八上数学用尺规作图3个画法

同学们大家好，欢迎来到胡成云课堂，这节课我们要学习的是三角形的齿规作图。我们可以先回忆一下在我们七年级的时候学过的齿规作图有什么？ 有两个，一个是做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角。那么这一节课呢，我们来学习一下，利用齿规作图做一个三角形。 先看这节课的学习目标，学习目标有三个，一、了解指规作图的概念，会用指规作图法做线段和角。二、 熟悉指规作图的步骤，并能熟练运用作图语言。三、以三角形全等的判定方法为基础，利用指规做三角形，这也是这节课的重点内容。 我们先来看一个思考题，豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分， 你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？如何做一个三角形与已有的三角形一样呢？ 带着这个问题进入我们今天的学习。用齿规作图，它的定 意识只用直尺，没有刻度的直尺和圆规也可以画出一些图形。这些画图方法被称为尺规作图， 由三角形全等判定。可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件都只能做出唯一的三角形。 由此我们来回忆一下，判定两个三角形全等的条件有什么呢？ 有边边边、边角、边角、边角以及角角边。带着这四个判定三角形全等的条 进入我们今天真正的利用齿规做三角形。先了解一些齿规所图的知识点。 用直尺和圆规作图是一种具有特殊要求的作图方法，这种作图方法不必用具体数据，只是按给定图形进行作图，这也是他与画图的区别所在。 画图的时候，我们就是按照样子去画出来，而按照给定图形做图，就要求我们做出的图形与原图形和给定的这个图形是完全一样，完全重合， 也就是全等图形。画图一般不限定工具，既可以用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如两角器、三角板、刻度尺等。 在尺规作图中，直尺的作用只能用来连接两点之间的线段，或过两点画直线和射线。 那么在平时的作图当中，这个直尺的作用还可以干嘛呀？它还可以测量，而在尺规作图里边，只能用来连线，不具有其他的一个功能。 下边我们来步入今天的学习，利用指规做一个三角形。 如图，已知线段 a、 b、 c。 求做三角形 a、 b、 c， 使 a、 b 等于 c， b、 c 等于 a， a、 c 等于 b。 在以前已经学习过利用齿规去做出一条线段等于已知线段，今天就是做三条已知的线段，并且把他们首尾顺次相接在一起，才能够 组成三角形。看看用齿规做三角形的步骤分别是怎样进行的。 先来做一个分析，由做一条线段等于已知线段能够做出边 a、 b， 即 a、 b 两点确定。 做出一条线段等于 a， 那么这个 a 这条线段的两个端点就是 a 和 b， 也就是三角形 a、 b、 c 的一条边 a、 b， 而 b、 c 等于 a， a、 c 等于 b， 故以点 a 为圆心， b 为半径画弧长。以点 b 为圆心， a 为半径画弧，这个时候这两条弧长可以有一个焦点，这个焦点就是点 c。 下边看一下具体的做法。 第一步，做线段 a、 b 等于 c， 做一条线段等于 c， 这条线段的两个端点分别是 a 和 b。 第二步，以点 a 为圆心，以 b 为半径画弧长，以 a 为圆心，以 b 为半径去画这个弧长， 做出了一个弧长。具体这个 b 这条线段在哪个位置呀？ 暂时还不能确定。第三步，以 b 为圆心，以 a 为半径画弧。这个时候 以 a 为圆心做出的弧长和以 b 为圆心做出的弧长会出现一个焦点，那么这个焦点就是点 c。 第四步，连接 a、 c、 b、 c 即三角形 a、 b、 c 即为所求 把 a、 c 和 b、 c 连接在一起，那么 a、 c 的长度就是线段 b 的长度， b、 c 的长度就是线段 a 的长度，得到了 了三角形 a、 b、 c。 这是知道三角形的三条边，已知三条线段的长度，去做出了三角形 a、 b、 c。 那么已知两边及其夹角，该怎样去做这个图呢？看这个。第一，如图，已知线段 a、 b， 其中 a 大于 b 以及角 alpha， 求做三角形 a、 b、 c， 使得角 a 等于角 a， 法 a、 b 等于 a， b、 c 等于 b。 由此我们可以发现角 a 等于角， 而法 ab 等于 abc 等于 b。 其实知道了什么呀？知道了一个三角形的两条边以及他的夹角， 根据在他的这个角的两边上去去截取 a、 b 和 b、 c 的长度，就可以得到三角形 a、 b、 c。 提示做出符合要求的三角形。关键是根据条件确定三角形三个顶点的位置。 解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合提设条件的三角形 a、 b、 c。 因为有的时候我们在画弧长的时候，他和另一条边可能不只是一个焦点。下边看一下这个题该怎样去做图呢？ 做法，第一步，做角 a 等于角 are 做出一个角 a， 使角 a 等于已知角 are 法 第二步，在角 a 的一边上截取 a、 b 这个 a、 b， 我们可以在 上面这条边上截取，也可以在下边这条边上截取。现在我们在上边边上去截取线段 a、 b， 使 a、 b 等于 a 找到了 b 点。 题目当中还告诉了一个 b、 c 的长度，既然是 b、 c 的长度，肯定是和 b 连接在一起，怎样去找 b、 c 的长度？根据刚才在第一种作图方法里边做的 一条边，利用尺规律，用圆规以点臂为圆心，线段臂为半径画弧， 这个时候弧与角 a 的另外一条边出现了两个交点，也就是图中的 c 点和 c 撇儿。点 分别连接 b、 c 和 b、 c 撇儿，此时就得 得到了两个三角形，分别是三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 c 撇，它们都是所求做的三角形， 都是可求索索求出做的三角形。那么根据刚才的例一我们来想一下。例二，已知三角形的两角及其夹边怎样去做这个三角形？ 如图所示，已知角 alpha、 角 bata 和线段 c 求做三角形 a、 b、 c。 十角 a 等于角 alpha， 角 b 等于角 bata a、 b 的长度就是给出线段 c 的长度。 做法，一，做角 d、 a、 f 等于角 f， 做出一个角等于角 f。 在射线 a、 f 上截取线段 a、 b 等于 c， 以点 b 为顶点 b、 a 为一边做出角 a、 b、 e 等于角 bate d、 e 与 a、 d 交于点 c， 则三角形 a、 b、 c 就是所求做的三角形，同学们可以根据老师讲的这个做法，自己在纸上把这个图形画一下，看一下你们所做出的图形会 会不会完全一样，这是已知两角及其他们的夹边去做三角形。 我们来看一下这节课主要学习了哪些内容。一、做三角形的方法做一个三角形与已知三角形全等， 根据的就是三角形全等的条件，因此做三角形时所给的条件可以是 三条边或两条边及夹角，或两角及夹边或两角及一角的对边。利用的其实就是我们判定三角形全等的四个条件， 边边边边角边角边角角角边。利用这四个条件就可以去做出三角形。 二、做三角形的步骤在寻找做法的时候，一定要根据已知画出草图， 确定作图步骤。也就是说在作图的时候呢，不要直接往纸上去画，不要直接往试卷上去画， 先根据他的已知条件，自己在草稿纸上画出一个草图，确定了真正的一个做题步骤以后， 再把这个做法转移到我们的作业本或者是练习题上。三尺规，做图的基本要求，一、有 图形，画图形，把图形画出来。二、写做法。你这个图是怎样做出来的呀？把做法要写上。三、保留痕迹，尤其是在题目当中一些弧线，这个弧线是一定要保留的。 当然也有些做图题只要求保留痕迹，不用写做法，根据具体问题具体去分析， 如果写了必须有做法和痕迹，都要保留在卷面上。如果说可以不用写做法，那你只需要保留做题痕迹就可以了， 下边我们看一下这节课的一个课堂检测题目。一、指规作图的话， 图工具是什么？ 指规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规，所以这个题选的是 d 选项。 刚才在咱们在介绍指规作图的定义的时候，一直在强调的是直尺括号，没有刻度，即没有刻度的直尺和圆规。 第二个题，利用指规作图，在下列条件中，不能做出唯一直角三角形的是 a， 因为已知两个锐角而边长不确定，所以这样的三角形可做很多，而不是唯一的 b。 符合全等三角形的判定。 aas 能做出唯一直角三角形，知道了一个直角边，一条直角边的长度确定和这一边的对角， 其实还知道谁呀？还知道一个直角，所以利用的判定条件是角角边，因此能够做出唯一的直角三角形。 c 符合全等三角形的判定。 sas 一至两条直角边， 织到两条直角边，织到了两条直角边， 知道这两条直角边了，以及这个角是直角，那么做出来的这个三角形肯定是怎么样的呀？肯定是唯一的 d， 已知一个锐角和斜边，知道其中的一个锐角大小 以及斜边的长度。我们还知道什么呀？还知道一个直角，所以也可以画出唯一的直角三角形，它的依据是 a a s， 所以这个题选的是 a 选项。只知道两个锐角的时候，我们只知道两个锐角， 那么我们画出的什么可以不一样呀？画出三角形边的长度可以是任意的，所以它的两个三角形不是全等的，并不唯一。 第三题，如图所示，三角形 a、 b、 c 是不等边。三角形 d、 e 等于 b、 c 以 d、 e 为两个顶点做位置不同的三角形， 使所做三角形与三角形 a、 b、 c 全等。那么这样的三角形最多可以做出几个呢？ 我们可以试着自己去做一下，看一下解析。可以做四个，分别是，以 d 为圆心， a、 b 长为半径做圆，以 e 为圆心， a、 c 长为半径做圆， 两圆相交于两点， d、 e 上下各一个，经过连接后可以得到两个。 然后以 d 为圆心， a、 c 长为半径，以 e 为圆心， a、 b 长为半径做圆，两圆相交于两点， d、 e 上下各一个，经过连接后 可得到两个。所以选的是 b 选项，选的是 b 选项。这个题同学们容易忽略什么呀？容易忽略的是他说了一句话， 他说的一句话是这样说的，以 d、 e 为两个顶点做什么？做位置不同的三角形， 也就是说，只要它的位置不是完全一样就可以了。可以在地点处以 a、 c 为半径去画弧度，那么上边一个弧度，下边一个弧度，也可以以 a、 b 为半径画弧度也是两个弧度，可以这样去画，也可以这样写， 斜着去画都是可以的，所以会出现四个。看一下第四个题，如图所示。已知线段 a， 用尺规做出三角形 a、 b、 c， 使 a、 b 等于 a， b、 c 等于 a， c 等于二 a。 做法一，先做一条线段，等于二， a， 再做一条线段， a、 b、 a、 b 等于几？ a、 b 等于 a， 分别以谁为圆心啊？分别以 a 和 b 为圆心，以 b、 c 和 a、 c 的长度，也就是二 a 为半径画弧 量，弧交于 c 点，连接 a、 c、 d、 c， 则 三角形 abc 就是所求的三角形。这个题和咱们刚才讲的第一个例题是一样的，已知三角形的三条边长去做出这个三角形，可以看一下他的解析， 可先做出长二 a 的线段，再做出底边，进而做出两腰的焦点，连接焦点和底边的端点，即刻也就是做出了这个三角形。 第五题，已知线段 b， 角 alpha。 如图所示，求做三角形 a、 b、 c。 使得 b、 c 等于 b， 角 b 等于角， c 等于角 alpha。 做 法，一、做线段 b、 c 等于 b， 标上两个端点 b 和 c。 二、以 b 为顶点，射线 b、 c 为一边做角 m、 b、 c 等于角 a 法 做出一个角来，这个角等于角啊，角 bat 是角 bat 三、以 c 为顶点，射线 c、 b 为一边，在 b、 c 同侧， 在 b、 c 同侧，也就是刚才角 bat 的这一侧做角 n、 c、 b 等于角 bat。 射线 b、 m、 c、 n。 交于点 a， 则 三角形 a、 b、 c。 就是所求做的三角形 a、 b、 c。 这个就是根据两角以及它们的夹边去做出了这个三角形。 这节课就到这里，谢谢大家的听课。

这个视频我来讲讲。用齿规做角，比如已知一个角 a o b， 只有圆规和没有刻度的直尺，如何做出一个和它相等的角呢？ 嘿嘿，要做角，先得有条边，拿直尺画一条边，记做射线 o 一片 a 一片角，有两条边，那还得再来一条。不过这一条就不能这么随意了，咋画呢？ 步骤有点多，你可得听仔细喽。首先，在已知角上以 o 为圆心，以任意长为半径，画一段弧，交他于 c， 交他于 d。 接着把圆规挪过来，以 o 一撇为圆心，还是以刚才的长度为半径，再画弧交 o 一撇， a 一撇与 c 撇点，此时 c 一撇就对应这边的 c。 那我只要再找到对应这个地点的 d 撇点， 就能确定另一条边了。接下来，我就教你如何去找这个 d 撇点。用圆规量一下 cd 的距离，保持圆规不要动过来。在这边以 cd 撇为圆心，再画一段弧， 发觉没，第一撇点肯定记在这段弧上，也在这段弧上，那显然这个焦点就是第一撇。把 o 一撇，第一撇连起来做射线 o 一撇， b 一撇，那这个角就等于已知的角 a o b 啦。 好了，再回顾一下刚才的过程，做一个角等于已知角时，一共有三步，首先随便画出角的一条边，接着分别过角的顶点，做两段一样的弧。 最后用圆规亮出焦点距离，再做一段弧，有了这个焦点，就能做出角了。怎么样，明白了吗？明白的话就动手试试吧！

欢迎来到，来唠个嗑，本奖开始八上第六讲此规作图。上一讲的话呢，我们学到了 全等三角形的判定，这一讲的话呢，是第一张最后一讲的真实点。本讲的话呢，主要讲基本词规做图。我们之前简单的提过一一句话，什么呢？就是这个词指的是什么？直尺， 这个龟呢指的是圆规，但是啊，这个直尺就跟我们平时学的直尺不一样，他的直没有单位长度，并且是无限长的，所以可以理解成什么呢？就是，嗯，想象中的， 想象中的咫尺。好，然后开始我们正式的内容， 在学正式的内容之前的话呢，我们可以回忆一下，我们之前不是学了搅平分线的尺寸做头吗？那我们今天的话就来系统的 学习。呃，此基本词汇作图一共有六大类，这六大类基本上涵盖了初中所有的词汇作图。然后考的话是怎么考呢？比如说这有六大类，那我可以任意组合，比如说我让你做一， 比如说我让你做一和六，一和五组合，比如说我让你做三和五组合，等等。就说任意组合他可能是一个复杂的几何做图题的，然后他让你挑几个？挑第一个，挑第六个，挑第五个让你去做，或者说什么呢？那个他只让你 单纯的做第五个，或者说让你单纯的做第三个是这个意思，他说考是这样的考察形式。所以说本奖的话呢，六个的话，我把每一个都逐一的讲解一下。我们先开始第一个做一条线段，等于 与已知线段，然后已知求做做法啊，我们每一个学的话都是按照这样的套路来，先先用已知表达成数学语言， 让求做，然后画图，这个图在这里，然后做法给你写出来。好，我们来过一遍，如图，线段 a， 然后呢，求做线段 ab， 使 ab 等于 a 在这里的话呢？他图是已经画出来了，这个是我们椅子的，然后这是我们要做的， 然后很多学生啊，他会犯了，犯一个什么呢？有两个问题，一个是什么呢？他没有真正理解此规则，说这个此此是没有刻度单位的，他是想象中的咫尺， 所以他直接什么呢？用知识这里一量一量，然后这里一点那个点，那个连接是错误的，正确的做法是什么呢？把圆规一点尖尖的那个地方放这里，然后量还有多少长，然后再 放在那个点 a 里面，再画一个胡，哎，这个时候再连连接 ab， 然后这个 b 的话呢，就是咱们要求的线段 ab 等于已知的，这个才是正正确的做法。你看啊， 做涉嫌 ap， 然后在涉嫌 ap 上截取 ab 等于 a， 则线段 ab 就是所所求的图形。这个截取用的是什么截取呢？就是用圆规截取的。 然后我刚才说我们学生厂房有两个，一个是什么？就这个图，他没有理解，理解这些词规的，这个词是没有客流单位的。还有一个是什么，他的做法 做法写错了，你看他是什么呢？做射线 ap， 很多学生他会要么写成什么呢？做线段 ap， 做直线 ap 都是错的，他只有是什么呢？做射线 ap 是最正确的说法，然后在射线 ap 上截取 ab 等于 a， 则线段 ab 就是所求的图形，这个是 标准的做法，所以同学们可以就是每讲一个，你可以把讲义上面呃，听到我说的常犯的错误给他写一下，然后呢，你就可以避免这个犯的错误，咱们继续开始下面的， 然后第二个做一个角，等于椅子角，好，我们直接来啊，做一个角，他图是已经给我们了这个图，然后呢，我们直接来看他的做法啊，做射线 o 撇，闭撇， 涉嫌 opab 撇，然后呢，以点 o 为圆形，任意长，任意长为半径做胡交 a 与 c 交 ob 与刀，就是说什么呢？边说边边做啊， 那个圆规的尖尖的放这里，然后呢，我以任意场，比如说以这样的任意场，然后然后画了一道胡，然后呢教 oa 是点 c， 教 ob 呢是点刀，继续 以点 o o 为这 o 撇为圆形， o c 长为半径，画胡画胡，就是还是这样的，然后这个时候尖尖圆规的尖尖的放这里，然后以原来的 o a o o 刀长，然后再画胡， 画胡了以后呢，然后这个绿色不是胶了吗？这胶就是 c 撇，然后胶 ob 撇于 d 与刀撇，以刀撇为圆形，以 c c 刀长为半径做符号。这个时候呢，以刀撇为圆规放这里，然后长度呢，以这个刀 a 的长度，那个刀 c 刀 c 的长度 为半径，这样画胡。哎，就这样画的，然后娇娇一点，这就是十一点，这个时候呢，你看啊，让线段线段三角形 a 撇 o 撇 b 撇，就是所求的这个角 aob， 这个 aapo 撇 b 撇就等于角 aob 啊，所以说 这是他核核心的做法，同学们一定要会理解，并且会准确的表达出来，如果你要是不能准确的表达出来，那像这个过程的话呢，你就嗯拿张草稿纸，不是让你们背啊，就是说什么呢？你们边画一步，然后边写一步过程，我以前学的时候就这样的，咱们 如果达不到那种高水平的话，就勤能捕捉吗？一点一点的来，好不着急啊。然后然后这第二个的话呢，是等于椅子角，刚才我们说的是等于椅子线段，那我们看一下第三个 做已知线段的垂直平分线，这个核心是垂直平分线，垂直平分线我们之前讲过一个是跟角平分线一块讲的一，然后第二个讲的是垂直平分线，然后看一下垂直平分怎么做啊？以点 m 为圆形，然后呢以大于 mn 一半的长为半径啊， 这个是点 m 五圆形，然后大于他的一半了，比如说，嗯，我取这么长，然后画一个虎，同样 这个也是画一个，画一个弧，然后呢以点为圆形，以同样的长，同样的也是也是这样画，然后这两个弧呢，他的半径是一样的啊，都是大于 r m i 一半一半的长，这个半就是一样的，然后两胡的焦点即为 pq， 然后连接 pq， 就是垂直平行线。在这里的话我们提一下啊，说为什么垂直平行线他任意上面的一点，比如说这个点屁到 m n， 他距离是相等的呀？知道为什么吗？啊？就通过我们的作图，显然就是为什么，因为我们在点 m 的时候圆规放这里，然后与大于 m m 任意的，比如说我取这取得这里，是不是然后发火，然后再点 m 的时候 也是刚刚才一模一样厂的大约二分之一 m m。 所以说呢，他们不管在哪里，他的核心都是什么呢？原理都是，呃， 半径是一样的。所以说呢，咱们得到一个结论，垂直平分线上任意点到现在两边的距离是相等的啊，就这个意思。原理是这样来的，当然我们证明的话不能用用这样的证明方法， 中语的话我们之前说过，如果要是没有不知道的或者说不明白的可以去听我们垂直平分线。那你讲的知识点好吧， 做椅子角的平分线在 o a， o b 上， o a， o b 上分别截取 o 刀， o e， 然后呢使 o 刀等于 o e， 也就是说什么呢？还是的啊，一个圆规放这里，然后呢？嗯，画弧这个弧以后胶分别 胶 o o， 然后胶约一点，然后刀点，然后使 o 刀根等于 o e， 然后分别以刀翼为圆形，大于刀翼的长为半径，然后再画火分，然后圆规尖尖的再放这里，然后呢大于一刀的二分之一，比如说我给这个， 嗯，大约是这么长，这不是大于了吗？那就是画画画画个胡，同样的再点刀也是的，再再点刀，然后再也画胡，然后两点交一交了一点了两个胡，然后再连接 oc， 然后这个时候呢， oc 就是涉嫌 oc， 就是 oc， 就是所求的色型啊，这个写错了，就是 oc， 就是所求的角的平分线哈，这就是角的平分线的做法，具体的话同学们一定要就是，呃，我们现在因为一下学了六种，所以你可能会嫩混，没有关系，就按照 我刚才讲的方法，你拿一张空白的草稿纸就是边听边画，然后再写一下常出错的，或者说你容易出错的，然后经常看一看就可以了，熟能生巧吧， 而且基本上啊，嗯，从我就是嗯批改的试卷角度来看， 基本上你遇到就是你不管水平高还是水平低的，你只要一遇到做图题，很多同学都容易出错，所以说呢，这个的话咱们一定要把这个给做对，做对的话呢，就是可以快人一步吗？啊？

这节课我们来学习尺规作图。八年级上册过一点，做一支直线的垂线。那我们这节课主要 讲的是点在直线外做法一共分为四步，第一步，任意取一点 k， 使得点 k 与点 c 在 ab 的两旁。第二步，以点 c 为圆心， 以 ck 长为半径做弧， 叫 ab 与点地点意三，分别以点地和点意为圆心，以大于二分之一的地意为半径。画胡 两壶相交于点 f。 第四步，做直线 cf， 那直线 cf 就是所求 做的垂线，那我们要写结论，所以如图所示，直线 cf 即为所求。 好，这节课我们先讲点在直线外的做法，就到这里。

这节课我们来学习尺规作图，八年级上册过一点，做一支直线的垂线，点在直线外上一个视频我们已经讲过了，这个视频我们来讲解，点在直线上一共分为四三步， 三步，第一步，以点 c 为圆心，以适适当的长度为半径画胡， 教 ab 与点滴点 e。 第二步， 以分别以分别以 d e 为半径，以大于 d e 的二分之一长为半， 干净画糊， 两胡交易相交于点 f。 第三步，做直线 cf， 直线 cf 就是所求做的的垂线，那么我们要写结论，如图所示， 直线 cf 即为所求。 大家一定要注意，我们在吃亏做吃亏做图题的时候，考试的时候我们都要保留他的弧线， 不要把弧线插没了，一定要把弧线保留下来来，也就是说这些痕迹作图的痕迹， 考试的时候没有让你写做法，但是一定要保留这个作图的痕迹，老师在改卷的时候一定会关注你这个痕迹保留的是否完整。好，那这节课我们就讲到这了。

这节课我们来学习持规作图八年级上册做一个等腰三角形，使它的底边长为 a， 高为而去。那么第一步做射线 op 端点 o p， 在 op 上截取 o a 等于线段 a， 我们要保留这个作图的痕迹，这是 o a 等于这个 a， 这个 a 也可以不写出来。 接下来我们要做等腰三角形的话，顶点一定到他这两个端点的距离相等，那也就是说要做 oa 的垂直平分线。垂直平分线前面我们在前面的视频已经已经讲过，那在这一块就不再讲解。 弧线要保留完整。考试的时候，老师比较关心的是你的弧线有没有保留的清晰完整。 上下教育两个点，一个点是 m， 一个点是 n， 那么连接并延长这两条是这两个点 好。直线 mn 就是 oa 的垂直平分线，也就是说顶点要在 mn 上接取，那么垂足为点 c， 接取 cd 等于 h。 好，这个痕迹要保留下来， 这是点 d， 那 od 连接 od， 连接 ov 啊，连接 d a。 三角形 o d a 就是我们要做的等幺三角形，其中 o d 等于 a d， 所以三角形 o d a 即为所求。好，这节课就讲到这里了。

这节课我们来学习尺规作图，八年级上册最短路径问题中的将军以马问题。牧马人从 a 出发，到笔直的河边 l 木马，然后到 b 地木马，人到河边的什么地方木马可以使所走的路径最短？也就说我们在直线 l 上要找到一个点，是的，这个点到 a 加上到 b 的距离是最短的。那做法，第一步， 过点 b 做直线 l 垂线。第二步，截取 好，继续上下进去好，这是 bp， bp 连接 abp 连的过程中去教育直线 l 一个 p 点 p 点连接 pb， 那么点到点 p 这一块以码，那他所走的路径是最短的，理由是两点之间线段最短，那么主要还是因为这个直线 l 到这个对称点之间的距离是相等的，所以 pb 就等于 pbp， 那么 ap 加上 pbp， 它的核最短，那就是两点之间 线段最短。所以我们的结论就是找到了就点聘，所以如图所示，点聘即为所求。 好，这节课就讲到这。