小孩哥麦克劳林公式

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

遇事不绝，泰勒展只有多长展多长？很多同学说想听一下泰勒公式，我们高中阶段所用到的泰勒公式其实是它的一种特殊形式，麦克劳林展开式，他说的是任何一个函数 fx 都能写成 fx 的 n 街道的关系式。 我们今天看看他用来取近四值的方法。首先常用函数一的 x 的麦克劳林展开式是这个样子， lowyyx 加一的麦克劳林展开式是这样。注意看这两个式子，如果 x 接近于零 x 的三次方这一项就已经非常小，所以可以把 e 的 x 近四的看成一，加 x 加二分之一倍的 x 平方。 同样的道理，捞引 x 加一也可以近四的看成 x， 减去二分之一 x 平方。注意，这样取近四值都有一个前提条件，就是 x 接近于零。在这里我们一般认为 x 的绝对值不超过零点一就可以。那么这道题小 a， a 等于零点一倍的一，等零点一次把 x 换成零点一，最终约等于零点一一零五。小 b 是九分之一，它约等于零点一一一一。小 c 是副的 lone 零点九。需要取 x 等于副的零点一， 最终小 c 约等于零点一零五。然后就能直接得到答案。其实这样取的进四值结果是非常精确的，赶快自己用计算器验证一下吧。

同学们，你们看一看，看一看啊！你们只要知道麦泰勒公式的麦克劳林展开解决今年的新课标一，简直如同砍瓜切菜如此简单，所以在高中阶段一定要用能用好简单方法就用简单方法， 轻松的利用太乐公式把这三个暴力解出来，很容易知道他们大小关系，秒选 c 啊，这你这样这样计算，一分钟两分钟就算出来了，如果你用标答的话，做死你，你看看今年的标答的他这样的一个 这样的一个解题过程，一千个人里面有一个能做出来吗？哎呀，所以说一定要什么站得高，看得远。