注意看,当一条曲线上的两个点无限靠近,那么连接他们的直线就会变成切线,而这根切线的斜率就是我们平时所说的导数了。导数也就是这么定义的。所以呢,当我们说在函数上的某一点上可求导,那就一定意味着在这一点的极小范围里有其他点的存在, 也就是我们常说的可倒必连续。那么反过来,连续是不是就意味着可倒呢?嗯,应该说,至少到了十九世纪中期,数学界都还普遍认为这是必然的。因为当时的数学界对连续的理解仍然是沿用了欧拉所给出的定义。 后来说了,连续就是可以用单一函数表达出来,比如这样一个函数,他拥有两个表达式,于是他就不连续。所以,当时的数学界都认为,既然连续意味着单一函数,那么在这个 函数上就一定是可以求导的啦。嗯,逻辑上简直天衣无缝。直到某一天,有个小小的乡村教师丢出了这么一个函数,他长成这样。 当数学界的大咖们对这个无名乡村教师的函数进行分析时,他们全都疯了,这是个什么鬼?世界上怎么会有这么毛毛躁躁的函数?这个诡异的函数,即使是你把它放大无数倍,也找不到哪怕是一小段光滑的地方。也就是说,他是处处连续,但是处处不可倒。 于是,数学界长期建立起来的连续与可倒之间的关系,就这样轰然倒塌了。于是,人们开始对这个乡村教师产生了浓厚的兴趣。这是个啥人呢?他还有什么其他的发现吗?于是乎,好奇的人们一同寻找,结果又发现了他的几篇重量级的数学论文。首先他进一步发展 阿贝尔和亚科比的椭圆函数,然后他严格化了,极速收敛。之后还有更炸裂的,他独立推打出了负分析的基本定理,比柯西还要早。 所以现在所说的科学定理原本应该叫做乡村教师定理。那么这些绝对神仙级别的数学论文,为什么之前没有人关注过呢?呃,因为他们要么就是发表在乡村学校的校刊上,要么就是在乡村教师俱乐部的通信路上。 那为啥不发表在专业数学期刊上呢?据那位乡村教师自己说,因为他付不起寄送论文的邮费。 呃,天下还有比这更尴尬的事情吗?如此重量级的数学论文,却只能发表在乡村学校的校刊上,当时特别是德国的数学界,都感觉到自己快要崩溃了。要知道,当时在数学的发展上,德国已经被法国力压一头,法 国的数学名流来了一波又一波,而德国自高斯和黎曼之后就没人了,而且黎曼还早早的就去世了。而现在好不容易又出现一位大神,居然却只是在乡村学校里当一个中学老师,平时居然还需要负责教体育,还有天理吗?还有王法吗? 于是乎,一批数学家联名上述德国教育部,要求给予他合适的职位。所以终于,在一八五七年的时候,在我们的主角已经四十三岁的时候, 他终于离开了薪资微薄的乡村教师职位,成了柏林大学的一名数学教授,不用再兼职教体育了。 这位自带音响的主角呢,就是德国数学史上力挽狂澜的威尔斯特拉斯。他一生数学成果极多,在他晚年的时候已经被封为国民英雄,享受着与高师同样级别的荣誉。所以后来他的学生逢人就说,我的数 数学是体育老师教的。好吧,这就是我瞎编的。关于威尔斯特拉斯的人生,可以总结为,叛逆少年,浪子回头,低调前行,功德圆满。在十九岁的时候,他在父亲的要求下,去大学读了个会计专业, 虽然他的数学很好,但对这个专业那是非常的厌恶。于是乎,他成天跟一群狐朋狗友喝酒赌博,四处找人打架决斗。必须说,他打架的水平还不低,无数次比拼下来,他居然没有受过一次伤。那时候欧洲决斗成风,比如我们的伽罗瓦就死于决斗, 而后来的罗树大神也在脸上留下了可怕的伤痕。但对于威尔斯特拉斯来说,哎,只有我打别人的份,他不去混黑社会,那真是黑社会的一大损失。这样下来,自然是没有拿到毕业证就被赶出校门了,没有毕业证也就找不到工作。于是在他父亲唉声叹气 气之下,我们的威尔斯特拉斯在家里啃了两年老。在这样的气氛之下,他也终于认识到自己可真不是个东西。 于是他放下了所有的个人骄傲,去报名参加了乡村教师的培训。幸运的是,在教师培训班里,他碰到了个好老师。不过据后来的数学史家说,这个老师也只是培养起了威尔斯特拉斯的数学兴趣,他自己的水平很一般, 比如他试图教会威尔斯特拉斯椭圆曲面,然而史学家发现,这个所谓的椭圆曲面,就是这位老师瞎掰的,属于啥也不是的一个东西。所以,我们的威尔斯特拉斯呢,等于是从二十二岁才开始正式学习数学,并且基本上是自学。 培训结束之后,他就老老实实的待在了德国乡村,默默无闻的做了差不多二十年的乡村教师。想象一下,如果是我们自己二十多年待在乡村,拿着想给专业七刊投个稿都付不起邮费的工资, 我们会不会就此消沉下去呢?想着,哎,算了算了,每天搓个麻将得了。好了,我们说回数学,虽然威尔斯特拉斯的人生故事非常的传奇且励志,但由他所开创的严格数学语言,也就是现在所说的 absolute delta 语言,对于广大高校学子而言, 那绝对是一种非人的折磨,很多人也由此恨透了威尔斯特拉斯,啊,哈哈,这些人要说了,在威尔斯特拉斯之前,数学语言是多么的灵动和充满启发性啊。比如莱布尼兹对连续的定义,那就是画线的时候笔不要离开纸,瞧,多直观。 再比如说柯西对收敛的定义,那就是越到后面间隔越小。多好啊,连幼儿园的小朋友都能听懂。而当你威尔斯特拉斯来了以后呢?呃,存在一个 delta, 当 x 在 c 加减 delta 的范围里时, y 在 f c 加减 absolute 的范围里, 这是个什么鬼?要理解威尔斯特拉斯这么折腾的目的,我们就需要理解严格化语言对数学的重要性。 数学这门学科跟物理化学之类的学科有着非常大的区别,他不像物理化学那样建立在实验的基础上,他的每一次进展都是建立在严格的逻辑推导之上。一个定理一旦被推导出来,从逻辑上来说,就永远都不可能再被推翻成了人类数理逻辑里的一个永久性的固定结构。 除非你像破坏之神哥德尔一样干脆推翻人类逻辑本身,那咱就无话可说了。我们再回头看看 excellent dereta 语言最经典的应用,也就是对极限和连续的定义存在一个 derete, 当 x 在 c 加减 derete 的范围里时, y 就在 f c 加减 excellent 的范围里。 这什么意思呢?其实很简单,就是说当 x 的取值范围越来越小的时候, y 的 取值范围也会越来越小,最后当 x 的取值精确到一个点的时候, y 也会精确到一个点,这就是严格意义上的极限和连续。这个定义摆脱了数学定义对物理概念的依赖,比如运动啊,时间之类的,而成为了一个纯粹意义上的数学概念,并且极其的严谨。 威尔斯特拉斯给出这个定义的那一刻,也成为了数学史上最精彩的几个时刻之一。从这一刻开始,微积分或者说分析数学才真正成为一门牢不可破的严谨数学,而威尔斯特纳斯也成为严格分析数学史上最为重要的一位大神,没有之一。 好了,本视频也属于一人一公式系列视频,如果要为威尔斯特拉斯选一个成果来做自我介绍,那毫无疑问就是他用 excellent delta 语言给出的极限定义。好了,下一期视频我们将再深入的讨论一些之前在 介绍人物时粗略介绍过的一些数学概念和有趣的话题,感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注,谢谢大家!拜拜!
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今天有学生问,为什么函数可倒一定连续?我做了视频解答一下。每天一节高数课,期末考试不挂科,欢迎大家又一次来到磊哥的高数网课。今天我们来看一下这个定律, 函数 f 在点 x 零可倒,则 f 再点 x 零连续,也就是我们高中经常说的一句话,可倒一定连续,连续不一定可倒。我们来证明一下他好了。首先我们来看一下, 我写了这样的一个式子, f e px 等于雷魅塔 x 去 x 零的时候, fx 减 x 零啊,比上这个 x 减 x 零。首先我们要明白一件事,就是 f 如果在这个点 x 零处可倒,它指的是就是 f 一片 x 零颗岛,他指的是这个那 f f 这个 x f 一片 x 零颗岛,他指的是这个极限, 他指的是这个极限得存在。极限得存在。谁的极限得存在?就这个柿子他的极限得存在。 我们说了可倒可倒的话,那什么叫可倒?就你左倒等于右倒,什么叫极限存在?左极限等于右极限啊,那才叫极限存在。好,那我们来看一下这个,当 x 区径于 x 零的时候, 我们来看一下,当 x 趋近于 x 零的时候,你想 x 一旦趋近于 x 零了,这个分母,这个分母 x 减 x 两,我们可以就可以认为他是趋近于这个,或者把他认为他就可以认为是一个五胸小,五胸小,因为 x 减 x 零趋近于零了。好了,那我们再来想,如果我们现在需要让,就让这个柿子, 嗯,他的分母,分母现在已经变成这个无穷小了啊。假设我分子用用狗来表示吧,我们如果想让狗 比一个无穷小,这个柿子他的极限存在,如果我们想让这个柿子的极限存在,那我们可以想想,狗肯定不可能是无穷大的, 那要让这个式子的极限存在的话,那我们说狗是不是有机会等于零?狗如果一旦等于零的话,我们就知道这个 fx 减 fx 零,他就会是这个 x 减 x 零的高阶无穷小 回忆。高阶无穷小的定义啊,就是笔直是零的时候,高阶无穷小。好,那如果我们让这个狗等于零的话,那它的本质是不就是这个勒妹他 x 区径于 x 零的时候,就这个 fx 减去 fx 零,这个东西等于零, 那他等于零的话,也就是说这个 limatx 趋近于 x 零的时候,我们要让 fx 是不是等于 fx 零? 好,那你想一想这个 fx 等于 fx 零,这又回到了我们以前说过的那个极限的问题,我们要让 fx 等于 fx 零, 你比如说我们现在随便画个图啊,随便随随随随便画个图啊,随便画个图啊,假设这是那个 x 零,呃,这是他的函数值,要让这个 fx 等于 fx, 你说这块是不是必须得是连续的? 必须得是连续的,就我们前面说的那个连续的那那块的一个概念,如果这不连续的话,你没法保证 fx 是不等于这个 fx 零啊,这个就很容易就正出来了,所以我们说的是可导 他一定是连续的。好了,那我们来看一下这块的话,他有什么用?就包括我上节课说的,他可能会让我们证明啊,一个函数在某一个点上啊,到底是可倒还是不可倒? 看一下证明这个函数 fx 等于 x 绝对值在这个点, x 等于 x, 零等于零处啊,不可倒啊。这个很简单,我们要判断他格可倒还是不可, 我只要算一下他的左右极限就可以了。我们发现他这个左右极限一个是一和,一个是负一,那也就是 x 等于趋近于零的时候,他的极限而是不存在的。那极限不存在的话,那你在呃这个点处就不可倒了。就包括我们高中学了,你看这个 x 绝对值的图像他他他 长的是这个样子,零在这个位置,零在这个位置,这是一个尖点,我们高中就说过尖点不可倒,尖点不可倒。好了,今天就跟大家分享到这里。

如果函数连续加上到函数极限存在,可以推出函数可导,妈啊,可以,这个函数,这个同学说一个函数如果在这一点连续 连续,那不就是 x 七加 x 零的时候, f x 等于谁啊? f x 零 再加上一个谁啊?导函数的极限存在,那就是这个啊, x 倾向于 x 零的时候, f 一撇儿存在, 大家注意啊,这点连续,这点导函数极限存在,能不能推出这点导数存在? 我们说可以,为什么?从定义出发看, f 一撇这个 x 零是不是应该等于这个就是 x 趋向 x 零,然后 x 减 x 零, f x 减 f x 零, 你要推这个存在,那么怎么推这个存在呢啊?这个时候大家注意,你看,首先分母取向零,根据连续性分子选零比零,能不能用诺贝塔呢? 用了洛贝塔以后,极限只要存在,那好,我们用一下洛贝塔,你用洛贝塔,下面就一上面就是 f 一撇,你不是已经告诉我这边存在了吗?那么这边存在,根据洛贝塔这两就能划等号, 这样能划等号,这个存在,那这个就存在,那这个就存在,所以这点连续加导函数极限存在就能推出,这点可搞啊。

注意看,眼前这种问题,叫小岛三秒钟暂停判断对错,三二一,公布答案。填对的同学非常好啊,都滚出去,滚的远远的,填错的同学往下听。我们都知道可倒必连续,但这句话其实不严谨,准确说是一点出可倒推,该点连续。因为导数定义这个极限存在,分子事故从小, 而这正是连续的定义。但是一点处可倒,却保不了淋浴处处可倒,处处连续。你可能想来想去也没想到返利啊!对,因为你的例子都太正常了, 我们得找一个奇怪的图也画不出来的。比如迪丽克雷改造一下 f 加 f, 等于零处导数为零。但巨型领域处处极限不存在,也就处处不连续,不可导。因为不论有底数还是无底数, 只要 x 不是零,你去 x 的时候,函数值就始终在零,和一个倒零有点距离的数反复膨胀。所以,如果一个题只说 x 在 x 零处可倒,可千万别认为 x 在 x 零的 附近也可倒。像这样的路利达,一用就是零分。再退一步, ic 处可倒,能推出 i, 在他的领域处处有定义吗?必须的,有定义是这个极限存在的前提啊。有些迪咪又要问呢,这有什么用啊?没见过这种题啊!来,请问,这种命题 见没见过对不对?是对的,原理就是死。有感觉,点个赞,学会了,点个收藏。


分段函数的编导数存在问题以及是否连续的问题。简单,哪个更简单?编导数存在的判断更简单。分段函数分段点,编导数的存在性两个方向,第一个方向编导数定一,第二方向,求编导看极限。 求编导,看极限,他不有一个前提吗?什么前提?定义咱不用,因为你此时这个函数用定义算的话比较复杂。求编导,看极限呢?求编导,看极限,他有一个前提啊,不是换好数之后的函数连续吗?好了,那你就先换值呗。 x 求编导的时候,你先把歪的值换进去,哎,他等于零,并且在此点也是零。好了,换好值的那个函数他连续了,你可以直接求了。对,他求编导,长数的倒数依然是零,同理,这个也是零, 因为你换好值的这个函数等于零,这个点等于零,在此点他连续了。怎么的?求编导好说,两个编导你都算出来了,你都算出来了,而且是正确的算出来,那他肯定就存在呗。好了,编导是存在, 然后看连续性吗?连续性你可以先考虑一下,先正一下,不连续,这个情况如何来?正不连续是路径呢?随便是一个呗,你另外等于 s 三次方, 此时怎么呢?次数统一了就直接算出来了。在这个路径上取极限的话,函数的极限等于二分之一,不等于函数值不连续。直接锁定了,选 c。