【俗说矩阵】48-多元函数极值和Hessian矩阵 #线性代数 #考研数学 #每天学习一点点 #高等数学 #矩阵

hessian矩阵行列式值的作用

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发布时间：2025-11-30 10:35

晓之车高山老师

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第二十二讲梯度下降在高维空间中进行函数最优化时，直接求解解的表达式往往不可行;
二阶导数结构(例如 Hessian 矩阵)可能复杂或昂贵;
因此，在大规模优化、机器学习、神经网络训练中，人们通常只利用一阶导数(梯度)来迭代逼近最小值。
1.梯度(gradient)
·对于标量函数 f(x)，梯度 ▽f是一个列向量，指出函数增长最快的方向,
·最陡下降方向则是 -Vf。
2.Hessian 矩阵(Hessian)
·定义为 V2f，即对各变量的二阶偏导数矩阵,
·它描述了函数曲面的“曲率”信息，是判断极值性质的重要工具。
3.凸性(convexity)
·若函数 f是凸的，则对任意两点之间的线段，函数值不会高于线段;
判断条件是 Hessian 矩阵对称且正半定(V'f> 0)，若严格凸则为正定;
凸函数在梯度方向上的局部最小值就是全局最小值，这为优化算法提供了强保证。
条件数 K 是收敛速度的关键指标:
·b<1时，k 很大 =>收敛慢;
·b≈1时，K≈1=>收敛快。
梯度下降是一阶优化方法的基础，是连接线性代数和机器学习的桥梁，
Hessian 与条件数决定收敛速度与算法效率;
本讲以二次函数为例，将理论与几何直观联系起来，为后续学习更复杂优化方法打下基础。
本课重点在于理解梯度、Hessian 与凸性的相互关系，以及如何通过最陡下降法在高维空间中迭代获取最小值。讲座深化了线性代数的应用视角，从矩阵结构理解优化收敛性，并为机器学习模型训练的原理构建了坚实的几何工程直觉。
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