沪科版九年级上册数学锐角三角函数

大家好，这节课我们开始锐角的三角函数第三课时的学习。三十度、四十五度、六十度角的三角函数值 在上节课的学习中，我们已经知道了三种锐角三角函数。如图，在二 d 三角形 a、 b、 c 中，你能根据锐角三角函数定义写出角 a 的三角函数吗？ 正弦三 a 等于角 a 的对边比斜边等于 a 比 c。 余弦 cosine， a 等于角 a 的零边比斜边等于 b 比 c。 正切 吞进 a 等于角 a 的对边比，角 a 的零边等于 a 比 b。 在这个知识点的记忆中，同学们要做到脑中有图，心中有事。 接下来我们观察一副三角尺，其中有几个锐角，他们分别等于多少度？ 显然，一副三角尺中有四个锐角分别等于三十度、六十度、四十五度、四十五度。你能求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？ 我们首先来研究三十度、六十度的直角三角形。在直角三角形中，三十度角所对的直角边和斜边有什么关系？ 我们知道，在直角三角形中，三十度角所对的直角边是斜边的一半。如图，若设三十度角所对的直角边是 a， 那么斜边长为奥 a。 根据勾股定理可以求得六十度角所对的直角边为根号奥 a 的平方减 a 平方等于根号三 a。 由锐角三角函数定义，可求出三十度、六十度的三角函数值。 所以，在直角三角形中， satin 三十度等于三十度角的对边比斜边等于 a 比二， a 等于二分之一。 cosine 三十度等于三十度角的零边比 斜边等于根号三 a 比二， a 等于二分之根号三。吞进三十度等于三十度角的对边比三，四度角的零边等于 a， 比根号三， a 等于三分之根号三。 三一，六十度等于六十度角的对边比，斜边等于根号三。 a 比二， a 等于二分之根号三。 口三。以六十度等于六十度角的零边比斜边等于 a， 比二， a 等于二分之一。 吞进六十度等于六十度角的对边比，六十度角的零边等于根号三。 a 比 a 等于根号三。我们 继续研究四十五度的等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，三边长有什么样的特殊的数量关系呢？ 我们知道，在等腰直角三角形中，若设两条直角边长为 a， 则根据勾股定理可以求得斜边长为根号 a， 平方加 a 平方等于根号二。 a。 由三角函数定义，可求出四十五度角的三角函数值。所以在直角三角形中，撒音四十五度等于四十五度角的对边比，斜边 等于 a， 比根号 a 等于二分之根号二。括三音四十五度等于四十五度角的对边比斜边等于 a， a 比根号二， a 等于二分之根号二。吞进四十五度等于四十五度角的对边比四十五度角的零边等于 a， 比 a 等于一。 于是我们就得到了特殊角的三角函数值，如下表， 在这里向大家介绍两种记忆的方法。一、口诀法一二三三二一三九二十七、弦比二，切比三、分子根号别忘天。 第二种方法，画图，根据三十度、六十度的直角三角形、四十五度的等腰直角 三角形的三条边之间的数量关系和锐角三角函数的定义求得这张表有两个用处，一是我们可以很清楚的看到三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。 二是根据特殊三角函数值可以求出对应的角度。从上面的结论我们不难发现，撒音三十度等于扩撒音六十度，撒音六十度等于扩撒音三十度，撒音四十五度等于扩撒音四十五度。 这些角的正弦的值等于他们余角的余弦值。 你能说明理由吗？因为在直角三角形中，若一个锐 角确定，那么这个角的对边与零边、对边与斜边，零边与斜边的比值也随之确定，与直角三角形的大小无关。如图，根据锐角三角函数定义，我们可以得到，三 a 等于 a 比 c， 括三 a 等于 b 比 c， 三 in b 等于 b 比 c， 括三 in b 等于 a 比 c， 所以三 in a 等于括三 in b， 括三 in a 等于三 in b。 因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 b 等于九十度。减角 a， 即三 a 等于 cosine， b 等于 cosine。 九十度。减角 a， 括三 in a 等于三 in b 等于三 in 九十度。减角 a。 用文字叙述这个结论就是，任一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，或者任一个锐角的余弦值等于他的余角的正弦值。 用几何语言表示为，因为角 a 加角 b 等于九十度，所以三 a 等于 cosine b， cosine a 等于三 in b。 接下来我们共同学习几个例题。例一，求下列各式的值。 本题要求我们 熟记三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值，把相应的特殊角的三角函数值带入到算式中计算即可。 第一小题二三一，六十度加三，吞进三十度加吞进四十五度等于二乘以二分之。根号三加三乘以三分之。根号三加一就等于二，根号三加一。 第二小题， cosine 四十五度的平方加吞进六十度乘以 cosine 三十度等于二分之。根号二的平方加根号三乘以二分之。根号三等于二分之一 加二分之三等于二。第三小题分子是撒引六十度减吞进四十五度，分母是吞进六十度减。奥，吞进四十五度， 他等于二分之二，三减一比上根号三减二乘以一等于根号三减二，比上两倍的根号三减二等于二分之一。 本题中的第二小题我们需要注意 cosine 四十五度的书写形式， 我们继续看。利奥，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。若 x， n a 等于三分之一，求 cosine b 的值。在二的三角形 a、 b、 c 中，角 a 与角 b 互于，所以 cosine b 等于萨 in a 等于三分之一。 注意本题的解答，让我们知道，利用互与两角的正弦和与弦之间的关系，可快速帮助我们解决问题。但要注意的是，该结果只对互与的两个角成立。 我们再来看例三，已知角 a 是锐角，若 cosine a 等于三，因五十度求角 a 的度数。 根据角 a 的余弦值等于五十度角的正弦值， 所以角 a 与五十度角互于 g， 角 a 等于九十度，减五十度等于四十度。 我们继续看。例四，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 角 b 都是锐角。 若 satin a 减二分之，根号的绝对值加二分之，根号三减 cosine b 的平方等于零，求 c 的度数。 因为三 a 减二分之根号为非负数，二分之根号三减括三 a、 b 的平方也为非负数，即三 a 减 减二分之根号大于等于零，二分之根号三减括三因 b 的平方大于等于零，并且三因 a 减二分之根号的绝对值加二分之根号三减括三因 b 的平方等于零。 所以本题属于非负数加非负数等于零的问题。只有当三 a 减二分之根号等于零， 二分之二三减 cosin b 等于零时，条件才能成立，从而得到三 a 等于二分之根号， cosine b 等于二分之二三， 所以角 a 等于四十五度，角 b 等于三十度。在三角形 a、 b、 c 中，我们根据三角形的内角和等 一百八十度，从而求得角 c 等于一百八十度。减角 a、 减角 b 等于一百八十度。减四十五度，减三十度等于一百零五度。详细解题步骤如下， 我们再来看。例五、在二题，三角形 a、 b、 c、 中角 c 等于九十度。 a、 b、 c 分别表示二题三角形 a、 b、 c。 中角 a、 角 b、 角 c 的对边。 第一小题求吞进 a、 吞进 b。 第二小题观察一中的计算结果，你能发现吞进 a 与吞进 b 之间有什么关系吗？第三 小题应用已知吞井 a 等于二，求吞井九十度。减二法二计算括三四五度乘以吞井六十五度，乘以吞井二十五度。 首先我们来看第一角题，如图，在二题，三角形 a、 b、 c、 中角 c 等于九十度。 根据锐角三角函数定义可得吞进 a 等于角 a 的对边比。角 a 的写零边等于 bc 比 ac 等于 a 比 b， 吞进 b 等于角 b 的对边比，角 b 的零边等于 a， c 比 b， c 等于 b 比 a。 再看第二小题， 由一可知，吞进 a 乘以，吞进 b 等于 b 分之， a 乘以 a 分之， b 等于一。 因为角 a、 角 b 是直角三角形 a、 b、 c 中的两个锐角，所以角 a 与角 b 互于。 从而我们可以归纳出结论，沪渝的两个锐角的正切值的乘积为一。 最后我们看第三小题。第一问，根据第二小题得出的结论，互与的两个锐角的正切值的乘积为一。 因为吞井二法等于二，所以吞井九十度减二法等于吞井二法的倒数等于二分之一。 第二小题求 cosine 四五度乘以吞进六十五度乘以吞进二十五度的值。因为 cosine 四五度等于二分之根号，只要求得吞进六十五度和吞进二十五度的值就可以了。 因为六十五度与二十五度互余，根据互余的两个锐角的正线值的乘积为一，所以吞进六十五度乘以吞进二十五度等于一。 所以 cosine 四五度乘以吞进六十五度乘以吞进二十五度就等于二分之根号乘以一等于二分之根号。 我们来看第六要求吞进三十度的值，可 构造如图所示的直角三角形进行计算，做 rt。 三角形 abc 实角 c 等于九十度，斜边 ab 等于二， 直角边 a、 c 等于一。那么 b、 c 等于根号三角 a、 b、 c 等于三十度。吞进三十度等于 a， c 比 b、 c 等于一，比根号三等于三分之二。三、 在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出腾讯十五度的值。 请你写出添加辅助线的方法，并求出吞进十五度的值。 如图，我们可以延长 c、 b 至点 d， 使得 d、 b 等于 a、 b 连接 a、 d， 则三角形 a、 b、 d 是等腰三角形，它的两个底角是相等的 g 角 d 等于角 d、 a、 b。 因为角 a、 b、 c 是三角形 a、 b、 d 的外角，所以角 a、 b、 c 等于角 d 加角 d、 a、 b 等于三十度， 而角 d 与角 d、 a、 b 相等，所以角 d 等于角 d、 a、 b 等于十五度。 在二 t 三角形 a、 b、 c 中，由 a、 b 等于 d、 b 等于二 b、 c 等于根号三得 c、 d 等于 d， b 加 b、 c 等于二 加根号三。因为 a、 c 等于一，所以吞进 d 等于 a、 c 比 c、 d 等于一比二加根号三等于二减根号三，即吞进十五度，等于二减根号三。 详细解题步骤如下， 本题还有其他的解决方法吗？同学们可以再次思考一下。 本题需要我们求吞进十五度的值。根据我们刚才的第一种解题方法，我们关键要构造含有十五度的直角三角形。图中角 a、 b、 c 等于三十度。如果做角 a、 b、 c 的 角平分线 b、 d 交 a、 c 与点 d， 就可以得到角 d、 b、 c 等于角 a、 b、 d 等于十五度。 在直角三角形 d、 b、 c 中吞进角 d、 b、 c 等于 c、 d 比 b、 c。 已知 b、 c 等于根号三。只要求得 c、 d 就能求得吞进角 d、 b、 c。 如何求 c、 d 呢？ 根据角平分线的性质定理，我们过点 d 做 d， e 垂直 a、 b 垂足为点 e 因为 d、 c 垂直 b、 c 所以 d、 e 等于 d， c 设 d， e 等于 d， c 等于 x。 在二 t 三角形 a、 d、 e 中，角 a 等于六十度三 a 等于 d， e 比 a， d 等于 x， 比 a、 d 等于二分之根号三 解得 a、 d 等于三分兆根号三 x。 如图， a、 c 有两部分组成，所以 a、 c 等于 c， d 加 a， d 等于 x 加三分兆根号三 x 等于一 解得 x 等于二根号三减三。在二 t 三角形 b、 c、 d 中吞进角 d、 b、 c 等于 c， d 比 b、 c 等于二根号三减三比根号三等于 二减根号三。即吞进十五度等于二减根号三。详细解题步骤如下，请大家完成今天的课堂联系 我们先看课本第一百一十八页练习第二题，求下列各式的值， 本题需要我们熟记三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值，将相应的特殊角的三角函数值带入到算式中计算即可。 第一小题，三音四十五度的平方加括三音四五度的平方等于二分之根号的平方加二分之根号的平方 等于二分之一加二分之一等于一。第二小题， 两倍的撒音三十度加两倍的扩撒音六十度加四倍的吞进四十五度等于二乘以二分之一加二乘以二分之一加四乘以一等于六。 第三小题， cosine 三十度的平方加 satin 四十五度的平方减吞进六十度乘以吞进三十度 等于二分之根号三的平方加二分之根号的平方减根号三乘以三分之根号三等于四分之三加二分之一减一 等于四分之一。第四小题，分子是二乘以三元三十度，分母是二乘以 cosine 三十度减一 等于二乘以二分之一。比上二乘以二分之根号三减一等于一比根号三减一等于二分之根号三加一。 我们再来看课本第一百一十九页练习一、 根据任意一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，或者任一个锐角的余弦值等于他余角的正弦值，可以 得到第一小题，括三音九十度减角 a 等于三音 a。 第二小题，三音九十度减角 b 等于括三音 b。 我们继续来看课本第一百十九页练习。二、 一、已知括三 a 等于三分之一，且角 b 等于九十度减角 a 求三 a、 b 的值。 二已知三引二十二度等于零点三七四六，括三引二十二度等于零点九二七二，求六十八度的正弦余弦的值。 第一小题，因为角 b 等于九十度减角 a， 则角 a 与角 b 互于。 根据任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，所以三因 b 等于括三因 a 等于三分之一。 第二小题已知三一二十二度等于零点三七四六，括三一二十二度等于零点九二七二二十二度。角与六十八度角互余。 根据任意一个锐角的正弦值等于他余角的余弦值，任一个锐角的余弦值等于他的余角的正弦值。 所以三印六十八度等于扣三印二十二度等于零点九二七二。扣三印六十八度等于三印二十二度等于零点 三七四六。 我们继续来看练习三 角 a， 角 b 为二 d 三角形 a、 b、 c 的两个锐角，且三 a 和三 a、 b 是方程 x 平方减根号 x 加 m 等于零的两个实数。根求 m 的值及角 a、 角 b 的度数。 因为三 a 括三 a、 b 是方程 x 平方减根号 x 加 m 等于零的两个实数根。 根据一元二次方程根与系数的关系， x 一加 x 二等于负的 a 分之 b， x 一乘以 x 二等于 a 分之 c。 我们可以得到三 a 加括三， a、 b 等于根号二、三 a， a 乘以括三， a、 b 等于 m。 题目条件中又告诉我们，角 a、 角 b 为直角三角形 a、 b、 c 的两个锐角，所以角 a 与角 b 互于。 根据任意一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，所以三 a 等于括三， a、 b 等于二分之根号，从而得到 角 a 等于角， b 等于四十五度， m 等于三， a 乘以括三， a、 b 等于二分之根号乘以二分之根号等于二分之一。 此时一元二次方程根的判别是， dealta 等于负根号的平方减四， m 等于二，减四乘以二分之一等于零是符合题的。详细解题步骤如下， 最后我们再来看练习四，阅读下面材料，再解答问题。 三角函数中常用公式有，三引二法加贝塔等于三引，二法乘以括，三引贝塔加括三引二法乘以三引贝塔。 三音二法减贝塔等于三，二法乘以括三贝塔减括三，二法乘以三贝塔。求三音七十五度和 三引十五度的值，要求三引七十五度和三引十五度的值。我们现在掌握的是三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值。 七十五度和十五度不是我们所说的特殊角，但是本题已经告诉我们求两个角的和以及两个角的差的正弦的常用公式。 七十五度和十五度能不能表示成三十度、四十五度、六十度这些角的和或差呢？大家思考一下。 七十五度可以表示成为四十五度角与三十度角的和，所以 撒引七十五度等于撒引四十五度加三十度等于撒引四十五度乘以扩撒引三十度加扩。撒引四十五度乘以撒引三十度等于二分之根号二乘以二分之根号三 加二分之根号二乘以二分之一等于四分之根号六加根号二 十五度可以表示成为四十五度角与三十度角的差。所以撒引十五度等于撒引四十五度减三十度 等于三音四十五度乘以扩三音三十度减扩三音四十五度乘以三音三十度等于二分之根号二。乘以二分之根号 三。减二分之根号二。乘以二分之一等于四分之根号六，减根号二。让我们一起回顾一下本节课我们学习的主要内容。 知识点一，三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。通过该表可以方便的知道三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。 他的另一个应用是，如果已知一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数。 知识点二，互与两角的三角函数之间的关系。任一个锐角的正弦值等于它的 余角的余弦值，即三引二法等于 cosine 九十度减二法， cosine 二法等于三。因九十度减二法， 本节课的课后作业如下，这节课我们就讲到这里，同学们再见！

大家好，这节课我们开始锐角三角函数第一课时的学习。 如图，从三角到山顶，可以选择爬坡面 a、 b， 也可以选择爬坡面 bc。 爬这两段坡面会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？ 从图中我们不难发现，坡面 a、 b 与地面 a、 c 的夹角角 a 小于坡面 b、 c 与地面 a、 c 的夹角角 b。 坡面 bc 更陡。我们把坡面与水平面的夹角叫做坡角，或者称为倾斜角，显然坡角越大，坡面就越陡。因此，坡角、坡面与水平面的夹角 可以用来描述坡面的倾斜程度。刚才我们是利用角来描述坡面的倾斜程度，现在我们能不能尝试用边来描述呢？ 过三的顶点 b 向地面 a、 c 做垂，线段 b、 d， 我们把线段 b、 d 的长度叫做坡面 a、 b 的铅值高度。 把线段 a、 d 的长度叫做坡面 a、 b 的水平长度。若比较坡面的长度，千指高度、水平长度三者中的任何一个，可以判断坡面的倾斜程度吗？ 借助几何画板我们发现，改变坡面的长度、铅值高度、水平长度三者中任何一个都不会改变坡面的倾斜程度。 所以比较坡面的长度、铅尺高度、水平长度三者中的任何一个都不能判断哪个坡面更陡。 既然利用坡面的长度、铅指高度、水平长度三者中的任何一一条边都不能描述坡面的倾斜程度，那么我们能不能想办法改进呢？ 一条边不行，两条边是不是可以呢？现在我们尝试综合考虑两条边， 我们已经发现坡脚可以用来描述坡面的倾斜程度，能不能想办法利用这个结论呢？ 如图，坡面的长度、千尺高度、水平长度构成了一个直角三角形。 两个锐角一样大的直角三角形对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例。那么，能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？ 这节课我们先来研究倾斜角的对边与零边的。比如图，在锐角 a 的一边上，任取一点 b 字，点 b， 向另边做垂线，垂足为 c， 得到二 t 三角形 a、 b、 c。 再认取点 b 一 字，点 b 一，向另一边做垂线，垂足为 c 一，得到另个 r、 t 三角形 a、 b 一、 c 一。这样我们可以得到无数个直角三角形。这些直角三角形有什么关系？ 显然是相似的。在这些直角三角形中，锐角 a 的对边与零边的比 b、 c 比 a、 c b 一、 c 一比 a c 一 b 二 c 二比 a、 c 二有怎样的关系呢？ 根据相似三角形对应边乘比例，可以得到 b、 c 比 a、 c 等于 b 一， c 一比 a、 c 一等于 b 二、 c 二比 a、 c 二。 我们也可以观察几何画板的动画演示。二、题，三角形 a、 b、 c 中角 a 不变， b、 c。 沿 a、 c 所在的直线慢慢滑动，且保持 b、 c。 垂直 a、 c。 我们发现，无论二 t 三角形 a、 b、 c 的大小如何变化， b、 c 比 a、 c 的值总保持不变。由此可以得到以下 结论，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，当锐角 a 的大小确定后，无论直角三角形大小怎样变化，角 a 的对边与角 a 的零边的比值总是唯一确定的。所以倾斜角的对边与零边的比可以用来描述坡面的倾斜程度。 上面的结论告诉我们直角三角形中锐角和锐角的对边与零边的比的关系。直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对边与零边的比也固定。如果锐角的大小变化了呢？这个比值会发生怎样的变化呢？ 我们再观察几何画板的演示。在二 t 三角形 a、 b、 c 中，我们改变锐角角 a 的大小， b、 c 比 a、 c 的值也随之改变。 在这样一个变化过程中，二梯三角形 a、 b、 c 中锐角角 a 的对边与锐角角 a 的零边的比值，即 b、 c 比 a、 c 随着角 a 的大 大小的变化而变化。并且对于锐角角 a 的每一个值， b、 c 比 a、 c 都有唯一确定的值与之对应。你认为 b、 c 比 a、 c 与角 a 这两个变量之间是一种什么关系呢？请大家思考一下。 这种关系符合我们八年级曾经学习的函数定义，因此答案应该是， b、 c 比 a、 c 与角 a 这两个变量之间是一种函数关系，这就是我们下面要学习的一种新的函数关系。正切。 在二 t 三角形 a、 b、 c 中，我们把锐角 a 的对边与零边的比叫做角 a 的正切记作吞进 a g。 吞进 a 等于角 a 的对边比，角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于 a 比 b。 类似的，你认为角 b 的正确该如何表示呢？大家思考一下。 吞进 b 等于角 b 的对边比，角 b 的零边等于 a， c 比 b， c 等于 b 比 a。 关于正切，我们需要注意以下几点，一、吞井 a 是一个完整的符号，它表示角 a 的正切。我们习惯省略角的符号， 但角 b、 a、 c 的正切应表示为吞进角 b、 a、 c。 角一的正切应表示为吞进角一，此时角的符号是不可以省略的。 二、吞井 a 没有单位，它表示一个比值。吞井 a 大于零，即直角三角形中角 a 的对边与零边的比。吞井 a 不能写成吞井乘以 a。 我们已经知道坡角可以刻画坡变的倾斜程度，但是在实际问题的操作中，坡角是难以直接测量的。但是因为坡面的长度、铅指高度、水平长度构成了一个直角三角形，所以 可以用坡角的正切描述坡面的倾斜程度。我们把坡面的千尺高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面的坡度，或称为坡比，记作 i、 g， i 等于 h， b、 l 等于吞井 alpha。 坡度通常写成 h、 b、 l 这种比例的形式。显然，坡度 i 等于吞井 alpha 越大，坡角 alpha 就越大，坡面就越陡。 接下来我们共同看几个例题。首先来看例一，如图二， t。 三角形 a、 b、 c。 中角 c 等于九十度， a、 c 等于四， b、 c 等于三。求吞进 a 和吞进 b。 本题属于基础题型。在二题三角形 a、 b、 c 中已知两条直角边。根据正确的定义，一个角的正切等于这个角的对边，比这个角的零边。 因此，吞进 a 等于角 a 的对边， b、 c 比上角 a 的零边， a、 c 等于四分之三。 吞进 b 等于角 b 的对边， a、 c 比上角 b 的零边， b、 c 等于三分之四。 我们继续看利奥在二题，三角形 a、 b、 c。 中角 c 等于九十度。若 a、 b 等于二十五，吞进 b 等于三分之四，求 a、 c 和 b、 c 的长度。 本题中所求的 a、 c 和 b、 c 是二 t 三角形 a、 b、 c 的直角边。由吞进 b 等于 a、 c 比 b、 c 等于三分之四，可以得出 a、 c 和 b、 c 的数量关系。如果设 a、 c 等于四 k， b、 c 等于三 k， 其中 k 大于零。根据勾股定理，可以求出斜边 ab 等于根号 ac 的平方加 bc 的平方等于根号四 k 平方加三 k 平方等于五 k。 因为 ab 等于二十五，所以五 k 等于二十五。 解得 k 等于五，所以 a、 c 等于四 k 等于二十， b、 c 等于三 k 等于十五。 我们再来看例三，计算课本第一百一十二页图二十三杠三中坡面 a、 b 和 a、 e、 b、 e 的坡度，并说明哪一个坡面比较陡。 根据坡度的定义，坡面的坡度等于坡面的铅值、高度和水平长度的比。因此， i、 a、 b 等于 b、 c 比 a、 c 等于二十，比一百等于五分之一。 i、 a 一、 b 一等于 b 一 c 一比 a 一 c 一等于三十，比八十等于八分之三。 因为五分之一小于八分之三，所以 i、 a、 b 小于 i、 a、 e、 b、 e， 所以坡面 a、 e、 b、 e 比较陡。 我们继续看例四，如图 a、 b、 c 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为一，求吞进角 b、 a、 c 的值， 求吞进角 b、 a、 c 的值。我们首先要在图中找到含角 b、 a、 c 的直角三角形，但是在图中我们并没有发现含角 b、 b、 a、 c 的直角三角形。那么能不能想办法构造出函角 b、 a、 c 的直角三角形呢？ 根据已知，本题图中的每个小正方形的边长为一。根据勾股定理，我们容易求得 a、 b 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五， a、 c 等于根号一的平方，加三的平方等于根号十。 若连接 b、 c， 可以求出 b、 c 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五。 因此 a、 b 等于 b、 c 等于根号五，并且 a、 b 的平方加 b、 c 的平方等于 a、 c 的平方都等于十。根据勾股定理的立定理，三角形 a、 b、 c 是一个等腰直角三角形，且 角 a、 b、 c 等于九十度，所以吞进角 b、 a、 c 等于 b、 c 比 a、 b 等于一。详细解题步骤如下， 解连接 b、 c。 由题，根据勾股定理可以求得 a、 b 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五， a、 c 等于根号一的平方，加三的平方等于根号十， b、 c 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五，所以 a、 b 等于 b、 c 等于根号五， a、 b 的平方加 b、 c 平方等于 a、 c 平方等于十。所以三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 a、 b、 c 等于九十度，所以吞进角 b、 a、 c 等于 b、 c。 比 a、 b 等于一。我们 再看，例如图，在直角三角形 a、 b、 c。 中，角 c 等于九十度， a、 c 等于六， d 是 a、 c 边上的一点弱。吞进角 d、 b、 a 等于五分之一，求吞进角 c、 b、 d 的值。 求吞进角 c、 b、 d。 我们首先还是要找到含角 c、 b、 d 的直角三角形。在图中，含角 c、 b、 d 的直角三角形是二 t 三角形 c、 b、 d。 根据正确的定义， 吞进角 c、 b、 d 等于角 c、 b、 d 的对边比角 c、 b、 d 的零边等于 c、 d 比 b、 c。 已知三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，所以 a、 c 等于 b、 c 等于六。那么解决这个问题只需要求出 c、 d 即可， c、 d 如何求的呢？本题已知条件中还告诉我们吞进角 d、 b、 a 等于五分之一，如何利用这个条件呢？我们能不能找到含有角 d、 b、 a 的直角三角形呢？ 从图中我们发现角 d、 b、 a 只是钝角三角形 d、 b、 a 的一个内角，我们能不能想办法构造出一个含有角 d、 b、 a 的直角三角形呢？请大家思考一下。 我们尝试过点 d 做 d， e 垂直， a、 b 垂足为点 e 则在二、 d 三角形 a、 d、 e 中吞进角 d、 b、 a 等于 d， e 比 b、 e 等于五分之一。这样就得到了 d、 d、 e 和 b、 e 的数量关系。如果设 d、 e 等于 x， 则 b、 e 等于五 x， 其中 x 大于零。因为三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 c 等于九十度， 所以角 a 等于四十五度 a、 b 等于根号六的平方加六的平方等于六根号，所以三角形 a、 d、 e 也是一个含四十五度的直角三角形 g 等腰直角三角形， 所以 a、 e 等于 d， e 等于 x， a、 d 等于根号 x 平方加 x 平方等于根号 x。 因为 a、 e 加 b， e 等于 a、 b， 所以 x 加五， x 等于六。根号减得 x 等于根号 a、 d 等于根号 x 等于二 c、 d 等于 a、 c 减 a、 d 等于六，减二等于四，从而求出吞井角 c、 b、 d 等于 角 c、 b、 d 的对边比上角 c、 b 的零边等于 c， d 比 b， c 等于四，比六等于三分兆。详细解题步骤如下， 结过点 d 做 d， e 垂直， a、 b 垂足为点 e。 在二题三角形 a、 d 中吞进角 d、 b、 a 等于 d， e 比 b、 e 等于五分之一。设 d、 e 等于 x， 则 b、 e 等于五 x， 其中 x 大于零。 因为三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 c 等于九十度，所以角 a 等于四十五度， a、 b 等于根号 a、 c 平方加 b、 c 平方等于根号六的平方加六的平方等于六根号。在 r、 t。 三角形 a、 d 中，因为角 a 等于四十五度，所以 a、 e 等于 d， e 等于 x， a、 d 等于根号 x 平方加 x 平方等于根号 x。 因为 a、 e 加 b、 e 等于 a、 b， 所以 x 加五， x 等于六根号，从而解得 x 等于根号， 所以 a、 d 等于根号， x 等于二， c、 d 等于 a、 c 减 a、 d 等于六减二等于四。在 r、 t。 三角形 b、 c、 d 中吞进角 c、 b、 d 等于 c、 d 比 b、 c 等于四比六等于三分之二。最后我们来看第六， 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由一比一点八改为一比二点四。如图， 如果改动后电梯的坡面长为十三米，求改动后电梯水平长度增加部分 b、 c 的长。 本题中改动后的电梯水平长度增加部分 b、 c 的长就是坡面 a、 c 的水平长度 c、 d。 减去坡面 a、 b 的水平长度 b、 d。 如何求出 c、 d 和 b、 d 呢？根据坡度的定义， i、 a、 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于一比二点四 i、 a、 b 等于 a、 d 比 b、 d 等于一比一点八。 八、如果设 a、 d 等于 x 米，那么 c、 d 等于二点四 x 米， b、 d 等于一点八 x 米。因为改动后电梯的坡面长度为十三米， g、 a、 c 等于十三。 rt， 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 平方加 c、 d 平方等于 a、 c 平方，则可以列出方程， x 平方加二点四， x 的平方等于十三平方。解的 x 等于五， 则 b、 d 等于 c、 d 减 b、 d 等于二点四， x 减一点八， x 等于零点六， x 等于三米。详细解题步骤如下， 结，因为 i、 a、 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于一比二点四， i、 a、 b 等于 a、 d 比 b、 d 等于 一比一点八。设 a、 d 等于 x 米，则 c、 d 等于二点四 x 米 b、 d 等于一点八 x 米 r、 t 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 平方加 c、 d 平方等于 a、 c 平方， 因为 x 平方加二点四， x 的平方等于十三平方，减得 x 等于五，所以 b、 d 等于 c、 d 减 b、 d 等于二点四， x 减一点八， x 等于零点六， x 等于三米。 请大家完成今天的课堂，联系 我们看一看如何解答练习一的问题。在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 等于五， bc 等于六，求吞进 c。 在本题没有给出相关图形，所以第一步我们先根据已知条件画出符合题的几何图形。等腰三角形 abc 求吞进 c。 首先需要找到含有角 c 的直角三角形。 本题的图形中只存在一个含角 c 的等腰三角形，没有含角 c 的直角三角形，我们能不能尝试添加适当的辅助线，构造出含有角 c 的直角三角形呢？ 过等腰三角形 a、 b、 c 的顶角的顶点 a 做底边 b、 c 边上的垂线 a、 d 垂足为点 d。 那么在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中吞进 c 就等于角 c 的对边比角 c 的零边 等于 a、 d 比 c、 d。 根据等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合 c、 d 等于二分之一， b、 c 等于三。 在二 t 三角形 acd 中，根据勾股定理求出 ad 等于根号， ac 的平方，减 cd 平方等于根号五的平方，减三的平方等于四，从而求得吞进 c 等于 ad， 比 cd 等于四分之三。解题的详细步骤如下， 如图，过点 a 做 a、 d 垂直 b、 c 与点 d。 因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 b、 d 等于 c、 d 等于二分之一， b、 c 等于三。所以在二 t 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 等于根号 a、 c 平方减 c、 d 平方等于根号五的 平方，减三的平方等于四。吞进 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于四比三等于三分之四。 我们看一看如何解答。练习二和低横断面，如图所示，低、高 b、 c 等于六米。饮水坡 a、 b 的坡比 i 等于一比三，则坡面 a、 b 的长为多少？ 根据坡度， i 等于一比三等于三分之一，等于 b、 c 比 a、 c、 b、 c 等于六，所以解得 a、 c 等于三倍的 b、 c 等于十八。 在二题三角形 a、 c、 d 中，根据勾股定理求的斜边 a、 b 等于根号 a、 c 的平方加 b、 c 平方等于根号十八的平 方，加六的平方等于六，根号十米。最后我们看看如何解答。练习三、 如果三角形有一边上的中线长，等于这边的长，那么称这个三角形为好玩三角形。若 a、 t 三角形 a、 b、 c 是好玩三角形，且角 a 等于九十度，求吞进角 a、 b、 c。 本题并没有明确指出是哪条边上的中线，所以需要注意分类讨论。 根据提议， rt， 三角形 a、 b、 c 是好玩三角形，则 r、 t 三角形 a、 b、 c 中一边上的中线长等于这边的长。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所 所以我们可以排除是斜边上的中线这种情形。于是本题可以分为两种情形， 如图一，在二 t 三角形 a、 b、 c。 中角 a 等于九十度 c、 d 是二 t 三角形 a、 b、 c 中 a、 b 边上的中线设 a、 b 等于 d， c 等于奥 a， 则 a、 d 等于 d， b 等于 a。 根据勾股定理， a、 c 等于根号 d、 c 的平方减 a、 d 的平方等于根号二， a 的平方减 a， 平方等于根号三 a。 所以二题三角形 a、 b、 c 中吞进角 a、 b、 c 等于 a、 c 比 a、 b 等于根号三， a 比二， a 约去 a 等于二分之根号三。 如图二，在二 t 三角形 a、 b、 c。 中角 a 等于九十度 b、 d 是二 t 三角形 a、 b、 c 中 a、 c 边上的中线设 a、 c 等于 b、 d 等于奥 a， 则 a、 d 等于 d、 c 等于 a。 根据构固定理可得 ab 等于根号 bd 平方减 ad 的平方等于根号二 a 平方减 a 平方等于根号三 a。 所以二题三角形 a、 b、 c 中吞进角 a、 b、 c 等于 a、 c 比 a、 b 等于奥 a 比根号三， a 约去 a 等于三分之二根号三。综上可得吞进角 a、 b、 c 等于二分之根号三或三分之二根号三。 让我们一起回顾一下本节课我们学习的主要内容。 知识点一、锐角的正切在二题三角形 a、 b、 c 中，锐角 a 的对边与零边的比叫做角 a 的正切 g 为吞井 a、 g 吞井 a 等于角 a 的对边比角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于 a 比 b。 知识点二，坡度又称为坡比和坡角。坡面与水平面的夹角 叫做坡角，或称为倾斜角。图中的角二法就是坡面 a、 b 的坡角。 坡面的千尺高度 h 与水平长度 l 的比，叫做坡面的坡度，或称为坡比，即为 i， i 等于 h， b， l 等于藤井。阿法坡度通常写成 h、 b、 l 这种比例的形式， 坡度 i 等于吞减。二法越大，坡角二法就越大，坡面就越陡。 本节课的课后作业如下， 这节课我们就讲到这里，同学们再见！

大家好，这节课我们开始锐角三角函数第二课时的学习。 上节课我们通过坡面的倾斜程度共同学习的正切和坡度，请回忆他们的具体内容。正切，在二题三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。 角 a 的对边与零边的比叫做角 a 的正切既做吞井 a、 g。 吞井 a 等于角 a 的对边 比，角 a 的零边等于 b c 比 a、 c 等于 a 比 b。 坡角，坡面与水平面的夹角叫做坡角，或称为 倾斜角。图中的角 a 法就是坡面 a、 b 的坡角坡度。坡面的铅尺高度与水平长度的比称为坡度，或称为坡比，即为 i i 等于 h 比 l 等于吞进 a 法。 坡度通常写成 h、 b、 l 这种比例的形式，坡度 i 等于吞减。二法越大，坡角二法就越大，坡面就越陡。 当直角三角形中锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？这节课我们就来探讨这个问题。 如图，在锐角 a 的一边上认取点 b 字点 b， 向另一边做垂线，垂足为 c， 得到 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 再认取一点 b 一字点 b 一，向另一边做垂线，垂足为 c e， 得到另个 r、 t。 三角形 a、 b 一、 c 一。 这样我们可以得到无数个直角三角形。这些直角三角形有什么关系呢？显然是相似的。 在这些直角三角形中，锐角 a 的对边与斜边的比 b、 c 比 a、 b、 b 一、 c 一比 a b 一、 b 二 c 二比 a、 b 二。以及锐角 a 的零边与斜边的比 a、 c 比 a、 b、 a、 c 一比 a b 一， a、 c 二比 a、 b 二。有怎样的关系呢？根据相似三角形的对应边乘比例可得 b、 c 比 a、 b 等于 b 一， c 一比 a b 一等于 b 二、 c 二比 a b 二、 a c 比 a b 等于 a c。 一比 a 比一等于 a c 二比 a、 b 二。 由此我们得到，在二 t 三角形 a、 p、 e 中，当锐角 a 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，角 a 的对边与零边的比值，角 a 的零边与斜边的比值总是唯一确定的。 上面的结论告诉我们，直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对 边与斜边的比，以及这个锐角的零边与斜边的比都是固定的。如果锐角的大小变化了呢？这个比值会怎样呢？ 我们观察几何画板的演示。在二、 d 三角形 a、 p、 c 中，我们改变锐角角 a 的大小， b、 c 比 a、 b 和 a、 c 比 a、 b 的值也随之改变。 并且对于角 a 的每一个值， b、 c 比 a、 b 和 a、 c 比 a、 b 都有唯一确定的值，与之对应，类比上节课学习的正， 并且这些变量之间也存在一种函数关系，于是我们得到正弦余弦函数的定义。在二 d 三角形 a、 b、 c 中，锐角 a 的对边与斜边的比叫做角 a 的正弦记作撒引 a 三、 a 等于角 a 的对边比，斜边等于 b c 比 a、 b 等于 a 比 c。 在二 t 三角形 a、 b、 c 中，锐角 a 的零边与斜边的比叫做角 a 的余弦记作 cosine a g。 扩散 a 等于角 a 的零边比，斜边等于 a c 比 a、 b 等于 b 比 c。 锐角 a 的正弦、余弦和正铅， 这些都是角 a 的三角函数。当锐角 a 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。 关于锐角 a 的正弦、余弦和正切，我们需要注意以下几点，一、 satin a 扣三 a 藤井 a 是在直角三角形中定义的角 a 是锐角，注意塑形结合构造直角三角形。 二、三因 a、 q 三因吞井 a 是一个完整的符号，表示角 a 的三角函数习惯省去角的符号， 但表示角 b、 a、 c 角一的三角函数时，这种情况角的符号不能省略。三、 satin a 扩散 a、 吞井 a 是一个笔值，没有单位，且 satin a、 扩散 a、 吞井 a 均大于零。 四、三、 a 和三 a tente a 的大小之与角 a 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 接下来我们共同看几个例题。 例一，如图，在阿提三角形 a、 b、 c 中，两直角边 a、 c 等于十二， b、 c 等于五、求角 a 的各个三角函数值 本题要想求角 a 的各个三角函数值，我们需要知道二题三角形 a、 b、 c 的 三边已知两只脚边 a、 c 等于十二， b、 c 等于五。根据勾股定理，我们可以求出斜边 a、 b。 根据锐角三角函数的定义可得撒引 a 等于角 a 的对边比，斜边等于 b， c 比 a， b 等于五比十三等于十三分之五。 括三， a 等于角 a 的零边比斜边等于 a， c 比 a， b 等于十二比十三等于十三分之十二 吞进 a 等于角 a 的对边比，角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于五比十二等于十二分之五。我们继续看利奥。如图， 在平面直角坐标系内有一点 p， 它的坐标是三四连接 o p， 求 o p 与 x 轴正方向所夹锐角 up 的各个三角函数值。 求 o p 与 x 轴正方向所夹锐角 alpha 的各个三角函数值。我们需要构造含锐角 alpha 的直角三角形。如何构造这个直角三角形呢？因为点 p 的坐标是三四 过点 p 做 x 轴的垂线垂足为 q。 在二题三角形 p q、 o 中， o， q 等于三， q， p 等于四角， c 等于九十度， o， p 等于根号三的平方加四的平方等于五。 所以三亚法等于库， p 比 o， p 等于四比五等于五分之四。扣三亚法等于 o， 库比 o， p 等于三比五等于五分之三。 吞井二法等于 q， p 比 o， q 等于四比三等于三分之四。 我们继续看例三，在二题三角形 a、 b、 c 中角 c 等于九十度。吞进 a 等于二分之一。求 satin a cosine a， satin b cosine b。 吞进 b， 求角 a 角 b 的三角函数值，我们需要知道 r、 t 三角形 a、 b、 c 的三边长。本题中只给出吞进 a 等于二分之一，如何得到二 d 三角形 a、 b、 c 的三边长呢？ 已知吞进二法等于二分之一，因为吞进 a 等于 b， c 比 a、 c， 所以 b、 c 比 a、 c 等于二分之一。 我们设 b、 c 等于 k， a、 c 等于二 k， 其中 k 大于零，则根据勾股定理可得 a、 b 等于根号 b、 c 的平方加 a， c 的平方等于根号 k 平方加二 k 平方 等于根号五 k。 所以 satin a 等于 b， c 比 a， b 等于 k， 比根号五 k 越去 k 等于五分之根号五。 cosine 等于 a， c 比 a， b 等于二 k 比根号五 k 越去 k 等于五分之二，根号五 三因 b 等于 a， c 比 a， b 等于二 k 比根号五 k 等于五分之二。根号五。 括三 a、 b 等于 b， c 比 a， b 等于 k 比根号五 k 等于五分之。根号五 藤井 b 等于 a， c 比 b， c 等于二 k 比 k 越去 k 得等于二。 我们再来看类似 如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中， d、 e 垂直 a、 b 与点 e 括上 a 等于五分之三， b、 e 等于四。求吞进角 d、 b、 e 因为 d、 e 垂直 a、 b， 所以角 a、 e、 d 等于角 d、 e、 b 等于九十度吞进角 d、 b、 e 可以在 a、 t 三角形 b、 d 中求得， 因为吞进角 d、 b、 e 等于 d， e 比 b， e， b、 e 等于四，所以只要求出线段 d、 e 的长度问题就可解决。 如何求得第一呢？本题还给出了条件， cosine 等于五分之三。 在 rt 三角形 a、 d、 e 中括三 a 等于 a， e 比 a、 d 等于五分之三。 我们可以设 a、 e 等于三 k， a、 d 等于五 k， 其中 k 大于零。根据构图定理，可以求得 d， e 等于根号 a、 d 的平方减 a， e 的平方等于根号五 k 的平方减三 k 的平方等于四 k。 因为四边形 a、 b、 c、 d 是菱形，所以 a、 d 等于 a， b 即 a、 d 等于 a， e 加 b， e， 所以五 k 等于三 k 加四 解得 k 等于二，从而我们可以求出 d， e 等于四， k 等于八。在 r、 t 三 角形 b、 d、 e 中吞进角 d， b、 e 等于 d， e 比 b， e 等于八，比四等于二。详细解题步骤如下解，因为 d、 e 垂直 a、 b， 所以角 a、 e、 d 等于角 d、 e、 b 等于九十度。 在二 t 三角形 a、 d 中括三 a 等于 a， e 比 a， d 等于五分之三。 设 a、 e 等于三 k， a、 d 等于五 k， k 大于零，则 d、 e 等于根号 a、 d 平方减 a， e 平方等于根号五 k 平方减三 k 平方等于四 k， 因为四边形 a、 b、 c、 d 是菱形，所以 a、 d 等于 a b、 g， a、 d 等于 a， e 加 b， e， 所以五 k 等于三 k 加四解得 k 等于二，所以 d、 e 等于四， k 等于八。在 r、 t 三角形 b、 d、 e 中 吞进角 d， b、 e 等于 d， e 比 b， e 等于八，比四等于二。 最后我们来看，例如，如图，在下列网格中，小正方形的边长均为一点， a、 b、 o 都在格点上求 sanin 角 a、 o、 b 求三角 a、 o、 b。 首先我们看在图中能不能找到含角 a、 o、 b 的直角三角形。 如图，本题的图形中并没有含角 a、 o、 b 的直角三角形。既然没有，我们尝试能不能在图中通过添加合适的辅助线，构造出含有角 a、 o、 b 的直角三角形呢？ 怎样添加辅助线呢？大家思考一下。 我们过点 b 做 b、 c 垂直， a、 o 垂足为点 c， 这样角 a、 o、 b 就是直角三角形 b、 o、 c 的一个锐角 三角 a、 o、 b 等于 b， c 比 o、 b。 如何求出 b、 c 和 o、 b 的长度呢？在网格中，利用勾股定理容易求出 o、 b、 b 等于根号二的平方，加二的平方等于二根号。我们再看怎样求出 b、 c 的长度。 b、 c 是三角形 a、 o、 b 中 a、 o 边上的高 三角形 aob 的三个顶点都是网格上的格点，我们容易求出三角形 aob 的面积。 s 三角形 ob 等于二分之一， ab 乘以 ab 边上的高等于二分之一，乘以二，乘以二等于二。 而 s 三角形 a、 o、 b 还等于二分之一， o、 a 乘以 b、 c。 在网格中，利用勾股定理也容易求出 o、 a 等于根号二的平方，加四的平方等于二根号五， 因此我们得到二分之一乘以二，根号五。乘以 b、 c 等于二，解得 b、 c 等于根号五分之二等于五分之二，根号五。在直角三角形 b、 o、 c 中，三角 a、 o、 b 等于 b， c 比 o、 b 等于五分之二，根号五，比二，根号二等于十分之根号十。详细解题步骤如下， 如图，过点 b 作 b、 c 垂直， a、 o 垂足为点 c、 o、 b 等于根号二的平方，加二的平方等于二，根号二。 o、 a 等于根号二的平方，加四的平方等于二，根号五。 a、 b 等于二。因为 s 三角形 a、 o、 b 等于二分之 a、 b 乘以 a、 b 边上的高等于二分之一乘以二乘以二等于二。 s 三角形 a、 o、 b 还等于二分积 o、 a 乘以 b、 c 等于二分积乘以二，根号五乘以 d、 c。 所以二分之一乘以二，根号五乘以 b、 c 等于二解得 b、 c 等于根号五分之二等于五分之二，根号五。 在二、 d。 三角形 b、 o、 c 中，三角 a、 o、 b 等于 b， c 比 o、 b 等于五分之二，根号五，比二，根号等于十，分之根号十。请大家完成今天的课堂练习。 我们先看练习一、如图，三角形 a、 b、 c 是直角三角形角 c 等于九十度， a、 b 等于十， a、 c 等于六。求三人 a 括三人 a 吞进 a， 三人 b 括三人 b 吞进 b。 本题比较简单，大家只要掌握锐角三角函数的定义就能轻松解决。如图，已知直角三角形 a、 b、 c 的斜边 a、 b 等于十， 直角边 a、 c 等于六。利用勾股定理可求出另一条直角边 b、 c 等于根号 a、 b 的平方减 a、 c 平方等于根号十的平方减六的平方等于八，所以 三 a 等于角， a 的对边比斜边等于 b、 c 比 a、 b。 等于八比十等于五分之四。 call 三 a 等于角， a 的零边比斜边 等于 a、 c 比 a、 b 等于六，比十等于五分之三。吞井 a 等于角， a 的对边比角 a 的零边等于 b、 c 比 a、 c 等于八比六等于三分之四。 撒硬币等于角币的对边比斜边等于 a、 c 比 a、 b。 等于六比十等于五分之三。扩散等于角 b 的零边比斜边 等于 b、 c 比 a、 b。 等于八比十等于五分之四。吞 b 等于角 b 的对边比角 b 的零边等于 a、 c 比 b、 c。 等于六比八等于四分之三。 我们再来看练习二、如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b。 等于九十度 b、 c。 等于四， a、 c。 等于八 c、 d。 垂直 a、 b。 求 sam 角 a、 c、 d。 cosine 角 b、 c、 d。 本题求三音角 a、 c、 d。 和扩三音角 b、 c、 d。 首先我们要找到分别含角 a、 c、 d 和角 b、 c、 d 的直角三角形。如图 c、 d。 垂直 a、 b。 所以角 b、 d、 c。 等于角 a、 d、 c。 等于九十度。在二题三角形 a、 c、 d 中，已知斜边 a、 c。 等于八，其他两只角边 c、 d、 a、 d。 未知。 在二题三角形 b、 c、 d 中已知斜边 b、 c。 等于四，其他两只角边 c、 d、 b、 d。 未知。如何求出 c、 d、 a、 d 以及 b、 d 呢？ 在二题三角形 a、 b、 c 中已知直角边 b、 c。 等于四， a、 c。 等于八。我们可以根据勾股定理求出斜边 a、 b。 等于根号 b、 c。 平方加 a、 c。 平方等于根号四的平方加八的平方 等于四。根号五 c、 d。 是直角三角形 a、 b、 c。 中斜边 a、 b。 边上的高。 根据 s 三角形 abc 等于二分之一， ab 乘以 cd 也等于二分之一， bc 乘以 ac， 可得 ab 乘以 cd 等于 bc 乘以 ac， 即四根号五乘以 cd 等于四乘以八， 求出 c、 d 等于八，比根号五等于五分之八，根号五。接着再次根据构固定理，在 r、 t。 三角形 a、 c、 d 中求出 a、 d。 的长度。 然后根据正弦的定义，在二 t 三角形 a、 c、 d 和二 t 三角形 b、 c、 d 中分别求得三角 b、 c、 d 和括三音角 b、 c、 d。 本题还有没有其他的解决方法呢？大家可以再次思考一下。 在直角三角形 a、 b、 c。 中， c、 d 是斜边 a、 b。 边上的高，所以在图中我们可以刻， 所以在图中我们可以看到有三个直角三角形，分别是 r、 t 三角形 a、 b、 c、 r、 t 三角形 a、 c、 d 和 r、 t。 三角形 b、 c、 d。 根据直角三角形的两个锐角互余，我们可以得到在 r、 t。 三角形 a、 c、 d。 中，角 a、 c、 d。 加角 a 等于九十度。在 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 中，角 b。 加 角 a 等于九十度。因为同角的与角相等，所以角 a、 c、 d。 等于角 b。 所以砂音角 a、 c、 d。 等于砂音 b。 而角 b 既是 r、 t。 三角形 b、 c、 d。 的一个锐角，也可以看作 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 的一个锐角。我们利用哪一个直角三角形来求三 a、 b 呢？ 由本题所给已知条件，二题三角形 b、 c、 d 中知道斜边 b、 c。 等于四， 而二 t 三角形 abc 中已经知道两只角边 bc 等于四， ac 等于八。根据勾股定理，可以求得斜边 ab 等于四根号五。因此三角 acd 等于三阴 b 等于 a、 c。 比 a、 b 等于八，比四根号五等于五分之二根号五。 利用以上类似的分析方法，我们也可以得到角 b、 c、 d 等于角 a。 因此口三角 b、 c、 d 等于口三 a 等于 a、 c 比 a、 b 等于八，比四，根号五等于五分之二根号五。 详细解题步骤如下，解如图二题，三角形 a、 b、 c。 中角 a、 c、 b 等于九十度 b、 c 等于四 a、 c 等于八，则 a、 b 等于根号 b、 c。 平方加 a、 c 平方等于根号四的平方加八的平方等于四根号五。 因为 c、 d 垂直 a、 b， 所以角 b、 d、 c 等于角 a、 d、 c 等于九十度。在二题，三角形 a、 c、 d。 中角 a、 c、 d。 加角 a 等于九十度。 在二题，三角形 a、 b、 c。 中角 b。 加角 a 等于九十度，所以角 a、 c、 d 等于角 b。 同理可得角 b、 c、 d 等于角 a， 所以三角 a、 c、 d 等于三 a、 b 等于 a、 c 比 a、 b 等于八，比四更耗五等于五分之二，更耗五。 括三角 b、 c、 d 等于括三 a 等于 a、 c 比 a、 b 等于八， 比四，根号五等于五分之二根号五。最后再来看一道练习在二题，三角形 a、 b、 c。 中，角 c 等于九十度， a、 b 等于三倍的 a、 c。 求三 a 括三 a。 吞井 a。 本题没有图形，首先我们需要根据题意画出图形。本题的已知条件中没有给出直角三角形 a、 b、 c 的具体边长是多少，只是告诉了我们斜边 a、 b 与直角边 a、 c 的数量关系，即 a、 b 等于三倍的 a、 c。 如果我们设 a、 c 等于 k， 则 a、 b 等于三 k， 其中 k 大于零。根据购物定理，可以求出另一条直角边 b、 c 等于个 根号 ab 的平方减 ac 平方等于根号三 k 的平方减 k 平方等于二根号二 k。 根据锐角三角函数的定义，就可以求出相应的直角三角形 abc 的锐角三角函数值了。详细解题步骤如下， 如图二题，三角形 a、 b、 c 中 a、 b 等于三 a、 c。 设 a、 c 等于 k， a、 b 等于三 k， 则 b、 c 等于根号 a、 b 平方减 a、 c 平方等于根号三 k 平方减 k 平方等于二根号二 k。 所以三 a 等于 b， c 比 a， b 等于二根号。 k 比三 k 约去 k 等于三分之二根号 扩散 a 等于 a， c 比 a， b 等于 k 比三 k 约去 k 等于三分之一。吞进 a 等于 b， c 比 a、 c 等于二根号 k 比 k 约去 k 等于二根号。二、 让我们一起回顾一下本节课我们学习的主要内容。知识点一，锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数概念 在二 t 三角形 a、 b、 c 中三 a 等于角， e 的对边比斜边等于 b， c 比 a， b 等于 a 比 c。 扩散 a 等于角 a 的零边比斜边等于 a， c 比 a， b 等于 b 比 c。 吞井 a 等于角 a 的对边比角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于 a 比 b。 锐角 a 的正弦、余弦和正切都是角 a 的三角函数。知识点二，利用锐角三角函数定义得到直角三角形中的边角关系，从而为解决直角三角形的问题指出了新的方法。 本节课的课后作业如下， 这节课我们就讲到这里，同学们再见！

x， 大家看一组图片啊， 一个国家只有数学蓬勃发展，才能展现他的这个国力强大，不是我讲的啊，哈哈，韩国人讲的好，我们看一下啊，这个 坚持战斗机，这是我国自行研制的先进战斗机，他可以一定的爬升脚升到一万八千米的高空看一下啊。 好，那在他爬山的过程当中涉及到这几个量，哪几个量？ 手指公路地平线，哎，这几个量，水平地地平线，上升高度以及他的飞行路线以及爬升脚。好， 那么战斗机在爬升过程中，下面哪些量是变量，哪些量是常量呢？ 那现在是变量，后面两个是变量，对吧？那么哪个是敞亮爬升脚？爬升脚是敞亮。好，那我们再来看一下， 那么战斗机在飞行路线任意位置时，上升的高度和飞行的路程的比值会发生变化吗？会 不会他的笔直是一个什么？直？笔直？定直，我们猜想一下，他的笔直由什么来决定？手伸手，什么爬？伸手爬伸脚。很好， 那么我们再来探究一下，假如他的爬山脚是三十度，我们看一下上升的高度与飞行的路程的比值应该等于多少？ 这里我可以用谁比谁？ b， c 比上飞机， b， c 比上 a b b， 什么 a b a b b c 加 r b 以及等于什么，还得它定义吗？ b e， c 等于 a， 还可以等于 b， e， c 比上 ab 等于二分之一，这个二分之一与谁有关系？角度，角度是多少度？三十度，哎，与这个爬升角三十度是有关系的，那当爬升角变成四十五度的时候， 那他的笔直会不会发生变化，会多少呢？一，一比一， 根号二，二分之根号二。很好，我们看一下，应该是 bc 比上 ab 等于 bc 比上 ababab， 是吧？等于二分之根号二。这个二分之根号同样的由谁来决定？ 脚爬升脚多少度？四十五度，哎，四十五度来决定。好，我们再来给你讲。那如果对于每一个确定的锐角， 在角的边上我们任意取一点 b 过 b 点做 b c 垂直于 a c 的话，同样的做 b e， c e 垂直于 a c。 那么我们看一下这个角，我们记为尔法啊。 这个同样的，这里的 b c 比上 a b 是否等于 b e c e 比上 a b e 呢？是，是，等于，等于，等于。想一想，为什么 这个角我们用 alpha 来表示？这个确定的锐角我们用 alpha 来表示。 好。吴佳佳，因为他，他的脚 up 不变， up 不变。嗯，所以他的笔直不变，所以他的笔直不变。那这两个笔直为什么相等？我们能不能用之前学过的知识来解释？ 相似，相似，相似吗？相似。那你能说一下哪两个产品相似？三角形 a b c 和三角形 a b e， c e。 哦，这两个三角形是相似的吧？是相，好，坐下去相似的话，我们很明显就得到了什么相似。 比值相等，对应边的比值相等，对应边的比值是相等的，所以我 bc 比上 ab， 当然等于 bc 比上 abe， 肯定是相等的吧。好，同样的倒流还能得到什么等式？ a c a。 来举手回答，除了这个等式还能等到其他的吗？还有吗？还要动。 b c 比上 a b 等于 b c e 比上 a b e。 嗯嗯，除了这个还有吗？还有 b c， 比如说 a c 等于 b e c e， 比如说 a c e。 嗯，是的吧？是，还有没有？ 然后 a c 比上 a c 一，等于 a b 比上 a b 一，那也就是 a c 比上谁也可以 a b a b。 好，这样写很好啊，不错。 a c 比上 a b， 它是不是就也等于这个 a c 比上 a b 等于 a c e 比上 a b。 同样道理也是还得到另外一个的是，就是 a b c 比上 a c 等于 b c 比上 a c e。 那这里我们发现了这样一个规律。什么规律？九九九九。