roll中值定理万能公式

一招教你把双中指的中指定理变简单！中指定理的题型呢，是我们考研当中的重点题型，那么接下来我们来看一道双中指的中指定理如何来证明。那么这道题说 ff 在 b 区间连续开区间可导， 而且 f a 等于 f b 等于一证明存在，可 c e 踏属于开区间 a 到 b， 使得这样一个式子成立。可 c e 踏，这不叫双中指吗？双中指，而且两个中指都属于区间 a 到 b， 并没有强调可 c e 踏是不同的两个点啊，所以咱们这叫重复型的双中指。 两个种植的话，什么用两次种植定理？那根据要正的式子的变形来决定左边用什么，右边用什么。您发现 既有可 c 又有一踏，第一步是先分加让等号，一边全是可 c 等号，另外一边呢，全是一踏，所以那这个式子变成了一个 e 的一踏次，然后 f e 踏加上一个 f e 撇 e 踏，等于把这个 e 的副可 c 次移到右边去，这就是 e 的可 c 次，那么正它成立的话，同学，很显然这是某一个函数在可 c 的倒数啊， 哪个函数？求导是 e 的可 c 次呀？很显然这边对应的函数是谁呀？ f x f x 用拉格朗日出现 f 一盘可 c， 说明右边的拉格朗日， 左边的话，同学，我们来看谁求导是这样一个式子呀， e 的 x fx 求导啊，如果说我瞪不出来，其实你也可以用还原法把它构造出来左边这一块的话呢，咱们是不是可以把它写成 e 的 x f x 加上一个 f e p x， 把一踏改成 x， 然后呢，直接让左边这一块等于零，指数行数永远不等于零啊，相当于是这个式的 等于零，那么这个是等于零，我们把它变成两边都很容易积分的形式，它是不是可以变成 f e 撇 x 除以 f x 等于负一，可以变成两边都很容易积分的形式啊， 同时积分，这就是烙印 f x 啊，这个位置负 x 啊，加上一个烙印 c， 我们说还原法是得 c 得辅助啊，那这个烙印 c 留在这边就可以了。我们把这个 x 移过来，两个烙印合并烙印 f x， 加上一个 line e 的 x 等于 line c， 这不就是 line e 的 x 乘以 f x 等于 line c 吗？得 c， 得辅助，说明这就是 c 呀， 这就是 c， 说明左边的这个辅助函数其实就是一个 e 的 x， 这不就是一个 f x 吗？当然我们右边的话呢，为了和这个不重复的话，我们可以改成一个什么呀， g x g x 就 e 的 x， e 的 x， 用拉个朗日可以产生这个，而左边这个 f x 呢，用 e 的 x 乘以 f x， 我们就可以产生左边这个式子。所以这个题的话呢，就是右边拉个朗日，左边拉个朗日，左边拉右边拉。那证明，首先令这个大 f x 是一个 e 的 x 乘以 f x， 然后呢？ g x 是一个谁呀？是一个 e 的 x。 好，首先对我们的大 f x， g x 在区间 a 到 b 分别用拉个朗日，那从而就推出存在一个一踏属于区间 a 到 b， 使得大 f 一撇一，它等于大 f b 减去大 f a 比上 b 减 a 呀，这是把这个大 f 用拉给老师啊，那您 把这个化减一下，即大 f， 就是这个函数啊，那这个函数在 e 它的倒数那不就是一个 e 的 e 它次 f e 它加上一个 f， 一撇 e， 它等于大 f b， 那么就是一个 e 的 b 次 f， b 减 e 的 a 次 fa 比上一个谁呀？ b 加 a 到这以后，同学注意， fafe 都是一样，那都是一的话，这不剩 e 的 b 次减 e 的 a 次除以 b 加 a 吗？这是把这个大 f 用的什么呀？拉个老知，那接下来把这个 gx， 那就这个函数 也用拉个朗字，那从而退出存在一个可 c， 所以区间 a 到 b， 使得 g 一撇，可 c 等于 g b 减去一个 g a 比上一个 b 减 a。 好，我们把刚才这个式子叫一 式，那么这个式子咱们化解一下吧。那第一撇可 c 就是 e 的可 c 次呀，等于 g b g b 是 e 的 b 次 g a， e 的 a 次比上一个 b 减 a。 好了，同学，咱们把这个式子叫第二个式子， 那么一式是个，这二式呢？是个这由一二从而推出一的一踏次 f， 一踏加上一个 f， 一撇一踏等于一的可是一次，那换句话说就是你要正的这个式子双中值的这个 结论就成立了呀。所以这个题最后就结尾了，要学会分加，如果是双中指，让等号一边全是可 c 等号，另外一边全是一踏，观察两边的式子适合用什么样的中值定理。好吧，同学，这个题咱们就分享到这里。

同学们好，我是东北大学数学系杨中斌，主讲高等数学。 前面我们讲了求如何来求函数的导数。今天我们讲导数的应用。为了证明几个非常重要的定理，我们先介绍为一分中指定理。 我一分钟的定定包括三个落尔中定定，那个郎中定定和柯西中的定定。现在我们介绍落尔中定定。落尔中的定定中 需要用到一个非常重要的分码定理 射 y 抖音。 f。 在 ab 区间上。可微。可 c 是 ab 先生的一个点。如果函数 fx 在可 c 六处取得 最大值或者是最小值，折这一点的倒数一定等于零。例如 在 ab 区间上，函数 fx。 图像如此。在可 c 这点。很显然这个函数取得了最大值。 我们把函数在某一定的导数等于零，这样点成为函数的注点。例如 证明不是一般性不仿蛇。函数 fx 在可 c 这边取得最大值。 由于函数在这一点可打，所以我们取一点可 c 加，当然也属于 ab 区间。由于他这点取得最大值，所以 f 可 c 加上得到 x 就小于 f。 可 c 有导数的定义，求 诱导术。由于这一点可惜真的是最大值，所以这一点极限一定是小于 等于零。而又由于左极限又是大于等于零，而这个函数在这点又是可倒的，所以他的倒数一定等于零。所以这 这就是我们通常说的，如果函数 fx 在 ab 区间上可倒， 这可这是极致点，那么极致点的倒数一定等于零。有了非法定理，我们有处理非常重要的定理就是落而中定点。 它的内容。如果函数 fx 在 ab 区间上满足 b 区间连续开区间可导，而且在两个端点的函数值相等的话，那么在开区 ab 内一定存在一点可税，这一点的导数等于零。在几和上， 实际上就说明这个函数在这一点有一条水平的期限。由于 fx 在 ab 区间上连续，必定存在着最大值和最小值。但是呢，有两种情况。 如果最大值和最小值相等，由 fx 一定是一个长数，而长数的倒数都等于零，所以任何一点的倒数都等于零。如果最大值不等于最小值， 则 fx 由于 fa 等于 fb， 那么最大值和最小值不可能在端点出现。那么我们不妨假设最大值在 中间出现，那么则由于费马定点， fx 有最大，在可 c 处有最大者，所以这一点倒数一定等于零。 要注意，你路耳中的三个条件是缺一不可的。如果其中的任何一个不满足，这个路耳中的你有可能不成立。例如，如果函数 fx 在十一点处间断， 那么他一定不存在着倒数等于零的点。第二个，如果函数 mx 在 c 出不可倒，那么他也是不可能存在着倒数等于零的点。如果两个端点的函数 数值不相等，大家通过这个图可以看到也不存在着倒数等于零的点。所以我们通常说努尔终等的三个条件是一个充分条件，但他不是必要的。 又如何使用落尔中地理的由落尔中地理的结结论我们可以看到，由于存在着某一点的导数等于零，所以实际上我们就可以得到 判定一个函数在这一点是否存在着注点，或者说是否存在着 倒数等于零的点。如果看到一个方程的话，实际上可以看到一个倒还是方程是否有根。例如这 abc 是 任意的常数 a 四倍的 ax 放加上三倍的 bx 方加上二 c， 最等于 a 加 b 加 c。 要得证明这个方程至少有一个小于一的正根。由于要证明方程有根，所以我们通常情况下构造一个函数，而构造一个函数。我们说前面有一个零点定理，曾经讲过， 可以使用零点零来证明方程是否有根。而更有根据导函式方程，我们可以用使用路耳中的点算。所以我们各位可以构造一个函数 fx 等于 a x 字棒加上 b x 二字棒加 c x 平方减客户 a 加 b 加 c x， 然后验证 这个函数是否满足入耳中的条件。很显然，由于这些都是初等函数，而初等函数在必须兼施连续开局，兼施可打猎。 而这个函数在两个端点的函数值，大家知道把零带进去结果等于零，把一带进去，结果也是零。所以我们同桌在函数在两个端点的函数值相等，那么由落而终点点可以得到至少成了一点可信， 属于零一。在这个世界上，这人倒数一定等于零，这样就能证明了。可这就是这个方程的 跟逆入 fx 在 ab 区间上联系。在开区域。是啊， 可打的两个端点的函数值相等，要么证明存在一点可税，使得这一点的倒数值等于这一点的函数值。 而刚才我们这边的一个是一个具体的函数，现在呢？是一个抽象的方程。 第一个抽象发展也可以使用刚才我们说的构造一个圆函数，那么又如何通过这个方程来构造圆函数呢？我们知道如果你把瞌睡换成 x， 如果你把可这也换成 x， 这样十一难就相当于够了一个方程啊。那么就想这个函数，或者说这个方程的左边是哪一个函数的导数呢？ 我们可以在两边都乘以一的负一个视频啊，当乘以一的负一个视频，大家可以看着这个函数，正好可以看的是一的负 x 乘以 fx 导数。那么好了，那我们就构造这样一个函数， 这函数 fx 是等于一点负 x 成为 fx， 然后验证这个函数是否满足入耳中国定的三个条件。 很显然，由于小 fx 在必须联系开区间可到伊的 fx 是一个具体函数，所以我们说这个函数应该满足 洛尔重力前两个条件。那么施罗马中第三个条件呢？我们来可以把 x 得可得， x 得 a 或 x 等于 b 带入海市中心。可以看出来 f， a 和 f， b 都等于零。两 这个函数就满足入耳中国定理的三个条件。存在着一点可税，使得这点导数一定等于零。然后把这点导数等于零带入到函数中间去，就可以得到这个方程。 由于一的负可税是永远不等于零的，所以我们得到指望成。 所以我们就说落耳中的你他可以来证明方程是否有根。但是我们说的构造一个函数，他构造的是一个元函数。 而原函数的构造就要大家使用一下导书里面的一些具体的表达式。而在很多求导过程中间，我们需要大家记住一些 求道理以后的心事。

刷证明题之前一定要知道题眼在哪，这样的刷题才有效，知道了题眼就知道了解题思路，挑战一分钟讲明白数学第四十八天，咱们期末考试啊，有一个特点，如果说是这种三册的不等式，一般情况下用的都是拉格朗日终止， 那拉个朗日中日定理他有一个特点，他就是一定要有一个相同应试的减法。我们来回忆一下啊。拉个朗日中日定理说的是这个样子，叫做 b 区间连续开区间可倒，然后能推出来 f e 接到可 c 等于 f b 减 f， a 比上 b 减 a， 体验就在这两个 f 相减，就叫做相同映射的减法。 f 我们叫函数，也叫做映射，哎，中间是一个减号，所以叫做相同映射的减法。我们举个例子，比如说平方叉，平方叫做映射，叉叫做减法，所以他就叫相同映射的减 减法。 a 方减 b 方叫做相同应设的减法。再比如说根号 a 减根号 b， 也是相同应设的减法。再比如说 乱方 a 减去乱方 b， 也叫做相同应酬的减法。在咱们的期末考试里边，比较爱考的是乱 a 减去乱 b， 但是往往题目里边你看不见乱 a 减乱 b， 他的出题方式就是把这个式子有可能会写成乱 a、 b、 b， 这是第一种，之前我们讲过一个视频，你可以往前翻。还有一种，他只给你写一个 log， 那另外的一个 log 去哪了呢？他其实把它隐藏了，他为什么隐藏呢？ 因为他是要写成浪一的，浪一等于零，他可以不写，那他怎么隐藏的，我们就要怎么给他拿出来来这道题我们写一下证明，写证明题之前我给你们分析一下啊，看这是不是浪一加 x， 其实他这道题并不是浪一加 x 中间这个部分应该是乱一加 x 减去乱一，这个就叫做相同应设的减法了。好，你看这是不是叫做 fa 减去 fb， 那如果我们再除上一个 a 减 b， 是不就是这两个东西相减，是不叫做除以 x？ 它的结果等于什么呢？是不等于 f 一接到可塞，那 f。 同学们，好，我们是不叫做相同映射的减法，我们要把这个映射拿出来，那这个映射 fx 是不是就等于浪 x？ 好，那你告诉我， f 一接到 x 就等于 x 分之一吧， 所以 f 一接到可 c 就等于可 c 分之一吧。我们就按照这个思路往下写解题过程来。同学们，从上往下写叫做我们的解题思路，从下往上写叫做我们的解题过程。我们是不是应该这么写辅助函数出来设 f x 等于浪 x， 好写， 写完了，这个紧跟着两句话， b 区间连续开区间。可导，那你这个区间应该写谁呢？你看啊，我们是不是要写成浪一加 x 和浪一，所以我们就要这么写，在一到一加 x 上， 连续在一到一加 x 内得到。有的说，老师，这个 x 是谁呢？ x 是大于零的。哎，我们只需要把一带入进去，一加 x 带入进去，你看是不就能得到 f 一加 x 减去 f 一比上他俩的叉是不是就是 x 等于的就是 f e 接到可 c 了吧？接下来我们就计算就可以了， f e 加 x 就等于 low e 加 x， f e 就等于零。把一带到这里面，其实就是等于零，分母是 x， 那么把 x 给它往里带，等于 f 一击倒可 c， 我们在这写一下， f 一的倒等于的是 x 分之一，所以 f 一到可 c 就等于可 c 分之一，那么可 c 是处在谁到谁之间，因为我们是在 f 一加 x 和 f 一就是在这两个点之间，或者你也可以直接看这，所以它就处在一到一加 x 之间。好，那这面的 解题思路我就给它去掉了，那么这里是不就有一个不等式了？因为题目里面写的是可 c 分之一，所以我们就要求一下可 c 分之一的取值范围，那就把它取到数了，那这两个也要取到数，并且这两个位置也要交换，那就变成了一加 x 分之一，分之一， 这面就是一分之一，一分之一就是等于一的。再然后我们把可 c 分之一给它写成这个样子即可，就变成了 lone， 一加 x 比上 x 来，左边就是一加 x 分之一，右边就是一。写完 完这个式子之后，你观察一下我们要证明的结论和我们写的式子有什么不同，不同点就在于这个中间没有 x， 所以我们要在不等式的三侧同时乘 x， 那就变成了一加 x， 左侧就是一加 x， 分成 x， 右侧就是 x。 你看看这道题是不是直接就证明出来了？做完。