连续可导的判断方法

今天有学生问，为什么函数可倒一定连续？我做了视频解答一下。每天一节高数课，期末考试不挂科，欢迎大家又一次来到磊哥的高数网课。今天我们来看一下这个定律， 函数 f 在点 x 零可倒，则 f 再点 x 零连续，也就是我们高中经常说的一句话，可倒一定连续，连续不一定可倒。我们来证明一下他好了。首先我们来看一下， 我写了这样的一个式子， f e px 等于雷魅塔 x 去 x 零的时候， fx 减 x 零啊，比上这个 x 减 x 零。首先我们要明白一件事，就是 f 如果在这个点 x 零处可倒，它指的是就是 f 一片 x 零颗岛，他指的是这个那 f f 这个 x f 一片 x 零颗岛，他指的是这个极限， 他指的是这个极限得存在。极限得存在。谁的极限得存在？就这个柿子他的极限得存在。 我们说了可倒可倒的话，那什么叫可倒？就你左倒等于右倒，什么叫极限存在？左极限等于右极限啊，那才叫极限存在。好，那我们来看一下这个，当 x 区径于 x 零的时候， 我们来看一下，当 x 趋近于 x 零的时候，你想 x 一旦趋近于 x 零了，这个分母，这个分母 x 减 x 两，我们可以就可以认为他是趋近于这个，或者把他认为他就可以认为是一个五胸小，五胸小，因为 x 减 x 零趋近于零了。好了，那我们再来想，如果我们现在需要让，就让这个柿子， 嗯，他的分母，分母现在已经变成这个无穷小了啊。假设我分子用用狗来表示吧，我们如果想让狗 比一个无穷小，这个柿子他的极限存在，如果我们想让这个柿子的极限存在，那我们可以想想，狗肯定不可能是无穷大的， 那要让这个式子的极限存在的话，那我们说狗是不是有机会等于零？狗如果一旦等于零的话，我们就知道这个 fx 减 fx 零，他就会是这个 x 减 x 零的高阶无穷小 回忆。高阶无穷小的定义啊，就是笔直是零的时候，高阶无穷小。好，那如果我们让这个狗等于零的话，那它的本质是不就是这个勒妹他 x 区径于 x 零的时候，就这个 fx 减去 fx 零，这个东西等于零， 那他等于零的话，也就是说这个 limatx 趋近于 x 零的时候，我们要让 fx 是不是等于 fx 零？ 好，那你想一想这个 fx 等于 fx 零，这又回到了我们以前说过的那个极限的问题，我们要让 fx 等于 fx 零， 你比如说我们现在随便画个图啊，随便随随随随便画个图啊，随便画个图啊，假设这是那个 x 零，呃，这是他的函数值，要让这个 fx 等于 fx， 你说这块是不是必须得是连续的？ 必须得是连续的，就我们前面说的那个连续的那那块的一个概念，如果这不连续的话，你没法保证 fx 是不等于这个 fx 零啊，这个就很容易就正出来了，所以我们说的是可导 他一定是连续的。好了，那我们来看一下这块的话，他有什么用？就包括我上节课说的，他可能会让我们证明啊，一个函数在某一个点上啊，到底是可倒还是不可倒？ 看一下证明这个函数 fx 等于 x 绝对值在这个点， x 等于 x， 零等于零处啊，不可倒啊。这个很简单，我们要判断他格可倒还是不可， 我只要算一下他的左右极限就可以了。我们发现他这个左右极限一个是一和，一个是负一，那也就是 x 等于趋近于零的时候，他的极限而是不存在的。那极限不存在的话，那你在呃这个点处就不可倒了。就包括我们高中学了，你看这个 x 绝对值的图像他他他 长的是这个样子，零在这个位置，零在这个位置，这是一个尖点，我们高中就说过尖点不可倒，尖点不可倒。好了，今天就跟大家分享到这里。

如果函数连续加上到函数极限存在，可以推出函数可导，妈啊，可以，这个函数，这个同学说一个函数如果在这一点连续 连续，那不就是 x 七加 x 零的时候， f x 等于谁啊？ f x 零 再加上一个谁啊？导函数的极限存在，那就是这个啊， x 倾向于 x 零的时候， f 一撇儿存在， 大家注意啊，这点连续，这点导函数极限存在，能不能推出这点导数存在？ 我们说可以，为什么？从定义出发看， f 一撇这个 x 零是不是应该等于这个就是 x 趋向 x 零，然后 x 减 x 零， f x 减 f x 零， 你要推这个存在，那么怎么推这个存在呢啊？这个时候大家注意，你看，首先分母取向零，根据连续性分子选零比零，能不能用诺贝塔呢？ 用了洛贝塔以后，极限只要存在，那好，我们用一下洛贝塔，你用洛贝塔，下面就一上面就是 f 一撇，你不是已经告诉我这边存在了吗？那么这边存在，根据洛贝塔这两就能划等号， 这样能划等号，这个存在，那这个就存在，那这个就存在，所以这点连续加导函数极限存在就能推出，这点可搞啊。

注意看，眼前这种问题，叫小岛三秒钟暂停判断对错，三二一，公布答案。填对的同学非常好啊，都滚出去，滚的远远的，填错的同学往下听。我们都知道可倒必连续，但这句话其实不严谨，准确说是一点出可倒推，该点连续。因为导数定义这个极限存在，分子事故从小， 而这正是连续的定义。但是一点处可倒，却保不了淋浴处处可倒，处处连续。你可能想来想去也没想到返利啊！对，因为你的例子都太正常了， 我们得找一个奇怪的图也画不出来的。比如迪丽克雷改造一下 f 加 f， 等于零处导数为零。但巨型领域处处极限不存在，也就处处不连续，不可导。因为不论有底数还是无底数， 只要 x 不是零，你去 x 的时候，函数值就始终在零，和一个倒零有点距离的数反复膨胀。所以，如果一个题只说 x 在 x 零处可倒，可千万别认为 x 在 x 零的 附近也可倒。像这样的路利达，一用就是零分。再退一步， ic 处可倒，能推出 i， 在他的领域处处有定义吗？必须的，有定义是这个极限存在的前提啊。有些迪咪又要问呢，这有什么用啊？没见过这种题啊！来，请问，这种命题 见没见过对不对？是对的，原理就是死。有感觉，点个赞，学会了，点个收藏。

分段函数的编导数存在问题以及是否连续的问题。简单，哪个更简单？编导数存在的判断更简单。分段函数分段点，编导数的存在性两个方向，第一个方向编导数定一，第二方向，求编导看极限。 求编导，看极限，他不有一个前提吗？什么前提？定义咱不用，因为你此时这个函数用定义算的话比较复杂。求编导，看极限呢？求编导，看极限，他有一个前提啊，不是换好数之后的函数连续吗？好了，那你就先换值呗。 x 求编导的时候，你先把歪的值换进去，哎，他等于零，并且在此点也是零。好了，换好值的那个函数他连续了，你可以直接求了。对，他求编导，长数的倒数依然是零，同理，这个也是零， 因为你换好值的这个函数等于零，这个点等于零，在此点他连续了。怎么的？求编导好说，两个编导你都算出来了，你都算出来了，而且是正确的算出来，那他肯定就存在呗。好了，编导是存在， 然后看连续性吗？连续性你可以先考虑一下，先正一下，不连续，这个情况如何来？正不连续是路径呢？随便是一个呗，你另外等于 s 三次方， 此时怎么呢？次数统一了就直接算出来了。在这个路径上取极限的话，函数的极限等于二分之一，不等于函数值不连续。直接锁定了，选 c。