2024年数学南阳一模几何题

大家好，今天呢，我们专门来讲一道重点班没有同学做出来的这个平面几何压轴题，肯定是挺难的。那么事情的起因是这样的啊，上个月的四月二十九号呢，有同学问我这道题他们班做不出来，我就很好奇什么题， 结果过了一周之后呢，才回过我这道题的图片啊，所以这道题呢，咱说一下这个题呢，我觉得啊，我应该能够很快做出来，但是做完之后，我发现第三问确实花了一些时间。我们来看这道题，这个题的话括号一，咱先读题吧。首先给了一个直角三角形 a b c 啊， 嗯，并且呢，还告诉你有个动点动点问题，还做了一个圆，以 b p 为直径做了一个圆，对吧？其中点 p 呢，还是斜边 a c 上的这样一个动点，那么动点加上圆，一般就不会很简单啊，尤其是第三问。那么现在我们来看 看一下什么呢？看一下第一问。第一问说的是已知这两个弧相等，弧相等一般就是所对的圆周角或者圆心角相等，所以这个题的话，肯定是需要连接一下 b e 的，这个很简单，对吧，也就是说，哎， p e 所对的是角一吧，这个圆主角，然后 p e 这个弧呢， 所对的是角二吧，角一肯定是等于角二的，这个呢，我就直接标成角叉吧。那么还有什么关系啊，来看好了啊。大家看好了，这个图里头九十度其实是非常多的，首先因为 bp 是直径，这个是不是直角的？是啊， 这是直角吧。然后呢，已知条件里头 a b c 他也是直角，所以现在的话，我倒一个东西啊，请大家来看一下，来看好了哈，请告诉我这个角 c 和这 这个角为什么相等，这两个角圈为什么相等吧，请告诉我，因为这个角圈加上角 a 都是什么关系？都是互与的关系啊，这个位置咱们刚刚不是已经得出来是直角吗？所以说角 a 和角圈都是互鱼的关系，既然互鱼的话，所以两个角圈相等清楚了吧。那么接下来根据外角关系是不是非常简单？ 外角关系里头，这个角 a、 p、 b 是不是等于角 c 再加上角 c b p 不就是角圈再加上角叉吗？ 然后这个角 a、 b p 呢，它也是等于角圈加上角叉的，所以既然都是角圈加上角叉，角圈加上角叉，所以角一旦相等了，你说边相等不相等，因为 a p、 b 等于角 abp， 所以说等角对等边呀，这是个等腰三角形吧，也就是得出来了，此时这个 ab 肯定是等于 ap 的。好了，第一问非常简单，咱就快速过了。 咱们来看第二问和第三问。第二问其实就已经比较难了，我说一下，这道题应该是我之前见过的，前几年一个自如招生考试的题目啊，他放到中考一模里头确实挺难的。他这个第二问，首先确定了三角形 a、 b、 c 的大小。 直角三角形，一个边是十五，一个边是二十三比四比五嘛，用勾股定理这个算出来， a、 c 的长度肯定是等于二十五的，这个都好说，你用勾股定理一算就算出来了。那么在这样一个基础上，他又说是否存在这样的点批，使得 b、 d、 e 是一个什么三角形？ 使得 b、 d 这个三角形呢，是等腰三角形。但是既然涉及到等腰三角形的话，我们肯定是要分类，因为他没有说哪个是腰，哪个是底，对不对？那所以至少就要分三种情况了，哪三种情况？比如说 b、 d 等于 b 的时候对不对？ 比如说 b、 e 等于 d 的时候，又比如说什么？又比如说这个 b、 d 等于 d 的时候，反正就是这三种边嘛。啊，究竟哪个是要，哪个是 d， 肯定是要分三类的。 那么接下来咱们看一下，在正式算之前呢，咱们先算一些有用的东西，比如说我们呢，先算一下连接 b， 算一下这个 b 的长度，这个是好算的啊，一个是十五，一个是二十，然后呢，这个斜边或者说底边呢，是等于二十五的，所以二十五 乘 b、 e 不就等于二十乘十五吗？因为左右两边如果你都乘一个二分之一的话，其实就是三角形。 a、 b、 c 的面积，我们用等面积法就可以算出来，其实 b、 e 的长度呢，是等于二十五分之二十乘十五的， 这个非常容易算啊，我就直接说了是等于十二的啊，是这样的啊，很简单，算完这个十二之后的话，往后就不太简单了，首先它是十二啊，咱们再来看一个东西，在这样一个圆里头， 直径所对的，这是九十度，那其实你连接 p、 d 之后的话，这是不是也是九十度啊？因为直径 b、 p 所对的圆珠角肯定是九十度，所以说清楚了吧，我们再接着连一下这个 p、 d 啊，那么连完这个 p、 d 之后的话，就很简单了，因为这儿看好了吗？直角 这个位置就叫反过来，不也是直角吗？既然反过来，这个 cdp 也是直角的话，剩下的不用多说了吧？直角直角，那不就是 dp 平行于 a b 吗？因为平行所以相似，这不就有了。 那么有了这个相似之后的话，你要注意大的三角形 a b 四 a b c 啊，它的三边比值是三比四比五，所以这个小的三角形 c d p， 其实它的三边比值也是三比四比五，它有这样一个确定的比值的， 也就是说这道题它好像是在求 c p 的长度，其实 c p 有时候往往不太好求，但是 c d 是好求的，因为它在这个直角边上嘛，对吧？那因为 c d 和 c p， 这不就是四比五的关系吗？所以我们要求 c p 的长度其实相当于由于求这个 c d 长度，再长个四分之五就行。 来，现在重点聚焦一下 cd 长度啊，接下来就要分类讨论了，因为你是等腰三角形，咱们说过究竟哪个是底，哪个是腰吗？咱们先来看第一类情况啊，我马上就可以得出来，他 cp 是等于十的，当这个 bd 等于 b 的时候，为什么呢？咱们算吗？这是十二吧，这也是十二吧。本来这个总长度咱们是知道的， 二十减去十二，那这个 cd 是不是八？是啊，那 cp 的长度是等于四分之五，再乘这个 cd， cd 我们已经算完减完了是等于几的等于八的，所以最后答案就是十，所以这个十是非常容易算的，咱们就先算这个比较简单的。 那么另外一种情况的话是谁呢？是这个 b d 等于 e d 的时候，大家就说，哎，你这个二分之二十五怎么来的？其实也好算，也是先算这个 c、 d 啊， 来，我们标一下，此时 b、 d 长度等于 d 长度，难道你没有什么想法吗？你应该有想法的啊，直角三角形中哎，斜变中线吧。其实这种情况下， 我想说的是 d、 e， 它就是斜边 b、 c 的中线的这样一个直角三角形中。但是具体来说怎么去证明呢？咱心里心知肚明就行了，来用等腰三角形就可以了。看好了啊，首先 b、 d 是等于 d 的，所以这两个角叉没问题吧，相等吧。 其次呢，我们根据互鱼的关系，因为这个图里头九十度太多了，我们根据互鱼的关系，请问这个角圈和这个角叉为什么互鱼啊？因为 c、 e、 b 是个直角三角形啊。继续，请问中间这个角圈和角叉 为什么虎于啊？因为这本来就是个直角吗？直径所对的圆周角是直角吗？所以得完这个之后的话，你说是不是啊？既然角都相等了，两个圈相等，所以这个边是不是相等， 那就证明完了。 d、 e 其实就是斜边中线，清楚我的意思了吧，那此时 b、 c 的长度我们是知道的，是等于二十的，那此时 清楚了哈，那既然电力是终点的话， cd 就是等于几的等于十啊，点力是终点，它是中线嘛？然后呢，此时 cp 只需要在 cd 基础上乘一个四分之五 十乘十分之五，任何一位同学都可以算出来是二分之二十五，清楚这个二分之二十五怎么算出来的吧？斜边中线算出来的啊，有这样一个想法，咱们证明两个，呃，等腰三角形就可以。那么有了这个之后的话，接着来看第 三种情况，确实麻烦一些。哪种情况呢？那接下来肯定就要讨论这个 b e 等于 d 的时候，咱们看一下啊， b e 这种情况下呢，是等于 d e 的，难道你就没有一点想法吗？ 还记得垂经定理吗？既然这两个圆的弦相等，那么他所对的弧也相等过圆心垂之前平分幽弧、平分略弧、 平分弦，这五个条件是知二推三的呀，这个时候虎将冷了，再过圆心，是不是就垂静定理啊？所以我们只需要反唱反向延长 e o 跟这个 b d 交于 d i h 就可以，此时 h 点肯定是终点的，这就是垂径定理的这样一个推论啊，直接用就行。那既然是垂径定理的话，接下来应该知道了吧，很多同学这个时候已经算完了 啊，这是十二，你要记住，咱算的是什么啊？算的是 c p， 但归根结底算的是 c d， 我们只需要乘一个四分之五就行， 那 cd 怎么算呢？来吧！首先，因为垂径定理的话，我们此时 h 点是不是个终点？是终点吧，那既然是终点的话，我就假设它的长度是 x， 它的长度也是 x， 是不是垂径定理？垂径定理既平分又垂直，这个地方是九十度吧， 这个地方也是九十度啊。所以其实我们很容易得出来，这个 h e 是平行于 a b 的，有了这样一个平行的话，平行线分线呢，成比例这样一个定理就可以用了吧。 也就是说哦， c h 比上 b h， 它实际上是等于 c e， 再比上谁的，再比上 a e 的。那有同学就要说了，老师我 c e 和 a e 不会算呀，你用摄影定义，或者用勾股定义，或者用别的一些这个相似都能算出来的，他也是三比四于五得的。你看这样一个三角形中，十二乘三分之四，那不就是十六吗？总长度二十五，再减去十六，这一段不就是九吗？哦，我清楚了呀， 也就是说此时我这个 c h 总长度啊，二十减去 x 再比上 x， 它是等于谁的？二十比上 x 等于这个十六比上九的，因为平行，所以 分线呢？乘比例清楚了吧，那么就很容易算出这个 x 来啊。当你算完这个 x 之后，剩下的应该明白了吧，你 x 是等于五分之十六， x 不就是说图中谁的长度， d h 和 b h 的长度吗？所以二倍的 x， 那就是等于五分之七十二的总长度，别忘了是二十，其实也就是多少总长度，别忘了是五分之一百， 五分之一百减五分之七十二，清楚了吧，那下边这一段就是五分之二十八，其实当你算出来这个五分之二十八之后的话，最后结果不就算出来了，乘一个固定的比例四分之五 cp 就等于七了。清楚了啊，这个呢，是等于七的，那么这个第二题其实花的时间就已经是 比较长了，他需要分三种情况，尤其是第三种情况还不太好算。是吧，那么现在我们来看第三问啊， 那么当然了，最后要写一下答的话，最终的长度要么是十，要么是二分之二十五，要么是七嘛，三个都得写上，那么第三问他是最难的，有动点，好几个动点啊，点屁运动引起了点欧运动， 他并且呢过这个点 o 以 d e 为对称轴，做点 o 的对称点点 q 清楚吧？点 q 和点 o 是关于 d e 对称的，又做了一个对称变换， 然后怎么样啊？然后接下来他就说了，哦，他说过点 o 关于他的对称恰好落在哪个角的内部啊？这个点 q 呢？哦，那必须恰好落在 c p h 内， 问这种情况下， c p 的取值范围是多少？清楚了吧？那么我们肯定找极端情况啊，当点 q 正好落到这个角的这条边上的时候，我们求一个 c p 的值。当点 q 落到 c p 这个角的另外一条边上的时候，再求另外一个 c p 的值，那 c p 的范围就夹于这两个特殊值之间了。其实呢， 就是反应非常迅速的同学，他会知道点 p 的运动轨迹是什么？是直线或者说是线段。那此时点 o 的运动轨迹他也是直的，也是直线，或者也是线段。 那既然点 q 运动轨迹是线段，那此时他的运动轨迹清楚了吧？点 o 运动轨迹是直线，他的对称点点 q 应该也是值得。究竟是不是值得，我们最后再揭晓。看了这个题，不用结合这个刮斗原理，咱们直接求特殊值、极端值就行了。首先看第一种情况， 当谁呢？当这个点 q 落在了 p h 上的时候，很多同学做不出来，是因为他画不了这么精确的图像啊，只要你把图像画的足够的精确，那么最后很容易得出来正确答案的。看了啊，当点 q 落在这样一个边 p h 上的时候，得到了 c e p 最小值。有同学说，我不知道是最小值还是最大值？那反正是个最值吧啊，你这个点 q 落到 ph 上求出来一个是最值，点 q 落到这个 pc 上也会求出来一个最值，哪个大哪个小，你还看不出来肯定有一个最值，一个最大值，一个最小值的吗？对吧？那好了，接着往下求 看下边这个图啊。首先这个菱形，哎，我直接说了，它是一个菱形，你不反对吧？此时 o d q e 肯定是个菱形。首先呀， 这个 oe 等于这是什么？这是半径啊，然后根据对称的话，这两条边也是半径，所以他肯定是个菱形，所以这个菱形的话，咱们就呃快速得了，这没什么好说的啊。 那么得完这个菱形之后的话，你要注意，我们求的是 c p 此时的长度。看了看了啊，此时这个 p d 根据刚才这个括号就是第二问吧，它本来就是平行于 a b 的，对不对？这是平行的。然后呢， 这个 p d 跟谁 p d 此时就就是这个 p q 嘛，是同一条线哎，根据菱形的性质，他俩平行，也就是他仨哦，都是两两之间互相平行的呀。 哦，因为他们都平行于这个 d h 所在的这条直线，那既然平行的话，来有感觉吗？ 有感觉了吧？点 o 肯定是终点哈，他是直径上的终点吧，点 o 是圆心，他既然是终点的话，此时这个 p e 是不是也等于 a？ 点 e 是不是也是终点了呀？平行线 跟现在成比例或者说根据相似或者都行的啊，中位线。好，那接下来应该清楚我的意思了吧。所以当我们得出来 这个 p e 等于 a e 之后， a e 我们已经算过是九了，那 p 也是九，是不是？那此时 c c p 是多少？你总长度二十五，减去九，再减去九，那当然是等于七的就没问题了啊。行，算出来第一个了。那另外的话 来，还有一种情况，当什么当此时这个点 q 正好落在了 p c 另外这个角的另外一组边上的时候，肯定会有另外一个嘴值，究竟最大值最小值，你求一下吗？你跟刚才那个七比较一下不就行了啊？ 比七大就是最大值啊，比七小就是最小值，你就求一个最值就行啊。来看，首先它还是个菱形，这个你不反对吧？同理可得就行了。嗯，那其实这个平行也是很重要的。首先来告诉我，如果说 f 点 是这个圆跟 a b 交点的话，请你告诉我为什么此时是共建的？原因很简单，首先 o 是圆心，不反对吧。其次呢， 来直径所对的弦，是不是？哦，知道了，反过来，九十度所对的弦是直径啊，直径所对的九十度，清楚了吧？ 也就是说，我们可以先说明一下此时谁呢？此时 dof 它是一条线呀。那么接下来就简单了，既然是三个点贡献的话。 其次还有 do 是平行于 ac 的，因为 do 平行，这两条线平行啊，根据良性的性特性，那也就是说 ac 是平行于第一的。既然平行，而且点 o 还是终点，你看 终点吧。所以此时点 d 和点 f 都分别是终点的，那就很好求了。那么他让你求的是谁？ cp 吗？ cp 好球吗？来，这个地方是终点，这个地方啊，那肯定是终点。咱们最后证明一下，既然点 o 是终点的话，此时点 p 肯定也是斜边上的终点， 斜边是等于二十五的，那你告诉我此时斜边的一半是多少？那肯定二分之二十五，二分之二十五必是比刚才那个最值七要大，所以我们求出来这个二分之二十五是 最大值，没有问题的。那具体操作过程的话，我就给大家展示出来了啊，你写一下这个过程就行，我们是倒角倒出来的，比如说我们可以这样来倒角。首先 这个你不反对吧，因为 ob 等于 of 啊，都是半径啊，所以两个角叉相等。其次，根据平行的话，这俩角叉也相等吧，因为平行，所以当然相等了啊。那么继续来看，在这样一个三角形中，哦，知道了，你最后倒角总能倒出来的， 对不对？然后再根据互与关系，角圈和角差加起来是互与的，是不是加起来是九十度？所以最后说明了哦，点批确实就是终点，点批一旦是终点了， c p 是多少？ c p 当然就是二分之二十五了，是斜边的一半了，清楚了哈。所以呢，既然我们求出来一个最值是七 c p， 然后求出来一个是二分之二十五， 所以最后答案呢，这个 c p 肯定是在什么在七到二分之二十五之内的这个地方，一定不要再等于号。为什么？因为人家说了是撸啊，在角的内部， 那他默认就是不包含边界的呗，清楚了吧，那么最后我们来看一下专业的，看一下他究竟是不是一条直线，我们发现随着点批运动，点 q 也在运动， 他其实运动轨迹就是一条直线是指的啊，没有问题的，应该清楚这道题了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下期课再见。

来看这道题，如图，在直角三角形 a、 c、 b 中角， a、 c、 b 等于九十度， d 为 a、 b 边的终点， e 是直线， b、 c 上一点不与 b、 c 重合，连接 d、 e 过点 d 做 d， f 垂直， d、 e 交 a、 c 于点 f 连接 e、 f。 如图一、当点 f 与点 a 重合时，请直接写出线段 e、 f 与 e、 b 之间的数量关系。 当点 f 与点 a 重合的时候，这时由于 d、 f 和 d、 e 是垂直的，所以呢， d、 e 和 a、 b 也是垂直的， d 又是 a、 b 的终点。 所以呢，第一是 a、 b 的垂直平分线， e， a 等于 e， b， a 与 f 重合，也就是 e、 f 等于 e、 b。 第二问，当 f 不与电 两 a 重合。十、请直，请写出线段 a、 f、 f、 e、 b、 e 之间的数量关系，并说明理由，他不重合。十，咱看一下啊，这个题里边最关键的是 d 是这个 ab 边的终点， 这遇到终点的时候，有直角三角形，斜面的中线等于斜面的一半，但对这个题帮助不大。构造中一线，这个题也不好构造，咱考虑就是类似于背长中线那种东西啊。 ad 等于 bd， 我想办法借助这个终点构造一个全等三角形， 因为这个几题里边只让正这三个线段之间的关系，这三个线段距离比较远，没有什么。呃，不在同一个图形里边，我想办法借助于全等三角形，我给他转移到一块。考虑到 d 是 a、 b 的重点，那我就延长异地到点 一撇，到点一撇以后。十一、地撇是一撇，地等于地这两段相等。 这两段相等之后呢，我连接一下 a、 e 撇，那这时这两个三角形他将是全等的，因为 d、 a 等于 d， b， d、 e 撇等于 d、 e 对平角，他俩全等之后呢，这个 a、 e 撇，他就等于 b、 e。 估计把 b、 e 和 a、 f 转移到一个三角形里边了。 那这两个三角形，呃，全等以后咱再看。有，刚才咱做这个 e、 d 和 e 撇 d 这两段相等，那这个 d、 f 它和 d、 e 是垂直的， 那这个 d、 f 就是 e、 e 撇的垂直平分线，这两个三角形也是全等的，所以呢，这个 e 撇 f 和 e、 f 也是相等的，那这时候我就 把这个线段 e、 f、 b、 e 都给他转移到上面这个三角形中去了。还有这个 a、 f a、 e、 e 撇 f 这个三角形里边。在这个三角形里边我们可以看到啊， 在这个三角形里边，呃，这个角，这个 a 撇 e、 a 撇和这个 b 是平行的，也就它和 a、 c 是垂直的。所以呢， e 撇 a、 f， 它是个直角三角形， 直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。所以呢，这个 a、 f 的平方、 af 的平方加上 a 撇 e 的平方，它等于 e 撇 f 的平方。把上面这两个线段换成下面这两个线段，就可以得。这三个线段之间的关系，也就是 a、 f 的平方加上 b、 e 的平方，它就等 等于 e、 f 的平方。这是第二问，第三问。我们看，若 a、 c 等于五， b、 c 等于三， e、 c 等于一，请直接写出线段 a、 f 的长，就这个土三这个位位置， 这个情况他是在图二的基础上，所以呢，这个图三五不准备再加工了啊，我就借助图二去把这个问题解决。 图里边这个他说点一，这个 a、 c 的长是五， b、 c 的长是三， e、 c 的长是一。 这里边咱需要注意的是， e、 c 的长是一到点 c 的距离等于一的点有两个，一个是在点 e 上方，一个是在点 e 下方，那 b、 c 的长是三， e， c 的长是一。假如是点 e 在 b c 的下方，在这个位置的情况下， 在这个位置的情况下，我刚才做的就是延长 e d 到点 e 撇儿，使 d e 撇儿等于 d e， 然后呢，一连接，这时这个 a e 撇 f， 这个三角形还是直角三角形，因为 a 撇儿 e a e 撇儿和这个 b 是平行的啊，这两个三角形全等之后，可以很容易的整他两个是平行的。 那这时呢？呃，咱看三角形， a e 撇 f 是个直角三角形， c e、 f 也是个直角三角形，这两个直角三角形的斜边相等。那我假设 a f 的长 等于 x， 那 c、 f 的长就是五减 x， 这时 c e 的长是一， a 撇 e， 它等于 b e， b 的长就是二，三减一是二。那这时呢？这个根据购物定理啊，用 cf 方加上 ce 方等于 af 方加上 ae 片方，我代入可以得，一的平方加上五减 x 的平方等于二的平方加上 x 的平方。解这个方程即可。求助， x 等于二点二， 这是第一种情况， ce 等于一有，可这个点也有可能在点 c 的上方，也就是说有可能出现这种情况， 如果出现这种情况的话，呃，咱可以看到刚才这两个直角三角形 c e f 和 a e 撇 f 这两个三角形还是存在的，这两个直角三角形的斜边长也是相等的啊，他俩相等，只不过和刚才那个比较起来 就是 a f， 如果还是设成了 x， c f 还是五减 x， 就是这个 c e 一的时候，这时 b 的长变成四了，是三加一变成四。那这样我在有购物定理可以得出这样一个方程，就把刚才这个二换成四解，这个方程就可以得 x 等于一。 那所以呢？这里边 af 的长它有两个值，一个是二点二，一个是一好。