sa函数趋于无穷

自变量趋于无穷时的极限，该怎么区分正无穷和富无穷呢？他们两个有什么区别呢？一分钟我来讲清楚。 在定域内，如果只允许向一个方向去进，那么 x 区域无穷就指的是这个方向，比如函数外等于根号 x 分之一， x 区域无穷就指的是正无穷。 如果地域的允许向两个方向都曲进的话，那么这时候说 x 区域无穷指的是既向正无穷趋近，又向富无穷趋近。当 x 区于无穷时的极限存在，指的是区于正无穷和富无穷都存在，而且是相等的。 比如函数 y 等于 x 分之一， x 区正无穷和富无穷的极限都是零，那我们就说 x 区域无穷的时候，极限就是 零。相反，比如指数函数外等于一的 x 字方， x 区域正无穷的时候，函数趋于正无穷， x 区域负无穷的时候呢？函数是趋于零的，那这时候 x 区域无穷时，他的极限就不存在。 同样，比如阿克滩这台 xx 区域正无穷的时候，函数趋于二分之派， x 区域负无穷的时候呢？函数区域负的二分之派，那我们就说 x 区域无穷的时候，它的极限是不存在的，你听懂了吗？

下面我们来讲一下关于有节型的习题应题人的第十八期 关于有界性的袭击。本题问的是在哪个区间内有界。首先啊，我们对这个有界啊，前面已经讲了呀，什么叫有界啊，就是说你得出的这个结果，你得出的这个范围不能趋于无穷对吧？就是必须要在一个范围之内， 你不能说你是正无穷或者是富无穷。此时你只需要把这个端点 考虑一下这个短点啊，带入到这个分层里面，看看是不是区域无穷。如果是区域无穷的话，就是无界，如果是得到一个值的话，那么就是有界。好，我们来看一下这个题啊。首先 我们可以知道啊，有界和无界啊，这个时候我们只需要看一下他的这几个端点啊，看到选项里面有负一有零，有一有二有三 啊，这个时候呢，我们只需要带入一些端点来验证一下就好了呀。比如说我们带入一的时候， 当 x 区域一的时候， fx 是什么情况呢？首先我们来看一下，其实本章归为极限题更好一点啊，当 x 区域一的时候，绝对值可以直接开出来对吧？绝对值可以直接开出来。 然后呢，这面是个一，这面一减一，是不是屈均匀零了呀，对吧？一减一屈均匀零了。然后呢，这 这个是负一的平方，这个是三负一。好，上面的值呢，都是固定的值，只有这个，当然是去一的时候，他这下面的是缺个零的，是趋于零的呀， 一个有键函数比上一个趋于零的数，那他是不是就趋于无穷对吧？这个时候排除了 b 和 c， 你看 b 和 c 里面是不是都含有 e 啊？是不是都含有 e 对吧？就是曲径 e 了吗？ b 和 c 就排除掉了。那当 x 区域二十呢？当 x 区域二十。同样的道理啊，同样的道理，当 x 区域二十，你看这个 cx 减二，这个是不是区均一个零对吧？那这个呢？ x 减二的平方呢？其实他就是相当于写了个 x 减二， x 减二， 那你此时 cx 减二，到后面我们会学到啊， cx 减二，当 x 减二其余零的时候，他就相当于是一个 x 减二，就是 cx 减二， 他相当于等加一个 x 减二。 当 x 减二趋于零时，也就是 x 趋于二十。 这个三， x 减二取向于 x 减二。后面一张我们会学到，此时你看到没有，他是一个 x 减二，这个是 x 减二乘以 x 减二。所以说他们两个只能约掉一个对吧？只能约掉一个。当你约掉完一个之后， 约掉完一个之后，我们可以看到啊，等你约掉完之后，一个之后，上面是不是一个绝对值 x 比上一个 x 扣二， x 减一， x 减二，你当 x 缺二的时候是不是？是不是下面还有一个区域零的数，对吧？所以说这个也是一个无穷。 当 x 去二十好，但是去二十也是无穷，这个时候 d 也被排除掉了。你看我们前面排除了 b 和 c， 再排除了 d， 那是不是答案只有 a 了呀， 对吧？如果说是，在考试过程中，你直接就可以选 a 了。这个时候如果说你想清楚的知道当他区域负一的时候和当他区域零的时候等于等于多少，我们可以继续往下面算啊，当 ax 区域负一时，当 ax 区域负一时， 绝对值 x 是不是等于一对吧，然后这个 c 负三。好，下面就这个样子。然后呢，是得到一个 负十八分之三十三，这是不是一个固定的值对吧？说明区域负一的时候是有借的吧？区域负一时有借， 因为你已经给他算出来了吗？肯定是有结的呀。好，下面我们考虑当孩子趋于零的时候啊。这个趋于零的时候呢，分两种情况，因为这个时候呢，有个绝对值 x， 这个时候我们就就要考虑他是趋于零正还是趋于零负。 咱们为什么要考虑这个情况呢？因为绝对是 x， 这里面 x 你是不定他是正负的。如果说他是趋于零正的话，说明 x 是一个正数对吧？ 那你开去掉绝对值之后是个 x。 那为什么说趋于零负呢？趋于零负的时候，你把绝对值去掉，说明是个负 x 对吧？因为 x 是一个负数，你在绝对值里面开出来之后，你不可能说绝对值是个负数啊，对吧？所以说要加个负号，负负得正。 现在理，现在理解我们为什么要讨论零正和零负了吧，对吧？好，这个时候我们来看一下啊。当 x 区于零正的时候，是一个四分之三二，当 x 区于零负的时候，是一个负的四分之三二。 这个时候啊，当这个区域零的时候，他是一个有借的，就是有一个具体的值，不是等于正无穷，也不是等于负无穷。好，这个题我们就选 a， 就讲完了。

同学们好，今天咱们开始进行第三节函数极限的学习。在学习函数极限之前呢，咱们先来回顾一下上一节咱们讲的数列极限的定义。对于一个数列 a， n、 n 趋近于无穷时候， an 的极限等于 a， 他是怎么说的呢？他说的是对于任意小的一个正数 evesilo， 我都有 an 与这个 a 的距离啊，无限接近 他衡量他们无限接近，咱们这个里面 epsilo 是任意小，他比这个任意小的数还小，这就说明 an 与 a 的距离呢，无限接近啊，非常非常接近。这时候就说 an 以 a 为极限是， 是不是要求这个数列 an 的所有项都与 a 无限接近呢？啊？他是存在那么一个大恩，在大恩项以后， 当小恩大于大恩的时候啊，有这个式子，咱们就说 a 以这个 a 为极限。好了，这是咱们上一节讲的数列的极限。 接下来咱们讲函数的极限。首先咱们说对于自变量呢，它趋近于啊，无穷大时候函数的极限。咱们先来讨论这种情形，第一种情形，自变量趋向于无穷大时函数的极限啊。 首先咱们给出他的定义来，咱们先来讨论啊，这个 x 趋近于正无穷啊， 因为什么呢？因为这种情形他是最接近于咱们数列极限的啊。下面来看定义，如果对于任意给定的这个 epsilo 啊，不管这个 epsilo 多小啊，对于任意给定的正数 epsilo 啊，实际上这个 epsilo 呢，是任意小的啊，无论它多小，总存在一个 x， 他是大于零。然后这时候怎么样，任意的 x 比大 x 大的时候都 fx， 他满足 f x 与这个 a 的距离比咱们这个任意小的 epsl 还小，这时候咱们就把这个长数 a f x 它在 x 趋于正无穷时的极限好了，把这个东西呢记做下面这个符号，或者是 f x 以 a 为极限，就是趋近于 a， 在什么时候呢？ x 趋近于 正无穷的时候，那好了，这时候啊，咱们把这个定义，这是文字的形式，咱们主要啊，以后记就记这个东西，他用 epsilon 大 x 啊，这个给出定义，他怎么说的呢？说的是 x 趋近正无穷的时候， fx 以 a 为极限啊，他这个定义就是这么说的，对于任意小的一个正数 epsilon f x 与 a 的距离呢？比这个 epsilo 还小， 跟数列一样，是不是要求所有的 fx 都满足跟 a 距离无限小呢？不是的啊，它是存在那么一个大 x 大于零， 当这个小 x 大于大 x 的时候，有他们距离无限接近就可以了啊，咱们把这个啊定义形式，咱们称为 epsilo 大 x 语言，咱们数列那个地方呢，称为 epsilo 单语言 啊，这个东西啊，记住了，如果针对咱们期末考试，这个你了解一下就可以，但是针对考研来说，这个东西必须要熟啊，不熟的话，后面咱们有很多题型，你就掌握不来。 好，这是 x 趋近于正无穷，关于它的几何 e， 咱们讲完了啊，三个极限的定义， x 在趋近于无穷大的时候，三种情况的极限，咱们一起给出它的几何 e 来 啊，刚刚咱们给的是 x 趋近于正无穷，下面来看第二种啊， x 趋近于负无穷时，这个函数的极限啊，这时候文字的序数我就不写了，直接给出 epsilo 大 x 语言来， x 趋近于负无穷， f x 极限等于 a， 因为那个文字啊，你就是一种叙述方式，但是最终做题还有咱们的理解都是从这个咱们这个呃， epsino 大 x 语言这出发。好，他说的是任 任意小的 epsil 啊，任意小的一个正数都有 fx 与 a 的距离呢，比这个 epsil 还小。不论你 epsil 有多小，我 fi 和 a 的距离啊，比你还小，是不是就说 fi 与 a 想多小就多小啊？任意小 是不是要求所有项呢？不是的，他是存在一个大 x 大于零，当小 x 小于负的 大 x 的时候哦， f x 与 a 的距离无限接近， x 小于负 x， 他不就是往左啊，无穷方向一直走吗？ 所以说咱们要求 x 往负无穷的方向走，就是 x 比负的大 x 还小啊，为了统一啊，这个地方咱们全都统 一用 x 大于零啊，给他来说明。好了，这是咱们的第二种情形， x 取决于负无穷。下面来看第三种情形， x 取决于无穷时 这个函数的极限，还是咱们直接给出他的 epsil x 语言， x 趋近于无穷时， fx 他的极限等于 a。 这个地方咱们大家要注意，趋近于无穷啊，那就是正负无穷，两个方向都包括 啊，这时候咱们说他是要求满足什么呢？任意小的 eps 形容啊，都有什么呢？都有 fx 与 a 的距离 比这个伊普森隆还小。这时候说 f x 与 a 的这个距离无限接近的时候， f i 以 a 为极限，是不是要求所有的 x 都满足呢？不是的，咱们这时候要求存在一个 x 大于零， 哎，咱们大家来看，哎，趋近无穷，包括趋近于正无穷和趋近于负无穷两个方向都满足。那这时候怎么样？要求是 x 的绝对值大于 大 x 啊，这时候有他们距离无限接近 x， 绝对值大，大于大 x 不就相当于 x 大于大 x 和 x 小于 负的大 x， 因此往两侧去走啊。这就是咱们这个给出了在 x 趋向于无穷大时函数极限的三个定义啊，包含 正无穷、富无穷和无穷啊，因为他跟数列特别接近，数列是离散啊。变量取值，这个是连续变量取值。因此咱们先给出趋向于无穷时函数的极限，好，这是咱们啊给的三个定义。

一分钟告诉你考研数学求极限易错点，给你保住五分！首先哦，这几个常用极限直接背过。需要注意的是，一的 x 四方还有 arctenes， 去于无穷的时候要分清是左无穷还是右无穷。在极限计算中一共有七种类型，朋友，我看你就头大，别着急，一共其实就两类。咱先说最重要的零比零型吧，有人说等价如胸小，你会发现 有很多情况下他是不适用的，所以说咱们得用胎漏公式，但注意，如果上下层这个接触展开的不一样，那必错。第二种情况就是函数形态相同的情况下，这种情况下必须拉格朗是中指定理，直接秒杀。咱再说这个无穷比无穷，行，别着急着用落笔， 看看分子分母中咱直接处以最大的这一个，直接秒掉。咱们看一下这种无穷险无穷型给你三秒钟思考，它的核心原理就是强行把分子漏出来，变成零比零型，你看这不就解决了。然后就是第二种极限类型了，刚才说了分式类型，现在就是说一的无穷次方。

第二个问题，自变量去无穷大时候，函数极限的几何意义啊？从几何直观上，我们看看这种形状的极限啊。他的几何解释，他的几何解释。 我们还是以 x 取向于正无穷大时候这样一种砍树的极限为例。 刚才讲了三种形状的韩束，实际写 x 要以正无穷， x 要以负无穷和 x 从两侧取而于无穷。 现在我们以 x 相应正无穷这种形状阐述极限为例，对他做几何解释。我们 fx 以 a 为极限，从电影 里边来看，要求 fx 与 a 的距离了小于匹配。主要用这个不等式来刻画的。这个不等式呢，它的等价不等式是 fx 大于 a 减一匹等，小于 a 加一匹等。 这个不能是在什么条件下成立呢？在小 x 大于某一个大 x 时候成立。 几何图形上画一下坐标轴，这个是 y 等于 a 一条水平的直线。 还有两条水平的直线，一个是 y 等于 a 接一平，一个是 y 等于 a。 a 加一匹龙。一匹龙是多大呢？任意给定的，无论多小的一个数值。因此这个 a 减一匹龙到 a 加一匹龙。 这两条直线构成的这样一个带状区，他的总的宽度是二倍的一匹 一品楼，可以要多小有多小。因此这条带状区域呢，可以是一条非常窄非常窄的区域。只是我们现在图形上为了看的行储期间，把它画的稍微大一点，可以非常窄。要多窄有多窄。 这个函数的图形在什么地方呢？ fx 大于 a 减一平，那就意味着在这条线的 a 减一平。这条线的上方。这个 fx 呢， 小于 a 加一品，那就意味着函数的图形呢，在这条 a 加一品这条线的下方，或者说 fx， 这个函数的图形就介于这两条之线之间，落在了这样一个非常窄非常窄的区域的范围内，在带状区域内部。 什么时候这个函数图形能够落在这个带状区域内部呢？当小 x 大于某一个大 x 时候，从某一个大 x 以后， 也就是说这个 f x 图形，在这个大 s 值之前，他的图形有可能在区域的外边， 当然也有可能在曲的内部。但是呢，从这个大 x 这条线以后，函数的图形怎么样呢？这个小 f 这条曲线的图形呢，是永远在这个带状区域里边，从某一个地方开始，从这个大 x 的地方开始， 永远在这个带状区里边啊，永远在。这样讲，这个带状区又是一个非常窄的，画的再窄一点还可以，你画的再窄一点，无非把这个大 x 可能怎么样呢？向后再推一点， 那这个小 fi 这条曲线呢，它可以落在一个更窄的范围之内。什么意思呢？在这种情况下，这个曲线上的点到这条水平直线上的垂 直距离是随着 x 的增加，他会越来越小，越来越小，趋向于零。 因此啊，我们这条直线和这条曲线的关系是什么？我们把这这样的直线呢，也实际上就叫做这条曲线的一条间境线， 这条间接性是一条水平的。因此，现在 y 等于 a， 这条直线呢，就是我们这条曲线的一条 水平的渐进线。