李林四套卷数学一什么时候出

李林四数一卷一二十一到二十二题讲解，设 a 矩阵与 b 矩阵相似，求里边 abc 的值。哎，相似的话，有很多结论， 比如说会有相同的特征值，进而有相同的行列式和相同的 g。 我们可以从 g 和行列式就能得出来一些 a、 b、 c 的结论，如果能能都求出来，当然最好，如果求不出来呢，咱们再想别的方法。比如说，先算 g 吧， a 的积二，二一等于五，等于 b 的积 b 的七是谁呀？ a 加上五，那么就退出来， a 就等于零了。哎，你看多方便。然后咱们再算 a 的行列式， a 的行列式简单的按第三行展开， 二得四，四减一等于三，必须得等于 b 的行列式。注意啊，这个 a 等于零了，这就得改写成零，然后呢，按照第二行展开走，他就会变成零， c 负一四算这个行列式，这个行列式算完之后就是零减去负 c， 也就是 c， 所以我们能轻松得出来， a 等于零， c 等于三。哦，那 b 怎么算呢？好像 g 和行列式都用完了，也求不出来 b。 那么这个时候呢，我们可能这样子去猜， a 和 b 啊，可能有一个二重特征值， 甚至有三重特征值，那么这个重根呢，一定必须得保证他能够有相同的，对应的，相同的线性，无关的特征，相当的个数。而且呢，我们从这个题具体到这个题来看呢，实际上必须得有两个，比如说有一个 二重根，必须得有两个线条无关的节线量，能保持它可对角化，这是因为 a 是对称的，一定可对角化。哎，就这么个意思，我们也可以这么做，先把 a 的特征值求出来，然后再把 b 的特征值求出来，看看相不相等，如果相等的话，就看重根对应的特征相量。好，咱们求拉姆的 e 减 a， 这个是比较好算的， lamb 减二， lamb 减二， lamb 减一，而是负一负一零零零零，直接按第三行展开， lamb 减一， 乘，以它俩对角相乘，相减 lum 的方减四， lum 的加四减一就是加三，加三呢，又可以写成减一和减三，所以它的特征值是 lum 的一等于 lum 的二 等于一，但这边是 lum 的一次面啊， lum 的三等于三，咱们再来看 lum 的 e 减 b 吧， 看这个行业是等于什么？ lamb 减主对角线，注意， a 是零的，那么就是 lamb 的，就是 lamb 减一， lamb 减四，然后 b 呢？不知道 c 呢？ c， 注意，我们求来，这是三了，这写负三零零，这是注意看，这是一，这是二，然后咱们直接对他按照第二行展开，那么的简易， 然后乘以谁呀？乘以这四个角相乘吗？ lamb 的平方减四， lamb 的，然后再加上一个三，哎，跟他算的是一样的，一模一样的。哎，一 也是他，那也是他呢，我们就必须得保证这个 b 呀，他这个二重跟一对应的线性无关的特征项量得有两个。哎，所以咱们接下来咱们怎么研究啊？接下来咱们就研究一减 b， 让一减 b 的质等于一就行了。好，咱们研究一减 b 吧。一减 b 的研究是很简单的，直接出等变换就完了， 这说明这个特征值等于一的时候啊，矩阵直接让这个 number 等于一，这是一，这是零，这是负三，然后这是 b， 这是负三，然后这第二行全是零，然后这个是一和二，你从这来看，必须要求 或者说要保证 r、 e 减 b 得等于一，知道为什么等于等于一吧，因为这个 二重根必须得有一个，得有两个现象无关的特征象量，必须得让这个 b 可对角化，为什么呢？因为 a 可对角化。那你想想，两个矩阵相似的话，如果其中一个矩阵能相似成对角矩阵，另一个一定能相似成对角矩阵呢？因为可传递性啊， 我可以传递过去，所以，那么这个二重根一 b 二重根一对应的线性无关的特征下降，是不是必须得有两个，那么就必须一减， b 的值是一，那么这个 b， 哎，注意，他就必然我们就能算出来他的结果了。哎，当然这块二算，这应该是副币啊，这个副币 他就等于二了，所以退出来。这个 b 呢，是等于负二的。哎，所以这个 a、 b、 c 就都算出来了。好， a， b， c 都算出来了，这相当于就明牌了。哎，咱们回顾一下， a 等于多少啊？ a 等于零， b 等于负二， c 等于三，还记得吧？哎，然后这个 b 矩阵咱们也就出来了。 我写在这， a 是零， b 是负二， c 是三，然后是零一零负一负二四。写到这，那好看。第二问，他说，求一个肯定决定 p 时的 p， a， p 等于 b， 那怎么求啊？实际上这个还是用传递性。 哎，这个呢，思路是这个样子的啊，我主要给同学们写一下思路， p 一逆乘以 a 乘以 p 一，他等于对角矩阵一一三。 还记得一个特征，这是一一三吧，我让 b 矩阵也给他相似成一一三。 哎，写到这，那么这样子的话，注意这个 p 一和 p 二是不是非常好求啊？ 哎，还记得吧，这个 p 一怎么求啊？是特征值一一三对应的特征项量组成的。这个 pr 呢，是什么呢？是根据这个 b 求的，他的特征值也是一一三对应的特征项量去求的。那么这个时候我们怎么去做呢？我们为了保证 从 a 到 p， 从 a 到 b 找到这个 p 的话，那我们可以只要这个是，哎，直接可以左乘 p 二啊，这是 a， 然后呢右乘 p 二 n， 这个等于 b， 那把这个式子再倒腾一下子，把它呢写成它的逆，这就变成了 p 一乘以 p 二的逆啊，再逆， 再乘以 a， 然后再乘以 p 一 p 二的逆，这个呢就等于 b。 所以我们要找的这个 p 呢，是谁呀？实际上是 p 一 乘以一个 p r 的一，这个是不难找的，同学们注意啊，这个 p e 怎么找？简单吧，求特征值，特征值咱们都求完了，特征项量呢？解方程组，三个方程组都比较好解，所以这个 p e 和 p r 就不给同学们求了啊，直接告诉同学们，结果 p 一是谁呢？ p 一是这个意思，它是这样子算的，特征性的，这个是特征之 a， 特征之一对应的，然后这个也是 a， 特征之一对应的，这是 a， 特征之三对应的，这是 p 一。 p 二呢， 是 b 的，哎，那是负二一零，然后是三零一，然后这是一零 这个样子，哎，这个是 p r， 那 p r 要算逆，最终算出来这个 p 矩阵长这个样子，这是负的二分之一。负二，然后这是二分之三，然后这是负的二分之一零二分之三， 然后这是二分之一，然后是一负的二分之一，哎，这就是我们要找的那个和腻的皮来，把他俩成绩踏成他的腻就算出来了，这是第二问。好，第二问算完了，我们再来看第三问，第三问，求放生组的通解， 这个方舟组的通节怎么算呢？实际上最最傻瓜的方法呢，就是把 a 的伴随给他求出来， a 的伴随求出来之后呢，我三亿减去 a 的伴随，然后我再解这个结，可不可以呢？可以，没有问题，而且这个 a 呢，有这么多零，求 a 的伴随呢，也没有 很难哎，所以这么做也是可以的，哎，而且求 a 的伴随也不一定非得说我用伴随绝症的定义去求，我可以求他， 我根据这个去求啊， a 的行列是等于三多简单呢，你这填三，你把这 a 你乘过去，所以 a 的半，所以等于什么？等于三倍的 a 的逆啊。 所以这个式子你要算 a 的腻的话，臭的变换法也很快就算出来了，哎，所以这个你可以把这个 a 的腻给他算出来，算出来之后呢，哎，你给他算出 a 的半岁，然后再三一再减去他，这个方法是可以的，没有问题。 那么除了这个方法呢？再给同学们介绍一种方法，也就是这个题的解析的方法。解析的方法是这个样子的，我先找到三亿减一的制，从而我确定这个通解他有几个线性无关的解项量，然后我再去找这个 x， 比如说啊，比如说他 有一个线性无关的解项量，那我就找到一个解就可以了，或者我用别的方法，用眼睛看出来就可以了。如果三亿减 a 的伴随，它的质是一的话，那么就有两个线性无关的解项量，那我找到两个 x， 我用眼睛看出来，找到两个 x， 其中一个乘以 k 一，另一个乘以 k 二，然后加合在一块，这不也行吗？哎，也是可以的。哎，给同学们说说这种方法啊。第三问， 那怎么去判断它的质啊？一定要注意，同学们，这个 a 是对称的，那你琢磨琢磨，是不是 a 的伴随也是对称的呀？那是肯定的，那么 a 的伴随是对称的，三亿减 a 的伴随是不是还是对称的呀？还是对称的？ 还是对称的话，那么三亿减 a 的伴随是不就一定可对角化呀？哎，所以咱们可以这样子去做啊，一只三亿减 a 的伴随 是可对角化的。说，我为什么要研究它可不可对角化？因为咱们要判断它的质，可以直接判断它可对角化成的那个对角矩阵的质。哎，咱们比方，比方说咱们 g 啊， 三 e 减 a， 伴随，它就相似成一个对角矩阵，那么 我们就有三亿减 a 的伴随，等于 这个对角矩阵的值就他，所以我们要研究他的值，只需要研究这个对角矩阵的值。研究对角矩阵值怎么研究啊？你就看看他的特征值有几个不是零就完了。哎，特征值有几个不是零，他的值就是几，特征值全是零。对角矩阵啊，特征值全是零，值就是零，就这么简单。哎，所以呢，咱们 研究他特征值吗？特征值谁？特征值就是他的特征值。要想研究他特征值，是不是先先研究 a 的伴随的特征值？ a 的伴随特征值跟 a 的特征值有什么关系？哎， 咱们要知道这个结论， a 有特征值 lamb， 那么则 a 的伴随它又特征之谁啊？ a 的行列式除以 lam， 这个要记住，哎，那么进而我们可以求出来，三亿减 a 的伴随他的特征值，那就是三，减去 lam 的 分之， a 的半岁，三的减是他们，对吧？那么 a 有特征之谁啊？ a 是不是特征值一一三呢？那么 a 的行列式是不是就能算出来 等于三？那么 a 的行列如果是制拉木的取一的话，哎，那么这就是拉木的分之三，一分之三 啊，那也就是这是三，相当于就是三除以一，三除以一写这，三除以三写这，那么三再减去它，这就是零，这就是零，这就是二。所以我们退出来，二三亿减 a 的伴随还得至十一，因为它特征只有两个是零，一个非零， 那么这就判断出来了，而且这个对角矩阵我们也能知道他就是零，零二，哎，就这样就能判断出来，那好了，他的质是一了，那他就有两个线性无关的解下来，那解下来是谁呢？ 那你要这样子去看了看啊，我把这个乘开，那它就是 a 的伴随，乘以 x 就等于三 x， 那也就说这个 x 为 a 的伴随对应的 特征值三对应的特征项链。可以这样的去理解， 而一定要注意同学们， a 和 a 的伴随它特征值是它特征值不同，但是它特征项量是相同的。比如说你这个三，它对应的特征项量，实际上就是这个 lamb 等于一，它对应的特征项量及 a 的 lamb 等于一的特征项链。而 lamb 等于一的特征项链，可以找一下前面记过的笔记，哎，特征项链啊，它是有两个线性无关的，所以呢， 它的通解，我们就可以直接写成 k 一乘以那个项链，再加上 k 二 乘以另一个项链来，咱们往前找一找，它的 a 的特征之一，对应的两个特征项链是负一一零和零零一，哎，这就是它的结， 哎，这就是他对应的，特别响亮。哎，所以说这样子解，我直接找到了两个线性无关的，直接完事了，哎，所以说，可以这样子做。但实际上，你琢磨琢磨，这个过程好像还对于本题来说，还真就不如你直接把这 a 的半岁求出来，三亿减 a， 你去解房中阻要快， 对吧？好像还真不是不如这样的快，因为这个 a 还真挺简单。你假如这个 a 特辅的，那你要再用这个方法，你再把 a 的半数求出来，再算三亿减一，这就可能不好算。但是呢，这个解析，这个方法， 这个，这个方法，咱们必须得掌握，哎，你不能说我就会傻方法，我就给他解解，也不是最好的，咱们必须得多掌握方法。哎，这最近这命题出现一些变化，你得应付这个命题的灵活性。好，这个题咱们就说到这， 设随机变量， x 与 y 独立， y 等于负一和 y 等于一的概率都是二分之一， x 的概率密度， f x 满足这个十字，而且这里边的 c 个模式大于零的大写的 z 呢，等于大 x 乘以大 y， 第一问求 f x， 第二问求 z 的概率密度，第三问，哎，算一个最大，自然估计。那这个怎么做呢？咱们肯定按顺序先把 f x 求出来，一看，同学们，这是不是个微分方程啊？哎，咱们可以先求微分方程。微分方程一看，这是个可分离变量的，我们可以写成 d f 除以一个 d x， 把这个挪到右边去，变成了负的 c 个某方分之 x， 然后是 f x， 把 f x 除过来， d x 乘过去，那就变成 d f x 除以一个 f x 等于负的 c 个么平方分之一 x d x， 然后两边积分， 积分的结果呢？左边会出来落。哎，咱们严密一点，写成 f x 的绝对值，等于这边给人凑一个二分之一吧， 二倍的 c 末平方分之一乘以一个 x 的平方，然后再加上个 low c， 写到写到这了，写到这了之后呢，我们把它都都取成对数吧，就把这个式子取写成对数，这样是简单一点。哎，我们可以把它写成对数。什么？这就是 low e 的负的二分之 c 个某方分之 x 方，写成它，再加上 l n， c e， 那么所有的 l n 把它都合并起来， 那么左边呢？这就是 f x 的绝对值，都合并起来，再去掉落万啊，然后这里边落万相加，是不就是 c 一乘以里边这个呀，它就等于 c 一乘一个 e 的负的二分二倍 c 吗？方分之 x 平方，然后把绝对值去掉，绝对值一去，这就变成了正负 c 一， 然后再把正负 c 一呢？设成什么？设成一个新的长数 c， 哎，到此 f x 就解出来了，但是解出来之后呢？这里边是不是带一个可以任意变化的长数 c 呀？ 看到这个 c， 我们可以求出来吗？可以求出来，怎么求呢？概率密度。哎，他没说什么范围呢？概率密度，那我们就认为富无穷到真无穷， 咱们把它负无穷的正无穷给他做一个积分，积分的结果就一定是一，哎，咱们给他这么写， c 乘以个一的负的二倍的 c 个么方分分之 x 方 b x， 然后咱们怎么做？咱们可以做一个换元 x， 注意看啊，我这样的还原 直接我给它一换，换彻底，我把 x 除以根号二的 c 个面，给它换成一个 t， 这样子做，这是根号二，然后再乘一个 c 个门，它换成一个 t， 这。注意，这只是一个正比例的一个换元，因为 c 个门是大于零的。题目说了，所以从服务穷到正无穷，换完元之后，还是服务穷到正无穷， c 可以照抽，那么这个 e 就变成了负的替方。 写到这，哎，因为它这是梯方了吗？ d x 等于谁呀？ d x 等于根号二 c， 那么乘以 d t， 注意，我们可以把这个长数都挪前头去，长数挪前头去之后呢？负权呢？众无穷亿的负提方 tt 他算上是不是就等于根号派了？ 哎，所以呢，我们算完之后，等于根号二乘一个 c， 乘一个 c 个么乘一个根号派，这就是最后的结果。所以我们要求这个 c 呢，只需要把这个根号二和 c 个么乘以派呢，给他除过去，所以这个 c 就出来了， c 出来之后，他就是根号下 二派乘以 c 个码分之一。哎，所以到此咱们的 f x 才算是求利索了。二派乘以一个 c 个码，然后乘以个 e 的负的二分之 c 个码 方分之 x 方。同学们有没有注意到这个 f x 这个概率密度，我们可以推断出来， x 的负同正在分布吧，期望是零方叉是 c 个魔方，因为正常来说，这应该是负的 x 减 mu 括号的平方除以个二 c 个魔方吧。指数上， 那么这个一看没有，这个没有，现在就没有，就等于零了，哎，所以他服从正态分布，哎，不过不是标准的。这第一问其实就求完了，接下来来咱们求第二问，求第二问呢，咱们清理一下屏幕，哎，这屏幕当中呢，后面这个位置不够用了， 我只把第一问算出来的 f x 给同学们放这了。第二问求它的概率密度啊。那咱们先求分布函数， 分布函数法是通法吗？再等于 x 乘以外写过来，然后我们可以把 离散的这种形式给他打开，这是常见的做题套路，因为 x 和 y 有一个连续，有一个离散的，哎，那么我们把这个离散的给他分类打开。如果两个都是连续的呢？两个都是连续的，我们可以用分布函数法，用二重积分去计算，划积分区域去积分就行了。 如果两个都是离散的呢？那我打开哪个呢？那你就看哪一个他分的段少就打开哪个。如果他都分无穷多段呢？那你就看哪个简单打开哪个，那如果哪个都不简单，那你打开哪个都行。哎，就是这样的去讨论，所以就是按照简单的来去分好。 这个是显然是按 y 来分，所以我们写成 y 等于负一，然后再加上一个， 这是 y 等于正义，然后再往下，我们就把这个负一带进去，负正一带 带进去之后呢，我们会得到这个结果。注意看同学们，负一带进去之后，这就变成了负五， x 小于等于 z， 写到这，写到这之后呢，原本应该写个逗号， y 等于负一，但要注意，题目说了， x 与 y 相互独立呀，所以这个 x 和 y 是不是可以写成 p a b 等于 p a 乘以 p b 呀？哎，所以我这块儿可以写成 y 等于负一，而且 y 等于负一，等于二分之一啊，下下一把咱们写成二分之一就完了， 这是 x 小于等于 z， 再乘以一个 y 等于正义。好，接下来再进一步的往下做，咱们直接把这个和这个都写成二分之一吧，然后它呢，把这符号乘过去，就是 x 大于等于负 z， 然后再加上二分之一，这是 x 小于等于 z， 写到这了，写到这了之后呢，接下来咱们可以把这个式子呢改成小于的形式。因为小于呢，我们可以直接用概率密度或者分布函数写吧，那他就写成了二分之一，一，减去这样一个概率，哎，这是 x 小于负 z， 注意，这块就加一个括号啊，然后再加上，哎，这个不用动，二分之一， x 小于等于 z， 注意，看同学们， 这个式的 x 由于是连续性随机变量，所以这块您写不写等号呢都无所谓。接下来我们可以把它写成分布函数的形式。注意啊，这是 x 的概率密度，写成小 fx 了。那如果我要写成分布函数呢？最好啊，咱们 这块写一个这样的形式，这是 x 的，那么这个分布函数，哎，我就得写成负无穷到 x f x t bt， 也就说你把这里面都改成 t， 你就带入到这里才来，我就不写了，那么我们就可以用它来表示 x 的分布函数。那你看这个式子是不是就可以写成 x 的分布函数啊？它就可以写成二分之一，一减去写成什么？写成大 f， 负 z 写到这里， 然后这个位置呢，就加上二分之一大 f， 这是什么？注意这块小 x 啊， 给写成 z 用，这是 x 的分布函数，只不过这个变量这儿呢，写成了 z， 或者是写成了负 z 这样子。而且还要注意同学们，我们这个 x 它是 服从正态分布，零是一个魔方，也就是说这个概率密度，它有一个对称轴， x 等于零，这个能理解吧？看一下 x 等于 mu 是对称的 mu 等于零吗？那么这个时候我们的分布函数具有这个特点， 只要它对称轴满足这个就可以，就跟那个标准正在分布是类似的，标准正在分布，也正是因为它的对称轴是 x 等于零，所以有这个式子，所以这个式子你看是不是可以化解呢？它可以等于什么？它可以直接就等于它，那就是二分之一，它加二分之一，它最后结果， 那就等于这个了。所以 f z z 就等于 f x z， 那我们小写的 f z z 呢？ 是不是直接这个式子求导就完了？这式子一求导就是 f x z， 直接就把这个式子里边的 x x 替换成 z， 这就可以了，它就等于根号二判乘以 c m 分之一 e 的负的二 c， 个么平方分之 z 的平方。写到这， 哎，说这个为什么没有对 z 进行分类讨论呢？因为我们原先这个 x， 他的范围是可以取得政务穷，服务穷的，这个 x 取得政务穷，服务穷，他 x 就没有范围约束，那么这个 z 呢，自然也就没有范围约束，不用分类讨论了。哎，所以是得到这样一个结果，好，这个第二问就算出来了，我们算对的，是他 好。同学们，我又清了一下屏幕，咱们来做第三问。第三问呢，说这一二三是总体的简单随机样本，求 c 个么的最大自然估计。注意，同学们一定要注意看题目啊，是让求 c 个么还是 c 个么方？有的题目是让求 c 个么方的，这题上求 c 个么好，我们盯住 c 个么就可以。 如果让求这个魔方的，我们把这个魔方变成一个新的变量，去关于他去求导啊，或者怎么去处理，这是可以的，一定要注意看是关于谁求。好，那咱们求最大自然规矩，先求自然函数吧。 lc 一个吗？怎么求啊？把这个这一二三恩带入到这里的来，给他乘机就完了。所以这个根号二派呀，肯定是成了恩赐的， 没有问题。这个 c 个么分之一呢？我写成 c 个么负一次密，他肯定是成了 n 次，变成 c 个么负 n 次密，然后这个 e 的这么多次密，底数不变，指数就相加就行了。就这块就我们就写成 z i 的平方， i 从一一直到 n， 这不 z 一 z 二一直到 z n 吗？这它然后求完了之后呢，我们求对数自然函数，这个就变成了 n 乘以个 low， 根号二排分之一。哎，这个我也不化减了，反正 一会啊求导他就没了 n 倍的 low on sigma 就一直是减法，然后再减去二倍的 sigma 方分之一乘以 sigma 求和 i 从一一直到 n z i 的平方。好，算完了，对出自然函数了。关于 sigma， 求个倒数， 注意，关于 sigma， 求啊，它等于零了吧，它等于什么？它就等于负的 sigma 分针。这个呢，变成了加上它是负二次面啊，一求倒负二和负二分之一约了，变成了 sigma 三次方 分之一。然后这个是 c 个么求和这个不动 i 从一一直到 n z i 的平方，令他等于零。这个是好求的，直接把这个给他乘过去，乘过去之后， c 个么方乘， c 个么立方乘过来，约掉一个。 所以是一个吗？它的座椅大自然估计就可以解出来了。 解出来之后呢，我们写成 c 个门一加儿，它等于根号下 n 分之一，是一个么求和 i 从一一直到 n z i 的平方。哎，这就是最大显然规矩。算完了。哎，这个题咱们就到此结束。