高等函数前四章思维导图

亲爱的同学们大家好，欢迎来到思维课堂，在这里我们将继续轻松学高数，用逻辑寻找数学的奥秘，不用担心内容复杂难懂，相信跟着我们的节奏一步步来，大家一定能够掌握其中的要领。 话不多说，让我们一起进入今天的学习吧！各位同学大家好，欢迎收看本期思维课堂。本期我们的主题是函数与极限。在第一章中，我们学习了函数和极限的相关性质， 接下来让我们回顾一下函数的极限应该如何表示。函数的极限呢？分为自变量趋向于无穷大时函数的极限和自变量趋向于有限值时函数的极限。 自变量趋向于无穷大时函数的极限呢，表示为 limit x 趋向于无穷 f x。 而自变量趋向于有限之时，函数的极限可以表示为 limit x 趋向于 x 零 f x。 在这里要注意， x 倾向于零并非第三种情况，而是第二种情况。当然了，还有左极限和右极限，左极限呢，是在 x 零上添加负号，而右极限是在 x 零上添加正号。确定一个极限是否是存在的，我们可以用 极限存在定理来确定，左极限，右极限存在且相等。那么函数的极限呢，就等于左右极限。 所以我们在第一章中呢，还学习了两个重要的极限，他们分别是 limit x 趋向于零， x 分之三， x 等于一和 limit x 趋向于无穷 e 加 x 分之一括号的 x me， 它等于 e。 这在我们后面的解题中呢，是经常要用到的。 当然呢，更常用的是等价无穷小，等价无穷小经常进行代换来代换掉一些极限表达式中比较复杂的项， 常用的等价无胸小呢？如下， 在这里我们要注意， 等价无形小量代换球极限的只能对所求是中相乘和相除的形式进行代换。相加和相减的有时候不一定啊，他有的可以直接代换，有的不能直接代换。但是从原理上来说呢，他不能直接以等价无形小的形式进行代换，他的 是有一些问题的。嗯，如果直接换的话，他就会出错。比如说，我们来看这样一道题， 它让我们求 x 的三次方分之上引 x 减它间的 x 这个函数的极限。特别当 x 趋向于零的时候。 很多同学一开始可能会想，三 a x 和弹吉的 x 都可以化为 x， 那么原式就等于零。这很显然是错误的，因为在等价无穷小的代换中呢，加减运算是不可以支 进行代换的，他的精度不足，可以直接进行代换的呢，也并非等价无穷小的数学原理。那么正确的做法是怎样的呢？ 我们可以提取 tangent x， 令其为 tangent x 乘以括号口算 x 减一，而 tangent x 可以化为 x 口算 x 减一呢，可以化为负二分之一 x 的平方，那么原式极限就可以化为负二分之一。 接下来我们来复习一下函数的连续性。一个函数在开区间 a 到 b 上每个点都连续，则说他在 a 到 b 的开区间上连续。假如说要在 a 的右连续， b 的左连续，那么则称其为在 b 区间上连续。如果在整个 定域域上都是连续的呢，则称其为连续函数。需要注意的是，如果一个函数在定域域内某点左右都连续，才可称函数在这个点是连续的，否则它就是不连续的。 函数的连续性主要考察的是间断点，间断点呢，有以下三种情形，它分别是，函数在这个点没有定义，函数在这个点没有极限。函数在这个点有极限，但是极限值呢，不等于函数值。 而间断点可以细致的进行分类，它可以分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点的特征呢，是间断点的左右极限都存在，但内部它可以分为可去间断点，也就是极限值不等于函数值。还有跳 间断点，就是左右极限不相等。而第二类间断点呢，他的左右极限至少有一个是不存在的。更加细致的分类可以分为无穷间断点和震荡间断点。 无穷间断点和震荡间断点，我们可以通过图的形式来更更好的认识它。比如说我们来看以下四张图，第一个呢，是 x 分之三一下 x， 它的 x 等于零处呢，是可去间断点， x 分之三一， x 呢，也是重要极限。 这张图呢，是 x 分之一，它的 x 等于零处呢，为无穷间断点。我们可以观察到，当 x 趋向于零的过程中呢，函数本身快速的向无穷逼近。这个呀，是取整函数，取整函 数所有的整数点都是跳跃间断点，而这个呢，是三 x 分之一，它的 x 等于零处呢，为震荡间断点。我们可以观察到，当 x 趋向于零的过程中呢， 这个函数在负一和一之间快速的进行震荡，震荡密集到越靠近零这个位置，他几乎就是重合在一起的 b 区间上连续函数的性质可以用以下两个定理来表示，它分别是最值定理，也就是说，在 b 区间上连续的函数一定是有最大值和最小值的，这个是我们很容易理解的。 还有借着定理，他说在 b 区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数之间的任何值。我们可以想象一下，带一张 纸上画一个连续的曲线，取他的两端点连成一条直线，那他必然可以和这个图像交到一条线。那么他们还有一个推论，就是说在 b 区间连续的函数必取得介于最大值、最小值之间的任何值。 说了这么多，我们来看一些题，比如说这道题，他说左面这个极限等于右面这个极限，而左面的极限呢，是含餐的。 对于这样的一个极限，我们可以观察到它的指数部分是存在一个 x 的，所以我们可以将其转化为密纸函数求极线的形式。将其转化为密纸函数求极线的形式后呢，我们需要进行配凑，也就是说这个 x 加 k 分之一减 k 和外面的 x 呢，要进行 配凑。在保证原式横等性的情况下呢，我们求他的极限，最后通过重要极限的形式进行转化，他是 e 的已减 k， 而右式呢，因为它是初等函数。初等函数的连续性呢，告诉我们极限可以放在指数部分求取，所以原式可以转化为 e 的四次方，那么很显然 k 就等于负三。 我们来看这样一道题，他说我们讨论这个函数的连续性，并判断间断点的类型。我们观察这个函数，可以发现分母是我们要着重研究的， 那么根据分母写出它的间断点分别是 four， 零和二， 怎么去判断一个函数连续性呢？那我们就直接用他的定义，也就是求他的极限。当 x 趋向于负二的时候，函数的极限是无穷，所以 s 等于负二，为 f x 的无穷电量点。 而当 x 趋向于零的时候呢，我们发现什么使他变为零呢？是这个绝对值，绝对值呢？我们就要注意，求他的左右极限， 他的左极限求出来以后是负二分之一，而右极限呢，是二分之一，他的左右极限是均存在，但是左极限呢，不等于右极限，所以 x 等于零呢，为 f x 的第一类跳跃阶段点。 而对于 x 趋向于二而言，它是一个很普通的极限，我们直接求就可以了，之后这个极限本身等于四分之一，所以 x 等于 二，被 f x 的第一类可区间断点。在这里我们要区分各类间断点的不同。 我们来看这样一道题，我们已知一个极限他得多少了，但是他内部含餐， 并且这个极限内部呢，这个 x 加一分之 s 的平方加一呢，他是一个无穷，这个减 ax 减 b 呢，他也是一个无穷，无穷减无穷，他是没有办法去得出来。这个极限为什么等于二分之一的。 对于这种有理分式函数求极限呢？我们最重要的就是同分，我们同分以后呢进行整理，我们需要注意，当 x 是趋向于正无穷的时候呢，这个一减 a 是必须要等于零的，因为 x 平方的增长速度是要更快的。而对于这个负括号 a 加 b 一而说呢，让它等于二分之一是我们的选择，因为如果让它等于二分之一以后，它的增长速度已经消去，它就可以得到这个极限等于二分之一。所以我们列一下式子，最后得出来， a 等于一， b 等于负二分之三。 我们来看这道题，他说让我们讨论这个函数的带零点的连续性。我们注意到这其中有一个比较特殊的部分，是 e 的 x 分之一。这个函数 他呢有一个性质，就是从左侧趋向于零的时候，他本身也是趋向于零的，而从右侧趋向于零呢，他本身是趋向于正无穷的。由此我们要进行分类讨论， 比如说我们去求他的左极线， 他的左极限呢，我们可以发现，一加 e 的 x 分之四分之二加 e 的 x 分之一， e 的 x 分之四和 e 的 x 分之一呢，都是趋向于零的，所以这个极限呢，等于二。 而右侧这个 limit， x 趋向于零，负负 x 分之三， x 呢，它是重要极限的分板，就是负一，所以左极限等于一。 右际线呢？我们在这里注意到， e 的 x 分之四和 e 的 x 分之一，谁的量就更大呢？很显然是 e 的 x 分之四，因为它是 e 的 x 分之一的四次方。当他们都同时趋向于无穷的时候， 谁的量级大，谁的决定性就更大，分母的决定性更大，就导致这个极限本身就为零。而原来的这个 x 分之三呀， x 呢，他求取完以后就是一，所以 有极限都有，并且相等，那么这个点呢，极限就是一极限值，还等于函数值，所以这个点是连续的。 我们来看这样一道题，他说我们设 limit x 趋向于零， f x 是存在的，且 f x 在零处的这个值它也等于零，当 x 不等于零的时候，这个函数是这个样子的，让我们求函数到底是什么样子的？ 我们可以知道 limit x 趋向于零， f x 的本身呢是一个长数，长数求集线呢，依旧是长数。为了把 f x 和 limit f x 有机的联合在一起，我们可以做如下的操作， 对上市两边同时关于 x 取向于零求极限可以得到。另外等 x 取向于零， fx 等于这么一个大的极限减二倍的他本身，那么我们就可以简单的先用等价无穷小去转化他， 最后我们就得到一减二， a 等于 a， 那么 a 很显然等于三分之一，因此答案如下所示。 但是呢，在这里我们要注意，为什么不把它写在一起呢？因为极限存在，函数值也存在，但是极限值不等于函数值，这就说明他在这个点不是连续的，所以我们必须要按照这种格式来去写。 以上就是本期的思维课堂，感谢大家的观看，谢谢！