莱布尼兹法则中dy比d xd是什么意思

好，我们今天来讲一期牛顿莱布尼兹公式的一个推倒，那么牛莱公式呢？是大家非常非常熟悉的一个公式，基本拿起来就用，但是没有人去正面过他，那其实同学们也不用太管说他到底是怎么来的，为什么呀？ 那我今天为什么去推倒呢？我主要的目的就是想让大家理解和掌握这种套路或者说思想方法，那么这个就是牛顿莱姆尼斯公式，没有人不知道，对吧？这个很简单，那么怎么去证明呢？你再设一个大范 x 是一个变现积分，那么显然这个大 fx 和这个大 fx 他都是这个小 fx 的一个原函数，那么既然是原函数，那他们之间是不是只是差了长数 c， 那也就是说大 fx 减下去大 fx 会横等于这个长数 c， 那我们再带 a b 进去，那带 a 进去大 f a 减去大 fea 会等于长寿 c， 那大 f b 减下去大 five b 是不是也会等于常熟 c？ 那大 f a 到底是谁啊？大 f a 不就相当于把这个 x 换成 a， 那换成 a 以后是不？积分上下限是一模一样的，那所以这个积分会等于零，那么也就是说这个等于零，那我们整理一下，是不就等于他？ 那在一项一项是不是就得到了他？那大 fyb 是谁啊？那大 fyb 是不是就相当于把这个 x 换成 b， 那不就是他吗？ 那么字母与积分值无关，那我再把它换回 x， 是不是变成了他？那大快币又等于他，又等于他，那整个这个东西不就挣出来了吗？这不就是牛顿莱布尼兹公式吗？那通过这个 证明过程，我们同学应该体会到就是将已知的定积分转化为变现积分这种证明的套路。比如说我举的这个例子，那你要这么射出来了以后，那会有什么好处呢？就是说已知积分 就是这个变线积分带点进去，比如说这个大 fei b。 啊，这块写错了，大 fei b 他是不是就是 a 到 b 的积分？那大 f a， 那就是把 a 带进去，那上下线都变成了 a， 他他就是零了。好，那我们下期再见。

咱们今天聊一聊，牛顿都没地方符号，为啥惨败给莱姆尼斯？你过去我曾经说过，牛顿跟莱姆尼斯谁还抢了那个没积分，最后牛顿靠着各种骚操作站在舆论上逢，结果他俩一死，除了英国，大家全用莱姆尼斯的符号。 你们整天拿物理视频去艾特纽顿的棺材板，要我说那都不是事，要他老人家真苍天有眼看着咱整天就来不尼辞的符号，棺材板早该压不住了。所以大家为啥不用纽顿的符号呀？咱们先想看看现在有几分常用的符号，别怕，没见过哈，就当我报菜名眼熟一下就行。 首先导出跟 v 分，凡是带 d 的，比如什么 dybgxgfsbgx， 那全是莱布尼斯搞的。反正带撇的比如什么 ypfpx， 那全是拉格朗日搞的。 有人往后学了一个多元还是如意分的鬼东西。这里边得用的偏道数都是拿这玩意来表示给地主双胞胎啊，就有点卷起来了。这东西你读偏读乱读拍手都行，这都是拉个老日先用两个笔就给推广。最后可以是积分，积分方是这么个东西，你想象一下，一个 s 你像生命桥一样给他伸长了，伸完就是他。我一般直接都 积分。文化人爱读撒嘛， inter girl， integrate， 奇葩一点的爱读什么大 s 长 s 寿 s， 这个又是莱姆尼斯发明的。这玩意旁边放俩数字叫定积分，是副列发明的。把俩积分结在一起就是二重积分，是欧拉发明的，仨积分结在一起就是三重积分，是拉格朗日发明的。 一会没事就在墙上画几百个新闻号，从此你也是个多重积分的发明人了。到这个位置你发现啥问题没？牛顿哪去了？牛大掌门，为积分的为一直就开始组织一夜，咋这么谦虚呢，一个符号都不造呀。这么说真冤枉牛大神了。 其实遭了符号的咱们一起来拜读一下牛市微积分的做法，感谢一个热心网友指路。我翻到牛顿最早提出微积分的作品叫曲线和无穷局势方法。其实在曲线集合中的应用看人家写的啊，头上一个点就是一阶倒数，同样两个点就是两阶倒数， 要求六届导数脑袋上必须减六个点。哎，这玩意我认识，这不六桶吗？再多求几个导就能凑清一色了。赶明再有人问我，你咋又打麻将呢？我就跟他说这叫牛顿法， n 级导数取导，现在听的是四级导跟五级导，哎，导率 开了胡子。再看一下牛顿的实验演练，这一行读下来，一会左右搞大点，一会上下搞大点，俩字母离得近的话还得猜猜到一点是归谁的。出快手的这玩意没人用，后面还专门去国家图书馆里面翻了几本你一学的书， 里面就是尊敬牛顿，现在都还在脑袋上，在点在哪？只不过这种求导方式默认是对时间求导，专业点说就是 x 点二等于 ds， b， d， t， 随之玩意就搞物理的，偶尔用用。刚才在移动吐槽牛顿的符号都不好用。听起来好像莱布尼斯的符号躺赢了。实际上莱布尼斯的符号本身是非常强大的。看过这件什么，除了那些观众应该知道， 之前数学界可是连加眼神说符号都没搞明白，而南无尼斯可是个研究德国人，从研究科学开始，胆经主义混乱必须就此终结。就是他自己说的那符号不统一说一点吵架要打嘴炮，符号统一了要全闭嘴，作为算数就完事了。 在后来鼓捣出来两百多个咱们今年还在用的符号，我随便列解看看哈。它用点表示相乘，用冒号表示相除，用波浪代表相似，用波浪加一道代表全等，现在改成波浪加个等号。最早使用了这家服 符号，现在被当成交集一个病机了，他要第一个用了海叔这个词，把曲线、奇迹坐标一股党给串起来了。可以说啊，这位来大神才是数学考试的万恶之源，他这种操作堪比秦始皇啊。书同文，车同轨，统一度良衡，这可不是夸张，因为等他跟纽顿都去世了，英国数学界死都不接受来不及死的符号， 中国整个英国十八世纪人才凋弊，德国法国瑞士一开始都是不大积极，用完符号之后立马真香科维亚之间互相吵架都有奔头了。后来的高斯欧拉拉布拉斯弗里也愣得拉格朗日，可惜都是用之了符号长大的。但是结果他发明的符号以及研究的理论从小学覆盖到大学， 在最后技术的却都是他和牛顿抢飞机分那些破事，希望咱能不要忘了，现代说能走到今天，莱布尼斯才是那个生前负重前行，死后还老被遗忘的奠基人。

各位同学大家好，我是刚老师，咱们本节课来学习一下微积分基本定理，那么它又叫做牛顿来不宁次公式。 在咱们之前啊，已经学了导函数以及定积分的相关概念，我们发现有些函数的定积分用概念来求还是可以求的出来， 但是呢，部分函数啊，再用他的概念来求的话，是比较难求的，甚至呢，还有求不出来的情况。那么这个时候啊，我们就得考虑有没有更方便更快捷的方法来求一个函数的定积分呢？咱们今天所说这个内容啊，就是为了求一个函数的定积分的，所以啊，在这之前，我们务必要学习到 导函数的概念以及定积分的相关概念。那么有关导函数以及定积分的概念啊，在之前的视频里面已经有做过讲解，那么有不懂的同学可以翻看我之前做的视频。好，我们来看一下这个定理。 我们有个函数，大 fx 提完岛之后呢，变成了小 fx， 所以呢，小 fx 就是大 fx 的导函数，那么反过来呢，大 fx 是小 fx 的原函数， 并且呢，小 fx 一定要在 ab 这个圈上连续才可以。那么我们假定啊，我们知道小 fx， 但是呢，我们要求个东西，要求大 fb 减去个大 f a， 这个时候应该怎么求呢？好，我们先来画个图。好，我们结合图像来看一下大 f 和秀 f 之间的一些联系。我们假定 fx 图像如图，那么求的东西， f b 减肥不就是 b 点处的纵坐标，减去个 a 点处的纵坐标，那也就是说这个长就是咱们所求的东西，我们把它继承德尔塔外，那么我们用另一种方式把这个德尔塔外给他求出来， 那么这个方法呀，跟咱们求定积分的这个方法有点类似，也是分的是四步，但是呢具体的过程啊，跟咱们求定积分的过程还是有所不同的，注意观察好，我们来看一下有哪几步。第一步， 第一步我们用 n 减一个点，将这个 ab 区间给他等分， 分成 n 范，那么每一范的距离不就是 n 分之 b 减 a 吗？那么第一点就是 x 零，第二点就是 x 一，第三个点呢就是 x 二，那么最后一点就是 x n， 那么等分完之后啊，我们还是过这些点做一下 x 图的垂线。 那么做完抽烟之后啊，我们看一下第 xi 区间，也就是说从 xi 进一到 xl 这个区间，那么在这个小区间上外的变化量怎么体现呢？小区间上呀，这点长就是他的外的变化量，那么这个图案有点小，我们把它局部放大一下。 好，我们来观察一下在 dx 区域上它的外的变化量 多少，那么在这里啊，也就是他的动作标减去一个他的动作标，那么不就是这点长度吗？我把它记成第二他外癌，那么把他局部放大之后啊，就是 这点高度，然后呢，我们过这个点做一个曲线的切线，那我们得到一个三角形，我们看这个长，我们把这个长啊继承是第二套 y i 片，那么现在来看啊，他俩的这个值啊，还是不相等，但是呢，当咱们把这个区间无 线的等分，也就是等分成无群大范之后啊，也就说这个距离要无穷的缩小，当他缩小到一定程度的时候，他们两者的这个值啊，几乎就是相等的。那么这就是咱们的第二步，叫做进四替代。 我们先让这个德尔塔 y i 啊进四等于德尔塔 y i p， 那目前他是不相等的，我们看一下德尔塔 y i p 又怎么求？我们发现他是一个三角形的一条直角边，这点长啊， 不就是德尔塔 x 吗？他是德尔塔 x， 那么他们之间有一个比例，这个比例不就恰好是啊这个角的正切直吗？哎，我发现这个角的正切啊，不就是这条切线的斜律吗？ 所以他们之一个关系是，那么德尔特外片就等于 k 成一个德尔塔 x， 他们怎么来的呢？我们发现对边比零边等于角的正切就等于 k， 那么对边就等于 k 成一个零边， 然而这个 k 啊，又是啊，这个点处的切线的斜率，也就是说这个点处的倒函数，那么他就等于 f x i 减 一片德尔塔 x。 第三步求和，我们把每个区间上的这个德尔塔 y i。 片给他求和。我们继承人士啊，德尔塔外片， 那么这个德尔塔外撇就等于德尔塔外一加德尔塔外二，一直加到德尔塔外。恩，我们给他用求和符号表示，那么他又可以写成， 那么他就可以写成他，因为德尔投外挨片就等于他，我们给他求和。好，紧接着是第四步，叫做求极限，那么我们所求这个德 外，本来一个是静思等于德尔特外片，那么如何让他们相等呢？我们只需要给这个德尔特外片啊曲极线，让这个区间的距离无限的缩小成零 的时候，那么第二头外挨撇就等于了第二头外挨，那么他的和也就是上等了。这个时候我们再看一下这个东西又是什么，那么这个时候啊，第二头外就等于了给这个式子曲奇线 让这个德尔塔 x 啊无限的接近于零。哎，我发现这是 f p r， 那么大 f 的导航数不就恰好等于小 f 吗？所以大 f p x i 仅一，就是啊，小 fx i 减一啊，把它换掉。 好，我们换完之后就变成他了。哎，我发现这个东西啊，不就是一个函数的定积分吗？他不就是需要 fx 在一个区间上的定积分吗？我们根据定义 知这个东西就是小 fx 在 a b 区间上的定积分，那么他又等于 doty， doty 不就是 fb 减 f a 吗？哎，所以我们正出大 fb 减大 f a 就是小 fx 在 a b 区间上的定积分， 那么这个式子啊，就叫做微积分的基本定理，我们又叫做牛顿莱布尼子公式，为了方便表示啊，我们把大 fb 减去个大 f a， 可以写成，我们可以写成这个形式， 他就等于 fb。 简爱妃，好，以上啊，就是咱们这节课的所有的内容。

有前面的学习，我们发现，对一个简单的被击函数歪点 x 三方而言，如果我们用定义法去求他的定积分，就没有那么容易了。甚至对于某一个函数，比方说歪点 x 分之一，如果要去求这个函数，有一到二的时候， x 分之一的 最低分的值，如果用定义法去求的话，基本上求不出来。那么截止到目前为止，我们已经学习了微积分里面两个非常重要的概念， 呃，倒数和定积分，那么倒数和定积分之间存不存在某种联系？我们能不能够用这种联系来求某一个函数的定积分呢？今天我们就探讨一下这个问题。 来举一个例子，现在有一个云变速直线运动的物体，假如说时间和位移之间的关系，我记为是 y 等于 ft， 他所对的图像是大概是这样的一个图像啊，现在我们求一下这个函数 在时间段有 a 到 b 的时候位移的变化量，那么根据这个函数的概念，我们知道在十克 a 的时候，他所对应的位移是 f a， 在 b 时刻他所对的位移呢？我们带到函数表达室里面去，就可以算出来是 fb， 所以说由 a 到 b 这个时间段里面，这个 运动的物体，他位的变化量就 s 啊，就等于 fb 减去 f a， 这个我们作为一式。然后现在这是根据胃 移和时间间的关系求出来了在 ab 时间段内的位移变化量。那么我们根据 前面倒数的概念，又知道对这个函数 ft 进行求道，他所对应的导函数的函数值就等于该云变速直线运动的物体在 t 那一时刻的瞬时速度，也就是说 vt 等的是 fplt， 那么我们能不能够用 vt 来表示该云变速直线运动的物体 从 a 到 b 这个时间段里面的位移的变化量呢？我们研究一下这个问题，那么为了去解决这个问题，首先我把 ab 这个区间 平均分成 n 分，假如分点是 t 零 t 一一直到 t n 的情况下，那么可以这样去写啊，其实这个 a 他就小于啊， t 一就小于 t 二一直小于 t n， t n 其实就等于 b 了。第二个情况，其中第一小段就是由 a 到 t， 第二小段就是 t 一到 t 二，第三个区间就是 t 二到 t 三，那么第挨个就可以写成是 t i 减一到 ti， 以此类推。那么最后一个就是 tn 减一到 tn， 也就是 b， 我把这个 a 到 b 这个区间 平均分成了 n 分，我们知道由 a 到 b 这个区间的长度是 b 减 a， 数值上面大数减小数是距离吗？总长度是 b 减 a， 被平均分成了 n 分，那么所以说每一段的长度我记为得是 t 的情况下，这个得是 t 就等于 n 分之 b 减 a， 然后注意随着 n 的增加， a 到 b 这个区间段就被分的越来越细，当 n 的值非常非常大的时候，从 d i 减一到 t i 这个时间段，他的这个量变化量是很小的，那么在这个很小的时间段内，我们可以粗略的认为这个云变速直接运动的物体啊，他是在做匀速直接运动的，因为他速度的变化量很， 所以说我们就可以先去求出来，近似的求出来这个云变速直线运动的物体在 d i 段里面的位移的变化量的近视值， 然后把这个示意图给画一下，把 d i 段给画出来，稍微放大一下，这是 ti 线一这个地方呢，是 ti。 刚才讲 当 n 的值很大的时候，这一段的长度是很小的，而在这个很小的时间变化方以内的速度变化量就很小。我们姑且认为 自私的认为他是在做元素这些运动的，那么这是 ft 的图像，我们对这个函数求打，假如说这点 是屁点，以屁为切点的时候，他期限的斜率就等于在屁点处，对应的是时速度， 而这个顺时速度为 t i 减一又等于几呢？又等于元函数导函数在 t i 减一的时候，对应的函数值， 这个是可以算出来的。然后这一段总共的时间区间长度是都是他提啊，所以在这段里面他发生的这个位移 就可以算出来。我们记为 h i 的情况下，他等于几呢？他就等于 vt i 减一乘以等。 而注意， vt i 减一又等于几啊？又等于原来的函数的导函数就是 m p t i 减一， 导致他的 t 是这样一个指，当 n 区域无形拉的时候，这个 hi 是可以理解，就是祭祀等于这个 ti 减一，到 ti 这个时间段里面，他位移的变化量的实际值，当实际值是哪多少 啊？这个地方呢？是 fti 简易这个地方 ti 的时候，对呢，指的是 fti 他实际位的变化。要是这段我们就 s a 的情况下，然后我做个过屁点，做 x， 做平行线啊，这是切线，他的倾斜角呢，是这个角倾斜角的正七指呢，就是切线的 节律，也就是 fpl t i 减一，然后这段长度我们看一下是多少啊，这段其实就是什么呢？这是多少道题吗？ 马上我们讲述。这个是 x 啊，这个 x 比上得是 t， 其实就等于弹进他 c， 而这个弹进的 c 呢，就是倾斜角的正斜值， 倾斜的正切值呢，就等于切线的几率，在这里面就是 f p l t i 减一，那么所以说这个 x 啊，其实就等于倒数 t f p l t i 减一，也就是我刚才写的这个 h m， 当 n 的值变大的时候，这个区间程度变小，这个值 就是个 hi， 这个值是与这个 si 这个值是非常非常接近的。当 nt 无穷大的时候，我们就祭祀认为他们是相等，那么我们先可以求出来的是这个 位移他的变化量的近四指是多少呢？在这段里面是 hi 哈，如果我对这个 hi 进行求和，你看，哎，这是第 a 段，那么 h 一的时候就是第一段， hr 就第二段， h n 就是第 n 段了，我把这 n 段求和 c 个满 i 从一到 n 求和，这个值又等于几啊？就等于 c 更吗？ i 从一到 n， 呃，都是他 t f p t i 减一是这个值， 那么我们就求一下这个柿子它的极限值， n 趋向于无菌大的时候的极限值， 当 n 区域无穷大的时候的极限值，就等于了这个运动的物体有 a 到 b 这个时间段里面的位的变化量，也就是他呢。就 祭祀的本来是等于是 c， 哥们， i 从一到 nsi 的啊，这本来是祭祀的，我们取极限值，那就等于这个实际的值了，而这个极限值啊，雷美塔德尔塔，当 n 趋向于 是当 n 趋向于不是德尔塔，是德尔。当 n 趋向于无穷大的时候啊，这个极限值就是一个。呃 f p t i 减一，然后乘以德尔特的极限值，也就是雷美特， 当 n 趋向于无穷大的时候，这个 f p t i 减一，不就是 v t i 减一吗？都是 t。 而根据定积分的含义，我们知道这个东西这个表达是，其实就等于几，就等于函数 vt 在 a 到 b 这个区间里面的 a 几分，而这个 v t 刚才讲又可以写成是由 a 到 b， f 片 t 都是他 t 这样一个值， 那么所以说这个式子啊，这个式子就可以写成式，他又等于。刚才我们已经求出来了由 a 到 b 这个云变速之间运动的物体的位移啊，他等于几啊？他就等于 fb 减去 f a 了吗？ 从这个式子我们就可以看出来啊，这个一个函数，他在某个区间就是 ab 区间内的定积分的值，那等于什么呀？他等于他的圆函数就是你就看谁的倒函数等于 原函数字边曲 b 对应的函数值就是积分上限对应的函数值，减去积分下限对应的函数值。对于一个一般性的情况而言，就对于函数，对于函数我 id fx 而言 啊，我们要想去求这个函数有 a 到 b， 他的定积分值，我们只需要求出来 大 f x 他所对应的值由 b 到 a 对应的函数的差距就可以了。就是前提是 海顶的 fx 这个函数是连续可导的，那么我们先找到一个函数，其中这个函数满足什么条件啊？ fpx 等于 fx， 那相当于是 fx， 就是原来这个。呃，小 f fx 得到函数了 啊，大 f x 的导函数等于小 f x， 所以说小 f x 就是大 f x 得导函数，那么有 a 到 b， 小 f x d x 就等于 f c 小 f x 这个函数，他的原函数积分上限对应的函数值，减去积分下限所对应的函数值。 而为了方便我们习惯上面把这个式子又写成是大 f x 这个反式竖写竖杠，下面是积分下线，上面是积分上线 好，就等于这个值了。这就给我们提供了另外一种全新的求定积分的方法，就是如果我想去求某个函数的定积分，在 ab 区间内的定积分，我只需要求出来该函数 元函数积分上线对应的函数值，减去积分下线对应的函数值就可以了。而对于某个函数这个函数而言，他的圆函数怎么样去求啊？我们往往是要结合前面学过的呃导数的求法和对应的导数的四的运算啊，进行反向去求就可以了， 也就是我们所谓的反导的思想。反导的思想就是本来是求导呢，现在是我要去考虑哪一个函数的导函数等于他，那么现在我就可以回答刚开始提出这个问题了，就是我想求一下这个函数在一到二这个区间里面的定积分的值。 那我们首先就要去考虑一下哪个函数的导函数等于 x 分的一样，我们前面已经学过，就是捞眼 x， 所以说这个式子他就等于几呢？他就等于捞眼 x 这个卡人数啊。积分下线是一，积分上下面二呢对应的纸，我们分别把上线对应的纸带进去，那就捞引二，再减去下线对应的函数值，捞引一，捞引一是零啊，说这个结果直接等于捞引二就可以了。 再计算一个，比方说一开始说那个零到一 x 三方， dx 和他在一起啊，首先我们就考虑一下哪一个还是个倒，还是等于 x 三次方，那我们前面倒还是个公式 啊，可以很容易推倒出来，其实是四分之一，被埃克斯的四次方，他的岛还是在等于 x 三方吗？那么他积分下线是零，上线是一，我们分别把一带 圆盘里面去，他对应的函数只是四分之一，减去零的时候再带进去，结果是零，那么最终结果就是四分之一。由此啊，就用这种呃公 是刚才推手的这个结论来求出来了刚才这两个函数他的定积分的值。而刚才给大家说的这个公式就是我们所谓的微积分基本定理，也叫做牛顿来过一次公式，他可以很方便的去求某个函数的定积分的值 啊。这是当然这个应用也是有前提的，有的时候我们没有办法去反导反出来，那我们就结合定积分的几何意义去算就可以了啊。如果是可以反导，那么优先考虑用这个公式，可以使问题大大简化，你听懂了吗？

哈喽，大家好，数学是思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥学习更多的考研数学技巧。今天杰哥这节课呢，带大家快速学会牛顿莱布尼斯公式试用条件。 那么我们有一道经典的例题，就是零到二派一加 cosine x 平方分之一 d x， 每一年讲的这个题目呢，很多同学在这里呢，都会犯错误，包括我也注意到有一些老师呢，在这里面也针对这一道积分呢，也犯了很大的错误，那么我每一年讲这个题目呢，都感觉到非常的 有责任，能够给大家讲清楚啊，说这个题目相当相当好啊，大家一定一定要听杰哥讲完啊，杰哥讲的应该是没有任何问题的啊，好，首先呢，各位映入眼眼帘的就是这个函数呢，我如 如果说把它另成一个 f x 的话，那咱们这个 f x 等于一加 q 三 x 平方分之一，它在我们零到二派上是连续的啊， 对吧？那这个被击函数呢，在零到二拍上连续，那就说明呢，他可击啊，第一点呢，说明他可击第二个呢，既然我们 f x 在区间零到二拍上连续，那么我们 f x 呢， 在咱们区间零到二派上，他一定是有原函数的，因为根据咱们原函数存在定理，某个区间上连续函数一定有原函数，那么还在这个区间内，如果有第一类间断点 和无穷间的，你肯定没有元函数，对吧？好，所以我们能有个这个信息啊。那另外呢，各位来看，很多同学在做这个题目的过程中呢，他是这样做的啊， 零到二派一除以一加 cosine 平方 x d x， 既然他在零的二排上有元函数，那么他在找元函数的过程中呢？他这样做，他上下同时除以一个 cosin 平方 x， 那分子变成 second 平方 x 分，分母呢？变成我们 second 平方 x， 加一个一 d x， 然后呢，它这里面可以凑个微分，就是零到二派抵上一个 tanging x， 除以 second 平方 x 呢，写成一加 tangent 平方 x， 就是二加 tangent 平方 x 啊，好，它就写成我们一除根号二 arc tangent 根号二分之天津啊，下也是零，上也是二派，把他带入都等于零，所以他认为积分是零。那同学们认为这个地方现在有没有什么错误呢？ 那实际上是有错误的，错误就发生在这个等号是否成立。各位来看，当你对被积函数上下同除 q 三平方 x 的时候呢？被积函数它的定义域发生了改变， 我们这个定义域在零到二派内是是连续的，对吧？就这个函数在零到二派内连续的，所以他定义域呢，可以是零到二， 但是我们这个函数呢，它的电音域就变了，因为我们 second 平方 x， 它是一除以 cosine 平方 x， 那么由于它在分母上不能为零，所以呢，我们这个倍积函数，它的电音域是零 到二分之派并上二分之派到二分之三派并上二分之三派到我们的二派， 对不对？当你上下同除之后，由于 cosin 平板 x 不能等于零，所以在二分之派和二分之三派这两点处呢，是不能取到的，所以定义欲呢，发生了变化，这是第一点。 第二个就是我们现在这个函数呢，它在零到二派内 是存在间断点的，那存在什么样的间断点呢？我们可以针对他去求一下，对不对？那我们 limit x 区于二分之派， second p 发 x 比上 second p 发 x 加一，我们求他的极限是多少 啊？那由于 x 除以二分之派，所以 x 不等于二分之派，这个时候呢，我们上下同时乘一个 cosine 平方 x， 那是不是一除以一加 cosin 平方 x 啊？好，那是不是就是我们的一，也就说这个东西呢，它的在二分之派出极限呢，是存在的是一， 那也就是说我们是可去见的点，就这个杯积函数，此时在 x 等于二分之派和 x 等于二分 三派处是可去间断点。那么既然是可去间断点了，那么根据咱们元函数存在定理， 包含可区间断点的区间内呢？它是没有圆函数的，对吧？所以你在后面使用牛顿 labness 公式呢，就是错误的，对吧？啊，就是错误的，就根本就没有办法使用牛顿 labness 公式。 好，所以说我们这个做法呢，就错误，对不对？好，那有同学说，那好，杰哥，我现在呢，我避免， 我避免出现在区间内，包含他的可区间单点，我怎么做呢？哎，我先利用一下这公式做 做一个化简。各位来看，这个化简非常好化啊， f x 等于一除以一加 cosine 平方 x， 我可以把它写成什么呢？ cosine 平方 x 写成 cosine x 绝对值的平方， 可以吧？啊，好，那么也就是咱们 f x 呢，实际上也是以 cosin x 绝对值为自变量的一个函数啊。 好，那你看我们这个倍镜函数呢，他的周期一定是我最小的周期一定是我的派啊，毋庸置疑啊，因为他加了个绝对值吗？好，他周期是派，而我们积分区间长度呢，是两倍的周期，所以他等于两倍的在一个周期上的积分。 那又因为呢，我们周期函数呢，在一个周期长度内的积分，跟他积分积积分起点是无关的啊，所以我们 零到派上积分可以改成负二分之派到二分之派的积分啊，这个积分区间长度依然是我们一个周期派。好，那由，因为我们倍积函数呢，是一个偶函数啊，所以就给他写成四倍的零到二分之派上的积分。好，那现在呢， 零到二派，一除以一加 cosine 平方 x d x， 把它写成四倍的零到二分之派， 一除以一加 cosine 平方 x d x， 这下总好了吧，对吧？好，那么这个同学呢，他在此处又要使用牛顿来不及的公式了， 又要使用牛顿牛顿栏目意思公式了，它怎么使用呢？它依然要上下同时除以我们的 cosin 比方 x， 对不对？哎，但是我们仔细来看一下咱牛顿栏目的公式啊，哎，如果 f x 在这个区间上连续的话，那当然没话说啊。如果说我们 f x 在 a 到 b 上不是连续的，但是呢，它可击， 而且呢，它在这个区间内还存在原函数，那我们也可以使用牛顿 level e 子公式，对不对？好，那你看，当我们上下同时除过之后，我们这个函数 在咱们区间零到二分之派上是否有原函数， 是否有原函数呢？没有， 因为我们这个函数呢，在 x 等于二分之派处，它是一个可去间断点，所以在这个区间上，咱们是没有办法使用牛顿来密字公式的，使用牛顿来密字公式是一个前提，是得在这个 b 区间上存在原函数， 对吧？好，所以说我们现在呢，直接这样去做是不合情不合的啊，不合适的啊，那我们怎么办呢？各位注意 我们呢，如果有一个函数假设说啊，我们有一个函数 g x， 它这个零到 x 一除以一加 cosin 平方 t 抵 t 的话啊， 那各位来看，由于我们一加 q 三平方 t 分之一呢， 他在复雄的重无穷都是连续的啊，所以连续函数与他的这个变商业积分呢，一定是连续的，所以说 g x 呢，在咱们复无穷到重无穷，他都是连续的，对不对？好，那么现在呢， 我们就讨论 g x 在二分之派处，也就说咱们 g 二分之派是不是应该等于 x 区域二分之派时，我们的 g x 对不对啊？这个 g x 在二分之派数极限应该和 g x 在二分之派数取值是相等的。好，那么现在我把这个 x 呢，给它改成一个数字 b， 好不好啊？给它改成一个数字 b 不受任何影响。好，那就是我们 b 区二分 分支派 g b 呢，就是我们零到，我们二零到 b 啊，一除以一加 cosine 平方 t 抵 t， 对不对？好，现在呢，我把这个 t 改成 x 啊，把这个 t 改成 x， 积分积分变量用什么字母表示无关吗？好，也就意味着现在呢，我们能对他做什么处理呢？我把它写成四倍的 b 趋于二分之派，我们零到 b 一除以一加 cosin 批发 x d x， 这下可以吧，对吧？这是根据咱们变上线积分函数在二分之派处连续得到的啊，好，那你看，既然咱必是区域二分之派，而且 呢，我们写的更合适一点啊， b 区二分之派负啊，零到二分之派吗？从咱们的左边区进吗？那意味着 b 不等于二分之派，也就是说，咱们这个杯级函数在区间零到 b 这个 b 区间上，他是连续的。 好，那现在呢，我们上下同时除以 cosin 平方 x， 各位注意， second b y x 此时在我们零到 b 上也是连续的，因为我们 b 不是二分之牌，所以这个杯积函数此时在这个积分区间内呢，它是连续的。而且呢， 我们这个时候就可以使用咱们牛顿 labigs 公式了，因为我们这个倍积函数 在区间零到 b 上的原函数是谁？ second p 方 x 比上一加 second p 方 x d x 就等于抵上一个 tangent x， 比上一个 二加 tangent p 八 x 就是一除勾号二 act attention 勾号二分之 tangent， 对吧？好，所以我们这个倍镜还是在零到 b 上的，这个 原函数就是它啊，那就是一除以根号二 act 分之 ten g n x， 下线是零，上线是 b， 那我现在呢，先把它算出来，对吧？我每一步都是按照咱的定理呢去计算的。 那各位来看，我把 b 带入，我把 b 带到这里边来，实际上就是 arctimen 真无穷，就是二分之派，我把零带入，就是我们的零 啊，那么这么一乘，就是我们根号二倍的一个派，对吧？好，所以这个题目呢，实际上跟我们反常积分没有任何关系，他也没有任何瑕点，他就是一个考察牛顿莱姆尼兹 公式适用条件的一个一道经典题目啊。我相信很多题很多老师呢，包括名师在这里面。呃，把我们二分之派，二分之三派呢给他说成了瑕点啊，那实际上是并不准确的啊。 好，那这节课如果对大家有帮助的话，希望大家能给杰哥多多点赞，多多支持杰哥创作。那我们下期节目再见。拜拜。

莱布尼茨曾被誉为十七世纪的亚历史多德，就是因为他是历史上罕见的天才。他的研究领域设计、哲学、数学、物理、历史、法学、神学， 同时他还是罕见的发明家，在这么多领域都有剑术，像极了亚里士多德，所以他也被后人称之为人类思想史上的最后一位全才，因为之后随着学科的日益细分化，这样的通才已经很难产生了。 莱姆尼茨是中国古代文化的粉丝，他被认为是欧洲当时最了解中国哲学的人。他对中国的了解来自于两位当时的中国的传教士格雷玛迪和白金， 尤其是他和白金在一六九六到一七零三年期间保持了四年的通信。白金告诉莱布尼子，中国县城最古老的书易经代表了中国古代刑儿上学体系的原则， 其中六窑的卦代表了中国文化中最早的符号，其中河图和洛书都包含着数学、 天文、医学等古老的秘密，可惜很多知识已失传。他还认为中国易经中的鹰鸟代表零， 仰仰代表一。这颗莱布尼茨的二镜子算数的原理不谋而合，这更引发了莱布尼茨对中国的兴趣。纵观莱布尼茨一生，他是那种一旦对某项事情感兴 兴趣，就一定会把他弄明白的人，所以他开始研究中国。他认为自己很多的哲学思想与中国哲学思想有许多相似之处，并写了两本关于中国的书，一是来自中国的最新消息，二是论中国自然神学。 在该书中，莱布尼斯认为中国的礼可以称为与基督教的上帝概念相媲美的观念， 他把理看成是伟大的和普遍的原因，没有任何东西比理更大或更好，并认为中国社会在很大程度上是无神论的。 中国古代文化反映了一种自然宗教。在该书中的另一大亮点就是关于二进制数学和易经的产生。 在那个东西方交流极其稀少、信息及其闭塞的时代，莱布尼此仅凭有限的文献和资料能写出两本关于中国文化的书， 除了佩服莱布尼茨的艺高人胆大之外，就剩下我们对这位天才的深深崇敬了。莱布尼茨留给后世最有价值的思想是他的充足理由率和微积分。 充足理由率被表示为任何一件事如果是真实的或实在的任何一个层数，如果是真的，就必须有一个为什么这样而不是那样的充足理由。 虽然这些理由常常总是不能为我们所知道。充足理由率虽然常常被看作是逻辑规律，但事实上， 逻辑学家们并不把它看成是一条刑事逻辑的定律。哲学家们认为他更多的是关于存在和事实的规律。 充足旅游率包含着两方面的重要意义，一是一切事物背后都有一个成因，他决定了事物为什么是这样而不是那样。二是认识事物的感性存在并不重要。重要的认识事物的背后的原因， 正如海德格尔所说的，没有充足的忧虑就没有现代的科学技术。此话真假，因为科学技术就是在不断探究事物背后的原因， 为什么有的气球可以飞上天，而有的不能？为什么有打雷或者闪电，并把这种原因总结为一种规律，从而在 生活中加以应用。这样，充足旅游率就成为现代科学的第一原理。正如另外一位德国哲学家高特雪特所说， 莱布尼茨的充足理由率让我们把真理和梦幻区分开了，因为真理需要明白无误的事实，需要清清楚楚的回答，为什么是这样？为什么总是这样？ 莱布尼子是与牛顿同时代的人，他和牛顿有一个共同特点，就是他们都是半途出家开始研究数学的，但都取得了非凡的成就， 这只能用天才来理解，而别无他法。他们俩都提出了微积分的理论。在历史上，关于谁是微积分理论最早的创建 有过一番争议，但好在有众多的其他学者为他们各自证明，所以学界最后的结论是， 他们都是各自独立创建了微积分的理论。从发表时间上，莱布尼茨更早，但从研究时间和理论形成，牛顿更早。而现在我们使用的积分和微丰的概念则来自于莱布尼茨。 莱布尼斯最喜欢的格言是圣奥古斯丁的这句话。不要自以为你已经掌握了哲学真理， 除非你能说明我们用一、二、三和四相加推导出实时所做的跳跃。我们和哲学家的差距就是，我们从来都以为一加二加三加四，当然 等于十，却从不思考为什么人具有这样的思维能力，而且我们还把这种思考看成了是吃饱了撑的。 莱布尼此毕生的追求是建立一套人类思想的符号系统，即通过获得一整套简单概念，把所有真理都能得到证明， 这套符合系统。基于他阐述的两个前提，第一，所有概念要么是简单的，要么是复杂的。第二，复杂概念是由简单概念构成的。 在此前提下，如果我们能够发现简单要素词汇以及把各种简单要素连接起来的规则句法，那么我们就能理解人类思想的构成。这样，我们就能像用 机器进行演算一样，对人类施行进行逻辑运算。例如，如果人这个词的定义是理性的动物，那么就能证明人是理性的。这一命题就能表达为 ab 是 a。 这项工作可以看作是莱布尼茨建立纯形式逻辑演绎系统的一个尝试，他为此从各种各样的定义和公理中推演出二十四个命题， 如命题四表示为，如果 a 等于 b， 并且 b 不等于 c， 那么 a 不等于 c。 命题五可以表示为，如果 a 在 b 中，并且假设 a 等于 c， 那么 c 就在 b 中。命题 十五段言，如果 a 在 b 中，并且 b 在 c 中，那么 a 也就在 c 中。命题二十段言，如果 a 在 n 中，并且 b 在 n 中，那么 a 加 b， 就将在 n 加 n 中。 莱布妮子一生中并未发表过任何关于逻辑学方面的专注，然而在二十世纪，他被公认为是逻辑学的创始人之一。 因为他这一套抽象的逻辑演算法标志着，一旦我们有了恰当的定义，我们不必注意所写东西的含义，我们也能进行逻辑推算。这一观点也意味着，即使没有独角兽这样的动物，像所有独角兽 都有讲这样的命题，在逻辑上也是正确的。这一观点后来成为一个十分重要的观点。 这个我们以后再讲到逻辑实征主义时，在详细讲莱布尼自的形儿上学关于实在是什么构成的回答与大多数哲学家都不同。 他首先认证了物质不可能是实在，因为根据实在的定义，实在不依赖于任何别的东西， 而物质不可能不依赖别的任何东西而单独存在。其次，他也否定了迪卡尔和斯冰诺莎关于实在具有广言的特征，因为凡具有广言的东西，其运动都是被动的，需要外在的力量，这又不符合 实在不依赖于任何别的东西的定义。所以实在必然是有没有广言的无数单子所组成。 而莱布妮子所谓的单子指的是客观存在的无限多的、简单的、非物质性的、能动的精神尸体，他是一切事物的灵魂和引得来兮， 也就是内在目的。那么，莱布妮子这种行而上学的本体论有何现实意义呢？我们可以把他的思想看成是这样的一种世界观。 宇宙是由无数没有维度的和具有活力的点构成的，每个点都反映着所有其他的点，并和所有其他的点相和谐。这样一种世界观与同时 时代的物理学中的某些观点是不谋而合的。作为一个那个时代最博学和最有思想深度的人来不离此，一点也不是那个孤僻难以打交道的人。 相反，他打扮时髦，举止优雅，善讲笑话，在知识分子中非常罕见。但我们必须记住，莱布尼茨有着宽厚的仁爱情感和对人类的关怀，这一点推动着他所有的工作。