之扣三应 x 零，再乘以三应等尔塔 x， 所以结果就为扣三应 x 零，也就说明 c i n x 的导数等于 co c i n x， 那这个就是他的推导过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

同学们好，我是罗老师，今天咱们来看一下这道题， x 分之三应 x 的极限是什么？ 当 x 接近于无穷大的时候， x 分之三引 x 的极限是零。好，接下来咱们讲解一下这道题，也就是为什么 x 趋近于零的时候， x 分着三引 x， 他的这个极限等于一呢？好，咱们发现 x 接近于零的时候，三引 x 除以 x， 他其实呢就是一个啊，零比零形这样一个结构，所以 x 分之三引 x， 在 x 接近于零的时候，他的这个极限，咱们就可以写为 第一名 x 接近于零，三引 x 的导数除以 x 导数，那么也就为第一名 x 接近于零的时候，扣三引 x， 他的这个极限。你看， x 接近于零的时候，口三引 x， 它其实呢是接近于一的啊，因此咱们这个地方呢，就等于一啊，因此当 x 接近于零的时候， x 分之三引 x 极限，它是一是没有问题的。 好，咱们再来看 x 如果是趋近于无穷大的时候啊，那么 x 分着三引 x， 他为什么是等于零呢？首先我们知道 x 接近于无穷大，那这个三引 x 他还是一个 有界量，他的这个范围呢，仍然是负一到一之间，但是 x 接近于无穷大的时候， x 分之一呢，他就是无穷小量，也就是接近于零的。好，所以咱们这个极限呢，就可以给他看为 x 接近于无穷大时， x 分之三以 x， 可以写为 x 分之一乘以三以 x， 也就等于零啊，那这个呢，就是 x 接近于无穷大时， x 分之三以 x， 它的极限是零的原因。 好，最后来总结下这道题，那我们这道题要写对呢，我们需要掌握极限啊，求的一些方法以及我们常用的若必达法则能理解吧。好了，今天就到这儿，感谢大家，咱们下期再见。

cynx 分之一的导数是什么？若为 cynx 分之一，它的导数为 x 平方分之副科。 cynx 分之一， 若为三应 x， 在分之一，它的导数为三应平方 x 分之复刻三应 x。 咱们先来看第一种情况，也就是 y 等于 cx 四分之一的函数，它就是一个符合函数，咱们可以令 u 等于 x 分之一，则 y 就等于 cyu， 所以 u 岛就为 x 分之一的岛数，也就是负 x 平方分之一。而三以六的岛数就等于扣三以六， 那我们要还原，也就是扣三引 x 分之一，所以三引 x 分之一的导数也就等于了扣三引 x 分之一乘以负 x 平方分之一。然后化解之后，咱们就得到负 x 平方分支扣三以 x 二分之一，那这个呢？是它的第一种情况。然后我们再来看它的第二种情况， 如果是 y 等于 cyenx 再分之一，咱们可以令优等于 cycnex 和 y 等于优分之一， 所以 u 岛就等于 steamx 的导数，也就是扣 ceinx。 而歪倒就等于 u 分之一的 导数，也就是负右平方分之一。那我们最后要还原，也就是负三以平方 x 再分之一，所以三以 x 再分之一的导数也就等于了负 三影平方 x 再分之一乘以扣三影 x， 结果就为三影平方 x 再分之，负扣三影 x。 有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

扣三影平方 x 减三影平方 x 等于什么？扣三影平方 x 减三影平方 x 等于一减二倍三影平方 x 等于扣三影二 x。 因为扣三引平方 x 加上三引平方 x 等于一，所以扣三引平方 x 等于一减三引平方 x。 因此扣三影平方 x 减去三影平方 x， 也就等于了一减三影平方 x 减去三影平方 x。 化解 之后就变成了一减二倍三饮平方 x， 进一步化解就变成了扣三饮二 x。 有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

这是一个非常简单而且易错的方程，考场三 x 等于三，考场 x， 要解决方程啊，大家可以暂停挑战一下，我们看大部分同学是如何错的啊， 把这个看成阿法，这个看成贝塔，他们俩相同，那么阿法加贝塔肯定等于二分之派，也就是三 x 加 con， 三 x 等于二分之派， 这个可以写成根号二乘以口号三四分之派。三 x 加上三四分之派乘以口号三 x 等于二分之派，也就是根号二乘以三 x 加上四分之派等于二分之派。 而这个的范围就是负根号二到根号之间，因为这个是负一到一之间啊。 而二分之派大于公号二，因为派是三点一四嘛，一五九除以二，这个是大于一点五的啊，而一点五肯定大于公号二，所以说超过子欲了，五减五十速减， 那他到底错哪了呢？大家可以暂停调整一下，能不能找到他到底错哪了， 错在了第一步啊，他可能加个二 k 派，因为二 k 派并不影响他们相等啊。还有另外一个非常重要的原因啊， 他们不只是货鱼才能够相等，我们可以画一下，我们假设这个是阿法，这个是贝塔， 如果贝塔有一个结 在这里，那么肯定有一个贝塔一，可以跟他取一样的字啊，三贝塔等于上贝塔一。 所以说还有另外一种情况需要讨论啊，这个时候贝塔加贝塔一等于派，因为他们关于二分的派对称嘛，这个派是二分的派乘以二。 ok， 理解了，这个实际上还要讨论另外一种情况啊，第一种情况，三 x 加上考场 x 等于二分之派加二 k 派，也就是更换二倍的三 x 加上四分之派等于 二分的派加上二 k 派啊。假设他是 m， m 的范围肯定是负公号二到公号二，而这个二分的派 加二 k 派。在 k 大于或等于零时，二分之派加二 k 派 是大于一点五的，就不在子欲范围之内。当 k 小于或等于负一时，因为 k 是整数嘛，可以这样取啊，二分之派加上二 k 派要小于或等于负二分之三派肯定小于负跟二 也不在子欲范围之内啊，所以无解。同样的啊，三 x 加上一个中间亮盘阿法等于二分之派和另外一个 考三 x 加上这个啊法是等于拍的，就能够满足考三三 x 等于三考三 x 啊。 别忘了加个二 k 派，上下相减得到三 x 减空三 x 等于负二人派加上二 k 派， 也就是更换二倍的十二 x 减四分之派等于负二分之派加二可以派，同样可以证明这个无解啊， 因为这个超出了他的直域负公号二和公号之间。 ok， 更多的有趣的趣问题，可以翻看我的合集和订阅我的赞赞，关注，晚上学习变得更有趣！

这是一个看起来很普通，但是透的一些奇怪的解放程。 colone x 加三 x 等于二，要求 x 啊，好同学看到这个方程第一下就能够翻译出来啊，这个没有时速减。为什么没有时速减呢？我们看一下啊，把它化解一下，它可以变成 根号二乘以二分之，根号二，空号三 x 加上二分之，根号二三 x， 这个是三十分之拍，这个是考场十分之拍。根号二倍的三 x 加十分之拍。 也就是说他的一个最大只是更换二，而他竟然可以等于二，所以没有时速减，我们应该在负数范围之内求解。 根据欧拉公式， e 的 i， c 的词方等于狂三 c 加上 i 乘以十二 c 的 e 的负 i， c 塔等于 cos i c 塔减去 i 乘以十二 c 塔。这个设置是通过上次得到， 我们把两个相加可以求助狂染 c 塔，狂染 c 塔等于一的 ic 塔加上一的负 ic 塔除以二，把两个相减可以求出三人 c 塔， 所以扩散 x 加上 x 可以写成这样，我们可以让 e 的 ix 方等于 y， 那么这个是就变成了 y 加上一，除以 y 除以二， 加上 y 减去一，除以 y 除以二，哎等于二。两面可以同时乘以 y 到外方加一，除以二，加上外方减一，除以二，哎等于二外，两边再同时乘以二哎， 这边是 i， y 方加上 i 加上 y 方减一等于四 y i 啊，化解一下，一加 i 的 y 的平方减去四 y， i 加上 i 减一等于零。两边再同时除以一加 i 啊 四 i 除以一加 i， 我们可以上下同时乘以 i 减一啊， 他是等于四哎方减去四，哎，哎方减 减一等于负四减去四， a 除以负二等于二加上二，哎，也就是二倍的一加 i 啊，而 a 减一，除以 a 加一，上下同时乘以 a 减一啊。 下面是 i 的平方减一，上面是 i 方减二， i 加一，得到 i 啊，因为 i 方是等于负一的。大概若这里啊，得到外方减二倍的一加 i， y 加上 i 等于零。 把这个式的配方一下，得到外方减二倍的一加 i， y 加上一加 i 的平方，加上 i 减去一加 i 的平方 等于零，也就是 y 减去一加 i 的平方。 这个展开之后，是 i 减去一减去 i 方减二 i 啊，这个是零啊，这个减这个是负 i 啊，一到这边来就是 i 啊，得到 y 等于一加 i 加减根号 i 啊。那写到这里其实还没有完呢， 我们要把更换求出来，而这个 i 是等于一的 i 二分之派加上二 k 派可以是整数的，根号 i 就是他的二分之一。次方 等于一的 i 乘以四分之派，加上 k 派之方，也可以把它展开啊，一的 i 四分之派乘以一的 ik 派啊，这个是 正负一和一的 i 四分之派是等于狂闪四分之派加上 i 乘以三四分之派啊，他是等于一除以更换二一加 i 的， 也就说一加 i 是等于更换二倍的一的 i 的四分之派的 代入这里啊。得到 y 等于根号二倍的一的 i 四分之派加减一的 i 四分之派，也就是根号二加减一 e 的 i 四分之派。持方，这个是等于一的 i x 方的啊， 所以两边同时取对数啊。得到 ix 等于 no， 工号二加减一 加上 i 乘以四分之派。注意啊，这个容易漏掉一个东西啊，里面是二 k 派啊， k 是整数啊， 所以 x 两面都是除以 i 得到四分之派，加上二 k pay 减去 i 乘以 no 工号二加减一，最终解除的 x。 啊，是这样一串数字啊， ok， 更多的有趣的数学问题可以翻跟我的和解转来关注，让学习变得更有趣的。

这个视频呢，主要讲一个易错的知识点啊，就是说这个 assign say， assign say， 它一定是等于 say 它的吗？这个是未必的啊，未必的。 呃，为什么呢？我们先说 a x n， 这个 x， 这个函数 y 等于 a x n x， 它的定义域呢？是多少？是从负一到一的，这就叫它的定义域， 那它的值域呢？是负大二分之派到二分之派的， 他的图像是长啥？长啥样子？长这个样子， 他跟三亚 图像是非常相似的，但是他只有这一小段，就这一小段。这个呢是福大分这派， 这个呢是二分之派，这儿是负一，这儿是这儿是一啊， 它的全部图像啊，就这么多，就这么多，并没有在延伸，因为如果说它在延伸的话，那它就不是一个函数了。 可能大家比较想比较希望的啊，是他是大概是这个种啊，这个样子，然后这个样子，然后再延伸啥的啊， 再往后延伸啊，就是跟 sand 有点类似吧，但是实际上是没有的，因为如果说有的话，那你看 现在我一个 x 就能对应两个 y， 我们的函数要求是一一对应的，一个 x 只能对应一个 y， 那这样的话，我现在一个 x 对于两个冠啊，这个就肯定是不成立的，它就不是函数了。所以说这一段是不存在的啊，后面的这这一部分啊，这些虚线这些部分，它都是不存在的。 呃，现在 alcony x 这个图像我讲明白了。那现在我们来说 alconsin sata 为啥就不一定是等于 sata 呢？举个例子， 比如说 arc san in san in 三分之二 pa， 它就不等于三分之二 pa， 它等于多少？它等于三分之 pa， 为什么呢？ san in 三分之二， pa 是多少？是不是二分之刚好三？所以 它相当于是等于谁的等于 arc 餐饮二分之根号塞的 是这个样子，那在负大二分之派的二分之派以内，那 satin 多少是等于二分之二三的 satin 三分之派，所以说他取的是三分之派，不是三分之二派， 这个相当于是多少？ arc， science， science， sata 呢？它是等于派减去 sata 的。 为什么是派减去 set 啊？我们现在来算一下。首先，如果说 accent in set 里面这个 se， 如果说它是在复杂二分之派的二分之派上，那这个式子就是成立的， 对吧？啊？这个时候是毫无疑问它是成立的。但是如果说是 say， 它是在复大分支派到二分之派以外，那这个时候怎么算呢？啊？可以按照下面的方式算， 这是三 x 的图像，对吧？ x o y， 其实上我们跟这个 ax 三也对应起来的图像，实际上只有复杂分支派 到二分之派这一小段，这一小段是我们关心的最多的地方，对吧？其他地方我们其实是不关心的。那现在 我的三分之二派大概在哪呢？三分之二派大概在这个地方，对吧？这个是三分之二派，因为这个是派啊。那我为啥说 arc sanine saint say 这个时候他应该取的是派减 say 呢？我画一条横线， 我找这个函数值与它相同的函数值对应的在负大二分之派到二分之派之内。嗯，二分之派之间内这个区间内，它对应的这个角度到底是多少？也就是说我需要去找这个点，它对应的这个角度是多少？假如说这是 x 一， 这是我们的 c， 它，对吧？那我的 x 一加上 c， 它应该是等于多少的？是等于二分之派， 同样的，因为二分之派是我们三 a x 的对称轴， x 等于二分之派是我们三 a x 的对称轴，那 x 一和 c 它它俩还如之相等，那它俩就是说关于这个 x 等于二分之派，这个是对称，这个是对称的，对吧？ 那这样的话， x 一加上 sata 就等于二乘以二分之派，二分之派相当于是个终点嘛，那 x 一呢？就等于派减 sata 啊。所以如果说这个 赛引 say 它里面这个 say 它的范围，它是在二分之派到派上的时候，你就可以用派减 say 它来算了， 对吧？大家其实上这个公式在哪个区间都买做在 alf 之派到派以内， 其实都满足的，对吧？也就是说，假如说是这个点，那我同样的画一条横线来找到这个角度这两个点，这个点和这个点肯定是关于 x 等于二分之派对称的嘛。 啊？这这样的话，你就可以用派减 c 台来表示啊，这就是二分之派到派这个区间内的。如果说再往后呢？再往后，比如说是这个点，那这个点你是不是向左平移啊？派个单位是不是就正好就移到了这个点处了， 对吧？那你直接减去二派，是不是直接就落在负大方之派的二方之派这个区间上了啊？是不是就 ok？ 那这样的话，我其实就是说，如果说他向左平移或者向右 向右平移二 k 派个单位，也就是说按照整个周期来去平移，你发现他正好落在负大二分之派的二分之派以内， 那你这个时候是不是直接拿这个 sata 减去 a k 派，或者说加上 a k 派啊？到底是这个 k 是多少？那你需要去算一算，是不是就直接落在负大分之派二分之派以内，那这样的话就 ok， 那就没啥问题。 那如果说你经过减了一个周期多少个周期以后，或者加了多少个周期以后，他没有落在复大分之派大分之派这个区间内呢？比如说这个点数， 那你减二派个单位是不是落在这个点处了，对吧？你先减二派，然后再按照这个点处的 算法算就行了。这个点数的算法我们刚刚说过了，利用 pa 减去它就行了，对吧？那所以说这个就要通过平移来看了，或者说减去二派个周期个单位 来看，他到底是落到哪个区间内呢？如果说直接落到这个区间内部，那你直接减去阿黑派是不是就完事了？如果说没有落到这个区间内部，那你就要按照刚才的这个，你用派件去塞他这样的方式来算了啊，这样的话就 ok， 下的算法应该也说明白了啊，然后他为什么说不等于 say 他啊？这个原因也说明白了啊。好，这个视频呢就讲到这。

这是一个非常有趣的证明啊， sir calls x 小于 call sir x， 该如何证明这个呢？这个看起来只是把毛衣穿外面呢，毛衣穿里面呢？然而实际上却有本质的区别啊，大家可以暂停挑战一下。 好，我们看该如何解决这个问题啊。首先我们看一看它是不是周期的啊？是周期的，一般的 cross x 三 x 在外面套一个函数的话 也是周期的，所以这个周期是二派，这个周期也是二派啊，大家可以暂停体会一下。明白了他们的周期，我们再来看一看他的范围啊。 cos x 的范围是负一到一， 也是负一到一啊，明白了范围就很好讨论了啊。之所以觉得蓝，是因为有十二狂闪，索性把后面的狂闪变成三啊。 首先我们有一个非常基础的转换的式子啊，就是空三压法等于三二分之拍减法，他也等于三二分之拍加法。写成一块就是空三压法等于三 二分之派加减二法。那么要正的这个就可以这样写了， 就相当于要正啥？ cons x 小于就相当于要 证明这个。我们只看一个区间之类的，这个的范围是负一到一。而一般的，我们讨论一个区间，一般是副派到派之间， 也就是说我们讨论的范围比这个要小很多啊。我们来看一下啥 alpha 在负一到一之间的变化， 这是副阿文的派，这是阿文的派。很显然负一在这里， 一在这里啊，他在负一到一之间是单调递增的，我们要正这个，就只需要证明这个大于这个就行了，要证明这个，最好在单调区间内讨论扩散。 x 是负一到一，那这个的范围呢？ 当三 x 属于零到一时，二分之派减去三 x 是属于二分之派减一到二分之派，他也在这个单调区间之内啊，在这个单调区间负一到二分之派之间 cross x 肯定小于二分之派减三 x， 因为 cos x 加三 x 小于二分之派，因为这个用三角函数的公式，它是等于根号二三 x 加上四分之派，也就是说这个范围之内证明比较简单。那如果十二 x 属于负一到零呢？ 这个时候我们就可以用二分之派加上三 x 啊，因为这个二分之派加减三 x 都是一样的啊，我们用加来做会简单一点， 这个时候这个的范围是二分之派减一到二分之派啊，同样的，这个时候的 cos x 肯定小于这个，为什么呢？因为 cos x 减去三 x 是等于根号二倍的三四分之派减去 x 啊， 它是小于二分之派的啊，同样也可以这么样，也就是说，我们只需要分类讨论两个区间就行了啊， 一个是负一到零，一个是零到一，那么证明的过程就反着写啊，具体证明过程我就不写了，大家反着写就行了啊。 ok， 更多的有趣的所有问题，可以翻看我的和解和定义我的专栏，关注我，让学习变得更有趣的。