反向洛必达使用条件

大家好，今天咱们终于讲到这个洛比达法则了啊，那什么是洛比达法则呢？咱提前先说一下啊，实际上洛比达法则他是科技中制定理，上节课刚讲完，他是科技中制定理的一个非常重要的应用。那么比如说，咱们说一个吧，比如以第一个为例啊，就是求他的极限。 当然了，方法很多啊，咱用之前学过的等价无穷小量，当 x 趋近于零的时候，你说这个一键口算 x， 它的等价无穷小量是多少来着？是二分之一 x 方吧。这个我记得啊， 所以说这个原式的话，他实际上相当于求的谁啊？原式相当于当 x 均为零的时候，你分子就直接等价无限量换一下就行了啊， 最终结果当然是二分之一了，很快就求出来了。但是我们再换一种方法，换第二种，就是说这个科西中制定理的方法。嗯，这个科西中制定理的话，用什么方法解呢？咱们 把这个分子呢看成这个 fx， 一键扣三 x， 然后把这个分母呢看成这个 x 方， 那剩下就很简单了，分子分母都可以求到啊，而且零到 x 之间，你随便求到的话，他都不可能取到多少，都不可能取到零的。那既然如此，咱们就写了啊，根据科技终止定理，这个 x 等于零， 然后原来他这个是 fx， 比上 gx 吧，改了个形式而已。那减去 f 零， 然后再减去 g 零，实际上跟本身是等价的。为什么？因为这个 f 零等于零， g 零也等于零，你单据一算就知道了嘛，对吧？那就变成了什么？其实呢，就变成了他中间会有一个数字的啊，一会我再写， 哪个数字呢？在零到 x 之间会存在一个可赛，使得什么？使得这样一个值，它是等于一届 导航数所定的科赛处的那样一个导航数的直的啊，这一片科赛。但是因为什么？因为你根据科学中制定理，这个科赛他必须在零到 x 之间，或者呢，当 x 小于零的时候，在 x 到零之间，这个大家知道就行了。 所以说这个科赛不也缺军训零吗？那既然科赛去军训零，你把这个赛换成 x， 他其实都是一回事了啊，这大家知道就行。那这个不就是什么？当你把这个 f 零和 j 零都变成零消掉以后，这个实际上我想说的他就是罗贝达法则另外一种写的形式， 不信呢？我们分子求一下。分子求一下是多少啊？哎，他求导你总会吧负的扣三，那求导之后，那不就是三 x 吗？没问题，分母求导得什么呀？二 x 对吧？我们发现画圈部分，当 x 去运领的时候是等价无穷小，那最后的话不就得出来是二分之一了吗？这个没问题了， 那现在的话，我们就把这种零比零的形式呢，称为零比零型的不定式。当然也有无穷比无穷的，比如说第二个立体啊，无穷比无穷这种类型呢，就这样一个极限，他称为无穷比无穷的不定式。 那么再根据科学中指并定理呢，可以得到这个洛比达法则。具体来说，什么是洛比达法则呢？现在来说一下，先介绍第一种类型啊， 零比零的，一会再介绍无穷比无穷的。他的前提是这样的啊，有两个函数， f 和 j， 如果这两个函数在 x 零的某个去信里，因为都是磕到的，并且分母的一些导函数肯定永远取不到零。好，这是第一个，那第二个就是说什么 零比零，那就是说当这个 x 趋均于 x 零的时候，他这个极限分子 f 和分母这都是趋均于零的，那么而且呢，一接到 函数的比，这是一个确定的数字 a， 或者说也有可能是无穷啊。那么此时注意，那么后边他是什么？他是结论， 前头都是条件的，当你满足这三个条件以后，我们直接求导，其实非常简单，咱们先证明一下，一会再运用啊， 看好了。嗯，好。步骤一，第一步的话，嗯，一定要注意啊，当 x 区域 x 零的时候，这个函数在 x 零处可能没有定义，但是他曲均 x 零的时候，他是等于零的，那我们可以给他补充一个定义啊。嗯， 顶多顶多这个 x 零是可去定断点，可去定断点的话，我们就补充 x 零的地方连起来就可以了，就这个意思应该理解吧。步骤二的话，就是利用可惜中指定理。什么叫可惜中指定理呢？我再口述一下啊，上节课已经讲的非常详细了，它指的是 f 和 g 在 x 零和 x 之间 呢，是连续而且可导的。连续而且可导之后还满足什么？还满足分母员取不到领，本来人家分母就取不到领，他已经告诉你了这个条件，对吧？然后就直接就得出这样一个结果来了。这个后边这一部分呢，就是可惜中指定理。那第三步我们只需要取极限就行了，取极限的时候你要注意， 当 x 区均 x 零的时候，而且我们补充定义了，这个画圈的部分都是零，你比较零的话，实际就相当于没有了吧，所以他这个等式才成立的。当这个 x 区均于 x 零的时候，因为你这个科赛肯定是在 x 和 x 零之间，所以科赛也是多少也一直接近这个 x 零。 那最后咱们换一下就行了啊嘛，对吧。那既然如此的话，当 x 去进 x 零的时候，你夹在中间的可赛肯定也去进 x 零吧，这个地方写科赛也行。当然按照这种写法的话，咱这个括号里头应该写成什么？应该写 成 x 啊，这样呢，就写对了，应该知道这个诺贝达法则怎么证明了吧。现在我们呢练三道题，先看第一道。那现在我们用诺贝达法则来求一下这个极限啊， 显然分子分母这样两个函数呢，都满足前提。那满足前提的话好说呀，现在一阶求导吧，求导灵敏特当 x 七零零的时候，这是零比零的这样一种类型啊。 分子求导的话，显然是一一减去口算 x 没问题。分母求导的话是三 x 方求完了吗？当然还没有。那继续往后说。 嗯，再继续分子的话，当 x 等于零的时候，扣三零等于一嘛，还是零比零的类型。继续求导，继续求导的话，这个分子就变成了三，按 x 分，猛的就变成了，嗯，六 x。 但是这个时候你其实可以直接吸六分之一的，因为画圈这两部分是等家务胸小，我们再继续用落笔大法则啊。 那继续用洛贝塔法则，分子缺到得多少得口算 x， 分母缺道就是六。哎，你说 x 七零的时候，这个口算零是多少？口算零不就是一吗？所以最后答案是六分之一。原来这个洛贝塔法则这么有用啊， 所以我们一直求导，一直求导，直到什么位置，直到不出现这个零比零，或者无穷比无穷为止。继续看第二道例题，这个第二道例题的话是这么说的， 带一下分子，分母肯定都满足要求啊。当 x 曲径于一的时候，哎，怎么回事？这个分子和分母都是曲均于零的吧，零比零的这样一种类型，那我们就竖着往下写吧。 第一步的话，分子和分母都要求导吧。求导以后的话，分子是三， x 方减三，这个没问题，然后分母的话是三， x 方减二， x 再减一，然后当你把 x 等于一代入方向， 分子分布都是零比零，还得继续往后，那继续往后的话就变成什么样子了。继续求导呗。分子求导就是六， x 分母求导的话就是六 x 减二。有人说，老师我再继续求导，不要。如果你再继续求导，这样进行操作的话，当 x 选一的时候， 他是六，他也是六。最后答案是一，这个一，这个答案就是错了。为什么呢？你一定要注意，只有满足前提是零比零这样一种类型，才可以继续利用罗贝达法则。你这个时候看一下， 当那个去菌一的时候，这个花圈部分的分子还是零吗？不是零啊，他也不是零，所以我们直接带入啊。当那个去菌一的时候，分子呢，其实就是六，分母的话是六减二四，所以最后答案的话，写二分之三就行， 应该知道了吧，一定要到哪一步？如果不出现零比零，无穷比无穷，那罗比的法则就要停止了啊。 继续看第三题，说一个法律。什么法律呢？萝卜的法则是有前提的。这道题的话，如果你把 x 等于零，带入分子和分母，他当然都是零比零。那一阶满足的话，我们继续往后求一下试试啊。一阶求倒呗， 这个分子求导的话，最后得出来一个什么结果呀？分母的话好说，就是扣三 x。 但是写到这以后，我们发现分母呢，当 x 均匀零的时候就是一，我们只需要观察这个分子就行。 分子的话主要是画圈这一部分他有极限嘛，当 x 屈均于零的时候，他的一阶倒还说没有极限，所以往后没法求了。 所以说，对于不是所有的类型都可以利用罗比达法则的，他这道题为什么不能利用罗比达法则？他不满足第三个条件，也就是说不满足，当这个 x 区别零的时候，这个 f 皮 比上多少？比比上这样的这一篇呢，是等于多少的？是等于一个确定的长数或者是无穷的。所以这个题的话，就没有办法继续求了。没有办法利用萝卜的法则不满足第三个条件， 那怎么办？但是这个题不能利用罗贝达法则，不代表他就不能求底线。怎么求底线呢？咱们只需要换一种形式啊，不利用罗贝达法则了， 分开写呗，三 x 分着 x。 好，这是第一部分。嗯，然后这个第二部分的话，我改一下形式啊，这个也很容易看出来。三 x 分之 x， 然后原来有个 x 方吧，那另外一个 x 给移到括号里头就行了。 嘿，写成这个样子。嗯，那么写成这个样子以后的话，我画圈啊。当爱情于零的时候，哎呦，这个是等价无穷小嘛，对吧？所以说他等于一画圈部分，没问题，那这个画 条部分实际也是一好，那就写上一乘，什么一乘？还有大家要注意的是什么问题？ 当爱情于零的时候，零成了一个你画圈部分，这个三，不管三什么，他最多，他也是在正负义之间，他是一个有界的变量， 有界的变量再乘一个无穷小量零，那肯定还是零呗，一乘零，所以最后结果咱们直接写一就行了，他的极限是存在的，只不过他求极限的方法不是利用罗比亚法则，是用咱直线学的极限。还有这个有界无穷的这样一些概念来求出来的啊，这跟他理解啊， 继续来看第二种类型，这第二种类型的话，你类比一下就行了啊。无穷比无穷，其他都是一样的。首先满足在 x 领的某个区县领域内，可倒，其次呢，这个分母肯定不能去领了，对吧？那另外的话是分子和分母都是无穷 无穷，这个时候其他条件都一样，对吧？那现在还是可以利用罗布拉法子的。注意啊，这个框框里头呢，是结论。 嗯，那剩下部分的话就是条件，当满足条件的时候，我们直接利用这个结论就行。证明的话，每一本高等数学参考书上应该都有，大家自己看一下就行了。现在的话，我们要做一下推论。什么推论呢？ 这样一个啊，他刚才都是 f， 取决于某一个确定值时候，他的极限是无穷，现在稍微推断拓展一点点啊，就是说什么当 f 和这前头都一样， 当 x 区域无穷的时候，他是无穷没有问题的啊。当 x 区域无穷的时候，你看把什么原来是 x 区域某一个确定的值 x 零的这样一个极限，现在变成了 x 区域无穷的极限，剩下全都是一样的，也非常容易理解。那现在 我们主要练几道题，先看第一道啊，这个第一题的话，求导可不容易的啊，大家还记得这个摊着呢， x 求导得什么吧？得 s e c 平方。这个怎么读来着？这个读的是正歌对吧？嗯，读的是正歌。 那有了这样一个求导的条件以后，接下来我们直接写就行了。分子分母零比零吧，还是无穷无穷啊，无穷比无穷的类型。那分子分母我们直接求导呀， 求到以后的话，分子刚才他们已经写过了，我就直接写了啊， s e c 啊，赛克的平方 x， 三倍的 s e c 赛克的平方三 x。 嗯，那写成这个结果之后的话，我们只需要稍作整理啊，稍作整理，稍作整理以后的话就变成什么结果。你这个塞肯的哎，你说这个塞肯的它相当于什么？ 还有他相当于这个口算分之一啊，对吧？那既然他相当于这个口算分之一的话，你带入之后呢，稍作整理就可以变成我后边写的这样一个形式了。他是啊，口算的平方啊，三 x， 然后分母的话是三倍的口算方 x。 好了，写完了。 那写完之后分子分母你看一下，告诉我这个区群多少分子分母，仔细想一下哦，区区零变成了零比零的这样一个不定式了，对不对？零比零的不定式还可以进行利用，落不大法则。那就继续写呗啊，继续进行写，只到不出现零比零和无穷比无穷为止。 那分子去求导得什么结果？得的是，我就直接写了负三三三 x 啊，然后再乘一个二倍的 扣三三 x， 这个你自己利用复合函数的求道法则写一下就行。也可以自己练一下啊。负三乘二， 口三 x 三 x 写到这了，然后哎呦，一看画圈部分是一个三的二倍角展开啊，这部分不也是三的二倍角展开吗？ 所以说你分子分母和这个谁呢？这个负三和负三我们是不是就直接比掉了？负三和负三就消掉了啊？因为他比值等于一嘛。 那根据二倍加的展开公式，他不就是三按多少？三按六 x， 再比上三按二 x， 你要让我写，我就知道他最后结果肯定是六比上二等于三。 那写到这一步以后的话，我们发现分子和分母还是零吗？因为六乘二分之派，他等于三百还是零比零。行，那继续求道。只能这样了呀，那有同学写到这的话，就不敢往后写？不是的啊，一直往后写 写就行了，不用担心。那么就写成了六口三六 x， 他的话是二口三二 x。 现在呢？终于可以写多少了？终于可以写最后答案了。 告诉我，当 s 奇骏二分之派的时候，二 x 其实也就是口算派，他等于几？等于负一哎，那口算六派哎，也是负哦。最终答案当然是三就写完了，这才是第一道题。那继续来看第二道吧。第二道呢，跟之后我们要学的态度展开关系非常密切。看这道题， 这道题的话，如果你作为高中生，没有学过罗伯达法则，还有严格的这个极限定义，那你现在的话可以直接写。最后答案就是，无穷就是真无穷。为什么会出现这样一个后果呢？ 直观上来理解，指数啊，指数函数啊，它的增长方式实际上是要远大于增长速度，是要远大于这样的 蜜的形式的， xn 的形式。所以说，这个时候我们直接写无穷就行了。那有同学说，这样写肯定不行，你作为大型的，这样写当然不行了。罗贝达法则吧，分子分母现在都是无穷比无穷，那写呀。第一步，当 x 趋均于正无穷的时候， 分子求导啊，分子求导永远是以 x 方不会变的。分子求导不变啊， n 成 x 的， n 减一，继续写，当 x 取决于正无穷的时候，那就变。哦，分子还是这样，那分母求道就变成了 n 乘 n 减一， 然后再乘 x， n 减二啊，继续往下写呗。最后一步的话，我们先写倒数第二步吧，也别直接到最后一步了。 倒数第二步，分子永远是一的 x 方，然后 n 乘 n 减一，一直乘到哪？一直乘到二乘 x 的一次方。好，最后 一步终于结完了。那最后一步的话，这个分母长什么样子啊？分子的是不变的。分母不就是从 n 一直乘到一吗？从一乘到 nn 的结成好了。当 x 区均无穷的时候，你看 下边，他总是一个有限的数字吧，那上面是一个无穷的变量，无穷的变量比上有限的数字，那当然是一个无穷了。最后答案就是无穷。难道诺贝达法则就只有零比零和无穷比无穷吗？有些书籍上，比如说同济那一版高等数学等，他真的只有这两种，实际上远远不够。我给大家补充一些比较难的考验时候常用的啊。 零成无穷他是有的，不信我们来做这道题。这道题从何入手呢？你得写成笔直的形式才行吧。好了，他是零吧，他是无穷吧，这个不用多说啊，好写。当 x 区域于零正的时候，我们第一步呢，先改成这样一种形式啊，这个 分子就是他分母的话，写成 x、 r 和分之一啊，写成这个样子，那写成这个样子以后的话，发现就变成了好多少无穷比无穷的形式，那接下来就可以利用罗贝达法则，那利用罗贝达法则的话，分子和分母分别求导呗。 分子求导非常容易了啊，那就是 x 分之一，分母求导的话，我们看成 x 的负 r 次方，这样的话就非常简单了，那就变成了， 嗯，负 rf， 然后成 x 的 rf 加一次，那不就是这个 rf 加一，就写成这样一个样子，对吧？那最终的话，我们就写成了这个结果啊，你稍微处理一下， 因为这个 r 和是长住，我们可以先提出来啊，稍微处理一下，就变成这个样子了啊。因为 x 区域零吧，所以最终结果呢，就是零就写完了。这是第一种啊，第一种补充的，还有一种补充的，无穷 减无穷。这个时候也不要太嫌麻烦，这口摊着呢。这个是什么呀？是鱼哥，鱼哥的定义，这个口摊着呢，别忘记他是等于什么，等于口三，再比上多少比上三啊，有了这样一个准备之后呢，也不是很难， 那就直接通分呗。那写完这个之后，我们发现分子和分母都是零比零的这样一个量吧。零比零，那不就符合诺贝达法则吗？接下来你直接求导，当然是没问题的。我换一种方法，当 x 区域零的时候，你想一下， 当 x 区域零的时候，这个三 x 的等价无穷小的是 x 吧？所以我画圈这部分直接利用等价无穷小的代换换成 x 就行了。 x 方 x， 口字三 x 减三 x， 就写成这样一个样子， 那么现在可以分子分母分别求导。嗯，先告诉我这个分母求导得多少，那当然是二 x 了，这个太简单了。嗯，然后这个分子 缺少多少多少呢？分子的话是口三 x 减 x 乘三 x， 后边还有个减去啊，减去多少呢？减去口三，我们发现减去和正的这个消掉了吧。所以最终结果应该理解我的含义了啊。 最终结果的话是厘米，他当 x 去行于零证的时候，这个分母的话就是二 x， 分子就剩下一个负 x， 你说最终是多少？我们把这个负二分之一提到前头来啊。利米特，当 x 均于零的时候，你说三 x 是多少，不就是零吗？所以呢，这道题答案是零。当然，除了这两种类型，还有一些比较奇怪的类型。 嗯，这些类型的话可以按成一类来算，就这样一个啊，什么意思？我们可以观察一下这个一二三，这三道立体。我只讲一道啊。另外三道你们自己做出来，发现这个分子和分母都是关 x 的函数，然后比如说底数是 gx 吧，然后这个指数的话，我们写成 fx， 这个叫什么呢？叫特殊类型的秘制函数，你不用管他的名字，关键是这种题目怎样变形能够降低难度？降低。 哎，有同学说，老师，什么是降解，如何降解？降解有什么好处？现在你就知道了。看好了啊，最简单的那秘制函数不就是外等于 x 的 x 脂肪啊，这个画圈部分呢，是指数， 那我左边的话变成了劳恩哦，我取这样的运算，那右边的话劳恩 x 的 x。 经过刚才的分析，我们知道了，我们只需要来一个对数横等式就可以。你比如说我讲第一题啊， 第一题的话，先等价变形。等价变形的话变成什么样子了？当然去行于一的时候，他是多少是一，那他的话发现是一个无穷，这就是第一种类型啊，那怎样等价变形呢？ e 啊，如果底数是 e 的话，那你整个部分不就变成捞案了吗？捞案对吧？变成了捞案，捞案。 x， 这个指数是一减 low x 分之一，然后这个对数印算的法则就是这个指数可以移到前头作为系数，对吧？移到这个前头作为系数，那行啊，我们就直接移到前头作为系数了，然后就变成了一减 low on x 分之多少哦， low on x 哦，这个结果。 所以变成这个样子以后的话，我们实际只需要求画圈部分，这样一个极限的值是多少，理解了吧？好，我们就求了啊， 厘米的。当 x 取决于多少取决于一的时候，这个式子我们换成圈一啊，然后呢，捞按，捞按 x， e 键捞按 x， 发现这个分子分母呢，都是取决于多少？都取决于这个零啊。那零比零的话，我们直接利用落 回答法则。利用呗，分子求导，那行分子求导的话得多少？他是一个负函数，那外层的话，波阳通法则呢？是他，内层的话还有得乘一个 x 分离，我就直接写到这了。 然后分母的话，得多少？得负 x 分之一。行啊，那就再继续往后写，最终的话，经过处理会得到怎样的一个结果呀？ 显然最终结果它等于负一吗？带入哪？带入圈一中，所以圈一继续往后写，实际上相当于一的负一次方，最终结果就是一分之一，应该懂了吧。所以我希望大家记住的是什么呢？当这个底数就某一个函数啊，底数 和什么？和指数都含有 x， 都是关于 x 的函数。那这种式子的话，我们只需要怎么样来一个对数横等式，或者左两边同时取这样的对数运算就行了？那就直接写这样的对数横等式 是吧？那就变成了 e 的 fx 作为系数了啊， lon 多少？ ln jx， 这样处理的话就降低运算了，就简单多了。那后面两道题的答案呢？我把它放到这，你自己一定要再算一下啊。第二道题答案是一，最后一道题的答案还是一分之一。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下集和再见！

学校不教，但你一定要会落地打法则。很多时候啊，我们呢，在做分离常数的导数类问题的时候啊，经常呢，会有种尴尬的现象，比如说呢，我们把这个题啊，做个分离常数，大家看一看，当 x 大于等于零时，满足 fx 呢，大于等于零，那呀，我们呢，把它写出来，应该啊，先写一个漂亮的解， 那也就是呢， e 的 x 四方减一减 x， 再减一个 a， x 方啊，应该呢，是大于等于零的 零，长处啊，是我们解决它最快的方法喽，把 ax 方的都要来把 x 方啊再除过去，但是要注意，你除 x 方啊，你要要看 x 方呢，能不能等于零，所以呢，我们要要先对呢 x 等于零啊去讨论，我发现呢，当 x 等于零时，满足题，那这个位置啊，我们给它记下了 第二个呀，我们就要知道呢，当 x 啊，非零的时候，那如果 x 不等于零，我们把它除过来，应该也就有呢， a 呀，是小于等于 分母，是 x 的平方分子， e 的 x 四方减一，再减 x， 所以啊，我们在求他的时候啊，有很多时候，我们就陷入了一个困境，当 x 呢，无限曲解于零时，这个值啊，我们找不到，这个时候啊，我们就可以利用我们的落币打法则。 什么是洛比达法则呢？也就是用来求极限的一种方法。怎么去求？我们说当 x 啊，我们呢，趋近于零时，我们能够发现分子异的零次方减一减零，应该呢，是趋近于零的分母， x 方也是趋近于零的，我们管零比零这样的类型，无 无穷比无穷这样的类型，我们都称之为啊，叫做不定式，因为啊，我们不知道零与零之间除，无穷与无穷之间除，到底谁大谁小。那面临不定式类问题，我们就可以应用洛必达法则。洛必达法则怎么求呢？直接啊，我们呢，来求极限。 当 x 趋近于零时，我们呀，对 e 的 x 四四方减一，减 x 除以一个 x 方呢，我们来求他的极限。利用罗比达要注意分子求导，分母求导，是分别做求导，那分子做求导呢？ e 的 x 四方的导啊，还是 e 的 x 方减一，倒没了 x 啊，一求导减一，再除一个二 x， 那当然了， limit， 当 x 啊，趋近于零时，可是我们发现把零带进来，这依然啊是零比零型的不定式。那我们将再用一次我们的洛比达法则。那 e x 四方求导，依然啊是 e 的 x 四次方二 x 求导啊，得到了二， 所以啊，我们也就求到了 limit。 如果呀， x 趋近于零时，对它呢做求解，那一的零次方式一，一除以二，二分之一。所以啊，我们也就得到了值啊，应该呢，是二分之一，那 a 小于等于二分之一，取值范围不就出来了吗？应该啊，是负无穷到二分 之一的左开右臂。所以啊，什么是落臂打法则？当我们在求极限的时候，我们发现这个分式型的形态是零比零以及无求比无穷不定式，我们就可以来应用落臂打法则。

落必打法则，今天我们来讲落必打法则，然后落必打法则呢？他是跟极限连在一起的，然后极限他不是有七种未定未定，什么七种极限未定？是，然后呢？落必打法则他只能用于零比零型和无穷比无穷。行， 我们来举个例子啊，比如这个例题啊，你看，嗯，当 x 去无穷的时候，那录音 x， 你看录音 x， 他的图像是这样子的， 那 x 去无穷的时候的话，他龙眼 x 也是无穷，也是去无穷的，然后 x 的话也是去无穷的，所以呢，他就是无穷比无穷型，然后我们就可以用洛碧达，然后洛碧达呢？就是分子求导，然后分母也求导， 然后就是这道题，他就等于录音 x 求导师 x 分之一，然后 x 求导的话就等于一， 然后这里是还是在 x 区无穷的时候来写照吧， 那这个答案就是 x 分之一， 那就相当于是无穷分之一，无穷分之一的话就是零了，所以这些答案就是零，然后零比零型的也来看一下这零比零型，你看 x 去一的时候， 那带进，如果我们带进去的话，那就是一减一等于零，零分之二减去，那么这里就先通分一下， x 去一的时候， x 的平方减一分之二减去， x 的平方减 减一，那就相当于这里加一个 x 的平， x 加一分之， x 加一，就就这里就应该是 x 加一啊，分子分母同乘， x 加一，然后我们就可以把他们合并一下， 那这里应该就是二减 x 减一，一减 x 合并一下的话，他应该就等于这个的话，可以写成一个 x 减一乘一个 x 加一，太帅了，那这个就可以和这个约分之后，那之后等于负的 x 加一分之一 啊，当然还是在 x 去一的时候，那么这时候就可以把一带进去的话，那他就分母不可能会为，不像以前一样会为零了，那么就可以直接带进去了，那就等于负的 二分之一，是这个答案，他就等于负的二分之一。所有极限里面 所有关于极限的题，极限就是有这个的，然后极限的题里面只要是零比零型，还有无穷比无穷行，都可以用落必打好了，这就是落必打法则，落必打法则就是一道题里面分子去求到， 然后分母也求到，然后就可以再把他们带进去求出答案就可以了。极限的这个求极限的这种题里面， 如果是有笔，就可以用那个无穷小，等下无穷小这些可以直接把极限求出的话，那就可以用那些公司直接求，就不一定要非要落笔的，但是如果是一定是这种两种类型的话，你是一定可以落笔打的。然后还有一种题，就是如果你 落必达的第一次就落了第一次之后，他还是还是一串的公式，还是比如说来平方落叶 x 这样子的，假如他还是这样子的话，那如果他还是在嗯，零比零性和无穷比无穷的情况下的话，你落了一次之后，他还是这个的话，你可以再落第二次。

今天我们来讲一下倒数问题当中的端点验证法。之前我们讲过落笔打法则，但是落笔打法则作为超纲内容，在解答题当中直接使用是会被扣分的，所以 在解答题当中，我们应该使用端点验证法来替换落比打法则。根据之前我们所讲的内容，当函数出现零比零或无穷比无穷的时候，就要使用落比打法则，而出现零比零或无穷比无穷，就是因为一 些本来是不能进行餐边分离的题目，我们进行了餐边分离，那么判断这个函数能否进行餐边分离的方法就是端点验证法。所以未来再碰到横城 力求参类的问题，我们一定要先验证端点，再进行参变分离。验证端点的方法就是将端点值带入到横成立的不等， 如果得到不等式，左右两边是两个相等的实数，那么我们就不能进行参变分离， 明显这是一道横成立求餐的问题，并且我们是能将参数 a 分离出来的。但是在分离之前，我们一定要先验证断点，这个时候我们把断点值零分 别带入不等式的左右两边，我们会得到不等式的左边等于零，右边也等于零，那么这种情况我们是不能进行参变分离的。所以我们就应该使用传统方法构建函数，为了方便计算，我们令二 x 等于 t， 经过化解，我们就得到了 gt 等于 t 加一倍的烙印， t 加一减去 a t， 那么原来的横成立问题就转化为 g t 大于等于零。横成立这个时候我们会发现，把 g t 的端电池零带入 g， 零等于零， 那么也就意味着当 x 趋近于零时， g x 必须是一个增函数才能确保 g t 大于等于零横成立，也就是 g p 二零大于等于零，解得 a 小于等于负一，但是这个 a 的取值范围是我们通过一个点来 计算出来的，那么他是否符合整个定义域，我们需要带回到导函数里边进行检验。那么经过计算发现，当 a 小于等于负一时，记 t 的确是大于等于零横成立，而当 a 大于负一时，无法确保 gt 横大于等于零，所以最后的结果就是 a 小于等于负一下课。

使用等价无从小代换的时候一定要记住一个原则，只适用于乘除，不适用于加减。本题中首先把 x 趋向于零，带入原式，发现分子、分母 限值都是零，是个零比零型，于是转入第二步化点，发现没有可以化减的项。来到第三步，等价代换。因为分母是相乘形式， 直接把 ex 减一，换成 x 把，所以分母直接代换成 x 的立方分子部分是两式相减，不可以代换。原样抄下来，在这个式子当中，既没有代换的，也没有化减的。来到最后一步，洛必达法则 上下同时求导，下面求导是三 x 平方，上面求导是 second 方减一。此时利用三角公式把分子换 成潘金的完全平方，除以三 x 方。再次按照求极限的四部曲，此时潘金的完全平方带换成 x 方，除以三 x 方，最后结果是三分之一。

我们来讲一个高考的解题神器乐必达法则，这个乐必达法则呢是我们高考中的解题神器，但是在高考中如何使用呢？接下来我给同学们讲。 首先由于同学们并不是我的正式学员，所以很多同学没有听过漏币打法则，我在这里先稍微给同学们解释一下什么叫漏币打法则？ 同学们， lob 打法则实际上就是这个公式，但是这个公式同学们你先不要看，你听我讲就行。 什么时候用落币打法则呢？就是我们零比零或者无雄比无雄，就是 f x 和 g x， 它是虚进 x 零的时候，它是零比零或者无雄比无雄。比如说我们 x c i x， 如果我的 x 吸进零的时候，它上面分子是不是零，分母是不是也是零，它这时候是不是零比零，这时候我们就能用我们的 lob 打法则。为什么说 lob 打法则是一个神器呢？同学们看一下 他直接把他的言还是直接分子分母分别修道，分子分母分别修道，同学们，想象一下， 就给咱们的解题大大简化了咱们的难度是不是好？那么同学们，我们就来看这种东西，在高考中他如何很容易的把题目解开。 首先同学们看我们这个天津键的一道选择题，同学们看这个，当它 x 吸进于无雄的时候，分子是不是无雄大？父母是不是也是 无熊大，所以它是无熊比无熊。那么我们直接用落笔打法则，分子分母分别修倒，分子修倒它就是，什么等于四分母修倒呢？它就等于 or x， 是不是？袁浩？同学们，当这个 x 吸进负无穷的时候，你看分母这时候就负无穷，分子还是四，所以他这时候是不是接近于什么？零？负从负的那个边吸进于零，是不是？所以你看 只有 a 答案和 d 答案是不是？那么 x 吸进正无雄的时候呢？同学们，这时候它就什么？正无雄 比四，是吧？正五行比四，这时候他就吸进什么？吸进我们的零，正从什么？从正的那边吸进零，所以他越来越接近于我的 x， 是吧？所以什么？所以只有 a 答案。你看同学们，这道题你 需要用什么单调性？需要用什么煎熬性？需要用什么对等性吗？不需要，你只需要分子分母修个岛你就 ok 了。然后看他无形大的或者无形小的地方，他到底是怎么样的， 就能够轻轻松松的把 a 答案选出来，你不需要什么单调性，基偶性、对上性甚至周期性，什么都不需要，是吧？搞定是吧？然后再看新课表的这道高考题，同样，我们是什么？先看它无熊大的时候 他是什么？无雄比无雄型，那么同学们请看，那么我们就对他分子分母疏导啊。分子疏导，他是 e x， 加上我的 e 的 f x， 然后分母修道 ox， 他这时候还是无雄比无雄。接下来我们再一次对他分子分母再一次疏导，是吧？对， 这个分子首导，它是 e x， 减去我的一的 f x， 然后分分母求导，就直接等于二了，是吧？那么同学们请看，当它虚近于什么？虚近于富五雄的时候，同学们，这时候你看一下。当它虚近于富五雄的时候，同学们，看一下富五雄的时候，这个虚近于零是吧？ e 的 x 的头像它这个样子嘛？虚近于零是吧？虚近于零。那么一的负的负无雄，它是不是正无雄呢？两个负它就一的正无熊，一的正无熊是不？无熊大，无熊大，前面再加个负号，它是变成负的无熊大 是吧？ good 五熊大，所以一个二，它是不是还是 good 五熊大？所以你看这道题，它是一个正的，毕竟一个富的五熊大的时候，它是正的，哦，它是负的，是吧？负的。那么只有哪个答案正确？只有 b 答案正确，所以直接 你看这个西进副武雄的时候，他是副的武雄的只有 b 档，只有 b 档，直接选 b， 是不是很心怂？同学们，所以落 b 打法则，在我们的高考中，他是一个解题的程序，当然我们这个时间有限，我只能很快的给同学们介绍一下。 在我的正式课中，这部分的内容有两个小时，包括我们的怎么透彻的去理解呢？诺贝达法则在高考中的小题，或者像这种画图像的题，我们怎么样去用？ 在大题中我们怎么用？谁能使我们在大题中不扣分？直接能够在大题中用诺贝达法则怎么样使呢？不扣分我都在我的正式课中讲到。