f(t)拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换是副理业变换的升级版，是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级副理业变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i o m a， g r 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数倒数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复理页逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把微分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了，因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个集值， 最重要的是他要求函数绝对可击，意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示他近似于一个正弦曲线。用复理页变换就能得到更简单的疲欲表达，看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递，放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线护理液变 换能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好的处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，在 把指数部分合并到一起是这样的。然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，它是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的模长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，复里叶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过须轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使复里叶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干代指数衰减因子的正弦函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变换没有复利业变换那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶倒数的拉普拉斯变换是这样的，二阶倒数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶倒数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程。求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样？关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。

这是接月函数 ft 等于一 t 大于等于零的拉普拉斯变换。小窗介绍的是他在描述简邪运动中作为外部激励函数展示的二维图像 对应视频。在本号的微分方程专栏和复利业变换专栏掌握本篇各个小窗里的内容，对理解本视频的三弟直观解释至关重要。 拉普拉斯变换在工程学、物理学和数学上扮演着非常重要的角色。拉普拉斯变换让我们能够评估一个系统的稳定性和频率响应。 拉普拉斯变幻还为我们提供了一种轻松求解微分方程的方法，把微积分变成了袋数。请大家注意，在本视频中有时间轴拖动的动画，时间轴代表函数输入，自变量替负平面代表两维的 ft 输出。如果再输入 s， 则还需要额外的两维，五维无法展示，所以 s 被设为无数负值中的一个定值，即当成常量。大家看到的螺旋线只是无数条线中的 s 等于此值的一条。 在本视频中，颜色表示一个函数的向位信息， 虚竖的向位，用旋转的白色线与正时轴之间的夹角来表示。 虚数的扶直，用旋转的白色线的长度来表示。这条线是 s 等于零点一加 i 时，函数 e 的 st 四方的图像。当 s 在负平面上任意取值时，对应无数条这样的螺旋线。 在 f， s 等于 s 分之一。这个频域函数中有时也叫 f 域，不存在时间信息，没有时间这个字变量。此函数的输入是一个虚数。虚数的十步和虚不值可以从两个坐标轴上读出， 落下的每颗珍珠代表一个负数。输入击中的点有两个含义，一是代表圆函数与饥函数乘积的积分函数， 二是代表元函数在拉普拉斯变换后输出的 s 与函数的值。此函数的输出也是一个虚数，他由图形的高度和颜色表示，高度由垂直于 于实轴和虚轴的一维轴给出，颜色则代表了第四维。图中每个点的高度代表输出的符值，颜色代表输出的向位。 图中现在看到这个拉普拉斯变换后的函数中，输出和输入完全相等，都为 s。 他的原函数是迪拉克 dlat 函数的一阶导函数，而这个拉普拉斯变换后的函数，他的输出等于输入的导数。前面说了，他的原函数是接月函数。 当 s 为何值时，这个频域函数存在，或者说圆函数的那个积分函数收敛在这里，当 s 的时步大于零时，函数存在。 这个例子中的函数，我们称之为频喻函数。与夏文中的 直遇函数对应， 十月函数就是时间的函数，此时大家看到的是接月函数 ft 等于一。 每个十余函数都有一个相关联的频域函数，他们之间的转换我们称之为拉普拉斯变换。 这种变幻很有美感，但是为了理解他，我们需要先谈谈指数函数的相加。 对于时间的函数来说，变量 s 永远相当于一个长数， ft 等于扶直乘以向位。 如果我们使 s 的虚步变大，白线的旋转会加快，频度会升高，而且幅值也会增大。 如果我们使 s 的时部变大，扶直会升高的比之改变虚步更快。 如果 s 的时部为零，这时是复立业变换，扶直会维持在虚步确定的直上，如果虚步不变，则扶直也不会改变。 我们把我们的函数乘上一个长数， 在这个例子里，不妨设这个长数为十数三， 不过这个长数也可以是一个虚数。 现在来看看，当我们像这样让指数函数相加会发生什么。 所有的波形都可以通过这种指数函数叠加的方式制造出来。 波形的拉普拉斯变换告诉我们每个指数函数要添加多 多少。 如图，我们画一条无限长的直线， 这条线可以在任何位置上。 当这条线固定在一个位置上，每一个这样的点就代表一个指数函数，而这些指数函数就是我们用来叠加生成波形的 复数。 s 就是每个点在实轴和虚轴上的位置。 对于这些点中的每一个，我们加上这个关于时间的指数函数。这里的 s 可以被视为一个长数，用前面大家看到的天上撒下来的珍珠来表示，这是 s。 取一个定值时 e 的 st， 四方的三为图像，一为输入，二为输出。 每颗珍珠放到指数函数异的 st 次方里，再都与一个虚数相乘，这个虚数便是拉普拉斯变换的频域函数的值。用这条珠链上的红珠子表示，红珠子对应图中在这个位置的高度和颜色，代表虚数的浮直和浮角。由于我们有 无穷多个点，每个点代表的是函数，这样的函数相加很容易变成无穷大，除非我们也乘上一个无穷小的数，也就是这些点的间距。 由于这些点的间距接近于零，所有这些指数函数的加和可以表示成这样， 我们将结果乘上图中的这个长数， 就得到了我们关于时间的元函数。这是拉普拉斯逆变换对应的积分，也叫布罗姆维奇积分或富丽叶梅林积分。梅林逆宫式是用线积分得到的实数 c 表示直线的未 位置是 s 的十步，十步不变，在虚步上积分。 由于 c 可以取无穷个值，这条线可以在无穷多个位置，所以有无穷多种方法来创造我们原来的波形，即得到无穷多个元函数。 如果我们把线移动到 s 的时部为零的位置，那这就是一个特殊情况。我们要只用正弦曲线来生成波形，就像复立液变换一样。小窗展示复立液变换的二维图像，与本三维图像描述的是 同一个数学场景，但小窗因为缺少时间轴而借用了副虚轴。动画表现的是一对角速度相反的信号相加，他的虚步互相抵消，只剩下十步叠加后的函数在十轴上震荡。 现在是两对角速度相反的信号相加的动画，小窗也是，但此时主画面的情况跟刚才不同，因为拉普拉斯变换的 s 十步步为零，虽然信号相加时把他的虚布抵消了， 叠加后的函数还是在实轴上震荡，但震荡幅度在发散，这时已经是拉普拉斯变换。小窗的情况则跟前面类似，还是复利液变换 s 时不为零，震荡幅度不会发散。 拉普拉斯变换比复理液变换更具有普遍性，因为用拉普拉斯变换，我们也可以将 垂直随时间变化的丧影曲线叠加。那如果反过来，我们已经知道了我们的波形是什么样的，怎样得到他的拉普拉斯变换呢？ 看如下的表达是，我们在长数 s 前面有一个符号， 将这个表达是乘以我们想要找到其拉普拉斯变幻的函数的波形， 在这里是接月函数。 ft 等于一 t 大于等于零，他的定义率在大于等于零，所以为负的情况可以引去。 在这个乘法运算的结果里，每一个时刻是一个用箭头表示的负数， 通过如下方程把所有的箭头加起来就是积分。 结果是一个用白色箭头表示的负数，而这个用白色箭头表示的负数就是我们的波形。再取值为 s 十的拉普拉斯变换。 如果积分的结果为无穷，我们就说在取值为 s 时，波形的拉普拉斯变换不存在。 这种情况是存在的。例如，当这个 s 的实布是一个很大的负数时， 这就是为什么在我们的例子里，当 s 的实布为负数时，拉普拉斯变换不存在。 当决定在哪里划线来恢复我们的原始波形时， 我们需要把它画在对于当前波形拉普拉斯变换存在的地方。

牛奶，紫牛奶。

拉普拉斯变幻是护理液变换的升级版？是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级护理液变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i omega 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数导数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复利业逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把归分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了。因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个级值， 最重要的是他要求函数绝对可击。意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如，在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示，它近似于一个正弦曲线。用复利页变换就能得到更简单的疲欲表达。看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递、放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线，复理液变 患能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好地处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，再 把指数部分合并到一起，是这样的，然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，他是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的膜长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，富里耶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过虚轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使富里耶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干带指数衰减因子的政协函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变幻没有复利业变幻那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶导数的拉普拉斯变换是这样的，二阶导数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶导数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程，求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样，关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。

大家好，这次我们来看一下这个用拉丝变换法来分析一个具体的电路，这个电路嘛，一般他是包括电阻、 电杆和电炉，那我们看电主的福安关系就这样了，对吧？ u 等于 r i， 这个 u 呢？ i 呢？都都用那个拉丝变换来表示，这这个都简单，那电杆呢？就是 u 等于 二五 di 除 dt， 这个呢是用到用到这个这个拉丝变换的微分性质，这个推出来是这个样子啊，这个也可以变成变成这个悠悠，这里也可以变成这个，这个是等效电路，我们看到这这个是这个的等效电路，你看我们看到这两端是 us， us 等于这个电压减掉这个电压，这个电压就这个这个因为这个是敢敢抗嘛，敢抗 烫就相当于电阻，电阻成这个电流就相当于这个电压，就就就这个电，这个是一个，这个是一个电压元，电压元，我们把这个电压啊剪掉这个电压，那就是这个电压了，对吧？ 这个电压的大小就是这个，他的方向是这跟这个反过来的，所以是这个电压减掉这个电压等于这个电压，这个就是把电流分成两部分，上面是一部分，下面是这这一部分，这个这是等效电路，这是电感的等效电，这个电容还等于 c d u 除以 d t， 这个这个 是用他的微分性质，这跟刚才的一样的一样。等一下，那么我们在这个电路里面要用到这个 k c l k v o 就是 k c 后铺电流定律和 k c 后后后后后伏了那个电压定律。我们来看一下这个电路，这个电路把他的那个方程列出 来就是这个样子，这里有一个电阻吗？对吧？这个这个电压就是 is 了这个电容，他的电压就是就是这个这个电杆电压就是这个，然后剩下的是这个这个这个电压，对吧？这个电 我们看这个电路就是把刚才的那个那个那个方程列出来，他他这这个这个方程就是这个样子， 这个样子，然后对方程左右两边分别进行拉普拉斯变换，就变成这个这个 u， 因为这个 u 是一个长数，长数的拉普拉斯变换，他是等于这个 s 分之一， s 分之一的这个自己看一下，求求一下就知道了。所以他他整个变换以后，拉普拉斯变换以后他是这个样子，然后再 再再对他进行那个求解，求解这个就就就这样解了，这样把那个几点求出来， 然后再啊再把它分开来，分开了，然后就得出了这个爱是这样的，这个就是就是这个这个这个求解的过程。然后我们再看第二个例子，这个就这样的一个例子，其实跟前面的那个差不多， 就是把他的那个电路方程列出来，然后求求出一个个这个把一个个起点求出来，然后再再把他的 ut 求出来，这个这个题目是求 ut， 这个题目呢是求电流，所以这个都是都是可以的， 这个电流是已知的，对吧？他要我们求的是这个 ut 哈，这个是已知的，所以求出来的结果是这个，那这一张还是相对简单的，他这个整个的那个拉 plus 变换呐，他其实就是为了解决富力液变换里面这个 ft 啊啊，不能， 不一定绝对可及的这样的矛盾，他就是在在这个基础上，在复利业变换的基础上啊，成了一个一个衰减因子， 成了一个这样的衰减因子之后，然后就强强制把这个 ft 变为那个绝对可及，这个就是拉克拉斯变换的根本意义所在。 同时呢，由于这个拉普拉斯变换的微分特性，微分特性和积积分特性和积分特性啊，这个微分，这个是积分特性，所以呢，这个拉普拉斯变换他又可以用于这个求解那个微分方程， 我们刚才分析的这个电路呢，这这样，这这这样的方程就是一个微分方程，我们就可以通过拉普拉斯变换的很方便的求解出来，利用他的那个微分特性和积分特性，这个就是 这些，这些这几点呢，就是那个拉普拉斯变混的主要特点和作用，就是跟那个富丽叶变混比较哈。 还有拉布拉斯变换分为双边拉布拉斯变换，好像是单边拉布拉斯变，那双边拉布拉斯变换他会出现这种情况，就是当那个向函数相同的时候啊，他收敛欲不一定相同， 所谓的双双边就是这个积分线负无从到正，无处，单边拉不拉丝，拉不拉丝边环，他就是从零到无处，所以一般呢，那个那个，因为这个时间总有一个起点，所以我们这个主要讨论的是这种单边拉不拉丝边。

这个 s 是什么？ s 等于 l f 加 l mag， 我们将其带入方程式中，再拆分指数项。 如图所示。当 l 发等于零时，本是与复利液变换完全一样。当 l 发不等于零时，本是就像是一个带有额外像的复利液变换。本质上，复利液变换是一个正弦波的扫描器， 拉普拉斯变换则不但扫描正弦波，还扫描指数项。扫描方法也是通过前面讲的面积， 设有函数 f t t 从零开始取值。拉普拉斯变换是这样，先像以前一样乘以 cosen， olagt 和 saomagt， 然后多乘一个指数相应的负 flt 次方。 两个柿子对应的面积的直就是前面讲的直角边的长度。举一个具体的例子，先绘制一个衰减的 cos omax t。 我们需要两条轴来作为拉普拉斯变换的输入，一个用于 omaga， 又名正弦曲线，另一个用于 l fr 叫指数曲线。 f 等于零和 omax 等于零时，则指数项为一，撒印部分为零， cocon 部分的积分为零点零五及福值。我们现在不画输出图，所以把零点零五先系到输入轴边上，方便理解。我们保持 l f 不动，改变一下 omag， 这会将输入点沿虚轴向上移动。我们观察面积如何变化。 当 omex 等于三时，再次捕捉到左上图像，所有面积都升到 x 轴上方，没有负面积的抵消。因此扫描仪在原始函数中找到了 coson 三 t 的成分，但是 他的积分是一点零一，一个有限的值。我们其实期待在这里得到一个无限大的面积。一点零一的值跟前面的那些值的输出没有什么特别之处，于是我们现在开始改变 f 的输入值，先把正弦方程删除掉， 因为三 a 三 t 乘以 cos 三 t 的积分在零处震荡，相对来说可以忽略不计。一旦我们达到 f 等于负零点五，指数衰减就消失了，因为两个指数相约掉了。我们终于得到了期待中的无限大的面积。 无限大的面积意味着我们的扫描仪不仅发现了正线曲线，而且还发现了 ft 的原始函数中的指数项及他的系数。 只是别忘了，指数项还有个符号。强调一下，在图上画出这些无限大的面积的点是我们最关注的事情之一。 我们把他们用 x 标示出来。对于那些需要了解零点图和几点图的同学来说，实际上只需找到几点，并查看相关的 y 坐标和 x 坐标，因为那些坐标会告诉我们方程中的正弦曲线和指数，几乎所有想知道的信息都在里面。 相对几点来说，图上的大部分区域的值是有限值或接近于零，这些值对我们的目的来说并不重要。该图如此有用的原因是因为许多系统，如 rlc 震荡电路，弹簧震子的简邪运动， 还有通用控制系统等都会产生正弦和指数输出。所以我们需要一个比富丽叶变换更强大的拉普拉斯变换来再次分析这些。有一个关于拉普拉斯变换的完整视频，包括可视化的三 d 动画， 大家可以参照观看。在本专栏里，拉普拉斯变幻与富丽叶变幻的扶植图和几点零点的意义，我们下期视频再见。

同学们好，我们今天讲拉布拉斯变换与反变换， 第一节呢是拉布拉斯变换的定义，那这个呢是一个数学的一个课程，属于积分变换的里面的一个内容，那么拉布拉斯变换法呢， 他的核心呢是把时间的函数跟复变函数来进行联系起来，大家注意看到这个符号时间函数呢是 ft 关于时间的一个关系，而他呢跟这个复变函数，复变函数呢，他是 f s 大写的 fs 这样连起来，那他是把食欲的问题呢，通过数学变换来变换成个富平域的问题。 那我们前面呢，动态电路的十一分析里面呢，有一些呃高阶的不用方程，比如说二阶不用方程，三阶不用方程等等的，那么他就可以变成关于平域上面的一个代数方程来进行求解， 也就是说呢，通过这个拉布拉丝变换，我们实际上呢是可以把高阶的微风翻整的，那么给他进行简化，简化成带出方程，这样子的来求解的时候呢，就比较容易一些啊。因此呢，我们利用拉丝变换法进行电路 分析，他就成为了电路的富平与分析法，又称为运算法，大家注意看到这个名词叫运算法，那我们后面呢就会介绍这个运算法在动态电路当中的一个分析。 那首先呢，我们先介绍一下拉普拉斯变换，我们常见的一些变换，比如说像对数变换，那么可以把乘法的运算变成简单的加法运算，这个是对数运算， 也有呢我们电路当中所学到的项链法，那么他可以把食欲下面的政权运算呢，变换为 不速应算，那这个经过一定的变换，那么对我们分析问题来说呢，有一定的简化，所以我们拉布拉斯变换法呢，那么是把十亿下面的原函数 跟平域下面的下函数做一个对应， 那么具有多个动态原件的这种普杂普杂电路呢？它的电路方程肯定将会超过二阶，那么我们前面已经分析过二阶电路了，它的 解呢是比较复杂的一个解，所以利用拉布拉斯变化法， 它可以通过积分变换，可以把已知的十余函数变换为富平余函数， 那么就得到一个代数方程，关于富平域的一个代数方程，代数方程求出来他的一个富平域下面一个解以后呢，再进行反变换 啊，这面有拉拉普拉斯反变幻，可以回到原来的食欲下面，那这时候呢，就可以得到满足我们电路初始条件的原来的威风方程的解啊，整个过程呢就是这样子的， 首先我们列写一个食欲威风方程，然后呢对这个方程呢进行拉普拉斯变换，得到一个 平域下面的带出方程，那这个带出方程呢？求解出来以后，他的解呢？来进行拉式反变换，然后得到最终食欲下面的解啊，这个就是一个呃 运算法，它的一个分析的过程，它的优点呢，就不需要去确定积分的长数，也不需要 建立啊，或者是求解这个无人方程，这个使用于高阶复杂的动态电路。 好，我们看一下具体的拉斯拉普拉斯变换和反变换的定义，我们定义呢，在零到正无穷期间，这个时间函数 ft 呢？他的拉布拉拉布拉斯变换式是这样一个关系式，一个是他的正变换，上面这个是他正变换的红色 fs 呢，等于 ft 呈上 e 的副 st 之咪，然后对整项呢，从零负到正无穷进行积分啊，对 t 进行积分，这个是大巴士正变换， 反变化呢，也有相应的四指，那这个反变化呢，不是我们重点掌握内容，我们重点掌握内容呢，是正变化， 那这边的话呢，是对一个十一的函数呈上一个指数函数，然后呢一个积分的关系式减写呢，我们可以写成 fs 等于 lft， 那如果是反变化的话呢，就是 l 上面呢，上标写一个负一 f s 啊，大 s， 大写的 f s， 注意看这个大写和小写的关系， 那这里面呢，所对应的 s， 我们把它定义成叫做复频率，复频率呢，具体是等于可 c 加上 jome 感这样一个复频率的， 那需要注意他的积分域，我们积分域呢，有从零负开始，那这个是叫做零负的拉屎变化，那我们基本上我们讨论的都是从零负开始，那这样零负开始呢，有个什么好处呢？他就可以涵盖了零负 复到林正以及林正到正无穷之间的一个关系。这个主要是涉及到什么东西呢？涉及到函数呢？如果是冲击函数的时候，那这时候呢？林副到林正，那么他去解的话呢，是可以解出来这样有关系的 啊，这个是第一个注意事项，第二个注意事项呢，就是这个下函数它存在的条件， 那么这里面呢，我们定义的对 ft 乘三亿的副 st 之谜，它的绝对值，从零负到正位重新积分，它是原小小于这个胸大的， 那这时候呢，就存在了一个有限的长数 m 和 c， 使得函数呢 满足这种关系， ft 的绝对值小于等于 m 乘在 e 的 ct 次咪啊， t 是在零到重从期间的大一点零的， 那因此呢，我们把这个积分一下， 最终得到一个积分的式子，就等于 m 除以 s 减 c， 那么这时候呢，就表示说 ft 的拉丝变换式 fs 呢，总是存在的，因为呢，总是可以找到合适的一个 s 的值，使得上面这个式值呢，积分是有限值， 比如说不会去无穷大。 第三个是我们非常注意的一个内容，就是下函数，他都是用大写字母来表示的啊，上面也不带点， 比如说电流 i， 那么就是大写的 i， 大写的优 原函数 ft 呢，用小写字母来进行表示啊，用小写的 iu 来进行表示。好，大家注意看以后呢，我们这里面的这个下函数括号里面呢是 s， 括号里面是 s， 表示呢，它是一个富平域上面的一个函数关系啊，那接下来我们来看一下典型函 数的拉丝变换，那主要呢，就是通过这个拉丝这边换，这边换的一个关系式来进行分析，比如说第一个单位的接函数的下函数， 那这时候呢， ft 呢，等于一不小心，我们对这个一不小心呢成善意的副 s t 之咪，然后进行从零负到正不从进行积分，那这时候积分的关键是呢，就等于 啊，因为 t 大于零，以后呢，这个一不小 t 呢就等于一，所以就是一乘三一的负 s t 之命。 那么把这个进行积分的话，就等于负的 s 分之一，乘上 e 的负 s t c m 从零负到正无穷经得到了他的一个关系值，因此呢，最终的值就等于黑十分之一，那也就说单位级的函数，他的下函数呢，就 等于 s 分之一。那如果是单位冲击函数的话，一样的把这个单位冲击函数呢，给他带到这个正面换的第一次里面去，那我们 这个从今而数呢，只有在零负到零正之间有他的一个关系时啊，有他的就值，因为零正以后呢，他等于零了啊，所以就是等于零负到零正之间的这有一个关系值， 那么零分到零证之间的时候呢，他是等于一的啊，所以这个他的积分呢，就最终就等于一，因此呢，单位冲击函数，他的下函数呢，就等于一。这些这个结论呢，需要大家记住， 指数函数 e 的 at 痴迷， e 的 at 痴迷呢？因为在我们食欲下面，这个 是非常重要的一个函数关系啊，所以我们把这个他对应的象函数给他求解一下，一楼 atsp 带进去，那么这个时候呢，他的结果就变成了， e 的负， s 减 a 的差值呈上 t， 是咪？然后呢，前面呢一个系数就是负的 s 减 a 分之一，然后呢，令他从 正无穷到零负进行取值，最终的结果呢，等于 s 减 a 分之一 s 减 a 的导数，那也就说呢， e 的 比如说 e 的负二 t 之咪，它对应的下函数是什么呢？那这时候他对应的下函数， 那就是 s 加二还减二， s 加上二分之一，这个就是他的一个呃， 下函数啊，那下函数 e 的负二 t 次咪就是 s 加二分之一，反过来你要能够知道， s 加二分之一，他的这个原函数就是 e 的负二 t 次咪 啊，这个是相当于有一个拉丝正变换，跟拉丝反变换有关系。 第四个时长数的一个下函数，一个 k 值， k 值存进去，那么这时候呢，拉式变化呢，就等于 s 分之 k， s 分之 k， 那也就说呢，如果一个时数 他是等于二，那这时候呢，他对应的这个向上数就是 s 分之二啊，一对应的向上数就是 s 分之一啊，五对应的他的向上数就是 s 分之五 啊，这个用在什么地方呢？这个用在呃，电源，电压源，电流源上，直流的电源上啊，比如说这一个直流的电压源，他是十伏的一个电压源，那这个时候呢，要 用运算法来分析的话呢，那么他的一个什么呢？他的下函数就等于 s 分之十， s 分之十啊，就是需要注意，这是时长数啊，最后一个单位延迟接函数英雄替减大 t 的一个下函数，那这个延迟函数呢？我们把这个具体的一个关系呢列写出来，那么把它带入到这个拉丝正面换的四指名去，最终的值就等于 s 分之一，乘上 e 的负 s 大 t， 这个是延迟结函数，那这个呢，大家简单的看一下就可以了，这个用的倒是不多， 那么因此呢，这么有个推论，那么对任何一个函数进行延迟的话呢，那么对视就是对任何一个下函数呈上一个亿的负 s 大 tc 啊，这样一个关系， 像这个呢，呃，用的不多哈，大家简单看一下就可以了。最终我们小结一下，什么是拉丝变换， 什么是拉丝反变换，什么是原函数，什么是下函数，两者之间有什么关系？那么拉式变化呢？就是已知原函数求下函数的这个过程就叫拉式变换，而已知下函数求原函数的过程呢，那就变成拉式版变换。 那么我们所对的原函数指的就是这个食欲下面的函数用小写的字母来表示，而下函数呢，它是一个富平原函数，用大写字母来表示 原函数的拉丝变换就得到下函数，而对下函数的拉丝反应换最终得到的就是原函数，这个他是他们之间的关系。

我们再来看这道题啊，求下列各项函数的拉布拉斯那边换。这道题他没有给我们收敛欲，但这道题呢，他是默认当成了这个单边的，也就是右边的啊， 他的收敛欲在最右侧极点的右边，最右极点的右边，哎，就是这样啊，如果说这有个极点，他是这样的 好，如果考试的时候，他一般会明确这个手链，如果考试他没给，那我们要讨论。好吧，那这道题呢，我们就暂且当做他是这个一个因果的信号去做。 第一问， s 加二乘上 s 加四分之一，哎，对它进行部分展开，两个单根 拆成两项，就 s 加二分之 a， 再加上 s 加四分之 b， 所以 a 就等于把负二带到这个里面来， a 等于负二分之一， a 等于二分之一 啊， b 呢？ b 把负四到这个里面来， b 等于负二分之一，对吧？啊，所以，哎，我们得到它是等于 二分之一， s 加二分之一的，减去 s 加四分之一，对，它求反面换啊。假设它是个因果的，我们直接可以求来就是二分之一乘上一的负二 t 再减去的负四 t 乘 ut。 第二个，诶，一样的啊，它也是真分式，所以我们也可以直接给它展成两项啊，是真分式啊，你看分母的 介词，高于分米的分子的介词，如果他不会的话，在公众号通讯卡小马哥后台回复部分分式啊，去补习一下这块的知识。 现在就是 s 加二分之 a， 再加上 s 加四分之 b 啊，同样的方法，我们能求出来啊，它这个是 b 是等于二的， a 是等于负一的啊，所以它这个结果就是 s 加二分之负一，再加上 s 加四分之二，哎，所以去反面换，它就是二倍的 e 的负四 t 再减去 e 的负二， t 再乘上 u t， 好，让我们再来看第三个。呃，第三个，它是个假分式，对吧？它假分式，它分子和分母结实相同，所以我们需要给它 拆出来啊，这个，这个非常好拆，要不然你可以用长除法这么拆啊。加二，这是一，这是 s 方加三， s 加二，这就是 s 加三，对吧？所以他就是 可以拆成一加上 s 方加三， s 加二分之 s 加三， 对吧？然后再给第二项进部分展开，就是 s 加一，乘上 s 加二分之 s 加三，它可以拆成 s 加一分之 a， 再加上 s 加二分之 b 啊，然后， 呃，算出来啊，直接代值算出来就可以，它就是等于 s 加一分之二，再减去 s 加二分之一。别忘了这块还有个一啊，再加回来，再加个一加一啊，加一啊，给它进行反变换，它就是 二乘上一的负 t 乘 ut， 再减去一的负二， t 乘 ut， 再加上得 t 啊。好，这是第三问， 让我们再来看第四问。哎，第四问，他是个假分式啊，分母的接次大于分子的接次啊，是个真分式啊，是个真分式，所以我们可以直接不用分式展开， s 乘 s 加二，再乘 s 加三分之 s 加一，乘上 s 加四，直接可以拆成三项，三个单根三项。 s 加 a 分， s 加 s 分之 a 加上 s 加二分之 b， 再加上 s 加三分之 c 啊，然后分别求与 b， c 很好求啊！ a 就是把 s 等于零带到这个里面， b 就是把 s 等于负二带到剩下的这个，这一项， c 就是把 s 等于负三带到这个里面， 所以 a 啊，我们求出来， a 是等于 a 等于一，是吧？ 看一下啊，不对， a 等于三分之二啊， a 等于三分之二，然后呢？ b 等于一， c 等于负三分之二啊，所以它就是 s 分之一乘上三分之二，再加上 s 加二分之一，再减去 s 加三分之三分之二 s 求反面换 三分之二乘 u t， 再加上 e 的负二， t 乘 u t 再减去三分之二乘上 e 的负三， t 乘 u t。 好，由于这道题我们默认他是个因果的啊，所以就不讨论他的瘦脸预告考试中你要讨论的。然后我们再看第五个啊，第五个他是 s 乘上 s 方加 四分之二， s 加四，这个之前就讲过了，我们给他呢，因为他这项是福根，福树根啊，福根的话就直接给他成为一项就行了，因为我们要配凑什么， s 方加五，每个方分之五每个，或者 s 方加每个方分之 s， 配错这两项，是吧？所以给它拆成两项， s 分之 a， 再加上 s 方加四分之 b， s 加 c 啊，我这有的书上啊，他是给他就给他拆成那个符根去做的，我不建议大家那样做啊，比较麻烦。那我算一下吧，这个 a 呢？哎，他就是把 s 等于零带到这个里面来，他就是一， a 等于一，是吧， s 等于零带到这个十字 啊，所以就是 a 等于一，然后 b 和 c 呢，只能用通分列向不合并的方式啊，它这个分母都 是一样的，乘上 s 加四，然后把它通分，就是 a 乘上 s 方加四，然后再加上 s 乘上 bs 加 c， 对吧？我现在看最高阶 s 方的系数，这一项贡献的系数是 a， 这一项贡献的系数是 b， 所以 a 加 b 等于零，对吧？因为 x 方 左边是不存在 s 方的，我们两个对应相等嘛啊，然后再看这个 s， 一四米啊，一四米，我发现第一项没有一四米，第二项呢？一四米的系数是 c 啊，一四米，我发现 c 是等于二的，是吧？ c 等于二 啊， s 我们就求出来了啊， a 等于一， b 等于负一， c 等于二啊，所以就可以把它写出来，它就等于 s 分之一，再加上 s 加四分之负 s 再加二，对吧？啊哎，然后你看啊， 它直接是我们标准型啊， s 分之一，再加上 s 方加四分之 s， 前面负 s 啊，然后再加上 s 方加四分之二，哎，这不什么， s 方加我们一个方分之 ss 加上 s 方加我们一个方分之 omeg， 对吧？随着它反面换， 就是 u t 再减去口三音二 t 乘 u t， 再加上 say 二 t 乘 u t， 对吧？啊，哎，这就是这道题的一个结果啊。好，我们再来看这六个，这六个，这里书上是减四啊，这打错了啊，它是 s 方加一还是 s 加一啊？ s 加一的乘上 s 方减四啊，分之 s 方加四 s 啊， s 方减四啊，然后呢，我发现 s 方减四它可以还可以再因式分解，它就 s 加一乘上 s 加二，再乘上 s 减二，对不对？给他分成了三项啊，然后分支 s 方加四 s， 我发现他还是一个真分式啊，三个单根，所以给他拆成三项，就是 s 加一分之 a， 再加上 s 加二分之 b， 再加上 s 减二分之 c 啊，然后呢， 看啊，这个 a 呢，哎，就直接套那部分展开公式啊， a 就是把 x 等于负一带到这个里面来啊，然后求出这个 a 是等于一的 啊，然后 b 是等于负一啊，然后 c 等于一啊，所以我们结果就是 s 加一分之一，再减去 s 加二分之一，再加上 s 减二分之一，它的反面号就是 e 的负 t 乘 ut， 再减去 e 的负二提成 ut， 然后再加上 e 的二， t 成 ut。 啊，你你会看到有的答案呢，他给他化成双曲正弦的形式了，但是我觉得没有必要啊，就这样写就可以啊。 好好，我们再来看一下下一道题啊。第七个，它是 s 乘上 s 减一的平方分之一，也是一个真分式，所以我们给它拆成 啊，这是单根拆成一项 s 分水，这是二重根啊，还不带负根，所以拆成两项，就是 s 减一的平方分之 b， 再加上 s 减一分之 c， 对吧？啊，然后呢，用部分展开的方法，我们很很快的就能求出来 a 和 b 的值。 a 的值就是把 s 等于零带进去啊，等于一 b 的值呢，把 x 等于一带到 x 等于零，是带到这个里面啊，然后 b 是 x 等于一，带到这个里面， b 也等于一啊，然后 c 呢？用通分列项不合并的方式啊，把它分母分子写出来，它就是 a 乘上 s 减一的平方，加上 bs， 再加上 c 乘上 s， 再乘上 s 减一啊，然后找他最高阶，我发现这一项贡献最高阶是 a， 这一项贡献最高阶是 c， 所以 a 加 c 等于零，对吧？因为这块 s 方的系数是为零，所以说我们 c 求出来了， c 等于负一，这样是最快的方法啊，所以，哎，我们就求出来了，它是等于 s 分之一，再加上 s 减一的平方分之一的减去 s 减一分之一，哎，对他进行一个反变换，那就是 ut， 然后 s 方分之一是什么？ t 乘 u t 加上 t 乘 u t 乘上一的，这什么 s 欲是减，所以呢？在食欲就是乘一的正的题，是吧？乘一梯啊，然后呢，后面这项就是减去 s 分之一啊， s 分之一是 u t 啊，就是 u t 乘上一的 test me 啊，好，这就是这一问的结果。好，我们再来看下一问啊。 下面一样呢，是 s 方乘上 s 加一分之一，它也是一个真分式，所以给它拆成 s 方分之 a， 再加上 s 分之 b， 再加上 s 加一分之 c， 这个 a 和 c 啊，就这个重根的最高阶啊，它这个系数我们很快就能求出来。 a 是等于什么？把 s 等于零带到后面的式子里面就是，其实什么？就是 s 方乘这一坨吗？然后 s 方乘我们原式，然后另 s 等于零，其实就是什么？忽略 s 方这一项，把 s 等于零带进去等于一啊， c 也可以这样用这种方法求出来。把 s 加一忽略掉啊，把它等于负一带进去， c 也等于一啊，然后 b 呢？通分列项不合并，我们来写出来，就是 a 乘上 s 加一，再加上 b 乘上 s， 再乘上 s 加一 啊，然后呢？加上 c 乘上 s 方啊，分母的是 s 方乘上 s 加一， 对吧？把它写成这种形式，然后找到最高阶，最高阶这项是 b， 这项是 c， 所以 b 加 c 等于多少等于零？因为前面最高阶是零啊，所以这个 b 呢，就等于负一啊，所以我们求来了 这个它是结果就是 s 方分之一，再减去 s 分之一啊，然后再加上 s 加一分之一，哎，对它进行反变换，它就是 啊， s 方分之一是 t 乘 u t， 所以就是 t 乘成 u t， s 分之一呢，是 u t 的减 u t， 然后 s 加一分之一是加上一的负 t 乘 u t。 好，这是这一问的结果， 那我们再看下一问啊，是这样的啊，他那个分母呢？他是 s 方加二， s 加五啊，我们看这个东西可以化解一下，他可以写成 s 再乘上 s， 因为我们要求它的根呢，看它是符根还是实根， s 加一的平方，再加上二方，对不对？是不是就这个分母啊，然后分子是 s 加五，哎，我们知道带符根的，我们给它整体看成一项就行了， 所以我们拆它的时候给它这样去拆。 s 分之 a 是以下，然后这个另外这个的整体是以下，就 s 加五分之 b， s 加 c， a 很好求 a 直接忽略到 s， 把这种零带进去，它就是等于一的，是吧？然后 b s 加 c 呢？这个只能通分列项不合并啊， 最简单的方法啊，你用其他的求导的方法都比较麻烦啊，还容易错，所以就是 a 乘上 s 方加二， s 加五，因为求导你可能会遇到复合函数，大家记住啊，然后 bs 加 c 呢，这是乘上 s 对吧？啊，所以让我们看我们找他最高阶 s 方的系数是什么？是 a 这边贡献的是 b， a 加 b 等于多少等于零啊？马上把 b 求来了，然后 s 一的一 s 一私密呢？我看 s 一私密，这项 贡献的系数是二， a 这项贡献的系数是 c， 所以二 a 加 c 等于一，是吧？因为这个 s 的一次密是等于一的系数啊，所以我们求来了这个 b 呢，是等于负一的， c 呢 啊， c 等于三的是吧？ b 的啊，我看一下啊， c 是等于负一， c 等于负一啊， b 等于负一， c 等于负一， 因为这个大家看这个 c 是等于一减二， a 啊， c 等于负一啊，所以说得到 a 等于一， b 等于负一， c 等于负一，所以它这个结果就是 s 分之， a 再加上 s 方加二， s 加五分之 负 s 再减一，对吧。哎，然后啊，我们把这个 s 方加 s 加五啊，给它写成我们刚刚在最开始化减的这种 形式，就是 s 加一的平方再加上二方这种形式啊， 啊，加上二方，然后你很清晰可以看到什么呢？这上面是不是就负的 s 加一啊？ s 加一， s 加一，太好了，同意了，所以它其实就是什么？就是， 哎，如果说有一个 s 方加我们一个方分之 s 的话，他就想把所有的 s 变成 s 加一，就是一个 啊，平移啊， s e 位是吧，这大家求反面话呗，第一项 s 分之，也就是 a 乘上 u t， 第二项呢，它是这个什么？就是口散加上口散二， t 乘 u t， 然后 s e 位 啊，这个就是乘上一个一的负题，别忘了这块还有个符号，所以这是前面应该是减号，这块应该是减号啊， 好，所以这个结果就是 a 乘上 u t， 然后再减去 e 的负 t 乘口下沿二 t 乘 u t， a 是等于一的，把 a 等于一带进去啊， a 等于 e， 好，这道题的结果啊，然后我是不建议大家用什么求求复根的方式去做啊，就这种方法最简单最快的方法 好，然后第十题啊，哎，这个第十题我们看啊，它是 s 方加四的，平方分之 s 方减四， 那这个我们肯定就联想到这两个东西，一个是 s 方加我们一个方分之 s， 一个是 s 方加我们一个方分之 omeg， 那我们看这俩东西哪一个 个能得到他呢？哎，一看就是平方嘛，一定是跟求导有关系，哪一个求导能得到他呢？我们就分别求一下呗。求第一个啊，第一个的导数等于什么呢？等于这个 u 撇位减位撇位位撇优，再除以 u 方是吧？啊，这就是。呃， u 撇位就是 s 方加四，再减去 这个微撇右，然后 s 再乘上二 s， 对吧，然后呢，再除以 s 方加四， 哎，它等于 s 方加四，然后这是四减去 s 方， 是吧，还刚好跟他一个形式，这个就不求了，这个这个，你求来的，发现分子跟他不相等啊。啊，发现这个东西求导就是负的这个东西，是吧？啊，所以我知道了，可以写成 s 方加四 分之 s， 求导的填个符号，这是什么呀？这不就是十这个 s e v 分吗？ s e v 分啊，代表十 e 乘上一个 t 是吧？啊，所以里面这个东西，如果它的反面换是口塞 r t 乘上 u t 的话啊，那它整体的一个反面环就是 t 一乘上口线 r t 乘 u t， 对吧？啊，这就是这一问的结果啊，好，那我们再来看下一个，下一个是的三次 me 啊，它是什么啊？那这个很简单是吧？ 这个三次密啊，我们也要给它进行音式分解，但这种题音式分解啊，有的人说很难哦，看不出来啊，这种题没有快捷方法，我们只能去试数试哪些数呢？是零正负一，正负二，正负三， 一般就是零正负一就搞定了啊，就是拿一点正负二正负三呢，我还没见过这么粗的啊。所以呢，这个我们先试根，用试根法试出他的一个根 啊，我发现啊，这个当 s 等于负一的时候，它这个分布等于零，所以 s 等于负一是个是它的一个极点，所以呢，我们利用常除法， s 方加二， s 方加二， s 加一，我除 s 加一就除它一个根啊，让它得到这个上面是 s 方加上 s 再加一啊，这我给大家再好好写一下过程吧。长除法啊，这是，哎，这是 s 方， s 方长过来是 s 三次 me 加上 s 方， 下面呢是 s 方加上二 s 再加一，然后呢，这个地方就是加上 s， 对吧？长 s， s 过来就 s 方加 s， 然后这上面就是 s 加 一啊，这边是加一，哎，所以它可以拆成 s 加一，再乘上 s 方加 s 再加一的形式啊，再分之一，对吧？啊，然后，哎，这个这个地方啊，它是带浮根的啊，所以我们还可以再给它去找它的根呐， 第一项的根是 s 等于负一，第二项的根呢？是它是你用求根公式你可以求出来，它是负二分之一加上之一，二分之三。我们说了，遇到副根的话，我们就给它看成一个整体，往口三和三眼去凑啊，它是什么？它是 s 加上二分之一 平方再加上四分之九，对不对？看一下对不对啊？展开刚好是 s 方加一再加上 s 啊，所以就是可以拆成，呃，他就可以写成这样， s 加一乘上他再分之一，对吧？ 像这样，然后我们给它部分展开，给它形成两项，第一项是 s 加一分之 a， 第二项呢，是 s 方加 s 加一分之 b， s 加 c。 用我们刚刚的方法，我们求啊，这个 a 呢，就是 s 等于负一，带进去 大件除了 s 加一这一项啊，它就是一减一，再加一等于， 这个等于刚好等于一啊。 b s 加 c 呢，只用通风列向不和平的方式，它就是 a 乘上 s 方加 s 加一，然后再加上 b， s 加 c， 再乘上 s 加一啊，然后这个 s 方的系数就是 a， 这项关系的系数是 a， 这项关系的系数呢，是 b， 所以 a 加 b 等于多少？ a 加 b， 我们发现它等于零的，因为这个分子上面没有 s 方的系数， 然后，所以我们求的是就很快就求出 b 了，对吧？然后它还有个 c， 所以我们再看 s 的一次米， s 一次米，这一项贡献的系数是 a， a s 嘛？第一项贡献系数是 a a s， 然后第二项贡献的呢？ a 是，是 b 加 b 啊，然后这儿还有一个再加 c， a 加 b 加 c 等于多少？这个是 s， 一四米也等于零是吧？啊， 对吧？那如果你不放心的话，那其实我们这个用最低截更简单啊，最低截的话，这是 a， 第一项贡献的是 a， 第二项贡献的是 c， a 加 c 等于一啊，所以我们一下就能求出 c 啊，所以就用这种方法求来的话，是 b 是等于负一啊， c 呢？ c 等于零是吧？ c 等于零啊，就这用随便选两个方程都能求出来啊，这三个方程就可以当做验证，所以这种方法 非常的准。这种球来 a 等于一， b 等于负一啊，所以我们就给他写出来啊，他是等于 s 加一分之一，然后再加上这个是 s 方加 s 加一分之 b 等于负一，就是负 s， 对吧？啊？然后你给他写成这种形式，把分母给他写成 s 方加每个方的形式啊，他就是 s 加上二分之一的平方，再加上四分之九，哎，这边呢？哎，你只要一把所有的 s 先统一，这边就是负的 s 加二分之一，再减二分之一就行了。把减二分之一拿出来，它就是 加二分之一，再加外层再加二分之一，对不对啊？哎，所以我们就把它配凑成这个样子了啊，那这样子我们往 往哪去凑呢？往 s 方加每个方分之欧美一个，或者 s 方加每个方分之 s 上面去凑啊，所以它是第一项，就是 第一项很简单。 s 加一分之一吗？第二项就是 s 加二分之一的平方加四分之九，然后上面呢是负的 s 加二分之一， 然后呢？再加上什么？ s 加二分之一的平方加四分之九，哎，这个什么，这应该是往二分之三上面去凑啊，再乘个三分之一就行了，所以它的反面换就是 e 的负 t 乘 ut， 然后 再减去口 say 二分之三 t 乘 u t， 然后再乘上一个负二分之一 t， 对吧？就 s u e 位嘛。啊？然后这一项呢，是加上 say 二分之三 t 乘 u t 啊，然后再乘一个 三分之一，对吧？啊，好，这就是这一问的结果啊，就是这一问的结果。 然后我们再来看最后一问啊，最后一问，这个也是啊，他到三次了，对不对？我们试根法，我们也就能试出来 零正负一去四，刚好这个负一就是他的根，所以他就可以长除法给他除开，他就是 s 三四米加上 s 方加四， s 加四，除以一个他的根就是 s 加一，然后得到这个上面就是 s 方加四啊，所以他这个就是 s 加一的，乘上 s 加四 啊，分之五啊，我们就可以给它展开，因为这一项是福根，所以展成两项， s 加一分之 a， 再加上 s 方加四分之 bs 再加 c 啊，用我们这样的方法求出 a b c， a 等于一，然后呢，这个 b 是等于负一，然后 c 呢？是等于一的啊，然后我们带进去，它就等于 s 加一分之一，再加上 s 方加四分之负 s 再加一 啊，往这个正余前的公式上面去凑，也就是这一项就可以写成 s 方加四分之负 s， 再加上 s 方加四分之二，再乘上二分之一， 然后再集合这一项，球盘没换它的结果就是 e 的负 t 成 ut， 然后再减去 cosine 二 t 成 ut 啊，再加上二分之一，乘 stine 二 t 成 ut。 好，这就是这道题的全部内容。