概念题泰勒公式解法

泰勒公式计算极限需要展开到多少阶？很多同学在复习极限的时候都会出现这个问题，用泰勒公式展开到多少阶算极限呢？咱们今天就彻底用几个题目搞定他。 这是今天要讲课内容的目录。第一，预备知识，告诉同学们要掌握这一节的内容需要掌握哪些预备知识，提前先准备好。第二，重点开始讲解泰勒公式展开接触是怎么确定的。第三，还有最粗暴的方法，一个一个来说，先说预备知识， 预备知识那提前先学好。首先呢，用泰勒公式计算机械，咱们得知道一些简单的泰勒公式吧，尤其是含有佩亚诺鱼象的麦克劳林公式，这些是最为常见的。当然泰勒公式有很多很多呀，可以认为有无穷多个， 我列举出来的这几个呢，只是非常常见的，同学们不单要会这几个，建议同学们还要多背几个泰勒公式，比方说 assign 的呀， 还有 arctantent 呀，还有 tantent 的。嗯，你最好你可以考虑把 cotantent 也能写出来，但类似的你可以把它都写出来。 所以这些呢，建议同学们也要多储备储备，以防万一。那这些我没有写，因为这个涉及到其他类型的泰勒公式展开的内容不在咱们今天讲解的范围当中，所以今天咱们重点讲解泰勒公式怎么确定展开几阶的。 之后呢，还会给同学们单独录制一期泰勒功是怎么展开的细节告诉同学们，给你一个函数，比方说 ah， 看真的 sign x 怎么展。 这个呢，同学们也可以自己先学好，进一步的再往下。第二个需要掌握的预备知识是高阶无穷小的运算，因为这里边会涉及到高阶无穷小 下列式子当中啊，出现 o 一星均表示一星的高阶无成效，这个也是咱们常见的表示形式，来看看吧。第一个， x 区间于零的时候， ox 比 x 的极限等于零，这个非常常见，而且这个有公式的意思， 还需要保持形式的一致性。也就是说，如果我们把这个星号写成方块也是可以的， 但只要这里边这个方框区均于零的时候呢？方框不能等于零就可以了，所以你可以把 x 换成方框，你甭管它是 x x 方还是三 x， 哎，满足，所以这个可以当做一个公式来记忆。第二一个， o x m 次方加减， o x 的 n 次方等于 o x p 次方，其中 p 也等于 m n 当中的较小者，这个是啥意思？这加减怎么就等于 p 次密了吗？ p 还是 m n 当中较小的那一个，这实际上就是所谓的低阶吸收高阶。举例子， o x 加上 o x 的平方等于 o x， 它可以放到这里边去， 但你高阶的吗？高阶比这 ox， 那说明你的级别更低，更快、更小，所以你就放到 ox 里边了，所以这就所谓的低阶吸收高阶。进一步的再往下后面罗列的这几个呢，是乘法以及乘方的，看这两个相乘 次密呢就会相加，这两个相乘次密也会相加。如果 x m 次密的高阶无穷小，再摁次密，那就是 x 的 m 乘 n 次，那这跟咱们中小学算的那个运算法则是类似的，就这几个得额外记住。另外还有一个除法的除法，这里要注意 o x m 次密除以一个 x n 次密等于 o m 减 n 次密， 这里要求 m 要大于等于 n 啊，要不然的话，这就不能这么写了，而且注意这个除法只有他同学们可以思考一下 这个式子对吗？ 但是你可以思考思考，那告诉同学们这式子是错误的，所以这也没有总结它， 所以这些高阶无中小的运算呢，非常有帮助。不要小看这些高阶无中小的运算，在二零一三年，同学们可以查找一下真题，就考察了高阶无中小的运用。 哎，我记得那一年是数三考的，感兴趣你可以看看，就真题就考过，判断下列哪个是正确，哪个是错误的那种题。好，这是基本的知识。进一步的再往下咱们来看重点内容，泰勒共是展开的接数怎么确定的？ 泰勒公式应该展开到多少阶呢？很多同学都听说过，应该展开到分子分母同阶展开多了呀， 浪费感情，不节能减排，不环保。展开少了呢，精度不够，计算一定会出错，所以你得展开到刚刚好，刚刚好就知道分子分母展开到铜接，而且这里面这个铜接需要注意，展开成泰勒公式，并且化解之后呢？铜接指的是最第一次密的，密数相同 哎，你也可以理解成他们展开造分子分母都有 o x 的 p 词密都有，这个也是可以的。说，那什么意思？这句话是啥意思？罗列几种情况给同学们详细的讲解一下。 具体来说呢，有下面这几种情况，咱们咱们一个一个来分析啊。看第一种情况，分母已经知道是 x 的 p 次密了，那么分子也应该展开到 x 的 p 次密， 那这个时候可以列成两个极限分别计算，而第二个极限咱们刚才研究过，第二个极限为零，而第一个极限刚好就等于 a， 所以这么去计算，所以这个是已知分母展开到 xp 四米了，那么分子也展开到 xp 四米了，没毛病。 或者有的时候，它分子没有 x p 次密，那你就展开到 x p 加一次密，比方说这个意思吧，分子有个 saa， 哎，但是分母呢，有个 x 平方，对吧？你这个 x x 没有平方向啊，那你就展开到三次方 也是可以的，你要觉得三次方太多，你就展开到平方向，也可以再展开到依次方向，展开到 x 可以了，因为 x 后， 你就可以直接写成他，因为下一项就是三次方，这也是可以的。那这种情况呢，稍微有一点点少见，但要知道，因为有的他的故事展开呀，他是隔一项的，不是连着的。再来看第二个，第二个跟第一个其实是一样的，只不过分子分母颠倒了一下， 所以呢，展开的次密呢，也都是类似的，但是有一个小小的细节不一样，这个可以直接算出来极限，而这个算极限的时候呢，需要分的分母同时除以一个 x p 次密， 哎，需要这样一个小小的操作，而这种操作啊，在计算极限过程当中啊，偶尔会用到，而且有的时候如果真用到了，效果会非常明显，当你对一个极限无法处理的时候，你用他做，哎呦，有的时候真的是能化腐朽为神奇。 来看看这个吧，你把它一除，这变成 b 了，这变成他了，然后这个是一，那这个 b 呢？和他极限就是 b 来出现这样的一种情况，而且这里面有个条件，如果这个 b 要等于零了，那我们可以认 这个极限呢，直接就等于无穷就行了。哎，偶尔会有情况， b 等于零，但这种情况就是分母的次密更高么？更高阶无用角，那就直接等于无穷，这也是可以的，而且 a 呢，也有可能会等于零， 这是额外的一些情况。另外再看第三种情况，第三种情况呢，可能是计算太乐公式当中，同学们最不熟悉的也就是分子分母，并没有直接告诉我们到底展开到了多少次密，需要我们自己分类，需要我们自己分析， 我们就需要这样的去操作，那到底怎么分析啊？你怎么就知道展开到这呢？哎，这就需要用到后面给同学们的一个补充的说明了。 说在 f x 或者是 g x 当中，就是咱们刚才那第三种情况吗？如果有加减法哎，那么我们应该展开到不为零的最低次密这种情况，哎，所以这个我们需要注意一下，也就是说举一个 例子啊，比方说 x 减 c y x， 这是一个加减法吧，那我们如果展开成泰勒公式，展开到哪儿呢？ 哎，展开到这就行了，为什么呢？因为这俩打开之后， x 约掉了，但是出现了一个六分之一 x 的立方， 所以他俩一展开之后，展开到最低的那个不为零的那一项就可以了，他后面的后面都不用写。说，老师，那我还能写出来 x 五字密吗？写出来实际上也多余， 所以你展开到这就可以了，除非呀，他又这么写了，转 x， 然后再加上一个 x， 减去一个六分之一 x 立方，然后 再减去一个三一 x， 除非他这么写，你要这么写的话，那六分之一 x 立方还和这个六分之一 x 立方会约掉，那你这个时候这个三一就应该展开到五次密，所以这就是所谓的展开到系数不为零的最低次密， 这就是加减法做遵循的规定。当然这个规定呢，在很多其他的参考书当中也列举了，所以这个如果你要是看其他的参考书啊，也会看到，但是并不是每一本参考书都这么写，所以给同学们做一个补充， 好进一步的再往下。建议在同学们计算极限过程当中啊，用泰勒公式计算的时候，把高阶位用小写出来， 确保呢，展开的接触是正确的，不偏不倚的，否则呢，容易出错误。后面会有一个易错题告诉同学们，如果你不写这个呢，你算错了，可能还不知道这个，一会咱们通过例题来说明，咱们来看一看相关的例题吧。例一，计算这个极限， 他这个极限还是比较直白的，你一看就知道分母给了 x 四次密了，所以我们只需要把分子展开到 x 四次密出来 o x 四次方就可以了， 这太简单了，展开吧，这就是接下来背泰勒公式，然后泰勒公式往里面套就行了。这两个式子我不过多解释了啊，直接套公式就完了。现在把这两个公式呢化解一下，带入到原题当中去，带吧， 代入道中，化减化减，最后的结果出来，负的十二分之一，这个不用再多讲了，这个太简单，这个只要你稍微知道一点泰勒公式，咱们计算极限这题就会看。第二题， 当 x 区均零的时候，这一堆一减去三个口，再相乘和 a， x n 次密是等价无穷小，求 n 与 a 的值。这是某年真题，再就真题原体说，那这 原因， x n 次密是等价无穷小。哦，那我们知道了啊，可以列出来这种式子，你看，这不是等价无穷小的定义吗？但是这个式子呢，跟之前那个题不一样，他好像没告诉我们这个 x 的 n 次密，这个 n 究竟等于几，不像上一个题似的直接知道。哦，那个分母是几次密，三次密，四次密还是五次密？这个不知道 说，那怎么办呢？那我们展开到多少阶呢？哎，别着急，咱们仔细看看分子分母，不知道咱们就处理不了了。不处理不了分母了，我们先处理分子，分子当中 请看是不是一个我们之前所说过的加减法的形式。那么这种加减法怎么处理？哎，只需要展开到最低次密不为零的那一项就可以了。那咱们展开吧，那展开到多少阶呢？实际上告诉你们展开到平方向就行了，因为都是口才嘛，第一项是常数，第二项就是平方向。那咱们接着 展开展开展开展开。这个你把 x， 把二 x， 把三 x 呢当做整体往里边带入，展开到平方向，然后进一步的带入计算，这是口塞印，这是口塞印，二 x， 这是口塞印。三 x 带入之后就会发现，展开到最低次密不为零的那一项，其实就是这呢。 哎，这就是这，有同学有感觉说，老师，我哪知道展开到平方向就能出来呀。那我要不知道我展开到四次方向呢？如果你真不知道的话，你也可以多展开两项，展开到四次方向， 打开到四字方，你再再加一个呗，这个再加一个呗。最后这块每一个都是 ox 四字方呗，这个也是四字方，这个也是四字方。但实际上你算完了之后，你会发现最低次米还是七 x 平方，你后面加了一堆三字方。四字方没有用， 只要找最低次密就可以了。哎，所以当你实在不知道的时候，你就展开到四字方。四字方之后呢，就是多算点呗，然后你就 出来他了。那真正在考场上应该怎么选择？那我上来就展开到四字方吗？不到考场上的时候这么干。先展开到平方 就展开到这，你看能不能算出来这个不为零的最低次密，如果能，那咱们就不用展开到四次密了，如果不能，咱们再乖乖的展开到四次密。这，这是一个小的技巧，你别上来就展开到四次密，那你亏了。现在上来就展开到四次密，相当于默认。嗯，我就不管他平方向能不能行，我就展开到四次密。那其实是有点不太好， 你要展开到平方向，兴许他真展开到平方向就行了，你就赚了时间了。所以这个到这了，到这了之后，我 a 和 n 就出来了， n 就是自然是二了，七就是 a 了，他不是说等价有同小就完了，所以这题就结束了。 那说能说难吗？不难哎。所以当不知道分母展开到多少次密的时候，直接干分子进入，我们来看这个题目。第三 说这例三一，看题目啊，说这太简单了，分子已经到三次方了，分母已经到三次方了，那分子呢？分子咱们都展开到三次方就行了呗。有同学想到，哦，明白了， loin， 三次方，一的二分之一 x 展开到三次方。 哎，可以这么想，但实际上这个题呢，有一项可以少展开一项，你看这这个 e 这块前面是不是有个 x， 如果我们这个 e 的二分之 x 就展开到 ox 平方这一项， 那由于前面乘以了个 x， 根据咱们高阶无中小的运算法则，是不是前面由于乘了个 x， 这个 o x 方就会变成 o x 立方呢？ 对吧？哎，正因为这个道理，所以啊，我们这一项 e 的私密这一项根本不需要展开到 o x 三次方，你展开到三次方就多余了，展开到平方就行。所以 这个就是刚才咱们所叙述的展开到平方向。那咱们展开吗？简单 low 完，直接展开到三次方， e 的次密展开到平方前面乘以了个 x， 自然你每个都乘以 x， 又出来 os 三次方了，从而进一步的往下 把分子整个都凑出来，这个是 l n 的，这是 x 乘以 e 的那部分，然后再加上一个高阶无中小，别忘了减一个二 x， 在这呢，你会发现 x x 减二 x 依次项没有了， 哎，然后你会发现二次象好像也没有了，那没关系啊，剩个三次象，所以我们展开到最低不为零，次密就是三次象，那肯定是三次象，因为这分母是三次象吗？ 那接下来你直接算就行了，直接最后结果就是二十四分之十一搞定了。那这题需要注意一个小小的细节，跟之前不一样了。哎，前面乘以了一个 x， 我们可以少展开一下，好进一步的。咱们再往下看题 题，看这个题目第四题。那这个第四题怎么又比前面那些题目进化了呢？这个题的进化就在于啊，分子和分母好像都不确定是 x 几次密，或者说一眼不太方便能看出来， 对吧？你不像刚才那几个提示的分子和分母都知道哦， x 三的往外，这个 x 四的方，那这个是什么呀？看不出来。那看不出来，我们就得先确定一个吧，我们先确定分子还是分母，我们可以考虑先确定分母。为什么呢？你要确定分子，是不是你得把这两项都处理一下子，你才能出来分子啊， 对吧？那分母呢？你只需要处理这一项，因为这项不用展开呀，所以分母只需要处理一项。简单一点，咱们先处理分母， 分母儿出题吧， low in 一减 x， 用负 x 替换 low in 一加 x 里面所有的 x 会得到这一堆，然后呢， 两边同时加 x， 加 x， 你会发现了哦，又出来这一堆，注意啊，我一开始为什么展开到五次密室，我也不知道展开到哪有用，但展开完了再加 x 就发现了哦，展开到不为零的那个最最低次密就是负的二分之一 x 平方，所以我就要这一项，后面那些全都写到高阶无穷小当中， 那就这么干，那我就明白了哦，中括号这一项啊，就写成他就完了。 哎，那前面再乘一个平方，那你就都变成四字方，这有个四字方，这个 ox 四字方，所以我们就确定了。哦，分母啊，展开到了 ox 四字方， 那咱们分子也展开到四字方法，展开到四字方，那不就信手拈来吗？这你展呗，展呗，那展完之后，你这个区括号化减化减，然后这时候就可以分子分布带入了，带入化减这个过程不带 细讲了，同学们你要想自己算一算，可以自己算，最后结果等于六分之一，哎，所以你看这个题啊，当我们不确定分子分母展开到多少阶的时候呢？我们可以先选择一个分子或者是分母先确定出来，然后另外一个呢？救着他。哎，我判断出来五个分母是四字方的，你的分子你随着我，你也到四字方 这么去判断，而且你看这里面加减法怎么判断的呀？就展开到座椅第一次面那个不为零的那一项就可以了， 这就是例次。再来看例五，例五这个题目，要说这个极限存在，求里边常数 abc 的值，哎，并求这个极限等于多少？他只说这个极限存在，没说等于几啊，可能等于零啊，可能等于一个非零常数啊， 真的，我一看这力五，感觉好像，哎，这不回去了吗？你前面那个力四，最起码分子分母还没告诉展开到多少级，还复杂一点， 这个例五已经告诉我们分母是四次方了，那我们直接展开到四次方不就行了吗？那真的，这题有什么难的？要注意，这个题不是那么太一样，这题属于易错题， 还记得之前给同学们讲过吗？计算这种极限的时候，用泰勒公式的时候最好要写出来，这种高阶部中小如果不写呢，就容易出错误，指的就是这个题，这个题是一个易错题。 易错题在哪呢？有题这么想说，哎，这里有一个平方，我这个 e x 原本要展开到四字方，是不是因为有了这个平方，我就可以把 e 的 x 展开到平方向呢？哎，我只展开到这呢， 那我他俩一乘，是不是就出来 o x 四次方了？哎，有同学就这么想的，但是我告诉你，这么想，错误了， 错在哪呢？哎，你可以先自己暂定，先想一想。当然，这个错误的方法呢，我先不讲，我先讲正确的方法，讲完正确的方法再来说这个方法哪错了， 我们先展开到四字方。规定啊，就是展开到四字方得出来。 os， 四字方，那展开吧，展开完了之后就带入啊，注意做好心理准备。势子有点大，赌博都画中国号了。 写成这个狮子，然后再撑开。撑开的时候需要注意一些细节啊，同学们，撑开的时候呢，只要比四字方高的，都放到这里边，不用写出来。比如这一项， 他俩要乘完之后啊，原本应该等于六分之 c， 呃， x 的五次密，五次密已经比四次密高了，所以直接放到这里边，这一项根本就不用出现。能理解这个意思吧，全都放到这一堆小喽啰里边，这一帮小弟里边，放到这里边 就行。所以我们展开之后啊，其实很多项不用写，反倒没有特别复杂，我们来看一看吧。 当然不是特别复杂，也挺复杂的，这一行都快写不下了，展开之后等于他对感兴趣，你可以算一算，初中生也能算明白啊。接下来咱们合并同类项，合并同类项指的就是一次项和一次项，合并二次项，二次项合并常数项和常数项，合并三次项，四次项也类似合并，合并完了之后，我们会得到这个结果， 同学们请看，这就是合并完了之后，带着 a、 b、 c 最后的那个式子看已知条件，他说这个极限是存在的。 同学们思考一下，那你必须得要求这些系数，怎么办呢？是不是这个得等于零呢？这个得等于零呢？这个也得等于零呢？为什么呀？因为这是一次密、二次密、三次密，如果你有一个不等于零，那你除以四次， 这就会趋近于无穷了。所以一次密、二次密、三次密的系数必须都等于零。而至于这个四次密的系数呢？那你随意，你想等于零就等于零，不等于零也没事，反正最后我们算完之后，极限的结果就等于四次密的系数，这个能理解吧， 反正前面的系数都等于零了，都等于零了之后呢？这就构造出来一个关于 a、 b、 c 的方程。解这个方程，我们就得到 a、 b、 c 的值，得到 a、 b、 c 的值，这个极限的值也就出来了。所以这个思路很清晰啊，进一步再做吧。那要求这个极限是存在的，那么咱们就满足这个方程， 这是一个方程组解呢，我也省略了，告诉同学们解出来的结果， a、 b、 c， 然后接下来把它带入到咱们刚才算的那个四字方的系数当中，最后得出来七十二分之一，这个题就做完了。这是一个正 确的过程， e 的 x 需要展开到 ox 四次方，我们再来看看常见错误说。有同学认为呀，就像我刚才所说的，前面有一个，这个不有出来平方了吗？那我展开到平方行不行呢？展开到平方呢？一定要注意，他就不行了。 我们先来看看这个正确的过程，我们就着这个正确的过程，我们给他改写一下，改写成这个错误的方法， 也就是说，如果我们要把这一部分全都写成 o x 平方，同学们，你想象一下会出来什么状况？哎，这个不要了，那咱们乘乘 乘，乘完这三个，你看看会等于什么？ o x 平方乘以一，是不是还是 o x 平方？ o x 平方乘以 b x， 是不是得到一个 b o x 三次方，对吧？然后这是变成了 c 乘以一个 o x 的四次方，所以这个 o x 平方乘以这三个之后会得到这三个。 同学们，千万不要忘记高阶无穷小的运算，为什么之前给同学们补充高阶无穷小的运算，为什么那是先决条件，或者说是那是预备知识呢？你看看这三个，这三个如果加一块的话，根据低阶吸收，高阶是不是只能得到他呀？你等不出来 ox 四字方吗？ 对吧？那你想想，如果分子当中一直有他，你甭管会出来什么别的东西，总之这个极限当中啊， 分母 x 四次密是确定的，分子有个 o x 平方，你别的你再加减，什么玩意？你这个式子怎么处理？ 你好像永远处理不了，哪怕你就是把这些这一部分的极限算出来，精确算出来，你这一部分也算不出来呀。 哎，这个展开的不够精细，比 x 平方高阶的物种小，那比上一个 x 四的房，那等于什么？有可能等于一个零，有可能等于费零，常说还可能等于无胸大的，这都有可能，所以这部分算不出来，所以这样子做是错误的。 前面同学们千万不要以为有 c x 平方我们就可以少展开两项，不行，我们得看乘以的。这前面这一堆最低次密，最低次密其实是一， 他跟乘以个 x 是不一样的，所以这是细节，这个是从高阶无穷小来理解的，而且理解这个错误的方法还可以。从另一个角度，同学们，我们想象一下，如果这一部分都不写的话，还是写成 ox 平方，那同学们，我们就想是不是 这一项就丢了，那当然这一项也丢了，那同学们你想想，那这个六分之一 x 立方和这个 b x 乘完之后得到的六分之 b x 四字方，是不是自然也就丢了？他根本就没有这一项，那自然也就没有这一项了。 而分母是 x 四字方。分子，你怎么能丢掉 x 四字方呢？你丢掉了，这不就丢掉一个系数吗？丢掉系数自然就影响他的精确度啊。那同样这个和他相乘也丢了， 对吧？所以这些都丢了，而且六分之一 x 立方丢了之后呢，还会丢一个三次方的，他俩相差会得三次方也丢了，所以我们丢了一个三次方和两个四次方的， 所以肯定精度不够，丢东西了呀。所以从这个角度来讲，也认为展开到 x 平方是错误的。但实际上同学们告诉你一个细节，如果你就展开到 x 平方，假如说你这个高阶无用脚不写，那也就没有这一项， 那你最后算的时候， abc 也能算出来，最后的极限值也能算出来，而且算出来之后呢，还挺像正确答案的啊。我记得有一个什么四分之一什么之类的，特别能迷惑人，所以不信的话，你把这个例物给你周围的考研同学做一做。很多同学就因为有个 cx 平方，他一的 x 就展开到平方向了，然后就错了，然后你把咱们这个过程告诉他，哎，你展开错了， 所以这是一个常见的错误。在最后这个阶段呢，给同学们多说了点，因为易错呀，千万不能光记录正确的做法，还得知道错为什么错了，这才算学到家。好，这个题说完了，进行一步，再往下第三个部分， 上面的方法呢？有没有感觉到还是太麻烦？哎呦，展开的通阶我得找加减。展开到最第一次不为零的那个词密还是有点复杂，有没有更粗暴更直白的？ 有，遇到极限体，直接无脑展开到 x 无词密，哎，你不用想什么题都展开到无词密，为什么呢？因为这招可以解决百分之九十九的题目，我试验过，不光我，别的同学也试验过，你可以去试试，确实没问题，仅限于考研数学范围啊。考研数学一二三没问题的，你去做吧。 当然这个方法也有 bug， 说展开到五次密，哎呦，那次密高，计算量大呀，这就没办法了，你记不？你不想记那么多的原理，你还想计算量小，这好事怎么都能落你头上呢？ 那这不太可能，所以咱们考研数学不光是考研数学，整个数学其实就是一个按下葫芦起来瓢的问题。数学思维的简单与否和计算量的简单与否，往往你得选择一个，你觉得计算量复杂了，你想找一个计算量简单的，那这个思维程度就得深，他就不 不好想。如果你想思维轻松一点，好想一点，那可能计算量就比较大，很难有两个同时达到完美的。鱼和熊掌不可兼得。所以你可以看看你到底是可以舍弃哪一个，做一个选择，就这个也是有的，那你直接展开就可以了，这是最粗暴的方法。 最后呢，给同学们辅助了几个练习，这几个练习呢，其中第三个题目啊，有一定的难度，我会单独在录制一个视频讲解这个题。我给出了这个题的好几种方法，其中一种是泰勒公式，另外还有几个别的方法， 希望同学们多多关注我。后面这是答案，做完了之后呢？对对答案，看自己对不对。好，这节课咱们就讲解到这里，喜欢我视频的同学可以关注我的 b 站，心仪学长。