初二几何构造特殊法

来，八年级的同学们注意了，今天咱们来讲一道学完全等三角形以后一定要刷的好题。告诉我们三角形 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 的度数是六十度，那么同时我们也必定知道角 a 加上角 a、 c、 b 一定是一百二十度。 我们又知道了 b、 c 的长度等于八， a、 c 的长度等于十， d 和 e 分别在 a、 b 和 a、 c 这两条边上，我们也同时知道了 a、 d 呀和 c、 e， 它一定是相等的，最后要求的是 c、 d 加上 b、 e 的最小值， c、 d 和 b、 e 都不确定，那么这个时候两个都不确定的量求最小值，不能直接求，一定要进行转化。我们要把 c、 d 这条边或者 b 这条边 转移到另外的位置上去，变成两条有可能共线的线段再解决问题。这道题目已经知道了 a、 d 和 c、 e 是等的，如果把 c、 e 看成新的需要构造的三角形的一条边的话，那我们当然得需要角了。 而这道题目本身呢，我又知道了角 a 和角 a、 c、 b 的加和是一百二十度。当然要想到我们最好能把这一百二十度拼出来，那如何去做一个角 a 的等角？直接做平行就好了， 咱们过 c 去做 a、 b 的平行线，我就可以把角 a 转移到角一的位置。而为了构造出的三角形和 a、 c、 d 是全等的，我已经知道了 a、 d 和 c、 e 一组边，角 a 和 角一一组角还需要一零边呀。那么我直接去取一个点 f， 咱们使得 c、 f 的长度是等于 a、 c 的即可。我再连接一下 e、 f， 那这个时候 c、 f 和 a、 c 的长度相等一定是十，全等就有了。那么 e、 f 和 c、 d 不就等了吗？我们要求的最小值就变成了 e， f 加上 b， e 求他的最小值， 那这个最小值不就应该是 f 和 b 这两点之间的连线吗？咱们把 f 和 b 一连，那么此时就得到了一个三角形， 这个三角形 f b， c 中角 f c， b 就等于角 a 加上 a， c， b 就是一百二十度。八和十两条邻边都知道有特殊角， ok， 直接 延长 f c， 并且过臂向延长线做垂线，垂足为 m， 那么这个小角自然就是六十度了，那么相应的 c， b， m 自然就是三十度了。 三十、六十、九十的特殊的直角三角形 c， m 的长度是 b， c 的一半就是四，那么相应的 b m 四倍根号三。我们要想求 b f 直接勾股定理，最终的结果 b f 呢？它就等于根号下四倍，根号三的平方，咱再加上一个十四的平方，最终的结果二倍，等 根号下六十一。这道题目咱们就搞定了，构造全等三角形，听懂了吧，下课！

来看一道几何题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于七十五度， a、 d 垂直 b、 c。 如果 b、 c 等于二倍的 a、 d， 让我们去求角 b 的度数。 角 c 为七十五度，所以角 d、 a、 c 应该为十五度。此时图中给了两个角，一个是十五度，一个是七十五度。这两个角虽然是两个特殊角，但是它还不够特殊。 往往在解题中，我们需要的是三十二度、四十五度或者是六十度这样更加特殊的角， 所以我们要通过已知这两个角，想办法构造出来三十度、四十五度和六十度的角。 我们在 a、 d 边上找一点 e， 使得 a、 e 等于 c、 e。 此时三角形 a、 e、 c 为等腰三角形，所以角 e、 c、 a 也等于十五度，那这样的话，角 e、 d、 c 就应该为六十度。 我们通过这样的一个构造方法，成功的构造出来六十度这样一个特殊的角。 所以在直角三角形 e、 d、 c 中，角 d、 e、 c 此时应该为 side 度。 我们知道十二度六十度特殊直角三角形，它三边比是一比二比根号三。我们设 c、 d 为 x， 则 e、 c 应该为二 x， e、 d 应该为根号三 x。 根据刚才我们辅助线的添加过程， a、 e 等于 c、 e， 所以 a 也应该为二 x。 此时图中的 a、 d 应该为二加根号三倍的 x。 题目已知 b、 c 等于二倍的 a、 d， 那这样的话， b、 c 就应该等于四加二倍，根号三倍的 x， c、 d 是 x， 那 b、 d 就应该是 b、 c 减去 x， 所以此时 b、 d 应该等于三加二倍，根号三倍的 x。 我们要求角 b 的度数。我们发现此时我们已知了直角三角形 a、 b、 d 中它的两条直角边，所以我们选择在直角三角形 a、 b、 d 中去算角 b 的正切值，它应该等于 a、 d 比 上 b、 d 带入数据，也就是等于三加二倍根号三。 x 分之二加根号三倍的 x 上下同时约取 x， 此时等于三加二倍根号三分之二加根号三。 接下来我们进行分母，有理化分子和分母同时乘以三减去二倍根号三， 经过计算等于三分之根号三。根据我们特殊角的正切值，我们知道三十度角的正切值正好为三分之根号三，所以此时角 b 等于三十度。关注小何数学，带你收获更多数学思维！