描点法画函数图像试讲

有一句话叫亏，一般而知全报，重点就是从局部来推测全貌。那放在话函数图像里，就是描出一些点，通过这些点的走向来想象猜测所有点组成的函数完整图像， 因此这种画函数图像的方法就叫做描点法画函数图像不要卖萌，是描点，不是描点。 说了这么多，具体怎么操作呢？下面就拿出纸笔一起看一个例子，画一画吧。 正方形的面积 y 与边长 x 的函数解析是为 y 等于 x 的平方， x 因为是正方形的边长，所以要大于零。让我们画这个函数的图像。首先我们脑内很清楚，我们的目标是描出一些点，再连成 呈现，不过这些点是不是想点哪就点哪啊？肯定不行吧，坐标一定要符合解析式才行。所以为了找合适的点，那第一步就是列表， 我们分别取一些 x 的值，尤其是位于头尾的值，一定不能错过，这里头就是零，尾巴可以一直取，更大，不知道是谁，所以取到四就差不多了。然后算出相应的 y 值填进去， 这样我们就得到了许多 xy， 每一对都是一个点的坐标，那接下来就要进行描点法画函数图像的第二步，描点， 我们根据点的坐标一把这些点标在坐标轴上， x 是四， y 是十六点是这个 x 三点五， y 十二点二，五在这里， 三九在这。那你自己选一下，二点五，六点二五是下面哪个点呢？ 应该是 c 这个点。那接下来就顺着继续把这些点描上去，一直到零零这个点。哎，注意了，这就是韩式图像里最大最大的坑取值范围的问题， 现在你看着这个解析式告诉我，你觉得零零应该是描空心圆还是实心点呢？ 当然应该是空心的，因为自变量 x 大于零，所以等于零的这个点不能取，和不等式里面话术轴一样，取不到就用空心圆表示，所以这里一定一定要用空心。 好了，点描完了，接下来就是最后一步连线，我们要根据这些点的走向把他们连起来， 那你觉得要怎么把它们连起来合适呢？看起来就是第一个比较正常吧，注意，我们一定要用平滑的曲线把这些电连起来，一定要是平滑曲线，不能呲出来凹进去的任性。连好之后函数图像就大功告成啦。 所以描点法画函数图像其实就是三步，代表描点年限。这里要注意的是，列表描点的时候，取的点越多，最后描出来的图像就越准确。 那是当然的嘛，你要是取两个点，想怎么画都行，那四个点八个点就限制多一些了。取的越多的点，函数图像的走势不就越明显吗？所以多秒点才是王道，最后再用平滑曲线一连就 ok 了。

hello， 大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四张依次函数的第三节依次函数的图像。今天是第二个课时，好，来看一下知识点清单，主要有两个，首先第一个依次函数的图像和性质， 那么在上一次课当中啊，我们也一起学习了正比例函数 y 等于 k x 啊，它的图像和性质，这里呢，我们一起来做一个复习啊。这里 k a 应该是不等于零的啊，正比例函数 y 等于 k x， 它的图像和性质应该是什么呢？ 我们啊，一起来看一下。哎，这是啊，上节课的时候画出了几个正比的函数的图像，对吧，我们也一起总结了，那么这里啊，要分 k 是大于零还是小于零两种情况，对吧？ k 大于零的时候呢，经过一三象限， k 小于零的时候呢，经过二四象限增 点性呢？ k 大于零时， y 随 x 的增大而增大，那么 k 小于零时呢？ y 随 x 的增大而减小，那么图像的形状呢，它是一条经过圆点的直线啊，那么 k 的绝对值越大，那么它就越靠近 y 轴，对吧，也就是它这个越陡陡效一些啊。好， 接下来我们再复一下啊，用这个秒点法画函数图像，哎，他的步骤有哪些？是不是就说的这个三步走啊，对吧，哎，第一个就是列表找到这个 x 和 y 的这个对应关系，然后呢，秒点对吧？哎，把自变量的值作为横坐标，函数值作为重坐标， 在坐标系当中啊，把点的位置描出来，然后呢，用平滑的曲线把各个点给他连接起来就可以了。好，接下来大家思考一下啊，我们呢，怎样来画出这个依次函数 y 等于二 x 加三，哎，怎么样来画出他的图像呢？其实方 法是不是还是用我们这个描点法呀？对吧？列表描点连线应该就可以了，对吧？好，我们一起来画一下啊， 画出一字函数 y 等于二 x 加三的图像。三步楼，列出来这边的话，其实 x 的范围其实是不是也应该都是任意实数啊，对吧？所以我们在上一次课的时候也说了，我们尽量的以原点为中心，对吧？哎，按照两边的跟原点对称这样的顺序来取， 好，一起看一下啊，哎，我可以取这五个值，对吧？下面这里是对应的函数值，然后接下来呢，就是秒点，把各个点的位置给他拿出来，然后再连线就可以了。好，我们得到了这样的一条，这也是一条直线，对吧？好， 接下来我们一起分析一下啊，你说一对一个依次函数来说，它的图像应该有什么样的特点呢？我们就以这个 y 等于二加三为例，首先啊，它的图像肯定也是一条直线， 对吧？好，那么还有其他的什么特点吗？我们说既然它是一条直线，我们在学习正比率函数当中啊， 一起学习过了，我们如果说啊，想画直线的话，是不是只要找两个点就够了，所以呢，对于依次函数来说呀，我们同样我们想画他的图像，只要确定两个点的坐标就可以。对于这个 y 等于 kx 加 b 来说呀，你看，当 x 等于零的时候，你在一起是不是 y 刚好等于 b 呀，所以他一定过零和 b 这一点， 那么如果我用 y 等于零呢，我可以算出来 x 等于负的 k 分之 b， 所以呢，他一定也过负 k 分之 b 和零这一点，那这两个点是不是刚好就是这个函数图像跟 y 轴还有跟 x 两个交点，对吧？ 实际情况下呢，我们可以根据这个具体的这个表达式啊，选择一些啊，比较适合于计算的计算简便的一些这样的数来进行计算。总而言之，只要你确定两个点， 然后呢，再过这个两个点画直线，那就可以了。我们说依次函数 y 等于 k， x 加 b， 他的图像我们也可以称为直线 y 等于 k， x 加 b。 哎，这两种说法其实都是可以的，所以说我们在函数图像这一部分，就很好的把数和 图形给它连接到了一起。哎，你既可以说依次函数 y 等于 cal 加 b， 你也可以说直线 y 等于 cal 加 b 啊，这都是可以的。 好，接下来我们看一下下一个例题啊，在同一直表系呃，直角坐标系当中，分别画出依次函数 y 等于二， x 加三， y 等于负 x， y 等于负， x 加三和 y 等于五， x 减二的图像。好， 这里是直角坐标系了，对吧？那这个画图的过程啊，我就不和大家按照刚才这个步手画那么细了，大家可以自己按照这个步手来画一下就可以了啊。我们直接给大家看一下最后的这个图像啊，这个二加三就是刚才画的这个图像，对吧？ 其他的几个啊，这个是 y 等于啊，负 x， 这个是 y 等于负 x 加三，然后呢，这个是 y 等于五， x 减二啊，这四条图像我们都画好了，其实画图呢，并不是我们这这个节的主要一个内容，我们的内容是要通过这个图像来研究这个依次函数它的图像和性质啊。 接下来我们思考一下，对于上面这四个函数来说，随着 x 这个值的增大，那么 y 的值分别是怎样来变化的呢？ 我观察下这两个这个红色的和这个紫色的这两个，对吧？他呢， y 应该是随着 x 的增大而增大的，对吧？哎，紫色的这个也是，但是这个黄，呃，这个橙色的和这个蓝色的他俩，他俩的 y 的值啊，又随着 这个 x 增大而减小了，对吧？那么观察于表达式，这个表达式最大的区别在哪呢？是不是这两个他表达式啊，这个 x 前面系数是负的， 对吧？然后这边这两个呢，这个 x 前面的系数都是正的，对吧？所以我就知道，如果 x 前面那个系数是正的，也就是说，对于 y 等于 k， x 加 b 来说，如果那个 k 是正的，那么我这个啊 x 的 y 呢，就随着 x 的增大而增大，如果这个 k 的值是负的， y 就随着 x 的增大而减小， 对吧？好，我们继续看第二个啊， y 等于负 x 与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是蓝色的和橙色的，对吧？他俩的位置关系应该是什么样的？我们观察下图像，应该可以看出他俩应该是平行的，对吧？ 你能通过恰当的移动将直线 y 等于负 x 变为直线 y 等于负 x 加三吗？通过移动可以移动吗？我把这个蓝色的好像向上给他平移一下，是不是好像就刚好可以和这个 y 等于负 x 加三重合在一起，应该往上平移几个单位呢？我们看这里他是过圆点了，对吧？往上 平移一个格子，两个格子，三个格子，是不是应该是向上平移三个单位长度啊？刚好他就可以与上面这个橙色的重合在一起，对吧？ 通过这个我们能总结一下吧，对于直线 y 等于 k 加 b 和直线 y 等于 k x 来说，他们有怎样的位置关系？这两个表达是，很显然，他们 x 的前面的系数是相同的，也就那个 k 的值是相同的，对吧？ 其实当 k 的值相同的时候，我们可以得出一个结论，他两条直线就是平行的，对吧？你看，对于这样啊，表达出来说也是一样的，他都是 k 嘛，对吧？哎， 如果说 x 前面的系数是一样的，这两条直线就是平行的，哎，这也是我们可以得出来的一个结论啊。这个呢，我们在后面讲平移的时候，还会带带大家做一个更详细的一个了解。 好，那么第三个呢，是什么呢？说这个直线 y 等于二 x 加三与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是这个红色的和这个橙色的它来 有什么共同点？我们观察一下这两个北大市啊，这个北大市和这个北大市，我发现他们这个 b 的值是不是相同啊？也就是长竖向，对吧？都是正三。 哎，那我观察图像的图像有什么特点？他们好像与 y 轴的焦点都交相交于这个点，这个点坐标应该就是零三，对吧？哎，也就是说什么呢，我可以从函数的表达式当中啊，这个 b b 的值只要相同，那么我就可以判断出这两个直线呢，相交于 y 轴上的同一个点。 好，接下来你能从函数 y 等于 k， x 加 b 的图像上直接看出这个 b 的数值吗？比如这个 y 等于二个。点赞啊，我现在只只给你看它的图像，我发现这个图像呢，与 y z 焦点是 零三，这一点，对吧？所以呢，我就可以判断出，你这个函数的表达式当中啊，对应的那个长竖向就应该是三， 对吧？哎，你只要能令 x 等于零，实际上 y 也是等于三的，所以我只要知道你这个图像与 y 轴的焦点重坐标，我就知道这个 b 的值了。哎，这个也是可以判断出来的。那么对于这两个函数来说，只要它的 b 的值相同，那么它与 y 轴的焦点就一定是同一个点。 那除此以外的，我们再观察一下这个紫色的和这个红色的，很显，这个紫色的也更陡一些，他离更靠近外轴一些，对吧？哎，那也就是这个紫色，他 k 的值比这个红色的更大。哎，那随着 k 的值的增大呢， 这个图像啊，也是越来越靠近外轴的，对负的情况下，其实也是一样的。那实际其实啊，这个姓字的跟我们学习正比的函数呢，其实是一样的，对吧？也就是这个 k 的绝对值越大。 哎，那这个图像怎么样，图像就越抖，对吧？哎，这个呢，跟正比的函数是一样的，我们就不再单独拿出来进行这个说明了啊。好， 接下来啊，我们就一起来总结一下啊，一次函数 y 等于 kx 加 b， 他的图像和性质分别有哪些？我们还是从以下几个方面，一个是图像的形状，一个是他经过的象限，还有他的增减性来进行判断。很显然，我们应该分成几种情况，首先呢， k 大于零和 k 小于零，这可以肯定是分两种情况，对吧？ 因为 k 的正负号不一样的话呢，你这个图像啊，他的性质肯定是不一样的。接下来我们还得对这个 b 这个长竖向进行一个分类，因为长竖向的正负号啊，如果是不一样的话，对这个图像也是有影响的，对吧？好，我们一起来看一下。第一种，当 k 等大于零， b 也大于零的时候，你说这个图像应该是什么样？ 很显然，他应该是啊， y 随着 x 增大而增大的，对吧？并且呢，这个图像与 y 轴的焦点就是零 b 嘛，对吧？你 b 如果大于零，这个焦点一定是在 y 轴的正半轴上，对吧？好，我们大概画一下图像啊， 图像就应该是这个样子，哎，应该是这样。这个地方应该怎么记比较简单一些呢？大家可以找自己的一呃 习惯的一些方法，对吧？比如说，你可以拿出你的，伸出你的左手，让你的手掌呢和这个小臂啊，保持在一条直线上啊，然后让你的指尖指向你的右上方，哎，这个时候呢，从你的指尖到你的小臂这个走向其实就是这个 啊，图像的他的一个一个方向，哎，这是一种方法，大家可以找自己的方法来记忆啊。那么对于 b 小于零的时候呢，肯定方向还是这个方向，只不过呢，他与歪轴的焦点呢，必须得在歪轴的副半轴上，对吧？所以呢，他图像画出来就应该是这样的，哎，方向是一样的，只是这个焦点焦点在歪轴的下方 啊，在 x 的时候的下方啊，好，接下来我们再看。当 y 小啊，哎，当 k 小于零的时候，那么又分两种情况啊， k 小于零， b 大于零，那应该怎么样的呢？它的图 图像就应该是这样走，哎，这个又怎么记呢？你可以伸出右手，对吧？哎，跟刚才左手刚好是相反的，哎，用同样的方法，你就可以想出这个当 k 小于零的时候，这个图像他的一个走向，那因为 b 呢，又是大于零的，所以呢，他与歪轴的焦点一定是在歪轴的正版轴上，也在上面，对吧？所以图像是这样， 那对于 b 小于零的时候呢，大致的方向不变，但是呢，他与 y 轴的焦点一定是在 y 轴的副半轴上，所以呢，这个图像又变成这样子，对吧？好，那么他们经过象限，这就很显然了，这个第一种情况经过一二三象限，对吧？哎，那么对于第二种情况呢，应该是经过的是一三四象限， 好，这种情况。第三种呢，应该经过的是一二四相见。好，最后一种情况应该经过的是二三四相见，对吧？好，那对于增减性来说呢，当 k 大于零的时候， 那这跟 b 就没有什么关系了，对吧？哎，只要你 k 大于零，那么 y 都是随着 s 增大而增大的，那么当 k 小于零的时候呢， y 都是随着 x 的增大而减小的，这个跟正比例函数就 都是一致的了，对吧？对于这个表格啊，我想说，只能用非常重要的四个字来进行了啊，这个表格上内容一定要记住，并且要达到一个非常非常熟练的程度，所以具体的记忆方法呢，大家可以用这个我刚才给大家啊介绍的这种方法，当然呢，也可以选择自己只能 啊适合自己记忆的一些方法。总而言之啊，这个方法啊，这个表格非常重要啊，一定要把它记住好。 先来做一个例题啊，已知直线 y 一啊，等于 k， x 加 b 经过一二四象限，那么问我们这个直线 y 二，它的是等于什么？它等于 b， x 加 k， 它不 经过哪一个象限？哎，这就考察我们对于这个依次函数图像的一个啊理解程度了，对吧？好，第一个经过一二四象限，那我是不是可以把图像先画出来，如果是一二四象限的话，应该是哪几个？一二四经过这三个象限，他不经过第三象限，对吧？所以呢，这个图像画出来一定是这样子 好，根据这个图像，我就可以判断出 k 和 b 到底是大于零还小于零的。首先这样 y 随着 x 的增大而减小，所以我就得到这个 k 啊，一定是小于零的。 好，那 b 呢，我们就看他关于歪轴这个焦点坐标呗，对吧，我发现这个焦点坐标呢，是在这个歪轴的正半轴上，所以呢，我觉得说这个 b 啊，他一定应该是大于零的 好，判断出 k 和 b 的符号以后，我们再看后面这个直线，他的表达是这个时候呢， b 啊，变成了 x 前面的系数，对吧？那很显 b 是大于零的，我们刚才说 b 大于零的时候，这个这 图像应该怎么样？是不是从左到右应该是上升的？也就是说呢， y 呀，应该是随着 x 增大而增大的，哎，是这样的，是这样往上写的， 那么对于 k 来说呢， k 是小于零的哎，他长竖向，如果小于零，就说明这个图像跟歪轴的焦点一定是在歪轴的副半轴上，对吧？哎，所以我这个图像我换一种颜色啊，画出来一定是这样子的， 对吧？你看，因为这里他大于零，哎，他又小于零，所以这个图像是这样的，并且与歪轴的这个啊，焦点是在歪轴的副版轴上，你只要你对这个图像非常的熟悉啊，那解决这种问题应该是 啊，没啥问题的啊，哎，对，今天，因为今天啊经我们新课刚讲，所以呢，有些地方大家可能记不住，对吧，没关系啊，课后呢，及时的进行复习巩固。哎，希望呢，我们在下次做习题的时候，大家对这个啊图像都已经记得非常清楚了啊 啊，最后答案是这个啊， b 选项啊，很显然这个蓝色的没有经过第二象限，对吧？好，接下来第二支点啊，一四函数的平移。 好，我们看一下，类似在同一直表直角坐标系当中分别画出一次函数，这个啊，一二三三个一次函数图像，这图像的话，大家就可以自己画一下了啊，我就不和大家这个啊一步一步的画了，我直接把这个图像给大家展示一下啊，这样的，这个是第一个啊， 这是第二个，这是第三个，为了看清楚啊，我这个歪轴上这个单位长度啊，我给他放大了一点，要不他三条直线挨得太密了，大家可能看不太清楚，对吧。啊，平时画图的时候也是可以根据实际情况，你这横轴啊，和重轴的单位长度是可以不一致的。好，接下来呢，这三条啊，直线我们都已经画出来了，接下来我们就要分 一下了，哎，他们有什么样的特点啊？看一下。首先看一下他们三个表达式有什么样的特点。光看表达式的话，我很明显应该看出 x 前面的系数是一样的，都是三分之一，对吧？哎，那同时呢，他们这三条直线与位置上有什么关系啊？很显然，三条直线是相互平行的， 对吧？所以这里啊，可以得到一个什么结论，是不是只要我们刚才总结过了，只要这个 x 前面的系数相同，那这个直线之间就是平行的这样一种关系，那如果反过来，如果直线平行，我们可以得到什么结论？那是不是同样也可以得到结论， x 前面系数也就 k 的值一定是相等， 对吧？哎，这就是我们得到的第一个结论啊。我们一起来看一下两条直线， y 一等于 k 一， x 加 b 一， y 二等于 k 二， x 加 b 二，如果他们平行，我就可以得到 k 一是等于 k 二。当然还有个情况就是 b 一是不能 等于 b 二，如果你两个 k 值也相等，两个 b 值也相等，那他不是平行，他是重合了，对吧？哎，所以这里要加上一个 b 一，要不等于 b 二。同时，如果说给你表达式当中告诉你了， k 一等于 k 二， b 一不等于 b 二，那么我们反过来也同样成立，这两条直线就是平行的， 这是我们得到的第一个结论啊，我们看第二个啊，直线一和三，哪个是一啊？这个是一对吧？哎，一就蓝色的和橙色的可以看作由直线二进行怎样的平移得到， 也就红色的，他怎么样平移能得到这个橙色的？又怎么样平移能得到这个蓝色的？很显然呢，他如果向上平移，是不是就可以得到 这个橙色的了？如果他向下平移呢，就可以得到蓝色的，对吧？那平移几个单位长度呢？往上平移这个这段距离是一啊，对吧？那很显然，他向上平移一个单位长度，是不是就与这个 橙色的融合了，对吧？所以我发现啊，向上这样我写在这里啊。向上，哎呦，换个颜色吧啊， 向上一个单位，那么我观察表达式是有什么特点？是不是在这后面加了一个一啊，对吧？哎，就加了一个一。 如果你向下平移一个单位呢？那是不是跑到蓝色的直线上面去了？而观察表达式呢，是不是就在后面减去一个一就可以了，对吧？哎，这我们就可以总结一个什么规律，如果你是向上平移一个单位长度，那就加一，那如果是两个单位长度啊，应该就是加二， 对吧？哎，向下也是同样，你如果向下平移一个单位长度呢，就是减一，哎，向下平移两个单位长度呢，就是减二，哎，这就是我们图像啊，通过上下平移与他的表达式之间的一个关系，我们一起来看一下啊。对于直线 y 等于 k x 来说啊，你如果把它向上平移，这里是 h 个单位长度啊，这里 h 是大于零的，那么得到直线呢，就是在这个 k x 后面啊，加上一个 h 就可以了。如果你向下平移 h 个单位长度呢，就是用 k x 减去一个 h 就可以了，这可以减去成什么呢？上加下减， 对吧？哎，具体加多少减多少呢？那你就看你平移了几个单位长度吗？对吧？哎，这样就可以了，这是把这个函数图像啊，进行上下平移与他的这个表达式之间的一个关系。好，接下来我们看一下， 有同学可能也发现了，为什么呢？我好像不单单可以通过上下平，我把这个蓝红色的这个直线呢，好像向右平移三个单位长度也能得到蓝色的， 同时呢，我把它向左平移三个单位长度也能得到橙色的，这个是不是涉及到一个左右平移的一个问题，对吧？哎，不管向左平移 还是先要平移，都是三个单位长度，但是呢，我们观察表达是你在后面加一啊，对吧？哎，加一和减一好像跟三是不是没有什么关系啊？ 哎，那这里我们又应该怎么样去考虑呢？我们观察一下这个函数这个表达，是啊， y 等于三， i 三分之一， x 加一，我如果给它变形一下，我是不是可以写成这样？ y 等于三分之一，我把它拿出来，把那个 x 和一啊放到括号里面，那它是不是应该变成 x 加三了， 对吧？哎，第三条直线啊，这个他是不是也可以写成他呀？哎，那这后边这里是不是有一个三了？那他跟我们这个平移三个单位长度是不是应该有一些关系了，对吧？哎，所以就说什么呢，当我们向左平移的时候， 我在 x 上面加上一个三，那如果 x 前面有系数怎么办呢？我就把 x 加三给它括起来就行了，对吧？所以这里我就得数向左平 移，向左平移啊，三个单位，我呢加上三就可以了，但注意，这张三是给 x 加三的啊，前面的系数是保持不变的，所以这里要加括号。同时呢，我如果向右平移，我观察一下向右平移三个单位长度，得到的是蓝色的直线， 对吧？好，蓝色的直线表达式呢？是这个，那他呢，是不是又可以写成是三分之一乘以括号里面的 x 减三呢？ 对吧？所以呢，我如果向右平移三个单位长度怎么样？我其实就是减去三，只是我把 x 减三，对吧？你这个前面的系数还保留啊， x 减三要放在一个括号里面， 对吧？所以我是不是就这里又得出来一个左右平移的一个规律，对吧？哎，向左平移几个单位，我就加几，向右平移几个单位呢，我就减几，这是不就是左加右减呢，对吧？哎，只是呢，如果前面 x 有系 的时候，一定要注意要把这个 x 加几啊，要给他括起来，因为我们操作的是 x， 如果上下移动的话，就不用了，你直接在函数值后面加上几就可以了，对吧？因为我们这里操作的是那个 y， 左右平移的时候操作的是那个 x， 一定要记住啊这里，这是他们两个之间的区别，也是比较容易出错的一个点。好，我们一起来看向左平移哎， h 个单位， 那这得到直线就是 y 等于 k， 乘以括号 x， 加一句，哎，这里是加，如果向右平移 h 个单位长度，得到直线，就是 y 等于 k， 乘以括号 x 减 h， 这里是不是就是左加，然后右减呢？对吧？所以呢，关于这个异色函数平角，我们得到了一个这样的一个规律，上加下减， 左加右减。哎，但是距离操作的对象是不一样的，上加下减我们可以直接在函数值后面进行加减，如果是左加右减， 我们必须要针对 x 进行加减， x 前面如果有了系数，你就要把它放在括号里给他括起来，哎，你变化的这个必须也要乘以相应的这个系数才行，那个他说了，你的操作的是 y 等于 kx， 对吧？哎，那我如果想操作这个 y 等于 kx 加 b 怎么办？ k f 加上 b 怎么办，对吧？我把这个 y 等于 kf 加 b 进行左右上下拼，那又怎么办？加上 b 你就不用管他，因为他只是个长竖向。如果是把这个函数向上拼一个单位，我们根据规律上加下减，对吧？那你就直接后面加一就行了啊，如果下一个单位呢，就直接减一就行了，对吧？这个 b 你就直接无视他就可以了。 但是如果是左右平移的话，我们又应该怎么办呢？如果把这个 kx 加 b 向左啊，我看向左平移一个单位，我们根据公式跟这个口诀的话，左加右减应该是加，对吧？ 加呢，但是我们操作的是 x， 所以呢，它的表达式应该就应该变成 y 等于 k， 注意，怎么办？放在一个括号里面，对吧？哎，左把 x 加上一个，那这个加 b 怎么办？正常写下来就行了。哎，所以呢，把这个向左平一个单位长度得到的表达式就是这个这里，当然你可以把括号去掉，进行进一步的一个整理， 对吧？所以呢，这就是我们这个函数平移的一个规律啊。好，接下来呢，我们看一个这个 例题，将直线 y 等于二 x 加一，向右平移一个单位后，哎，那么其直线表达是应该是什么？根据刚才口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，向右平移，你要减， 哎，这里操作的是谁啊？因为他是左右，对吧？左右我肯定要操作这个 x， 所以呢，表达式应该是 y 等于二倍的，应该把 x x 减去一个一，对吧？哎，那这里就得放括号里面了， x 减一就得是这样的，那后边这加一怎么办？加一正常写下来就行了，对吧？这里可以给他进行一个整理，去掉括号，他应该等于二 x 减去一，所以呢，哎，这样平一个单位长度以后，表达是就变为了 y 等于二 x 减一。所以这个题啊，最后的答案应该就是 b 选项。 好，我们一起来总结一下今天所学内容啊。啊，学的就是这个依次函数的图像，我们用了两个课时的时间来进行学习。首先一起学习了什么是函数图像，哎，他的定义应该是什么？ 把一个函数字变量的每一个值与对应的函数值分别作为一个点的横坐标和重坐标，在直角坐标系当中描述相应的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图像。好，接下来呢，学习了画函数图像的一个步骤，对吧？ 我们用的是秒点法，哎，单步走，先列表，再秒点，后连线，连线的时候注意要用平滑的曲线进行连线。好，接下来学习了正比的函数的图像与性质，对吧？从以下几个方面，首先，它的形状经过圆点的一条直线，对吧？那经过象限和增点性呢，跟他那个 k 的正负是有关系？ 好，那一字函图像呢，也是这几个方面，对吧？哎，那形状呢，首先肯定也是一条直线，那经过的象线和增减性啊，这个是跟什么呢？跟 k 和 b 的这个正负是有关系的。哎，那个表格内容，大家一定要把它记清楚， 那么对于依次函数平移来说，那么总结一口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，上下移动的时候呢，直接操作的是 y， 哎，就直接在那个整个的表达式后面进行加减就可以了，如果左加右减的话，我们操作的是 x， 对吧？哎， x 前面如果有了系数，那一定要把那个呃加减， x 的加减呢， 放一个括号，哎，要把它系数藏在外面。好，那以上呢，就是我们啊今天这节课学习的主要内容啊，下次课呢，和大家一起来学习，进行一个习题的练习，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。